गणित में विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समीकरणों को कैसे हल करें। विएटा का प्रमेय. समाधान के उदाहरण वियतनाम विधि द्विघात समीकरण

स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में दूसरे क्रम के समीकरणों को हल करने के तरीकों का अध्ययन करते समय, परिणामी जड़ों के गुणों पर विचार किया जाता है। वे वर्तमान में विएटा के प्रमेय के रूप में जाने जाते हैं। इस आलेख में इसके उपयोग के उदाहरण दिये गये हैं।

द्विघात समीकरण

दूसरे क्रम का समीकरण नीचे दी गई तस्वीर में दिखाई गई समानता है।

यहां प्रतीक ए, बी, सी कुछ संख्याएं हैं जिन्हें विचाराधीन समीकरण के गुणांक कहा जाता है। किसी समानता को हल करने के लिए, आपको x के मान खोजने होंगे जो इसे सत्य बनाते हैं।

ध्यान दें कि चूँकि x को जिस अधिकतम शक्ति तक बढ़ाया जा सकता है वह दो है, तो सामान्य स्थिति में जड़ों की संख्या भी दो है।

इस प्रकार की समानताओं को हल करने के कई तरीके हैं। इस लेख में हम उनमें से एक पर विचार करेंगे, जिसमें तथाकथित विएटा प्रमेय का उपयोग शामिल है।

विएटा के प्रमेय का निरूपण

16वीं शताब्दी के अंत में, प्रसिद्ध गणितज्ञ फ्रांकोइस विएते (फ्रांसीसी) ने विभिन्न द्विघात समीकरणों की जड़ों के गुणों का विश्लेषण करते हुए देखा कि उनमें से कुछ संयोजन विशिष्ट संबंधों को संतुष्ट करते हैं। विशेष रूप से, ये संयोजन उनके उत्पाद और योग हैं।

विएटा का प्रमेय निम्नलिखित स्थापित करता है: एक द्विघात समीकरण की जड़ें, जब संक्षेपित होती हैं, तो विपरीत चिह्न के साथ लिए गए रैखिक और द्विघात गुणांक का अनुपात देती हैं, और जब उन्हें गुणा किया जाता है, तो वे मुक्त पद और द्विघात गुणांक के अनुपात की ओर ले जाते हैं। .

अगर सामान्य फ़ॉर्मसमीकरण को लेख के पिछले भाग में फोटो में दिखाए अनुसार लिखा गया है, तो गणितीय रूप से इस प्रमेय को दो समानताओं के रूप में लिखा जा सकता है:

• आर 2 + आर 1 = -बी/ए;
• आर 1 एक्स आर 2 = सी/ए.

जहाँ r 1, r 2 प्रश्नगत समीकरण के मूलों का मान है।

उपरोक्त दो समानताओं का उपयोग विभिन्न गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है। समाधान के साथ उदाहरणों में विएटा के प्रमेय का उपयोग लेख के निम्नलिखित अनुभागों में दिया गया है।

विएटा के प्रमेय का उपयोग अक्सर उन जड़ों की जांच के लिए किया जाता है जो पहले ही पाई जा चुकी हैं। यदि आपको मूल मिल गए हैं, तो आप \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) सूत्रों का उपयोग करके \(p) के मान की गणना कर सकते हैं \) और \(q\ ). और यदि वे मूल समीकरण के समान ही निकलते हैं, तो मूल सही पाए जाते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए, का उपयोग करके, समीकरण \(x^2+x-56=0\) को हल करें और मूल प्राप्त करें: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). आइए देखें कि क्या हमने समाधान प्रक्रिया में कोई गलती की है। हमारे मामले में, \(p=1\), और \(q=-56\). विएटा के प्रमेय से हमारे पास है:

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

दोनों कथन अभिसरण हुए, जिसका अर्थ है कि हमने समीकरण को सही ढंग से हल किया।

यह जाँच मौखिक रूप से की जा सकती है। इसमें 5 सेकंड का समय लगेगा और यह आपको मूर्खतापूर्ण गलतियों से बचाएगा।

विएटा का व्युत्क्रम प्रमेय

यदि \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), तो \(x_1\) और \(x_2\) द्विघात समीकरण के मूल हैं \ (x^ 2+px+q=0\).

या सरल तरीके से: यदि आपके पास \(x^2+px+q=0\) फॉर्म का समीकरण है, तो सिस्टम को हल करें \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) आपको इसकी जड़ें मिलेंगी।

इस प्रमेय के लिए धन्यवाद, आप द्विघात समीकरण की जड़ों को जल्दी से पा सकते हैं, खासकर यदि ये जड़ें हैं। यह कौशल महत्वपूर्ण है क्योंकि यह बहुत समय बचाता है।

उदाहरण . समीकरण \(x^2-5x+6=0\) को हल करें।

समाधान : विएटा के व्युत्क्रम प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि जड़ें शर्तों को पूरा करती हैं: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\)।
सिस्टम के दूसरे समीकरण \(x_1 \cdot x_2=6\) को देखें। संख्या \(6\) को किन दो भागों में विघटित किया जा सकता है? \(2\) और \(3\), \(6\) और \(1\) या \(-2\) और \(-3\), और \(-6\) और \(- पर) 1\). सिस्टम का पहला समीकरण आपको बताएगा कि कौन सा जोड़ा चुनना है: \(x_1+x_2=5\). \(2\) और \(3\) समान हैं, क्योंकि \(2+3=5\).
उत्तर : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

उदाहरण . विएटा के प्रमेय के व्युत्क्रम का उपयोग करते हुए, द्विघात समीकरण की जड़ें खोजें:
ए) \(x^2-15x+14=0\); बी) \(x^2+3x-4=0\); सी) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

समाधान :
a) \(x^2-15x+14=0\) - \(14\) किन कारकों में विघटित होता है? \(2\) और \(7\), \(-2\) और \(-7\), \(-1\) और \(-14\), \(1\) और \(14\) ). संख्याओं के किन युग्मों का योग \(15\) बनता है? उत्तर: \(1\) और \(14\).

बी) \(x^2+3x-4=0\) - \(-4\) किन कारकों में विघटित होता है? \(-2\) और \(2\), \(4\) और \(-1\), \(1\) और \(-4\). संख्याओं के किन युग्मों का योग \(-3\) बनता है? उत्तर: \(1\) और \(-4\).

सी) \(x^2+9x+20=0\) - \(20\) किन कारकों में विघटित होता है? \(4\) और \(5\), \(-4\) और \(-5\), \(2\) और \(10\), \(-2\) और \(-10\ ), \(-20\) और \(-1\), \(20\) और \(1\). संख्याओं के किन युग्मों का योग \(-9\) बनता है? उत्तर: \(-4\) और \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) - \(780\) किन कारकों में विघटित होता है? \(390\) और \(2\). क्या उनका योग \(88\) होगा? नहीं। \(780\) में अन्य कौन से गुणक हैं? \(78\) और \(10\). क्या उनका योग \(88\) होगा? हाँ। उत्तर: \(78\) और \(10\).

अंतिम पद को सभी संभावित कारकों में विस्तारित करना आवश्यक नहीं है (जैसा कि पिछले उदाहरण में है)। आप तुरंत जांच सकते हैं कि उनका योग \(-p\) देता है या नहीं।

महत्वपूर्ण!विएटा का प्रमेय और व्युत्क्रम प्रमेयवे केवल के साथ काम करते हैं, अर्थात, जिसका गुणांक \(x^2\) के सामने एक के बराबर है। यदि हमें शुरू में एक गैर-घटाया हुआ समीकरण दिया गया था, तो हम इसे केवल \(x^2\) के सामने वाले गुणांक से विभाजित करके कम कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि समीकरण \(2x^2-4x-6=0\) दिया गया है और हम विएटा के प्रमेय में से एक का उपयोग करना चाहते हैं। लेकिन हम ऐसा नहीं कर सकते, क्योंकि \(x^2\) का गुणांक \(2\) के बराबर है। आइए पूरे समीकरण को \(2\) से विभाजित करके इससे छुटकारा पाएं।

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

तैयार। अब आप दोनों प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नों के उत्तर

सवाल: विएटा के प्रमेय का उपयोग करके, आप कोई भी हल कर सकते हैं?
उत्तर: दुर्भाग्यवश नहीं। यदि समीकरण में पूर्णांक नहीं हैं या समीकरण का कोई मूल नहीं है, तो विएटा का प्रमेय मदद नहीं करेगा। ऐसे में आपको इस्तेमाल करने की जरूरत है विभेदक . सौभाग्य से, स्कूली गणित में 80% समीकरणों का समाधान पूर्णांक होता है।

आठवीं कक्षा में, छात्रों को द्विघात समीकरणों और उन्हें हल करने के तरीके से परिचित कराया जाता है। उसी समय, जैसा कि अनुभव से पता चलता है, अधिकांश छात्र पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करते समय केवल एक विधि का उपयोग करते हैं - एक द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र। जिन छात्रों के पास अच्छा मानसिक अंकगणित कौशल है, उनके लिए यह विधि स्पष्ट रूप से तर्कहीन है। छात्रों को अक्सर हाई स्कूल में भी द्विघात समीकरणों को हल करना पड़ता है, और वहां विवेचक की गणना करने में समय बर्बाद करना अफ़सोस की बात है। मेरी राय में, द्विघात समीकरणों का अध्ययन करते समय, विएटा के प्रमेय के अनुप्रयोग पर अधिक समय और ध्यान दिया जाना चाहिए (ए.जी. मोर्दकोविच बीजगणित -8 कार्यक्रम के अनुसार, "विएटा के प्रमेय" विषय का अध्ययन करने के लिए केवल दो घंटे की योजना बनाई गई है। एक द्विघात का अपघटन रैखिक गुणनखंडों में त्रिपद”)।

अधिकांश बीजगणित पाठ्यपुस्तकों में, यह प्रमेय कम द्विघात समीकरण के लिए तैयार किया गया है और कहा गया है यदि समीकरण की जड़ें हैं और, तो समानताएं, उनके लिए संतुष्ट हैं।फिर विएटा के प्रमेय के अनुरूप एक कथन तैयार किया जाता है, और इस विषय पर काम करने के लिए कई उदाहरण पेश किए जाते हैं।

आइए विशिष्ट उदाहरण लें और विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समाधान के तर्क का पता लगाएं।

उदाहरण 1. समीकरण हल करें.

मान लीजिए कि इस समीकरण की जड़ें हैं, अर्थात्, और। फिर, विएटा के प्रमेय के अनुसार, समानताएं एक साथ होनी चाहिए:

आइए ध्यान दें कि जड़ों का उत्पाद है सकारात्मक संख्या. इसका मतलब यह है कि समीकरण की जड़ें एक ही चिह्न की हैं। और चूँकि मूलों का योग भी एक धनात्मक संख्या है, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि समीकरण के दोनों मूल धनात्मक हैं। चलिए फिर से जड़ों के उत्पाद पर लौटते हैं। आइए मान लें कि समीकरण के मूल धनात्मक पूर्णांक हैं। तब सही पहली समानता केवल दो तरीकों से प्राप्त की जा सकती है (कारकों के क्रम तक): या। आइए संख्याओं के प्रस्तावित युग्मों के लिए विएटा के प्रमेय के दूसरे कथन की व्यवहार्यता की जाँच करें: . इस प्रकार, संख्याएँ 2 और 3 दोनों समानताओं को संतुष्ट करती हैं, और इसलिए दिए गए समीकरण की जड़ें हैं।

उत्तर: 2; 3.

आइए विएटा के प्रमेय का उपयोग करके उपरोक्त द्विघात समीकरण को हल करते समय तर्क के मुख्य चरणों पर प्रकाश डालें:

विएटा के प्रमेय का कथन लिखिए

(*)

• समीकरण के मूलों के चिह्न निर्धारित करें (यदि गुणनफल और मूलों का योग धनात्मक है, तो दोनों मूल धनात्मक संख्याएँ हैं। यदि मूलों का गुणनफल एक धनात्मक संख्या है, और मूलों का योग ऋणात्मक है, तो यदि मूलों का गुणनफल है तो दोनों मूल ऋणात्मक संख्याएँ हैं एक ऋणात्मक संख्या, तो जड़ों के अलग-अलग लक्षण होते हैं। इसके अलावा, यदि जड़ों का योग धनात्मक है, तो बड़े मापांक वाला मूल एक धनात्मक संख्या है, और यदि जड़ों का योग शून्य से कम है, तो बड़े मापांक वाला मूल एक ऋणात्मक संख्या है);
• पूर्णांकों के ऐसे युग्मों का चयन करें जिनका गुणनफल नोटेशन (*) में सही पहली समानता देता है;
• संख्याओं के पाए गए युग्मों में से, उस युग्म का चयन करें, जो संकेतन (*) में दूसरी समानता में प्रतिस्थापित करने पर, सही समानता देगा;
• अपने उत्तर में समीकरण के पाए गए मूलों को इंगित करें।

चलिए कुछ और उदाहरण देते हैं.

उदाहरण 2: समीकरण हल करें .

समाधान।

मान लीजिए तथा दिए गए समीकरण के मूल हैं। फिर, विएटा के प्रमेय के अनुसार, हम ध्यान देते हैं कि उत्पाद सकारात्मक है, और योग एक नकारात्मक संख्या है। इसका अर्थ यह है कि दोनों मूल ऋणात्मक संख्याएँ हैं। हम उन कारकों के जोड़े का चयन करते हैं जो 10 (-1 और -10; -2 और -5) का उत्पाद देते हैं। संख्याओं के दूसरे युग्म का योग -7 होता है। इसका मतलब यह है कि संख्याएँ -2 और -5 इस समीकरण की जड़ें हैं।

उत्तर: -2; -5.

उदाहरण 3: समीकरण हल करें .

समाधान।

मान लीजिए तथा दिए गए समीकरण के मूल हैं। फिर, विएटा के प्रमेय के अनुसार, हम ध्यान दें कि उत्पाद नकारात्मक है। इसका मतलब यह है कि जड़ें अलग-अलग चिन्हों की होती हैं। मूलों का योग भी एक ऋणात्मक संख्या है। इसका मतलब यह है कि सबसे बड़े मापांक वाला मूल ऋणात्मक है। हम उन कारकों के जोड़े का चयन करते हैं जो उत्पाद -10 (1 और -10; 2 और -5) देते हैं। संख्याओं की दूसरी जोड़ी का योग -3 होता है। इसका मतलब है कि संख्याएँ 2 और -5 इस समीकरण की जड़ें हैं।

उत्तर: 2; -5.

ध्यान दें कि विएटा का प्रमेय, सिद्धांत रूप में, पूर्ण द्विघात समीकरण के लिए तैयार किया जा सकता है: अगर द्विघात समीकरण जड़ें हैं और, फिर समानताएं, उनके लिए संतुष्ट हैं।हालाँकि, इस प्रमेय का अनुप्रयोग काफी समस्याग्रस्त है, क्योंकि एक पूर्ण द्विघात समीकरण में कम से कम एक मूल (यदि कोई हो, निश्चित रूप से) एक भिन्नात्मक संख्या है। और भिन्नों के चयन के साथ काम करना लंबा और कठिन है। लेकिन फिर भी एक रास्ता है.

संपूर्ण द्विघात समीकरण पर विचार करें . समीकरण के दोनों पक्षों को पहले गुणांक से गुणा करें एऔर समीकरण को फॉर्म में लिखें . आइए हम एक नया चर प्रस्तुत करें और कम किए गए द्विघात समीकरण प्राप्त करें, जिसके मूल और (यदि उपलब्ध हो) विएटा के प्रमेय का उपयोग करके पाए जा सकते हैं। तब मूल समीकरण की जड़ें होंगी। कृपया ध्यान दें कि सहायक कम समीकरण बनाना बहुत सरल है: दूसरा गुणांक संरक्षित है, और तीसरा गुणांक उत्पाद के बराबर है एसी. एक निश्चित कौशल के साथ, छात्र तुरंत एक सहायक समीकरण बनाते हैं, विएटा के प्रमेय का उपयोग करके इसकी जड़ें ढूंढते हैं, और दिए गए पूर्ण समीकरण की जड़ों को इंगित करते हैं। चलिए उदाहरण देते हैं.

उदाहरण 4: समीकरण हल करें .

आइए एक सहायक समीकरण बनाएं और विएटा के प्रमेय का उपयोग करके हम इसकी जड़ें ढूंढेंगे। इसका मतलब है कि मूल समीकरण की जड़ें .

उत्तर: .

उदाहरण 5: समीकरण हल करें .

सहायक समीकरणकी तरह लगता है । विएटा के प्रमेय के अनुसार, इसकी जड़ें हैं। मूल समीकरण की जड़ें ढूँढना .

उत्तर: .

और एक और मामला जब विएटा के प्रमेय का अनुप्रयोग आपको मौखिक रूप से पूर्ण द्विघात समीकरण की जड़ें खोजने की अनुमति देता है। इसे साबित करना मुश्किल नहीं है संख्या 1 समीकरण का मूल है , अगर और केवल अगर. समीकरण का दूसरा मूल विएटा के प्रमेय द्वारा पाया जाता है और इसके बराबर है। एक अन्य कथन: ताकि संख्या -1 समीकरण का मूल हो के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त है. फिर विएटा के प्रमेय के अनुसार समीकरण का दूसरा मूल बराबर है। घटे हुए द्विघात समीकरण के लिए समान कथन तैयार किए जा सकते हैं।

उदाहरण 6: समीकरण हल करें.

ध्यान दें कि समीकरण के गुणांकों का योग शून्य है। तो, समीकरण की जड़ें .

उत्तर: .

उदाहरण 7. समीकरण हल करें.

इस समीकरण के गुणांक संपत्ति को संतुष्ट करते हैं (वास्तव में, 1-(-999)+(-1000)=0)। तो, समीकरण की जड़ें .

उत्तर: ..

विएटा के प्रमेय के अनुप्रयोग के उदाहरण

कार्य 1. विएटा के प्रमेय का उपयोग करके दिए गए द्विघात समीकरण को हल करें।

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

कार्य 2. सहायक लघु द्विघात समीकरण को पारित करके पूर्ण द्विघात समीकरण को हल करें।

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

कार्य 3. गुण का उपयोग करके एक द्विघात समीकरण को हल करें।

द्विघात समीकरण को हल करने के तरीकों में से एक का उपयोग करना है VIET सूत्र, जिसका नाम फ्रेंकोइस वियत के नाम पर रखा गया था।

वह एक प्रसिद्ध वकील थे जिन्होंने 16वीं शताब्दी में फ्रांसीसी राजा की सेवा की थी। अपने खाली समय में उन्होंने खगोल विज्ञान और गणित का अध्ययन किया। उन्होंने द्विघात समीकरण के मूलों और गुणांकों के बीच संबंध स्थापित किया।

सूत्र के लाभ:

1 . सूत्र को लागू करके, आप जल्दी से समाधान पा सकते हैं। क्योंकि वर्ग में दूसरे गुणांक को दर्ज करने की कोई आवश्यकता नहीं है, फिर इसमें से 4ac घटाएं, विवेचक ढूंढें, और मूल खोजने के लिए सूत्र में इसके मान को प्रतिस्थापित करें।

2 . समाधान के बिना, आप जड़ों के लक्षण निर्धारित कर सकते हैं और जड़ों के मूल्यों का चयन कर सकते हैं।

3 . दो अभिलेखों की प्रणाली को हल करने के बाद, जड़ों को स्वयं खोजना मुश्किल नहीं है। उपरोक्त द्विघात समीकरण में, मूलों का योग ऋण चिह्न वाले दूसरे गुणांक के मान के बराबर है। उपरोक्त द्विघात समीकरण में मूलों का गुणनफल तीसरे गुणांक के मान के बराबर है।

4 . इन मूलों का प्रयोग करके एक द्विघात समीकरण लिखिए अर्थात् व्युत्क्रम समस्या को हल कीजिए। उदाहरण के लिए, सैद्धांतिक यांत्रिकी में समस्याओं को हल करते समय इस पद्धति का उपयोग किया जाता है।

5 . जब अग्रणी गुणांक एक के बराबर हो तो सूत्र का उपयोग करना सुविधाजनक होता है।

कमियां:

1 . सूत्र सार्वभौमिक नहीं है.

विएटा का प्रमेय 8वीं कक्षा

FORMULA
यदि x 1 और x 2 घटे हुए द्विघात समीकरण x 2 + px + q = 0 के मूल हैं, तो:

उदाहरण
एक्स 1 = -1; x 2 = 3 - समीकरण के मूल x 2 - 2x - 3 = 0.

पी = -2, क्यू = -3.

एक्स 1 + एक्स 2 = -1 + 3 = 2 = -पी,

एक्स 1 एक्स 2 = -1 3 = -3 = क्यू।

व्युत्क्रम प्रमेय

FORMULA
यदि संख्याएँ x 1, x 2, p, q शर्तों से संबंधित हैं:

तब x 1 और x 2 समीकरण x 2 + px + q = 0 के मूल हैं।

उदाहरण
आइए इसके मूलों का उपयोग करके एक द्विघात समीकरण बनाएं:

एक्स 1 = 2 - ? 3 और x 2 = 2 + ? 3.

पी = एक्स 1 + एक्स 2 = 4; पी = -4; क्यू = एक्स 1 एक्स 2 = (2 - ? 3 )(2 + ? 3 ) = 4 - 3 = 1.

आवश्यक समीकरण का रूप है: x 2 - 4x + 1 = 0.

इस व्याख्यान में हम द्विघात समीकरण के मूलों और उसके गुणांकों के बीच के विचित्र संबंधों से परिचित होंगे। इन संबंधों की खोज सबसे पहले फ्रांसीसी गणितज्ञ फ्रांकोइस विएते (1540-1603) ने की थी।

उदाहरण के लिए, समीकरण 3x 2 - 8x - 6 = 0 के लिए, इसके मूल ज्ञात किए बिना, आप विएटा के प्रमेय का उपयोग करके तुरंत कह सकते हैं कि मूलों का योग बराबर है, और मूलों का गुणनफल बराबर है
यानी - 2. और समीकरण x 2 - 6x + 8 = 0 के लिए हम निष्कर्ष निकालते हैं: मूलों का योग 6 है, मूलों का गुणनफल 8 है; वैसे, यह अनुमान लगाना कठिन नहीं है कि मूल किसके बराबर हैं: 4 और 2।
विएटा के प्रमेय का प्रमाण। द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 के मूल x 1 और x 2 सूत्रों द्वारा पाए जाते हैं

जहाँ D = b 2 - 4ac समीकरण का विवेचक है। इन जड़ों को एक साथ जोड़कर,
हम पाते हैं

आइए अब मूल x 1 और x 2 के गुणनफल की गणना करें। हमारे पास है

दूसरा संबंध सिद्ध हो चुका है:
टिप्पणी। विएटा का प्रमेय उस स्थिति में भी मान्य है जब द्विघात समीकरण का एक मूल होता है (अर्थात, जब डी = 0), तो इस मामले में बस यह मान लिया जाता है कि समीकरण के दो समान मूल हैं, जिन पर उपरोक्त संबंध लागू होते हैं।
घटे हुए द्विघात समीकरण x 2 + px + q = 0 के लिए सिद्ध संबंध विशेष रूप से सरल रूप लेते हैं, हम प्राप्त करते हैं:

एक्स 1 = एक्स 2 = -पी, एक्स 1 एक्स 2 =क्यू
वे। घटे हुए द्विघात समीकरण के मूलों का योग विपरीत चिह्न के साथ लिए गए दूसरे गुणांक के बराबर है, और मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर है।
विएटा के प्रमेय का उपयोग करके, आप द्विघात समीकरण के मूलों और गुणांकों के बीच अन्य संबंध प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि x 1 और x 2 घटे हुए द्विघात समीकरण x 2 + px + q = 0 के मूल हैं।

हालाँकि, विएटा के प्रमेय का मुख्य उद्देश्य यह नहीं है कि यह द्विघात समीकरण की जड़ों और गुणांकों के बीच कुछ संबंधों को व्यक्त करता है। इससे भी अधिक महत्वपूर्ण यह है कि, विएटा के प्रमेय का उपयोग करके, एक द्विघात त्रिपद का गुणनखंड करने का एक सूत्र प्राप्त किया जाता है, जिसे हम भविष्य में बिना नहीं कर पाएंगे।

सबूत। हमारे पास है

उदाहरण 1. द्विघात त्रिपद 3x 2 - 10x + 3 का गुणनखंड करें।
समाधान। समीकरण 3x 2 - 10x + 3 = 0 को हल करने के बाद, हम वर्ग त्रिपद 3x 2 - 10x + 3: x 1 = 3, x2 = के मूल ज्ञात करते हैं।
प्रमेय 2 का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

इसके बजाय 3x - 1 लिखना समझ में आता है, फिर अंततः हमें 3x 2 - 10x + 3 = (x - 3)(3x - 1) मिलता है।
ध्यान दें कि किसी दिए गए द्विघात त्रिपद को समूहीकरण विधि का उपयोग करके प्रमेय 2 को लागू किए बिना गुणनखंडित किया जा सकता है:

3x 2 - 10x + 3 = 3x 2 - 9x - x + 3 =
= 3x (x - 3) - (x - 3) = (x - 3) (3x - 1).

लेकिन, जैसा कि आप देख सकते हैं, इस विधि से सफलता इस बात पर निर्भर करती है कि हम एक सफल समूह ढूंढने में सक्षम हैं या नहीं, जबकि पहली विधि से सफलता की गारंटी है।
उदाहरण 1. अंश कम करें

समाधान। समीकरण 2x 2 + 5x + 2 = 0 से हम x 1 = - 2 पाते हैं,

समीकरण x2 - 4x - 12 = 0 से हम x 1 = 6, x 2 = -2 पाते हैं। इसीलिए
एक्स 2 - 4एक्स - 12 = (एक्स - 6) (एक्स - (- 2)) = (एक्स - 6) (एक्स + 2)।
अब दिए गए भिन्न को कम करते हैं:

उदाहरण 3. भावों का गुणनखंड करें:
ए)x4 + 5x 2 +6; बी)2x+-3
समाधान। क) आइए एक नया चर y = x 2 प्रस्तुत करें। यह आपको दी गई अभिव्यक्ति को चर y के संबंध में द्विघात त्रिपद के रूप में, अर्थात् y 2 + bу + 6 के रूप में फिर से लिखने की अनुमति देगा।
समीकरण y 2 + bу + 6 = 0 को हल करने के बाद, हम द्विघात त्रिपद y 2 + 5у + 6 की जड़ें पाते हैं: y 1 = - 2, y 2 = -3। आइए अब प्रमेय 2 का उपयोग करें; हम पाते हैं

y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
यह याद रखना बाकी है कि y = x 2, अर्थात दिए गए व्यंजक पर लौटें। इसलिए,
x 4 + 5x 2 + 6 = (x 2 + 2)(x 2 + 3).
बी) आइए एक नया वेरिएबल y = प्रस्तुत करें। यह आपको दिए गए व्यंजक को चर y के संबंध में द्विघात त्रिपद के रूप में, अर्थात् 2y 2 + y - 3 के रूप में फिर से लिखने की अनुमति देगा। समीकरण को हल करने के बाद
2y 2 + y - 3 = 0, वर्ग त्रिपद 2y 2 + y - 3 के मूल ज्ञात कीजिए:
आप 1 = 1, आप 2 = . आगे, प्रमेय 2 का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

यह याद रखना बाकी है कि y = , अर्थात दिए गए व्यंजक पर लौटें। इसलिए,

अनुभाग के अंत में - कुछ तर्क, फिर से विएटा के प्रमेय से संबंधित, या बल्कि, इसके विपरीत कथन से:
यदि संख्याएँ x 1, x 2 ऐसी हैं कि x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 = q, तो ये संख्याएँ समीकरण के मूल हैं
इस कथन का उपयोग करके, आप बोझिल मूल सूत्रों का उपयोग किए बिना, कई द्विघात समीकरणों को मौखिक रूप से हल कर सकते हैं, और दिए गए मूलों के साथ द्विघात समीकरण भी बना सकते हैं। चलिए उदाहरण देते हैं.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. यहाँ x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24। यह अनुमान लगाना आसान है कि x 1 = 8, x 2 = 3।

2) x 2 + 11x + 30 = 0। यहाँ x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30। यह अनुमान लगाना आसान है कि x 1 = -5, x 2 = -6।
ध्यान दें कि यदि समीकरण का डमी पद एक धनात्मक संख्या है, तो दोनों मूल या तो धनात्मक या ऋणात्मक होते हैं; जड़ों का चयन करते समय इस पर विचार करना महत्वपूर्ण है।

3) x 2 + x - 12 = 0. यहाँ x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. यह अनुमान लगाना आसान है कि x 1 = 3, x2 = -4.
कृपया ध्यान दें: यदि समीकरण का मुक्त पद एक ऋणात्मक संख्या है, तो जड़ों के अलग-अलग चिह्न होते हैं; जड़ों का चयन करते समय इस पर विचार करना महत्वपूर्ण है।

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0। यह देखना आसान है कि x = 1 समीकरण को संतुष्ट करता है, अर्थात। x 1 = 1 समीकरण का मूल है. चूँकि x 1 x 2 = -, और x 1 = 1, हम पाते हैं कि x 2 = -।

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. यहां x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. यदि आप इस तथ्य पर ध्यान दें कि 2830 = 283. 10, और 293 = 283 + 10, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि x 1 = 283, x 2 = 10 (अब कल्पना करें कि मानक सूत्रों का उपयोग करके इस द्विघात समीकरण को हल करने के लिए क्या गणना करनी होगी)।

6) आइए एक द्विघात समीकरण बनाएं ताकि इसकी जड़ें संख्याएं x 1 = 8, x 2 = - 4 हों। आमतौर पर ऐसे मामलों में हम कम द्विघात समीकरण x 2 + px + q = 0 बनाते हैं।
हमारे पास x 1 + x 2 = -p है, इसलिए 8 - 4 = -p, यानी p = -4। अगला, x 1 x 2 = q, अर्थात। 8 «(-4) = q, जिससे हमें q = -32 प्राप्त होता है। तो, p = -4, q = -32, जिसका अर्थ है कि आवश्यक द्विघात समीकरण का रूप x 2 -4x-32 = 0 है।