विएटा का प्रमेय. समाधान के उदाहरण. द्विघात और अन्य समीकरणों के लिए विएटा का प्रमेय विएटा के प्रमेय उदाहरणों का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना

द्विघात समीकरणों के लिए विएटा के प्रमेय का निरूपण और प्रमाण। विएटा का व्युत्क्रम प्रमेय। घन समीकरणों और मनमाने क्रम के समीकरणों के लिए विएटा का प्रमेय।

सामग्री

यह सभी देखें: द्विघात समीकरण की जड़ें

द्विघातीय समीकरण

विएटा का प्रमेय

मान लीजिए और घटे हुए द्विघात समीकरण के मूलों को निरूपित करते हैं
(1) .
तब मूलों का योग विपरीत चिह्न के साथ लिए गए गुणांक के बराबर होता है। मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर है:
;
.

एकाधिक जड़ों के बारे में एक नोट

यदि समीकरण (1) का विभेदक शून्य है, तो इस समीकरण का एक मूल है। लेकिन, बोझिल फॉर्मूलेशन से बचने के लिए, यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि इस मामले में, समीकरण (1) में दो एकाधिक, या बराबर, जड़ें हैं:
.

प्रमाण एक

आइए समीकरण (1) के मूल ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र लागू करें:
;
;
.

मूलों का योग ज्ञात कीजिए:
.

उत्पाद ढूंढने के लिए, सूत्र लागू करें:
.
तब

.

प्रमेय सिद्ध है.

प्रमाण दो

यदि संख्याएँ द्विघात समीकरण (1) के मूल हैं, तो
.
कोष्ठक खोलना.

.
इस प्रकार, समीकरण (1) इस प्रकार बनेगा:
.
(1) से तुलना करने पर हम पाते हैं:
;
.

प्रमेय सिद्ध है.

विएटा का व्युत्क्रम प्रमेय

मनमानी संख्याएँ हों। तब और द्विघात समीकरण के मूल हैं
,
कहाँ
(2) ;
(3) .

विएटा के व्युत्क्रम प्रमेय का प्रमाण

चलो गौर करते हैं द्विघात समीकरण
(1) .
हमें यह सिद्ध करना होगा कि यदि और, तब और समीकरण (1) के मूल हैं।

आइए (2) और (3) को (1) में प्रतिस्थापित करें:
.
हम समीकरण के बाईं ओर पदों को समूहित करते हैं:
;
;
(4) .

आइए (4) में स्थानापन्न करें:
;
.

आइए (4) में स्थानापन्न करें:
;
.
समीकरण कायम है. अर्थात्, संख्या समीकरण (1) का मूल है।

प्रमेय सिद्ध है.

संपूर्ण द्विघात समीकरण के लिए विएटा का प्रमेय

अब संपूर्ण द्विघात समीकरण पर विचार करें
(5) ,
कहाँ, और कुछ संख्याएँ हैं। इसके अतिरिक्त।

आइए समीकरण (5) को इससे विभाजित करें:
.
यानी हमें दिया गया समीकरण मिल गया
,
कहाँ ; .

फिर पूर्ण द्विघात समीकरण के लिए विएटा के प्रमेय का निम्नलिखित रूप है।

आइए और संपूर्ण द्विघात समीकरण के मूलों को निरूपित करें
.
फिर मूलों का योग और गुणनफल सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:
;
.

घन समीकरण के लिए विएटा का प्रमेय

इसी प्रकार, हम घन समीकरण की जड़ों के बीच संबंध स्थापित कर सकते हैं। घन समीकरण पर विचार करें
(6) ,
जहाँ , , , कुछ संख्याएँ हैं। इसके अतिरिक्त।
आइए इस समीकरण को इस प्रकार विभाजित करें:
(7) ,
कहाँ , , ।
मान लीजिए , , समीकरण (7) (और समीकरण (6)) के मूल हैं। तब

.

समीकरण (7) से तुलना करने पर हम पाते हैं:
;
;
.

nवीं डिग्री के समीकरण के लिए विएटा का प्रमेय

उसी प्रकार, आप समीकरण के मूलों , , ... , , के बीच संबंध पा सकते हैं नौवीं डिग्री
.

विएटा का प्रमेय nवें समीकरणडिग्री का निम्नलिखित रूप है:
;
;
;

.

इन सूत्रों को प्राप्त करने के लिए, हम समीकरण को इस प्रकार लिखते हैं:
.
फिर हम , , , ... के गुणांकों की बराबरी करते हैं और मुक्त पद की तुलना करते हैं।

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेन्डयेव, इंजीनियरों और कॉलेज के छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, "लैन", 2009।
सेमी। निकोल्स्की, एम.के. पोटापोव एट अल., बीजगणित: सामान्य शिक्षा संस्थानों में ग्रेड 8 के लिए एक पाठ्यपुस्तक, मॉस्को, शिक्षा, 2006।

यह सभी देखें:

विएटा का प्रमेय (अधिक सटीक रूप से, प्रमेय प्रमेय का व्युत्क्रमविएटा) आपको द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए समय कम करने की अनुमति देता है। आपको बस यह जानना होगा कि इसका उपयोग कैसे करना है। विएटा के प्रमेय का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना कैसे सीखें? अगर आप इसके बारे में थोड़ा सोचें तो यह मुश्किल नहीं है।

अब हम केवल विएटा के प्रमेय का उपयोग करके कम किए गए द्विघात समीकरण को हल करने के बारे में बात करेंगे। एक कम किया गया द्विघात समीकरण एक समीकरण है जिसमें a, यानी x² का गुणांक, एक के बराबर है। उन द्विघात समीकरणों को हल करना भी संभव है जो विएटा के प्रमेय का उपयोग करके नहीं दिए गए हैं, लेकिन कम से कम एक मूल पूर्णांक नहीं है। उनका अनुमान लगाना कठिन है.

विएटा के प्रमेय का व्युत्क्रम प्रमेय बताता है: यदि संख्याएँ x1 और x2 ऐसी हैं

तो x1 और x2 द्विघात समीकरण के मूल हैं

विएटा के प्रमेय का उपयोग करके द्विघात समीकरण को हल करते समय, केवल 4 विकल्प संभव हैं। यदि आपको तर्क की पंक्ति याद है, तो आप बहुत जल्दी पूरी जड़ें ढूंढना सीख सकते हैं।

I. यदि q एक धनात्मक संख्या है,

इसका मतलब यह है कि मूल x1 और x2 एक ही चिह्न की संख्याएँ हैं (क्योंकि केवल समान चिह्नों वाली संख्याओं को गुणा करने पर ही एक धनात्मक संख्या उत्पन्न होती है)।

मैं एक। यदि -p एक धनात्मक संख्या है, (क्रमशः, पृ<0), то оба корня x1 и x2 — सकारात्मक संख्या(चूँकि हमने एक ही चिह्न की संख्याएँ जोड़ीं और एक धनात्मक संख्या प्राप्त की)।

आई.बी. यदि -p एक ऋणात्मक संख्या है, (क्रमशः, p>0), तो दोनों मूल ऋणात्मक संख्याएँ हैं (हमने एक ही चिह्न की संख्याएँ जोड़ीं और एक ऋणात्मक संख्या प्राप्त की)।

द्वितीय. यदि q एक ऋणात्मक संख्या है,

इसका मतलब यह है कि मूल x1 और x2 के अलग-अलग चिह्न हैं (संख्याओं को गुणा करने पर ऋणात्मक संख्या तभी प्राप्त होती है जब गुणनखंडों के चिह्न अलग-अलग हों)। इस मामले में, x1+x2 अब एक योग नहीं है, बल्कि एक अंतर है (आखिरकार, संख्याओं को जोड़ने पर विभिन्न संकेतहम बड़े में से छोटे को घटाते हैं)। इसलिए, x1+x2 दर्शाता है कि मूल x1 और x2 में कितना अंतर है, अर्थात, एक मूल दूसरे से कितना बड़ा है (पूर्ण मान में)।

द्वितीय.ए. यदि -p एक धनात्मक संख्या है, (अर्थात, पी<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

द्वितीय.बी. यदि -p एक ऋणात्मक संख्या है, (p>0), तो बड़ा (मॉड्यूलो) मूल एक ऋणात्मक संख्या है।

आइए उदाहरणों का उपयोग करके विएटा के प्रमेय का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करने पर विचार करें।

विएटा के प्रमेय का उपयोग करके दिए गए द्विघात समीकरण को हल करें:

यहां q=12>0, इसलिए मूल x1 और x2 एक ही चिह्न की संख्याएं हैं। उनका योग -p=7>0 है, इसलिए दोनों मूल धनात्मक संख्याएँ हैं। हम पूर्णांकों का चयन करते हैं जिनका गुणनफल 12 के बराबर है। ये 1 और 12, 2 और 6, 3 और 4 हैं। जोड़ी 3 और 4 के लिए योग 7 है। इसका मतलब है कि 3 और 4 समीकरण की जड़ें हैं।

इस उदाहरण में, q=16>0, जिसका अर्थ है कि मूल x1 और x2 एक ही चिह्न की संख्याएँ हैं। उनका योग -p=-10 है<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

यहाँ q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, तो बड़ी संख्या धनात्मक है। अतः मूल 5 और -3 हैं।

क्यू=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

फ़्राँस्वा वियत (1540-1603) - गणितज्ञ, प्रसिद्ध वियत फ़ार्मुलों के निर्माता

विएटा का प्रमेयद्विघात समीकरणों को शीघ्रता से हल करने के लिए (सरल शब्दों में) आवश्यक है।

फिर, अधिक विस्तार से विएटा का प्रमेय यह है कि किसी दिए गए द्विघात समीकरण की जड़ों का योग दूसरे गुणांक के बराबर होता है, जिसे विपरीत चिह्न के साथ लिया जाता है, और उत्पाद मुक्त पद के बराबर होता है। किसी भी घटे हुए द्विघात समीकरण, जिसके मूल हों, में यह गुण होता है।

विएटा के प्रमेय का उपयोग करके, आप आसानी से चयन द्वारा द्विघात समीकरणों को हल कर सकते हैं, तो आइए हमारी खुशहाल 7वीं कक्षा के लिए हाथों में तलवार वाले इस गणितज्ञ को "धन्यवाद" कहें।

विएटा के प्रमेय का प्रमाण

प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, आप सुप्रसिद्ध मूल सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं, जिनकी बदौलत हम द्विघात समीकरण के मूलों का योग और गुणनफल बनाएंगे। इसके बाद ही हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि वे बराबर हैं और, तदनुसार,।

मान लीजिए कि हमारे पास एक समीकरण है:। इस समीकरण के निम्नलिखित मूल हैं: और। आइए हम इसे साबित करें।

द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र के अनुसार:

1. मूलों का योग ज्ञात कीजिए:

आइए इस समीकरण को देखें, हमने इसे बिल्कुल इस तरह कैसे प्राप्त किया:

= .

स्टेप 1. भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाने पर, यह प्राप्त होता है:

= = .

चरण दो. हमारे पास एक अंश है जहां हमें कोष्ठक खोलने की आवश्यकता है:

हम भिन्न को 2 से कम करते हैं और प्राप्त करते हैं:

हमने विएटा के प्रमेय का उपयोग करके द्विघात समीकरण के मूलों के योग के संबंध को सिद्ध किया है।

2. जड़ों का उत्पाद ज्ञात कीजिए:

= = = = = .

आइए इस समीकरण को सिद्ध करें:

स्टेप 1. भिन्नों को गुणा करने का एक नियम है जिसके अनुसार हम इस समीकरण को गुणा करते हैं:

अब हम वर्गमूल की परिभाषा को याद करते हैं और गणना करते हैं:

= .

चरण 3. आइए हम द्विघात समीकरण के विभेदक को याद करें:। इसलिए, डी (विभेदक) के बजाय, हम अंतिम अंश में स्थानापन्न करते हैं, तो यह पता चलता है:

= .

चरण 4. हम कोष्ठक खोलते हैं और भिन्न के समान पदों को घटाते हैं:

चरण 5. हम "4ए" को छोटा करते हैं और प्राप्त करते हैं।

इसलिए हमने विएटा के प्रमेय का उपयोग करके जड़ों के उत्पाद के संबंध को सिद्ध कर दिया है।

महत्वपूर्ण!यदि विवेचक शून्य है, तो द्विघात समीकरण का केवल एक मूल होता है।

प्रमेय विएटा के प्रमेय से मेल खाता है

विएटा के प्रमेय के विपरीत प्रमेय का उपयोग करके, हम जांच सकते हैं कि हमारा समीकरण सही ढंग से हल हो गया है या नहीं। प्रमेय को समझने के लिए, आपको इस पर अधिक विस्तार से विचार करने की आवश्यकता है।

यदि संख्याएँ इस प्रकार हैं:

और, फिर वे द्विघात समीकरण की जड़ें हैं।

विएटा के व्युत्क्रम प्रमेय का प्रमाण

स्टेप 1।आइए समीकरण में इसके गुणांकों के लिए व्यंजकों को प्रतिस्थापित करें:

चरण दो।आइए समीकरण के बाएँ पक्ष को रूपांतरित करें:

चरण 3. आइए समीकरण के मूल खोजें, और इसके लिए हम इस गुण का उपयोग करते हैं कि उत्पाद शून्य के बराबर है:

या । यह कहाँ से आता है: या।

विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1

व्यायाम

समीकरण के मूल ज्ञात किए बिना द्विघात समीकरण के मूलों का योग, गुणनफल और वर्गों का योग ज्ञात करें।

समाधान

स्टेप 1. आइए विभेदक सूत्र को याद रखें। हम अक्षरों के स्थान पर अपने अंक प्रतिस्थापित करते हैं। अर्थात्, , - यह , और को प्रतिस्थापित करता है। यह संकेत करता है:

यह पता चला है:

शीर्षक='QuickLaTeX.com द्वारा प्रस्तुत" height="13" width="170" style="vertical-align: -1px;">. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма , а произведение . !}

आइए हम मूलों के वर्गों के योग को उनके योग और गुणनफल के माध्यम से व्यक्त करें:

उत्तर

7; 12; 25.

उदाहरण 2

व्यायाम

प्रश्न हल करें। हालाँकि, द्विघात समीकरण सूत्रों का उपयोग न करें।

समाधान

इस समीकरण के मूल ऐसे हैं जिनका विभेदक (D) शून्य से बड़ा है। तदनुसार, विएटा के प्रमेय के अनुसार, इस समीकरण की जड़ों का योग 4 के बराबर है, और उत्पाद 5 है। सबसे पहले, हम उस संख्या के विभाजक निर्धारित करते हैं, जिसका योग 4 के बराबर है। ये संख्याएँ हैं " 5" और "-1"। उनका गुणनफल 5 के बराबर है, और उनका योग 4 है। इसका मतलब है कि, विएटा के प्रमेय के व्युत्क्रम प्रमेय के अनुसार, वे इस समीकरण की जड़ें हैं।

उत्तर

और उदाहरण 4

व्यायाम

एक समीकरण लिखें जिसमें प्रत्येक मूल समीकरण के संगत मूल का दोगुना हो:

समाधान

विएटा के प्रमेय के अनुसार, इस समीकरण के मूलों का योग 12 के बराबर है, और उत्पाद = 7. इसका मतलब है कि दो मूल सकारात्मक हैं।

नये समीकरण के मूलों का योग बराबर होगा:

और काम.

विएटा के प्रमेय के व्युत्क्रम प्रमेय के अनुसार, नए समीकरण का रूप है:

उत्तर

परिणाम एक समीकरण है, जिसका प्रत्येक मूल दोगुना बड़ा है:

इसलिए, हमने देखा कि विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समीकरण को कैसे हल किया जाए। यदि आप उन समस्याओं को हल करते हैं जिनमें द्विघात समीकरणों की जड़ों के संकेत शामिल हैं तो इस प्रमेय का उपयोग करना बहुत सुविधाजनक है। अर्थात्, यदि सूत्र में मुक्त पद एक धनात्मक संख्या है, और यदि द्विघात समीकरण की जड़ें वास्तविक हैं, तो वे दोनों ऋणात्मक या धनात्मक हो सकते हैं।

और यदि मुक्त पद एक ऋणात्मक संख्या है, और यदि द्विघात समीकरण की जड़ें वास्तविक हैं, तो दोनों चिह्न भिन्न होंगे। अर्थात यदि एक जड़ धनात्मक है तो दूसरी जड़ ऋणात्मक ही होगी।

उपयोगी स्रोत:

1. डोरोफीव जी.वी., सुवोरोवा एस.बी., बनीमोविच ई.ए. बीजगणित 8वीं कक्षा: मॉस्को "ज्ञानोदय", 2016 - 318 पी।
2. रुबिन ए.जी., चुलकोव पी.वी. - पाठ्यपुस्तक बीजगणित 8वीं कक्षा: मॉस्को "बालास", 2015 - 237 पी।
3. निकोल्स्की एस.एम., पोटोपाव एम.के., रेशेतनिकोव एन.एन., शेवकिन ए.वी. - बीजगणित 8वीं कक्षा: मॉस्को "ज्ञानोदय", 2014 - 300

विएटा का प्रमेय, विएटा का व्युत्क्रम सूत्र और डमी के समाधान के साथ उदाहरणअद्यतन: 22 नवंबर, 2019 द्वारा: वैज्ञानिक लेख.आरयू

आठवीं कक्षा में, छात्रों को द्विघात समीकरणों और उन्हें हल करने के तरीके से परिचित कराया जाता है। उसी समय, जैसा कि अनुभव से पता चलता है, अधिकांश छात्र पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करते समय केवल एक विधि का उपयोग करते हैं - द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र। जिन छात्रों के पास अच्छा मानसिक अंकगणित कौशल है, उनके लिए यह विधि स्पष्ट रूप से तर्कहीन है। छात्रों को अक्सर हाई स्कूल में भी द्विघात समीकरणों को हल करना पड़ता है, और वहां विवेचक की गणना करने में समय बर्बाद करना अफ़सोस की बात है। मेरी राय में, द्विघात समीकरणों का अध्ययन करते समय, विएटा के प्रमेय के अनुप्रयोग पर अधिक समय और ध्यान दिया जाना चाहिए (ए.जी. मोर्दकोविच बीजगणित -8 कार्यक्रम के अनुसार, "विएटा के प्रमेय" विषय का अध्ययन करने के लिए केवल दो घंटे की योजना बनाई गई है। एक द्विघात का अपघटन रैखिक गुणनखंडों में त्रिपद”)।

अधिकांश बीजगणित पाठ्यपुस्तकों में, यह प्रमेय कम द्विघात समीकरण के लिए तैयार किया गया है और कहा गया है यदि समीकरण की जड़ें हैं और, तो समानताएं, उनके लिए संतुष्ट हैं।फिर विएटा के प्रमेय के अनुरूप एक कथन तैयार किया जाता है, और इस विषय का अभ्यास करने के लिए कई उदाहरण पेश किए जाते हैं।

आइए विशिष्ट उदाहरण लें और विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समाधान के तर्क का पता लगाएं।

उदाहरण 1. समीकरण हल करें.

मान लीजिए कि इस समीकरण की जड़ें हैं, अर्थात्, और। फिर, विएटा के प्रमेय के अनुसार, समानताएं एक साथ होनी चाहिए:

कृपया ध्यान दें कि जड़ों का गुणनफल एक धनात्मक संख्या है। इसका मतलब यह है कि समीकरण की जड़ें एक ही चिह्न की हैं। और चूँकि मूलों का योग भी एक धनात्मक संख्या है, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि समीकरण के दोनों मूल धनात्मक हैं। चलिए फिर से जड़ों के उत्पाद पर लौटते हैं। आइए मान लें कि समीकरण के मूल धनात्मक पूर्णांक हैं। तब सही पहली समानता केवल दो तरीकों से प्राप्त की जा सकती है (कारकों के क्रम तक): या। आइए संख्याओं के प्रस्तावित युग्मों के लिए विएटा के प्रमेय के दूसरे कथन की व्यवहार्यता की जाँच करें: . इस प्रकार, संख्याएँ 2 और 3 दोनों समानताओं को संतुष्ट करती हैं, और इसलिए दिए गए समीकरण की जड़ें हैं।

उत्तर: 2; 3.

आइए विएटा के प्रमेय का उपयोग करके उपरोक्त द्विघात समीकरण को हल करते समय तर्क के मुख्य चरणों पर प्रकाश डालें:

विएटा के प्रमेय का कथन लिखिए

(*)

• समीकरण के मूलों के चिह्न निर्धारित करें (यदि गुणनफल और मूलों का योग धनात्मक है, तो दोनों मूल धनात्मक संख्याएँ हैं। यदि मूलों का गुणनफल एक धनात्मक संख्या है, और मूलों का योग ऋणात्मक है, तो दोनों मूल ऋणात्मक संख्याएँ हैं। यदि मूलों का गुणनफल एक ऋणात्मक संख्या है, तो मूलों के अलग-अलग चिह्न होते हैं। इसके अलावा, यदि मूलों का योग धनात्मक है, तो बड़े मापांक वाला मूल एक धनात्मक संख्या है मूलों का योग शून्य से कम है, तो बड़े मापांक वाला मूल एक ऋणात्मक संख्या है);
• पूर्णांकों के ऐसे युग्मों का चयन करें जिनका गुणनफल नोटेशन (*) में सही पहली समानता देता है;
• संख्याओं के पाए गए युग्मों में से, उस युग्म का चयन करें, जो संकेतन (*) में दूसरी समानता में प्रतिस्थापित करने पर, सही समानता देगा;
• अपने उत्तर में समीकरण के पाए गए मूलों को इंगित करें।

चलिए कुछ और उदाहरण देते हैं.

उदाहरण 2: समीकरण हल करें .

समाधान।

मान लीजिए तथा दिए गए समीकरण के मूल हैं। फिर, विएटा के प्रमेय के अनुसार, हम ध्यान देते हैं कि उत्पाद सकारात्मक है, और योग एक नकारात्मक संख्या है। इसका अर्थ यह है कि दोनों मूल ऋणात्मक संख्याएँ हैं। हम उन कारकों के जोड़े का चयन करते हैं जो 10 (-1 और -10; -2 और -5) का उत्पाद देते हैं। संख्याओं के दूसरे युग्म का योग -7 होता है। इसका मतलब यह है कि संख्याएँ -2 और -5 इस समीकरण की जड़ें हैं।

उत्तर: -2; -5.

उदाहरण 3: समीकरण हल करें .

समाधान।

मान लीजिए तथा दिए गए समीकरण के मूल हैं। फिर, विएटा के प्रमेय के अनुसार, हम ध्यान दें कि उत्पाद नकारात्मक है। इसका मतलब यह है कि जड़ें अलग-अलग चिन्हों की होती हैं। मूलों का योग भी एक ऋणात्मक संख्या है। इसका मतलब यह है कि सबसे बड़े मापांक वाला मूल ऋणात्मक है। हम उन कारकों के जोड़े का चयन करते हैं जो उत्पाद -10 (1 और -10; 2 और -5) देते हैं। संख्याओं की दूसरी जोड़ी का योग -3 होता है। इसका मतलब है कि संख्याएँ 2 और -5 इस समीकरण की जड़ें हैं।

उत्तर: 2; -5.

ध्यान दें कि विएटा का प्रमेय, सिद्धांत रूप में, पूर्ण द्विघात समीकरण के लिए तैयार किया जा सकता है: यदि द्विघात समीकरण जड़ें हैं और, फिर समानताएं, उनके लिए संतुष्ट हैं।हालाँकि, इस प्रमेय का अनुप्रयोग काफी समस्याग्रस्त है, क्योंकि एक पूर्ण द्विघात समीकरण में कम से कम एक मूल (यदि कोई हो, निश्चित रूप से) एक भिन्नात्मक संख्या है। और भिन्नों के चयन के साथ काम करना लंबा और कठिन है। लेकिन फिर भी एक रास्ता है.

संपूर्ण द्विघात समीकरण पर विचार करें . समीकरण के दोनों पक्षों को पहले गुणांक से गुणा करें एऔर समीकरण को फॉर्म में लिखें . आइए हम एक नया चर प्रस्तुत करें और कम किए गए द्विघात समीकरण प्राप्त करें, जिसके मूल और (यदि उपलब्ध हो) विएटा के प्रमेय का उपयोग करके पाए जा सकते हैं। तब मूल समीकरण की जड़ें होंगी। कृपया ध्यान दें कि सहायक कम समीकरण बनाना बहुत सरल है: दूसरा गुणांक संरक्षित है, और तीसरा गुणांक उत्पाद के बराबर है एसी. एक निश्चित कौशल के साथ, छात्र तुरंत एक सहायक समीकरण बनाते हैं, विएटा के प्रमेय का उपयोग करके इसकी जड़ें ढूंढते हैं, और दिए गए पूर्ण समीकरण की जड़ों को इंगित करते हैं। चलिए उदाहरण देते हैं.

उदाहरण 4: समीकरण हल करें .

आइए एक सहायक समीकरण बनाएं और विएटा के प्रमेय का उपयोग करके हम इसकी जड़ें ढूंढेंगे। इसका मतलब है कि मूल समीकरण की जड़ें .

उत्तर: .

उदाहरण 5: समीकरण हल करें .

सहायक समीकरण का रूप है। विएटा के प्रमेय के अनुसार, इसकी जड़ें हैं। मूल समीकरण की जड़ें ढूँढना .

उत्तर: .

और एक और मामला जब विएटा के प्रमेय का अनुप्रयोग आपको मौखिक रूप से पूर्ण द्विघात समीकरण की जड़ें खोजने की अनुमति देता है। इसे साबित करना मुश्किल नहीं है संख्या 1 समीकरण का मूल है , अगर और केवल अगर. समीकरण का दूसरा मूल विएटा के प्रमेय द्वारा पाया जाता है और इसके बराबर है। एक अन्य कथन: ताकि संख्या -1 समीकरण का मूल हो के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त है. फिर विएटा के प्रमेय के अनुसार समीकरण का दूसरा मूल बराबर है। घटे हुए द्विघात समीकरण के लिए समान कथन तैयार किए जा सकते हैं।

उदाहरण 6: समीकरण हल करें.

ध्यान दें कि समीकरण के गुणांकों का योग शून्य है। तो, समीकरण की जड़ें .

उत्तर: .

उदाहरण 7. समीकरण हल करें.

इस समीकरण के गुणांक संपत्ति को संतुष्ट करते हैं (वास्तव में, 1-(-999)+(-1000)=0)। तो, समीकरण की जड़ें .

उत्तर: ..

विएटा के प्रमेय के अनुप्रयोग के उदाहरण

कार्य 1. विएटा के प्रमेय का उपयोग करके दिए गए द्विघात समीकरण को हल करें।

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

कार्य 2. सहायक लघु द्विघात समीकरण को पारित करके पूर्ण द्विघात समीकरण को हल करें।

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

कार्य 3. गुण का उपयोग करके एक द्विघात समीकरण को हल करें।

स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में दूसरे क्रम के समीकरणों को हल करने के तरीकों का अध्ययन करते समय, परिणामी जड़ों के गुणों पर विचार किया जाता है। वे वर्तमान में विएटा के प्रमेय के रूप में जाने जाते हैं। इस आलेख में इसके उपयोग के उदाहरण दिये गये हैं।

द्विघात समीकरण

दूसरे क्रम का समीकरण नीचे दी गई तस्वीर में दिखाई गई समानता है।

यहां प्रतीक ए, बी, सी कुछ संख्याएं हैं जिन्हें विचाराधीन समीकरण के गुणांक कहा जाता है। किसी समानता को हल करने के लिए, आपको x के मान खोजने होंगे जो इसे सत्य बनाते हैं।

ध्यान दें कि चूँकि x को जिस अधिकतम शक्ति तक बढ़ाया जा सकता है वह दो है, तो सामान्य स्थिति में जड़ों की संख्या भी दो है।

इस प्रकार की समानताओं को हल करने के कई तरीके हैं। इस लेख में हम उनमें से एक पर विचार करेंगे, जिसमें तथाकथित विएटा प्रमेय का उपयोग शामिल है।

विएटा के प्रमेय का निरूपण

16वीं शताब्दी के अंत में, प्रसिद्ध गणितज्ञ फ्रेंकोइस विएते (फ्रांसीसी) ने विभिन्न द्विघात समीकरणों की जड़ों के गुणों का विश्लेषण करते हुए देखा कि उनमें से कुछ संयोजन विशिष्ट संबंधों को संतुष्ट करते हैं। विशेष रूप से, ये संयोजन उनके उत्पाद और योग हैं।

विएटा का प्रमेय निम्नलिखित स्थापित करता है: एक द्विघात समीकरण की जड़ें, जब संक्षेपित होती हैं, तो विपरीत चिह्न के साथ लिए गए रैखिक और द्विघात गुणांक का अनुपात देती हैं, और जब उन्हें गुणा किया जाता है, तो वे मुक्त पद और द्विघात गुणांक के अनुपात की ओर ले जाते हैं। .

यदि समीकरण का सामान्य रूप लेख के पिछले भाग में फोटो में दिखाए अनुसार लिखा जाए, तो गणितीय रूप से यह प्रमेय दो समानताओं के रूप में लिखा जा सकता है:

• आर 2 + आर 1 = -बी/ए;
• आर 1 एक्स आर 2 = सी/ए.

जहाँ r 1, r 2 प्रश्नगत समीकरण के मूलों का मान है।

उपरोक्त दो समानताओं का उपयोग विभिन्न गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है। समाधान के साथ उदाहरणों में विएटा के प्रमेय का उपयोग लेख के निम्नलिखित अनुभागों में दिया गया है।