पत्ते

अक्ष के परितः बल का आघूर्ण. बल का क्षण किसी बिंदु के बारे में बल का क्षण क्या है?

परिभाषा

त्रिज्या का सदिश गुणनफल - सदिश (), जो बिंदु O (चित्र 1) से उस बिंदु तक खींचा जाता है जिस पर वेक्टर पर बल लगाया जाता है, बिंदु O के संबंध में बल का क्षण () कहलाता है:

चित्र 1 में, बिंदु O और बल वेक्टर () और त्रिज्या वेक्टर चित्र के तल में हैं। इस मामले में, बल के क्षण का वेक्टर () ड्राइंग के विमान के लंबवत है और इसकी दिशा हमसे दूर है। बल के क्षण का सदिश अक्षीय होता है। बल आघूर्ण वेक्टर की दिशा इस प्रकार चुनी जाती है कि बल और वेक्टर की दिशा में बिंदु O के चारों ओर घूमने से एक दाएँ हाथ की प्रणाली बन जाती है। बलों के क्षण की दिशा और कोणीय त्वरण मेल खाते हैं।

वेक्टर का परिमाण है:

जहां त्रिज्या और बल वेक्टर दिशाओं के बीच का कोण है, बिंदु O के सापेक्ष बल भुजा है।

अक्ष के परितः बल का आघूर्ण

अक्ष के सापेक्ष बल का आघूर्ण है भौतिक मात्रा, इस अक्ष पर चयनित अक्ष के बिंदु के सापेक्ष बल के क्षण के वेक्टर के प्रक्षेपण के बराबर। इस मामले में, बिंदु का चुनाव कोई मायने नहीं रखता.

शक्ति का मुख्य क्षण

बिंदु O के सापेक्ष बलों के एक समूह के मुख्य क्षण को एक वेक्टर (बल का क्षण) कहा जाता है, जो एक ही बिंदु के संबंध में सिस्टम में कार्य करने वाले सभी बलों के क्षणों के योग के बराबर होता है:

इस मामले में, बिंदु O को बलों की प्रणाली की कमी का केंद्र कहा जाता है।

यदि बल लाने वाले विभिन्न दो केंद्रों (O और O') के लिए बलों की एक प्रणाली के लिए दो मुख्य क्षण (और) हैं, तो वे अभिव्यक्ति से संबंधित हैं:

त्रिज्या वेक्टर कहां है, जो बिंदु O से बिंदु O' तक खींचा गया है, बल प्रणाली का मुख्य वेक्टर है।

सामान्य तौर पर, किसी कार्रवाई का परिणाम ठोसबलों की एक मनमाना प्रणाली की कार्रवाई बलों की प्रणाली के मुख्य क्षण और बलों की प्रणाली के मुख्य वेक्टर के शरीर पर कार्रवाई के समान होती है, जिसे कमी के केंद्र (बिंदु ओ) पर लागू किया जाता है।

घूर्णी गति की गतिशीलता का मूल नियम

घूर्णन में किसी पिंड का कोणीय संवेग कहाँ होता है?

एक ठोस निकाय के लिए इस कानून को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

जहां I शरीर की जड़ता का क्षण है, और कोणीय त्वरण है।

टोक़ इकाइयाँ

एसआई प्रणाली में बल के क्षण को मापने की मूल इकाई है: [एम]=एन एम

जीएचएस में: [एम]=दिन सेमी

समस्या समाधान के उदाहरण

उदाहरण

व्यायाम।चित्र 1 एक पिंड को दर्शाता है जिसमें घूर्णन अक्ष OO है। किसी दिए गए अक्ष के सापेक्ष पिंड पर लगाए गए बल का क्षण शून्य के बराबर होगा? अक्ष और बल वेक्टर चित्र के तल में स्थित हैं।

समाधान।समस्या को हल करने के आधार के रूप में, हम वह सूत्र लेंगे जो बल के क्षण को निर्धारित करता है:

वेक्टर उत्पाद में (चित्र से देखा जा सकता है)। बल वेक्टर और त्रिज्या वेक्टर के बीच का कोण भी शून्य (या) से भिन्न होगा, इसलिए, वेक्टर उत्पाद (1.1) शून्य के बराबर नहीं है। इसका मतलब यह है कि बल का क्षण शून्य से भिन्न होता है।

उत्तर।

उदाहरण

व्यायाम। कोणीय वेगचित्र 2 में दिखाए गए ग्राफ़ के अनुसार घूमते हुए कठोर शरीर में परिवर्तन होता है। ग्राफ़ पर दर्शाए गए बिंदुओं में से किस बिंदु पर शरीर पर लगाए गए बलों का क्षण शून्य के बराबर है?

बलों की एक जोड़ी के गुणों का अध्ययन करना, जो स्थैतिक के मुख्य तत्वों में से एक है, एक बिंदु के सापेक्ष बल के क्षण की महत्वपूर्ण अवधारणा की शुरूआत की आवश्यकता होती है।

मान लीजिए कि बिंदु A पर पिंड पर एक बल लगाया गया है (चित्र 89)। आइए अंतरिक्ष O में कोई भी बिंदु चुनें (आमतौर पर निर्देशांक की उत्पत्ति को इस बिंदु के रूप में चुना जाता है) और इससे इस बल के अनुप्रयोग के बिंदु तक जाने वाला एक त्रिज्या वेक्टर बनाएं।

बिंदु O के सापेक्ष बल का सदिश आघूर्ण, के सदिश गुणनफल द्वारा परिभाषित मुक्त सदिश है

इसे हमारे पास से निरूपित करना

वेक्टर का निरपेक्ष मान वेक्टर पर बने त्रिभुज के क्षेत्रफल के दोगुने के बराबर होता है और वेक्टर को वेक्टर द्वारा परिभाषित विमान के लंबवत निर्देशित किया जाता है ताकि यदि आप इस विमान को इसके अंत से देखें, तो बल की प्रवृत्ति होगी शरीर को बिंदु O के चारों ओर वामावर्त घुमाने के लिए। आमतौर पर एक वेक्टर को एक बिंदु पर लागू माना जाता है। यदि बल शून्य से भिन्न है, तो सदिश क्षण तभी शून्य के बराबर होता है जब बिंदु O बल की क्रिया की रेखा पर स्थित हो। इकाइयों की एसआई प्रणाली में, एक बिंदु के सापेक्ष बल के क्षण का आयाम बराबर होता है

वेक्टर टॉर्क की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि बल को उसकी क्रिया की रेखा के साथ ले जाया जाए तो यह नहीं बदलता है। दरअसल, इस मामले में वैक्टर द्वारा परिभाषित विमान इसे नहीं बदलता है

अंतरिक्ष में स्थान, और इन सदिशों पर बने त्रिभुज का क्षेत्रफल नहीं बदलता (चित्र 89)।

इस गुण से यह निष्कर्ष निकलता है कि एक बिंदु के सापेक्ष एक वेक्टर के क्षण की अवधारणा एक स्लाइडिंग वेक्टर की अवधारणा से निकटता से संबंधित है।

बल का बीजगणितीय क्षण

यदि एक ही तल में स्थित बलों या बलों की एक समतल प्रणाली पर विचार किया जाता है, तो बल के बीजगणितीय क्षण की अवधारणा को पेश करना उचित है।

सदिश क्षण का मापांक, जैसा कि दर्शाया गया है, सदिशों पर बने त्रिभुज के क्षेत्रफल के दोगुने के बराबर है, यदि सदिशों के बीच का कोण a के बराबर है

लेकिन काम

बिंदु O से बल की क्रिया की रेखा पर डाले गए लम्ब की लंबाई को दर्शाता है। मात्रा को बिंदु O के सापेक्ष बल की भुजा कहा जाता है। आइए इसे वैक्टर और समन्वय अक्षों द्वारा परिभाषित विमान में रखें, जबकि z अक्ष इस विमान के लंबवत स्थित होगा (चित्र 90)। बल का बीजीय आघूर्ण बल भुजा और बल मापांक का गुणनफल है

बीजगणितीय क्षण का संकेत सकारात्मक होगा यदि, z अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ स्थित एक पर्यवेक्षक के लिए, बल बिंदु O के चारों ओर वामावर्त घूमने की प्रवृत्ति रखता है। अन्यथा, बीजगणितीय क्षण का चिह्न ऋणात्मक होगा।

अक्ष के परितः बल का आघूर्ण

एक बिंदु के बारे में बल के क्षण की अवधारणा एक अक्ष के बारे में बल के क्षण की अवधारणा से निकटता से संबंधित है।

एक अक्ष के चारों ओर बल का क्षण अक्ष पर एक मनमाना बिंदु के चारों ओर बल के क्षण का अक्ष पर प्रक्षेपण है।

इस परिभाषा को समझने के लिए, यह साबित करना आवश्यक है कि अक्ष के दो मनमाने बिंदुओं के सापेक्ष बल के क्षणों के अक्ष पर प्रक्षेपण बराबर हैं।

इसे सिद्ध करने के लिए, आइए अक्ष पर लंबवत एक विमान बनाएं (चित्र 91) और इस विमान पर एक वेक्टर प्रक्षेपित करें।

आइए हम अक्ष के साथ वेक्टर द्वारा बनाए गए कोण को निरूपित करें। फिर अक्ष के सापेक्ष वेक्टर का क्षण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

इसलिए, चूंकि मान अक्ष पर बिंदु O की स्थिति पर निर्भर नहीं करता है (चित्र 92), तो

अक्षीय क्षण निर्धारित करने वाला सूत्र आपको इसकी गणना के लिए एक ज्यामितीय नियम स्थापित करने की अनुमति देता है। यह नियम इस प्रकार है: अक्ष पर लंबवत एक विमान बनाएं, उस पर एक वेक्टर प्रक्षेपित करें

इस प्रक्षेपण से बने त्रिभुज का दोहरा क्षेत्रफल और समतल के साथ अक्ष का प्रतिच्छेदन बिंदु अक्षीय क्षण का परिमाण निर्धारित करता है।

क्षण का संकेत सकारात्मक होगा यदि, अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ स्थित एक पर्यवेक्षक के लिए, वेक्टर का प्रक्षेपण विमान के साथ अक्ष के चौराहे के बिंदु के चारों ओर वामावर्त घूमने की प्रवृत्ति रखता है; यदि प्रक्षेपण दक्षिणावर्त घूमने की प्रवृत्ति रखता है, तो क्षण का संकेत नकारात्मक होगा।

अनुमानों के माध्यम से क्षण निर्धारित करने के सूत्र

निर्देशांक की उत्पत्ति को आमतौर पर बिंदु O के रूप में चुना जाता है, जिसके सापेक्ष स्लाइडिंग वेक्टर के क्षण की गणना की जाती है। फिर बल का क्षण निर्देशांक के मूल पर लागू किया जाएगा और अक्ष पर इसके प्रक्षेपण संबंधित अक्षीय क्षण होंगे। अक्षीय क्षण की गणना के लिए परिभाषा और ज्यामितीय नियम से यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि वेक्टर अक्ष के समानांतर है, या इसकी क्रिया रेखा अक्ष को काटती है तो यह शून्य के बराबर होगा। यदि बल उसके प्रक्षेपणों द्वारा दिया गया है और बल के अनुप्रयोग के बिंदु (या बस इस बिंदु के निर्देशांक) को परिभाषित करने वाले त्रिज्या वेक्टर के प्रक्षेपण ज्ञात हैं, तो बिंदु O के सापेक्ष वेक्टर का क्षण और क्षण

निर्देशांक अक्षों के सापेक्ष, जैसा कि पिछले एक से निम्नानुसार है, सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

अक्ष के परितः बल का आघूर्णइस तल के साथ अक्ष के प्रतिच्छेदन बिंदु के सापेक्ष, एक अक्ष के लंबवत समतल पर बल के प्रक्षेपण का क्षण है

किसी अक्ष के बारे में एक क्षण सकारात्मक होता है यदि बल अक्ष की ओर देखते समय विमान को अक्ष के लंबवत वामावर्त घुमाता है।

दो मामलों में अक्ष के चारों ओर बल का क्षण 0 है:

यदि बल अक्ष के समानांतर है

यदि बल अक्ष को पार करता है

यदि क्रिया रेखा और अक्ष एक ही तल में हों, तो अक्ष के परितः बल का आघूर्ण 0 के बराबर होता है।

27. किसी अक्ष के परितः बल आघूर्ण और किसी बिंदु के परितः सदिश बल आघूर्ण के बीच संबंध।

Mz(F)=Mo(F)*cosαअक्ष के सापेक्ष बल का क्षण इस अक्ष पर अक्ष के बिंदु के सापेक्ष बल के क्षण के वेक्टर के प्रक्षेपण के बराबर है।

28. किसी दिए गए केंद्र पर बलों की एक प्रणाली लाने के बारे में स्थैतिक का मुख्य प्रमेय (पॉइन्सॉट प्रमेय)। बलों की प्रणाली का मुख्य वेक्टर और मुख्य क्षण।

सामान्य स्थिति में, बलों की किसी भी स्थानिक प्रणाली को एक समतुल्य प्रणाली द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है जिसमें शरीर के कुछ बिंदु (कमी का केंद्र) पर लागू एक बल और बलों की इस प्रणाली के मुख्य वेक्टर के बराबर, और बलों की एक जोड़ी शामिल होती है , जिसका क्षण चयनित सम्मिलन केंद्र के सापेक्ष सभी बलों के मुख्य क्षण के बराबर है।

बल प्रणाली का मुख्य सदिशवेक्टर कहा जाता है आर, इन बलों के वेक्टर योग के बराबर:

आर = एफ 1 + एफ 2 + ... + एफएन= एफमैं।

बलों की एक समतल प्रणाली के लिए, इसका मुख्य वेक्टर इन बलों की कार्रवाई के तल में निहित होता है।

बलों की प्रणाली का मुख्य बिंदुकेंद्र O के सापेक्ष को सदिश कहा जाता है एल O, बिंदु O के सापेक्ष इन बलों के सदिश क्षणों के योग के बराबर:

एलओ= एमहे( एफ 1) + एमहे( एफ 2) + ... + एमहे( एफएन)= एमहे( एफमैं)।

वेक्टर आरकेंद्र O और वेक्टर की पसंद पर निर्भर नहीं करता है एलजब केंद्र की स्थिति बदलती है, तो O आमतौर पर बदल सकता है।

पॉइन्सॉट का प्रमेय: बलों की एक मनमानी स्थानिक प्रणाली को ठोस शरीर की स्थिति को परेशान किए बिना बल प्रणाली के मुख्य वेक्टर के साथ एक बल और एक मुख्य क्षण के साथ बलों की एक जोड़ी द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। मुख्य वेक्टर दर्शाता है ज्यामितीय योगसभी बल एक ठोस पिंड पर कार्य करते हैं और बलों की कार्रवाई के तल में स्थित होते हैं। मुख्य वेक्टर को समन्वय अक्षों पर इसके प्रक्षेपणों के माध्यम से माना जाता है।

किसी ठोस पिंड के किसी बिंदु पर लगाए गए बल को किसी दिए गए केंद्र में लाने के लिए, यह आवश्यक है: 1) बल के मापांक को बदले बिना बल को अपने समानांतर किसी दिए गए केंद्र में स्थानांतरित करें; 2) किसी दिए गए केंद्र पर, बलों की एक जोड़ी लागू करें, जिसका वेक्टर क्षण नए केंद्र के सापेक्ष स्थानांतरित बल के वेक्टर पल के बराबर है, इस जोड़ी को संलग्न जोड़ी कहा जाता है;

कमी के केंद्र की पसंद पर मुख्य क्षण की निर्भरता। कमी के नए केंद्र के बारे में मुख्य क्षण कमी के पुराने केंद्र के बारे में मुख्य क्षण के ज्यामितीय योग और मुख्य वेक्टर द्वारा कमी के नए केंद्र को पुराने के साथ जोड़ने वाले त्रिज्या वेक्टर के वेक्टर उत्पाद के बराबर है।

बलों की स्थानिक प्रणाली में कमी के 29 विशेष मामले

	प्रमुख वेक्टर और प्रमुख क्षण मान	कास्टिंग का परिणाम
		बलों की प्रणाली को बलों की एक जोड़ी में घटा दिया जाता है, जिसका क्षण मुख्य क्षण के बराबर होता है (बलों की प्रणाली का मुख्य क्षण कमी के केंद्र ओ की पसंद पर निर्भर नहीं होता है)।
		बलों की प्रणाली केंद्र O से गुजरने के बराबर परिणामी तक कम हो जाती है।
		बलों की प्रणाली मुख्य वेक्टर के बराबर और उसके समानांतर और उससे कुछ दूरी पर स्थित परिणामी तक कम हो जाती है। परिणामी की क्रिया रेखा की स्थिति ऐसी होनी चाहिए कि कमी के केंद्र O के सापेक्ष उसके क्षण की दिशा केंद्र O के सापेक्ष दिशा के साथ मेल खाती हो।
	, और सदिश लंबवत नहीं हैं	बलों की प्रणाली को एक डायना (पावर स्क्रू) में बदल दिया जाता है - बल का एक संयोजन और इस बल के लंबवत विमान में स्थित बलों की एक जोड़ी।
		किसी ठोस पिंड पर लागू बलों की प्रणाली संतुलित होती है।

30. गतिशीलता में कमी.यांत्रिकी में, गतिकी किसी ठोस पिंड पर कार्य करने वाले बलों और बलों के जोड़े () के ऐसे समूह को कहा जाता है, जिसमें बल बलों के जोड़े की कार्रवाई के तल के लंबवत होता है। बलों की एक जोड़ी के वेक्टर पल का उपयोग करके, हम गतिशीलता को एक बल और एक जोड़े के संयोजन के रूप में भी परिभाषित कर सकते हैं जिसका बल बलों की जोड़ी के वेक्टर पल के समानांतर है।

केंद्रीय पेचदार अक्ष का समीकरणआइए मान लें कि कमी के केंद्र पर, निर्देशांक की उत्पत्ति के रूप में लिया गया, समन्वय अक्षों पर प्रक्षेपण के साथ मुख्य वेक्टर और अनुमानों के साथ मुख्य क्षण प्राप्त होता है जब बलों की प्रणाली को कमी के केंद्र ओ 1 (चित्र) में लाया जाता है .30), मुख्य वेक्टर और मुख्य क्षण, वेक्टर और एक लिनामा बनाने के साथ एक डायना प्राप्त की जाती है। समानांतर हैं और इसलिए केवल अदिश कारक k 0 में भिन्न हो सकते हैं। हमारे पास मुख्य क्षण हैं और संबंध को संतुष्ट करते हैं

कुछ ताकतों का क्षण

किसी भी बिंदु (केंद्र) के सापेक्ष बल का क्षण एक वेक्टर है जो संख्यात्मक रूप से बल मापांक और भुजा के उत्पाद के बराबर होता है, अर्थात। निर्दिष्ट बिंदु से बल की कार्रवाई की रेखा तक की न्यूनतम दूरी तक, और चयनित बिंदु और बल की कार्रवाई की रेखा से गुजरने वाले विमान के लंबवत निर्देशित उस दिशा में जहां से चारों ओर बल द्वारा "घूर्णन" किया जाता है ऐसा प्रतीत होता है कि बिंदु वामावर्त घटित होता है। बल का क्षण इसकी घूर्णी क्रिया को दर्शाता है।

अगर के बारे में- वह बिंदु जिसके सापेक्ष बल का क्षण स्थित है एफ, तो बल के क्षण को प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है एम ओ (एफ). आइए हम दिखाते हैं कि यदि बल लगाने का बिंदु एफत्रिज्या वेक्टर द्वारा निर्धारित आर, तो संबंध वैध है

एम ओ (एफ)=आर×एफ. (3.6)

इस अनुपात के अनुसार बल का आघूर्ण सदिश के सदिश गुणनफल के बराबर होता हैवेक्टर एफ द्वारा आर.

वास्तव में, सदिश उत्पाद का मापांक बराबर होता है

एम ओ ( एफ)=आरएफपाप= एफ एच, (3.7)

कहाँ एच- ताकत का कंधा. यह भी ध्यान दें कि वेक्टर एम ओ (एफ)सदिशों से गुजरने वाले समतल के लंबवत निर्देशित आरऔर एफ, जिस दिशा से वेक्टर का सबसे छोटा मोड़ आता है आरवेक्टर की दिशा में एफवामावर्त घटित होता प्रतीत होता है। इस प्रकार, सूत्र (3.6) बल के क्षण के मापांक और दिशा को पूरी तरह से निर्धारित करता है एफ.

कभी-कभी प्रपत्र में सूत्र (3.7) लिखना उपयोगी होता है

एम ओ ( एफ)=2एस, (3.8)

कहाँ एस- एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ओएवी.

होने देना एक्स, य, जेडबल अनुप्रयोग बिंदु के निर्देशांक हैं, और एफ एक्स, वित्तीय वर्ष, Fz- समन्वय अक्षों पर बल का प्रक्षेपण। फिर अगर बात के बारे मेंमूल बिंदु पर स्थित है, बल का क्षण इस प्रकार व्यक्त किया गया है:

यह इस प्रकार है कि समन्वय अक्षों पर बल के क्षण का अनुमान सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:

एम बैल(एफ)=yF z -zF y,

एम ओए(एफ)=जेडएफ एक्स -एक्सएफ जेड ,

एम ओए(एफ)=एक्सएफ वाई -वाईएफ एक्स. (3.10)

आइए अब हम एक समतल पर बल के प्रक्षेपण की अवधारणा का परिचय दें।

ताकत दी जाए एफऔर कुछ विमान. आइए हम इस तल पर बल वेक्टर के आरंभ और अंत से लंब गिराएं।

किसी समतल पर बल का प्रक्षेपणबुलाया वेक्टर , जिसकी शुरुआत और अंत इस विमान पर बल की शुरुआत के प्रक्षेपण और अंत के प्रक्षेपण के साथ मेल खाता है।

यदि हम विमान को विचाराधीन विमान के रूप में लेते हैं xOy, फिर बल का प्रक्षेपण एफइस तल पर एक वेक्टर होगा एफxy.

शक्ति का क्षण एफxyबिंदु के सापेक्ष के बारे में(अक्ष प्रतिच्छेदन बिंदु जेडविमान के साथ xOy) यदि हम इसे लेते हैं, तो सूत्र (3.9) का उपयोग करके गणना की जा सकती है जेड=0, Fz=0. हम पाते हैं

एमहे(एफxy)=(एक्सएफ वाई -वाईएफ एक्स)क.

इस प्रकार, क्षण अक्ष के अनुदिश निर्देशित होता है जेड, और अक्ष पर इसका प्रक्षेपण जेडबल के क्षण के समान अक्ष पर प्रक्षेपण के साथ बिल्कुल मेल खाता है एफबिंदु के सापेक्ष के बारे में. दूसरे शब्दों में,

एम ओज़(एफ)=एम ओज़(एफxy)= एक्सएफ वाई -वाईएफ एक्स. (3.11)

जाहिर है, यदि हम बल प्रक्षेपित करें तो वही परिणाम प्राप्त किया जा सकता है एफकिसी अन्य समतल के समानांतर xOy. इस मामले में, अक्ष का प्रतिच्छेदन बिंदु जेडविमान के साथ अलग होगा (हम नए चौराहे बिंदु को निरूपित करते हैं के बारे में 1). हालाँकि, सभी मात्राएँ समानता के दाईं ओर शामिल हैं (3.11) एक्स, पर, एफ एक्स, एफ वाईअपरिवर्तित रहेगा, और इसलिए लिखा जा सकता है

एम ओज़(एफ)=एम ओ 1 जेड ( एफxy).

दूसरे शब्दों में, इस बिंदु से गुजरने वाली धुरी पर एक बिंदु के सापेक्ष बल के क्षण का प्रक्षेपण अक्ष पर बिंदु की पसंद पर निर्भर नहीं करता है . इसलिए, प्रतीक के बजाय, निम्नलिखित में क्या है एम ओज़(एफ) हम प्रतीक का उपयोग करेंगे एम ज़ेड(एफ). इस क्षण को प्रक्षेपण कहा जाता है अक्ष के चारों ओर बल का क्षण जेड. बल को प्रक्षेपित करके किसी अक्ष के चारों ओर बल के क्षण की गणना करना अक्सर अधिक सुविधाजनक होता है एफअक्ष के लंबवत समतल पर और मान की गणना करना एम ज़ेड(एफxy).

सूत्र (3.7) के अनुसार और प्रक्षेपण के संकेत को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

एम ज़ेड(एफ)=एम ज़ेड(एफxy)=± एफ एक्सवाई एच*. (3.12)

यहाँ एच*– ताकत का कंधा एफxyबिंदु के सापेक्ष के बारे में. यदि कोई पर्यवेक्षक z-अक्ष की सकारात्मक दिशा से देखता है कि बल एफxyशरीर को एक अक्ष के चारों ओर घुमाने की प्रवृत्ति होती है जेडवामावर्त, फिर "+" चिन्ह लिया जाता है, और अन्यथा "-" चिन्ह लिया जाता है।

सूत्र (3.12) अक्ष के चारों ओर बल के क्षण की गणना के लिए निम्नलिखित नियम बनाना संभव बनाता है। ऐसा करने के लिए आपको चाहिए:

· अक्ष पर एक मनमाना बिंदु चुनें और अक्ष पर लंबवत एक समतल बनाएं;

· इस तल पर एक बल प्रक्षेपित करें;

· बल प्रक्षेपण एच* की भुजा निर्धारित करें।

अक्ष के सापेक्ष बल का क्षण उसके कंधे पर बल के प्रक्षेपण के मापांक के उत्पाद के बराबर होता है, जिसे उपयुक्त चिह्न के साथ लिया जाता है (ऊपर बताए गए नियम देखें)।

सूत्र (3.12) से यह इस प्रकार है दो मामलों में अक्ष के चारों ओर बल का क्षण शून्य है:

· जब अक्ष के लंबवत समतल पर बल का प्रक्षेपण शून्य हो, अर्थात जब बल और अक्ष समानांतर हों ;

जब कंधे का प्रक्षेपण एच*शून्य के बराबर है, यानी जब क्रिया रेखा अक्ष को काटती है .

इन दोनों मामलों को एक में जोड़ा जा सकता है: किसी अक्ष के परितः बल का आघूर्ण शून्य होता है यदि और केवल यदि बल की क्रिया रेखा और अक्ष एक ही तल में हों .

कार्य 3.1.एक बिंदु के सापेक्ष गणना करें के बारे मेंशक्ति का क्षण एफ, मुद्दे पर लागू एऔर किनारे के साथ एक विकर्ण रूप से निर्देशित घन फलक ए.

ऐसी समस्याओं को हल करते समय, पहले बल के क्षणों की गणना करने की सलाह दी जाती है एफसमन्वय अक्षों के सापेक्ष एक्स, य, जेड. बिंदु निर्देशांक एबल का प्रयोग एफइच्छा

बल का प्रक्षेपण एफनिर्देशांक अक्षों पर:

इन मानों को समानताओं (3.10) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं

, , .

बल के क्षणों के लिए समान अभिव्यक्तियाँ एफनिर्देशांक अक्षों के सापेक्ष सूत्र (3.12) का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम बल डिज़ाइन करते हैं एफअक्ष के लंबवत समतल पर एक्सऔर पर. यह तो स्पष्ट है . ऊपर बताए गए नियम को लागू करने पर, हमें वैसी ही अभिव्यक्तियाँ प्राप्त होती हैं, जैसी कोई अपेक्षा करता है:

, , .

क्षण का मापांक समानता से निर्धारित होता है

आइए अब हम जोड़े के क्षण की अवधारणा का परिचय दें। आइए सबसे पहले यह पता लगाएं कि जोड़ी बनाने वाले बलों के क्षणों का योग एक मनमाना बिंदु के सापेक्ष कितना है। होने देना के बारे मेंअंतरिक्ष में एक मनमाना बिंदु है, और एफऔर एफ" -ताकतें जो जोड़ी बनाती हैं।

तब एम ओ (एफ)= ओए × एफ, एम ओ (एफ")= ओबी × एफ",

एम ओ (एफ)+ एम ओ (एफ")= ओए × एफ+ ओबी × एफ",

लेकिन फिर एफ= -एफ", वह

एम ओ (एफ)+ एम ओ (एफ")= ओए × एफ- ओबी × एफ=(ओए-ओबी)× एफ.

समानता को ध्यान में रखते हुए ओए-ओबी=बीए , हम अंततः पाते हैं:

एम ओ (एफ)+ एम ओ (एफ")= वी.ए × एफ.

इस तरह, जोड़ी बनाने वाले बलों के क्षणों का योग उस बिंदु की स्थिति पर निर्भर नहीं करता है जिसके सापेक्ष क्षण लिए गए हैं .

वेक्टर कलाकृति वी.ए × एफऔर कहा जाता है युगल क्षण . जोड़े के क्षण को प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है एम(एफ, एफ"), और

एम(एफ, एफ")=वी.ए × एफ= अब × एफ",

या, संक्षेप में,

एम=वी.ए × एफ= अब × एफ". (3.13)

इस समानता के सही पक्ष पर विचार करते हुए, हम उस पर ध्यान देते हैं जोड़े का क्षण एक सदिश है, विमान के लंबवतएक जोड़ी का, जोड़ी की भुजा द्वारा एक जोड़ी के एक बल के मापांक के उत्पाद के बराबर मापांक (यानी, जोड़ी बनाने वाली ताकतों की कार्रवाई की रेखाओं के बीच की सबसे छोटी दूरी) और जिस दिशा में निर्देशित किया जाता है जोड़ी का "रोटेशन" वामावर्त होता हुआ देखा जाता है . अगर एच- फिर जोड़ी का कंधा एम(एफ, एफ")=एच×एफ.

परिभाषा से ही यह स्पष्ट है कि बलों की एक जोड़ी का क्षण एक मुक्त वेक्टर है, जिसकी क्रिया की रेखा परिभाषित नहीं है (इस टिप्पणी के लिए अतिरिक्त औचित्य इस अध्याय के प्रमेय 2 और 3 से मिलता है)।

बलों की एक जोड़ी को एक संतुलित प्रणाली (शून्य के बराबर बलों की एक प्रणाली) बनाने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि जोड़ी का क्षण शून्य के बराबर हो। वास्तव में, यदि किसी जोड़े का क्षण शून्य है, एम=एच×एफ, तो कोई एफ=0, यानी कोई ताकत नहीं, या जोड़े का कंधा नहीं एचशून्य के बराबर है. लेकिन इस मामले में, जोड़ी की ताकतें एक सीधी रेखा में कार्य करेंगी; चूँकि वे मापांक में समान हैं और विपरीत दिशाओं में निर्देशित हैं, तो, अभिगृहीत 1 के आधार पर, वे एक संतुलित प्रणाली बनाएंगे। इसके विपरीत, यदि दो बल एफ 1और एफ 2, एक जोड़ी बनाते हुए, संतुलित होते हैं, फिर, उसी सिद्धांत 1 के आधार पर, वे एक सीधी रेखा में कार्य करते हैं। लेकिन इस मामले में जोड़ी का उत्तोलन एचशून्य के बराबर है और इसलिए एम=एच×एफ=0.

युग्म प्रमेय

आइए हम तीन प्रमेय सिद्ध करें जिनकी सहायता से युग्मों का समतुल्य परिवर्तन संभव हो पाता है। सभी विचारों में यह याद रखना चाहिए कि वे किसी एक ठोस शरीर पर अभिनय करने वाले जोड़ों को संदर्भित करते हैं।

प्रमेय 1. एक ही तल में पड़े दो युग्मों को एक ही तल में पड़े एक युग्म से प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जिसका क्षण इन दोनों युग्मों के क्षणों के योग के बराबर होगा।

इस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, दो युग्मों पर विचार करें ( एफ 1,एफ" 1) और ( एफ 2,एफ" 2) और सभी बलों के अनुप्रयोग के बिंदुओं को उनकी कार्रवाई की रेखाओं के साथ बिंदुओं पर ले जाएं एऔर मेंक्रमश। अभिगृहीत 3 के अनुसार बलों को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है

आर=एफ 1+एफ 2और आर"=एफ" 1+एफ" 2,

लेकिन एफ 1=-एफ" 1और एफ 2=-एफ" 2.

इस तरह, आर=-आर", अर्थात। ताकत आरऔर आर"एक जोड़ी बनाओ. आइए सूत्र (3.13) का उपयोग करके इस जोड़ी का क्षण ज्ञात करें:

एम=एम(आर, आर")=वीए×आर= वीए× (एफ 1+एफ 2)=वीए×एफ 1+वीए×एफ 2. (3.14)

जब जोड़ी बनाने वाली ताकतों को उनकी कार्रवाई की रेखाओं के साथ स्थानांतरित किया जाता है, तो न तो कंधे और न ही जोड़ी के घूमने की दिशा बदलती है, इसलिए, जोड़ी का क्षण भी नहीं बदलता है। मतलब,

बीए×एफ 1 =एम(एफ 1,एफ" 1)=एम 1, वीए×एफ 2 = एम(एफ 2,एफ" 2)=एम 2

और सूत्र (3.14) रूप लेता है

एम=एम 1 +एम 2, (3.15)

जो ऊपर दिए गए प्रमेय की वैधता को सिद्ध करता है।

आइए हम इस प्रमेय पर दो टिप्पणियाँ करें।

1. जोड़े बनाने वाली ताकतों की कार्य रेखाएं समानांतर हो सकती हैं। इस मामले में प्रमेय वैध रहता है, लेकिन इसे सिद्ध करने के लिए समानांतर बलों के योग के नियम का उपयोग करना चाहिए।

2. जोड़ने के बाद ऐसा हो सकता है एम(आर, आर")=0; पहले की गई टिप्पणी के आधार पर, यह निष्कर्ष निकलता है कि दो जोड़ियों का संग्रह ( एफ 1,एफ" 1, एफ 2,एफ" 2)=0.

प्रमेय 2. दो जोड़े जिनमें ज्यामितीय रूप से समान क्षण होते हैं, समतुल्य होते हैं।

विमान में शरीर पर चलो मैंजोड़ा ( एफ 1,एफ" 1) पल के साथ एम 1. आइए हम दिखाते हैं कि इस जोड़ी को जोड़ी के साथ दूसरे से बदला जा सकता है ( एफ 2,एफ" 2), विमान में स्थित है द्वितीय, यदि केवल उसका क्षण एम 2के बराबर होती है एम 1(परिभाषा के अनुसार (1.1 देखें) इसका मतलब यह होगा कि जोड़े ( एफ 1,एफ" 1) और ( एफ 2,एफ" 2) समतुल्य हैं)। सबसे पहले, हम ध्यान दें कि विमान मैंऔर द्वितीयसमानांतर होना चाहिए, विशेष रूप से वे मेल खा सकते हैं। दरअसल, क्षणों की समानता से एम 1और एम 2(हमारे मामले में एम 1=एम 2) इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि क्षणों के लंबवत युग्मों की क्रिया के तल भी समानांतर होते हैं।

आइये एक नई जोड़ी का परिचय कराते हैं ( एफ 3,एफ"3) और इसे एक जोड़ी के साथ जोड़ दें ( एफ 2,एफ" 2) शरीर के लिए, दोनों जोड़ों को समतल में रखकर द्वितीय. ऐसा करने के लिए, अभिगृहीत 2 के अनुसार, आपको एक जोड़ी का चयन करना होगा ( एफ 3,एफ"3) पल के साथ एम 3ताकि बलों की लागू प्रणाली ( एफ 2,एफ" 2, एफ 3,एफ"3) संतुलित था. यह किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, इस प्रकार: रखो एफ 3=-एफ" 1और एफ"3=-एफ 1और इन बलों के अनुप्रयोग के बिंदुओं को अनुमानों के साथ संयोजित करें ए 1 और में 1 अंक एऔर मेंविमान के लिए द्वितीय. निर्माण के अनुसार, हमारे पास होगा: एम 3 = -एम 1या, यह देखते हुए एम 1 = एम 2,

एम 2 + एम 3 = 0.

पिछले प्रमेय की दूसरी टिप्पणी को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं ( एफ 2,एफ" 2, एफ 3,एफ"3)=0. इस प्रकार, जोड़े ( एफ 2,एफ" 2) और ( एफ 3,एफ"3) परस्पर संतुलित हैं और शरीर के प्रति उनका लगाव इसकी स्थिति (स्वयंसिद्ध 2) का उल्लंघन नहीं करता है, ताकि

(एफ 1,एफ" 1)= (एफ 1,एफ" 1, एफ 2,एफ" 2, एफ 3,एफ"3). (3.16)

दूसरी ओर, बल एफ 1और एफ 3, और एफ" 1और एफ"3एक दिशा में निर्देशित समानांतर बलों के योग के नियम के अनुसार जोड़ा जा सकता है। मापांक में, ये सभी बल एक दूसरे के बराबर हैं, इसलिए उनके परिणाम हैं आरऔर आर"इसे आयत के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर लागू किया जाना चाहिए एबीबी 1 ए 1 ; इसके अलावा, वे परिमाण में समान हैं और विपरीत दिशाओं में निर्देशित हैं। इसका मतलब यह है कि वे शून्य के बराबर एक प्रणाली का गठन करते हैं। इसलिए,

(एफ 1,एफ" 1, एफ 3,एफ"3)=(आर, आर")=0.

अब हम लिख सकते हैं

(एफ 1,एफ" 1, एफ 2,एफ" 2, एफ 3,एफ"3)=(एफ 3,एफ"3). (3.17)

संबंध (3.16) और (3.17) की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं ( एफ 1,एफ" 1)=(एफ 2,एफ" 2), जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता थी।

इस प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि बलों की एक जोड़ी को उसकी क्रिया के तल में स्थानांतरित किया जा सकता है, एक समानांतर तल में स्थानांतरित किया जा सकता है; अंत में, एक जोड़ी में आप एक साथ बलों और उत्तोलन को बदल सकते हैं, केवल जोड़ी के घूर्णन की दिशा और उसके क्षण के मापांक को बनाए रखते हुए ( एफ 1 एच 1 =एफ 2 एच 2).

निम्नलिखित में, हम ऐसे समतुल्य युग्म परिवर्तनों का व्यापक उपयोग करेंगे।

प्रमेय 3. प्रतिच्छेदी तलों में स्थित दो जोड़े एक जोड़े के बराबर होते हैं जिनका क्षण दिए गए दो जोड़ों के क्षणों के योग के बराबर होता है।

चलो जोड़े ( एफ 1,एफ" 1) और ( एफ 2,एफ" 2) प्रतिच्छेदी तलों में स्थित हैं मैंऔर द्वितीयक्रमश। प्रमेय 2 के परिणाम का उपयोग करते हुए, हम दोनों जोड़ियों को कंधे तक कम करते हैं अब, समतलों के प्रतिच्छेदन की रेखा पर स्थित है मैंऔर द्वितीय. आइए हम रूपांतरित युग्मों को ( प्रश्न 1,प्रश्न" 1) और ( प्रश्न 2,प्रश्न"2). इस मामले में, समानताएं संतुष्ट होनी चाहिए

एम 1 = एम(प्रश्न 1,प्रश्न" 1)=एम(एफ 1,एफ" 1) और एम 2 = एम(प्रश्न 2,प्रश्न"2)=एम(एफ 2,एफ" 2).

आइए, अभिगृहीत के अनुसार, बिंदुओं पर लगाए गए 3 बलों को जोड़ें एऔर मेंक्रमश। फिर हमें मिलता है आर=क्यू 1 +क्यू 2और आर"=क्यू" 1 +क्यू" 2. ध्यान में रख कर क्यू" 1 =-क्यू 1और क्यू" 2 = -क्यू 2, हम पाते हैं आर=-आर". इस प्रकार, हमने साबित कर दिया है कि दो जोड़ियों की एक प्रणाली एक जोड़ी के बराबर है ( आर,आर").

आइए उस क्षण को खोजें एमयह जोड़ा. सूत्र (3.13) के आधार पर हमारे पास है

एम(आर,आर")=वीए× (क्यू 1 + क्यू 2)=वीए×प्रश्न 1+ वीए×प्रश्न 2=

=एम(प्रश्न 1,प्रश्न" 1)+एम(प्रश्न 2,प्रश्न"2)=एम(एफ 1,एफ" 1)+एम(एफ 2,एफ" 2)

एम=एम 1 +एम 2,

वे। प्रमेय सिद्ध है.

ध्यान दें कि प्राप्त परिणाम समानांतर तलों में स्थित जोड़ियों के लिए भी मान्य है। प्रमेय 2 के अनुसार, ऐसे युग्मों को एक तल में घटाया जा सकता है, और प्रमेय 1 के अनुसार उन्हें एक युग्म से प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जिसका आघूर्ण घटक युग्मों के आघूर्णों के योग के बराबर होता है।

ऊपर सिद्ध युग्म प्रमेय हमें एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकालने की अनुमति देते हैं: युगल का क्षण एक मुक्त वेक्टर है और एक बिल्कुल कठोर शरीर पर युगल की क्रिया को पूरी तरह से निर्धारित करता है . वास्तव में, हम पहले ही साबित कर चुके हैं कि यदि दो जोड़ों के क्षण समान हैं (इसलिए, एक ही विमान में या समानांतर विमानों में स्थित हैं), तो वे एक दूसरे के बराबर हैं (प्रमेय 2)। दूसरी ओर, प्रतिच्छेदी तलों में स्थित दो जोड़े समतुल्य नहीं हो सकते, क्योंकि इसका मतलब यह होगा कि उनमें से एक और दूसरे के विपरीत जोड़ी शून्य के बराबर है, जो असंभव है, क्योंकि ऐसे जोड़ों के क्षणों का योग गैर-शून्य है।

इस प्रकार, जोड़े के क्षण की प्रस्तुत अवधारणा बेहद उपयोगी है, क्योंकि यह शरीर पर जोड़े की यांत्रिक क्रिया को पूरी तरह से प्रतिबिंबित करती है। इस अर्थ में, हम कह सकते हैं कि क्षण एक कठोर शरीर पर जोड़े की क्रिया को विस्तृत रूप से दर्शाता है।

विकृत निकायों के लिए, ऊपर उल्लिखित युग्मों का सिद्धांत लागू नहीं है। दो विपरीत जोड़े, उदाहरण के लिए, एक छड़ के सिरों पर अभिनय करते हुए, ठोस शरीर की स्थैतिक के दृष्टिकोण से शून्य के बराबर हैं। इस बीच, विकृत छड़ पर उनकी कार्रवाई इसके मरोड़ का कारण बनती है, और क्षण मॉड्यूल जितना अधिक होगा।

आइए स्थैतिक की पहली और दूसरी समस्याओं को हल करने के लिए आगे बढ़ें, जब केवल बलों के जोड़े शरीर पर कार्य करते हैं।

दो मामलों में अक्ष के चारों ओर बल का क्षण 0 है:

यदि बल अक्ष के समानांतर है

यदि बल अक्ष को पार करता है

27. किसी अक्ष के परितः बल आघूर्ण और किसी बिंदु के परितः सदिश बल आघूर्ण के बीच संबंध।

28. किसी दिए गए केंद्र पर बलों की एक प्रणाली लाने के बारे में स्थैतिक का मुख्य प्रमेय (पॉइन्सॉट प्रमेय)। बलों की प्रणाली का मुख्य वेक्टर और मुख्य क्षण।

आर = एफ 1 + एफ 2 + ... + एफएन= एफमैं।

एलओ= एमहे( एफ 1) + एमहे( एफ 2) + ... + एमहे( एफएन)= एमहे( एफमैं)।

पॉइन्सॉट का प्रमेय: बलों की एक मनमानी स्थानिक प्रणाली को ठोस शरीर की स्थिति को परेशान किए बिना बल प्रणाली के मुख्य वेक्टर के साथ एक बल और एक मुख्य क्षण के साथ बलों की एक जोड़ी द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। मुख्य वेक्टर एक ठोस पिंड पर कार्य करने वाले सभी बलों का ज्यामितीय योग है और बलों की कार्रवाई के तल में स्थित है। मुख्य वेक्टर को समन्वय अक्षों पर इसके प्रक्षेपणों के माध्यम से माना जाता है।

बलों की स्थानिक प्रणाली में कमी के 29 विशेष मामले

	प्रमुख वेक्टर और प्रमुख क्षण मान	कास्टिंग का परिणाम
		बलों की प्रणाली को बलों की एक जोड़ी में घटा दिया जाता है, जिसका क्षण मुख्य क्षण के बराबर होता है (बलों की प्रणाली का मुख्य क्षण कमी के केंद्र ओ की पसंद पर निर्भर नहीं होता है)।
		बलों की प्रणाली केंद्र O से गुजरने के बराबर परिणामी तक कम हो जाती है।
		बलों की प्रणाली मुख्य वेक्टर के बराबर और उसके समानांतर और उससे कुछ दूरी पर स्थित परिणामी तक कम हो जाती है। परिणामी की क्रिया रेखा की स्थिति ऐसी होनी चाहिए कि कमी के केंद्र O के सापेक्ष उसके क्षण की दिशा केंद्र O के सापेक्ष दिशा के साथ मेल खाती हो।
	, और सदिश लंबवत नहीं हैं	बलों की प्रणाली को एक डायना (पावर स्क्रू) में बदल दिया जाता है - बल का एक संयोजन और इस बल के लंबवत विमान में स्थित बलों की एक जोड़ी।
		किसी ठोस पिंड पर लागू बलों की प्रणाली संतुलित होती है।

प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

आइए हम बिंदु O 1 के निर्देशांक को निरूपित करें जिस पर गतिशीलता x, y, z के रूप में प्राप्त होती है। फिर निर्देशांक अक्षों पर वेक्टर के प्रक्षेपण निर्देशांक x, y, z के बराबर होते हैं। इसे देखते हुए, (*) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

जहां मैं। j ,k निर्देशांक अक्षों के इकाई सदिश हैं, और सदिश उत्पाद * को निर्धारक द्वारा दर्शाया जाता है। सदिश समीकरण(**) तीन अदिशों के बराबर है, जिन्हें त्यागने के बाद इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

निर्देशांक x, y, z के लिए परिणामी रैखिक समीकरण एक सीधी रेखा - केंद्रीय पेचदार अक्ष के समीकरण हैं। नतीजतन, उन बिंदुओं पर एक सीधी रेखा होती है, जहां बलों की प्रणाली गतिशीलता में बदल जाती है।