Kompleksni brojevi

Imaginarno I kompleksni brojevi. Apscisa i ordinata

kompleksni broj. Konjugirajte kompleksne brojeve.

Operacije sa kompleksnim brojevima. Geometrijski

predstavljanje kompleksnih brojeva. Kompleksna ravan.

Modul i argument kompleksnog broja. Trigonometrijski

oblik kompleksnog broja. Operacije sa kompleksom

brojevi u trigonometrijskom obliku. Moivreova formula.

Osnovne informacije o imaginarni I kompleksni brojevi date su u odjeljku “Zamišljeni i kompleksni brojevi”. Potreba za ovim brojevima novog tipa pojavila se prilikom rješavanja kvadratnih jednadžbi za slučajD< 0 (здесь D– diskriminatorno kvadratna jednačina). Dugo vremena ovi brojevi nisu našli fizičku primjenu, zbog čega su nazvani „imaginarni“ brojevi. Međutim, sada se vrlo široko koriste u različitim poljima fizike.

i tehnologija: elektrotehnika, hidro- i aerodinamika, teorija elastičnosti itd.

Kompleksni brojevi su napisane u obliku:a+bi. Evo a I b – realni brojevi , A i – imaginarna jedinica, tj. e. i 2 = –1. Broj a pozvao apscisa,a b – ordinatakompleksni broja + bi.Dva kompleksna brojaa+bi I a–bi su pozvani konjugirati kompleksni brojevi.

Glavni dogovori:

1. Realni brojAtakođe može biti napisan u formikompleksni broj:a+ 0 i ili a – 0 i. Na primjer, zapisi 5 + 0i i 5 – 0 iznači isti broj 5 .

2. Kompleksni broj 0 + bipozvao čisto imaginarno broj. Zapisbiznači isto što i 0 + bi.

3. Dva kompleksna brojaa+bi Ic + dismatraju se jednakim akoa = c I b = d. Inače kompleksni brojevi nisu jednaki.

Dodatak. Zbir kompleksnih brojevaa+bi I c + dinaziva se kompleksnim brojem (a+c ) + (b+d ) i.dakle, prilikom dodavanja kompleksni brojevi, njihove apscise i ordinate se dodaju posebno.

Ova definicija odgovara pravilima za operacije sa običnim polinomima.

Oduzimanje. Razlika dva kompleksna brojaa+bi(smanjen) i c + di(subtrahend) se naziva kompleksnim brojem (a–c ) + (b–d ) i.

dakle, Prilikom oduzimanja dva kompleksna broja, njihove apscise i ordinate se oduzimaju odvojeno.

Množenje. Proizvod kompleksnih brojevaa+bi I c + di naziva se kompleksnim brojem:

(ac–bd ) + (ad+bc ) i.Ova definicija proizilazi iz dva zahtjeva:

1) brojevi a+bi I c + dimora se množiti kao algebarski binomi,

2) broj iima glavno svojstvo:i 2 = – 1.

PRIMJER ( a+ bi )(a–bi) =a 2 + b 2 . dakle, rad

dva konjugirana kompleksna broja jednaka je realnom

pozitivan broj.

Division. Podijelite kompleksan broja+bi (djeljivo) drugimc + di(razdjelnik) - znači pronaći treći broje + f i(chat), koji kada se pomnoži sa djeliteljemc + di, rezultira dividendoma + bi.

Ako djelitelj nije nula, dijeljenje je uvijek moguće.

PRIMJER Pronađite (8 +i ) : (2 – 3 i) .

Rješenje Zapišimo ovaj omjer kao razlomak:

Množenjem brojioca i imenioca sa 2 + 3i

I Nakon što smo izvršili sve transformacije, dobijamo:

Geometrijski prikaz kompleksnih brojeva. Realni brojevi su predstavljeni tačkama na brojevnoj pravoj:

Ovdje je poenta Aznači broj –3, tačkaB– broj 2, i O- nula. Nasuprot tome, kompleksni brojevi su predstavljeni tačkama na koordinatnoj ravni. U tu svrhu biramo pravokutne (kartezijanske) koordinate sa istim razmjerima na obje ose. Zatim kompleksni broja+bi će biti predstavljena tačkom P sa apscisom a i ordinata b (vidi sliku). Ovaj koordinatni sistem se zove kompleksna ravan .

Modul kompleksni broj je dužina vektoraOP, koji predstavlja kompleksan broj na koordinati ( sveobuhvatan) avion. Modul kompleksnog brojaa+bi označeno | a+bi| ili pismo r

Razmotrimo kvadratnu jednačinu.

Hajde da odredimo njegove korene.

Ne postoji pravi broj čiji je kvadrat -1. Ali ako definiramo operator s formulom i kao imaginarna jedinica, onda se rješenje ove jednadžbe može zapisati kao . Gde I - kompleksni brojevi kod kojih je -1 pravi dio, 2 ili u drugom slučaju -2 imaginarni dio. Imaginarni dio je također realan broj. Zamišljeni dio pomnožen imaginarnom jedinicom znači već imaginarni broj.

Općenito, kompleksni broj ima oblik

z = x + iy ,

Gdje x, y– realni brojevi, – imaginarna jedinica. U nizu primijenjenih znanosti, na primjer, u elektrotehnici, elektronici, teoriji signala, imaginarna jedinica se označava sa j. Realni brojevi x = Re(z) I y =Ja sam(z) su pozvani stvarne i imaginarne dijelove brojevi z. Izraz se zove algebarski oblik pisanje kompleksnog broja.

Svaki pravi broj jeste poseban slučaj kompleksni broj u obliku . Imaginarni broj je takođe poseban slučaj kompleksnog broja .

Definicija skupa kompleksnih brojeva C

Ovaj izraz glasi kako slijedi: set WITH, koji se sastoji od elemenata tako da x I y pripadaju skupu realnih brojeva R i imaginarna je jedinica. Imajte na umu da itd.

Dva kompleksna broja I jednaki su ako i samo ako su im stvarni i imaginarni dijelovi jednaki, tj. i .

Kompleksni brojevi i funkcije se široko koriste u nauci i tehnologiji, posebno u mehanici, analizi kola i dizajnu. naizmjenična struja, analogna elektronika, teorija i obrada signala, teorija automatskog upravljanja i druge primijenjene nauke.

1. Aritmetika kompleksnih brojeva

Sabiranje dva kompleksna broja sastoji se od sabiranja njihovih realnih i imaginarnih dijelova, tj.

Prema tome, razlika dva kompleksna broja

Kompleksni broj pozvao sveobuhvatno konjugirati broj z =x+iy.

Kompleksni konjugirani brojevi z i z * razlikuju se po predznacima imaginarnog dijela. Očigledno je da

.

Svaka jednakost između složenih izraza ostaje važeća ako je svuda u ovoj jednakosti i zamijenjen sa - i, tj. idi na jednakost konjugiranih brojeva. Brojevi i I – i se algebarski ne razlikuju, jer .

Proizvod (množenje) dva kompleksna broja može se izračunati na sljedeći način:

Podjela dva kompleksna broja:

Primjer:

1. Kompleksna ravan

Kompleksni broj se može grafički predstaviti u pravougaonom koordinatnom sistemu. Definirajmo pravougaoni koordinatni sistem u ravni (x, y).

Na osi Ox postavićemo prave delove x, to se zove realna (realna) osa, na osi Oy– imaginarni dijelovi y kompleksni brojevi. To se zove imaginarne ose. U ovom slučaju, svaki kompleksni broj odgovara određenoj tački na ravni i takva se ravan naziva kompleksna ravan. Poenta A kompleksna ravan će odgovarati vektoru OA.

Broj x pozvao apscisa kompleksni broj, broj y – ordinate.

Par kompleksnih konjugiranih brojeva predstavljen je tačkama koje se nalaze simetrično oko realne ose.

Ako smo u avionu polarni koordinatni sistem, zatim svaki kompleksni broj z odlučan polarne koordinate. Gde modul brojevi je polarni radijus tačke i ugao - njegov polarni ugao ili argument kompleksnog broja z.

Modul kompleksnog broja uvijek nenegativna. Argument kompleksnog broja nije jednoznačno određen. Glavna vrijednost argumenta mora zadovoljiti uslov . Svaka tačka kompleksne ravni takođe odgovara opštoj vrednosti argumenta. Argumenti koji se razlikuju za višekratnik od 2π smatraju se jednakim. Broj nula argument je nedefiniran.

Glavna vrijednost argumenta određena je izrazima:

Očigledno je da

Gde
, .

Reprezentacija kompleksnih brojeva z as

pozvao trigonometrijski oblik kompleksni broj.

Primjer.

1. Demonstrativna forma kompleksni brojevi

Razgradnja u Maclaurin serija za realne argument funkcije ima oblik:

Za eksponencijalnu funkciju sa složenim argumentom z razgradnja je slična

.

Proširenje Maclaurinovog reda za eksponencijalnu funkciju imaginarnog argumenta može se predstaviti kao

Rezultirajući identitet se zove Ojlerova formula.

Za negativan argument ima oblik

Kombinacijom ovih izraza možete definirati sljedeće izraze za sinus i kosinus

.

Koristeći Ojlerovu formulu, iz trigonometrijskog oblika predstavljanja kompleksnih brojeva

dostupan indikativno(eksponencijalni, polarni) oblik kompleksnog broja, tj. njegov prikaz u obliku

,

Gdje - polarne koordinate tačke sa pravougaone koordinate (x,y).

Konjugat kompleksnog broja zapisuje se u eksponencijalnom obliku na sljedeći način.

Za eksponencijalni oblik, lako je odrediti sljedeće formule za množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva

To jest, u eksponencijalnom obliku, proizvod i podjela kompleksnih brojeva je jednostavniji nego u algebarskom obliku. Prilikom množenja moduli faktora se množe, a argumenti dodaju. Ovo pravilo se primjenjuje na bilo koji broj faktora. Konkretno, prilikom množenja kompleksnog broja z on i vektor z rotira suprotno od kazaljke na satu 90

Kod dijeljenja, modul brojila se dijeli sa modulom nazivnika, a argument nazivnika se oduzima od argumenta brojnika.

Koristeći eksponencijalni oblik kompleksnih brojeva, možemo dobiti izraze za dobro poznate trigonometrijske identitete. Na primjer, iz identiteta

koristeći Eulerovu formulu možemo napisati

Izjednačavanjem realnog i imaginarnog dijela u ovom izrazu, dobijamo izraze za kosinus i sinus zbira uglova

1. Potencije, korijeni i logaritmi kompleksnih brojeva

Podizanje kompleksnog broja na prirodni stepen n proizveden po formuli

Primjer. Hajde da izračunamo .

Zamislimo broj u trigonometrijskom obliku

’

Primjenjujući formulu eksponencijalnosti, dobivamo

Stavljanjem vrijednosti u izraz r= 1, dobijamo tzv Moivreova formula, pomoću kojih možete odrediti izraze za sinuse i kosinuse više uglova.

Root n-ti stepen kompleksnog broja z Ima n različite vrijednosti određene izrazom

Primjer. Hajde da ga nađemo.

Da bismo to učinili, izražavamo kompleksni broj () u trigonometrijskom obliku

.

Koristeći formulu za izračunavanje korijena kompleksnog broja, dobivamo

Logaritam kompleksnog broja z- ovo je broj w, za koji . Prirodni logaritam kompleksni broj ima beskonačan broj vrijednosti i izračunava se po formuli

Sastoji se od realnog (kosinus) i imaginarnog (sinusnog) dijela. Ovaj napon se može predstaviti kao vektor dužine Um, početna faza (ugao), rotirajući sa ugaonom brzinom ω .

Štoviše, ako se dodaju složene funkcije, onda se dodaju njihovi stvarni i imaginarni dijelovi. Ako se kompleksna funkcija pomnoži sa konstantnom ili realnom funkcijom, tada se njeni stvarni i imaginarni dijelovi množe istim faktorom. Diferencijacija/integracija tako složene funkcije svodi se na diferencijaciju/integraciju realnog i imaginarnog dijela.

Na primjer, razlikovanje složenog izraza stresa

je pomnožiti sa iω je realni dio funkcije f(z), i – imaginarni dio funkcije. primjeri: .

Značenje z je predstavljen tačkom u kompleksnoj z ravnini i odgovarajućom vrijednošću w- tačka u kompleksnoj ravni w. Kada se prikaže w = f(z) ravnih linija z transformisati u ravne linije w, figure jedne ravni u figure druge, ali se oblici linija ili figura mogu značajno promijeniti.

		Algebarski oblik pisanja kompleksnog broja........................................................ ........................ ...................
		Ravan kompleksnih brojeva.................................................. ...................... ................................ ................................ ...
		Kompleksni konjugirani brojevi.................................................. ................................................................... ..........................
	Operacije sa kompleksnim brojevima u algebarskom obliku.................................................. ......... ...
		Sabiranje kompleksnih brojeva.................................................. ........................................................ .................
		Oduzimanje kompleksnih brojeva.................................................. ................................................................... ........................
		Množenje kompleksnih brojeva.................................................. ........................................................ ...................
		Deljenje kompleksnih brojeva.................................................. ........................................................ ................ ...
	Trigonometrijski oblik pisanja kompleksnog broja.................................................. ......... .........
	Operacije sa kompleksnim brojevima u trigonometrijskom obliku........................................ .........
		Množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku................................................ ........
		Dijeljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku................................................... ........ ...
		Podizanje kompleksnog broja na pozitivan cijeli broj stepen........................................ ...........
		Izdvajanje korijena pozitivnog cjelobrojnog stepena iz kompleksnog broja..................................
		Podizanje kompleksnog broja na racionalni stepen........................................ ................... .....
		Složena serija ................................................. ................................................... ........................................
		Serija kompleksnih brojeva.................................................. ................................................................... ..........................
		Redovi snaga u kompleksnoj ravni ................................................. ........................................
		Dvostrano power series u kompleksnoj ravni ................................................. .....
		Funkcije kompleksne varijable ................................................. ........................................................
		Osnovne osnovne funkcije ................................................................ ........................................................ .
		Ojlerove formule ................................................................ ................................................... ........................................
		Eksponencijalni oblik predstavljanja kompleksnog broja........................................................ ...................... .
		Odnos između trigonometrijskih i hiperboličkih funkcija...................................
		Logaritamska funkcija ................................................................ ................................................... ......... ...
		Opće eksponencijalne i opće funkcije snage ................................................. ........ ...............
	Diferencijacija funkcija kompleksne varijable........................................................ ......... ...
		Cauchy-Riemannovi uslovi.................................................................. ........................................................ ........... ............
		Formule za izračunavanje izvoda.................................................. ........................................................
		Osobine operacije diferencijacije.................................................. ........................................................
		Svojstva realnog i imaginarnog dijela analitičke funkcije.................................

	Rekonstrukcija funkcije kompleksne varijable iz njene realne ili imaginarne
		Metoda br. 1. Korištenje integrala krive ................................................. ...... ......
		Metoda broj 2. Direktna primjena Cauchy-Riemannovih uslova...................................
		Metoda broj 3. Kroz derivaciju tražene funkcije ........................................ ........ .........
	Integracija funkcija kompleksne varijable ........................................ ......... .........
	Integralna Cauchy formula ................................................. ........................................................ ........... ...
	Proširenje funkcija u serijama Taylor i Laurent ........................................ ........................................................
	Nule i singularne tačke funkcije kompleksne varijable................................... ............. .....
		Nule funkcije kompleksne varijable.......................................................... ........................................................
		Izolirane singularne tačke funkcije kompleksne varijable ................................

14.3 Beskonačna tačka kao singularna tačka funkcije kompleksne varijable

	Odbici ................................................ ........................................................ ............................................................ ...
		Odbitak u završnoj tački ................................................. ........................................................ ............ ......
		Ostatak funkcije u tački u beskonačnosti ........................................ ........................................
	Izračunavanje integrala pomoću ostataka................................................ ........................................
	Pitanja za samotestiranje.................................................. ........................................................ ........................... ........
	Književnost ................................................................. ................................................................ ...... ...................................
	Predmetni indeks ................................................ ................................................................ ...... ..............

Predgovor

Pravilna raspodjela vremena i truda u pripremama za teorijske i praktične dijelove ispita ili modula je prilično teška, pogotovo zato što tokom sesije uvijek nema dovoljno vremena. I kao što praksa pokazuje, ne mogu se svi nositi s tim. Kao rezultat toga, neki studenti na ispitu tačno rješavaju zadatke, ali im je teško odgovoriti na najjednostavnija teorijska pitanja, dok drugi mogu formulirati teoremu, ali je ne mogu primijeniti.

Ove smernice za pripremu ispita iz predmeta „Teorija funkcija kompleksne varijable“ (TFCP) pokušaj su da se razreši ova kontradikcija i obezbedi istovremeno ponavljanje teorijskog i praktičnog materijala predmeta. Vođeni principom „Teorija bez prakse je mrtva, praksa bez teorije je slepa“, sadrže kako teorijske odredbe predmeta na nivou definicija i formulacija, tako i primere koji ilustruju primenu svakog datog teoretskog stava, i na taj način olakšavaju njegovo pamćenje i razumijevanje.

Svrha predloženog metodološke preporuke– pomoći studentu da se pripremi za ispit osnovni nivo. Drugim riječima, sastavljena je proširena radna knjižica koja sadrži glavne tačke koje se koriste u nastavi na kursu TFKP i koje su neophodne pri izvođenju zadaća i priprema za kontrolne događaje. Osim toga samostalan rad studentima, ova elektronska obrazovna publikacija može se koristiti za izvođenje nastave u interaktivnom obliku pomoću elektronske table ili za smještaj u sistem učenja na daljinu.

Napominjemo da ovo djelo ne zamjenjuje ni udžbenike ni bilješke sa predavanja. Za dubinsko proučavanje materijala, preporučuje se da se pozovete na relevantne odjeljke koje je objavio MSTU. N.E. Bauman osnovni udžbenik.

Na kraju priručnika nalazi se lista preporučene literature i predmetni indeks, koji uključuje sve što je istaknuto u tekstu bold italic uslovi. Indeks se sastoji od hiperlinkova na odeljke u kojima su ovi termini striktno definisani ili opisani i gde su dati primeri koji ilustruju njihovu upotrebu.

Priručnik je namijenjen studentima 2. godine svih fakulteta MSTU. N.E. Bauman.

1. Algebarski oblik pisanja kompleksnog broja

Zapis oblika z = x + iy, gdje su x, y realni brojevi, i je imaginarna jedinica (tj. i 2 = − 1)

naziva se algebarski oblik pisanja kompleksnog broja z. U ovom slučaju, x se naziva realnim dijelom kompleksnog broja i označava se Re z (x = Re z), y se naziva imaginarni dio kompleksnog broja i označava se Im z (y = Im z).

Primjer. Kompleksni broj z = 4 − 3i ima realni dio Re z = 4 i imaginarni dio Im z = − 3 .

2. Ravan kompleksnih brojeva

IN razmatraju se teorije funkcija kompleksne varijableravan kompleksnih brojeva, koji se označava ili slovima koji označavaju kompleksne brojeve z, w, itd.

Horizontalna os kompleksne ravni se naziva realna osa, na njega se postavljaju realni brojevi z = x + 0 i = x.

Vertikalna os kompleksne ravni naziva se imaginarna osa;

3. Kompleksni konjugirani brojevi

Zovu se brojevi z = x + iy i z = x − iy kompleksni konjugat. Na kompleksnoj ravni odgovaraju tačkama koje su simetrične u odnosu na realnu os.

4. Operacije sa kompleksnim brojevima u algebarskom obliku

4.1 Sabiranje kompleksnih brojeva

Zbir dva kompleksna broja

z 1 = x 1 + iy 1

i z 2 = x 2 + iy 2 se naziva kompleksnim brojem

z 1 + z 2

= (x 1 + iy 1 ) + (x 2 + iy 2 ) = (x 1 + x 2 ) + i (y 1 + y 2 ) .

operacija

dodatak

kompleksni brojevi je sličan operaciji sabiranja algebarskih binoma.

Primjer. Zbir dva kompleksna broja z 1 = 3 + 7i i z 2

= −1 +2 i

će biti kompleksan broj

z 1 + z 2 = (3 +7 i ) +(−1 +2 i ) = (3 −1 ) +(7 +2 ) i = 2 +9 i .

Očigledno,

ukupan iznos

konjugirati

je

pravi

z + z = (x + iy) + (x − iy) = 2 x = 2 Re z .

4.2 Oduzimanje kompleksnih brojeva

Razlika dva kompleksna broja z 1 = x 1 + iy 1

X 2 +iy 2

pozvao

sveobuhvatan

broj z 1 − z 2 = (x 1 + iy 1 ) − (x 2 + iy 2 ) = (x 1 − x 2 ) + i (y 1 − y 2 ) .

Primjer. Razlika dva kompleksna broja

z 1 = 3 −4 i

i z 2

= −1 +2 i

biće sveobuhvatan

broj z 1 − z 2 = (3 − 4i ) − (− 1+ 2i ) = (3 − (− 1) ) + (− 4 − 2) i = 4 − 6i .

Po razlici

kompleksni konjugat

je

z − z = (x + iy) − (x − iy) = 2 iy = 2 i Im z .

4.3 Množenje kompleksnih brojeva

Proizvod dva kompleksna broja

z 1 = x 1 + iy 1

i z 2 = x 2 + iy 2

naziva se složenim

z 1z 2 = (x 1 + iy 1 )(x 2 + iy 2 ) = x 1x 2 + iy 1x 2 + iy 2 x 1 + i 2 y 1 y 2

= (x 1x 2 − y 1 y 2 ) + i (y 1x 2 + y 2 x ) .

Dakle, operacija množenja kompleksnih brojeva slična je operaciji množenja algebarskih binoma, uzimajući u obzir činjenicu da je i 2 = − 1.

DEFINICIJA

Algebarski oblik kompleksnog broja je zapisivanje kompleksnog broja \(\z\) u obliku \(\z=x+i y\), gdje su \(\x\) i \(\y\) realni brojevi , \(\i\ ) - imaginarna jedinica koja zadovoljava relaciju \(\i^(2)=-1\)

Broj \(\ x \) se naziva realnim dijelom kompleksnog broja \(\ z \) i označava se sa \(\ x=\operatorname(Re) z \)

Broj \(\y\) naziva se imaginarni dio kompleksnog broja \(\z\) i označava se sa \(\y=\operatorname(Im) z\)

Na primjer:

Kompleksni broj \(\ z=3-2 i \) i njegov pridruženi broj \(\ \overline(z)=3+2 i \) zapisani su u algebarskom obliku.

Imaginarna veličina \(\ z=5 i \) je zapisana u algebarskom obliku.

Osim toga, ovisno o problemu koji rješavate, možete pretvoriti kompleksni broj u trigonometrijski ili eksponencijalni broj.

Zadatak

Zapišite broj \(\z=\frac(7-i)(4)+13\) u algebarskom obliku, pronađite njegove realne i imaginarne dijelove, kao i njegov konjugirani broj.

Rješenje.

Koristeći termin dijeljenje razlomaka i pravilo sabiranja razlomaka, dobijamo:

\(\z=\frac(7-i)(4)+13=\frac(7)(4)+13-\frac(i)(4)=\frac(59)(4)-\frac( 1)(4)i\)

Dakle, pravi dio kompleksnog broja \(\ z=\frac(5 g)(4)-\frac(1)(4) i \) je broj \(\ x=\operatorname(Re) z= \frac(59) (4) \) , imaginarni dio je broj \(\ y=\operatorname(Im) z=-\frac(1)(4) \)

Konjugirani broj: \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

Odgovori

\(\ z=\frac(59)(4)-\frac(1)(4) i \), \(\ \operatorname(Re) z=\frac(59)(4) \), \(\ \operatorname(Im) z=-\frac(1)(4) \), \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

Radnje kompleksnih brojeva u poređenju algebarskog oblika

Za dva kompleksna broja \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) se kaže da su jednaka ako \(\ x_(1)=x_(2) \), \(\ y_(1) )= y_(2) \) tj. Njihovi stvarni i imaginarni dijelovi su jednaki.

Zadatak

Odredi za koji su x i y dva kompleksna broja \(\ z_(1)=13+y i \) i \(\ z_(2)=x+5 i \) jednaka.

Rješenje

Po definiciji, dva kompleksna broja su jednaka ako su im realni i imaginarni dijelovi jednaki, tj. \(\x=13\), \(\y=5\).

Odgovor \(\x=13\), \(\y=5\)

dodatak

Sabiranje kompleksnih brojeva \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) vrši se direktnim sabiranjem realnog i imaginarnog dijela:

\(\ z_(1)+z_(2)=x_(1)+i y_(1)+x_(2)+i y_(2)=\left(x_(1)+x_(2)\desno) +i\lijevo(y_(1)+y_(2)\desno) \)

Zadatak

Pronađite zbir kompleksnih brojeva \(\ z_(1)=-7+5 i \), \(\ z_(2)=13-4 i \)

Rješenje.

Pravi dio kompleksnog broja \(\ z_(1)=-7+5 i \) je broj \(\ x_(1)=\operatorname(Re) z_(1)=-7 \), imaginarni dio je broj \( \ y_(1)=\mathrm(Im) \), \(\ z_(1)=5 \) . Realni i imaginarni dijelovi kompleksnog broja \(\ z_(2)=13-4 i \) jednaki su \(\ x_(2)=\operatorname(Re) z_(2)=13 \) i \( \ y_(2) odnosno )=\ime operatora(Im) z_(2)=-4 \) .

Dakle, zbir kompleksnih brojeva je:

\(\ z_(1)+z_(2)=\left(x_(1)+x_(2)\desno)+i\left(y_(1)+y_(2)\desno)=(-7+ 13)+i(5-4)=6+i \)

Odgovori

\(\ z_(1)+z_(2)=6+i \)

Više o dodavanju kompleksnih brojeva pročitajte u posebnom članku: Dodavanje kompleksnih brojeva.

Oduzimanje

Oduzimanje kompleksnih brojeva \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) i \(\z_(2)=x_(2)+i y_(2)\) vrši se direktnim oduzimanjem stvarni i izmišljeni dijelovi:

\(\ z_(1)-z_(2)=x_(1)+i y_(1)-\left(x_(2)+i y_(2)\desno)=x_(1)-x_(2) +\left(i y_(1)-i y_(2)\right)=\left(x_(1)-x_(2)\right)+i\left(y_(1)-y_(2)\right ) \)

Zadatak

pronađi razliku kompleksnih brojeva \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \)

Rješenje.

Pronađite stvarne i imaginarne dijelove kompleksnih brojeva \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \) :

\(\ x_(1)=\operatorname(Re) z_(1)=17, x_(2)=\operatorname(Re) z_(2)=15 \)

\(\ y_(1)=\operatorname(Im) z_(1)=-35, y_(2)=\operatorname(Im) z_(2)=5 \)

Dakle, razlika kompleksnih brojeva je:

\(\z_(1)-z_(2)=\left(x_(1)-x_(2)\right)+i\left(y_(1)-y_(2)\right)=(17-15 )+i(-35-5)=2-40 i \)

Odgovori

\(\ z_(1)-z_(2)=2-40 i \) množenje

Množenje kompleksnih brojeva \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) i \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) vrši se direktnim kreiranjem brojevi u algebarskom obliku uzimajući u obzir svojstvo imaginarne jedinice \(\i^(2)=-1\) :

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1)+i y_(1)\desno) \cdot\left(x_(2)+i y_(2)\right)=x_ (1) \cdot x_(2)+i^(2) \cdot y_(1) \cdot y_(2)+\left(x_(1) \cdot i y_(2)+x_(2) \cdot i y_(1)\desno)=\)

\(\ =\left(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\right)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) ) \cdot y_(1)\desno) \)

Zadatak

Pronađite proizvod kompleksnih brojeva \(\ z_(1)=1-5 i \)

Rješenje.

Kompleks kompleksnih brojeva:

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\desno)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) \cdot y_(1)\right)=(1 \cdot 5-(-5) \cdot 2)+i(1 \cdot 2+(-5) \cdot 5 )=15-23 i\)

Odgovori

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=15-23 i \) podjela

Faktor kompleksnih brojeva \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) i \(\z_(2)=x_(2)+i y_(2)\) određuje se množenjem brojilac i nazivnik konjugiranog broja sa nazivnikom:

\(\ \frac(z_(1))(z_(2))=\frac(x_(1)+i y_(1))(x_(2)+i y_(2))=\frac(\left (x_(1)+i y_(1)\desno)\lijevo(x_(2)-i y_(2)\desno))(\lijevo(x_(2)+i y_(2)\desno)\lijevo (x_(2)-i y_(2)\desno))=\frac(x_(1) \cdot x_(2)+y_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2) +y_(2)^(2))+i \frac(x_(2) \cdot y_(1)-x_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2)+y_(2 )^(2)) \)

Zadatak

Da podijelimo broj 1 sa kompleksnim brojem \(\z=1+2 i\).

Rješenje.

Pošto je imaginarni dio realnog broja 1 nula, faktor je:

\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1 \cdot 1)(1^(2)+2^(2))-i \frac(1 \cdot 2)(1^( 2)+2^(2))=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5)\)

Odgovori

\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5) \)

Plan lekcije.

1. Organizacioni momenat.

2. Prezentacija materijala.

3. Domaći.

4. Sumiranje lekcije.

Tokom nastave

I. Organizacioni momenat.

II. Prezentacija materijala.

Motivacija.

Proširenje skupa realnih brojeva sastoji se od dodavanja novih brojeva (imaginarnih) realnim brojevima. Uvođenje ovih brojeva je zbog nemogućnosti izdvajanja korijena negativnog broja u skupu realnih brojeva.

Uvod u pojam kompleksnog broja.

Imaginarni brojevi, kojima dopunjavamo realne brojeve, zapisuju se u obliku bi, Gdje i je imaginarna jedinica, i i 2 = - 1.

Na osnovu ovoga dobijamo sljedeću definiciju kompleksnog broja.

Definicija. Kompleksni broj je izraz oblika a+bi, Gdje a I b- pravi brojevi. U ovom slučaju su ispunjeni sljedeći uslovi:

a) Dva kompleksna broja a 1 + b 1 i I a 2 + b 2 i jednako ako i samo ako a 1 =a 2, b 1 = b 2.

b) Sabiranje kompleksnih brojeva određuje se pravilom:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

c) Množenje kompleksnih brojeva određuje se pravilom:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Algebarski oblik kompleksnog broja.

Zapisivanje kompleksnog broja u obrazac a+bi se naziva algebarski oblik kompleksnog broja, gdje A– pravi dio, bi je imaginarni dio, i b– pravi broj.

Kompleksni broj a+bi smatra se jednakim nuli ako su njegovi stvarni i imaginarni dijelovi jednaki nuli: a = b = 0

Kompleksni broj a+bi at b = 0 smatra se da se poklapa sa pravi broj a: a + 0i = a.

Kompleksni broj a+bi at a = 0 naziva se čisto imaginarnim i označava se bi: 0 + bi = bi.

Dva kompleksna broja z = a + bi I = a – bi, koji se razlikuju samo u predznaku imaginarnog dijela, nazivaju se konjugati.

Operacije nad kompleksnim brojevima u algebarskom obliku.

Sljedeće operacije možete izvesti nad kompleksnim brojevima u algebarskom obliku.

1) Dodatak.

Definicija. Zbir kompleksnih brojeva z 1 = a 1 + b 1 i I z 2 = a 2 + b 2 i naziva se kompleksnim brojem z, čiji je realni dio jednak zbiru realnih dijelova z 1 I z 2, a imaginarni dio je zbir imaginarnih dijelova brojeva z 1 I z 2, to je z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.

Brojevi z 1 I z 2 nazivaju terminima.

Sabiranje kompleksnih brojeva ima sljedeća svojstva:

1º. komutativnost: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

2º. asocijativnost: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Kompleksni broj –a –bi naziva suprotnost kompleksnom broju z = a + bi. Kompleksni broj, suprotan kompleksnom broju z, označeno -z. Zbir kompleksnih brojeva z I -z jednako nuli: z + (-z) = 0

Primjer 1: Izvršite sabiranje (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Oduzimanje.

Definicija. Oduzmite od kompleksnog broja z 1 kompleksni broj z 2 z,Šta z + z 2 = z 1.

Teorema. Razlika između kompleksnih brojeva postoji i jedinstvena je.

Primjer 2: Izvršite oduzimanje (4 – 2i) - (-3 + 2i).

(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.

3) Množenje.

Definicija. Proizvod kompleksnih brojeva z 1 =a 1 +b 1 i I z 2 =a 2 +b 2 i naziva se kompleksnim brojem z, definisana jednakošću: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

Brojevi z 1 I z 2 nazivaju faktori.

Množenje kompleksnih brojeva ima sljedeća svojstva:

1º. komutativnost: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. asocijativnost: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Distributivnost množenja u odnosu na sabiranje:

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2- pravi broj.

U praksi se množenje kompleksnih brojeva provodi po pravilu množenja zbira sa zbrojem i razdvajanja realnog i imaginarnog dijela.

U sljedećem primjeru ćemo razmotriti množenje kompleksnih brojeva na dva načina: po pravilu i množenjem zbira sa zbrojem.

Primjer 3: Uradite množenje (2 + 3i) (5 – 7i).

1 način. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.

Metoda 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) divizija.

Definicija. Podijelite kompleksan broj z 1 na kompleksan broj z 2, znači pronaći tako kompleksan broj z, Šta z · z 2 = z 1.

Teorema. Kvocijent kompleksnih brojeva postoji i jedinstven je ako z 2 ≠ 0 + 0i.

U praksi, količnik kompleksnih brojeva se nalazi množenjem brojnika i nazivnika konjugatom nazivnika.

Neka z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, Onda

.

U sljedećem primjeru ćemo izvršiti dijeljenje koristeći formulu i pravilo množenja brojem konjugiranim sa nazivnikom.

Primjer 4. Pronađite količnik .

5) Podizanje do pozitivne ukupne snage.

a) Potencije imaginarne jedinice.

Iskorištavanje jednakosti i 2 = -1, lako je definirati bilo koji pozitivan cijeli broj imaginarne jedinice. Imamo:

i 3 = i 2 i = -i,

i 4 = i 2 i 2 = 1,

i 5 = i 4 i = i,

i 6 = i 4 i 2 = -1,

i 7 = i 5 i 2 = -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1 itd.

Ovo pokazuje da je stepen vrijednosti i n, Gdje n– cela pozitivan broj, periodično se ponavlja kako se indikator povećava za 4 .

Dakle, da se poveća broj i na pozitivnu cjelinu, moramo eksponent podijeliti sa 4 i izgraditi i na stepen čiji je eksponent jednak ostatku dijeljenja.

Primjer 5: Izračunajte: (i 36 + i 17) i 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.

b) Dizanje kompleksnog broja na pozitivan cijeli broj vrši se prema pravilu za dizanje binoma na odgovarajući stepen, jer je to poseban slučaj množenja identičnih kompleksnih faktora.

Primjer 6: Izračunajte: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.