Ako je specificirano pravilo prema kojem je određeni broj u povezan sa svakom tačkom M ravni (ili nekim dijelom ravnine), onda kažu da je na ravni (ili na dijelu ravni) „funkcija tačke dato”; specifikacija funkcije je simbolički izražena jednakošću oblika u=f(M). Broj u povezan sa točkom M naziva se vrijednost ove funkcije u tački M. Na primjer, ako je A fiksna tačka na ravni, M je proizvoljna tačka, tada je udaljenost od A do M funkcija tačke M U ovom slučaju, f(m)=AM.

Neka je data neka funkcija u=f(M) i istovremeno uveden koordinatni sistem. Tada je proizvoljna tačka M određena koordinatama x, y. Prema tome, vrijednost ove funkcije u tački M određena je koordinatama x, y, ili, kako još kažu, u=f(M) je funkcija dvije varijable x i y. Funkcija dvije varijable x i y označena je simbolom f(x; y): ako je f(M)=f(x;y), onda se formula u=f(x; y) naziva izrazom ovog funkcija u odabranom koordinatnom sistemu. Dakle, u prethodnom primjeru f(M)=AM; ako uvedemo kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem sa ishodištem u tački A, dobićemo izraz za ovu funkciju:

u=sqrt(x^2 + y^2)

ZADATAK 3688 Zadana funkcija f (x, y)=x^2–y^2–16.

S obzirom na funkciju f (x, y)=x^2–y^2–16. Odredite izraz ove funkcije u novom koordinatnom sistemu ako su koordinatne ose rotirane za ugao od –45 stepeni.

Parametarske jednadžbe linija

Označimo koordinate određene tačke M slovima x i y; Razmotrimo dvije funkcije argumenta t:

x=φ(t), y=ψ(t) (1)

Kada se t promijeni, vrijednosti x i y će se, općenito govoreći, promijeniti, dakle, tačka M će se pomjeriti. Jednakosti (1) se nazivaju parametarske jednačine linija, što je putanja tačke M; argument t se naziva parametar. Ako se parametar t može isključiti iz jednakosti (1), onda dobijamo jednačinu putanje tačke M u obliku

Jednakost oblika F (x, y) = 0 naziva se jednadžba u dvije varijable x, y, ako nije tačno za sve parove brojeva x, y. Kažu dva broja x = x 0 , y=y 0, zadovoljiti neku jednačinu oblika F(x, y)=0, ako prilikom zamjene ovih brojeva umjesto varijabli X I at u jednačini njena lijeva strana nestaje.

Jednačina date prave (u određenom koordinatnom sistemu) je jednačina sa dvije varijable koju zadovoljavaju koordinate svake tačke koja leži na ovoj pravoj, a ne zadovoljavaju je koordinate svake tačke koja ne leži na njoj.

U nastavku, umjesto izraza „daje se jednačina prave F(x, y) = 0" često ćemo reći ukratko: data linija F (x, y) = 0.

Ako su date jednačine dvije prave F(x, y) = 0 I F(x, y) = Q, zatim zajedničko rješenje sistema

daje sve njihove presečne tačke. Tačnije, svaki par brojeva koji je zajedničko rješenje ovog sistema određuje jednu od tačaka presjeka.

*) U slučajevima kada koordinatni sistem nije imenovan, pretpostavlja se da je kartezijanski pravougaoni.

157. Bodovi se daju *) M 1 (2; - 2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M 6 (3; -2). Odredite koje objavljene tačke leže na pravoj definisanoj jednadžbom X+ y = 0, a koje ne leže na njemu. Koja je prava definisana ovom jednačinom? (Nacrtajte ga na crtežu.)

158. Na pravoj definisanoj jednačinom X 2 +y 2 =25, naći tačke čije su apscise jednake sledećim brojevima: a) 0, b) - 3, c) 5, d) 7; na istoj pravoj naći tačke čije su ordinate jednake sledećim brojevima: e) 3, f) - 5, g) - 8. Koja prava je određena ovom jednačinom? (Nacrtajte ga na crtežu.)

159. Odredi koje su prave određene sljedećim jednačinama (konstruiraj ih na crtežu):

1) x - y = 0; 2) x + y = 0; 3) x- 2 = 0; 4) x+ 3 = 0;

5) y - 5 = 0; 6) y+ 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0;

9) x 2 - xy = 0; 10) xy+ y 2 = 0; jedanaest) x 2 - y 2 = 0; 12) xy= 0;

13) y 2 - 9 = 0; 14) xy 2 - 8xy+15 = 0; 15) y 2 +5y+4 = 0;

16) X 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y =|x|; 18) x =|at|; 19)y + |x|=0;

20) x +|at|= 0; 21)y =|X- 1|; 22) y = |x+ 2|; 23) X 2 + at 2 = 16;

24) (x-2) 2 +(y-1) 2 =16; 25) (x+ 5) 2 +(y- 1) 2 = 9;

26) (X - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 +(y + 3) 2 = 1; 28) (x -3) 2 + y 2 = 0;

29) X 2 + 2y 2 = 0; 30) 2X 2 + 3y 2 + 5 = 0

31) (x- 2) 2 + (y + 3) 2 + 1=0.

160. Zadati redovi:

1)X+ y = 0; 2)x - y = 0; 3) x 2 + y 2 - 36 = 0;

4) x 2 +y 2 -2x==0; 5) x 2 +y 2 + 4x-6y-1 =0.

Odredi koji od njih prolazi kroz ishodište.

161. Dati redovi:

1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x- 3) 2 + (y+ 4) 2 = 25;

3) (x+ 6) 2 + (y - 3) 2 = 25; 4) ( x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9;

5) x 2 +y 2 - 12x + 16y = 0; 6) x 2 +y 2 - 2x + 8at+ 7 = 0;

7) x 2 +y 2 - 6x + 4y + 12 = 0.

Nađite njihove tačke preseka: a) sa osom Oh; b) sa osom OU.

162.Nađi tačke preseka dve prave;

1)X 2 +y 2 = 8, x-y = 0;

2) X 2 +y 2 -16x+4at+18 = 0, x + y= 0;

3) X 2 +y 2 -2x+4at -3 = 0, X 2 + y 2 = 25;

4) X 2 +y 2 -8x+10u+40 = 0, X 2 + y 2 = 4.

163. Tačke su date u polarnom koordinatnom sistemu

M 1 (1; ), M 2 (2; 0), M 3 (2; )

M 4 (
;) I M 5 (1; )

Odredite koje od ovih tačaka leže na pravoj definisanoj jednačinom u polarnim koordinatama  = 2 cos , a koje ne leže na njoj. Koja je prava određena ovom jednačinom? (Nacrtaj na crtežu :)

164. Na pravoj definisanoj jednačinom  = , pronađite tačke čiji su polarni uglovi jednaki sljedećim brojevima: a) ,b) - , c) 0, d) . Koja je prava definisana ovom jednačinom?

(Izgradite ga na crtežu.)

165.Na pravoj definisanoj jednačinom  = , pronađite tačke čiji su polarni radijusi jednaki sljedećim brojevima: a) 1, b) 2, c)
. Koja je prava definisana ovom jednačinom? (Izgradite ga na crtežu.)

166. Utvrdi koje su prave određene u polarnim koordinatama sljedećim jednačinama (konstruiraj ih na crtežu):

1)  = 5; 2)  = ; 3)  = ; 4)  cos  = 2; 5)  sin  = 1;

6)  = 6 cos ; 7)  = 10 sin ; 8) sin  = 9) sin  =

167. Konstruirajte sljedeće Arhimedove spirale na crtežu:

1)  = 5, 2)  = 5; 3)  = ; 4)r = -1.

168. Na crtežu konstruirajte sljedeće hiperboličke spirale:

1)  = ; 2) = ; 3) = ; 4) = - .

169. Na crtežu konstruirajte sljedeće logaritamske spirale:

,
.

170. Odredi dužine segmenata u koje seče Arhimedova spirala

zraka koja izlazi iz pola i nagnuta je prema polarnoj osi pod uglom
. Napravite crtež.

171. O Arhimedovoj spirali
tačka uzeta SA,čiji je polarni radijus 47. Odredi koliko dijelova ova spirala seče polarni polumjer tačke SA, Napravite crtež.

172. Na hiperboličnoj spirali
nađi tačku R,čiji je polarni radijus 12. Napravi crtež.

173. Na logaritamskoj spirali
nađi tačku Q čiji je polarni radijus 81. Nacrtaj.

Neka je na  ravni dati kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem Oxy i neka prava L.

Definicija. Jednačina F(x;y)=0 (1) pozvao jednačina linijeL(u odnosu na dati koordinatni sistem), ako ovu jednačinu zadovoljavaju koordinate x i y bilo koje tačke koja leži na pravoj L, a ne x i y koordinate bilo koje tačke koja ne leži na pravoj L.

To. linija u avionu je lokus tačaka (M(x;y)) čije koordinate zadovoljavaju jednačinu (1).

Jednačina (1) definira L liniju.

Primjer. Jednačina kružnice.

Krug– skup tačaka jednako udaljenih od date tačke M 0 (x 0,y 0).

Tačka M 0 (x 0,y 0) – centar kruga.

Za bilo koju tačku M(x;y) koja leži na kružnici, udaljenost MM 0 =R (R=const)

MM 0 ==R

(x-x 0 ) 2 +(oooh 0 ) 2 =R 2 –(2) – jednačina kružnice poluprečnika R sa centrom u tački M 0 (x 0,y 0).

Parametrijska jednadžba prave.

Neka x i y koordinate tačaka na pravoj L budu izražene pomoću parametra t:

(3) – parametarska jednačina linije u DSC-u

gdje su funkcije (t) i (t) kontinuirane u odnosu na parametar t (u određenom rasponu varijacije ovog parametra).

Isključujući parametar t iz jednačine (3), dobijamo jednačinu (1).

Razmotrimo pravu L kao putanju koju prelazi materijalna tačka koja se neprekidno kreće prema određenom zakonu. Neka varijabla t predstavlja vrijeme koje se računa od nekog početnog trenutka. Tada specifikacija zakona kretanja predstavlja specifikaciju koordinata x i y pokretne tačke kao neke kontinuirane funkcije x=(t) i y=(t) vremena t.

Primjer. Izvedemo parametarsku jednačinu za krug poluprečnika r>0 sa centrom u početku. Neka je M(x,y) proizvoljna tačka ove kružnice, a t ugao između vektora radijusa i ose Ox, računajući suprotno od kazaljke na satu.

Tada je x=r cos x y=r sin t. (4)

Jednačine (4) su parametarske jednačine kruga koji se razmatra. Parametar t može uzeti bilo koju vrijednost, ali da bi tačka M(x,y) jednom obišla krug, opseg promjene parametra je ograničen na polusegment 0t2.

Kvadriranjem i sabiranjem jednačina (4) dobijamo opštu jednačinu kružnice (2).

2. Polarni koordinatni sistem (psc).

Odaberimo L os ( polarnu os) i odredi tačku ove ose O ( pole). Svaka tačka na ravni je jednoznačno definisana polarnim koordinatama ρ i φ, gde je

ρ – polarni radijus, jednako rastojanju od tačke M do pola O (ρ≥0);

φ – ugao između pravca vektora OM i L osa ( polarni ugao). M(ρ ; φ )

Jednačina linije u UCS može se napisati:

ρ=f(φ) (5) eksplicitna jednadžba linije u UCS

F=(ρ; φ) (6) jednadžba implicitne linije u UCS

Odnos kartezijanskih i polarnih koordinata tačke.

(x;y) (ρ ; φ ) Iz trougla OMA:

tan φ=(obnavljanje uglaφ prema poznatomnastaje tangentauzimajući u obzir u kom se kvadrantu nalazi tačka M).(ρ ; φ )(x;y). x=ρcosφ,y=ρsinφ

Primjer . Pronađite polarne koordinate tačaka M(3;4) i P(1;-1).

Za M:=5, φ=arctg (4/3). Za P: ρ=; φ=Π+arctg(-1)=3Π/4.

Klasifikacija ravnih linija.

Definicija 1. Linija se zove algebarski, ako u nekom Dekartovom pravougaonom koordinatnom sistemu, ako je definisan jednačinom F(x;y)=0 (1), u kojoj je funkcija F(x;y) algebarski polinom.

Definicija 2. Svaka nealgebarska linija se zove transcendentalno.

Definicija 3. Algebarska linija se zove red redan, ako je u nekom Dekartovom pravougaonom koordinatnom sistemu ova prava određena jednačinom (1), u kojoj je funkcija F(x;y) algebarski polinom n-tog stepena.

Dakle, prava n-tog reda je prava definisana u nekom Dekartovom pravougaonom sistemu algebarskom jednačinom stepena n sa dve nepoznate.

Sljedeća teorema doprinosi utvrđivanju ispravnosti definicija 1,2,3.

Teorema(dokument na str. 107). Ako je prava u nekom Dekartovom pravougaonom koordinatnom sistemu određena algebarskom jednačinom stepena n, onda je ova prava u bilo kom drugom Dekartovom pravougaonom koordinatnom sistemu određena algebarskom jednačinom istog stepena n.

Cilj: Razmotrite koncept prave na ravni, navedite primjere. Na osnovu definicije prave uvesti pojam jednačine prave na ravni. Razmotrite vrste pravih linija, navedite primjere i metode definiranja prave linije. Ojačati sposobnost prevođenja jednačine prave linije iz opšteg oblika u jednačinu prave „u segmentima“, sa ugaonim koeficijentom.

1. Jednačina prave na ravni.
2. Jednačina prave linije na ravni. Vrste jednadžbi.
3. Metode za određivanje prave linije.

1. Neka su x i y dvije proizvoljne varijable.

Definicija: Poziva se relacija oblika F(x,y)=0 jednačina , ako nije tačno ni za jedan par brojeva x i y.

Primjer: 2x + 7y – 1 = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0.

Ako jednakost F(x,y)=0 vrijedi za bilo koje x, y, onda je, dakle, F(x,y) = 0 identitet.

Primjer: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0

Kažu da su brojevi x 0, a y 0 zadovoljiti jednačinu , ako se prilikom njihove zamjene u ovu jednačinu ona pretvori u pravu jednakost.

Najvažniji koncept analitičke geometrije je koncept jednačine prave.

Definicija: Jednačina date prave je jednačina F(x,y)=0, koju zadovoljavaju koordinate svih tačaka koje leže na ovoj pravoj, a ne zadovoljavaju je koordinate bilo koje tačke koje ne leže na ovoj pravoj.

Prava definisana jednačinom y = f(x) naziva se graf od f(x). Varijable x i y se nazivaju trenutne koordinate, jer su koordinate promjenljive tačke.

Neki primjeri definicije linija.

1) x – y = 0 => x = y. Ova jednadžba definira pravu liniju:

2) x 2 - y 2 = 0 => (x-y)(x+y) = 0 => tačke moraju zadovoljiti ili jednačinu x - y = 0, ili jednačinu x + y = 0, što na ravni odgovara par pravih linija koje se seku koje su simetrale koordinatnih uglova:

3) x 2 + y 2 = 0. Ovu jednačinu zadovoljava samo jedna tačka O(0,0).

2. definicija: Bilo koja prava linija na ravni može se odrediti jednadžbom prvog reda

Ax + Wu + C = 0,

Štaviše, konstante A i B nisu u isto vrijeme jednake nuli, tj. A 2 + B 2 ¹ 0. Ova jednačina prvog reda se zove opšta jednačina prave linije.

Ovisno o vrijednostima konstanti A, B i C, mogući su sljedeći posebni slučajevi:

C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 – prava prolazi kroz početak

A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 (By + C = 0) - prava linija paralelna sa osom Ox

B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) – prava paralelna sa Oy osom

B = C = 0, A ¹ 0 – prava linija se poklapa sa Oy osom

A = C = 0, B ¹ 0 – prava linija se poklapa sa osom Ox

Jednačina prave linije može se predstaviti u različitim oblicima u zavisnosti od bilo kojeg datog početnog uslova.

Jednačina prave linije sa ugaonim koeficijentom.

Ako se opšta jednačina prave Ax + By + C = 0 svede na oblik:

i označimo , tada se rezultirajuća jednačina zove jednačina prave linije sa nagibom k.

Jednačina prave linije u segmentima.

Ako u opštoj jednačini prave Ah + Vu + S = 0 S ¹ 0, onda, dijeljenjem sa –S, dobijamo: ili , gdje je

Geometrijsko značenje koeficijenata je da koeficijent A je koordinata tačke preseka linije sa Ox osom, i b– koordinata tačke preseka prave sa Oy osom.

Normalna jednadžba prave.

Ako su obje strane jednadžbe Ax + By + C = 0 podijeljene brojem tzv normalizujući faktor, onda dobijamo

xcosj + ysinj - p = 0 – normalna jednačina prave.

Predznak ± faktora normalizacije mora biti odabran tako da je m×S< 0.

p je dužina okomice spuštene od početka do prave linije, a j je ugao formiran ovom okomom sa pozitivnim smjerom ose Ox.

3. Jednadžba prave linije koristeći tačku i nagib.

Neka je ugaoni koeficijent prave jednak k, prava prolazi kroz tačku M(x 0, y 0). Tada se jednačina prave linije nalazi po formuli: y – y 0 = k(x – x 0)

Jednadžba prave koja prolazi kroz dvije tačke.

Neka su u prostoru date dvije tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), tada je jednadžba prave koja prolazi kroz ove tačke:

Ako je bilo koji od nazivnika nula, odgovarajući brojnik treba postaviti jednak nuli.

Na ravni, jednadžba ravne linije koja je gore napisana je pojednostavljena:

ako je x 1 ¹ x 2 i x = x 1, ako je x 1 = x 2.

Razlomak = k se naziva nagib ravno.

Jednakost oblika F(x, y) = 0 naziva se jednačina sa dvije varijable x, y ako nije tačna za sve parove brojeva x, y. Kažu da dva broja x = x 0, y = y 0 zadovoljavaju neku jednačinu oblika F(x, y) = 0 ako pri zamjeni ovih brojeva umjesto varijabli x i y u jednačinu njena lijeva strana postane nula .

Jednačina date prave (u određenom koordinatnom sistemu) je jednačina sa dvije varijable koju zadovoljavaju koordinate svake tačke koja leži na ovoj pravoj, a ne zadovoljavaju je koordinate svake tačke koja ne leži na njoj.

U daljem tekstu, umesto izraza „data je jednačina prave F(x, y) = 0“, često ćemo reći kraće: data je prava F(x, y) = 0.

Ako su date jednadžbe dvije prave: F(x, y) = 0 i F(x, y) = 0, tada je zajedničko rješenje sistema

F(x,y) = 0, F(x, y) = 0

daje sve njihove presečne tačke. Tačnije, svaki par brojeva koji je zajedničko rješenje ovog sistema određuje jednu od presječnih tačaka,

157. Zadati bodovi *) M 1 (2; -2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M 6 (3; -2). Odredite koje od datih tačaka leže na pravoj definisanoj jednadžbom x + y = 0, a koje ne leže na njoj. Koja je prava definisana ovom jednačinom? (Nacrtajte ga na crtežu.)

158. Na pravoj definisanoj jednačinom x 2 + y 2 = 25 pronaći tačke čije su apscise jednake brojevima: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; na istoj pravoj naći tačke čije su ordinate jednake brojevima: 5) 3, 6) -5, 7) -8. Koja je prava definisana ovom jednačinom? (Nacrtajte ga na crtežu.)

159. Odredi koje su prave određene sljedećim jednačinama (konstruiraj ih na crtežu): 1)x - y = 0; 2) x + y = 0; 3) x - 2 = 0; 4)x + 3 = 0; 5) y - 5 = 0; 6) y + 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0; 9) x 2 - xy = 0; 10) xy + y 2 = 0; 11) x 2 - y 2 = 0; 12) xy = 0; 13) y 2 - 9 = 0; 14) x 2 - 8x + 15 = 0; 15) y 2 + by + 4 = 0; 16) x 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y - |x|; 18) x - |y|; 19) y + |x| = 0; 20) x + |y| = 0; 21) y = |x - 1|; 22) y = |x + 2|; 23) x 2 + y 2 = 16; 24) (x - 2) 2 + (y - 1) 2 = 16; 25 (x + 5) 2 + (y-1) 2 = 9; 26) (x - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 + (y + 3) 2 = 1; 28) (x - 3) 2 + y 2 = 0; 29) x 2 + 2y 2 = 0; 30) 2x 2 + 3y 2 + 5 = 0; 31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.

160. Zadate prave: l)x + y = 0; 2)x - y = 0; 3)x 2 + y 2 - 36 = 0; 4) x 2 + y 2 - 2x + y = 0; 5) x 2 + y 2 + 4x - 6y - 1 = 0. Odredi koji od njih prolazi kroz ishodište.

161. Zadate prave: 1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x - 3) 2 + (y + 4) 2 = 25; 3) (x + 6) 2 + (y - Z) 2 = 25; 4) (x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9; 5) x 2 + y 2 - 12x + 16y - 0; 6) x 2 + y 2 - 2x + 8y + 7 = 0; 7) x 2 + y 2 - 6x + 4y + 12 = 0. Pronađite njihove tačke preseka: a) sa osom Ox; b) sa Oy osom.

162. Pronađite presečne tačke dve prave:

1) x 2 + y 2 - 8; x - y =0;

2) x 2 + y 2 - 16x + 4y + 18 = 0; x + y = 0;

3) x 2 + y 2 - 2x + 4y - 3 = 0; x 2 + y 2 = 25;

4) x 2 + y 2 - 8y + 10y + 40 = 0; x 2 + y 2 = 4.

163. U polarnom koordinatnom sistemu tačke M 1 (l; π/3), M 2 (2; 0), M 3 (2; π/4), M 4 (√3; π/6) i M 5 (1; 2/3π). Odredite koje od ovih tačaka leže na pravoj definisanoj u polarnim koordinatama jednačinom p = 2cosΘ, a koje ne leže na njoj. Koja je prava određena ovom jednačinom? (Nacrtajte ga na crtežu.)

164. Na pravoj definisanoj jednačinom p = 3/cosΘ pronaći tačke čiji su polarni uglovi jednaki sledećim brojevima: a) π/3, b) - π/3, c) 0, d) π/6. Koja je prava definisana ovom jednačinom? (Izgradite ga na crtežu.)

165. Na pravoj definisanoj jednačinom p = 1/sinΘ pronađi tačke čiji su polarni poluprečniki jednaki sledećim brojevima: a) 1 6) 2, c) √2. Koja je prava definisana ovom jednačinom? (Izgradite ga na crtežu.)

166. Utvrdi koje su prave određene u polarnim koordinatama sljedećim jednačinama (konstruiraj ih na crtežu): 1) p = 5; 2) Θ = π/2; 3) Θ = - π/4; 4) p cosΘ = 2; 5) p sinΘ = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) p = 10 sinΘ; 8) sinΘ = 1/2; 9) sinp = 1/2.

167. Konstruišite sledeće Arhimedove spirale na crtežu: 1) p = 20; 2) p = 50; 3) p = Θ/π; 4) p = -Θ/π.

168. Na crtežu konstruisati sledeće hiperboličke spirale: 1) p = 1/Θ; 2) p = 5/Θ; 3) p = π/Θ; 4) r= - π/Θ

169. Na crtežu konstruisati sledeće logaritamske spirale: 1) p = 2 Θ; 2) p = (1/2) Θ.

170. Odrediti dužine segmenata na koje je Arhimedova spirala p = 3Θ presečena snopom koji izlazi iz pola i nagnut prema polarnoj osi pod uglom Θ = π/6. Napravite crtež.

171. Na Arhimedovoj spirali p = 5/πΘ uzeta je tačka C čiji je polarni poluprečnik 47. Odredi na koliko delova ova spirala seče polarni poluprečnik tačke C. Nacrtaj crtež.

172. Na hiperboličnoj spirali P = 6/Θ pronađi tačku P čiji je polarni polumjer 12. Nacrtaj.

173. Na logaritamskoj spirali p = 3 Θ pronaći tačku P čiji je polarni polumjer 81. Nacrtaj.