Opšte rješenje heterogenog sistema. Homogeni sistemi linearnih jednačina Rješenje homogenih sistema 0
Linearna jednačina se zove homogena, ako je njegov slobodni član jednak nuli, a inače nehomogen. Sistem koji se sastoji od homogenih jednačina naziva se homogenim i ima opšti oblik:
Očigledno je da je svaki homogeni sistem konzistentan i da ima nulto (trivijalno) rješenje. Dakle, u odnosu na homogene sisteme linearne jednačinečesto se mora tražiti odgovor na pitanje postojanja nenultih rješenja. Odgovor na ovo pitanje može se formulisati kao sljedeća teorema.
Teorema . Homogeni sistem linearnih jednadžbi ima rješenje različito od nule ako i samo ako je njegov rang manji od broja nepoznatih .
Dokaz: Pretpostavimo da sistem čiji je rang jednak ima rješenje različito od nule. Očigledno ne prelazi . U slučaju da sistem ima jedinstveno rešenje. Pošto sistem homogenih linearnih jednačina uvijek ima nulto rješenje, onda će nulto rješenje biti ovo jedinstveno rješenje. Dakle, rješenja različita od nule moguća su samo za .
Zaključak 1 : Homogeni sistem jednačina, u kojem je broj jednačina manji od broja nepoznatih, uvijek ima rješenje različito od nule.
Dokaz: Ako sistem jednačina ima , tada rang sistema ne prelazi broj jednačina, tj. . Dakle, uslov je zadovoljen i, prema tome, sistem ima rešenje različito od nule.
Zaključak 2 : Homogeni sistem jednačina sa nepoznatim ima rešenje različito od nule ako i samo ako je njegova determinanta nula.
Dokaz: Pretpostavimo da sistem linearnih homogenih jednačina, čija matrica sa determinantom , ima rješenje različito od nule. Zatim, prema dokazanoj teoremi, a to znači da je matrica singularna, tj. .
Kronecker-Capelli teorema: SLU je konzistentan ako i samo ako je rang sistemske matrice jednak rangu proširene matrice ovog sistema. Sistem ur se naziva dosljednim ako ima barem jedno rješenje.Homogeni sistem linearnih algebarske jednačine .
Sistem od m linearnih jednačina sa n varijabli naziva se sistem linearnih homogenih jednačina ako su svi slobodni članovi jednaki 0. Sistem linearnih homogenih jednačina je uvijek konzistentan, jer uvijek ima barem nulto rješenje. Sistem linearnih homogenih jednačina ima rješenje različito od nule ako i samo ako je rang njegove matrice koeficijenata za varijable manji od broja varijabli, tj. za rang A (n. Bilo koja linearna kombinacija
Lin sistemska rješenja. homogena. ur-ii je također rješenje za ovaj sistem.
Sistem linearnih nezavisnih rješenja e1, e2,...,ek naziva se fundamentalnim ako je svako rješenje sistema linearna kombinacija rješenja. Teorema: ako je rang r matrice koeficijenata za varijable sistema linearnih homogenih jednačina manji od broja varijabli n, tada se svaki fundamentalni sistem rješenja sistema sastoji od n-r rješenja. Zbog toga zajednička odluka Lin sistemi jednog dana ur-th ima oblik: c1e1+c2e2+...+skek, gdje je e1, e2,..., ek bilo koji fundamentalni sistem rješenja, c1, c2,...,ck su proizvoljni brojevi i k=n-r. Opšte rješenje sistema od m linearnih jednačina sa n varijabli jednako je zbiru
opšteg rešenja sistema koji mu odgovara je homogena. linearne jednačine i proizvoljno partikularno rješenje ovog sistema.
7. Linearni prostori. Podprostori. Osnova, dimenzija. Linearna školjka. Linearni prostor se zove n-dimenzionalan, ako sadrži sistem linearnih nezavisni vektori, i bilo koji sistem iz više vektori su linearno zavisni. Broj je pozvan dimenzija (broj dimenzija) linearni prostor i označen je sa . Drugim riječima, dimenzija prostora je maksimalni broj linearno nezavisnih vektora ovog prostora. Ako takav broj postoji, onda se prostor naziva konačno-dimenzionalnim. Ako za bilo koga prirodni broj n u prostoru postoji sistem koji se sastoji od linearno nezavisnih vektora, onda se takav prostor naziva beskonačno-dimenzionalnim (pisano: ). U nastavku, osim ako nije drugačije navedeno, razmatrat će se prostori konačnih dimenzija.
Osnova n-dimenzionalnog linearnog prostora je uređena kolekcija linearno nezavisnih vektora ( baznih vektora).
Teorema 8.1 o proširenju vektora u smislu baze. Ako je osnova n-dimenzionalnog linearnog prostora, onda se bilo koji vektor može predstaviti kao linearna kombinacija baznih vektora:
V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
i, štaviše, na jedini način, tj. koeficijenti se određuju jedinstveno. Drugim riječima, bilo koji vektor prostora može se proširiti u osnovu i, štaviše, na jedinstven način.
Zaista, dimenzija prostora je . Sistem vektora je linearno nezavisan (ovo je osnova). Nakon dodavanja bilo kojeg vektora bazi, dobijamo linearno zavisan sistem (pošto se ovaj sistem sastoji od vektora n-dimenzionalnog prostora). Koristeći svojstvo 7 linearno zavisnih i linearno nezavisnih vektora, dobijamo zaključak teoreme.
Filijala u Kalugi savezne državne budžetske obrazovne ustanove visokog stručnog obrazovanja
„Moskovski državni tehnički univerzitet po imenu N.E. Bauman"
(Kharkovski ogranak Moskovskog državnog tehničkog univerziteta po imenu N.E. Bauman)
Vlaykov N.D.
Rješenje homogenih SLAE
Smjernice za izvođenje vježbi
na kursu analitičke geometrije
Kaluga 2011
Ciljevi lekcije strana 4
Plan časa, strana 4
Neophodne teorijske informacije str.5
Praktični dio str.10
Praćenje savladanosti obrađenog gradiva str
Domaća zadaća str.14
Broj sati: 2
Ciljevi lekcije:
Sistematizirati stečena teorijska znanja o vrstama SLAE i metodama za njihovo rješavanje.
Steknite vještine rješavanja homogenih SLAE.
Plan lekcije:
Ukratko izložite teorijski materijal.
Riješite homogenu SLAE.
Pronađite osnovni sistem rješenja homogene SLAE.
Pronađite određeno rješenje homogene SLAE.
Formulirajte algoritam za rješavanje homogene SLAE.
Provjerite svoj trenutni domaći zadatak.
Izvršite poslove verifikacije.
Predstavite temu sljedećeg seminara.
Pošaljite trenutni domaći zadatak.
Neophodne teorijske informacije.
Matrix rang.
Def. Rang matrice je broj koji je jednak maksimalnom redu među njenim minorima koji nisu nula. Rang matrice je označen sa .
Ako kvadratna matrica nije singularna, tada je njen rang jednak njenom redu. Ako je kvadratna matrica singularna, tada je njen rang manji od njenog reda.
Rang dijagonalne matrice jednak je broju njenih dijagonalnih elemenata koji nisu nula.
Theor. Kada se matrica transponira, njen rang se ne mijenja, tj. 
.
Theor. Rang matrice se ne mijenja elementarnim transformacijama njenih redova i stupaca.
Teorema o baznom molu.
Def. Minor 
matrice 
naziva se osnovnim ako su ispunjena dva uslova:
a) nije jednako nuli;
b) njen red je jednak rangu matrice 
.
Matrix 
može imati više osnovnih minora.
Matrični redovi i kolone 
, u kojem se nalazi odabrani osnovni mol, nazivaju se osnovnim.
Theor. Teorema o baznom molu. Osnovni redovi (kolone) matrice 
, što odgovara bilo kojem od njegovih osnovnih maloljetnika 
, su linearno nezavisne. Bilo koji red (kolone) matrice 
, nije uključeno u 
, su linearne kombinacije osnovnih redova (kolona).
Theor. Za bilo koju matricu, njen rang je jednak maksimalnom broju njenih linearno nezavisnih redova (kolona).
Izračunavanje ranga matrice. Metoda elementarnih transformacija.
Koristeći elementarne transformacije reda, bilo koja matrica se može svesti na ešalonski oblik. Rang matrice koraka jednak je broju redova koji nisu nula. Osnova u njemu je minor, koji se nalazi na presjeku redova koji nisu nula sa stupcima koji odgovaraju prvim elementima koji nisu nula s lijeve strane u svakom od redova.
SLAU. Osnovne definicije.
Def. Sistem 
(15.1)
Brojevi 
nazivaju se SLAE koeficijenti. Brojevi 
nazivaju se slobodnim terminima jednačina.
SLAE unos u obrascu (15.1) naziva se koordinata.
Def. SLAE se naziva homogenim ako 
. Inače se naziva heterogena.
Def. Rješenje za SLAE je takav skup vrijednosti nepoznanica, nakon čije zamjene svaka jednadžba sistema pretvara u identitet. Svako specifično rješenje SLAE-a se također naziva njegovim posebnim rješenjem.
Rješavanje SLAE znači rješavanje dva problema:
Saznajte da li SLAE ima rješenja;
Pronađite sva rješenja ako postoje.
Def. SLAE se naziva spoj ako ima barem jedno rješenje. Inače se naziva nekompatibilnim.
Def. Ako SLAE (15.1) ima rješenje i, osim toga, jedinstveno, onda se naziva definitivnim, a ako rješenje nije jedinstveno, onda se naziva neodređenim.
Def. Ako je u jednačini (15.1) 
,SLAE se zove kvadrat.
SLAU formulari za snimanje.
Pored koordinatnog oblika (15.1), SLAE zapisi se često koriste u drugim reprezentacijama.
(15.2)
Relacija se naziva vektorski oblik SLAE notacije.
Ako za osnovu uzmemo proizvod matrica, onda se SLAE (15.1) može napisati na sljedeći način:
(15.3)
ili 
.
Zapis SLAE (15.1) u obliku (15.3) naziva se matrica.
Homogene SLAE.
Homogeni sistem 
linearne algebarske jednadžbe sa 
nepoznate je sistem oblika
Homogeni SLAE su uvijek konzistentni, jer uvijek postoji nulto rješenje.
Kriterijum za postojanje rješenja različitog od nule. Da bi postojalo rješenje različito od nule za homogeni kvadrat SLAE, potrebno je i dovoljno da njegova matrica bude singularna.
Theor. Ako kolone 
,
,
…,
- rješenja homogene SLAE, onda je svaka njihova linearna kombinacija također rješenje ovog sistema.
Posljedica. Ako homogena SLAE ima rješenje različito od nule, onda ima beskonačan broj rješenja.
Prirodno je pokušati pronaći takva rješenja 
,
,
…,
sistema tako da se svako drugo rješenje predstavlja kao njihova linearna kombinacija i, osim toga, na jedinstven način.
Def. Bilo koji set 
linearno nezavisne kolone 
,
,
…,
, koji su rješenja homogene SLAE 
, Gdje 
- broj nepoznatih, i 
- rang njegove matrice 
, naziva se osnovnim sistemom rješenja ove homogene SLAE.
Prilikom proučavanja i rješavanja homogenih sistema linearnih jednačina fiksiraćemo bazni minor u matricu sistema. Osnovni minor će odgovarati osnovnim stupcima i, prema tome, osnovnim nepoznatim. Preostale nepoznanice nazvaćemo slobodnima.
Theor. O strukturi općeg rješenja homogene SLAE. Ako 
,
,
…,
- proizvoljan fundamentalni sistem rješenja homogene SLAE 
, tada se svako njegovo rješenje može predstaviti u obliku
Gdje 
,
…,
- neke su trajne.
To. opšte rešenje homogene SLAE ima oblik
Praktični dio.
Razmotrite moguće skupove rješenja sljedećih tipova SLAE i njihovu grafičku interpretaciju.
;
;
.
Razmotriti mogućnost rješavanja ovih sistema korištenjem Cramerovih formula i matrične metode.
Objasnite suštinu Gaussove metode.
Riješite sljedeće probleme.
Primjer 1. Riješite homogenu SLAE. Pronađite FSR.
.
Zapišimo matricu sistema i svedemo je na stepenasti oblik.
.
sistem će imati beskonačno mnogo rješenja. FSR će se sastojati od 
kolone.
Odbacimo nulte linije i ponovo napišemo sistem:
.
Osnovni mol ćemo smatrati u gornjem lijevom uglu. To. 
- osnovne nepoznanice, i 
- besplatno. Hajde da se izrazimo 
preko besplatnog 
:
;
Hajde da stavimo 
.
Konačno imamo:
- koordinatni oblik odgovora, ili
- matrični oblik odgovora, ili
- vektorski oblik odgovora (vektor - kolone su FSR kolone).
Algoritam za rješavanje homogene SLAE.
Pronađite FSR i opšte rješenje sljedećih sistema:
№2.225(4.39)
. odgovor: 
№2.223(2.37)
. odgovor:
№2.227(2.41)
. odgovor: 
Riješite homogenu SLAE:
. odgovor: 
Riješite homogenu SLAE:
. odgovor: 
Prezentacija teme narednog seminara.
Rješavanje sistema linearnih nehomogenih jednačina.
Praćenje savladanosti obrađenog gradiva.
Probni rad 3 - 5 minuta. U časopisu učestvuju 4 učenika sa neparnim brojevima, počevši od broja 10
|
Slijedite ove korake:
|
Slijedite ove korake:
|
|
|
Izračunaj determinantu:
|
;
;
|
Slijedite ove korake:
|
Slijedite ove korake:
|
|
Pronađite inverznu matricu ove:
|
Izračunaj determinantu:
|
nedefinisano
Zadaća:
1. Riješite probleme:
№ 2.224, 2.226, 2.228, 2.230, 2.231, 2.232.
2.Rad kroz predavanja na sljedeće teme:
Sistemi linearnih algebarskih jednačina (SLAE). Koordinatni, matrični i vektorski oblici snimanja. Kronecker-Capelli kriterij za kompatibilnost SLAE. Heterogene SLAE. Kriterijum za postojanje različitog od nule rješenja homogene SLAE. Svojstva rješenja homogene SLAE. Osnovni sistem rješenja homogene SLAE, teorema o njenom postojanju. Normalan fundamentalni sistem rješenja. Teorema o strukturi općeg rješenja homogene SLAE. Teorema o strukturi općeg rješenja nehomogene SLAE.
Poziva se sistem linearnih jednačina u kojem su svi slobodni članovi jednaki nuli homogena :
Svaki homogeni sistem je uvek konzistentan, jer uvek jeste nula (trivijalan ) rješenje. Postavlja se pitanje pod kojim uslovima će homogeni sistem imati netrivijalno rešenje.
Teorema 5.2.Homogeni sistem ima netrivijalno rješenje ako i samo ako je rang osnovne matrice manji od broja njegovih nepoznanica.
Posljedica. Kvadratni homogeni sistem ima netrivijalno rješenje ako i samo ako determinanta glavne matrice sistema nije jednaka nuli.
Primjer 5.6. Odredite vrijednosti parametra l na kojima sistem ima netrivijalna rješenja i pronađite ova rješenja:
Rješenje. Ovaj sistem će imati netrivijalno rješenje kada je determinanta glavne matrice jednaka nuli:
Dakle, sistem je netrivijalan kada je l=3 ili l=2. Za l=3, rang glavne matrice sistema je 1. Zatim, ostavljajući samo jednu jednačinu uz pretpostavku da je y=a I z=b, dobijamo x=b-a, tj.
Za l=2, rang glavne matrice sistema je 2. Zatim, birajući minor kao osnovu:
dobijamo pojednostavljeni sistem
Odavde to nalazimo x=z/4, y=z/2. Believing z=4a, dobijamo
Skup svih rješenja homogenog sistema ima veoma važnu linearno svojstvo : ako kolone X 1 i X 2 - rješenja homogenog sistema AX = 0, zatim bilo koja njihova linearna kombinacija a X 1 + b X 2 će također biti rješenje za ovaj sistem. Zaista, pošto SJEKIRA 1 = 0 I SJEKIRA 2 = 0 , To A(a X 1 + b X 2) = a SJEKIRA 1 + b SJEKIRA 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Zbog ove osobine, ako linearni sistem ima više od jednog rješenja, tada će postojati beskonačan broj ovih rješenja.
Linearno nezavisni stupovi E 1 , E 2 , Ek, koji su rješenja homogenog sistema, nazivaju se fundamentalni sistem rješenja homogeni sistem linearnih jednadžbi ako se opšte rešenje ovog sistema može napisati kao linearna kombinacija ovih kolona:
Ako homogeni sistem ima n varijabli, a rang glavne matrice sistema je jednak r, To k = n-r.
Primjer 5.7. Pronađite osnovni sistem rješenja sljedećeg sistema linearnih jednačina:
Rješenje. Nađimo rang glavne matrice sistema:
Dakle, skup rješenja ovog sistema jednačina formira linearni podprostor dimenzija n-r= 5 - 2 = 3. Odaberimo minor kao bazu
Zatim, ostavljajući samo osnovne jednadžbe (ostale će biti linearna kombinacija ovih jednačina) i osnovne varijable (ostale, tzv. slobodne varijable pomjeramo udesno), dobijamo pojednostavljeni sistem jednačina:
Believing x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, mi nalazimo
Believing a= 1, b = c= 0, dobijamo prvo osnovno rešenje; vjerujući b= 1, a = c= 0, dobijamo drugo osnovno rešenje; vjerujući c= 1, a = b= 0, dobijamo treće osnovno rešenje. Kao rezultat, normalan fundamentalni sistem rješenja će poprimiti oblik
Koristeći osnovni sistem, opšte rešenje homogenog sistema može se zapisati kao
X = aE 1 + bE 2 + cE 3. a
Napomenimo neka svojstva rješenja nehomogenog sistema linearnih jednačina AX=B i njihov odnos sa odgovarajućim homogenim sistemom jednačina AX = 0.
Opšte rješenje nehomogenog sistemajednak je zbiru opšteg rešenja odgovarajućeg homogenog sistema AX = 0 i proizvoljnog partikularnog rešenja nehomogenog sistema. Zaista, neka Y 0 je proizvoljno partikularno rješenje nehomogenog sistema, tj. AY 0 = B, And Y- opšte rešenje heterogenog sistema, tj. AY=B. Oduzimanjem jedne jednakosti od druge, dobijamo
A(Y-Y 0) = 0, tj. Y-Y 0 je opšte rješenje odgovarajućeg homogenog sistema SJEKIRA=0. dakle, Y-Y 0 = X, ili Y=Y 0 + X. Q.E.D.
Neka nehomogen sistem ima oblik AX = B 1 + B 2 . Tada se opšte rešenje takvog sistema može zapisati kao X = X 1 + X 2 , gdje je AX 1 = B 1 i AX 2 = B 2. Ovo svojstvo izražava univerzalno svojstvo bilo kojeg linearni sistemi(algebarski, diferencijalni, funkcionalni, itd.). U fizici se ovo svojstvo naziva princip superpozicije, u elektrotehnici i radiotehnici - princip superpozicije. Na primjer, u teoriji linearnih električnih kola, struja u bilo kojem kolu može se dobiti kao algebarski zbir struja uzrokovanih svakim izvorom energije posebno.
Homogeni sistem linearnih jednačina AX = 0 uvijek zajedno. Ima netrivijalna (ne-nula) rješenja ako r= rang A< n .
Za homogene sisteme, osnovne varijable (čiji koeficijenti čine osnovni minor) se izražavaju kroz slobodne varijable relacijama oblika:
Onda n-r Linearno nezavisna vektorska rješenja bit će:
i svako drugo rješenje je njihova linearna kombinacija. Vektorska rješenja 
formiraju normalizovani fundamentalni sistem.
U linearnom prostoru, skup rješenja homogenog sistema linearnih jednačina čini podprostor dimenzija n-r; 
- osnova ovog podprostora.
Sistem m linearne jednadžbe sa n nepoznato(ili, linearni sistem
 |
Evo x 1 , x 2 , …, x n a 11 , a 12 , …, a mn- sistemski koeficijenti - i b 1 , b 2 , … b m a iji) i nepoznato ( j
Sistem (1) se poziva homogenab 1 = b 2 = … = b m= 0), inače - heterogena.
Sistem (1) se poziva kvadrat, ako je broj m jednačine jednake broju n nepoznato.
Rješenje sistemi (1) - set n brojevi c 1 , c 2 , …, c n, tako da je zamjena svakog c i umjesto x i u sistem (1) pretvara sve njegove jednačine u identitete.
Sistem (1) se poziva joint non-joint
Rješenja c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) i c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n razne
| c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) . |
siguran neizvjesno. Ako ima više jednačina nego nepoznanica, zove se redefinisano.
Rješavanje sistema linearnih jednačina
Rješavanje matričnih jednadžbi ~ Gaussova metoda
Metode za rješavanje sistema linearnih jednačina dijele se u dvije grupe:
1. preciznim metodama, koji su konačni algoritmi za izračunavanje korijena sistema (rješavanje sistema korištenjem inverzne matrice, Cramerovog pravila, Gaussove metode, itd.),
2. iterativne metode, koji omogućavaju dobijanje rešenja sistema sa zadatom tačnošću kroz konvergentne iterativne procese (metoda iteracije, Seidelova metoda, itd.).
Zbog neizbježnog zaokruživanja, rezultati čak i egzaktnih metoda su približni. Kada se koriste iterativne metode, dodatno se dodaje greška metode.
Efikasna upotreba iterativnih metoda značajno zavisi od uspešnog izbora početne aproksimacije i brzine konvergencije procesa.
Rješavanje matričnih jednačina
Razmotrite sistem n linearne algebarske jednadžbe u odnosu na n nepoznato X 1 , X 2 , …, x n:
 .
| (15) |
Matrix A, čiji su stupci koeficijenti za odgovarajuće nepoznate, a redovi koeficijenti za nepoznate u odgovarajućoj jednačini, naziva se matrica sistema; matrica-kolona b, čiji su elementi desna strana jednačina sistema, naziva se matrica sa desne strane ili jednostavno desna strana sistemima. Matrica kolona X, čiji su elementi nepoznate nepoznanice, naziva se sistemsko rešenje.
Ako je matrica A- nespecijalne, odnosno det A n e je jednako 0, tada sistem (13), ili matrična jednačina (14) koja joj je ekvivalentna, ima jedinstveno rješenje.
Naime, pod uvjetom da det A nije jednako 0 postoji inverzna matrica A-1 . Množenje obje strane jednačine (14) matricom A-1 dobijamo:
| (16) |
Formula (16) daje rješenje jednačine (14) i ono je jedinstveno.
Pogodno je rješavati sisteme linearnih jednadžbi pomoću funkcije lsolve.
lsolve( A, b)
Vektor rješenja je vraćen x takav da Oh= b.
Argumenti:
A- kvadratna, nesingularna matrica.
b- vektor koji ima isti broj redova koliko ima redova u matrici A .
Slika 8 prikazuje rješenje sistema od tri linearne jednadžbe u tri nepoznate.
Gaussova metoda
Gaussova metoda, koja se naziva i Gausova metoda eliminacije, sastoji se u činjenici da se sistem (13) reducira sekvencijalnom eliminacijom nepoznatih na ekvivalentan sistem sa trouglastom matricom:
U matričnom zapisu, to znači da se prvo (direktan pristup Gaussove metode), elementarnim operacijama na redovima, proširena matrica sistema svodi na postupni oblik:
a zatim (obrnuto od Gaussove metode) ova matrica koraka se transformira tako da u prvom n kolone dobijamo jediničnu matricu:
.
Zadnje, ( n+ 1) stupac ove matrice sadrži rješenje sistema (13).
U Mathcadu, pomicanje naprijed i nazad Gaussove metode obavlja funkcija rref(A).
Na slici 9 prikazano je rješenje sistema linearnih jednačina Gaussovom metodom koja koristi sljedeće funkcije:
rref( A)
Vraća se oblik koraka matrice A.
povećati ( A, IN)
Vraća niz formiran od strane lokacije A I IN rame uz rame. Nizovi A I IN mora imati isti broj redova.
podmatrica( A, ir, jr, ic, jc)
Vraća podmatricu koja se sastoji od svih elemenata sa ir By jr i kolone sa ic By jc. Budi siguran da ir jr I
ic jc, inače će redoslijed redova i/ili kolona biti obrnut.
Slika 9.
Opis metode
Za sistem od n linearnih jednadžbi sa n nepoznatih (nad proizvoljnim poljem)
sa determinantom sistemske matrice Δ različitom od nule, rješenje se zapisuje u obliku
(i-ta kolona sistemske matrice zamijenjena je kolonom slobodnih pojmova).
U drugom obliku, Cramerovo pravilo je formulirano na sljedeći način: za bilo koje koeficijente c1, c2, ..., cn vrijedi sljedeća jednakost:
U ovom obliku, Cramerova formula vrijedi bez pretpostavke da je Δ različit od nule, nije čak ni neophodno da koeficijenti sistema budu elementi integralnog prstena (determinanta sistema može biti čak i djelilac nule; koeficijent prsten). Također možemo pretpostaviti da se ili skupovi b1,b2,...,bn i x1,x2,...,xn, ili skup c1,c2,...,cn, ne sastoje od elemenata prstena koeficijenata sistema, ali neki modul iznad ovog prstena. U ovom obliku, Cramerova formula se koristi, na primjer, u dokazu formule za Gramovu determinantu i Nakayaminu lemu.
| 35) Kronecker-Capelli teorema |
Da bi sistem m nehomogenih linearnih jednačina u n nepoznatih bio konzistentan, neophodan je i dovoljan dokaz neophodnosti. Neka je sistem (1.13) konzistentan, odnosno postoje takvi brojevi X 1 =α
1 , X 2 =α
2 , …, x n = α n ,Šta  (1.15) Oduzmimo od zadnje kolone proširene matrice njen prvi stupac, pomnožen sa α 1, drugi – sa α 2, …, n-ti – pomnožen sa α n, odnosno od poslednje kolone matrice (1.14 ) treba oduzeti leve strane jednakosti ( 1.15). Tada dobijamo matricu  čiji se rang neće promijeniti kao rezultat elementarnih transformacija i . Ali to je očigledno, a samim tim i dokaz dovoljnosti. Neka i radi određenosti neka se nenulti minor reda r nalazi u gornjem lijevom uglu matrice:  To znači da se preostali redovi matrice mogu dobiti kao linearne kombinacije prvih r redova, tj m-r linije matrice se mogu predstaviti kao sume prvih r redova pomnožene nekim brojevima. Ali tada su prve r jednačine sistema (1.13) nezavisne, a ostale su njihove posledice, odnosno rešenje sistema prvih r jednačina je automatski rešenje preostalih jednačina. Postoje dva moguća slučaja. 1. r=n. Tada sistem koji se sastoji od prvih r jednačina ima isti broj jednačina i nepoznanica i konzistentan je, a njegovo rješenje je jedinstveno. 2.r |
36) izvesnost, neizvesnost
Sistem m linearne jednadžbe sa n nepoznato(ili, linearni sistem) u linearnoj algebri je sistem jednačina oblika
 |
Evo x 1 , x 2 , …, x n- nepoznanice koje treba utvrditi. a 11 , a 12 , …, a mn- sistemski koeficijenti - i b 1 , b 2 , … b m- slobodni članovi - pretpostavlja se da su poznati. Indeksi koeficijenata ( a ij) sistemi označavaju brojeve jednačina ( i) i nepoznato ( j), na kojoj ovaj koeficijent stoji, respektivno.
Sistem (1) se poziva homogena, ako su svi slobodni članovi jednaki nuli ( b 1 = b 2 = … = b m= 0), inače - heterogena.
Sistem (1) se poziva joint, ako ima barem jedno rješenje, i non-joint, ako ona nema jedinstveno rješenje.
Zajednički sistem tipa (1) može imati jedno ili više rješenja.
Rješenja c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) i c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n(2) nazivaju se zglobni sistemi oblika (1). razne, ako je barem jedna od jednakosti povrijeđena:
| c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) . |
Zajednički sistem oblika (1) se zove siguran, ako ima jedinstveno rješenje; ako ima najmanje dva različita rješenja, onda se zove neizvjesno
37) Rješavanje sistema linearnih jednačina Gausovom metodom
Neka originalni sistem izgleda ovako
Matrix A naziva se glavna matrica sistema, b- kolona slobodnih članova.
Tada se, prema svojstvu elementarnih transformacija nad redovima, glavna matrica ovog sistema može svesti na postupni oblik (iste transformacije moraju se primijeniti na stupac slobodnih pojmova):
Tada se pozivaju varijable glavne varijable. Svi ostali su pozvani besplatno.
[uredi]Uslov kompatibilnosti
Gornji uslov za sve može se formulisati kao neophodan i dovoljan uslov za kompatibilnost:
Podsjetimo da je rang zajedničkog sistema rang njegove glavne matrice (ili proširene matrice, pošto su jednake).
Algoritam
Opis
Algoritam za rješavanje SLAE pomoću Gaussove metode podijeljen je u dvije faze.
§ U prvoj fazi se vrši takozvano direktno pomeranje, kada se elementarnim transformacijama preko redova sistem dovodi u stepenasti ili trouglasti oblik, ili se utvrdi da je sistem nekompatibilan. Naime, među elementima prve kolone matrice odaberite jedan različit od nule, pomaknite ga na najgornju poziciju preuređivanjem redova i od preostalih redova nakon preuređivanja oduzmite rezultirajući prvi red, pomnoživši ga vrijednošću jednak omjeru prvog elementa svakog od ovih redova prema prvom elementu prvog reda, čime se nula stupac ispod njega. Nakon što su ove transformacije završene, prvi red i prvi stupac se mentalno precrtavaju i nastavljaju sve dok ne ostane matrica nulte veličine. Ako u bilo kojoj iteraciji nema elementa različitog od nule među elementima prve kolone, idite na sljedeću kolonu i izvedite sličnu operaciju.
§ U drugoj fazi se izvodi takozvani obrnuti pokret, čija je suština da se sve rezultirajuće osnovne varijable izraze u terminima nebaznih i konstruiše se fundamentalni sistem rješenja, ili, ako su sve varijable osnovni, zatim numerički izraziti jedino rješenje sistema linearnih jednačina. Ovaj postupak počinje posljednjom jednadžbom, iz koje se izražava odgovarajuća osnovna varijabla (a postoji samo jedna) i zamjenjuje se u prethodne jednačine, i tako dalje, idući uz „stepenice“. Svaki red odgovara tačno jednoj bazičnoj varijabli, tako da na svakom koraku osim posljednjeg (najgornjeg), situacija tačno ponavlja slučaj posljednje linije.
Gaussova metoda zahtijeva red O(n 3) radnje.
Ova metoda se oslanja na:
38)Kronecker-Capelli teorem.
Sistem je konzistentan ako i samo ako je rang njegove glavne matrice jednak rangu njegove proširene matrice.
Svrha usluge. Online kalkulator je dizajniran da pronađe netrivijalno i fundamentalno rješenje za SLAE. Rezultirajuće rješenje se pohranjuje u Word datoteku (pogledajte primjer rješenja).
Instrukcije. Odaberite dimenziju matrice:
Osobine sistema linearnih homogenih jednačina
Da bi sistem imao netrivijalna rješenja, potrebno je i dovoljno da rang njene matrice bude manji od broja nepoznatih.Teorema. Sistem u slučaju m=n ima netrivijalno rješenje ako i samo ako je determinanta ovog sistema jednaka nuli.
Teorema. Svaka linearna kombinacija rješenja nekog sistema je također rješenje za taj sistem.
Definicija. Skup rješenja sistema linearnih homogenih jednačina naziva se fundamentalni sistem rješenja, ako se ovaj skup sastoji od linearno nezavisnih rješenja i svako rješenje sistema je linearna kombinacija ovih rješenja.
Teorema. Ako je rang r sistemske matrice manji od broja n nepoznatih, onda postoji fundamentalni sistem rješenja koji se sastoji od (n-r) rješenja.
Algoritam za rješavanje sistema linearnih homogenih jednačina
- Pronalaženje ranga matrice.
- Odabiremo osnovni mol. Razlikujemo zavisne (osnovne) i slobodne nepoznanice.
- Precrtavamo one jednačine sistema čiji koeficijenti nisu uključeni u bazni minor, jer su posljedice ostalih (prema teoremi o baznom minoru).
- Članove jednačina koje sadrže slobodne nepoznanice pomjeramo na desnu stranu. Kao rezultat, dobijamo sistem od r jednačina sa r nepoznatih, ekvivalentan datoj, čija je determinanta različita od nule.
- Rezultirajući sistem rješavamo eliminacijom nepoznanica. Nalazimo odnose koji izražavaju zavisne varijable kroz slobodne.
- Ako rang matrice nije jednak broju varijabli, tada nalazimo osnovno rješenje sistema.
- U slučaju rang = n imamo trivijalno rješenje.
Primjer. Pronađite osnovu sistema vektora (a 1, a 2,...,a m), rangirajte i izrazite vektore na osnovu baze. Ako je a 1 =(0,0,1,-1), i 2 =(1,1,2,0), i 3 =(1,1,1,1), i 4 =(3,2,1 ,4), i 5 =(2,1,0,3).
Zapišimo glavnu matricu sistema:
Pomnožite 3. red sa (-3). Dodajmo 4. red u 3.:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
Pomnožite 4. red sa (-2). Pomnožimo 5. red sa (3). Dodajmo 5. red u 4.:
Dodajmo 2. red na 1.:
Nađimo rang matrice.
Sistem sa koeficijentima ove matrice je ekvivalentan originalnom sistemu i ima oblik:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Koristeći metodu eliminacije nepoznanica, nalazimo netrivijalno rješenje:
Dobili smo relacije koje izražavaju zavisne varijable x 1 , x 2 , x 3 preko slobodnih x 4 , odnosno pronašli smo opšte rešenje:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4
