rekurentne metode. Opća i posebna rješenja rekurentnih odnosa Izračunajte determinante reda n metodom rekurentnih odnosa
Sa velikom količinom podataka posmatranja X Konačne metode za rješavanje jednačine vjerovatnoće dovode do značajnih računskih poteškoća povezanih s potrebom pamćenja velikog broja početnih podataka i međurezultata proračuna. U tom smislu su od posebnog interesa rekurentne metode kod kojih se procjena maksimalne vjerovatnoće izračunava u koracima sa postupno rastućom preciznošću, svaki korak je povezan sa dobijanjem novih podataka opservacije, a rekurentna procedura je konstruisana na način da se pohranjuje u memorisati što manje podataka iz prethodnih koraka. Dodatna i veoma značajna prednost sa praktične tačke gledišta rekurzivnih metoda je spremnost da se dobije rezultat u bilo kom međukorak.
To čini svrsishodnijim korištenje rekurentnih metoda čak i u slučajevima kada je moguće dobiti točno rješenje jednačine maksimalne vjerovatnoće pomoću metode konačne, a čini ih još vrijednijim kada je nemoguće pronaći tačan analitički izraz za procjenu maksimuma. vjerovatnoća.
Neka skup podataka posmatranja bude niz za čiji opis uvodimo vektor . (Kao i uvijek, svaka od njegovih komponenti, zauzvrat, može biti vektor, segment slučajnog procesa, itd.). Neka je funkcija vjerovatnoće, i
njegov logaritam. Potonje se uvijek može predstaviti kao
Log-vjerojatnost skupa podataka opservacije bez posljednje vrijednosti, i
Logaritam uslovne gustine verovatnoće vrednosti za date vrednosti i .
Reprezentacija (7.5.16) za logaritam funkcije vjerovatnoće je osnova za dobijanje rekurentne procedure za izračunavanje procjene maksimalne vjerovatnoće. Hajde da razmotrimo redovan slučaj. U ovom slučaju, procjena maksimalne vjerovatnoće može se naći kao rješenje jednačine
koji se razlikuje od (7.1.6) samo uvođenjem indeksa p y logaritam funkcije vjerovatnoće.
Označimo rješenje ove jednačine tako što ćemo naglasiti da je ova procjena dobijena iz ukupnosti opservacijskih podataka. Slično, označimo rješenjem jednačine procjenu maksimalne vjerovatnoće dobivene iz skupa podataka.
Jednačina (7.5.19) se može prepisati uzimajući u obzir (7.5.16) u sljedećem obliku:
Proširimo lijevu stranu (7.5.20) u Taylorov red u blizini tačke . Gde
(7.5.22)
Vektor gradijenta funkcije u tački ; član nestaje zbog činjenice da je , rješenje jednadžbe vjerovatnoće za prethodni (P - 1) korak:
Simetrična matrica drugih izvoda logaritma funkcije vjerovatnoće u tački , uzeta sa suprotnim predznakom, nepisani članovi ekspanzije imaju kvadratni i viši red malenosti u odnosu na razliku . Zanemarujući ove posljednje, dobivamo sljedeće približno rješenje jednačine maksimalne vjerovatnoće:
gdje je inverzna matrica.
Ovo rješenje je predstavljeno u obliku rekurentne relacije koja određuje sljedeću vrijednost procjene kroz procjenu u prethodnom koraku i korekciju , zavisi od dostupnih podataka posmatranja direktno i kroz prethodnu evaluaciju. Korekcija se formira kao proizvod gradijenta logaritma uslovne gustine verovatnoće novodobivene vrednosti X n u tački koja je jednaka prethodnoj procjeni, na matricu težine . Potonji je određen izrazom (7.5.23) i također ovisi o procjeni u prethodnom koraku, a njegova ovisnost o novim podacima opservacije je u potpunosti određena oblikom logaritma uslovne gustine vjerovatnoće.
Oblik relacije (7.5.24) je vrlo sličan (7.5.8), koji implementira iterativni način izračunavanja procjene maksimalne vjerovatnoće Newtonovom metodom. Međutim, u stvari, oni se međusobno značajno razlikuju. U (7.5.8), korekcija prethodne vrijednosti procjene određena je veličinom gradijenta logaritma cijele funkcije vjerovatnoće, koja uvijek zavisi od svih dostupnih podataka opservacije, što zahtijeva pamćenje cijele populacije. U skladu sa (7.5.24), korekcija je određena veličinom gradijenta , koji, zbog svojstava uslovne gustine verovatnoće, zapravo zavisi samo od onih vrednosti () koje su u snažnoj statističkoj vezi sa X n. Ova razlika je posljedica posebnog izbora prethodne aproksimacije kao procjene maksimalne vjerovatnoće pronađene iz skupa podataka opservacije umanjenih za jednu vrijednost, a posebno je izražena za nezavisne vrijednosti (). U ovom poslednjem slučaju
zbog čega zavisi samo od i X n , a gradijent je samo od prethodne vrijednosti procjene i novodobivene P- Korak podataka nadzora. Stoga, kod nezavisnih vrijednosti, za formiranje vektora, nije potrebno pohraniti nikakve druge informacije iz prethodnog koraka, osim vrijednosti procjene.
Slično, u slučaju Markovljevog niza podataka opservacije, odnosno kada
vektor zavisi samo od , trenutne i jedne prethodne vrednosti .U ovom slučaju, za proračun je potrebno zapamtiti iz prethodnog koraka, pored vrednosti, samo vrednost, ali ne i ceo skup podataka posmatranja, kao u iterativnoj proceduri. Općenito, izračun može zahtijevati pohranjivanje većeg broja prethodnih vrijednosti (), međutim, zbog potrebe da se uzmu u obzir samo one vrijednosti koje su statistički zavisne od , ovaj broj je gotovo uvijek manji od ukupni volumen skupa podataka posmatranja. Dakle, ako vektor opisuje vremenski niz, tada je broj članova ovog niza koji treba zapamtiti određen vremenom njegove korelacije, a njihov relativni udio opada obrnuto proporcionalno n, kao u slučaju nezavisnih vrijednosti.
Razmotrimo sada strukturu matrice težine , uključene u rekurentnu relaciju (7.5.24). Prema definiciji (7.5.23), zbog prisustva pojma, generalno zavisi od svih vrednosti čak i za nezavisne vrednosti od , što lišava rekurentnu relaciju (7.5.24) prednosti povezanih sa moguće smanjenje količine podataka pohranjenih iz prethodnog koraka. Postoji nekoliko načina za aproksimaciju matrice , koji otklanjaju ovaj nedostatak.
Prvi od njih zasniva se na dosljednijoj upotrebi osnovne pretpostavke male razlike između dvije uzastopne vrijednosti procjene i , što je osnova za dobijanje rekurentne relacije (7.5.24). Ovo nam omogućava da dobijemo sličnu rekurentnu relaciju za matricu težine . Zaista, koristeći malenost iz (7.5.23), imamo
Uvođenjem notacije
iz (7.5.24) i (7.5.25) dobijamo sistem rekurentnih relacija za vektor i matricu težine
Ovaj sistem, zajedno sa početnim vrednostima, u potpunosti određuje vrednost procene u bilo kom koraku, zahtevajući na svakom od njih da se izračuna samo gradijent i matrica drugih izvoda logaritma uslovne gustine verovatnoće za trenutno posmatranu vrednost. Početne vrijednosti se biraju uzimajući u obzir dostupne apriorne podatke o mogućim vrijednostima i rasponu promjene parametara, a u nedostatku ovih podataka uzimaju se kao nula (,).
Za nezavisne vrijednosti, sistem rekurentnih relacija (7.5.27) očigledno opisuje višedimenzionalni (dimenzije ) Markovljev slučajni proces, čija komponenta konvergira pravoj vrijednosti parametra , a komponenta konvergira Fisherovoj informacionoj matrici (7.3.). 8), gdje je prava vrijednost procijenjenog parametra , i raste beskonačno kao P. Sistem (7.5.27) ima slična svojstva konvergencije pod opštijim uslovima ako je niz ergodičan.
Druga od navedenih metoda zasniva se na zamjeni matrice drugih izvoda logaritma funkcije vjerovatnoće sa njenim matematičkim očekivanjem – Fisher-ovom informacijskom matricom, koja se, uzimajući u obzir (7.5.16), može zapisati kao:
gdje je slično kao (7.5.26)
Zamjenjujući matricu u (7.5.24) sa matricom , dobijamo rekurentnu relaciju
za približno izračunavanje procjena maksimalne vjerovatnoće koje je predložio Sakrison (u originalu za nezavisne identično raspoređene , kada i . Ova rekurentna relacija je jednostavnija od sistema (7.5.27), budući da je optimalna matrica težine zamijenjena njenom matematičkom očekivanje, a dostupni podaci opservacije nisu potrebni za njegovo pronalaženje, osim onih koji su koncentrisani u vrijednosti procjene. 27) da matrica drugih izvoda bude bliska svom matematičkom očekivanju.
Ako se distribucija gustine vjerovatnoće i matrica mijenjaju od koraka do koraka, direktno pronalaženje svakog koraka može zahtijevati previše proračuna. Istovremeno, zbog dodatnog smanjenja tačnosti rezultata, koje je određeno nejednakošću nula malih razlika, može se preći na rekurentno izračunavanje približne vrijednosti matrice. Vraćajući se na prethodnu notaciju za ovu približnu vrijednost, dobijamo još jedan sistem rekurentnih odnosa
Matematičko očekivanje matrice (Fisher-ova informacijska matrica za jedno opažanje), uzeto u tački . Ovaj sistem se razlikuje od (7.5.27) po tome što druga od rekurentnih relacija (7.5.31) ne uključuje direktno podatke opservacije.
Bilo koji od gore razmatranih sistema rekurentnih odnosa je savršeno tačan ako funkcija kvadratno zavisi od , a dodatno matrica drugih izvoda ne zavisi od . Zapravo, ovo odgovara slučaju nezavisnih normalno raspoređenih (ne nužno jednako) vrijednosti s nepoznatim matematičkim očekivanjem, što je procijenjeni parametar.
Sistem rekurentnih odnosa (7.5.24) daje tačno rješenje jednačine maksimalne vjerovatnoće pod mnogo širim uslovima uz jedini zahtjev da funkcija kvadratno zavisi od . Zavisnost od je proizvoljna, što odgovara širokoj klasi distribucija vjerovatnoće populacije sa nezavisnim i zavisnim vrijednostima.
Uz razmatrane opšte metode, postoji niz metoda za izbor matrice težinskih koeficijenata u rekurentnoj relaciji (7.5.24), prilagođenih određenim specifičnim ograničenjima. Najjednostavniji od njih je izbor u obliku dijagonalne matrice, tako da , ( I je matrica identiteta), gdje je opadajući niz numeričkih koeficijenata, izabran bez obzira na svojstva funkcije vjerovatnoće na isti način kao u proceduri stohastičke aproksimacije Robins-Monroea, o čemu će biti riječi u narednim poglavljima.
Treba napomenuti da su sve iterativne ili ponavljajuće procedure za pronalaženje procjena maksimalne vjerovatnoće općenito približne. Stoga, općenito govoreći, za procjene dobivene primjenom ovih postupaka, moraju se iznova dokazati konzistentnost, asimptotska efikasnost i asimptotska normalnost. Za iterativne procedure, neophodna svojstva procjena su zagarantovana činjenicom da, u principu, takvi postupci, sa odgovarajućim brojem iteracija, daju rješenje jednačine vjerovatnoće sa bilo kojom unaprijed određenom tačnošću. Za ponavljajuće procedure kao što su (7.5.27), (7.5.30), (7.5.31) i druge, postoje posebni dokazi. Istovremeno, pored zahtjeva redovnosti, nameću se i neki dodatni zahtjevi:
O ponašanju funkcije (7.2.2) za različite vrijednosti ||, kako bi se pomoću rekurentne procedure postigao globalni maksimum ove funkcije u tački koja odgovara pravoj vrijednosti parametra;
Redom rasta drugih momenata derivacija logaritma funkcije vjerovatnoće za velike modulo vrijednosti od . Ovi zahtjevi su posljedica opštijih uslova za konvergenciju na tačku svih ili dijela komponenti Markovljevog slučajnog procesa, do kojih vodi jedan ili drugi rekurentni postupak.
U zaključku, također napominjemo da u slučaju kada postoji tačno rješenje jednačine maksimalne vjerovatnoće, ono se gotovo uvijek može predstaviti u rekurzivnom obliku. Dajemo dva jednostavna heterogena primjera. Dakle, elementarna procjena nepoznatog matematičkog očekivanja normalne slučajne varijable u agregatu n njegove vrijednosti uzorka u obliku aritmetičke sredine
je procjena maksimalne vjerovatnoće i može se predstaviti u rekurzivnom obliku:
što je najjednostavniji specijalni slučaj (7.5.30) za
Drugi primjer je nepravilna procjena maksimalne vjerovatnoće za parametar - širinu pravokutne distribucije - iz (7.4.2), koja se također može odrediti relacijom ponavljanja
sa početnim stanjem. Ova rekurentna relacija je drugačijeg tipa: njena desna strana se ne može predstaviti kao zbir prethodne procjene i male korekcije, što je posljedica nepravilnosti ovog primjera; međutim, on ima sve prednosti rekurzivnog pristupa: zahtijeva samo jedan broj da se zapamti iz prethodnog koraka - procjena - i drastično smanjuje nabrajanje na jedno poređenje umjesto poređenja svih vrijednosti.
Navedeni primjeri ilustruju prednosti rekurzivnih metoda čak iu slučaju kada jednadžba maksimalne vjerovatnoće dopušta egzaktno rješenje, jer jednostavnost analitičkog prikaza rezultata nije identična računskoj jednostavnosti njegovog dobivanja.
7.5.3. Prelazak na kontinuirano vrijeme. Diferencijalne jednadžbe za procjene maksimalne vjerovatnoće
Razmotrimo sada poseban slučaj gdje su dostupni podaci opservacije X nisu opisani skupom tačaka uzorka , ali predstavljaju segment implementacije nekog procesa , u zavisnosti od parametara, datih na intervalu , štaviše, dužina ovog intervala može se povećati tokom posmatranja (vrijeme t je varijabilna).
Za statistički opis podataka opservacije, u ovom slučaju, uvodi se funkcionalni omjer vjerovatnoće, koji je granica na , max omjera gustine vjerovatnoće skupa vrijednosti na proizvoljno zadanoj vrijednosti prema sličnoj vjerovatnoći gustina na nekoj fiksnoj vrijednosti , au nekim slučajevima, kada priznaje reprezentaciju , gdje je slučajni proces , neovisno o , gustoći vjerovatnoće skupa vrijednosti pod uvjetom da . Upotreba funkcionalnog omjera vjerovatnoće omogućava da se eliminišu formalne poteškoće u određivanju gustine vjerovatnoće koje nastaju u prijelazu na kontinuirano vrijeme.
Logaritam funkcionalnog omjera vjerovatnoće može se predstaviti kao
gdje je neki proces funkcionalan na intervalu . U nekim slučajevima, funkcional se degenerira u funkciju koja ovisi samo o vrijednosti . Sta ako
gdje je poznata funkcija vremena i parametara, i delta korelirani slučajni proces ("bijeli" šum) sa spektralnom gustinom N o, zatim, birajući kao nazivnik omjer vjerovatnoće distribucije vjerovatnoće X u , imat ćemo
Neka - procjena maksimalne vjerovatnoće parametra , izgrađena na implementaciji procesa na intervalu , odnosno rješenje jednačine maksimalne vjerovatnoće
Diferencirajući lijevu stranu ove jednačine s obzirom na vrijeme, dobijamo
Predstavljamo notaciju
i rješavanjem jednadžbe (7.5.42) u odnosu na , dobijamo diferencijalnu jednadžbu za procjenu maksimalne vjerovatnoće
Matrica , pak, prema (7.5.37) određena je diferencijalnom jednadžbom
Baš kao iu diskretnom slučaju, matrica u (7.5.45), (7.5.47) može se zamijeniti njenim matematičkim očekivanjem - Fisherovom informacijskom matricom sa vrijednošću i diferencijalnom jednadžbom (7.5.46) za matricu težine - po jednačini
gdje, slično kao u diskretnom slučaju
Matematičko očekivanje matrice drugih izvoda.
Skupovi diferencijalnih jednadžbi (7.5.45), (7.5.46) ili (7.5.45), (7.5.48), zajedno sa početnim uslovima, pri čijem izboru ostaje sve rečeno za diskretni slučaj, u potpunosti važi određuje procjenu maksimalne vjerovatnoće za bilo koju tačku u vremenu. Ovaj skup se može simulirati pomoću odgovarajućih, uopšteno govoreći, nelinearnih analognih uređaja ili, uz odgovarajuće vremensko uzorkovanje, rešavati pomoću računara. U zaključku, napominjemo jednu od modifikacija ovih jednadžbi, koja omogućava da se izbjegne potreba za invertiranjem matrice.
Predstavljamo notaciju
, gdje I
i diferenciranje u odnosu na vrijeme odnosa , gdje I je matrica identiteta, dobijamo uz pomoć (7.5.46) diferencijalnu jednadžbu koja direktno određuje matricu:
(i slično kada se zamijeni sa ), što zajedno sa jednadžbom (7.5.45)
određuje rezultat , bez potrebe za inverzijom matrice. U ovom slučaju dolazi do prijelaza sa najjednostavnije linearne diferencijalne jednadžbe (7.5.46) na nelinearnu u odnosu na diferencijalnu jednačinu (7.5.51) tipa Riccati.
Kombinatorni proračuni na konačnim skupovima
Uvod u kombinatoriku
Predmet teorije kombinatornih algoritama, koji se često nazivaju kombinatornim proračunima, su proračuni na diskretnim matematičkim strukturama. U ovoj teoriji velika pažnja se poklanja algoritamskom pristupu rješavanju problema diskretne matematike, optimizaciji nabrajanja opcija i smanjenju broja razmatranih rješenja.
Područje kombinatornih algoritama uključuje zadatke koji zahtijevaju prebrojavanje (procjenu) broja elemenata u konačnom skupu ili navođenje ovih elemenata posebnim redoslijedom (Dodatak B). U ovom slučaju, postupak odabira elemenata s povratom i njegove varijante se široko koriste.
Postoje dvije vrste problema sa brojanjem. U jednostavnom slučaju, određeni skup je dat i potreban odrediti tačan broj elemenata u njemu. U opštem slučaju, postoji porodica skupova definisanih nekim parametrom, a kardinalnost skupa je određena kao funkcija parametra. Istovremeno, to je često dovoljna procjena reda funkcije a ponekad samo trebate procjena stope njenog rasta. Na primjer, ako snaga skupa koji se razmatra eksponencijalno raste u nekom parametru, onda to može biti dovoljno da se napusti predloženi pristup proučavanju problema bez ulaska u razne detalje. Za ovaj opštiji tip problema primjenjuju se procedure asimptotičkih proširenja, rekurentnih odnosa i generirajućih funkcija.
Asimptotika
Asimptota je posebna linija (najčešće prava), koja je granica za krivu koja se razmatra.
Asimptotika je umjetnost procjene i poređenja stopa rasta funkcija. Kažu da u X®¥ funkcija "ponaša se kao X", ili "povećava se istom brzinom kao X“, i na X®0 "ponaša se kao 1/ x Kažu da je „log x at x®0 i bilo koji e>0 ponaša se kao x e , i šta n®¥ ne raste brže od n log n Takve neprecizne, ali intuitivno jasne izjave korisne su u poređenju funkcija na isti način kao i relacije<, £ и = при сравнивании чисел.
Definirajmo tri glavne asimptotske relacije.
Definicija 1. Funkcija f(x) je ekvivalentno g(x) at X® x0, ako i samo ako je =1.
U ovom slučaju se kaže da je funkcija f(x) je asimptotski jednak funkciji g(x) ili šta f(x) raste istom brzinom kao g(x).
Definicija 2. f(x)=o( g(x)) at x® x0, ako i samo ako je =0.
Kažu da u x® x 0 f(x) raste sporije od g(x), ili šta f(x) "postoji o-malo" od g(x).
Definicija 3 . f(x)=O( g(x)) at x® x0, ako i samo ako postoji konstanta C takva da je sup =C.
U ovom slučaju to kažu f(x) ne raste brže od g(x), ili bilo šta drugo x® x 0 f(x) "postoji veliko O" od g(x).
Ratio f(x)=g(x)+o(h(x)) at x®¥ to znači f(x)-g(x)=o(h(x)). Slično f(x)=g(x)+O(h(x)) znači da f(x)-g(x)=O(h(x)).
Izrazi O( ) i o( ) se također mogu koristiti u nejednačinama. Na primjer, nejednakost x+o(x)£2 x at x®0 znači da za bilo koju funkciju f(x) takav da f(x)=o(x), at x®¥ x+f(x)£2 x za sve dovoljno velike vrednosti X.
Predstavimo neke korisne asimptotske jednakosti.
Polinom je asimptotski jednak svom najvećem članu:
at x®¥; (4.1)
at x®¥; (4.2)
at x®¥ i a k¹0. (4.3)
Zbroji potencija cijelih brojeva zadovoljavaju relaciju:
at n®¥. (4.4)
Dakle, posebno imamo n®¥
U opštijem slučaju, kada n®¥ i za bilo koji cijeli broj k³0
; (4.6)
. (4.7)
Rekurentni odnosi
Ilustrujmo koncept rekurentnih odnosa klasičnim problemom koji je postavio i proučavao Fibonači oko 1200. godine.
Fibonači je svoj problem postavio u formi priče o stopi rasta populacije zečeva pod sledećim pretpostavkama. Sve počinje sa jednim parom zečeva. Svaki par zečeva postaje plodan (fertilan) nakon mjesec dana, nakon čega svaki par svakog mjeseca rađa novi par zečeva. Zečevi nikada ne umiru i njihova reprodukcija nikada ne prestaje. Neka F n- broj parova zečeva u populaciji nakon n mjeseci i neka se ova populacija sastoji od N n parovi legla i O n“stari” parovi, tj. F n = N n + O n. Dakle, u narednih mjesec dana će se desiti sljedeći događaji:
Staro stanovništvo u ( n+1)-ti trenutak će se povećati za broj porođaja u tom trenutku n, tj. O n+1 = O n + N n= F n;
Svaki stari u nekom trenutku n par proizvodi u trenutku ( n+1) par potomaka, tj. Nn+1= C n.
Sljedećeg mjeseca, ovaj obrazac se ponavlja:
O n+2 = O n+1+ Nn+1= Fn+1,
Nn+2=O n+1;
kombinujući ove jednakosti, dobijamo Fibonačijev rekurentni odnos:
O n+2 + Nn+2=Fn+1 + O n+1,
Fn+2 = Fn+1 + F n. (4.8)
Izbor početnih uslova za Fibonačijev niz nije važan; bitna svojstva ovog niza određena su rekurentnom relacijom (4.8). Obično se veruje F0=0, F1=1 (ponekad F0=F1=1).
Rekurentna relacija (4.8) je poseban slučaj homogenih linearnih rekurentnih odnosa sa konstantnim koeficijentima:
x n = a 1 x n-1 + a 2 x n-2 +…a k x n-k , (4.9)
gdje su koeficijenti a i ne zavisi od n i x 1, x2, …, x k smatraju se datim.
Postoji opći način rješavanja (tj x n kao funkcija n) linearne rekurentne relacije sa konstantnim koeficijentima. Razmotrimo ovu metodu koristeći relaciju (4.8) kao primjer. Rješenje nalazimo u formi
F n=crn (4.10)
sa stalnim With i r. Zamjenom ovog izraza u (4.8) dobijamo
cr + 2 = crn+ 1 + crn,
crn(rn-r-1)=0. (4.11)
To znači da F n=crn je rješenje ako bilo With=0, ili r= 0 (i stoga F n =0 za sve n), a također (a ovo je zanimljiviji slučaj) ako r 2 - r -1=0, i konstanta With proizvoljno. Tada iz (4.11) slijedi
r= ili r = . (4.12)
Broj "1,618" poznat je kao "zlatni" odnos, jer se od davnina vjerovalo da trougao (pravougaonik) sa stranicama 1 ima najugodnije proporcije.
Zbir dva rješenja homogenog linearnog ponavljanja očito je također rješenje, a zapravo se može pokazati da je opće rješenje Fibonačijevog niza
F n= 
, (4.13)
gdje su konstante With i sa' određuju se početnim uslovima. Stavljajući F 0 =0 i F 1 =1, dobijamo sledeći sistem linearnih jednačina:
, (4.14)
čije rešenje daje
c = -c" = . (4.15)
Linearne rekurentne relacije sa konstantnim koeficijentima. Osnovne definicije i primjeri rekurentnih relacija Često se rješenje jednog kombinatornog problema može svesti na rješavanje sličnih problema manje dimenzije uz pomoć neke relacije koja se naziva recurrence od latinske riječi recurrere - vratiti se. Dakle, rješenje složenog problema može se dobiti sukcesivnim pronalaženjem rješenja za lakše probleme, a zatim ponovnim izračunavanjem prema rekurentnim relacijama kako bi se pronašlo rješenje za težak problem. Rekurentni odnos...
Podijelite rad na društvenim mrežama
Ako vam ovaj rad ne odgovara, na dnu stranice nalazi se lista sličnih radova. Možete koristiti i dugme za pretragu
Aranov Viktor Pavlovič Discrete Math. Odjeljak 2. Elementi kombinatorike.
Predavanje 5
Predavanja 5. METODA PONOVNIH ODNOSA
Plan predavanja:
- Osnovne definicije i primjeri rekurentnih odnosa.
- Linearne rekurentne relacije sa konstantnim koeficijentima. Formula
Binet.
- Osnovne definicije i primjeri rekurentnih odnosa
Često se rješenje jednog kombinatornog problema može svesti na rješenje sličnih problema niže dimenzije korištenjem neke relacije zvane rijeka R najam (od latinske riječi recurrere - povratak). Dakle, rješenje složenog problema može se dobiti uzastopnim pronalaženjem rješenja za lakše probleme, a dalje, n e računajući rekurentnim relacijama, pronaći rješenje za težak problem.
Rekurentna relacija -tog redaizmeđu elemenata niza brojeva naziva se formula oblika
(1)
Privatna odlukarelacija recidiva je bilo koji nasljednik b odnos koji relaciju (1) pretvara u identitet. Relacija (1) im e postoji beskonačno mnogo konkretnih rješenja, budući da su prvi elementi sekvencijalni O sti se može podesiti proizvoljno. Na primjer, niz je str e rekurentna relacija O rješenja, pošto identitet vrijedi.
Poziva se rješenje rekurentne relacije -tog reda uobičajeno, ako je za a zavisi od proizvoljnih konstanti, a izborom ovih konstanti možemo dobro ali dobiti bilo kakvo rješenje ove relacije. Na primjer, za omjere e niya
(2)
opšte rešenje bi bilo
. (3)
Zaista, lako je provjeriti da niz (3) pretvara relaciju (2) u identitet. Stoga je potrebno samo pokazati da svako rješenje relacije (2) može dobro ali predstavljaju u obliku (3). Ali svako rješenje ovog odnosa je jednoznačno određeno. T sa vrijednostima i. Stoga moramo dokazati da za bilo koje brojeve i postoji m a koje vrednosti i šta
Pošto ovaj sistem ima rješenje za bilo koje vrijednosti i, onda je rješenje (3) zaista općenito rješenje relacije (2).
Primjer 1. Fibonačijevi brojevi.Godine 1202. poznati italijanski matematičar Le O Nardo iz Pize, koji je poznatiji po svom nadimku Fibonacci ( Fib o nacci - skraćeno filius Bonacci , tj. sina Bonaccija), napisana je knjiga “ Liber abacci "(" Knjiga i ha o abakusu"). Ova knjiga je do nas došla u svojoj drugoj verziji, koja datira iz 1228. Razmotrimo jedan od mnogih problema navedenih u ovoj knjizi.
Par zečeva donosi jednom mjesečno potomstvo od dva zeca (ženku i mužjaka) itd. i nego novorođeni zečevi, dva mjeseca nakon rođenja, već nose potomstvo. Koliko će se zečeva pojaviti e res godine, ako je na početku godine bio jedan par zečeva?
Iz stanja zadatka proizilazi da će za mjesec dana biti dva para zečeva. Dva mjeseca kasnije ja sam samo će prvi par zečeva dati potomstvo, a vi ćete dobiti 3 para. A u narednih mjesec dana i originalni par zečeva i par zečeva koji se pojavio prije dva mjeseca će dati potomstvo. Dakle, ukupno će biti 5 pari zečeva itd.
Označimo brojem parova zečeva nakon mjeseci od početka r O Da. Onda će za nekoliko mjeseci biti ovih parova i još toliko novorođenih parova. O lica, koliko ih je bilo na kraju 1. mjeseca, odnosno više parova. Dakle, postoji r e omjer struje
. (4)
Pošto, onda sekvencijalno nalazimo: itd. Ovi brojevi čine niz
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,…,
pozvao u blizini Fibonaccija, i njegovi članovi - Fibonačijevi brojevi. Imaju niz divnih svojstava. Fibonačijevi brojevi su povezani sa sledećim kombinatorom ali težak zadatak.
Pronađite broj binarnih riječi dužine u kojima ne idu dvije jedinice d red.
Nazovimo ove riječi ispravan i označimo njihov broj sa . Podijelimo skup ovih redovnih riječi u dvije klase: riječi koje završavaju na nulu i riječi koje završavaju na jedan. Označimo broj riječi u ovim klasama i T odgovoran. Prema pravilu sabiranja
(5)
Očigledno, za riječ koja se završava na nulu, prvi znakovi formiraju redovnu riječ dužine, ili drugim riječima, postoji bijekcija između skupa riječi regularne dužine koje završavaju nulom i skupa riječi regularne dužine, tj.
Ako se valjana riječ dužine završava na jedan, tada prethodni znak te riječi mora biti nula, a prvi znakovi moraju činiti riječ važeće dužine. Kao iu prethodnom slučaju, opet imamo bijekciju između skupa regularnih riječi dužine koje se završavaju na jedan i skupa regularnih riječi dužine. Dakle. . Iz formule (5) dobijamo rekurzivnu relaciju O
. (6)
Za korištenje rekurentne relacije neophodno je za ovaj proračun With promjena svih prethodnih vrijednosti. Na primjer, ako trebamo znati broj pravila b riječi od 10 znakova, onda se može pronaći uzastopnim popunjavanjem sljedeće tabele b lice:
Tabela 1
Prve dvije vrijednosti se nalaze direktno (-riječi 0 i 1; - riječi 000, 010, 101), a ostale - po formuli (6).
Primjer 2 Problem postavljanja zagrada u izraz sa neasocijativnom kantom operacija. Neka “” označava neku binarnu operaciju. Uzmite u obzir s izraz u kojem simbol označava neku binarnu neasocijaciju a aktivni rad. Koliko različitih načina raspoređivanja zagrada postoji u ovome s raz e nii?
Primjer neasocijativne operacije je vektorski proizvod. Drugi primjer je uobičajeno sabiranje i množenje koje se izvodi na računaru. In with i da je zastupljenost svakog broja u memoriji računara ograničena određenim n broj cifara, pri izvođenju svake operacije dolazi do greške i m Očekivani rezultat ovih grešaka zavisi od rasporeda zagrada. Neka - mašina nula . To znači da. Onda dok.
Označimo broj mogućih načina raspoređivanja zagrada sa. Onda
Operaciju nazivamo uslovno proizvodom. Za proizvoljno, sve načine raspoređivanja zagrada dijelimo u klase, uključujući u -tu klasu načine na koje a chala, proizvod prvog i posljednjeg operanda se izračunava s određenom udaljenosti a nove zagrade, a zatim se izračunava njihov proizvod:
(7)
gdje.
Po definiciji, broj načina uređenja zagrada za izračunavanje prvih operanada je jednak, a posljednji - . Prema pravilu proizvoda, broj aranžmana O strana za izraz (4) jednaka. Prema pravilu sabiranja
, (8)
Na primjer, .
- Linearne rekurentne relacije sa konstantnim koeficijentima
Neka je funkcija na relaciji (1) prava th noah
, (9)
gdje su neki brojevi. Takvi omjeri se nazivaju linearni odnosi rješenja -tog reda sa konstantnim koeficijentima.
Hajde da prvo ispitamo relacije drugog reda detaljno, a zatim pređimo na o b aktuelna prilika. Na , iz formule (9) dobijamo
, . (10)
Rješenje ovih odnosa zasniva se na sljedećim lako dokazanim tvrdnjama e niyakh.
Lema 1. Neka je rješenje relacije (10) i bilo koji broj. Tada je riješen i niz i jedite ovaj omjer.
Lema 2. Neka i budu rješenja O rješenja (10). Tada je i niz ja sam je rješenje za ovaj odnos.
Ove dvije jednostavne leme dovode do sljedećeg važnog zaključka. scoop P postojanje svih mogućih sekvenci sa operacijama mirovanja R dinatičko sabiranje i množenje skalarom formira vektorski prostor. scoop P broj nizova koji su rješenja relacije (10) predstavlja s O boriti se sa podprostorom tog prostora. Ograđeni prostor svih mogućih O sekvence je beskonačno-dimenzionalan, ali podprostor rješenja linearnog rekurentnog T relacija ima konačnu dimenziju jednaku redu jednačine e niya.
Lema 3. Dimenzija prostora rješenja rekurentne relacije (10) jednaka je dva.
Iz leme 3 proizilazi da je za određivanje svih rješenja jednačine (12) potrebno pronaći dva linearno nezavisna rješenja. Bilo koje drugo rješenje će biti b je linearna kombinacija ovih osnovnih rješenja.
Razmotrimo rekurentnu relaciju prvog reda
, (11)
gdje je konstanta.
Ako, onda iz (11) imamo
, (12)
to jest, rješenje rekurzivne jednadžbe prvog reda je geometrijska progresija.
Rješenje rekurentne relacije drugog reda tražit ćemo iu obliku (12). Zatim, zamjenom (12) u (9), dobijamo
. (13)
Za =0 imamo nulto rješenje, koje nije od interesa. Uzimajući u obzir, posljednji omjer dijelimo sa:
(14)
Dakle, geometrijska progresija (12) je rješenje rekurentne relacije (10) ako je nazivnik progresije korijen kvadratne jednadžbe e niya (14). Ova jednačina se zovekarakteristična jednačinaza ponavljajuće gukanje t nosi (9).
Konstrukcija osnovnih rješenja ovisi o korijenima i karakterističnoj jednadžbi (14).
- (). U ovom slučaju imamo dva rješenja i, što l i nepoznato sims. Da bismo to potvrdili, pokazujemo to iz formule
(15)
odgovarajućim izborom konstanti može se dobiti bilo koje rješenje relacije (10). Razmotrite proizvoljno rješenje. Biramo konstante i tako da za i:
(16)
Odrednica linearnog sistema (16)
dakle, sistem ima jedinstveno rješenje, što znači da je formula (15) opći r e odnos (10).
- . U slučaju višestrukih korijena, karakteristična jednadžba (13) ima oblik ili. Zatim i za relaciju (10) str O dobijamo jednačinu koja daje dva osnovna rješenja i. Opšte rješenje je predstavljeno kao
. (17)
U slučaju relacije th reda (9) javljaju se iskazi slični onima koji se razmatraju za jednačine 2. reda.
- Skup svih rješenja jednačine (9) je podprostor u pr O prostor svih sekvenci.
- Dimenzija ovog prostora je jednaka, odnosno svako rješenje je jednoznačno određeno svojim prvim vrijednostima.
- Za određivanje osnove podprostora rješenja, karakteristika e jednačina
. (18)
Polinom
(19)
pozvao karakteristični polinomrekurzivna relacija (9).
- Ako karakteristična jednadžba ima različite korijene, onda opće rješenje rekurentne relacije (9) ima oblik
. (20)
Za date početne vrijednosti rješenja, konstante n a izaći iz sistema
- Ako je korijen jednadžbe karakteristične višestrukosti, onda relacija (9) ima sljedeća rješenja
Neka karakteristična jednadžba (18) ima korijene: ,..., množenosti sa O odgovorno, ..., štaviše. Zatim skup karakteristika O pojam i opšte rješenje relacije (9) predstavljeni su kao
Primjer 3. Binet formula . Postavimo zadatak da dobijemo formulu u eksplicitnom obliku za h i sat Fibonacci. Da bismo to učinili, nalazimo rješenje rekurentne relacije (4) pod uslovom da. Sastavljamo karakterističnu jednačinu, nalazimo njene korijene i dobivamo opće rješenje. Konstante i definicije e lim od početnih uslova: . Onda bilo
, (21)
gdje je zlatni rez. Formula (21) se zove Binetova formula . Gde. Iz Binetove formule to proizilazi.
Ostali povezani radovi koji bi vas mogli zanimati.vshm> |
|||
| 3792. | Racionalnost pokazatelja u imovini preduzeća | 113.83KB | |
| Bilans stanja je glavni oblik finansijskih izvještaja. Karakteriše imovinsko i finansijsko stanje organizacije na datum izvještavanja. Bilans stanja odražava stanja svih računovodstvenih računa na datum izvještavanja. Ovi pokazatelji su dati u bilansu stanja u određenoj grupi. | |||
| 8407. | konstantna metoda | 17.82KB | |
| Za objektnu metodu se kaže da ima svojstvo nepromjenjivosti (konstantnosti) ako se nakon njenog izvršenja stanje objekta ne promijeni. Ako ne kontrolirate svojstvo nepromjenjivosti, tada će njeno osiguranje u potpunosti ovisiti o vještini programer. Ako nepromjenjiva metoda proizvodi vanjske efekte tokom izvršavanja, onda rezultat može biti najneočekivaniji i vrlo je teško otkloniti greške i održavati takav kod. | |||
| 13457. | Metoda fazne ravni | 892.42KB | |
| Metodu fazne ravni prvi je primijenio francuski naučnik Henri Poincaré u proučavanju nelinearnih sistema. Glavna prednost ove metode je tačnost i vidljivost analize kretanja nelinearnog sistema. Metoda je kvalitativna | |||
| 2243. | MOGUĆI PRAVCI METODA | 113.98KB | |
| Ideja metode mogućih MRI smjerova je da u svakoj uzastopnoj tački postoji smjer spuštanja tako da pomicanje točke duž ovog smjera za određenu udaljenost ne krši ograničenja problema. Smjer određen vektorom naziva se mogućim smjerom u tački ako dovoljno malo kretanje iz smjera ne odvede tačku izvan dopuštene površine m. Očigledno, ako je unutrašnja tačka skupa, onda bilo koji smjer u ovom tačka je moguća. Moguće... | |||
| 12947. | METODA HARMONIČKE LINEARIZACIJE | 338.05KB | |
| Prelazeći direktno na razmatranje metode harmonijske linearizacije, pretpostavićemo da je nelinearni sistem koji se proučava sveden na oblik prikazan u. Nelinearni element može imati bilo koju karakteristiku sve dok je integrabilan bez diskontinuiteta druge vrste. Transformacija ove varijable za primjer nelinearnim elementom sa mrtvom zonom prikazana je na sl. | |||
| 2248. | Grafička metoda za rješavanje LLP | 219.13KB | |
| Tačke koje leže unutar i na granici ovog područja su važeće ravni. Naime, sve tačke segmenta AB su optimalni planovi problema na kojima se postiže maksimalna vrijednost linearne forme. Metoda poboljšanja sekvencijalnog plana Metoda se zasniva na uređenom nabrajanju ugaonih tačaka skupa planova problema u pravcu povećanja ili smanjenja linearne forme i sadrži tri bitne tačke. Prvo je specificirana metoda za izračunavanje osnovne linije. | |||
| 7113. | Metoda harmonične linearizacije | 536.48KB | |
| Metoda harmonične linearizacije Pošto je ova metoda približna, dobijeni rezultati će biti bliski istini samo ako su ispunjene određene pretpostavke: Nelinearni sistem treba da sadrži samo jednu nelinearnost; Linearni dio sistema bi trebao biti niskopropusni filter koji prigušuje više harmonike koji se javljaju u graničnom ciklusu; Metoda je primjenjiva samo na autonomne sisteme. Proučavamo slobodno kretanje sistema, odnosno kretanje pod početnim uslovima koji nisu nula u odsustvu spoljašnjih uticaja.... | |||
| 10649. | Indeksna metoda analize | 121.13KB | |
| pojedinačni indeksi. Opšti agregatni indeksi. Prosječni konvertirani indeksi. Indeksi promjenljivog i konstantnog sastava, indeksi strukturnih pomaka. | |||
| 12914. | Metoda najmanjeg kvadrata | 308.27KB | |
| Neka to znamo iz teorijskih razmatranja. Stoga možemo reći da je naš zadatak da povučemo pravu liniju na najbolji mogući način. Pretpostavićemo da cela greška leži u tome. Odabrat ćemo željene koeficijente iz razmatranja tako da slučajni zbroj bude najmanji. | |||
| 9514. | Računovodstvena metoda | 1002.23KB | |
| Računovodstveni rahunki koji ih pobudova. Vín sladêtsya iz niza elementív golovní z yakikh: dokumentacija; inventar; rahunki; podzapis; procjena; proračun; balans; solidnost. Rahunki računovodstvo prepoznaje pojavu prisutnosti imovine i obaveza. Računovodstveni rahunki koji ih pobudova. | |||
PONAVLJANJE ODNOSA
PONAVLJANJE ODNOSA
(od lat. recur-rens, genus case recurrentis - vraćanje) - f-ovi istog tipa, koji povezuju određeni niz jedan za drugim (to može biti niz brojeva, f-cija, itd.). Ovisno o prirodi objekata povezanih sa R. sa., ovi odnosi mogu biti algebarski, funkcionalni, diferencijalni, integralni itd.
Naib. dobro poznata klasa R. s. su rekurentne funkcije za posebne funkcije. Da, za cilindrične funkcije Z m (x)P. With. izgleda kao
Dopuštaju po funkciji Z m0 (x) pronaći funkcije Z m (x)at T= T 0 b 1, T 0 b 2 itd. ili, na primjer, prema vrijednostima funkcija 
u nekom trenutku X 0 . 0 pronaći (u numeričkim proračunima) vrijednost bilo koje funkcije
Na istom mestu (ovde m 0 - bilo koji realan broj).
dr. važna klasa R. s. dati brojne metode uzastopnih aproksimacija (usp. metoda iteracije); evo metoda perturbacije teorije.
U kvantnoj mehanici postoji još jedan tip R. s., povezujući vektori u Hilbertovom prostoru stanja. Na primjer, stacionarne harmonije, oscilatori su parametrizirani nenegativnim cijelim brojevima. Odgovarajući vektori, označeni sa , gdje n- cijeli, sa različitim n mogu se dobiti jedni od drugih djelovanjem operatora kreiranja a + i uništenje a:
Ovi odnosi se mogu riješiti izražavanjem bilo kojeg vektora u terminima (najniže energetsko stanje, h = 0):
Generalizacija ove konstrukcije je reprezentacija druga kvantizacija u kvantnoj statistici. mehanika i kvantna teorija polja (vidi Fock svemir).
Tipičan primjer R. s. u statistici mehanika - jednadžbe za parcijalne funkcije distribucije koje čine Bogoljubov lanac (vidi. jednadžbe Bogoljubova); poznavanje takvih f-cija vam omogućava da pronađete sve termodinamičke. karakteristike sistema.
U kvantnoj teoriji polja dinamika. sadržane, na primjer, u Greenove funkcije. Za njihov proračun, razne aproksimacije, najčešće - proračuni teorije perturbacija. Alternativni pristup je zasnovan na integro-diferencijalnom Dysonove jednadžbe, koji su R. s.: jednačina za Grinovu funkciju u dvije tačke sadrži jednu od četiri tačke itd. Kao i jednačina Bogoljubova, ovaj sistem se može riješiti samo "prekidanjem" lanca (mjesto "preloma" se obično bira iz fizičkih razloga i određuje rezultat).
Druga vrsta R. s. u kvantnoj teoriji polja - Horda identiteta u teorijama polja za kalibraciju. Ovi identiteti također predstavljaju lanac integro-diferencijalnih odnosa koji povezuju Greenove funkcije sa dec. broj vanjskih linija, p su posljedica mjerne invarijantnosti teorije. Oni igraju odlučujuću ulogu u kontroli kalibracione simetrije tokom postupka renormalizacija.
Konačno, sama po sebi je također ponavljajuća procedura: na svakom koraku (u svakoj narednoj petlji) protivuslovi, dobiveno iz izračunavanja dijagrama s manje petlji (za više detalja vidi R operacija).A. M. Malokostov.
Fizička enciklopedija. U 5 tomova. - M.: Sovjetska enciklopedija. Glavni i odgovorni urednik A. M. Prokhorov. 1988 .
Pogledajte šta je "PONAVLJANJE VEZA" u drugim rječnicima:
rekurentni odnosi- - [L.G. Sumenko. Engleski ruski rječnik informacionih tehnologija. M.: GP TsNIIS, 2003.] Teme informacione tehnologije u opštem EN rekurentnim odnosima ... Priručnik tehničkog prevodioca
- (Weberove funkcije) opšti naziv za specijalne funkcije koje su rješenja diferencijalnih jednačina dobijenih primjenom metode razdvajanja varijabli za jednadžbe matematičke fizike, kao što je Laplaceova jednačina, jednačina... ... Wikipedia
Ili je Josifova rima dobro poznati matematički problem sa istorijskim prizvukom. Zadatak je zasnovan na legendi da odred Josifa Flavija, koji je branio grad Jodfat, nije htio da se preda nadmoćnijim snagama Rimljana koji su blokirali pećinu. ... ... Wikipedia.
Pafnuty Lvovich Chebyshev U matematici, beskonačan niz realnih polinoma naziva se niz ortogonalnih polinoma ... Wikipedia
Ovaj članak je predložen za brisanje. Objašnjenje razloga i odgovarajuću diskusiju možete pronaći na stranici Wikipedije: Za brisanje / 22. novembar 2012. Dok traje proces diskusije ... Wikipedia
Padovanski niz je cjelobrojni niz P(n) sa početnim vrijednostima i linearnom rekurentnom relacijom. Prve vrijednosti P(n) su 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28 , 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, 265 ... Wikipedia
Hermitski polinomi određenog oblika su niz polinoma u jednoj realnoj varijabli. Hermitski polinomi nastaju u teoriji vjerovatnoće, kombinatorici i fizici. Ovi polinomi su nazvani po Charlesu Hermiteu. Sadržaj 1 ... ... Wikipedia
- (Beselove funkcije) rješenja Zv(z) Beselove jednadžbe gdje je parametar (indeks) v proizvoljan realan ili kompleksan broj. U aplikacijama se često susreće jednadžba koja zavisi od četiri parametra: čija su rješenja izražena u C... Physical Encyclopedia
Metoda za rješavanje sistema linearne algebare. jednačine A x= b sa hermitovskom nesingularnom matricom A. Među direktnim metodama, najefikasnija je kada se implementira na računaru. Računska shema metode je općenito zasnovana na Hermitskoj faktorizaciji ... ... Mathematical Encyclopedia
Modificirane Besselove funkcije su Beselove funkcije čisto imaginarnog argumenta. Ako zamijenimo sa u Besselovoj diferencijalnoj jednadžbi, ona će poprimiti oblik Ova jednačina se zove modificirana Beselova jednačina ... Wikipedia
Relacija recidiva ima nalog k , ako dozvoljava izražavanje f(n+k) u terminima f(n), f(n+1), …, f(n+k-1).
Primjer.
f(n+2)=f(n)f(n+1)-3f 2 (n+1)+1 je rekurentna relacija drugog reda.
f(n+3)=6f(n)f(n+2)+f(n+1) je rekurentna relacija trećeg reda.
Ako je data rekurentna relacija k-tog reda, onda je može zadovoljiti beskonačno mnogo nizova, budući da se prvih k elemenata niza može postaviti proizvoljno - među njima nema relacija. Ali ako je dato prvih k članova, onda su svi ostali elementi jednoznačno određeni.
Koristeći rekurentnu relaciju i početne članove, moguće je ispisati članove niza jedan po jedan, i prije ili kasnije ćemo dobiti bilo kojeg od njegovih članova. Međutim, ako trebate znati samo jedan određeni član niza, onda nije racionalno izračunati sve prethodne. U ovom slučaju je zgodnije imati formulu za izračunavanje n-tog člana.
Rješenje rekurentne relacije svaki niz za koji data relacija vrijedi identično se zove.
Primjer. Niz 2, 4, 8, …, 2 n je rješenje za relaciju f(n+2)=3∙f(n+1) – 2∙f(n).
Dokaz. Uobičajeni član niza je f(n)=2 n . Dakle, f(n+2)= 2 n+2, f(n+1)= 2n+1. Za bilo koje n vrijedi identitet 2 n+2 =3∙2 n+1 – 2∙2 n. Dakle, zamjenom niza 2 n u formulu f(n+2)=3f(n+1) – 2f(n), relacija se ispunjava identično. Dakle, 2 n je rješenje navedene relacije.
Rješenje rekurentne relacije k-ti red se zove general, ako zavisi od k proizvoljnih konstanti α 1 , α 2 , … α k i izborom ovih konstanti može se dobiti bilo koje rješenje ove relacije.
Primjer. Rekurentna relacija je data: f(n+2)=5f(n+1)-6f(n). Dokažimo da njegovo opšte rješenje ima oblik: f(n)= α 2 n + β3 n .
1. Prvo ćemo dokazati da je niz f(n)=α 2 n + β3 n rješenje rekurentne relacije. Zamijenite ovaj niz u rekurentnu relaciju.
f(n)= α 2 n + β 3 n , pa je f(n+1)= (α 2 n+1 + β 3 n +1), f(n+2)= α 2 n+2 + β 3 n +2 , onda
5f(n+1)-6f(n)=5∙(α 2 n+1 + β 3 n +1)-6∙(α 2 n + β 3 n)= α (5 2 n+1 –6 2 n)+ β (5 3 n +1 –6 3 n)= =α2 n ∙(10–6)+ β 3 n ∙(15 – 6)= α 2 n+2 + β 3 n +2 = f( n+2).
Rekurentna relacija vrijedi, dakle, α 2 n + β 3 n je rješenje ove rekurentne relacije.
2. Dokažimo da se svako rješenje relacije f(n+2)=5f(n+1)–6f(n) može zapisati kao f(n)= α 2 n + β 3 n . Ali svako rješenje rekurentne relacije drugog reda je jednoznačno određeno vrijednostima prva dva člana niza. Stoga je dovoljno pokazati da za bilo koje a=f(1) i b=f(2) postoje α i β takvi da je 2 α +3 β =a i 4 α +9 β =b. Lako je vidjeti da sistem jednačina ima rješenje za bilo koje vrijednosti a i b.
Dakle, f(n)= α 2 n + β 3 n je opšte rješenje rekurentne relacije f(n+2)=5f(n+1)–6f(n).
Linearne rekurentne relacije sa konstantnim koeficijentima
Ne postoje opšta pravila za rešavanje rekurentnih relacija, ali postoji klasa rekurentnih odnosa koja se često javlja za koju je poznat algoritam za njihovo rešavanje. To su linearne rekurentne relacije sa konstantnim koeficijentima, tj. omjeri tipova:
f(n+k)=c 1 f(n+k-1)+c 2 f(n+k-2)+…+c k f(n).
Nađimo rješenje opšte linearne rekurentne relacije sa konstantnim koeficijentima prvog reda.
Linearna rekurentna relacija sa konstantnim koeficijentima prvog reda ima oblik: f(n+1)=c f(n).
Neka je f(1)=a, tada je f(2)=c∙f(1)=c∙a, f(3)=c∙f(2)=c 2 ∙a, slično kao f(4)=c 3 ∙a i tako dalje, imajte na umu da je f(n)=cn -1 ∙f(1).
Dokažimo da je niz c n -1 ∙f(1) rješenje rekurentne relacije prvog reda. f(n)=c n -1 ∙f(1), pa je f(n+1)=c n f(1). Zamjenom ovog izraza u relaciju dobijamo identičnost c n f(1)=s∙ c n -1 ∙f(1).
Razmotrimo sada detaljnije linearne rekurentne relacije sa konstantnim koeficijentima drugog reda , odnosno odnosi oblika
f(n+2)=C 1 ∙f(n+1)+C 2 ∙f(n). (*).
Imajte na umu da sva razmatranja vrijede i za odnose višeg reda.
Svojstva rješenja:
1) Ako je niz x n rješenje (*), tada je i niz a∙x n rješenje.
Dokaz.
x n je rješenje za (*), dakle x n +2 =C 1 x n +1 +C 2 x n . Obje strane jednakosti množimo sa a. Dobijamo a∙x n +2 =a∙(S 1 ∙x n +1 +S 2 ∙x n)= S 1 ∙a∙x n +1 +S 2 ∙a∙x n . To znači da je ax n rješenje (*).
2) Ako su nizovi x n i y n rješenja (*), tada je i niz x n +y n rješenje.
Dokaz.
x n i y n su rješenja, tako da vrijede sljedeći identiteti:
x n +2 \u003d C 1 x n +1 + C 2 x n.
y n +2 =C 1 y n +1 +C 2 y n .
Dodajmo dvije jednakosti pojam po član:
xn +2 +yn +2 =S 1 ∙xn +1 +S 2 ∙xn + S 1 ∙yn +1 +S 2 ∙yn = S 1 ∙(xn +1 + yn +1)+S 2 ∙(xn +yn). To znači da je x n +y n rješenje za (*).
3) Ako je r 1 rješenje kvadratne jednačine r 2 =S 1 r+S 2, tada je niz (r 1) n rješenje relacije (*).
r 1 je rješenje kvadratne jednadžbe r 2 =C 1 r+C 2 , pa je (r 1) 2 =C 1 r 1 +C 2 . Pomnožimo obje strane jednakosti sa (r 1) n . Get
r 1 2 r 1 n \u003d (C 1 r 1 + C 2) r n.
r 1 n +2 \u003d C 1 r 1 n +1 + C 2 r 1 n.
To znači da je niz (r 1) n rješenje za (*).
Iz ovih svojstava slijedi način rješenja linearne rekurentne relacije sa konstantnim koeficijentima drugog reda:
1. Sastaviti karakterističnu (kvadratnu) jednačinu r 2 =C 1 r+C 2 . Nađimo njegove korijene r 1, r 2. Ako su korijeni različiti, onda je opšte rješenje f(n)= ar 1 n +βr 2 n .
2. Naći koeficijente a i β. Neka je f(0)=a, f(1)=b. Sistem jednačina
ima rješenje za bilo koje a i b. Ova rješenja jesu
Zadatak . Nađimo formulu za zajednički termin Fibonačijevog niza.
Rješenje .
Karakteristična jednadžba ima oblik x 2 = x + 1 ili x 2 -x-1 = 0, njeni korijeni su brojevi, što znači da opće rješenje ima oblik f (n) \u003d 
. Kao što je lako vidjeti, iz početnih uslova f(0)=0, f(1)=1 proizlazi da je a=-b=1/Ö5, pa prema tome, opšte rješenje Fibonačijevog niza ima oblik :
.
Iznenađujuće, ovaj izraz uzima cjelobrojne vrijednosti za sve prirodne vrijednosti n.
