Linearni vektorski prostor i njegova svojstva aksioma. Linearni vektorski prostor: definicija, svojstva. Šta je linearna kombinacija vektora?

Materijal sa Wikipedije - slobodne enciklopedije

Vector(ili linearno) prostor- matematička struktura, koja je skup elemenata koji se nazivaju vektori, za koje su definirane operacije međusobnog sabiranja i množenja brojem - skalar. Ove operacije podliježu osam aksioma. Skalari mogu biti elementi realnog, kompleksnog ili bilo kojeg drugog brojevnog polja. Poseban slučaj takvog prostora je uobičajeni trodimenzionalni euklidski prostor, čiji se vektori koriste, na primjer, za predstavljanje fizičkih sila. Treba napomenuti da vektor kao element vektorskog prostora ne mora nužno biti specificiran u obliku usmjerenog segmenta. Uopštavanje koncepta "vektora" na element vektorskog prostora bilo koje prirode ne samo da ne uzrokuje zbrku pojmova, već omogućava razumijevanje ili čak predviđanje niza rezultata koji vrijede za prostore proizvoljne prirode.

Vektorski prostori su predmet linearne algebre. Jedna od glavnih karakteristika vektorskog prostora je njegova dimenzija. Dimenzija predstavlja maksimalan broj linearno nezavisnih elemenata prostora, odnosno, pribjegavajući grubom geometrijskom opisu, broj pravaca koji se ne mogu izraziti jedan kroz drugi samo operacijama sabiranja i množenja skalarom. Vektorski prostor može biti obdaren dodatnim strukturama, kao što je norma ili unutrašnji proizvod. Takvi se prostori prirodno pojavljuju u matematičkoj analizi, prvenstveno u obliku beskonačno-dimenzionalnih funkcionalnih prostora ( engleski), gdje se funkcije koriste kao vektori. Mnogi problemi analize zahtijevaju otkrivanje da li niz vektora konvergira datom vektoru. Razmatranje ovakvih pitanja moguće je u vektorskim prostorima sa dodatnom strukturom, u većini slučajeva odgovarajućom topologijom, koja nam omogućava da definišemo koncepte blizine i kontinuiteta. Takvi topološki vektorski prostori, posebno Banahovi i Hilbertovi prostori, omogućavaju dublje proučavanje.

Pored vektora, linearna algebra proučava i tenzore višeg ranga (skalar se smatra tenzorom ranga 0, vektor se smatra tenzorom ranga 1).

Prvi radovi koji su anticipirali uvođenje koncepta vektorskog prostora datiraju iz 17. stoljeća. Tada je počela da se razvija analitička geometrija, doktrina matrica, sistema linearnih jednačina i euklidskih vektora.

Definicija

Linearno, ili vektorski prostor $V\backslash lijevo\; (F\backslash desno)$ preko terena $F$- Ovo je naručena četvorka $(V,F,+,\backslash cdot)$, Gdje

• $V$- neprazan skup elemenata proizvoljne prirode, koji se nazivaju vektori;
• $F$- (algebarsko) polje čiji se elementi nazivaju skalarima;
• Definisana operacija dodatak vektori $V\backslash puta\; V\backslash do\; V$, koji povezuje svaki par elemenata $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)$ setovi $V$ $V$ nazvao ih iznos i određen $\backslash mathbf(x)\; +\; \backslash mathbf(y)$;
• Definisana operacija množenje vektora sa skalarima $F\backslash puta\; V\backslash do\; V$, koji odgovara svakom elementu $\backslash lambda$ polja $F$ i svaki element $\backslash mathbf(x)$ setovi $V$ jedini element skupa $V$, označeno $\backslash lambda\backslash cdot\backslash mathbf(x)$ ili $\backslash lambda\backslash mathbf(x)$;

Vektorski prostori definirani na istom skupu elemenata, ali preko različitih polja, bit će različiti vektorski prostori (na primjer, skup parova realnih brojeva $\backslash mathbb(R)^2$ može biti dvodimenzionalni vektorski prostor nad poljem realnih brojeva ili jednodimenzionalni - nad poljem kompleksnih brojeva).

Najjednostavnija svojstva

1. Vektorski prostor je Abelova grupa pod sabiranjem.
2. Neutralni element $\backslash mathbf(0)\; \backslash u\; V$
3. $0\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(0)$ za bilo koga $\backslash mathbf(x)\; \backslash u\; V$.
4. Za bilo koga $\backslash mathbf(x)\; \backslash u\; V$ suprotni element $-\backslash mathbf(x)\backslash u\; V$ je jedina stvar koja slijedi iz svojstava grupe.
5. $1\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(x)$ za bilo koga $\backslash mathbf(x)\; \backslash u\; V$.
6. $(-\backslash alpha)\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\backslash cdot(-\backslash mathbf(x))\; =\; -(\backslash alpha\backslash mathbf(x))$ za bilo koji $\backslash alpha\; \backslash u\; F$ I $\backslash mathbf(x)\; \backslash u\; V$.
7. $\backslash alpha\backslash cdot\; \backslash mathbf(0)\; =\; \backslash mathbf(0)$ za bilo koga $\backslash alpha\; \backslash u\; F$.

Povezane definicije i svojstva

Podprostor

Algebarska definicija: Linearni podprostor ili vektorski podprostor- neprazan podskup $K$ linearni prostor $V$ takav da $K$ je sam linearan prostor u odnosu na one definirane u $V$ operacije sabiranja i množenja skalarom. Skup svih podprostora obično se označava kao $\backslash mathrm(Lat)(V)$. Da bi podskup bio podprostor potrebno je i dovoljno da

1. za bilo koji vektor $\backslash mathbf(x)\backslash u\; K$, vektor $\backslash alpha\backslash mathbf(x)$ takođe pripadao $K$, za bilo koje $\backslash alpha\backslash u\; F$;
2. za sve vektore $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash u\; K$, vektor $\backslash mathbf(x)+\backslash mathbf(y)$ takođe pripadao $K$.

Posljednje dvije izjave su ekvivalentne sljedećem:

Za sve vektore $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash u\; K$, vektor $\backslash alpha\backslash mathbf(x)+\backslash beta\backslash mathbf(y)$ takođe pripadao $K$ za bilo koji $\backslash alfa,\; \backslash beta\; \backslash u\; F$.

Konkretno, vektorski prostor koji se sastoji od samo jednog nultog vektora je podprostor bilo kojeg prostora; svaki prostor je podprostor za sebe. Podprostori koji se ne poklapaju sa ova dva nazivaju se vlastiti ili netrivijalan.

Svojstva podprostora

• Presjek bilo koje porodice podprostora je opet podprostor;
• Zbir podprostora $\backslash (K\_i\backslash quad|\backslash quad\; i\; \backslash u\; 1\backslash ldots\; N\backslash )$ definira se kao skup koji sadrži sve moguće sume elemenata $K\_i$: $\backslash sum\_(i=1)^N\; (K\_i):=\; \backslash (\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash mathbf(x)\_N\backslash quad|\backslash quad\; \backslash mathbf(x)\_i\; \backslash in\; K\_i\backslash quad\; (i\backslash in\; 1\backslash lddots\; N)\backslash )$.
  • Zbir konačne porodice podprostora je opet podprostor.

Linearne kombinacije

Konačan iznos obrasca

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$

Linearna kombinacija se naziva:

Osnova. Dimenzija

Vektori $\backslash mathbf(x)\_1,\; \backslash mathbf(x)\_2,\; \backslash ldots,\; \backslash mathbf(x)\_n$ su pozvani linearno zavisna, ako postoji njihova netrivijalna linearna kombinacija jednaka nuli:

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n\; =\; \backslash mathbf(0),\; \backslash quad\; \backslash \; |\backslash alpha\_1|\; +\; |\backslash alpha\_2|\; +\; \backslash ldots\; +\; |\backslash alpha\_n|\; \backslash neq\; 0.$

Inače se ovi vektori nazivaju linearno nezavisna.

Ova definicija dozvoljava sljedeću generalizaciju: beskonačan skup vektora iz $V$ pozvao linearno zavisna, ako je neki linearno zavisan final njegov podskup, i linearno nezavisna, ako bilo šta od toga final podskup je linearno nezavisan.

Svojstva osnove:

• Bilo koji $n$ linearno nezavisnih elemenata $n$-dimenzionalni oblik prostora osnovu ovaj prostor.
• Bilo koji vektor $\backslash mathbf(x)\; \backslash u\; V$ može se predstaviti (jedinstveno) kao konačna linearna kombinacija osnovnih elemenata:

$\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$.

Linearna školjka

Linearna školjka $\backslash mathcal\; V(X)$ podskupovi $X$ linearni prostor $V$- presek svih podprostora $V$ koji sadrži $X$.

Linearni raspon je podprostor $V$.

Linearna ljuska se također naziva generiran podprostor $X$. Takođe se kaže da je linearna ljuska $\backslash mathcal\; V(X)$- prostor, ispružen preko gomila $X$.

Linearna školjka $\backslash mathcal\; V(X)$ sastoji se od svih mogućih linearnih kombinacija raznih konačnih podsistema elemenata iz $X$. Konkretno, ako $X$ je onda konačan skup $\backslash mathcal\; V(X)$ sastoji se od svih linearnih kombinacija elemenata $X$. Dakle, nulti vektor uvijek pripada linearnom trupu.

Ako $X$ je linearno nezavisan skup, onda je baza $\backslash mathcal\; V(X)$ i time određuje njegovu dimenziju.

Primjeri

• Nulti prostor čiji je jedini element nula.
• Prostor svih funkcija $X\backslash do\; F$ sa konačnim osloncem formira vektorski prostor dimenzije jednake kardinalnosti $X$.
• Polje realnih brojeva može se posmatrati kao kontinualno-dimenzionalni vektorski prostor nad poljem racionalnih brojeva.
• Bilo koje polje je jednodimenzionalni prostor iznad sebe.

Dodatne strukture

vidi takođe

Napišite recenziju o članku "Vektorski prostor"

Bilješke

Književnost

• Gelfand I. M. Predavanja iz linearne algebre. - 5. - M.: Dobrosvet, MTsNMO, 1998. - 319 str. - ISBN 5-7913-0015-8.
• Gelfand I. M. Predavanja iz linearne algebre. 5th ed. - M.: Dobrosvet, MTsNMO, 1998. - 320 str. - ISBN 5-7913-0016-6.
• Kostrikin A. I., Manin Yu. Linearna algebra i geometrija. 2nd ed. - M.: Nauka, 1986. - 304 str.
• Kostrikin A. I. Uvod u algebru. Dio 2: Linearna algebra. - 3. - M.: Nauka., 2004. - 368 str. - (Univerzitetski udžbenik).
• Maltsev A. I. Osnove linearne algebre. - 3. - M.: Nauka, 1970. - 400 str.

• Postnikov M. M. Linearna algebra (Predavanja iz geometrije. II semestar). - 2. - M.: Nauka, 1986. - 400 str.
• Strang G. Linearna algebra i njene primjene. - M.: Mir, 1980. - 454 str.
• Ilyin V. A., Poznyak E. G. Linearna algebra. 6th ed. - M.: Fizmatlit, 2010. - 280 str. - ISBN 978-5-9221-0481-4.
• Halmos P. Konačno-dimenzionalni vektorski prostori. - M.: Fizmatgiz, 1963. - 263 str.
• Faddeev D.K. Predavanja iz algebre. - 5. - St. Petersburg. : Lan, 2007. - 416 str.
• Šafarevič I. R., Remizov A. O. Linearna algebra i geometrija. - 1. - M.: Fizmatlit, 2009. - 511 str.
• Schreyer O., Sperner G. Uvod u linearnu algebru u geometrijskom prikazu = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Olshansky G. (prijevod s njemačkog). - M.–L.: ONTI, 1934. - 210 str.

Vektori i matrice Vektori Osnovni koncepti Vrste vektora Operacije na vektorima Vrste prostora Matrice Osnovni koncepti Ostalo

Odlomak koji karakterizira vektorski prostor

Kutuzov je hodao kroz redove, povremeno se zaustavljao i govorio pokoju ljubaznu riječ oficirima koje je poznavao iz turskog rata, a ponekad i vojnicima. Gledajući cipele, tužno je nekoliko puta odmahnuo glavom i ukazao na njih austrijskom generalu s takvim izrazom lica da kao da nije nikoga krivio za to, ali nije mogao a da ne vidi koliko je loše. Svaki put je komandant puka trčao naprijed, bojeći se da ne propusti riječ glavnokomandujućeg u vezi sa pukom. Iza Kutuzova, na tolikoj udaljenosti da se mogla čuti bilo kakva slabo izgovorena riječ, hodalo je oko 20 ljudi u njegovoj pratnji. Gospoda iz pratnje razgovarali su među sobom i ponekad se smijali. Zgodni ađutant prišao je najbliže glavnokomandujućem. Bio je to princ Bolkonski. Pored njega je išao njegov drug Nesvitsky, visok štabni oficir, izuzetno debeo, ljubaznog i nasmejanog lepog lica i vlažnih očiju; Nesvitsky se jedva suzdržavao da se ne nasmeje, uzbuđen crnkastim husarskim oficirom koji je hodao pored njega. Husarski oficir, bez osmeha, ne menjajući izraz uprtih očiju, gledao je ozbiljnim licem u leđa komandanta puka i imitirao svaki njegov pokret. Svaki put kada bi se komandant puka lecnuo i sagnuo naprijed, na potpuno isti način, na potpuno isti način, husarski oficir se lecnuo i sagnuo naprijed. Nesvitsky se nasmijao i tjerao druge da pogledaju smiješnog čovjeka.
Kutuzov je polako i tromo prolazio pored hiljada očiju koje su iskočile iz duplja, posmatrajući svog šefa. Sustigavši ​​3. četu, iznenada je stao. Svita je, ne sluteći ovo zaustavljanje, nehotice krenula prema njemu.
- Ah, Timohin! - rekao je glavnokomandujući, prepoznavši kapetana crvenog nosa, koji je stradao zbog svog plavog šinjela.
Činilo se da je nemoguće ispružiti se više nego što je Timohin ispružio, dok ga je komandant puka prekorio. Ali u tom trenutku mu se obratio glavnokomandujući, kapetan se uspravio tako da se činilo da da ga je glavnokomandujući još malo gledao, kapetan ne bi izdržao; i stoga se Kutuzov, očigledno shvaćajući njegovu poziciju i želeći, naprotiv, sve najbolje za kapetana, žurno okrenuo. Jedva primetan osmeh preleteo je Kutuzovim punašnim, izobličenim licem u ranama.
„Još jedan drug iz Izmailova“, rekao je. - Hrabri oficir! Jeste li zadovoljni time? – upitao je Kutuzov komandanta puka.
A komandant puka, odražen kao u ogledalu, njemu nevidljiv, u husarskom oficiru, uzdrhtao je, izašao i odgovorio:
- Veoma sam zadovoljan, Vaša Ekselencijo.
„Nismo svi bez slabosti“, rekao je Kutuzov, osmehujući se i udaljavajući se od njega. “Bio je odan Bacchusu.
Komandant puka se uplašio da je on kriv za to i nije ništa odgovorio. Oficir je u tom trenutku primetio kapetanovo lice sa crvenim nosom i uvučenim stomakom i imitirao njegovo lice i pozu tako blisko da Nesvicki nije mogao da prestane da se smeje.
Kutuzov se okrenuo. Bilo je jasno da oficir može da kontroliše svoje lice kako je hteo: čim se Kutuzov okrenuo, oficir je uspeo da napravi grimasu, a zatim poprimi najozbiljniji, najneviniji i najneviniji izraz.
Treća četa je bila posljednja, i Kutuzov je razmišljao o tome, očito se nečega sjećajući. Princ Andrej je izašao iz svoje pratnje i tiho rekao na francuskom:
– Naredili ste podsjetnik na Dolohova, koji je degradiran u ovom puku.
-Gde je Dolohov? – upitao je Kutuzov.
Dolohov, već obučen u vojnički sivi kaput, nije čekao da bude pozvan. Sa fronta je iskoračila vitka figura plavokosog vojnika bistrih plavih očiju. Prišao je glavnokomandujućem i stavio ga na stražu.
- TVRDITI? – upitao je Kutuzov, blago se namrštivši.
"Ovo je Dolohov", reče princ Andrej.
- A! - rekao je Kutuzov. “Nadam se da će vas ova lekcija ispraviti, dobro poslužiti.” Gospod je milostiv. I neću te zaboraviti ako to zaslužuješ.
Plave, bistre oči gledale su u vrhovnog komandanta prkosno kao u komandanta puka, kao da su svojim izrazom lica kidale veo konvencije koji je do sada delio glavnokomandujućeg od vojnika.
„Pitam jednu stvar, Vaša Ekselencijo“, rekao je svojim zvučnim, čvrstim, bez žurbe. “Molim vas, dajte mi priliku da se iskupim za svoju krivicu i dokažem svoju odanost caru i Rusiji.”
Kutuzov se okrenuo. Licem mu je bljesnuo isti osmeh u očima kao kad se okrenuo od kapetana Timohina. Okrenuo se i trgnuo se, kao da je hteo da izrazi da sve što mu je Dolohov rekao, i sve što je mogao da mu kaže, on zna odavno, dugo, da mu je sve to već dosadilo i da sve ovo nije uopšte šta mu je trebalo. Okrenuo se i krenuo prema kolicima.
Puk se raspao po četama i uputio u zadate odaje nedaleko od Braunaua, gde su se nadali da će se obući, obući i odmoriti nakon teških marševa.
– Ne polažete pravo na mene, Prohore Ignjatiču? - rekao je komandant puka, obilazeći 3. četu koja se kretala prema mestu i približavajući se kapetanu Timohinu, koji je išao ispred nje. Lice komandanta puka izražavalo je nekontrolisanu radost nakon srećno završenog pregleda. - Kraljevska služba... to je nemoguće... drugi put ćeš to završiti na frontu... Prvo ću se izviniti, znaš me... Mnogo sam ti zahvalio! - I pružio je ruku komandiru čete.
- Zaboga, generale, da li se usuđujem! - odgovori kapetan, pocrvenevši nosom, osmehujući se i sa osmehom otkrivajući nedostatak dva prednja zuba, izbijena kundakom ispod Ismaila.
- Da, recite gospodinu Dolohovu da ga neću zaboraviti, da bude miran. Da, molim te reci mi, stalno sam htela da pitam kako je, kako se ponaša? I to je sve...
„On je veoma uslužan u svojoj službi, Vaša Ekselencijo... ali zakupac...“ reče Timohin.
- Šta, kakav lik? – upitao je komandant puka.
„Vaša ekselencija danima zaključuje da je pametan, učen i ljubazan“, reče kapetan. To je zver. Ubio je Jevrejina u Poljskoj, ako izvolite...
„Pa, ​​da, dobro“, rekao je komandant puka, „još treba da sažalimo mladog čoveka u nesreći“. Na kraju krajeva, sjajne veze... Dakle, vi...
„Slušam, Vaša Ekselencijo“, rekao je Timohin, osmehujući se, stvarajući osećaj kao da razume šefove želje.
- Da da.
Komandant puka je pronašao Dolohova u redovima i zauzdao svog konja.
"Prije prvog zadatka, epolete", rekao mu je.
Dolohov je pogledao oko sebe, ništa nije rekao i nije promenio izraz svojih podrugljivo nasmejanih usta.
„Pa to je dobro“, nastavi komandant puka. “Ljudi imaju po jednu čašu votke od mene”, dodao je kako bi vojnici čuli. - Hvala svima! Nazdravlje! - I on je, pretekavši društvo, dovezao do drugog.
„Pa, ​​on je zaista dobar čovek; "Možete služiti s njim", rekao je podređeni Timohin oficiru koji je hodao pored njega.
„Jednom rečju, kralj srca!... (komandant puka je dobio nadimak kralj srca)“, rekao je podređeni oficir smejući se.
Veselo raspoloženje vlasti nakon smotre prešlo je i na vojnike. Društvo je veselo hodalo. Glasovi vojnika su govorili sa svih strana.
- Šta su rekli, krivi Kutuzov, za jedno oko?
- Inače, ne! Totalno krivo.
- Ne... brate, on ima veće oči od tebe. Čizme i čizme - sve sam pogledao...
- Kako može, brate moj, da mi gleda u noge... pa! Razmislite…
- A drugi Austrijanac, s njim, bio je kao kredom namazan. Kao brašno, belo. Ja čaj, kako čiste municiju!
- Šta, Fedeshow!... je l' rekao da si ti, kad je počela borba, stao bliže? Svi su rekli da sam Bunaparte stoji u Brunovu.
- Bunaparte je vredan toga! on laže, budalo! Šta on ne zna! Sada se Prus pobuni. Austrijanac ga, dakle, smiruje. Čim sklopi mir, tada će se otvoriti rat sa Bunaparteom. Inače, kaže, Bunaparte stoji u Brunovu! To je ono što pokazuje da je budala. Slušajte više.
- Vidi, prokleti stanari! Peta četa, vidi, već skreće u selo, skuvaće kašu, a mi još nećemo stići do mesta.
- Daj mi kreker, dovraga.
- Da li si mi juče dao duvan? To je to brate. Pa, evo nas, Bog s tobom.
“Bar su se zaustavili, inače nećemo jesti još pet milja.”
– Bilo je lepo kako su nam Nemci dali kolica. Kada odete, znajte: važno je!
"I evo, brate, narod je potpuno pobesneo." Sve je tamo izgledalo kao Poljak, sve je bilo od ruske krune; a sad je, brate, potpuno Nijemac.
– Tekstopisci napred! – začuo se kapetanov povik.
I dvadesetak ljudi je istrčalo iz različitih redova ispred kompanije. Bubnjar je počeo da peva i okrenuo se licem ka tekstopiscima, i odmahnuvši rukom otpočeo otegnutu vojničku pesmu, koja je počinjala: „Zar nije svanulo, sunce stalo...“ i završavala se rečima : „Tako, braćo, biće slava i nama i ocu Kamenskog...“ Ova pesma je nastala u Turskoj, a sada se pevala u Austriji, samo sa promenom da su umesto „oca Kamenskog“ umetnute reči: „ Kutuzov otac.”
Otkinuvši ove poslednje reči kao vojnik i mašući rukama, kao da nešto baca na zemlju, bubnjar, suv i lep vojnik od četrdesetak godina, strogo je pogledao vojnike tekstopisce i zatvorio oči. Zatim, uvjeravajući se da su sve oči uprte u njega, činilo mu se da pažljivo podiže objema rukama neku nevidljivu, dragocjenu stvar iznad svoje glave, držao je tako nekoliko sekundi i odjednom je očajnički bacio:
Oh, ti, moj baldahin, moj baldahin!
“Moja nova baldahina...”, odjeknulo je dvadeset glasova, a držač kašike je, uprkos težini municije, brzo skočio napred i krenuo unazad ispred čete, pomerajući ramena i preteći nekome kašikama. Vojnici su, mašući rukama u ritmu pjesme, hodali dugim koracima, nehotice udarajući nogama. Iza društva čuli su se zvuci točkova, škripanje opruga i gaženje konja.
Kutuzov i njegova pratnja vraćali su se u grad. Glavnokomandujući dao je znak narodu da nastavi slobodno, a na njegovom licu i na svim licima njegove pratnje isticalo se zadovoljstvo pri zvucima pjesme, pri pogledu na vojnika koji igra i vojnika društvo korača veselo i žustro. U drugom redu, sa desnog boka, s kojeg je kočija prestizala čete, nehotice je zapao za oko plavooki vojnik Dolohov, koji je posebno žustro i graciozno koračao u ritmu pjesme i gledao u lica oni koji prolaze sa takvim izrazom lica, kao da mu je žao svih koji u ovo vreme nisu otišli sa društvom. Husarski kornet iz Kutuzovljeve pratnje, oponašajući komandanta puka, pao je iza kočije i dovezao se do Dolohova.
Husarski kornet Žerkov svojevremeno je u Sankt Peterburgu pripadao tom nasilnom društvu koje je vodio Dolohov. U inostranstvu, Zherkov je upoznao Dolohova kao vojnika, ali nije smatrao potrebnim da ga prepozna. Sada, nakon razgovora Kutuzova s ​​degradiranim čovjekom, okrenuo mu se s radošću starog prijatelja:
- Dragi prijatelju, kako si? - rekao je na zvuk pesme, usklađujući korak svog konja sa korakom kompanije.
- Ja sam kao? - hladno je odgovorio Dolohov, - kao što vidite.
Živa pesma je dala poseban značaj tonu bezobrazne veselosti kojom je Žerkov govorio i namernoj hladnoći Dolohovljevih odgovora.
- Pa, kako se slažeš sa svojim šefom? – upitao je Žerkov.
- Ništa, dobri ljudi. Kako ste ušli u štab?
- Sekundirani, na dužnosti.
Ćutali su.
"Pustila je sokola iz desnog rukava", rekla je pesma, nehotice izazivajući vedro, veselo osećanje. Njihov razgovor bi vjerovatno bio drugačiji da nisu razgovarali uz zvuk pjesme.
– Da li je tačno da su Austrijanci pretučeni? – upitao je Dolohov.
“Đavo ih zna”, kažu.
„Drago mi je“, odgovorio je Dolohov kratko i jasno, kako je pesma zahtevala.
„Pa, ​​dođi nam uveče, založićeš faraona“, rekao je Žerkov.
– Ili imate mnogo novca?
- Dođi.
- Zabranjeno je. Dao sam zavet. Ne pijem i ne kockam se dok ne uspiju.
- Pa, na prvu stvar...
- Videćemo tamo.
Opet su ćutali.
„Uđite ako vam nešto zatreba, svi u štabu će pomoći...“ rekao je Žerkov.
Dolohov se naceri.
- Bolje ne brini. Neću tražiti ništa što mi treba, uzeću sam.
- Pa ja sam tako...
- Pa i ja sam.
- Zbogom.
- Budite zdravi…
...i visoko i daleko,
Na domacoj strani...
Žerkov je svojim mamzama dotakao konja, koji je, uzbudivši se, udario tri puta, ne znajući s kojim da počne, uspeo se i odgalopirao, sustigavši ​​društvo i sustigavši ​​kočiju, takođe u ritmu pesme.

Vraćajući se sa smotre, Kutuzov je u pratnji austrijskog generala ušao u svoju kancelariju i, pozvavši ađutanta, naredio da mu se daju papiri u vezi sa stanjem pristiglih trupa i pisma koja je primio od nadvojvode Ferdinanda, koji je komandovao naprednom vojskom. . Knez Andrej Bolkonski ušao je u kancelariju glavnog komandanta sa potrebnim papirima. Kutuzov i jedan austrijski član Gofkriegsrata sjedili su ispred plana položenog na sto.
„Ah...“ rekao je Kutuzov, osvrćući se na Bolkonskog, kao da je ovom rečju pozvao ađutanta da sačeka, i nastavio razgovor koji je započeo na francuskom.
„Samo kažem jedno, generale“, rekao je Kutuzov sa prijatnom gracioznošću izraza i intonacije, što vas je nateralo da pažljivo slušate svaku ležerno izgovorenu reč. Bilo je jasno da je i sam Kutuzov uživao da sluša samog sebe. „Kažem samo jedno, generale, da je stvar zavisila od moje lične želje, tada bi volja Njegovog Veličanstva cara Franca bila odavno ispunjena. Davno bih se pridružio nadvojvodi. I vjerujte mojoj časti, meni lično bi bila radost da najvišu komandu nad vojskom predam jednom upućenijem i vještijem generalu od mene, kojih Austrija ima u izobilju, i da se odreknem ove teške odgovornosti. Ali okolnosti su jače od nas, generale.
A Kutuzov se nasmiješio izrazom lica kao da govori: „Imate pravo da mi ne vjerujete, a ni mene uopšte nije briga da li mi vjerujete ili ne, ali nemate razloga da mi to kažete. I to je cela poenta.”
Austrijski general je izgledao nezadovoljno, ali nije mogao a da ne odgovori Kutuzovu istim tonom.
„Naprotiv“, rekao je mrzovoljnim i ljutitim tonom, toliko suprotno laskavom značenju reči koje je izgovorio, „naprotiv, njegovo Veličanstvo visoko ceni učešće vaše Ekselencije u zajedničkoj stvari; ali vjerujemo da sadašnje usporavanje uskraćuje slavne ruske trupe i njihove vrhovne komandante lovorika koje su navikli da žanju u bitkama”, završio je svoju očigledno pripremljenu frazu.
Kutuzov se nakloni ne menjajući osmeh.
„I tako sam uvjeren i, na osnovu posljednjeg pisma kojim me je Njegovo Visočanstvo nadvojvoda Ferdinand počastio, pretpostavljam da su austrijske trupe, pod komandom tako vještog pomoćnika kao što je general Mack, sada izvojevale odlučujuću pobjedu i ne više potrebna je naša pomoć”, rekao je Kutuzov.
General se namrštio. Iako nije bilo pozitivnih vijesti o porazu Austrijanaca, bilo je previše okolnosti koje su potvrdile opšte nepovoljne glasine; i stoga je Kutuzova pretpostavka o pobjedi Austrijanaca bila vrlo slična ismijavanju. Ali Kutuzov se krotko osmehnuo, i dalje sa istim izrazom lica, koji je rekao da ima pravo da to pretpostavi. Zaista, posljednje pismo koje je dobio od Macove vojske obavijestilo ga je o pobjedi i najpovoljnijem strateškom položaju vojske.
„Daj mi ovo pismo ovde“, rekao je Kutuzov, okrećući se princu Andreju. - Molim vas da vidite. - A Kutuzov je, sa podrugljivim osmehom na krajevima usana, pročitao na nemačkom austrijskom generalu sledeći odlomak iz pisma nadvojvode Ferdinanda: „Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70.000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treugan Allirte versiite emitlae . Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zuzu.“ [Imamo prilično koncentrisane snage, oko 70.000 ljudi, tako da možemo napasti i poraziti neprijatelja ako prijeđe Lech. Pošto već posedujemo Ulm, možemo zadržati prednost komande sa obe obale Dunava, stoga svakog minuta, ako neprijatelj ne pređe Leh, pređe Dunav, juri na svoju komunikacijsku liniju, a dole prelazi Dunav nazad. neprijatelju, ako odluči da svu svoju moć okrene na naše vjerne saveznike, spriječi da se njegova namjera ispuni. Tako ćemo veselo dočekati vrijeme kada carska ruska vojska bude potpuno spremna, a onda ćemo zajedno lako naći priliku da neprijatelju pripremimo sudbinu kakvu zaslužuje.”]

VEKTORSKI PROSTOR, linearni prostor nad poljem K, je aditivno zapisana Abelova grupa E, u kojoj je definisano množenje elemenata skalarima, tj. preslikavanje

K × E → E: (λ, x) → λx,

zadovoljava sljedeće aksiome (x, y ∈ E, λ, μ, 1 ∈ K):

1) λ(x + y) = λx + λy,

2) (λ + μ)x = λx + μx,

3) (λμ)x = λ(μx),

4) 1 ⋅ x = x.

Sljedeća važna svojstva vektorskog prostora (0 ∈ E) slijede iz aksioma 1)-4):

5) λ ⋅ 0 = 0,

6) 0 ⋅ x = 0,

Elementi V. str. tačke V.p., odnosno vektora, a elementi polja K su skalari.

Najveća primjena u matematici i aplikacijama je u polju ℂ kompleksnih brojeva ili nad poljem ℝ realnih brojeva; oni se nazivaju odnosno, složena v. p.

Aksiomi v. str. otkrivaju određene algebarske. svojstva mnogih klasa funkcija koje se često susreću u analizi. Od primjera vertikalnih prostora, najosnovniji i najraniji su n-dimenzionalni euklidski prostori. Gotovo podjednako važni primjeri su mnogi prostori funkcija: prostor kontinuiranih funkcija, prostor mjerljivih funkcija, prostor sabirljivih funkcija, prostor analitičkih funkcija. funkcije, prostor funkcija ograničene varijacije.

Koncept v. prostora je poseban slučaj koncepta modula nad prstenom, naime, v. prostor je unitarni modul nad poljem. Unitarni modul nad nekomutativnim kosim poljem se također naziva. vektorski prostor preko tela; teorija takvih talasnih oblika je na mnogo načina složenija od teorije talasnih oblika nad poljem.

Jedan od važnih problema vezanih za vektorske prostore je proučavanje geometrije vektorskih prostora, odnosno proučavanje linija u vektorskim prostorima, ravnih i konveksnih skupova u vektorskim prostorima, podprostora vektorskih prostora i baza u vektorskim prostorima .

Vektorski podprostor, ili jednostavno podprostor, V. p E nad poljem K se zove. podskup F ⊂ E zatvoren pod djelovanjem sabiranja i množenja skalarom. Podprostor, posmatran odvojeno od prostora koji ga sadrži, je prostor iznad istog polja.

Prava koja prolazi kroz dvije tačke x i y B. zove se E. skup elemenata z ∈ E oblika z = λx + (1 - λ)y, λ ∈ K. Skup G ∈ E se naziva. ravan skup ako, zajedno sa bilo koje dvije tačke, sadrži pravu koja prolazi kroz ove tačke. Svaki ravni skup se dobija iz određenog podprostora pomoću pomaka (paralelno prevođenje): G = x + F; to znači da se svaki element z ∈ G može jedinstveno predstaviti u obliku z = x + y, y ∈ F, a ova jednakost daje korespondenciju jedan na jedan između F i G.

Skup svih pomaka F x = x + F datog podprostora F formira V. prostor nad K, tzv. faktorski prostor E/F, ako definiramo operacije na sljedeći način:

F x F y = F x+y ; λF x = F λx , λ ∈ K.

Neka je M = (x α) α∈A proizvoljan skup vektora iz E; linearna kombinacija vektora x α ∈ E naziva se. vektor x definisan formulom

x = ∑ α λ α x α , λ α ∈ K,

u kojoj je samo konačan broj koeficijenata različit od nule. Skup svih linearnih kombinacija vektora datog skupa M je najmanji podprostor koji sadrži M i naziva se. linearni raspon skupa M. Linearna kombinacija se zove. trivijalan ako su svi koeficijenti λ α jednaki nuli. Skup M se zove. linearno nezavisan skup ako su sve netrivijalne linearne kombinacije vektora iz M različite od nule.

Svaki linearno nezavisan skup nalazi se u određenom maksimalnom linearno nezavisnom skupu M0, odnosno u skupu koji prestaje da bude linearno nezavisan nakon što mu se doda bilo koji element iz E.

Svaki element x ∈ E može se jedinstveno predstaviti kao linearna kombinacija elemenata maksimalnog linearno nezavisnog skupa:

x = ∑ α λ α x α , x α ∈ M 0 .

U tom smislu, naziva se maksimalni linearno nezavisni skup. osnova V. p. (algebarska osnova). Sve baze date VP imaju istu kardinalnost, tzv. dimenzija V. p. Ako je ova snaga konačna, prostor se zove. konačno-dimenzionalni V. p.; inače se zove beskonačno-dimenzionalni V. p.

Polje K se može posmatrati kao jednodimenzionalni vertikalni prostor nad poljem K; osnovu ove V. stavke čini jedan element; može biti bilo koji element osim nule. Konačnodimenzionalni vektor sa osnovom od n elemenata se naziva. n-dimenzionalni prostor.

U teoriji realnih i kompleksnih konveksnih skupova, teorija konveksnih skupova igra važnu ulogu. Skup M u realnom V.p. je konveksan skup ako, zajedno sa bilo koje dvije njegove točke x, y, segment tx + (1 - t)y, t ∈ , također pripada M.

Veliko mjesto u teoriji vertikalnih prostora zauzima teorija linearnih funkcionala na vertikalnim prostorima i s njom povezana teorija dualnosti. Neka je E V. prostor nad poljem K. Linearni funkcional na E se zove. aditivno i homogeno preslikavanje f: E → K:

f(x + y) = f(x) + f(y), f(λx) = λf(x).

Skup E* svih linearnih funkcionala na E formira prazno mjesto nad poljem K u odnosu na operacije

(f 1 + f 2)(x) = f 1 (x) + f 2 (x), (λf)(x) = λf(x), x ∈ E, X ∈ K, f 1, f 2, f ∈ E*.

Ovo se zove V.p. konjugirani (ili dualni) prostor (do E). Brojne geometrijske teorije povezane su s konceptom konjugiranog prostora. uslovi. Neka je D ⊂ E (odnosno G ⊂ E*); naziva se anihilator skupa D, odnosno ortogonalni komplement skupa D (odnosno skup G). gomila

D ⊥ = (f ∈ E*: f(x) = 0 za sve x ∈ D)

(respektivno G ⊥ = (x ∈ E: f(x) = 0 za sve f ∈ G)); ovdje su D ⊥ i G ⊥ podprostori prostora E* i E, respektivno. ponekad hipersubprostor; pomak takvog podprostora se zove. hiperravan u E; svaka hiperravan ima oblik

(x: f(x) = λ), gdje je f ≠ 0, f ∈ E*, λ ∈ K.

Ako je F podprostor B. p E, tada postoje prirodni izomorfizmi između F* i

E*/F ⊥ i između (E/F)* i F ⊥ .

Poziva se podskup G ⊂ E* ukupni podskup nad E ako njegov anihilator sadrži samo nulti element: G ⊥ = (0).

Svakom linearno nezavisnom skupu (x α ) α∈A ⊂ E može se pridružiti konjugirani skup (f α ) α∈A ⊂ E*, tj. takav skup da je f α (x β) = δ αβ (Kroneckerov simbol) za sve α, β ∈ A. Skup parova (x α, f α) se zove. sa biortogonalnim sistemom. Ako je skup (x α) baza u E, tada je (f α) potpuno iznad E.

Značajno mjesto u teoriji linearnih transformacija zauzima teorija linearnih transformacija linearnih transformacija Neka su E 1 i E 2 dvije linearne transformacije nad istim poljem K. Linearno preslikavanje, ili linearni operator, T, preslikava linearno. transformacija E 1 u V. p. E 2 (ili linearni operator od E 1 do E 2), tzv. aditivno i homogeno preslikavanje prostora E 1 do E 2:

T(x + y) = Tx + Ty; T(λh) = λT(h); x, y ∈ E 1.

Poseban slučaj ovog koncepta je linearni funkcional, ili linearni operator od E 1 do K. Linearno preslikavanje je, na primjer, prirodno preslikavanje B. p na kvocijentni prostor E/F, koji je pridružen svaki element x ∈ E ravan skup F x ∈ E/ F. Skup ℒ(E 1, E 2) svih linearnih operatora T: E 1 → E 2 formira V. p

(T 1 + T 2)x = T 1 x + T 2 x; (λT)h = λTh; x ∈ E 1; λ ∈ K; T 1, T 2, T ∈ ℒ(E 1, E 2).

Dvije V. stavke E 1 i E 2 pozvane. izomorfne v. stavke ako postoji linearni operator (“izomorfizam”) koji vrši korespondenciju jedan-na-jedan između njihovih elemenata. E 1 i E 2 su izomorfni ako i samo ako njihove baze imaju istu kardinalnost.

Neka je T linearni operator koji preslikava E 1 u E 2 . Konjugirani linearni operator, ili dualni linearni operator, u odnosu na T, se zove. linearni operator T* od E* 2 do E* 1, definisan jednakošću

(T*φ)x = φ(Tx) za sve x ∈ E 1, φ ∈ E* 2.

Važe relacije T* -1 (0) = ⊥, T*(E* 2) = [T -1 (0)] ⊥, što implicira da je T* izomorfizam ako i samo ako je T izomorfizam.

Teorija bilinearnih preslikavanja i multilinearnih preslikavanja vertikalnih prostora usko je povezana sa teorijom linearnih preslikavanja vertikalnih prostora.

Važnu grupu problema u teoriji linearnih preslikavanja čine problemi nastavka linearnih preslikavanja. Neka je F podprostor od V. p E 1, E 2 je linearni prostor nad istim poljem kao E 1, i neka je T 0 linearno preslikavanje F u E 2; potrebno je pronaći ekstenziju T karte T 0, definisanu na cijelom E 1 i koja je linearna mapa od E 1 do E 2. Takav nastavak uvijek postoji, ali dodatna ograničenja na funkcije (povezana s dodatnim strukturama u VP-u, na primjer, topologija ili odnosi reda) mogu učiniti problem nerješivim. Primjeri rješavanja problema nastavka su Han-Banahov teorem i teoreme o nastavku pozitivnih funkcionala u prostorima sa konusom.

Važan dio teorije virtuelnih operacija je teorija operacija nad vektorima, odnosno metode za konstruisanje novih vektora koristeći poznate. Primjeri takvih operacija su dobro poznate operacije uzimanja podprostora i formiranja kvocijentnog prostora iz podprostora. Druge važne operacije su konstrukcija direktnog zbira, direktnog proizvoda i tenzorskog proizvoda VP.

Neka je (E α ) α∈I porodica promenljivih prostora nad poljem K. Skup E - proizvod skupova E α - može se transformisati u porodicu vertikalnih prostora nad poljem K uvođenjem operacija

(x α) + (y α) = (x α + y α); λ(x α) = (λx α); λ ∈ K; x α , y α ∈ E α , α ∈ I;

primio V. p. direktni proizvod V. p E α i označava se sa P α∈I E α. Podprostor V. p E, koji se sastoji od svih onih skupova (x α), za svaki od kojih je skup (α: x α ≠ 0) naziva se. direktan zbir V. p E α i označava se sa Σ α E α ili Σ α + E α ; Za konačan broj pojmova ove definicije se poklapaju; u ovom slučaju se koristi sljedeća notacija:

Neka su E 1, E 2 dvije V. pozicije nad poljem K; E" 1, E" 2 su ukupni podprostori V. p. E* 1, E* 2 i E 1 □ E 2 -B. n., koji za osnovu ima ukupnost svih elemenata prostora E 1 × E 2. Svaki element x □ y ∈ E 1 □ E 2 pridružen je bilinearnoj funkciji b = T(x, y) na E" 1 × E 2 prema formuli b(f, g) = f(x)g(y ), f ∈ E " 1 , g ∈ E " 2 , ovo preslikavanje baznih vektora x □ y ∈ E 1 □ E 2 može se proširiti na linearno preslikavanje T V. p. svih bilinearnih funkcionala na E " 1 × E" 2. Neka je E 0 = T -1 (0) Tenzorski proizvod V. prostora E 1 i E 2 naziva se faktor prostor E 1 ○ E 2 = (E). 1 □ E 2)/E 0 slika elementa x ○ y je vektorski prostor E 1 ○ E 2 izomorfan vektorskom prostoru bilinearnih funkcionala na E 1 × E 2 (vidi Tenzorski proizvod. vektorskih prostora).

Lit.: Bourbaki N., Algebra. Algebarske strukture. Linearna i multilinearna algebra, trans. iz francuskog, M., 1962; Raikov D. A., Vektorski prostori, M., 1962; Dan M. M., Normalizirani linearni prostori, trans. sa engleskog, M., 1961; , Edward R., Functional Analysis, trans. sa engleskog, M., 1969; Halmos P., Konačno-dimenzionalni vektorski prostori, trans. sa engleskog, M., 1963; Glazman I.M., Lyubich Yu.I., Linearna analiza konačnih dimenzija u problemima, M., 1969.

M.I. Kadets.

Izvori:

1. Mathematical Encyclopedia. T. 1 (A - D). Ed. tabla: I. M. Vinogradov (glavni urednik) [i drugi] - M., "Sovjetska enciklopedija", 1977, 1152 stb. od ill.

Neka je P polje. Elementi a, b, ... O R zvaćemo skalarima.

Definicija 1. Klasa V nazivaju se objekti (elementi) , , , ... proizvoljne prirode vektorski prostor iznad polja P, a elementi klase V se nazivaju vektori, ako je V zatvoren pod operacijom “+” i operacijom množenja skalarima iz P (tj. za bilo koji , OV +O V;"aO R aOV), a ispunjeni su sljedeći uslovi:

A 1: algebra - Abelova grupa;

A 2: za bilo koji a, bOR, za bilo koji OV, a(b)=(ab) je generalizovani asocijativni zakon;

A 3: za bilo koje a, bOR, za bilo koje OV, (a+b)= a+ b;

A 4: za bilo koje a iz P, za bilo koje , iz V, a(+)=a+a (generalizovani distributivni zakoni);

A 5: za bilo koji od V, 1 = je zadovoljeno, gdje je 1 jedinica polja P - svojstvo unitarnosti.

Elemente polja P nazvaćemo skalarima, a elemente skupa V vektorima.

Komentar. Množenje vektora skalarom nije binarna operacija na skupu V, jer je to preslikavanje P´V®V.

Pogledajmo primjere vektorskih prostora.

Primjer 1. Nulti (nul-dimenzionalni) vektorski prostor - prostor V 0 =() - koji se sastoji od jednog nultog vektora.

I za bilo koji aOR a=. Provjerimo zadovoljivost aksioma vektorskog prostora.

Imajte na umu da nulti vektorski prostor u suštini zavisi od polja P. Dakle, nuldimenzionalni prostori nad poljem racionalnih brojeva i nad poljem realnih brojeva se smatraju različitim, iako se sastoje od jednog nultog vektora.

Primjer 2. Polje P je samo vektorski prostor nad poljem P. Neka je V=P. Provjerimo zadovoljivost aksioma vektorskog prostora. Kako je P polje, onda je P aditivna Abelova grupa i vrijedi A 1. Zbog zadovoljivosti množenja u P, A2 je zadovoljeno. Aksiomi A 3 i A 4 su zadovoljeni zbog izvodljivosti u P distributivnosti množenja u odnosu na sabiranje. Pošto u polju P postoji jedinični element 1, svojstvo unitarnosti A 5 je zadovoljeno. Dakle, polje P je vektorski prostor iznad polja P.

Primjer 3. Aritmetički n-dimenzionalni vektorski prostor.

Neka je P polje. Razmotrimo skup V= P n =((a 1 , a 2 , … , a n) ½ a i O P, i=1,…, n). Uvedemo na skupu V operacije sabiranja vektora i množenja vektora skalarom prema sljedećim pravilima:

"= (a 1 , a 2 , … , a n), = (b 1 , b 2 , … , b n) O V, "aO P += (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n + bn) (1)

a=(aa 1 , aa 2 , … , aa n) (2)

Elementi skupa V će biti pozvani n-dimenzionalni vektori. Za dva n-dimenzionalna vektora se kaže da su jednaka ako su im odgovarajuće komponente (koordinate) jednake. Pokažimo da je V vektorski prostor nad poljem P. Iz definicije operacija sabiranja vektora i množenja vektora skalarom slijedi da je V zatvoren prema ovim operacijama. Pošto se dodavanje elemenata iz V svodi na sabiranje elemenata polja P, a P je aditivna Abelova grupa, onda je V aditivna Abelova grupa. Štaviše, =, gde je 0 nula polja P, -= (-a 1, -a 2, …, -a n). Dakle, A 1 je zadovoljan. Pošto se množenje elementa iz V elementom iz P svodi na množenje elemenata polja P, tada:

A 2 je zadovoljeno zbog asocijativnosti množenja sa P;

A 3 i A 4 su zadovoljeni zbog distributivnosti množenja u odnosu na sabiranje sa P;

A 5 je zadovoljeno, jer je 1 Î P neutralan element u odnosu na množenje sa P.

Definicija 2. Skup V= P n sa operacijama definisanim formulama (1) i (2) naziva se aritmetički n-dimenzionalni vektorski prostor nad poljem P.

Predavanje 6. Vektorski prostor.

Glavna pitanja.

1. Vektorski linearni prostor.

2. Osnova i dimenzija prostora.

3. Prostorna orijentacija.

4. Dekompozicija vektora po bazi.

5. Vektorske koordinate.

1. Vektorski linearni prostor.

Skup koji se sastoji od elemenata bilo koje prirode u kojem su definirane linearne operacije: zbrajanje dva elementa i množenje elementa brojem nazivaju se prostori, a njihovi elementi su vektori ovaj prostor i označavaju se na isti način kao i vektorske veličine u geometriji: . Vektori Takvi apstraktni prostori, po pravilu, nemaju ništa zajedničko sa običnim geometrijskim vektorima. Elementi apstraktnih prostora mogu biti funkcije, sistem brojeva, matrica itd., au konkretnom slučaju i obični vektori. Stoga se takvi prostori obično nazivaju vektorski prostori .

Vektorski prostori su, Na primjer, skup kolinearnih vektora, označen V1 , skup komplanarnih vektora V2 , skup vektora običnog (stvarnog prostora) V3 .

Za ovaj konkretan slučaj možemo dati sljedeću definiciju vektorskog prostora.

Definicija 1. Skup vektora se zove vektorski prostor, ako je linearna kombinacija bilo kojeg vektora skupa također vektor ovog skupa. Sami vektori se nazivaju elementi vektorski prostor.

Važniji, i teorijski i primijenjen, je opći (apstraktni) koncept vektorskog prostora.

Definicija 2. Gomila R elemenata, u kojima je određen zbir za bilo koja dva elementa i za bilo koji element https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> tzv. vektor(ili linearni) prostor, a njegovi elementi su vektori, ako operacije sabiranja vektora i množenja vektora brojem zadovoljavaju sljedeće uslove ( aksiome) :

1) sabiranje je komutativno, tj..gif" width="184" height="25">;

3) postoji takav element (nulti vektor) da za bilo koji https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= " 99" visina="27">;

5) za sve vektore i bilo koji broj λ vrijedi jednakost;

6) za sve vektore i brojeve λ I µ jednakost je tačna: https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> i bilo koji brojevi λ I µ fer ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.

Najjednostavniji aksiomi koji definiraju vektorski prostor slijede: posljedice :

1. U vektorskom prostoru postoji samo jedna nula - element - nulti vektor.

2. U vektorskom prostoru, svaki vektor ima jedan suprotan vektor.

3. Za svaki element je zadovoljena jednakost.

4. Za bilo koji realan broj λ i nulti vektor https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> je vektor koji zadovoljava jednakost https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Dakle, zaista, skup svih geometrijskih vektora je linearni (vektorski) prostor, pošto su za elemente ovog skupa definisane akcije sabiranja i množenja brojem koji zadovoljavaju formulisane aksiome.

2. Osnova i dimenzija prostora.

Osnovni koncepti vektorskog prostora su koncepti baze i dimenzije.

Definicija. Skup linearno nezavisnih vektora, uzetih određenim redoslijedom, kroz koji se bilo koji vektor prostora može linearno izraziti, naziva se osnovu ovaj prostor. Vektori. Komponente osnove prostora nazivaju se osnovni .

Osnova skupa vektora koji se nalaze na proizvoljnoj liniji može se smatrati jednim kolinearnim vektorom na ovoj liniji.

Osnova u avionu nazovimo dva nekolinearna vektora na ovoj ravni, snimljena određenim redoslijedom https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24">.

Ako su bazni vektori po paru okomiti (ortogonalni), onda se baza naziva ortogonalno, i ako ovi vektori imaju dužinu jednaku jedan, onda se baza naziva ortonormalno .

Najveći broj linearno nezavisnih vektora u prostoru se naziva dimenzija ovog prostora, tj. dimenzija prostora poklapa se sa brojem baznih vektora ovog prostora.

Dakle, prema ovim definicijama:

1. Jednodimenzionalni prostor V1 je prava linija, a osnova se sastoji od jedan kolinear vektor https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src="> .

3. Običan prostor je trodimenzionalni prostor V3 , čiju osnovu čine tri nekoplanarne vektori

Odavde vidimo da se broj baznih vektora na pravoj, na ravni, u realnom prostoru poklapa sa onim što se u geometriji obično naziva brojem dimenzija (dimenzija) prave, ravni, prostora. Stoga je prirodno uvesti opštiju definiciju.

Definicija. Vektorski prostor R pozvao n– dimenzionalni ako ih nema više od n linearno nezavisni vektori i označava se R n. Broj n pozvao dimenzija prostor.

U skladu sa dimenzijom prostori se dijele na konačno-dimenzionalan I beskonačno-dimenzionalni. Dimenzija nultog prostora se po definiciji smatra jednakom nuli.

Napomena 1. U svakom prostoru možete navesti onoliko baza koliko želite, ali sve baze datog prostora se sastoje od istog broja vektora.

Napomena 2. IN n– u dimenzionalnom vektorskom prostoru, osnova je svaka uređena kolekcija n linearno nezavisni vektori.

3. Prostorna orijentacija.

Neka su osnovni vektori u prostoru V3 imati opšti početak I naredio, tj. naznačeno je koji vektor se smatra prvim, koji se smatra drugim, a koji trećim. Na primjer, u bazi su vektori poredani prema indeksaciji.

Za to za orijentaciju prostora potrebno je postaviti neku osnovu i proglasiti je pozitivnim .

Može se pokazati da skup svih baza prostora spada u dvije klase, odnosno u dva disjunktna ​​podskupa.

a) sve baze koje pripadaju jednom podskupu (klasi) imaju isto orijentacija (istoimene baze);

b) bilo koje dvije baze koje pripadaju razne podskupovi (klase), imaju suprotno orijentacija, ( različita imena baze).

Ako se jedna od dvije klase baza prostora proglasi pozitivnom, a druga negativnom, onda se kaže da je ovaj prostor orijentisan .

Često se prilikom orijentacije prostora nazivaju neke baze u pravu, i drugi - lijevo .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> se nazivaju u pravu, ako je, kada se posmatra sa kraja trećeg vektora, najkraća rotacija prvog vektora https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23" > se provodi u smjeru suprotnom od kazaljke na satu(Slika 1.8, a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Rice. 1.8. Desna osnova (a) i lijeva osnova (b)

Obično se prava osnova prostora proglašava pozitivnom osnovom

Desna (lijeva) osnova prostora također se može odrediti korištenjem pravila „desnog“ („lijevog“) zavrtnja ili gimleta.

Po analogiji s ovim, uvodi se koncept desnog i lijevog trojke nekoplanarni vektori koji moraju biti uređeni (slika 1.8).

Dakle, u opštem slučaju, dva uređena tripleta nekoplanarnih vektora imaju istu orijentaciju (isto ime) u prostoru V3 ako su oba desna ili oba lijeva, i - suprotna orijentacija (suprotna) ako je jedno desno, a drugo lijevo.

Isto se radi iu slučaju prostora V2 (avion).

4. Dekompozicija vektora po bazi.

Radi jednostavnosti zaključivanja, razmotrimo ovo pitanje na primjeru trodimenzionalnog vektorskog prostora R3 .

Neka https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> bude proizvoljan vektor ovog prostora.

U članku o n-dimenzionalnim vektorima došli smo do koncepta linearnog prostora generiranog skupom n-dimenzionalnih vektora. Sada moramo razmotriti jednako važne koncepte, kao što su dimenzija i osnova vektorskog prostora. Oni su direktno povezani sa konceptom linearno nezavisnog sistema vektora, pa se dodatno preporučuje da se podsetite osnova ove teme.

Hajde da uvedemo neke definicije.

Definicija 1

Dimenzija vektorskog prostora– broj koji odgovara maksimalnom broju linearno nezavisnih vektora u ovom prostoru.

Definicija 2

Vektorska prostorna osnova– skup linearno nezavisnih vektora, uređenih i jednakih po broju dimenziji prostora.

Razmotrimo određeni prostor od n -vektora. Njegova dimenzija je shodno tome jednaka n. Uzmimo sistem n-jediničnih vektora:

e (1) = (1, 0, . . . . 0) e (2) = (0, 1, . . , 0) e (n) = (0, 0, . . , 1)

Ove vektore koristimo kao komponente matrice A: to će biti jedinična matrica dimenzija n sa n. Rang ove matrice je n. Dakle, vektorski sistem e (1) , e (2) , . . . , e(n) je linearno nezavisna. U ovom slučaju, nemoguće je dodati jedan vektor sistemu a da se ne naruši njegova linearna nezavisnost.

Pošto je broj vektora u sistemu n, onda je dimenzija prostora n-dimenzionalnih vektora n, a jedinični vektori su e (1), e (2), . . . , e (n) su osnova specificiranog prostora.

Iz rezultirajuće definicije možemo zaključiti: bilo koji sistem n-dimenzionalnih vektora u kojem je broj vektora manji od n nije baza prostora.

Ako zamijenimo prvi i drugi vektor, dobićemo sistem vektora e (2) , e (1) , . . . , e (n) . Također će biti osnova n-dimenzionalnog vektorskog prostora. Kreirajmo matricu uzimajući vektore rezultirajućeg sistema kao njegove redove. Matrica se može dobiti iz matrice identiteta zamjenom prva dva reda, njen rang će biti n. Sistem e (2) , e (1) , . . . , e(n) je linearno nezavisna i osnova je n-dimenzionalnog vektorskog prostora.

Preuređivanjem drugih vektora u originalnom sistemu dobijamo drugu osnovu.

Možemo uzeti linearno nezavisan sistem vektora koji nisu jedinični, a on će takođe predstavljati osnovu n-dimenzionalnog vektorskog prostora.

Definicija 3

Vektorski prostor sa dimenzijom n ima onoliko baza koliko ima linearno nezavisnih sistema n-dimenzionalnih vektora broja n.

Ravan je dvodimenzionalni prostor - njena osnova će biti bilo koja dva nekolinearna vektora. Osnova trodimenzionalnog prostora će biti bilo koja tri nekoplanarna vektora.

Razmotrimo primjenu ove teorije na konkretnim primjerima.

Primjer 1

Početni podaci: vektori

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

Potrebno je utvrditi da li su navedeni vektori osnova trodimenzionalnog vektorskog prostora.

Rješenje

Da bismo riješili problem, proučavamo dati sistem vektora za linearnu zavisnost. Kreirajmo matricu u kojoj su redovi koordinate vektora. Odredimo rang matrice.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

Prema tome, vektori specificirani uslovom problema su linearno nezavisni, a njihov broj je jednak dimenziji vektorskog prostora - oni su osnova vektorskog prostora.

odgovor: naznačeni vektori su osnova vektorskog prostora.

Primjer 2

Početni podaci: vektori

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2) d = (0 , 1 , 2)

Potrebno je utvrditi da li navedeni sistem vektora može biti osnova trodimenzionalnog prostora.

Rješenje

Sistem vektora specificiran u iskazu problema je linearno zavisan, jer maksimalni broj linearno nezavisnih vektora je 3. Dakle, navedeni sistem vektora ne može poslužiti kao osnova za trodimenzionalni vektorski prostor. Ali vrijedi napomenuti da je podsistem originalnog sistema a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) osnova.

odgovor: naznačeni sistem vektora nije osnova.

Primjer 3

Početni podaci: vektori

a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

Mogu li oni biti osnova četverodimenzionalnog prostora?

Rješenje

Kreirajmo matricu koristeći koordinate datih vektora kao redove

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Koristeći Gaussovu metodu, određujemo rang matrice:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

Shodno tome, sistem datih vektora je linearno nezavisan i njihov broj je jednak dimenziji vektorskog prostora – oni su osnova četvorodimenzionalnog vektorskog prostora.

odgovor: dati vektori su osnova četverodimenzionalnog prostora.

Primjer 4

Početni podaci: vektori

a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)

Da li oni čine osnovu prostora dimenzije 4?

Rješenje

Originalni sistem vektora je linearno nezavisan, ali broj vektora u njemu nije dovoljan da postane osnova četvorodimenzionalnog prostora.

odgovor: ne, nemaju.

Dekompozicija vektora u bazu

Pretpostavimo da su proizvoljni vektori e (1) , e (2) , . . . , e (n) su osnova n-dimenzionalnog vektorskog prostora. Dodajmo im određeni n-dimenzionalni vektor x →: rezultujući sistem vektora će postati linearno zavisan. Svojstva linearne zavisnosti govore da se barem jedan od vektora takvog sistema može linearno izraziti kroz ostale. Reformulišući ovu tvrdnju, možemo reći da se barem jedan od vektora linearno zavisnog sistema može proširiti na preostale vektore.

Tako smo došli do formulacije najvažnije teoreme:

Definicija 4

Svaki vektor n-dimenzionalnog vektorskog prostora može se jedinstveno razložiti u bazu.

Dokazi 1

Dokažimo ovu teoremu:

postavimo osnovu n-dimenzionalnog vektorskog prostora - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Učinimo sistem linearno zavisnim dodavanjem n-dimenzionalnog vektora x → na njega. Ovaj vektor se može linearno izraziti u terminima originalnih vektora e:

x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) , gdje je x 1 , x 2 , . . . , x n - neki brojevi.

Sada dokazujemo da je takva dekompozicija jedinstvena. Pretpostavimo da to nije slučaj i postoji još jedna slična dekompozicija:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , gdje je x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - neki brojevi.

Oduzmimo od lijeve i desne strane ove jednakosti, redom, lijevu i desnu stranu jednakosti x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) . Dobijamo:

0 = (x ~ 1 - x 1) · e (1) + (x ~ 2 - x 2) · e (2) + . . . (x ~ n - x n) e (2)

Sistem baznih vektora e (1) , e (2) , . . . , e (n) je linearno nezavisna; po definiciji linearne nezavisnosti sistema vektora, gornja jednakost je moguća samo kada su svi koeficijenti (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) će biti jednako nuli. Od čega će biti pravedno: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, . . . , x n = x ~ n . I ovo dokazuje jedinu opciju za dekomponovanje vektora u bazu.

U ovom slučaju, koeficijenti x 1, x 2, . . . , x n nazivaju se koordinate vektora x → u bazi e (1) , e (2) , . . . , e (n) .

Dokazana teorija jasno daje izraz „dat je n-dimenzionalni vektor x = (x 1, x 2, . . . , x n)”: razmatra se vektorski x → n-dimenzionalni vektorski prostor, a njegove koordinate su specificirane u određenu osnovu. Također je jasno da će isti vektor u drugoj bazi n-dimenzionalnog prostora imati različite koordinate.

Razmotrimo sljedeći primjer: pretpostavimo da je u nekoj bazi n-dimenzionalnog vektorskog prostora dan sistem od n linearno nezavisnih vektora

a takođe je dat vektor x = (x 1 , x 2 , . . , x n).

Vektori e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) u ovom slučaju su također osnova ovog vektorskog prostora.

Pretpostavimo da je potrebno odrediti koordinate vektora x → u bazi e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) , označeno kao x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n.

Vektor x → će biti predstavljen na sljedeći način:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e (n)

Zapišimo ovaj izraz u koordinatnom obliku:

(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2 ) 1 , e (2) 2 , . . . + + x ~ n · (e (n) 1 , e (n) 2 , . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + + x ~ n e 2 (n) , e n (1) + .

Rezultirajuća jednakost je ekvivalentna sistemu od n linearnih algebarskih izraza sa n nepoznatih linearnih varijabli x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

Matrica ovog sistema će imati sledeći oblik:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Neka je ovo matrica A, a njeni stupci su vektori linearno nezavisnog sistema vektora e 1 (1), e 2 (2), . . . , e n (n) . Rang matrice je n, a njena determinanta je različita od nule. To ukazuje da sistem jednačina ima jedinstveno rješenje, određeno bilo kojom prikladnom metodom: na primjer, Cramerovom metodom ili matričnom metodom. Na ovaj način možemo odrediti koordinate x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n vektor x → u bazi e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .

Primijenimo razmatranu teoriju na konkretan primjer.

Primjer 6

Početni podaci: vektori su specificirani u bazi trodimenzionalnog prostora

e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

Neophodno je potvrditi činjenicu da sistem vektora e (1), e (2), e (3) takođe služi kao osnova datog prostora, kao i odrediti koordinate vektora x u datoj bazi.

Rješenje

Sistem vektora e (1), e (2), e (3) biće osnova trodimenzionalnog prostora ako je linearno nezavisan. Otkrijmo ovu mogućnost određivanjem ranga matrice A čiji su redovi dati vektori e (1), e (2), e (3).

Koristimo Gaussovu metodu:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3 . Dakle, sistem vektora e (1), e (2), e (3) je linearno nezavisan i baza je.

Neka vektor x → ima koordinate x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 u bazi. Odnos između ovih koordinata određen je jednadžbom:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Primijenimo vrijednosti prema uslovima problema:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Rešimo sistem jednačina koristeći Cramerovu metodu:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Dakle, vektor x → u bazi e (1), e (2), e (3) ima koordinate x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1.

odgovor: x = (1, 1, 1)

Odnos između baza

Pretpostavimo da su u nekoj bazi n-dimenzionalnog vektorskog prostora data dva linearno nezavisna sistema vektora:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . , c n (n))

e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . , e n (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , . . , e n (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . , e n (n))

Ovi sistemi su takođe baze datog prostora.

Neka je c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - koordinate vektora c (1) u bazi e (1) , e (2) , . . . , e (3) , tada će koordinatni odnos biti dat sistemom linearnih jednačina:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

Sistem se može predstaviti kao matrica na sljedeći način:

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Napravimo isti unos za vektor c (2) po analogiji:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Kombinirajmo matrične jednakosti u jedan izraz:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ e n (n)

On će odrediti vezu između vektora dvije različite baze.

Koristeći isti princip, moguće je izraziti sve bazne vektore e(1), e(2), . . . , e (3) kroz bazu c (1) , c (2) , . . . , c (n) :

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ c n (n)

Dajemo sljedeće definicije:

Definicija 5

Matrica c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) je prijelazna matrica iz baze e (1) , e (2) , . . . , e (3)

bazi c (1) , c (2) , . . . , c (n) .

Definicija 6

Matrica e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) je prijelazna matrica iz baze c (1) , c (2) , . . . , c(n)

bazi e (1) , e (2) , . . . , e (3) .

Iz ovih jednakosti je očigledno da

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e (1) e ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

one. prelazne matrice su recipročne.

Pogledajmo teoriju na konkretnom primjeru.

Primjer 7

Početni podaci: potrebno je pronaći prijelaznu matricu iz baze

c (1) = (1 , 2 , 1) c (2) = (2 , 3 , 3) ​​c (3) = (3 , 7 , 1)

e (1) = (3 , 1 , 4) e (2) = (5 , 2 , 1) e (3) = (1 , 1 , - 6)

Također morate naznačiti odnos između koordinata proizvoljnog vektora x → u datim bazama.

Rješenje

1. Neka je T prijelazna matrica, tada će jednakost biti tačna:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Pomnožite obje strane jednakosti sa

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

i dobijamo:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Definirajte prijelaznu matricu:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. Definirajmo odnos između koordinata vektora x → :

Pretpostavimo da je u bazi c (1) , c (2) , . . . , c (n) vektor x → ima koordinate x 1 , x 2 , x 3 , tada:

x = (x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 ,

a u bazi e (1) , e (2) , . . . , e (3) ima koordinate x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3, tada:

x = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Jer Ako su leve strane ovih jednakosti jednake, možemo izjednačiti i desne strane:

(x 1 , x 2 , x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Pomnožite obje strane na desnoj strani

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

i dobijamo:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Na drugoj strani

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Posljednje jednakosti pokazuju odnos između koordinata vektora x → u obje baze.

odgovor: tranzicijska matrica

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Koordinate vektora x → u datim bazama povezane su relacijom:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter