Dajte definiciju jednačine prave na ravni. Cool work04/02/12. Pogledajmo * Koja se jednačina naziva kvadratnom? * Koje jednačine se nazivaju nepotpune kvadratne jednačine? * Koji. Pogledajte šta je "jednačina" u drugim rječnicima

Rješavanje jednačine

Ilustracija grafičke metode za pronalaženje korijena jednadžbe

Rješavanje jednadžbe je zadatak pronalaženja takvih vrijednosti argumenata pri kojima se ova jednakost postiže. Mogućim vrijednostima argumenata se mogu nametnuti dodatni uvjeti (cijeli, realni, itd.).

Zamjena drugog korijena proizvodi netačnu izjavu:

.

Dakle, drugi korijen mora biti odbačen kao strani.

Vrste jednadžbi

Postoje algebarske, parametarske, transcendentalne, funkcionalne, diferencijalne i druge vrste jednadžbi.

Neke klase jednadžbi imaju analitička rješenja, koja su zgodna jer ne samo da daju tačnu vrijednost korijena, već vam također omogućavaju da rješenje napišete u obliku formule, koja može uključivati ​​parametre. Analitički izrazi omogućavaju ne samo izračunavanje korijena, već i analizu njihovog postojanja i njihove količine ovisno o vrijednostima parametara, što je često čak i važnije za praktičnu upotrebu od specifičnih vrijednosti korijena.

Jednačine za koje su poznata analitička rješenja uključuju algebarske jednačine ne veće od četvrtog stepena: linearne jednačine, kvadratne jednačine, kubne jednačine i jednačine četvrtog stepena. Algebarske jednadžbe viših stupnjeva u opštem slučaju nemaju analitičko rješenje, iako se neke od njih mogu svesti na jednačine nižih stupnjeva.

Jednačina koja uključuje transcendentalne funkcije naziva se transcendentalna. Među njima su poznata analitička rješenja za neke trigonometrijske jednadžbe, jer su nule trigonometrijskih funkcija dobro poznate.

U opštem slučaju, kada se analitičko rešenje ne može naći, koriste se numeričke metode. Numeričke metode ne daju tačno rješenje, već samo omogućavaju da se interval u kojem leži korijen suzi na određenu unaprijed određenu vrijednost.

Primjeri jednadžbi

vidi takođe

Književnost

• Bekarevich, A. B. Jednačine u školskom kursu matematike / A. B. Bekarevich. - M., 1968.
• Markushevich, L. A. Jednačine i nejednakosti u završnom ponavljanju srednjoškolskog kursa algebre / L. A. Markushevich, R. S. Cherkasov. / Matematika u školi. - 2004. - br. 1.
• Kaplan Y. V. Rivnyannya. - Kijev: Radjanska škola, 1968.
• Jednačina- članak iz Velike sovjetske enciklopedije
• Jednačine// Collier's Encyclopedia. - Otvoreno društvo. 2000.
• Jednačina// Enciklopedija oko svijeta
• Jednačina// Matematička enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Linkovi

• EqWorld - Svijet matematičkih jednačina - sadrži opsežne informacije o matematičkim jednačinama i sistemima jednačina.

Wikimedia fondacija. 2010.

Sinonimi:

Antonimi:

• Khadzhimba, Raul Dzhumkovich
• ES COMPUTER

Pogledajte šta je "jednačina" u drugim rječnicima:

JEDNAČINA- (1) matematički prikaz problema pronalaženja takvih vrijednosti argumenata (vidi (2)), za koje su vrijednosti dva podatka (vidi) jednake. Argumenti od kojih ovise ove funkcije nazivaju se nepoznate, a vrijednosti nepoznanica na kojima se vrijednosti ... ... Velika politehnička enciklopedija

JEDNAČINA- JEDNAČINA, jednačine, up. 1. Radnja pod Ch. izjednačiti izjednačiti i stanje prema pogl. izjednačiti izjednačiti. Jednaka prava. Jednadžba vremena (prevođenje pravog solarnog vremena u srednje solarno vrijeme, prihvaćeno u društvu i nauci; ... ... Ushakov's Explantatory Dictionary

JEDNAČINA- (jednačina) Zahtjev da matematički izraz poprimi određenu vrijednost. Na primjer, kvadratna jednadžba se piše kao: ax2+bx+c=0. Rješenje je vrijednost x pri kojoj data jednačina postaje identitet. U… … Ekonomski rječnik

JEDNAČINA- matematički prikaz problema pronalaženja vrijednosti argumenata za koje su vrijednosti dvije date funkcije jednake. Argumenti od kojih zavise ove funkcije nazivaju se nepoznanicama, a vrijednosti nepoznanica kod kojih su vrijednosti funkcije jednake ... ... Veliki enciklopedijski rječnik

JEDNAČINA- JEDNAČINA, dva izraza povezana znakom jednakosti; ovi izrazi uključuju jednu ili više varijabli koje se nazivaju nepoznate. Riješiti jednačinu znači pronaći sve vrijednosti nepoznanica po kojima ona postaje identitet, ili ustanoviti... Moderna enciklopedija

1. Koja tvrdnja se naziva posljedica? Dokaži da prava koja seče jednu od dve paralelne prave i drugu 2. Dokaži da

Ako su dvije prave paralelne s trećom pravom, onda su one paralelne.3. Koja teorema se naziva obrnuto od ove teoreme? Navedite primjere teorema suprotnih ovim podacima. 4. Dokažite da kada se dvije paralelne prave seku s transverzalom, uglovi su jednaki 5. Dokažite da ako je prava okomita na jednu od dvije paralelne prave, onda je i ona okomita na drugu.6.Dokazati da kada se dvije paralelne prave seku sa transverzalom: a) odgovarajući uglovi su jednaki; b) zbir jednostranih uglova je 180°.

Molim vas pomozite mi sa pitanjima o geometriji (9. razred)! 2) Šta znači rastaviti vektor na dva

ovim vektorima. 9) Koliki je poluprečnik vektora tačke?Dokazati da su koordinate tačke jednake odgovarajućim koordinatama vektora. 10) Izvesti formule za izračunavanje koordinata vektora iz koordinata njegovog početka i kraja. 11) Izvedi formule za izračunavanje koordinata vektora iz koordinata njegovih krajeva. 12) Izvedite formulu za izračunavanje dužine vektora iz njegovih koordinata. 13) Izvedite formulu za izračunavanje udaljenosti između dvije tačke na osnovu njihovih koordinata. 15) Koja se jednačina naziva jednačina ove prave? Navedite primjer. 16) Izvesti jednačinu kružnice datog poluprečnika sa centrom u datoj tački.

1) Navedite i dokažite lemu o kolinearnim vektorima.

3) Formulirati i dokazati teoremu o dekompoziciji vektora na dva nekolinearna vektora.
4) Objasnite kako se uvodi pravougaoni koordinatni sistem.
5) Šta su koordinatni vektori?
6) Formulisati i dokazati tvrdnju o dekompoziciji proizvoljnog vektora na koordinatne vektore.
7) Šta su vektorske koordinate?
8) Formulisati i dokazati pravila za pronalaženje koordinata zbira i razlike vektora, kao i proizvoda vektora i broja na datim vektorskim koordinatama.
10) Izvesti formule za izračunavanje koordinata vektora iz koordinata njegovog početka i kraja.
11) Izvedi formule za izračunavanje koordinata vektora iz koordinata njegovih krajeva.
12) Izvedite formulu za izračunavanje dužine vektora iz njegovih koordinata.
13) Izvedite formulu za izračunavanje udaljenosti između dvije tačke na osnovu njihovih koordinata.
14) Navedite primjer rješavanja geometrijskog problema koordinatnom metodom.
16) Izvesti jednačinu kružnice datog poluprečnika sa centrom u datoj tački.
17) Napišite jednačinu kružnice datog poluprečnika sa centrom u početku.
18) Izvedite jednačinu ove prave u pravougaonom koordinatnom sistemu.
19) Napišite jednačinu pravih koje prolaze kroz datu tačku M0 (X0: Y0) i paralelne su sa koordinatnim osa.
20) Napišite jednačinu koordinatnih osa.
21) Navedite primjere korištenja jednadžbi kružnice i prave pri rješavanju geometrijskih zadataka.

Molim te, stvarno mi treba! Po mogućnosti sa crtežima (gdje je potrebno)!

GEOMETRIJA 9. RAZRED.

1) Navedite i dokažite lemu o kolinearnim vektorima.
2) Šta znači rastaviti vektor na dva data vektora.
3) Formulirati i dokazati teoremu o dekompoziciji vektora na dva nekolinearna vektora.
4) Objasnite kako se uvodi pravougaoni koordinatni sistem.
5) Šta su koordinatni vektori?
6) Formulisati i dokazati tvrdnju o dekompoziciji proizvoljnog vektora na koordinatne vektore.
7) Šta su vektorske koordinate?
8) Formulisati i dokazati pravila za pronalaženje koordinata zbira i razlike vektora, kao i proizvoda vektora i broja na datim vektorskim koordinatama.
9) Koliki je radijus vektor tačke? Dokažite da su koordinate tačke jednake odgovarajućim koordinatama vektora.
14) Navedite primjer rješavanja geometrijskog problema koordinatnom metodom.
15) Koja se jednačina naziva jednačina ove prave? Navedite primjer.
17) Napišite jednačinu kružnice datog poluprečnika sa centrom u početku.
18) Izvedite jednačinu ove prave u pravougaonom koordinatnom sistemu.
19) Napišite jednačinu pravih koje prolaze kroz datu tačku M0 (X0: Y0) i paralelne su sa koordinatnim osa.
20) Napišite jednačinu koordinatnih osa.
21) Navedite primjere korištenja jednadžbi kružnice i prave pri rješavanju geometrijskih zadataka.

Prava linija na ravni iu prostoru.

Proučavanje svojstava geometrijskih figura pomoću algebre naziva se analitička geometrija , a mi ćemo koristiti tzv koordinatni metod .

Prava na ravni se obično definira kao skup tačaka koje imaju svojstva jedinstvena za njih. Činjenica da su x i y koordinate (brojevi) tačke koja leži na ovoj pravoj zapisane analitički u obliku neke jednačine.

Def.1 Jednadžba linije (jednačina krive) na Oxy ravni naziva se jednadžba (*), koju zadovoljavaju koordinate x i y svake tačke na datoj pravoj, a ne zadovoljavaju je koordinate bilo koje druge tačke koja ne leži na ovoj pravoj.

Iz definicije 1 slijedi da svaka linija na ravni odgovara nekoj jednadžbi između trenutnih koordinata ( x,y ) tačke ove prave i obrnuto, svaka jednačina odgovara, uopšteno govoreći, određenoj pravoj.

Ovo dovodi do dva glavna problema analitičke geometrije na ravni.

1. Prava je data u obliku skupa tačaka. Moramo napraviti jednačinu za ovu liniju.

2. Zadata je jednačina prave. Potrebno je proučiti njegova geometrijska svojstva (oblik i položaj).

Primjer. Da li tačke lažu A(-2;1) I IN (1;1) na liniji 2 X +at +3=0?

Problem nalaženja presečnih tačaka dve prave date jednačinama i svodi se na pronalaženje koordinata koje zadovoljavaju jednačinu obe prave, tj. na rješavanje sistema od dvije jednačine sa dvije nepoznate.

Ako ovaj sistem nema pravih rješenja, tada se prave ne sijeku.

Koncept linije je uveden u UCS na sličan način.

Prava na ravni se može definisati sa dve jednačine

Gdje X I at – proizvoljne koordinate tačke M(x;y), leži na ovoj liniji, i t - varijabla pod nazivom parametar , parametar određuje položaj tačke na ravni.

Na primjer, ako je , tada vrijednost parametra t=2 odgovara tački (3;4) na ravni.

Ako se parametar promijeni, tačka na ravni se pomiče, opisujući ovu liniju. Ova metoda definiranja linije se zove parametarska, a jednačina (5.1) je parametarska jednačina prave.

Da bi se prešlo sa parametarskih jednačina na opštu jednačinu (*), mora se nekako eliminisati parametar iz dve jednačine. Međutim, napominjemo da takva tranzicija nije uvijek preporučljiva i nije uvijek moguća.

Prava na ravni se može specificirati vektorska jednadžba , gdje je t parametar skalarne varijable. Svaka vrijednost parametra odgovara određenom vektoru ravnine. Prilikom promjene parametra, kraj vektora će opisivati ​​određenu liniju.

Vektorska jednadžba u DSC odgovaraju dvije skalarne jednadžbe

(5.1), tj. jednadžba projekcija na koordinatne ose vektorske jednadžbe prave je njegova

parametarska jednačina.

Vektorska jednačina i jednadžbe parametarskih linija imaju mehaničko značenje. Ako se tačka kreće u ravni, tada se navedene jednačine nazivaju jednačine kretanja , a linija je putanja tačke, parametar t je vrijeme.

Zaključak: svaka linija na ravni odgovara jednačini oblika.

U opštem slučaju, BILO KOJA JEDNAČINA POGLEDA odgovara određenoj liniji čija su svojstva određena datom jednačinom (s tim da nijedna geometrijska slika ne odgovara jednačini na ravni).

Neka je odabran koordinatni sistem na ravni.

Def. 5.1. Jednačina linije ova vrsta jednačine se zoveF(x;y) =0, koje zadovoljavaju koordinate svake tačke koje leži na ovoj pravoj, a ne zadovoljavaju koordinate bilo koje tačke koja ne leži na njoj.

Jednačina oblikaF(x;y )=0 – naziva se opšta jednačina prave ili jednačina u implicitnom obliku.

Dakle, linija G je geometrijsko mjesto tačaka koje zadovoljavaju ovu jednačinu G=((x, y): F(x;y)=0).

Linija se također zove krivo.

Cilj: Razmotrite koncept prave na ravni, navedite primjere. Na osnovu definicije prave uvesti pojam jednačine prave na ravni. Razmotrite vrste pravih linija, navedite primjere i metode definiranja prave linije. Ojačati sposobnost prevođenja jednačine prave linije iz opšteg oblika u jednačinu prave „u segmentima“, sa ugaonim koeficijentom.

1. Jednačina prave na ravni.
2. Jednačina prave linije na ravni. Vrste jednadžbi.
3. Metode za određivanje prave linije.

1. Neka su x i y dvije proizvoljne varijable.

Definicija: Poziva se relacija oblika F(x,y)=0 jednačina , ako nije tačno ni za jedan par brojeva x i y.

Primjer: 2x + 7y – 1 = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0.

Ako jednakost F(x,y)=0 vrijedi za bilo koje x, y, onda je, dakle, F(x,y) = 0 identitet.

Primjer: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0

Kažu da su brojevi x 0, a y 0 zadovoljiti jednačinu , ako se prilikom njihove zamjene u ovu jednačinu ona pretvori u pravu jednakost.

Najvažniji koncept analitičke geometrije je koncept jednačine prave.

Definicija: Jednačina date prave je jednačina F(x,y)=0, koju zadovoljavaju koordinate svih tačaka koje leže na ovoj pravoj, a ne zadovoljavaju je koordinate bilo koje tačke koje ne leže na ovoj pravoj.

Prava definisana jednačinom y = f(x) naziva se graf od f(x). Varijable x i y se nazivaju trenutne koordinate, jer su koordinate promjenljive tačke.

Neki primjeri definicije linija.

1) x – y = 0 => x = y. Ova jednadžba definira pravu liniju:

2) x 2 - y 2 = 0 => (x-y)(x+y) = 0 => tačke moraju zadovoljiti ili jednačinu x - y = 0, ili jednačinu x + y = 0, što na ravni odgovara par pravih linija koje se seku koje su simetrale koordinatnih uglova:

3) x 2 + y 2 = 0. Ovu jednačinu zadovoljava samo jedna tačka O(0,0).

2. definicija: Bilo koja prava linija na ravni može se odrediti jednadžbom prvog reda

Ax + Wu + C = 0,

Štaviše, konstante A i B nisu u isto vrijeme jednake nuli, tj. A 2 + B 2 ¹ 0. Ova jednačina prvog reda se zove opšta jednačina prave linije.

Ovisno o vrijednostima konstanti A, B i C, mogući su sljedeći posebni slučajevi:

C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 – prava prolazi kroz početak

A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 (By + C = 0) - prava linija paralelna sa osom Ox

B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) – prava paralelna sa Oy osom

B = C = 0, A ¹ 0 – prava linija se poklapa sa Oy osom

A = C = 0, B ¹ 0 – prava linija se poklapa sa osom Ox

Jednačina prave linije može se predstaviti u različitim oblicima u zavisnosti od bilo kojeg datog početnog uslova.

Jednačina prave linije sa ugaonim koeficijentom.

Ako se opšta jednačina prave Ax + By + C = 0 svede na oblik:

i označimo , tada se rezultirajuća jednačina zove jednačina prave linije sa nagibom k.

Jednačina prave linije u segmentima.

Ako u opštoj jednačini prave Ah + Vu + S = 0 S ¹ 0, onda, dijeljenjem sa –S, dobijamo: ili , gdje je

Geometrijsko značenje koeficijenata je da koeficijent A je koordinata tačke preseka linije sa Ox osom, i b– koordinata tačke preseka prave sa Oy osom.

Normalna jednadžba prave.

Ako su obje strane jednadžbe Ax + By + C = 0 podijeljene brojem tzv normalizujući faktor, onda dobijamo

xcosj + ysinj - p = 0 – normalna jednačina prave.

Predznak ± faktora normalizacije mora biti odabran tako da je m×S< 0.

p je dužina okomice spuštene od početka do prave linije, a j je ugao formiran ovom okomom sa pozitivnim smjerom ose Ox.

3. Jednadžba prave linije koristeći tačku i nagib.

Neka je ugaoni koeficijent prave jednak k, prava prolazi kroz tačku M(x 0, y 0). Tada se jednačina prave linije nalazi po formuli: y – y 0 = k(x – x 0)

Jednadžba prave koja prolazi kroz dvije tačke.

Neka su u prostoru date dvije tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), tada je jednadžba prave koja prolazi kroz ove tačke:

Ako je bilo koji od nazivnika nula, odgovarajući brojnik treba postaviti jednak nuli.

Na ravni, jednadžba ravne linije koja je gore napisana je pojednostavljena:

ako je x 1 ¹ x 2 i x = x 1, ako je x 1 = x 2.

Razlomak = k se naziva nagib ravno.

Neka je na  ravni dati kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem Oxy i neka prava L.

Definicija. Jednačina F(x;y)=0 (1) pozvao jednačina linijeL(u odnosu na dati koordinatni sistem), ako ovu jednačinu zadovoljavaju koordinate x i y bilo koje tačke koja leži na pravoj L, a ne x i y koordinate bilo koje tačke koja ne leži na pravoj L.

To. linija u avionu je lokus tačaka (M(x;y)) čije koordinate zadovoljavaju jednačinu (1).

Jednačina (1) definira L liniju.

Primjer. Jednačina kružnice.

Krug– skup tačaka jednako udaljenih od date tačke M 0 (x 0,y 0).

Tačka M 0 (x 0,y 0) – centar kruga.

Za bilo koju tačku M(x;y) koja leži na kružnici, udaljenost MM 0 =R (R=const)

MM 0 ==R

(x-x 0 ) 2 +(oooh 0 ) 2 =R 2 –(2) – jednačina kružnice poluprečnika R sa centrom u tački M 0 (x 0,y 0).

Parametrijska jednadžba prave.

Neka x i y koordinate tačaka na pravoj L budu izražene pomoću parametra t:

(3) – parametarska jednačina linije u DSC-u

gdje su funkcije (t) i (t) kontinuirane u odnosu na parametar t (u određenom rasponu varijacije ovog parametra).

Isključujući parametar t iz jednačine (3), dobijamo jednačinu (1).

Razmotrimo pravu L kao putanju koju prelazi materijalna tačka koja se neprekidno kreće prema određenom zakonu. Neka varijabla t predstavlja vrijeme koje se računa od nekog početnog trenutka. Tada specifikacija zakona kretanja predstavlja specifikaciju koordinata x i y pokretne tačke kao neke kontinuirane funkcije x=(t) i y=(t) vremena t.

Primjer. Izvedemo parametarsku jednačinu za krug poluprečnika r>0 sa centrom u početku. Neka je M(x,y) proizvoljna tačka ove kružnice, a t ugao između vektora radijusa i ose Ox, računajući suprotno od kazaljke na satu.

Tada je x=r cos x y=r sin t. (4)

Jednačine (4) su parametarske jednačine kruga koji se razmatra. Parametar t može uzeti bilo koju vrijednost, ali da bi tačka M(x,y) jednom obišla krug, opseg promjene parametra je ograničen na polusegment 0t2.

Kvadriranjem i sabiranjem jednačina (4) dobijamo opštu jednačinu kružnice (2).

2. Polarni koordinatni sistem (psc).

Odaberimo L os ( polarnu os) i odredi tačku ove ose O ( pole). Svaka tačka na ravni je jednoznačno definisana polarnim koordinatama ρ i φ, gde je

ρ – polarni radijus, jednako rastojanju od tačke M do pola O (ρ≥0);

φ – kutak između pravca vektora OM i L osa ( polarni ugao). M(ρ ; φ )

Jednačina linije u UCS može se napisati:

ρ=f(φ) (5) eksplicitna jednadžba linije u UCS

F=(ρ; φ) (6) jednadžba implicitne linije u UCS

Odnos kartezijanskih i polarnih koordinata tačke.

(x;y) (ρ ; φ ) Iz trougla OMA:

tan φ=(obnavljanje uglaφ prema poznatomnastaje tangentauzimajući u obzir u kom se kvadrantu nalazi tačka M).(ρ ; φ )(x;y). x=ρcosφ,y=ρsinφ

Primjer . Odrediti polarne koordinate tačaka M(3;4) i P(1;-1).

Za M:=5, φ=arctg (4/3). Za P: ρ=; φ=Π+arctg(-1)=3Π/4.

Klasifikacija ravnih linija.

Definicija 1. Linija se zove algebarski, ako u nekom Dekartovom pravougaonom koordinatnom sistemu, ako je definisan jednačinom F(x;y)=0 (1), u kojoj je funkcija F(x;y) algebarski polinom.

Definicija 2. Svaka nealgebarska linija se zove transcendentalno.

Definicija 3. Algebarska linija se zove red redan, ako je u nekom Dekartovom pravougaonom koordinatnom sistemu ova prava određena jednačinom (1), u kojoj je funkcija F(x;y) algebarski polinom n-tog stepena.

Dakle, prava n-tog reda je prava definisana u nekom Dekartovom pravougaonom sistemu algebarskom jednačinom stepena n sa dve nepoznate.

Sljedeća teorema doprinosi utvrđivanju ispravnosti definicija 1,2,3.

Teorema(dokument na str. 107). Ako je prava u nekom Dekartovom pravougaonom koordinatnom sistemu određena algebarskom jednačinom stepena n, onda je ova prava u bilo kom drugom Dekartovom pravougaonom koordinatnom sistemu određena algebarskom jednačinom istog stepena n.