Reducibilni polinomi nad poljem realnih brojeva. Proširenje polinoma preko polja racionalnih brojeva. Polinomi nad poljem racionalnih brojeva

Reducibilnost polinoma zavisi od polja nad kojim se razmatraju. Polinom je nesvodiv (polinom koji se ne može razložiti u faktore nižeg stepena) nad poljem Q, a reducibilan je nad poljem R.

Svojstva nesvodljivih polinoma:

1. Polinom stepena nula je reducibilan na bilo koje polje
2. Ako je polinom f(x) ne može se smanjiti preko polja R, zatim polinom a f(x) se također ne može smanjiti preko polja R.
3. Neka su polinomi f (x) I p(x) preko polja R, i p(x) – nesvodljiv preko polja R, onda su slučajevi mogući

1) polinomi f (x) I p(x) su relativno prosti

2) f(x):(u potpunosti) p(x)

Za polje F se kaže da je algebarski zatvoreno ako bilo koji polinom pozitivnog stepena nad F ima korijen u F.

Teorema 5.1 (osnovna teorema polinomske algebre). Polje kompleksnih brojeva je algebarski zatvoreno.

Posljedica 5 .1.1. Iznad WITH Postoje samo nesvodivi polinomi prvog stepena.

Posljedica 5.1.2. Polinom n-. stepen iznad WITH Ima n složeni koreni.

Teorema 5.2. If je kompleksan korijen polinoma f sa realnim koeficijentima, tada je kompleksno konjugirani broj također korijen f.

Posljedica 5 .2.1. Iznad R Postoje nesvodljivi polinomi samo prvog ili drugog stepena.

Korolar 5.2.2. Imaginarni korijeni polinoma preko R rastavljaju na parove kompleksnih konjugata.

Primjer 5.1. Faktor u nesvodljive faktore preko WITH i iznad R polinom x 4 + 4.

Rješenje. Imamo

x 4 + 4 =x 4 + 4X 2 + 4 – 4X 2 = (x 2 + 2) 2 – 4X 2 = (x 2 – 2X+ 2)(x 2 + 2X+ 2) –

ekspanzija završena R. Pronalazeći kompleksne korijene polinoma drugog stepena u zagradama na uobičajen način, dobijamo proširenje preko WITH:

x 4 + 4 = (x – 1 – i) (x – 1 + i) (x + 1 – i) (x + 1 + i).

Primjer 5.2. Konstruisati polinom najmanjeg stepena sa realnim koeficijentima koji imaju korene 2 i 1 + i.

Rješenje. Prema posledicama 5.2.2, polinom mora imati korene 2, 1 – i i 1 + i. Njegovi koeficijenti se mogu pronaći pomoću Vietinih formula:

 1 = 2 + (1 – i) + (1 +i) = 4;

 2 = 2(1 – i) + 2(1 + i) + (1 – i)(1 + i) = 6;

 3 = 2(1 – i)(1 + i) = 4.

Odavde f =x 3 – 4x 2 + 6x– 4.

Vježbe.

5.1. Faktor u nesvodljive faktore preko WITH i iznad R polinomi:

A) X 3 – 6X 2 + 11X – 6;

b) X 4 – 10X 2 + 1.

5.2. Konstruirajte polinom najmanjeg stepena sa realnim koeficijentima koji imaju dvostruki korijen 1 i jednostavan korijen 1 – 2 i.

6. Polinomi nad poljem racionalnih brojeva

Teorema 6.1 (Eisensteinov kriterijum). Neka f = a 0 + a 1 x + ...+ a n x n– polinom sa cjelobrojnim koeficijentima. Ako postoji takav prost broj str, Šta a 0 , a 1 , … , a n-1 je podijeljeno sa str, a n nije djeljivo sa str,a 0 nije djeljivo sa str 2, onda f nije svodiv na polje racionalnih brojeva.

Vježba 6.1. Dokažite nesvodljivost preko Q polinomi:

A) f= 2X 5 + 3X 4 – 9X 3 – 6X+ 3; b) f= 5X 4 + 6X 3 – 18X 2 – 12X + 54.

Teorema 6.2. Neka – nesvodljivi razlomak koji je korijen polinoma f = a 0 + a 1 x + … + a n x n sa cjelobrojnim koeficijentima. Onda

a 0  str, a n  q;

f(1)  p–q,f(–1)  p+q.

Ova teorema nam omogućava da riješimo problem pronalaženja racionalnih korijena polinoma sa cjelobrojnim koeficijentima. Da bismo to učinili, odredimo sve djelitelje slobodnog člana i vodeći koeficijent i iz njih konstruiramo sve vrste nesvodljivih razlomaka. Svi racionalni korijeni sadržani su među ovim razlomcima. Da biste ih odredili, možete koristiti Hornerovu shemu. Da bismo izbjegli nepotrebne proračune u njemu, koristimo iskaz 2) teoreme 6.2.

Primjer 6.1. Pronađite racionalne korijene polinoma

f = 2X 4 + 7X 3 + 3X 2 – 15X– 18.

Rješenje. Zapisujemo sve razlomke čiji brojnici str – djelitelji su 18, a imenioci q– razdjelnici 2:

1, –1, 2, –2, 3, –3, 6, –6, 9, –9, 18, –18,
,
,
.

Provjeravamo ih prema Hornerovoj shemi:

Pronalaženje korijena X 1 = –2 i dijeljenje polinoma sa X+ 2, dobijamo polinom sa novim slobodnim članom –9 (njegovi koeficijenti su podvučeni). Brojioci preostalih korijena moraju biti djelitelji ovog broja, a razlomci koji ne zadovoljavaju ovaj uvjet mogu se isključiti iz liste. Preostale cjelobrojne vrijednosti su isključene jer ne zadovoljavaju uvjet f(1)str – q ili f(–1)str + q. Na primjer, za 3 imamo str = 3, q= 1, a uslov nije ispunjen f(1) = –21str – q(isto kao i drugi uslov).

Slično, pronalaženje korijena X 2 = 3/2, dobili smo polinom sa novim slobodnim članom 3 i vodećim koeficijentom 1 (kada je korijen razlomačan, koeficijente rezultujućeg polinoma treba smanjiti). Nijedan preostali broj sa liste više ne može biti njegov koren, a lista racionalnih korena je iscrpljena.

Pronađene korijene treba provjeriti za višestrukost.

Ako smo u procesu rješavanja došli do polinoma drugog stupnja, a lista razlomaka još nije iscrpljena, tada se preostali korijeni mogu pronaći koristeći uobičajene formule kao korijene kvadratnog trinoma.

Vježba 6.2. Pronađite racionalne korijene polinoma

A) X 3 – 6X 2 + 15X– 14;

b) X 5 – 7X 3 – 12X 2 + 6X+ 36;

u 2 X 4 – 11X 3 + 23X 2 – 24X+ 12;

d) 4 X 4 – 7X 2 – 5X– 1.

Poziva se polinom nad prstenom cijelih brojeva primitivno, ako je najveći zajednički djelitelj njegovih koeficijenata 1. Polinom s racionalnim koeficijentima jedinstveno je predstavljen kao proizvod pozitivnog racionalnog broja, tzv. sadržaj polinom i primitivni polinom. Proizvod primitivnih polinoma je primitivni polinom. Iz ove činjenice slijedi da ako je polinom s cijelim koeficijentima reducibilan nad poljem racionalnih brojeva, onda je on reducibilan preko prstena cijelih brojeva. Dakle, problem faktoringa polinoma u nesvodljive faktore nad poljem racionalnih brojeva svodi se na sličan problem nad prstenom cijelih brojeva.

Neka je polinom s cijelim koeficijentima i sadržajem 1, i neka je njegov racionalni korijen. Zamislimo korijen polinoma kao nesvodljivi razlomak. Polinom f(x) je predstavljen kao proizvod primitivnih polinoma. dakle,

A. brojilac je djelitelj,

B. imenilac – djelitelj

C. za bilo koji cijeli broj k značenje f(k) – cijeli broj koji je djeljiv bez ostatka sa ( bk-a).

Navedena svojstva nam omogućavaju da problem pronalaženja racionalnih korijena polinoma svedemo na konačno pretraživanje. Sličan pristup se koristi u polinomskoj ekspanziji f na nesvodljive faktore nad poljem racionalnih brojeva koristeći Kroneckerovu metodu. Ako je polinom f(x) stepeni n su dati, onda jedan od faktora ima stepen ne veći od n/2. Označimo ovaj faktor sa g(x). Pošto su svi koeficijenti polinoma cijeli brojevi, onda za bilo koji cijeli broj a značenje f(a) je djeljiv bez ostatka sa g(a). Hajde da izaberemo m= 1+n/2 različita cijela broja a ja, i=1,…,m. Za brojeve g(a i) postoji konačan broj mogućnosti (broj djelitelja bilo kojeg broja različitog od nule je konačan), stoga postoji konačan broj polinoma koji mogu biti djelitelji f(x). Nakon kompletnog pretraživanja, ili ćemo pokazati nesvodljivost polinoma, ili ga proširiti u proizvod dva polinoma. Navedenu šemu primjenjujemo na svaki faktor sve dok svi faktori ne postanu nesvodljivi polinomi.

Nesvodljivost nekih polinoma nad poljem racionalnih brojeva može se utvrditi korištenjem jednostavnog Eisensteinovog kriterija.

Neka f(x) je polinom nad prstenom cijelih brojeva. Ako postoji prost broj str, Šta

I. Svi koeficijenti polinoma f(x), pored koeficijenta za najviši stepen, dijele se na str

II. Koeficijent za najviši stepen nije djeljiv sa str

III. Slobodni član nije podijeljen na

Zatim polinom f(x) je nesvodiv preko polja racionalnih brojeva.

Treba napomenuti da Ajzenštajnov kriterijum daje dovoljne uslove za nesvodljivost polinoma, ali ne i neophodne. Dakle, polinom je nesvodiv preko polja racionalnih brojeva, ali ne zadovoljava Eisensteinov kriterijum.

Polinom je, prema Ajzenštajnovom kriterijumu, nesvodiv. Prema tome, nad poljem racionalnih brojeva postoji nesvodljivi polinom stepena n, Gdje n bilo koji prirodni broj veći od 1.

Nad poljem realnih brojeva, svaki nesvodljivi polinom jedne varijable ima stepen 1 ili 2, a polinom stepena 2 je nesvodiv nad poljem R ako i samo ako ima negativan diskriminant, na primer, polinom je nesvodljiv nad poljem R. polje realnih brojeva jer je njegov diskriminant negativan.

Ajzenštajnov kriterijum je test za nesvodljivost polinoma, nazvan po nemačkom matematičaru Ferdinandu Ajzenštajnu. Uprkos (tradicionalnom) nazivu, to je upravo znak, odnosno dovoljan uslov - ali nimalo neophodan, kako bi se moglo pretpostaviti na osnovu matematičkog značenja reči "kriterijum"

Teorem (Eisensteinov kriterij). Neka je polinom nad faktorskim prstenom R ( n>0), i za neki nesvodivi element str ispunjeni su sljedeći uslovi:

Nije djeljivo sa str,

Podijeljena str, za bilo koga i od 0 prije n- 1,

Nije djeljivo sa.

Tada je polinom nesvodiv preko F privatno prstenasto polje R.

Posljedica. Nad bilo kojim poljem algebarskih brojeva postoji nesvodljivi polinom bilo kojeg unaprijed određenog stepena; na primjer, polinom gdje n>1 i strÍ̈ neki prost broj.

Razmotrimo primjere primjene ovog kriterija kada je R prsten cijelih brojeva, a F polje racionalnih brojeva.

Primjeri:

Polinom je nesvodiv preko Q.

Polinom podjele kruga je nesvodljiv. U stvari, ako je reducibilan, onda smanjujemo i polinom, a pošto su svi njegovi koeficijenti, osim prvog, binomni, odnosno djeljivi sa str, i posljednji koeficijent `amen str a osim toga, nije djeljiv po Eisensteinovom kriteriju, suprotno pretpostavci.

Sljedećih pet polinoma pokazuju neka elementarna svojstva nesvodljivih polinoma:

Preko prstena Z cijelih brojeva, prva dva polinoma su reducibilna, posljednja dva su nesvodiva. (Treći uopšte nije polinom nad cijelim brojevima).

Preko polja Q racionalnih brojeva, prva tri polinoma su reducibilna, druga dva su nesvodiva.

Preko polja R realnih brojeva, prva četiri polinoma su reducibilna, ali su nesvodiva. U polju realnih brojeva, linearni polinomi i kvadratni polinomi bez realnih korijena su nesvodljivi. Na primjer, ekspanzija polinoma u polju realnih brojeva ima oblik. Oba faktora u ovoj ekspanziji su nesvodljivi polinomi.

Nad poljem C kompleksnih brojeva svih pet polinoma je reducibilno. Zapravo, svaki nekonstantni polinom nad C može se faktorizirati u obliku:

Gdje n- stepen polinoma, a- vodeći koeficijent, - korijeni polinoma. Prema tome, jedini nesvodljivi polinomi nad C su linearni polinomi (osnovna teorema algebre).

Nesvodljivi polinom- polinom koji se ne može razložiti na netrivijalne polinome. Nesvodljivi polinomi su nesvodljivi elementi polinomskog prstena.

Nesvodljivi polinom nad poljem je polinom varijabli nad poljem je jednostavan element prstena , to jest, ne može se predstaviti kao proizvod , gdje su i polinomi s koeficijentima iz , osim konstanti.

Za polinom f nad poljem F kaže se da je nesvodljiv (jednostavan) ako ima pozitivan stepen i nema netrivijalne djelitelje (tj., bilo koji djelitelj je ili povezan s njim ili s jedinicom)

Rečenica 1

Neka R– nesvodivo i A– bilo koji polinom prstena F[x]. Onda bilo R deli A, ili R I A- obostrano jednostavno.

Rečenica 2

Neka f∈ F[x], i stepen f = 1, što znači da je f nesvodivi polinom.

Na primjer: 1. Uzmimo polinom x+1 nad poljem Q. Njegov stepen je 1, što znači da je nesvodljiv.

2. x2 +1 – nesvodljivo, jer nema korijena

SLU. Sistemsko rješenje. Kooperativni, nekooperativni, određeni i neodređeni sistemi. Ekvivalentni sistemi

Sistem linearnih jednadžbi nad poljem F sa varijablama x1,...xn je sistem oblika

A 11 X 1 + … + a 1n x n= b 1

………………………..

a m1 x 1 + … + a mn x n= b m

gdje a ik,b i∈ F, m je broj jednačina, a n je broj nepoznatih. Ukratko, ovaj sistem se može napisati na sljedeći način: ai1x1 + … + a in x n= b i (i = 1,…m.)

Ovaj SLE je uslov sa n slobodnih varijabli x 1,….hn.

SLN se dijele na nekompatibilne (nemaju rješenja) i kompatibilne (određene i neodređene). Konzistentan sistem tipa naziva se definitivan ako ima jedinstveno rješenje; ako ima najmanje dva različita rješenja, onda se naziva neizvjesnim.

Na primjer: iznad Q polja

x + y = 2 - nekonzistentan sistem

x – y = 0 - spoj određen (x, y = ½)

2x + 2y = 2 - zglob neodređen

Dva l.u. sistema su ekvivalentni ako se skupovi rješenja ovih sistema poklapaju, odnosno, svako rješenje jednog sistema je istovremeno rješenje drugog. Sistem ekvivalentan ovom može se dobiti:

1. Zamjena jedne od jednadžbi ovom jednačinom pomnoženom bilo kojim brojem koji nije nula.

2. zamjena jedne od jednačina sa zbirom ove jednačine drugom jednačinom sistema.

Rješenje SLE se provodi Gausovom metodom.

45* Elementarne transformacije sistema linearnih jednačina (slu). Gaussova metoda.

Def.Elementarne transformacije S.L.U n-xia su sljedeće transformacije:

1. Množenje jedne od sistema jednačina sistema nenultim elementom polja.

2. Dodavanje jednoj od jednačina sistema još jedne jednačine pomnožene elementom polja.

3. Dodavanje u sistem ili isključivanje iz sistema nenulte jednačine 0*x1+0*x2+…+0*xn=0

4. Obrnute jednačine

SugestijaNeka se dobije sistem (**) ili sistem (*) korišćenjem konačnog broja. Elementarne transformacije. Zatim sistem (**)~ sistem(*). (bez dokumenta)

zamjenik Prilikom pisanja sistema linearnih jednačina koristićemo matričnu notaciju.

a11 a12 … a1n b1

a21 a22 ... a2n b2

………………….... …

Am1 am2 ... amn vn

Primjeri: 1) 2x1 – x3 = 1 2 0 -1 1

x1 – x2 – x3 = 0 1 -1 -1 0

3x1 + 2x2 + 4x3 = 2 3 2 4 2

2) 1 0 1 x1=1

0 1 2 x2=2

3) 1 0 1 2 x1+x3=2 x1=2-x3

0 1 -1 3 x2-x3=3 x2=3+x3

Gaussova metoda

Sugestija Neka sistem (*) ima

(a) ako su svi slobodni članovi jednaki 0 ​​svi vk=0 mnogo rješenja = F n

(b) k vk=0 0x1+0x2+…+0xn= vk=0 (nema rješenja)

2. nisu svi aij=0

(a) ako sistem ima jednačinu oblika 0x1+0x2+…+0xn= vk=0 0

(b) ako ne postoje takve jednačine b1. Hajde da eliminišemo jednačine različite od nule. Nađimo najmanji indeks i1, tako da nisu svi koeficijenti na xij=0.

0……0……….. …. Druga kolona sa nulama je i1.

0……0…..*=0….. ….

0……0 ...……… …

1.preuređivanjem jednačina postići ćemo da je a1i1 = 0

0 ..... 0… a1i1 = 0 .... .... (1). :=(zadatak) (1) 1/ a1i1 (2). :=(2)-(1)* a2i1

A2i1........... .... 0…. 0…1…. …. 0…. 0..1….. ….. ( stupio

0…. 0… a2i1… 0…..0..0… …. Matrix)

0 ........... 0 .... ami1.. ... ……………… …. …………………… ….

0 ….0 ..ami1 ... 0……0…………0 ….

Nakon konačnog broja koraka, dobijamo ili da sistem sadrži jednačinu oblika 0x1+0x2+…+0xn= vk=0 0ili

0……0 1………….. L1 „Gausov potez naprijed“ 0....0 1...0..0 .....0........0.... .. “obrnuti hod

0......0 0......1..... L2 0....0 0.....1.........0.... . ....0.... ..Gauss”

0 .......00.......0....1 L2 0....0 0......0........1... . .....0.... ..

.............................. .... ............................................ ..

0........0 0 ............0..1 Lk 0....0 0.......0....... ..0...0.......1 ..

Promenljive xi1, ......xik ćemo nazvati glavnim, ostale su slobodne.

k=n => c-a definisano

k c-a nedefinisano. Slobodnim varijablama se mogu dati izvedene vrijednosti, a vrijednosti glavnih varijabli mogu se izračunati.

2 0 -1 1 8 (-3) 1 -1 -1 0 *(-2) 1 -1 -1 0

1 -1 -1 0 ~ 2 0 -1 1 ~ 0 2 1 1

3 2 4 2 3 2 4 2 0 5 7 2