Kvadrat və digər tənliklər üçün Vyeta teoremi. Vyeta teoremi. İstifadə nümunələri Kvadrat tənliklərin həlli Vieta düsturu
Kvadrat tənliyin həlli üsullarından biri istifadə etməkdir VİET düsturları FRANCOIS VIETTE'nin şərəfinə adlandırılmışdır.
O, 16-cı əsrdə Fransa kralına xidmət edən məşhur hüquqşünas idi. Boş vaxtlarında astronomiya və riyaziyyatla məşğul olub. Kvadrat tənliyin kökləri və əmsalları arasında əlaqə qurdu.
Formulun üstünlükləri:
1 . Düsturu tətbiq etməklə siz tez bir həll tapa bilərsiniz. Çünki kvadrata ikinci əmsalı daxil etməyə, ondan sonra ondan 4ac-ı çıxarmağa, diskriminantı tapmağa və kökləri tapmaq üçün onun dəyərini düstura əvəz etməyə ehtiyac yoxdur.
2 . Həll olmadan, köklərin əlamətlərini təyin edə və köklərin dəyərlərini seçə bilərsiniz.
3 . İki qeyd sistemini həll edərək, kökləri özləri tapmaq çətin deyil. Yuxarıdakı kvadrat tənlikdə köklərin cəmi mənfi işarəli ikinci əmsalın qiymətinə bərabərdir. Yuxarıdakı kvadrat tənlikdəki köklərin hasili üçüncü əmsalın qiymətinə bərabərdir.
4 . Bu köklərdən istifadə edərək kvadrat tənliyi yazın, yəni tərs məsələni həll edin. Məsələn, nəzəri mexanikada məsələlərin həlli zamanı bu üsuldan istifadə olunur.
5 . Aparıcı əmsal birə bərabər olduqda düsturdan istifadə etmək rahatdır.
Qüsurlar:
1
. Formula universal deyil.
Vietanın teoremi 8 sinif
Düstur
Əgər x 1 və x 2 endirilmiş kvadrat tənliyin x 2 + px + q = 0 kökləridirsə, onda:
Nümunələr
x 1 = -1; x 2 = 3 - x 2 - 2x - 3 = 0 tənliyinin kökləri.
P = -2, q = -3.
X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,
X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.
Əks teorem
Düstur
Əgər x 1, x 2, p, q ədədləri şərtlərlə əlaqələndirilirsə:
Onda x 1 və x 2 x 2 + px + q = 0 tənliyinin kökləridir.
Misal
Köklərindən istifadə edərək kvadrat tənlik yaradaq:
X 1 = 2 - ? 3 və x 2 = 2 + ? 3.
P = x 1 + x 2 = 4; p = -4; q = x 1 x 2 = (2 - ? 3 )(2 + ? 3 ) = 4 - 3 = 1.
Tələb olunan tənliyin forması var: x 2 - 4x + 1 = 0.
üçün Vyeta teoreminin tərtibi və sübutu kvadrat tənliklər. Vietanın əks teoremi. Kub tənlikləri və ixtiyari nizamlı tənliklər üçün Vyeta teoremi.
MəzmunHəmçinin bax: Kvadrat tənliyin kökləri
Kvadrat tənliklər
Vyeta teoremi
Gəlin və azaldılmış kvadrat tənliyin köklərini işarə edək
(1)
.
Onda köklərin cəmi əks işarə ilə alınan əmsalına bərabərdir. Köklərin məhsulu sərbəst müddətə bərabərdir:
;
.
Çoxlu köklər haqqında qeyd
(1) tənliyinin diskriminantı sıfırdırsa, bu tənliyin bir kökü var. Lakin, çətin formulaların qarşısını almaq üçün ümumiyyətlə qəbul edilir ki, bu halda (1) tənliyinin iki çox və ya bərabər kökü var:
.
Bir sübut
(1) tənliyinin köklərini tapaq. Bunu etmək üçün kvadrat tənliyin kökləri üçün formula tətbiq edin:
;
;
.
Köklərin cəmini tapın:
.
Məhsulu tapmaq üçün formula tətbiq edin:
.
Sonra
.
Teorem sübut edilmişdir.
Sübut iki
Əgər ədədlər kvadrat tənliyin (1) kökləridirsə, onda
.
Mötərizənin açılması.
.
Beləliklə, (1) tənliyi aşağıdakı formanı alacaq:
.
(1) ilə müqayisə edərək tapırıq:
;
.
Teorem sübut edilmişdir.
Vietanın əks teoremi
Qoy ixtiyari rəqəmlər olsun. Onda və kvadrat tənliyin kökləridir
,
Harada
(2)
;
(3)
.
Vyetanın əks teoreminin sübutu
Kvadrat tənliyi nəzərdən keçirək
(1)
.
Sübut etməliyik ki, əgər və, onda və (1) tənliyinin kökləridir.
(2) və (3) sözlərini (1) əvəz edək:
.
Tənliyin sol tərəfindəki şərtləri qruplaşdırırıq:
;
;
(4)
.
Gəlin (4) əvəz edək:
;
.
Gəlin (4) əvəz edək:
;
.
Tənlik qüvvədədir. Yəni, ədəd (1) tənliyinin köküdür.
Teorem sübut edilmişdir.
Tam kvadrat tənlik üçün Vyeta teoremi
İndi tam kvadrat tənliyi nəzərdən keçirin
(5)
,
harada və bəzi rəqəmlərdir. Üstəlik.
(5) tənliyini aşağıdakılara bölək:
.
Yəni verilmiş tənliyi əldə etdik
,
Harada;
.
Onda tam kvadrat tənlik üçün Vyeta teoremi aşağıdakı formaya malikdir.
.
Tam kvadrat tənliyin köklərini qeyd edək və işarə edək
;
.
Sonra köklərin cəmi və məhsulu düsturlarla müəyyən edilir:
Kub tənliyi üçün Vyeta teoremi
(6)
,
Bənzər bir şəkildə, kub tənliyinin kökləri arasında əlaqə qura bilərik. Kub tənliyini nəzərdən keçirək
burada , , , bəzi ədədlərdir. Üstəlik.
(7)
,
Bu tənliyi aşağıdakılara bölək:
Harada,,.
.
(7) tənliyinin (və (6) tənliyinin) kökləri , , olsun. Sonra
;
;
.
(7) tənliyi ilə müqayisə edərək tapırıq:
n-ci dərəcəli tənlik üçün Vyeta teoremi Eyni şəkildə , , ... , , üçün kökləri arasında əlaqə tapa bilərsiniz n-ci tənliklər
.
dərəcə Tənlik üçün Vyeta teoremi n-ci dərəcə
;
;
;
.
aşağıdakı formaya malikdir:
.
Bu düsturları əldə etmək üçün tənliyi aşağıdakı kimi yazırıq:
Sonra , , , ... üçün əmsalları bərabərləşdiririk və sərbəst termini müqayisə edirik.
İstinadlar:
İ.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühəndislər və kollec tələbələri üçün riyaziyyat kitabçası, "Lan", 2009.
Bu mühazirədə kvadrat tənliyin kökləri ilə onun əmsalları arasındakı maraqlı əlaqələrlə tanış olacağıq. Bu əlaqələri ilk dəfə fransız riyaziyyatçısı Fransua Viet (1540-1603) kəşf etmişdir.
Məsələn, 3x 2 - 8x - 6 = 0 tənliyi üçün köklərini tapmadan Vyeta teoremindən istifadə edərək dərhal köklərin cəminin bərabər olduğunu və köklərin məhsulunun bərabər olduğunu söyləyə bilərsiniz.
yəni - 2. Və x 2 - 6x + 8 = 0 tənliyi üçün belə nəticəyə gəlirik: köklərin cəmi 6, köklərin hasili 8-dir; Yeri gəlmişkən, köklərin nəyə bərabər olduğunu təxmin etmək çətin deyil: 4 və 2.
Vyeta teoreminin sübutu. ax 2 + bx + c = 0 kvadrat tənliyinin x 1 və x 2 kökləri düsturlarla tapılır.
Burada D = b 2 - 4ac tənliyin diskriminantıdır. Bu kökləri bir yerə toplayıb,
alırıq
İndi x 1 və x 2 köklərinin hasilini hesablayaq
İkinci əlaqə sübut edilmişdir:
Şərh.
Vyeta teoremi o halda da etibarlıdır ki, kvadrat tənliyin bir kökü var (yəni D = 0 olduqda), bu halda tənliyin yuxarıdakı münasibətlərin tətbiq olunduğu iki eyni kökə malik olması sadəcə olaraq qəbul edilir.
Aşağıdakı x 2 + px + q = 0 kvadrat tənliyi üçün sübut edilmiş əlaqələr bu halda, əldə edirik:
x 1 = x 2 = -p, x 1 x 2 =q
olanlar. endirilmiş kvadrat tənliyin köklərinin cəmi əks işarə ilə alınan ikinci əmsala, köklərin hasili isə sərbəst müddətə bərabərdir.
Vyeta teoremindən istifadə edərək, kvadrat tənliyin kökləri və əmsalları arasında digər əlaqələri əldə edə bilərsiniz. Məsələn, x 1 və x 2 endirilmiş kvadrat tənliyin x 2 + px + q = 0 kökləri olsun. Sonra
Lakin Vyeta teoreminin əsas məqsədi onun kvadrat tənliyin kökləri və əmsalları arasında bəzi əlaqələri ifadə etməsi deyil. Daha vacibi odur ki, Vyeta teoremindən istifadə edərək, gələcəkdə onsuz edə bilməyəcəyimiz kvadrat trinomialın faktorinqi üçün düstur alınır.
Sübut. bizdə var
Misal 1. Kvadrat üçhəcmli 3x 2 - 10x + 3 faktorunu çıxarın.
Həll. 3x 2 - 10x + 3 = 0 tənliyini həll etdikdən sonra 3x 2 - 10x + 3 kvadrat üçhəcminin köklərini tapırıq: x 1 = 3, x2 = .
Teorem 2-dən istifadə edərək əldə edirik
Bunun yerinə 3x - 1 yazmağın mənası var. Sonra nəhayət 3x 2 - 10x + 3 = (x - 3)(3x - 1) alırıq.
Qeyd edək ki, verilmiş kvadrat üçhəcmli qruplaşdırma metodundan istifadə edərək 2-ci Teorem tətbiq edilmədən faktorlara bölünə bilər:
3x 2 - 10x + 3 = 3x 2 - 9x - x + 3 =
= 3x (x - 3) - (x - 3) = (x - 3) (3x - 1).
Ancaq gördüyünüz kimi, bu üsulla uğur bizim uğurlu qruplaşdırmanı tapıb tapa bilməyəcəyimizdən asılıdır, halbuki birinci üsulla müvəffəqiyyət təmin edilir.
Misal 1. Fraksiyanı azaldın
Həll. 2x 2 + 5x + 2 = 0 tənliyindən x 1 = - 2 tapırıq,
x2 - 4x - 12 = 0 tənliyindən x 1 = 6, x 2 = -2 tapırıq. Buna görə də
x 2 - 4x - 12 = (x - 6) (x - (- 2)) = (x - 6) (x + 2).
İndi verilmiş kəsri azaldaq:
Misal 3. İfadələri nəzərə alın:
a)x4 + 5x 2 +6; b) 2x+-3
Həlli a) Yeni y = x 2 dəyişənini təqdim edək. Bu, verilmiş ifadəni y dəyişəninə münasibətdə kvadrat üçhəcmli formada, yəni y 2 + bу + 6 şəklində yenidən yazmağa imkan verəcəkdir.
y 2 + bу + 6 = 0 tənliyini həll etdikdən sonra y 2 + 5у + 6 kvadrat üçhəcminin köklərini tapırıq: y 1 = - 2, y 2 = -3. İndi Teorem 2-dən istifadə edək; alırıq
y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
y = x 2 olduğunu xatırlamaq qalır, yəni verilmiş ifadəyə qayıdır. Belə ki,
x 4 + 5x 2 + 6 = (x 2 + 2)(x 2 + 3).
b) Yeni y = dəyişənini təqdim edək. Bu, verilmiş ifadəni y dəyişəninə münasibətdə kvadrat üçhəcmli formada, yəni 2y 2 + y - 3 şəklində yenidən yazmağa imkan verəcək. Tənliyi həll etdikdən sonra
2y 2 + y - 3 = 0, 2y 2 + y - 3 kvadrat üçhəcminin köklərini tapın:
y 1 = 1, y 2 =. Sonra, Teorem 2-dən istifadə edərək əldə edirik:
Yadda saxlamaq qalır ki, y = , yəni verilmiş ifadəyə qayıdır. Belə ki,
Bölmənin sonunda - yenidən Vyeta teoremi ilə, daha doğrusu, əks ifadə ilə əlaqəli bəzi əsaslandırmalar:
x 1, x 2 ədədləri elədirsə ki, x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 = q, onda bu ədədlər tənliyin kökləridir.
Bu ifadədən istifadə edərək, çətin kök düsturlarından istifadə etmədən bir çox kvadrat tənlikləri şifahi şəkildə həll edə, həmçinin verilmiş köklərlə kvadrat tənliklər tərtib edə bilərsiniz. Nümunələr verək.
1) x 2 - 11x + 24 = 0. Burada x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. X 1 = 8, x 2 = 3 olduğunu təxmin etmək asandır.
2) x 2 + 11x + 30 = 0. Burada x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. X 1 = -5, x 2 = -6 olduğunu təxmin etmək asandır.
Diqqət edin: tənliyin sərbəst müddəti olarsa müsbət rəqəm, onda hər iki kök ya müsbət, ya da mənfi olur; Kökləri seçərkən bunu nəzərə almaq vacibdir.
3) x 2 + x - 12 = 0. Burada x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. X 1 = 3, x2 = -4 olduğunu təxmin etmək asandır.
Diqqət edin: tənliyin sərbəst müddəti olarsa mənfi rəqəm, onda köklər müxtəlif əlamətlərə malikdir; Kökləri seçərkən bunu nəzərə almaq vacibdir.
4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. X = 1-in tənliyi təmin etdiyini görmək asandır, yəni. x 1 = 1 tənliyin köküdür. x 1 x 2 = - və x 1 = 1 olduğundan x 2 = - alırıq.
5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Burada x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. 2830 = 283 olduğuna diqqət yetirsəniz. 10, və 293 = 283 + 10, onda aydın olur ki, x 1 = 283, x 2 = 10 (indi təsəvvür edin ki, bu kvadrat tənliyi standart düsturlardan istifadə edərək həll etmək üçün hansı hesablamalar aparılmalıdır).
6) Kvadrat tənlik quraq ki, onun kökləri x 1 = 8, x 2 = - 4 ədədləri olsun. Adətən belə hallarda x 2 + px + q = 0 azaldılmış kvadrat tənliyini düzəldirik.
Bizdə x 1 + x 2 = -p, buna görə də 8 - 4 = -p, yəni p = -4. Sonra, x 1 x 2 = q, yəni. 8 «(-4) = q, ondan q = -32 alırıq. Beləliklə, p = -4, q = -32, yəni tələb olunan kvadrat tənlik x 2 -4x-32 = 0 formasına malikdir.
Əvvəlcə teoremin özünü formalaşdıraq: Bizə x^2+b*x + c = 0 şəklində olan kiçildilmiş kvadrat tənliyi əldə edək. Tutaq ki, bu tənliyin x1 və x2 kökləri var. Onda teoremə görə aşağıdakı müddəalar etibarlıdır:
1) x1 və x2 köklərinin cəmi b əmsalının mənfi qiymətinə bərabər olacaqdır.
2) Bu köklərin hasili bizə c əmsalını verəcəkdir.
Bəs verilən tənlik nədir?
Endirilmiş kvadrat tənlik ən yüksək dərəcə əmsalı birə bərabər olan kvadrat tənlikdir, yəni. bu, x^2 + b*x + c = 0 formasının tənliyidir. (və a*x^2 + b*x + c = 0 tənliyi azaldılmamışdır). Başqa sözlə, tənliyi verilmiş formaya gətirmək üçün bu tənliyi ən yüksək güc (a) əmsalına bölmək lazımdır. Vəzifə rəhbərlik etməkdir verilmiş tənlik verilmiş formada:
3*x^2 12*x + 18 = 0;
−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;
1,5*x^2 + 7,5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.
Hər bir tənliyi ən yüksək dərəcə əmsalına bölərək, alırıq:
X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;
X^2 + 3.5*x − 5.5 = 0.
Nümunələrdən göründüyü kimi, hətta fraksiyaları olan tənlikləri belə verilmiş formaya endirmək olar.
Vyeta teoremindən istifadə
X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;
kökləri alırıq: x1 = 2; x2 = 3;
X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; x1*x2 = 8;
nəticədə kökləri alırıq: x1 = -2 ; x2 = -4;
X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1*x2 = 4;
kökləri alırıq: x1 = −1; x2 = −4.
Vyeta teoreminin mənası
Vyeta teoremi bizə istənilən kvadratik azaldılmış tənliyi demək olar ki, saniyələr ərzində həll etməyə imkan verir. İlk baxışdan bu, olduqca çətin bir iş kimi görünür, lakin 5 10 tənlikdən sonra kökləri dərhal görməyə öyrənə bilərsiniz.
Verilən nümunələrdən və teoremdən istifadə etməklə kvadrat tənliklərin həllini necə əhəmiyyətli dərəcədə sadələşdirə biləcəyiniz aydın olur, çünki bu teoremdən istifadə edərək, mürəkkəb hesablamalar və diskriminant hesablamadan praktiki olaraq kvadrat tənliyi həll edə bilərsiniz və bildiyiniz kimi, hesablamalar az olarsa, səhv etmək bir o qədər çətindir, bu vacibdir.
Bütün nümunələrdə bu qaydanı iki vacib fərziyyə əsasında istifadə etdik:
Verilmiş tənlik, yəni. ən yüksək dərəcə əmsalı birə bərabərdir (bu şərtdən asanlıqla qaçmaq olar. Tənliyin azaldılmamış formasından istifadə etmək olar, onda aşağıdakı müddəalar etibarlı olacaqdır: x1+x2=-b/a; x1*x2=c /a, lakin adətən həll etmək daha çətindir :))
Tənliyin iki fərqli kökü olduqda. Biz bərabərsizliyin doğru olduğunu və diskriminantın sıfırdan ciddi şəkildə böyük olduğunu fərz edirik.
Beləliklə, Vyeta teoremindən istifadə edərək ümumi həll alqoritmini yarada bilərik.
Vyeta teoremindən istifadə edərək ümumi həll alqoritmi
Kvadrat tənliyi kiçildilmiş formaya endiririk, əgər tənlik bizə azaldılmamış formada verilir. Daha əvvəl verilmiş kimi təqdim etdiyimiz kvadrat tənlikdəki əmsallar kəsr (onluq deyil) çıxdıqda, bu halda tənliyimizi diskriminant vasitəsilə həll etmək lazımdır.
İlkin tənliyə qayıtmağın "rahat" nömrələrlə işləməyə imkan verdiyi hallar da var.
Məktəb cəbri kursunda ikinci dərəcəli tənliklərin həlli üsullarını öyrənərkən nəticədə yaranan köklərin xassələri nəzərə alınır. Onlar hazırda Vyeta teoremi kimi tanınırlar. Onun istifadəsinə dair nümunələr bu məqalədə verilmişdir.
Kvadrat tənlik
İkinci dərəcəli tənlik aşağıdakı fotoşəkildə göstərilən bərabərlikdir.
Burada a, b, c simvolları nəzərdən keçirilən tənliyin əmsalları adlanan bəzi ədədlərdir. Bərabərliyi həll etmək üçün onu doğru edən x dəyərlərini tapmaq lazımdır.
Qeyd edək ki, x-in qaldırıla biləcəyi maksimum güc iki olduğu üçün ümumi halda köklərin sayı da ikidir.
Bu tip bərabərliyi həll etməyin bir neçə yolu var. Bu yazıda Vyeta teoreminin istifadəsini nəzərdə tutan onlardan birini nəzərdən keçirəcəyik.
Vyeta teoreminin tərtibi
XVI əsrin sonunda məşhur riyaziyyatçı Fransua Viet (Fransız) müxtəlif kvadrat tənliklərin köklərinin xassələrini təhlil edərək, onların müəyyən birləşmələrinin xüsusi əlaqələri təmin etdiyini qeyd etdi. Xüsusilə, bu birləşmələr onların məhsulu və cəmidir.
Vyeta teoremi aşağıdakıları təsbit edir: kvadrat tənliyin kökləri cəmləndikdə əks işarə ilə alınan xətti və kvadrat əmsalların nisbətini verir və onlar vurulduqda sərbəst müddətin kvadrat əmsala nisbətinə səbəb olur. .
Əgər ümumi forma tənlik məqalənin əvvəlki bölməsində fotoşəkildə göstərildiyi kimi yazılır, onda riyazi olaraq bu teorem iki bərabərlik şəklində yazıla bilər:
- r 2 + r 1 = -b / a;
- r 1 x r 2 = c / a.
Burada r 1, r 2 sözügedən tənliyin köklərinin qiymətidir.
Yuxarıdakı iki bərabərlik bir sıra müxtəlif riyazi problemləri həll etmək üçün istifadə edilə bilər. Vyeta teoreminin həlləri olan nümunələrdə istifadəsi məqalənin sonrakı bölmələrində verilmişdir.
