ألعاب

10 طرق لحل التربيع. طرق حل المعادلات التربيعية. تاريخ تطور المعادلات التربيعية

https://pandia.ru/text/78/082/images/image002_237.gif "height =" 952 "> مذكرة تفاهم" مدرسة سيرجيفسكايا الثانوية "

أكمله: سيزيكوف ستانيسلاف

معلم:

مع. سيرجيفكا ، 2007

1 المقدمة. المعادلات التربيعية في بابل القديمة ……………… .3

2. المعادلات التربيعية في Diaphant ………… .. …………………………… .4

3. المعادلات التربيعية في الهند …………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………

4. المعادلات التربيعية في الخوارزمي ………………………………… .. 6

5. المعادلات التربيعية في أوروبا XIII - XYII …………………………… ... 7

6. حول نظرية فييتا ………………………………………………………………… .. 9

7. عشر طرق لحل المعادلات التربيعية …………………… .. 10

8. الخلاصة ………………………………………………………………………… 20

9. المراجع ………………………………………………………… ... 21

مقدمة

المعادلات التربيعية

المعادلات التربيعية هي الأساس الذي يقوم عليه صرح الجبر المهيب. تستخدم المعادلات التربيعية على نطاق واسع في حل المعادلات المثلثية ، الأسية ، اللوغاريتمية ، غير المنطقية. نعلم جميعًا كيفية حل المعادلات التربيعية ، بدءًا من الصف الثامن. ولكن كيف نشأ وتطور تاريخ حل المعادلات التربيعية؟

المعادلات التربيعية في بابل القديمة

الحاجة إلى حل المعادلات ليس فقط من الدرجة الأولى ، ولكن أيضًا من الدرجة الثانية ، التي تعود إلى العصور القديمة ، كانت ناجمة عن الحاجة إلى حل المشكلات المتعلقة بإيجاد مساحات من الأرض ؛ الأعمال الترابية ذات الطبيعة العسكرية ، وكذلك مع تطور علم الفلك والرياضيات نفسها. كانت المعادلات التربيعية قادرة على حل حوالي 2000 قبل الميلاد. ه. البابليون. باستخدام التدوين الجبري الحديث ، يمكننا القول أنه في نصوصهم المسمارية ، بالإضافة إلى النصوص غير المكتملة ، هناك ، على سبيل المثال ، معادلات تربيعية كاملة: x2 + x = ،: x2 - x = 14https: //pandia.ru/text/ 78/082 /images/image005_150.gif "width =" 16 "height =" 41 src = ">) 2 + 12 = x ؛ Bhaskara يكتب تحت ستار

x2- 64X = - 768

ولإكمال الجانب الأيسر من هذه المعادلة للمربع ، يضيف 322 إلى كلا الجانبين ، ثم يحصل على: x2- 64 × + 322 = - 768 + 1024 ؛

(X- 32)2 = 256; X - 32 = ± 16 ، xt = 16, زئبق= 48.

المعادلات التربيعية في الخوارزمي

تعطي أطروحة الخوارزمي الجبرية تصنيفًا للمعادلات الخطية والتربيعية. يسرد المؤلف 6 أنواع من المعادلات ، معربًا عنها على النحو التالي:

1) "المربعات تساوي الجذور" ، أي ax2 = في.

2) "المربعات تساوي العدد" ، أي آه 2= مع.

3) "الجذور تساوي العدد" ، أي آه = ق.

4) "المربعات والأرقام تساوي الجذور" ، أي آه 2+ ج = في.

5) "المربعات والجذور تساوي العدد" ، أي آه 2+ في = s.

6) "الجذور والأرقام تساوي المربعات" ، أي في+ ج \ u003d ax2.بالنسبة للخوارزمي ، الذي تجنب استخدام الأعداد السالبة ، فإن مصطلحات كل من هذه المعادلات هي عمليات الجمع ، وليس الطرح. في هذه الحالة ، من الواضح أن المعادلات التي ليس لها حلول إيجابية لا تؤخذ في الاعتبار. يحدد المؤلف طرق حل هذه المعادلات. قراره ، بالطبع ، لا يتوافق تمامًا مع قرارنا. ناهيك عن حقيقة أنها بلاغية بحتة ، تجدر الإشارة ، على سبيل المثال ، إلى أنه عند حل معادلة تربيعية غير مكتملة من النوع الأول ، فإن الخوارزمي ، مثله مثل جميع علماء الرياضيات قبل القرن السابع عشر ، لا يأخذ في الاعتبار الصفر. ربما لأنه في مهام عملية محددة ، لا يهم. عند حل المعادلات التربيعية الكاملة ، يضع الخوارزمي قواعد حلها باستخدام أمثلة عددية معينة ، ثم البراهين الهندسية.

لنأخذ مثالا.

المشكلة 14. "المربع والرقم 21 يساوي 10 جذور. ابحث عن الجذر "(أي جذر المعادلة x2 + 21 = 10X).

يتحول حل المؤلف إلى شيء كالتالي: اقسم عدد الجذور إلى النصف ، وستحصل على 5 ، واضرب 5 في نفسه ، واطرح 21 من الناتج ، ويتبقى 4. خذ جذر 4 ، وستحصل على 2. اطرح 2 من 5 ، أنت الحصول على 3 ، سيكون هذا هو الجذر المطلوب. أو أضف 2 إلى 5 ، ما يعطينا 7 ، فهذا أيضًا جذر.

إن أطروحة الخوارزمي هي أول كتاب وصل إلينا ، حيث يتم تقديم تصنيف المعادلات التربيعية بشكل منهجي وتقديم الصيغ لحلها.

المعادلات التربيعية في أوروباالثالث عشر- السابع عشرقرون

تم تحديد الصيغ الخاصة بحل المعادلات التربيعية على نموذج الخوارزمي في أوروبا لأول مرة في كتاب العداد (نُشر في روما في منتصف القرن الماضي ، ويحتوي كتاب فيبوناتشي للمعداد على 459 صفحة) ، مكتوبًا باللغة 1202 من قبل عالم الرياضيات الإيطالي ليوناردو فيبوناتشي. يتميز هذا العمل الضخم ، الذي يعكس تأثير الرياضيات من كل من بلاد الإسلام واليونان القديمة ، بالاكتمال والوضوح في العرض. طور المؤلف بشكل مستقل بعض الأمثلة الجبرية الجديدة لحل المشكلات والأول فياقتربت أوروبا من إدخال الأرقام السلبية. ساهم كتابه في انتشار المعرفة الجبرية ليس فقط في إيطاليا ، ولكن أيضًا في ألمانيا وفرنسا ودول أوروبية أخرى. تم تمرير العديد من المهام من كتاب العداد إلى جميع الكتب المدرسية الأوروبية تقريبًا في القرنين السادس عشر والسابع عشر. وجزئيا الثامن عشر.

قاعدة عامة لحل المعادلات التربيعية مختزلة إلى صيغة واحدة أساسية x2+ في = s ،لجميع المجموعات الممكنة لعلامات المعاملات في ، معتمت صياغته في أوروبا فقط في عام 1544. م. ستيفل.

لدى Vieta اشتقاق عام لصيغة حل المعادلة التربيعية ، لكن فييتا أدركت الجذور الإيجابية فقط. كان علماء الرياضيات الإيطاليون Tartaglia و Cardaco و Bombelli من بين الأوائل في القرن السادس عشر. تأخذ في الاعتبار ، بالإضافة إلى الجذور الإيجابية والسلبية. فقط في القرن السابع عشر. بفضل أعمال جيرارد وديكارت ونيوتن وعلماء آخرين ، تتخذ طريقة حل المعادلات التربيعية شكلاً حديثًا.

حول نظرية فييتا

النظرية التي تعبر عن العلاقة بين معاملات المعادلة التربيعية وجذورها ، التي تحمل اسم فيتا ، صاغها لأول مرة في عام 1591 على النحو التالي: "إذا في+ د, مضروبا لكنناقص A2 ،يساوي BD, ومن بعد لكنيساوي فيومتساو د».

لفهم فييتا ، يجب على المرء أن يتذكر ذلك لكن،مثل أي
حرف العلة ، المقصود له غير معروف (لدينا X) ،الحروف المتحركة
في،د- معاملات المجهول. بلغة الجبر الحديثة ، فإن صياغة فييتا أعلاه تعني: إذا

(أ+ ج) س - س 2 = أب, x2 - (أ + ب) x + أب = 0, س 1 = أ ، س 2 = ب.

للتعبير عن العلاقة بين جذور المعادلات ومعاملاتها بالصيغ العامة المكتوبة باستخدام الرموز ، أسس فيت التوحيد في طرق حل المعادلات. ومع ذلك ، فإن رمزية فييتا لا تزال بعيدة عن شكلها الحديث. لم يتعرف على الأرقام السالبة ، وبالتالي ، عند حل المعادلات ، لم يأخذ في الاعتبار سوى الحالات التي تكون فيها جميع الجذور موجبة.

عشر طرق لحل المعادلات التربيعية

في دورة الرياضيات المدرسية ، تتم دراسة صيغ جذور المعادلات التربيعية ، والتي يمكنك من خلالها حل أي معادلات تربيعية. ومع ذلك ، هناك طرق أخرى لحل المعادلات التربيعية التي تسمح لك بحل العديد من المعادلات بسرعة كبيرة وعقلانية. هناك عشر طرق لحل المعادلات التربيعية. دعونا نفكر في كل منهم.

1. تحليل الجانب الأيسر من المعادلة

لنحل المعادلة x2+ 10X- 24 = 0. دعونا نحلل الجانب الأيسر من المعادلة:

x2 + 10x - 24 = x2 + 12x - 2x - 24 =

س (س + س + 12) = (س + 12) (س - 2).

لذلك ، يمكن إعادة كتابة المعادلة على النحو التالي:

( X + 12) (س - 2) = 0.

بما أن حاصل الضرب يساوي صفرًا ، فإن أحد عوامله على الأقل هو صفر. لذلك ، عندما يختفي الجانب الأيسر من المعادلة س = 2 ، وكذلك X= - 12. هذا يعني أن العددين 2 و - 12 هما جذور المعادلة x2 + 10x - 24 = 0.

2. طريقة اختيار مربع كامل

دعونا نشرح هذه الطريقة بمثال.

لنحل المعادلة x2 + 6x - 7 = 0. اختر مربعًا كاملاً على الجانب الأيسر. للقيام بذلك ، نكتب التعبير x2 + 6x بالشكل التالي:

x2 + 6x = x2 + 2 * x * 3.

في التعبير الناتج ، الحد الأول هو مربع الرقم x ، والثاني هو حاصل الضرب المزدوج لـ x في 3. لذلك ، للحصول على المربع الكامل ، تحتاج إلى إضافة 32 ، حيث

x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3) 2.

نحول الآن الجانب الأيسر من المعادلة

x2 + 6x - 7 = 0 ،

إضافة وطرح 32. لدينا:

x2 + 6x - 7 = x2 + 2 X 3 +– 7 = (X- \ u003d (x - Z) 2-16 .

وهكذا يمكن كتابة هذه المعادلة على النحو التالي:

(س + = 0 ، أي (س + 3) 2 = 16.

بالتالي، X+ 3 \ u003d 4 x1 \ u003d 1 ، أو x + 3 \ u003d - 4 ، x2 \ u003d - 7.

3. حل المعادلات التربيعية بالصيغة

اضرب طرفي المعادلة

آه 2+ في+ ج = 0, أ ≠ 0 ، بتاريخ 4 اوعلى التوالي لدينا:

4a2 x2 + 4أبكس+ 4ac = 0,

((2ax) 2 + 2 اكسب + ب2 ) - ب2 + 4ac= 0,

(2ax +ب) 2 = بوصة 2- 4ac ،

2 ماكس+ ب= ± https://pandia.ru/text/78/082/images/image006_128.gif "width =" 71 "height =" 27 "> ، x1،2 =

في حالة التمييز الإيجابي ، أي مع v2 - 4ac> 0 ، المعادلة آه 2+ في + s= 0 له جذران مختلفان.

إذا كان المميز صفرًا ، أي v2 - 4ac = 0 ، ثم المعادلة آه 2+ في+ مع= 0 لها جذر واحد ، x = - https://pandia.ru/text/78/082/images/image009_95.gif "width =" 14 "height =" 62 "> جذورها تفي بنظرية فييتا ، والتي ، متى أ= 1 له الشكل

x1 x2 = ف,

x1 + x2 = - تم العثور على R.

من هذا يمكننا استخلاص الاستنتاجات التالية (بواسطة المعاملات صو فيمكن توقع علامات الجذر).

أ) إذا كان عضوا حر فمعادلة مخفضة (1)
إيجابي (ف> 0) ، فإن المعادلة لها اثنتان متطابقتان
بعلامة الجذر وتعتمد على المعامل الثاني ص
اذا كان ص> 0 ، فإن كلا الجذور تكون سالبة إذا ص< 0, ثم كلاهما
الجذور إيجابية.

فمثلا،

x2- 3X + 2 = 0; x1= 2 و x2 = 1 لأن ف = 2 > 0 ش ص = - 3 < 0;

x2 + 8x + 7 = 0 ؛ × 1 \ u003d - 7 و x2 \ u003d - 1 ، منذ ذلك الحين ف= 7> 0 و ص = 8 > 0.

ب) إذا كان عضوا حر فمعادلة مخفضة (1)
نفي (ف < 0) ، إذن للمعادلة جذرين لإشارة مختلفة ، وسيكون الجذر الأكبر في القيمة المطلقة موجبًا إذا ص< 0 ، أو سالب إذا ص> 0.

فمثلا،

x2 + 4x - 5 = 0 ؛ x1 \ u003d - 5 و x2 \ u003d 1 ، منذ ذلك الحين ف = - 5 < 0 и ص= 4 > 0;

x2 - 8x - 9 = 0 ؛ x1 = 9 و x2= - 1 بسبب ف = - 9 < и ص= - 8 < 0.

5. حل المعادلات بطريقة "النقل"

ضع في اعتبارك المعادلة التربيعية فأس 2 + في+ ج = 0 ، أين أ ≠ 0. ضرب كلا أجزائه أ،نحصل على المعادلة a2x2 +أبكس+ ج= 0.

يترك آه = ذأين X= ؛ ثم نأتي إلى المعادلة

y2+ بواسطة+ ac = 0,

يعادل هذا. جذورها ذ 1و y2تجد بمساعدة نظرية فييتا. أخيرا نحصل x1= https://pandia.ru/text/78/082/images/image012_77.gif "width =" 24 "height =" 43 ">.

بهذه الطريقة ، المعامل أيتم ضربه بالمصطلح المجاني ، وكأنه "ألقيت" عليه ، ولهذا سمي طريقة النقل.تُستخدم هذه الطريقة عندما يكون من السهل العثور على جذور المعادلة باستخدام نظرية فييتا ، والأهم من ذلك ، عندما يكون المميز مربعًا دقيقًا.

1. حل المعادلة 2x2 - 11x + 15 = 0.

المحلول.دعنا "ننقل" المعامل 2 إلى المصطلح المجاني ، ونتيجة لذلك نحصل على المعادلة

ص 2 - 11 في+ 30 = 0.

وفقًا لنظرية فييتا ، y1 = 5 ، y2 = 6 ، ومن ثم x1 = https://pandia.ru/text/78/082/images/image014_69.gif "width =" 16 height = 41 "height =" 41 " > ، ر ه.

س 1 = 2.5 × 2 = 3.

إجابه: 2,5; 3.

6. خواص معاملات المربعالمعادلات

أ. دع معادلة تربيعية تعطى

فأس 2 + في + ج= 0 ، أين أ ≠ 0.

1. إذا أ + في + مع= 0 (على سبيل المثال ، مجموع معاملات المعادلة يساوي صفرًا) ، ثم x1 = 1 ، x2 =.

2. إذا أ - ب + ج= 0, أوب = أ + ج ، ثم x1 = - 1, X 2 = - https://pandia.ru/text/78/082/images/image016_58.gif "العرض =" 44 الارتفاع = 41 "الارتفاع =" 41 ">.

إجابه: 1; 184">

الحالات التالية ممكنة:

يمكن أن يتقاطع الخط المستقيم والقطع المكافئ عند نقطتين ، وتشكل حدود نقاط التقاطع جذور المعادلة التربيعية ؛

يمكن أن يلمس خط مستقيم وقطع مكافئ (نقطة مشتركة واحدة فقط) ، أي أن المعادلة لها حل واحد ؛

ليس للخط المستقيم والقطع المكافئ نقاط مشتركة ، أي أن المعادلة التربيعية ليس لها جذور.

أمثلة.

1. لنحل المعادلة بيانياً x2 - 3x - 4 = 0 (الشكل 2).

المحلول.نكتب المعادلة في الصورة س 2 = 3 س + 4.

دعونا نبني القطع المكافئ ص = س 2ومباشر ص = 3x + 4. مباشر في= 3x + 4 يمكن بناؤها من نقطتين M (0 ؛ 4) و N (3 ؛ 13). يتقاطع الخط والقطع المكافئ عند نقطتين من أ الى بمع الإحداثي السيني x1= - 1 و x2 = 4.

الجواب: x1= - 1 ، س ، = 4.

8. حل المعادلات التربيعية بالبوصلة والمسطحة

الطريقة الرسومية لحل المعادلات التربيعية باستخدام القطع المكافئ غير ملائمة. إذا قمت ببناء نقطة مكافئة بنقطة ، فسيستغرق الأمر الكثير من الوقت ، وتكون درجة دقة النتائج التي تم الحصول عليها منخفضة.

نقترح الطريقة التالية لإيجاد جذور المعادلة التربيعية

آه 2+ في+ مع= 0

باستخدام البوصلة والمسطرة (الشكل).

لنفترض أن الدائرة المرغوبة تتقاطع مع محور الإحداثيات عند النقاط ب(× 1 ؛ 0) و د(x2 ; 0) أين x1و x2- جذور المعادلة فأس 2 + في+مع=0,
ويمر بالنقطتين A (0 ؛ 1) و C (0 ؛) على المحور y..gif "width =" 197 "height =" 123 ">

لذلك: 1) قم ببناء نقاط https://pandia.ru/text/78/082/images/image023_40.gif "width =" 171 "height =" 45 "> تتقاطع الدائرة مع محور OX عند النقطة B (x1 ؛ 0 ) و D (x1 ; 0) ، حيث x1 و x2 - جذور المعادلة التربيعية ax2 + bx + c = 0.

2) نصف قطر الدائرة يساوي إحداثيات المركز ، تلامس الدائرة المحور x عند النقطة B (x1 ؛ 0) ، حيث xxهو جذر المعادلة التربيعية.

3) نصف قطر الدائرة أقل من إحداثيات الوسط على اليسار ">

https://pandia.ru/text/78/082/images/image029_34.gif "width =" 612 "height =" 372 "> 40" height = "14">

https://pandia.ru/text/78/082/images/image031_28.gif "width =" 612 "height =" 432 src = ">

من أين بعد الاستبدالات و

التبسيط ، المعادلة z2 + pz + q = 0 يتبعها ، والحرف z يعني تسمية أي نقطة من المقياس المنحني.

10. الطريقة الهندسية لحل المعادلات التربيعية

في العصور القديمة ، عندما كانت الهندسة أكثر تطورًا من الجبر ، لم يتم حل المعادلات التربيعية جبريًا ، ولكن هندسيًا. دعونا نعطي مثالاً اشتهر من الجبر للخوارزمي.

وأربعة مربعات متصلة ، أي S = x2 + 10x + 25. عند استبدال x2 + 10x بـ 39 ، نحصل على S = 39 + 25 = 64 ، مما يعني أن جانب المربع ا ب ت ث, أي قطعة AB= 8. للجانب المطلوب Xالمربع الأصلي الذي نحصل عليه

استنتاج

نعلم جميعًا كيفية حل المعادلات التربيعية ، من المدرسة إلى التخرج. ولكن في مسار الرياضيات المدرسي ، تتم دراسة صيغ جذور المعادلات التربيعية ، والتي يمكن من خلالها حل أي معادلات تربيعية. ومع ذلك ، بعد دراسة هذه المسألة بشكل أعمق ، كنت مقتنعًا بأن هناك طرقًا أخرى لحل المعادلات التربيعية التي تسمح لك بحل العديد من المعادلات بسرعة كبيرة وعقلانية.

ربما توجد الرياضيات في مكان ما في أبعاد أخرى ، غير مرئية للعين - كل شيء مكتوب ونحصل فقط على كل الحقائق الجديدة من الحفرة مع العوالم؟ ... والله أعلم. لكن اتضح أنه إذا احتاج الفيزيائيون أو الكيميائيون أو الاقتصاديون أو علماء الآثار إلى نموذج جديد لهيكل العالم ، فيمكن دائمًا أخذ هذا النموذج من الرف حيث وضعه علماء الرياضيات قبل ثلاثمائة عام ، أو تم تجميعه من أجزاء ملقاة على نفس رفوف. ربما يجب أن تكون هذه الأجزاء ملتوية ، وتعديلها مع بعضها البعض ، وصقلها ، وتشكيلها بسرعة من البطانات النظرية الجديدة ؛ لكن نظرية النتيجة لن تصف فقط الوضع الفعلي الذي نشأ ، بل ستتنبأ أيضًا بالعواقب! ...

الشيء الغريب هو لعبة العقل هذه ، والتي هي دائما على حق ...

المؤلفات

1. أليموف شا. ، إيلين فرجينيا. وآخرون. الجبر، 6-8. كتاب تجريبي للصفوف 6-8 من المدرسة الثانوية. - م ، التربية ، 1981.

2- جداول رياضيات براديس للمرحلة الثانوية. إد. 57. - م ، التربية ، 1990. ص 83.

3. Zlotsky - مهام في تدريس الرياضيات. كتاب المعلم. - م ، التربية ، 1992.

4. م ، رياضيات (ملحق جريدة "الأول من سبتمبر") ، أرقام 21/96 ، 10/97 ، 24/97 ، 18/98 ، 21/98.

5. دوال أوكونيف والمعادلات والمتباينات. دليل للمعلم. - م ، التربية ، 1972.

6. Solomnik B. C. أسئلة حلوة ومسائل في الرياضيات. إد. الرابعة ، إضافة. - م.المدرسة العليا 1973.

7. م ، رياضيات (ملحق جريدة "الأول من سبتمبر") العدد 40 ، 2000.

إعادة النظر

لعمل طالب في الصف الحادي عشر من مذكرة التفاهم "Sergievskaya الثانوية

مدرسة شاملة"

مدرسة Kopyevskaya الثانوية الريفية

10 طرق لحل المعادلات التربيعية

الرأس: باتريكيفا غالينا أناتوليفنا ،

مدرس رياضيات

s.Kopyevo ، 2007

1. تاريخ تطور المعادلات التربيعية

1.1 المعادلات التربيعية في بابل القديمة

1.2 كيف قام ديوفانتوس بتجميع وحل المعادلات التربيعية

1.3 المعادلات التربيعية في الهند

1.4 المعادلات التربيعية في الخوارزمي

1.5 المعادلات التربيعية في أوروبا القرنين الثالث عشر والسابع عشر

1.6 حول نظرية فييتا

2. طرق حل المعادلات التربيعية

استنتاج

المؤلفات

1. تاريخ تطور المعادلات التربيعية

1 .1 معادلات مربعةالفتنة في بابل القديمة

كانت الحاجة إلى حل المعادلات ليس فقط من الدرجة الأولى ، ولكن أيضًا من الدرجة الثانية في العصور القديمة بسبب الحاجة إلى حل المشكلات المتعلقة بإيجاد مناطق الأرض وأعمال الحفر ذات الطبيعة العسكرية ، وكذلك تطوير علم الفلك و الرياضيات نفسها. كانت المعادلات التربيعية قادرة على حل حوالي 2000 قبل الميلاد. ه. البابليون.

بتطبيق تدوين جبري حديث ، يمكننا القول أنه في نصوصهم المسمارية توجد ، بالإضافة إلى النصوص غير المكتملة ، على سبيل المثال ، معادلات تربيعية كاملة:

X 2 + X = ѕ; X 2 - X = 14,5

تتطابق قاعدة حل هذه المعادلات ، المنصوص عليها في النصوص البابلية ، بشكل أساسي مع القاعدة الحديثة ، لكن من غير المعروف كيف جاء البابليون إلى هذه القاعدة. تقريبًا كل النصوص المسمارية التي تم العثور عليها حتى الآن لا تقدم سوى مشاكل تتعلق بالحلول المذكورة في شكل وصفات ، مع عدم وجود إشارة إلى كيفية العثور عليها.

على الرغم من ارتفاع مستوى تطور علم الجبر في بابل ، إلا أن النصوص المسمارية تفتقر إلى مفهوم الرقم السالب والطرق العامة لحل المعادلات التربيعية.

1.2 كيف قام ديوفانتوس بتجميع وحل المعادلات التربيعية.

لا يحتوي حساب Diophantus 'الحسابي على عرض منهجي للجبر ، ولكنه يحتوي على سلسلة منهجية من المسائل ، مصحوبة بتفسيرات ويتم حلها عن طريق وضع معادلات بدرجات مختلفة.

عند تجميع المعادلات ، يختار Diophantus بمهارة المجهول لتبسيط الحل.

هنا ، على سبيل المثال ، هي إحدى مهامه.

المهمة 11."أوجد رقمين مع العلم أن مجموعهما 20 وحاصل ضربهما 96"

يجادل Diophantus على النحو التالي: ينتج عن حالة المشكلة أن الأرقام المرغوبة ليست متساوية ، لأنه إذا كانت متساوية ، فلن يكون ناتجها 96 ، بل 100. وهكذا ، سيكون أحدهم أكثر من نصف المجموع ، أي. 10 + سوالآخر أصغر أي 10's. الفرق بينهما 2x.

ومن هنا جاءت المعادلة:

(10 + س) (10 - س) = 96

مائة 2 = 96

X 2 - 4 = 0 (1)

من هنا س = 2. أحد الأرقام المطلوبة هو 12 ، آخر 8 . المحلول س = -2بالنسبة إلى Diophantus غير موجود ، لأن الرياضيات اليونانية كانت تعرف الأعداد الموجبة فقط.

إذا حللنا هذه المشكلة باختيار أحد الأرقام المرغوبة باعتباره المجهول ، فسنصل إلى حل المعادلة

ص (20 - ص) = 96 ،

في 2 - 20 ص + 96 = 0. (2)

من الواضح أن Diophantus يبسط الحل باختيار نصف فرق الأرقام المرغوبة على أنها غير معروفة ؛ تمكن من تقليل المشكلة إلى حل معادلة تربيعية غير مكتملة (1).

1.3 المعادلات التربيعية في الهند

تم العثور بالفعل على مشاكل المعادلات التربيعية في المسالك الفلكية "Aryabhattam" ، التي جمعت في 499 من قبل عالم الرياضيات والفلك الهندي Aryabhatta. حدد عالم هندي آخر ، Brahmagupta (القرن السابع) ، القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية التي تم تقليصها إلى شكل أساسي واحد:

أوه 2 + بس = ج ، أ> 0. (1)

في المعادلة (1) ، المعاملات ، باستثناء أ، يمكن أن تكون سلبية أيضًا. يتطابق حكم براهماغوبتا بشكل أساسي مع حكمنا.

في الهند القديمة ، كانت المسابقات العامة في حل المشكلات الصعبة شائعة. في أحد الكتب الهندية القديمة ، قيل ما يلي عن مثل هذه المسابقات: "عندما تشرق الشمس على النجوم بتألقها ، فإن الشخص المتعلم سوف يتفوق على مجد آخر في الاجتماعات العامة ، ويقترح ويحل المسائل الجبرية." غالبًا ما كانت ترتدي المهام في شكل شعري.

إليكم إحدى مشكلات عالم الرياضيات الهندي الشهير في القرن الثاني عشر. باسكارا.

المهمة 13.

"قطيع مرح من القرود واثنا عشر في الكروم ...

بعد أن أكل السلطة ، استمتع. بدأوا في القفز ، معلقين ...

الجزء الثامن منهم في مربع كم عدد القردة هناك ،

يلهون في المرج. أخبرني ، في هذا القطيع؟

يشير حل باسكارا إلى أنه كان على علم بالقيمة الثنائية لجذور المعادلات التربيعية (الشكل 3).

المعادلة المقابلة للمسألة 13 هي:

(x/8) 2 + 12 = x

يكتب باسكارا تحت ستار:

X 2 - 64 × = -768

ولإكمال الجانب الأيسر من هذه المعادلة إلى مربع ، يضيف إلى كلا الجانبين 32 2 ، ثم الحصول على:

X 2 - 64 × + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

س - 32 = ± 16 ،

X 1 = 16, X 2 = 48.

1.4 معادلات مربعةالخورزمي

تعطي أطروحة الخورزمي الجبرية تصنيفًا للمعادلات الخطية والتربيعية. يسرد المؤلف 6 أنواع من المعادلات ، معربًا عنها على النحو التالي:

1) "المربعات تساوي الجذور" ، أي أوه 2 + مع =بX.

2) "المربعات تساوي الرقم" ، أي أوه 2 = ق.

3) "الجذور تساوي العدد" ، أي آه = ق.

4) "المربعات والأرقام تساوي الجذور" ، أي أوه 2 + مع =بX.

5) "المربعات والجذور تساوي العدد" ، أي أوه 2 + bx= ق.

6) "الجذور والأرقام تساوي المربعات" ، أي bx+ ج = الفأس 2 .

بالنسبة للخوارزمي ، الذي تجنب استخدام الأعداد السالبة ، فإن مصطلحات كل من هذه المعادلات هي عمليات الجمع ، وليس الطرح. في هذه الحالة ، من الواضح أن المعادلات التي ليس لها حلول إيجابية لا تؤخذ في الاعتبار. يحدد المؤلف طرق حل هذه المعادلات باستخدام طريقتي الجبر والمقبلة. قراراته ، بالطبع ، لا تتوافق تمامًا مع قراراتنا. ناهيك عن حقيقة أنها بلاغية بحتة ، وتجدر الإشارة ، على سبيل المثال ، إلى أنه عند حل معادلة تربيعية غير مكتملة من النوع الأول

الخوارزمي ، مثله مثل جميع علماء الرياضيات قبل القرن السابع عشر ، لا يأخذ في الحسبان الحل الصفري ، ربما لأنه لا يهم في مشاكل عملية محددة. عند حل المعادلات التربيعية الكاملة ، يحدد الخورزمي قواعد الحل ، ثم البراهين الهندسية ، باستخدام أمثلة عددية معينة.

المهمة 14."المربع والرقم 21 يساوي 10 جذور. ابحث عن الجذر " (بافتراض جذر المعادلة x 2 + 21 = 10x).

تعتبر رسالة الخورزمي أول كتاب وصل إلينا ، حيث تم تحديد تصنيف المعادلات التربيعية بشكل منهجي وإعطاء الصيغ لحلها.

1.5 المعادلات التربيعية في أوروباالثالث عشر - السابع عشرقرون

تم وضع صيغ حل المعادلات التربيعية على نموذج الخوارزمي في أوروبا لأول مرة في "كتاب العداد" ، الذي كتبه عالم الرياضيات الإيطالي ليوناردو فيبوناتشي عام 1202. يتميز هذا العمل الضخم ، الذي يعكس تأثير الرياضيات ، في كل من بلاد الإسلام واليونان القديمة ، بالاكتمال والوضوح في العرض. طور المؤلف بشكل مستقل بعض الأمثلة الجبرية الجديدة لحل المشكلات وكان أول من اقترب من إدخال الأرقام السالبة في أوروبا. ساهم كتابه في انتشار المعرفة الجبرية ليس فقط في إيطاليا ، ولكن أيضًا في ألمانيا وفرنسا ودول أوروبية أخرى. تم تمرير العديد من المهام من "كتاب العداد" إلى جميع الكتب المدرسية الأوروبية تقريبًا في القرنين السادس عشر والسابع عشر. وجزئيا الثامن عشر.

القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية المختزلة إلى شكل أساسي واحد:

X 2 + bx= مع

لجميع المجموعات الممكنة لعلامات المعاملات ب, معتمت صياغته في أوروبا فقط في عام 1544 بواسطة M. Stiefel.

لدى Vieta اشتقاق عام لصيغة حل المعادلة التربيعية ، لكن فييتا أدركت الجذور الإيجابية فقط. كان علماء الرياضيات الإيطاليون تارتاليا وكاردانو وبومبيلي من بين الأوائل في القرن السادس عشر. ضع في اعتبارك ، بالإضافة إلى الجذور الإيجابية والسلبية. فقط في القرن السابع عشر. بفضل عمل جيرارد وديكارت ونيوتن وعلماء آخرين ، تأخذ طريقة حل المعادلات التربيعية مظهرًا حديثًا.

1.6 حول نظرية فييتا

النظرية التي تعبر عن العلاقة بين معاملات المعادلة التربيعية وجذورها ، التي تحمل اسم فيتا ، صاغها لأول مرة في عام 1591 على النحو التالي: "إذا ب + دمضروبا أ - أ 2 ، يساوي BD، ومن بعد أيساوي فيومتساو د».

لفهم فييتا ، يجب على المرء أن يتذكر ذلك لكن، مثل أي حرف علة ، يعني بالنسبة له المجهول (لدينا X)، حروف العلة في،د- معاملات المجهول. بلغة الجبر الحديثة ، فإن صياغة فييتا أعلاه تعني: إذا

(أ +ب) x - x 2 = أب,

X 2 - (أ +ب) x + أب = 0,

X 1 = أ ، X 2 = ب.

للتعبير عن العلاقة بين جذور المعادلات ومعاملاتها بالصيغ العامة المكتوبة باستخدام الرموز ، أسس فيت التوحيد في طرق حل المعادلات. في الوقت نفسه ، لا تزال رمزية فييتا بعيدة عن مظهرها الحديث. لم يتعرف على الأرقام السالبة ، وبالتالي ، عند حل المعادلات ، لم يأخذ في الاعتبار سوى الحالات التي تكون فيها جميع الجذور موجبة.

2. طرق حل المعادلات التربيعية

المعادلات التربيعية هي الأساس الذي يقوم عليه صرح الجبر المهيب. تستخدم المعادلات التربيعية على نطاق واسع في حل المعادلات المثلثية والأسية واللوغاريتمية وغير المنطقية والمتجاوزة والمتباينات. نعلم جميعًا كيفية حل المعادلات التربيعية من المدرسة (الصف الثامن) حتى التخرج.

في دورة الرياضيات المدرسية ، تتم دراسة صيغ جذور المعادلات التربيعية ، والتي يمكنك من خلالها حل أي معادلات تربيعية. في الوقت نفسه ، هناك طرق أخرى لحل المعادلات التربيعية ، والتي تتيح لك حل العديد من المعادلات بسرعة كبيرة وعقلانية. هناك عشر طرق لحل المعادلات التربيعية. في عملي ، قمت بتحليل كل منهم بالتفصيل.

1. الطريقة : تحليل الجانب الأيسر من المعادلة.

لنحل المعادلة

X 2 + 10x - 24 = 0.

دعونا نحلل الجانب الأيسر:

X 2 + 10x - 24 = س 2 + 12x - 2x - 24 \ u003d x (x + 12) - 2 (x + 12) \ u003d (x + 12) (x - 2).

لذلك ، يمكن إعادة كتابة المعادلة على النحو التالي:

(س + 12) (س - 2) = 0

بما أن المنتج يساوي صفرًا ، فإن أحد عوامله على الأقل هو صفر. لذلك ، يختفي الجانب الأيسر من المعادلة عند س = 2، وكذلك في س = - 12. هذا يعني أن الرقم 2 و - 12 هي جذور المعادلة X 2 + 10x - 24 = 0.

2. الطريقة : طريقة اختيار المربع الكامل.

لنحل المعادلة X 2 + 6 س - 7 = 0.

دعنا نختار مربعًا كاملاً على الجانب الأيسر.

للقيام بذلك ، نكتب التعبير x 2 + 6x بالشكل التالي:

X 2 + 6 س = س 2 + 2 * × * 3.

× 2+ 2 * × * 3 + 3 2 = (س + 3) 2 .

نحول الآن الجانب الأيسر من المعادلة

X 2 + 6 س - 7 = 0,

الجمع وطرح 3 2. نملك:

X 2 + 6 س - 7 =× 2+ 2 * × * 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (س + 3) 2 - 9-7 = (س + 3) 2 - 16.

وهكذا يمكن كتابة هذه المعادلة على النحو التالي:

(x + 3) 2 - 16 =0, (x + 3) 2 = 16.

بالتالي، س + 3 - 4 = 0 ، س 1 = 1 ، أو x + 3 = -4 ، x 2 = -7.

3. الطريقة :حل المعادلات التربيعية بالصيغة.

اضرب طرفي المعادلة

أوه 2 + بس + ج = 0 ، هاه؟ 0

في 4 أ وعلى التوالي لدينا:

4 ا 2 X 2 + 4 أبس + 4 أك = 0 ،

((2ah) 2 + 2ax *ب + ب 2 ) - ب 2 + 4 أ = 0,

(2ax + ب) 2 = ب 2 - 4ac ،

2ax + b = ± vb 2 - 4ac ،

2ax = - ب ± الخامس ب 2 - 4ac ،

أمثلة.

أ)لنحل المعادلة: 4x 2 + 7 س + 3 = 0.

أ = 4 ،ب= 7 ، ج = 3 ،د = ب 2 - 4 أ = 7 2 - 4 * 4 * 3 = 49 - 48 = 1,

د > 0, جذران مختلفان

وبالتالي ، في حالة التمييز الإيجابي ، أي في

ب 2 - 4 أ >0 ، المعادلة أوه 2 + بس + ج = 0له جذرين مختلفين.

ب)لنحل المعادلة: 4x 2 - 4x + 1 = 0 ،

أ = 4 ،ب= - 4 ، ج = 1 ،د = ب 2 - 4 أ = (-4) 2 - 4 * 4 * 1= 16 - 16 = 0,

د = 0, جذر واحد

لذلك ، إذا كان المميز صفرًا ، أي ب 2 - 4 أ = 0 ثم المعادلة

أوه 2 + بس + ج = 0له جذر واحد

في)لنحل المعادلة: 2x 2 + 3 س + 4 = 0 ،

أ = 2 ،ب= 3 ، ج = 4 ،د = ب 2 - 4 أ = 3 2 - 4 * 2 * 4 = 9 - 32 = - 13 , د < 0.

هذه المعادلة ليس لها جذور.

لذلك ، إذا كان المميز سالبًا ، أي ب 2 - 4 أ < 0 ,

المعادلة أوه 2 + بس + ج = 0ليس له جذور.

الصيغة (1) لجذور المعادلة التربيعية أوه 2 + بس + ج = 0يسمح لك بالعثور على الجذور أي المعادلة التربيعية (إن وجدت) ، بما في ذلك المختزل وغير الكامل. يتم التعبير عن الصيغة (1) شفهيًا على النحو التالي: جذور المعادلة التربيعية تساوي كسرًا يساوي بسطه المعامل الثاني ، مأخوذًا بعلامة معاكسة ، زائد ناقص الجذر التربيعي لمربع هذا المعامل دون مضاعفة حاصل ضرب المعامل الأول بمقدار أربعة أضعاف بالمصطلح الحر ، والمقام ضعف المعامل الأول.

4. الطريقة: حل المعادلات باستخدام نظرية فييتا.

كما هو معروف ، فإن المعادلة التربيعية المعطاة لها الشكل

X 2 + مقصف + ج = 0. (1)

ترضي جذوره نظرية فييتا ، والتي عندما أ = 1لديه الشكل

x 1 x 2 = ف,

x 1 + x 2 = - ص

من هذا يمكننا استخلاص الاستنتاجات التالية (يمكن التنبؤ بعلامات الجذور من المعاملين p و q).

أ) إذا كان مصطلح موجز فالمعادلة المختزلة (1) موجبة ( ف > 0 ) ، إذن للمعادلة جذرين من نفس العلامة وهذا هو حسد المعامل الثاني ص. اذا كان ص< 0 ، فإن كلا الجذور تكون سالبة إذا ص< 0 ، ثم كلا الجذور موجبة.

فمثلا،

x 2 - 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 و x 2 = 1, لان ف = 2 > 0 و ص = - 3 < 0;

x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = - 7 و x 2 = - 1, لان ف = 7 > 0 و ص= 8 > 0.

ب) إذا كان عضوا حر فمن المعادلة المختزلة (1) سالبة ( ف < 0 ) ، إذن للمعادلة جذرين من علامات مختلفة ، وسيكون الجذر الأكبر في القيمة المطلقة موجبًا إذا ص < 0 ، أو سلبي إذا ص > 0 .

فمثلا،

x 2 + 4 x - 5 = 0; x 1 = - 5 و x 2 = 1, لان ف= - 5 < 0 و ص = 4 > 0;

x 2 - 8 x - 9 = 0; x 1 = 9 و x 2 = - 1, لان ف = - 9 < 0 و ص = - 8 < 0.

5. الطريقة: حل المعادلات بطريقة "التحويل".

ضع في اعتبارك المعادلة التربيعية

أوه 2 + بس + ج = 0 ،أين أ؟ 0.

بضرب كلا الجزأين في أ ، نحصل على المعادلة

أ 2 X 2 + أبس + أك = 0.

يترك آه = ذ، أين س = ص / أ؛ ثم نأتي إلى المعادلة

في 2 + بواسطة+ ac = 0 ،

يعادل هذا. جذورها في 1 و في 2 يمكن إيجادها باستخدام نظرية فييتا.

أخيرا نحصل

X 1 = ذ 1 /أ و X 1 = ذ 2 /أ.

بهذه الطريقة ، المعامل أمضروبة في المصطلح الحر ، كما لو "ألقيت" عليها ، لذلك يطلق عليها طريقة النقل. تُستخدم هذه الطريقة عندما يكون من السهل العثور على جذور المعادلة باستخدام نظرية فييتا ، والأهم من ذلك ، عندما يكون المميز مربعًا دقيقًا.

مثال.

لنحل المعادلة 2x 2 - 11 س + 15 = 0.

المحلول.دعنا "ننقل" المعامل 2 إلى المصطلح المجاني ، ونتيجة لذلك نحصل على المعادلة

في 2 - 11 ص + 30 = 0.

وفقًا لنظرية فييتا

في 1 = 5 X 1 = 5/2 x 1 = 2,5

في 2 = 6 x 2 = 6/2 x 2 = 3.

الجواب: 2.5 ؛ 3.

6. الطريقة: خواص معاملات المعادلة التربيعية.

لكن.دع المعادلة التربيعية

أوه 2 + بس + ج = 0 ،أين أ؟ 0.

1) إذا ، أ +ب+ c = 0 (أي أن مجموع المعاملات هو صفر) ، ثم x 1 = 1,

X 2 = ق / أ.

دليل - إثبات.قسّم طرفي المعادلة على أ؟ 0 ، نحصل على المعادلة التربيعية المختصرة

x 2 + ب/ أ * x + ج/ أ = 0.

وفقًا لنظرية فييتا

x 1 + x 2 = - ب/ أ,

x 1 x 2 = 1* ج/ أ.

حسب الشرط أ -ب + ج = 0 ،أين ب= أ + ج.في هذا الطريق،

x 1 + س 2 = - أ+ ب / أ \ u003d -1 - ج / أ ،

x 1 x 2 = - 1 * (-c / a) ،

أولئك. X 1 = -1 و X 2 = ج/ أ، والتي كنا بحاجة لإثباتها.

أمثلة.

1) حل المعادلة 345 ضعفًا 2 - 137 × - 208 = 0.

المحلول.لان أ +ب+ ص = 0 (345 - 137 - 208 = 0) ،ومن بعد

X 1 = 1, X 2 = ج/ أ = -208/345.

الجواب: 1 ؛ -208/345.

2) حل المعادلة 132 ضعفًا 2 - 247 س + 115 = 0.

المحلول.لان أ +ب+ ص = 0 (132-247 + 115 = 0) ،ومن بعد

X 1 = 1, X 2 = ج/ أ = 115/132.

الجواب: 1 ؛ 115/132.

ب.إذا كان المعامل الثاني ب = 2 ك هو عدد زوجي ، ثم صيغة الجذور

مثال.

لنحل المعادلة 3 × 2 - 14 × + 16 = 0.

المحلول. نملك: أ = 3 ،ب= - 14 ، ج = 16 ،ك = -- 7 ;

د = ك 2 - أ = (- 7) 2 - 3 * 16 = 49 - 48 = 1, د > 0, جذران مختلفان

الجواب: 2 ؛ 8/3

في.معادلة مخفضة

X 2 + بكسل +ف= 0

يتزامن مع المعادلة العامة التي أ = 1, ب= صو ج =ف. لذلك ، بالنسبة للمعادلة التربيعية المختصرة ، صيغة الجذور

يأخذ الشكل:

الصيغة (3) ملائمة بشكل خاص للاستخدام عندما ص-- رقم زوجي.

مثال.لنحل المعادلة X 2 - 14x - 15 = 0.

المحلول.نملك: X 1,2 = 7 ±

الجواب: x 1 = 15 ؛ X 2 = -1.

7. الطريقة: الحل الرسومي لمعادلة تربيعية.

إذا كان في المعادلة

X 2 + مقصف + ف = 0

حرك الحدين الثاني والثالث إلى الجانب الأيمن ، نحصل عليه

X 2 = - مقصف - ف.

لنقم ببناء الرسوم البيانية للاعتماد y \ u003d x 2 و y \ u003d - px - q.

الرسم البياني للاعتماد الأول هو قطع مكافئ يمر عبر الأصل. رسم بياني للتبعية الثانية -

خط مستقيم (الشكل 1). الحالات التالية ممكنة:

يمكن أن يتقاطع الخط المستقيم والقطع المكافئ عند نقطتين ، وتشكل حدود نقاط التقاطع جذور المعادلة التربيعية ؛

يمكن أن يلمس الخط والقطع المكافئ (نقطة مشتركة واحدة فقط) ، أي المعادلة لها حل واحد ؛

ليس للخط المستقيم والقطع المكافئ نقاط مشتركة ، أي المعادلة التربيعية ليس لها جذور.

أمثلة.

1) لنحل المعادلة بيانياً X 2 - 3 س - 4 = 0(الصورة 2).

المحلول.نكتب المعادلة في الصورة X 2 = 3 س + 4.

دعونا نبني القطع المكافئ ص = س 2 ومباشر ص = 3 س + 4. مباشرة

ص = 3 س + 4يمكن بناؤها من نقطتين م (0 ؛ 4)و

ن (3; 13) . يتقاطع الخط والقطع المكافئ عند نقطتين

لكنو فيمع الإحداثي السيني X 1 = - 1 و X 2 = 4 . إجابه: س 1 = - 1;

X 2 = 4.

2) لنحل المعادلة بيانياً (الشكل 3) X 2 - 2 س + 1 = 0.

المحلول.نكتب المعادلة في الصورة X 2 = 2x - 1.

دعونا نبني القطع المكافئ ص = س 2 ومباشر ص = 2 س - 1.

مباشرة ص = 2 س - 1بناء على نقطتين م (0 ؛ - 1)

و ن(1/2; 0) . يتقاطع الخط والقطع المكافئ عند نقطة لكنمع

الإحداثي السيني س = 1. إجابه:س = 1.

3) لنحل المعادلة بيانياً X 2 - 2 س + 5 = 0(الشكل 4).

المحلول.نكتب المعادلة في الصورة X 2 = 5 س - 5. دعونا نبني القطع المكافئ ص = س 2 ومباشر ص = 2 س - 5. مباشرة ص = 2 س - 5بناء بنقطتين M (0 ؛ - 5) و N (2.5 ؛ 0). الخط المستقيم والقطع المكافئ ليس لهما نقاط تقاطع ، أي هذه المعادلة ليس لها جذور.

إجابه.المعادلة X 2 - 2 س + 5 = 0ليس له جذور.

8. الطريقة: حل المعادلات التربيعية بالبوصلة و الحكام.

الطريقة الرسومية لحل المعادلات التربيعية باستخدام القطع المكافئ غير ملائمة. إذا قمت ببناء نقطة مكافئة بنقطة ، فسيستغرق الأمر الكثير من الوقت ، ومع كل هذا ، تكون درجة دقة النتائج التي تم الحصول عليها منخفضة.

أقترح الطريقة التالية لإيجاد جذور المعادلة التربيعية أوه 2 + بس + ج = 0باستخدام البوصلة والمسطرة (الشكل 5).

لنفترض أن الدائرة المرغوبة تتقاطع مع المحور

الحد الأقصى للنقاط ب (x 1 ; 0) و د(X 2 ; 0), أين X 1 و X 2 - جذور المعادلة أوه 2 + بس + ج = 0، ويمر عبر النقاط

أ (0 ؛ 1)و ج (0 ؛ج/ أ) على المحور ص. ثم ، من خلال نظرية القاطع ، لدينا OB * التطوير التنظيمي = OA * OC، أين OC = OB * التطوير التنظيمي/ OA= س 1 X 2 / 1 = ج/ أ.

يقع مركز الدائرة عند نقطة تقاطع الخطوط المتعامدة سادسو SK، تم ترميمه في منتصف الأوتار تيار مترددو BD، لهذا

1) بناء نقاط (مركز الدائرة) و أ(0; 1) ;

2) ارسم دائرة نصف قطرها SA;

3) الخطوط العريضة لنقاط تقاطع هذه الدائرة مع المحور أوههي جذور المعادلة التربيعية الأصلية.

في هذه الحالة ، هناك ثلاث حالات ممكنة.

1) نصف قطر الدائرة أكبر من إحداثيات المركز (كما > SK، أو ص > أ + ج/2 أ) ، تتقاطع الدائرة مع المحور x عند نقطتين (الشكل 6 ، أ) ب (x 1 ; 0) و د(X 2 ; 0) ، أين X 1 و X 2 - جذور المعادلة التربيعية أوه 2 + بس + ج = 0.

2) نصف قطر الدائرة يساوي إحداثيات المركز (كما = SB، أوص = أ + ج/2 أ) ، تلامس الدائرة محور الثور (الشكل 6 ، ب) عند النقطة ب (x 1 ; 0) ، حيث x 1 هو جذر المعادلة التربيعية.

3) نصف قطر الدائرة أقل من إحداثيات المركز ، وليس للدائرة نقاط مشتركة مع محور الإحداثية (الشكل 6 ، ج) ، وفي هذه الحالة لا يوجد حل للمعادلة.

مثال.

لنحل المعادلة X 2 - 2 س - 3 = 0 (الشكل 7).

المحلول.حدد إحداثيات نقطة مركز الدائرة بالصيغ:

لنرسم دائرة نصف قطرها SA ، حيث أ (0 ؛ 1).

إجابه: X 1 = - 1 ؛ X 2 = 3.

9. الطريقة: حل المعادلات التربيعية ب نوموجرامس.

هذه طريقة قديمة ومنسية بشكل غير مستحق لحل المعادلات التربيعية ، وُضعت في الصفحة 83 (انظر براديس في إم جداول رياضية بأربع قيم - إم ، التنوير ، 1990).

الجدول الثاني والعشرون. مخطط حل المعادلات ض 2 + ص + ف = 0 . يسمح هذا الرسم البياني ، بدون حل المعادلة التربيعية ، بتحديد جذور المعادلة بواسطة معاملاتها.

تم بناء المقياس المنحني للرسم البياني وفقًا للصيغ (الشكل 11):

بافتراض OS = p ،ED = ف، OE = أ(الكل بالسنتيمتر) ، من تشابه المثلثات سانو CDFنحصل على النسبة

من هنا ، بعد التبديلات والتبسيط ، تتبع المعادلة

ض 2 + ص + ف = 0,

والرسالة ضيعني تسمية أي نقطة على المقياس المنحني.

أمثلة.

1) للمعادلة ض 2 - 9 ض + 8 = 0 يعطي nomogram الجذور

ض 1 = 8,0 و ض 2 = 1,0 (الشكل 12).

2) نحل المعادلة باستخدام الرسم البياني

2 ض 2 - 9 ض + 2 = 0.

نقسم معاملات هذه المعادلة على 2 ، نحصل على المعادلة

ض 2 - 4,5 ض + 1 = 0.

يعطي الرسم البياني الجذور ض 1 = 4 و ض 2 = 0,5.

3) للمعادلة

ض 2 - 25 ض + 66 = 0

المعاملتان p و q خارج النطاق ، سنجري الاستبدال ض = 5 ر، نحصل على المعادلة

ر 2 - 5 ر + 2,64 = 0,

التي نحلها عن طريق الرسم البياني ونحصل عليها ر 1 = 0,6 و ر 2 = 4,4, أين ض 1 = 5 ر 1 = 3,0 و ض 2 = 5 ر 2 = 22,0.

10. الطريقة: طريقة هندسية لحل المربع المعادلات.

في العصور القديمة ، عندما كانت الهندسة أكثر تطورًا من الجبر ، لم يتم حل المعادلات التربيعية جبريًا ، ولكن هندسيًا. سأقدم مثالاً اشتهر من "جبر" الخوارزمي.

أمثلة.

1) حل المعادلة X 2 + 10x = 39.

في الأصل ، تمت صياغة هذه المشكلة على النحو التالي: "الجذور التربيعية والعشرة تساوي 39" (الشكل 15).

المحلول.ضع في اعتبارك مربعًا به جانب x ، المستطيلات مبنية على جوانبها بحيث يكون الجانب الآخر لكل منها 2.5 ، وبالتالي فإن مساحة كل منهما 2.5x. ثم يتم استكمال الشكل الناتج بمربع جديد ABCD ، يكمل أربعة مربعات متساوية في الزوايا ، ويكون جانب كل منها 2.5 ، والمساحة 6.25.

ميدان س ميدان ا ب ت ثيمكن تمثيلها على أنها مجموع المساحات: المربع الأصلي X 2 ، أربعة مستطيلات (4 * 2.5x = 10x)وأربعة مربعات متصلة (6,25* 4 = 25) ، بمعنى آخر. س = X 2 + 10x + 25.استبدال

X 2 + 10xرقم 39 ، حصلنا على ذلك س = 39 + 25 = 64 ومن هنا يتبع ذلك جانب المربع ا ب ت ث، بمعنى آخر. القطعة المستقيمة AB = 8. للجانب المطلوب Xالمربع الأصلي الذي نحصل عليه

2) ولكن ، على سبيل المثال ، كيف حل اليونانيون القدماء المعادلة في 2 + 6 ص - 16 = 0.

المحلولهو مبين في الشكل. 16 ، أين

في 2 + 6 ص = 16 أو في 2 + 6 ص + 9 = 16 + 9.

المحلول.التعبيرات في 2 + 6 سنوات + 9و 16 + 9 تمثل نفس المربع هندسيًا والمعادلة الأصلية في 2 + 6 ص - 16 + 9-9 = 0هي نفس المعادلة. من أين حصلنا على ذلك ص + 3 = ± 5 ،أو في 1 = 2 ، ص 2 = - 8 (الشكل 16).

3) حل المعادلة الهندسية في 2 - 6 ص - 16 = 0.

نحصل على تحويل المعادلة

في 2 - 6 ص = 16.

على التين. 17 ابحث عن "صور" التعبير في 2 - 6 س ،أولئك. من مساحة مربع مع ضلع y اطرح ضعف مساحة المربع الذي يساوي ضلعه 3 . لذا ، إذا كان التعبير في 2 - 6y يضيف 9 ، ثم نحصل على مساحة المربع مع ضلع في - 3 . استبدال التعبير في 2 - 6y رقمه المتساوي 16 ،

نحن نحصل: (ص - 3) 2 = 16 + 9, أولئك. ص - 3 = ± v25، أو ص - 3 = ± 5 ، أين في 1 = 8 و في 2 = - 2.

استنتاج

تستخدم المعادلات التربيعية على نطاق واسع في حل المعادلات المثلثية والأسية واللوغاريتمية وغير المنطقية والمتجاوزة والمتباينات.

في الوقت نفسه ، لا تكمن قيمة المعادلات التربيعية في أناقة وإيجاز حل المشكلات ، على الرغم من أن هذا مهم جدًا. لا يقل أهمية عن حقيقة أنه نتيجة لاستخدام المعادلات التربيعية في حل المشكلات ، غالبًا ما يتم اكتشاف تفاصيل جديدة ، ويمكن إجراء تعميمات مثيرة للاهتمام وإجراء تحسينات ، والتي يتم دفعها من خلال تحليل الصيغ والعلاقات التي تم الحصول عليها.

كما أود أن أشير إلى أن الموضوع المعروض في هذا العمل لا يزال يدرس قليلاً على الإطلاق ، فهم فقط لا يتعاملون معه ، لذلك فهو محفوف بالكثير من الأشياء المخفية وغير المعروفة ، مما يوفر فرصة ممتازة لمزيد من العمل عليه .

هنا استقرت على مسألة حل المعادلات التربيعية ، وماذا ،

إذا كانت هناك طرق أخرى لحلها ؟! مرة أخرى ، ابحث عن أنماط جميلة ، وبعض الحقائق ، والتوضيحات ، وقم بالتعميمات ، واكتشف كل ما هو جديد وجديد. لكن هذه أسئلة للأعمال المستقبلية.

تلخيصًا ، يمكننا أن نستنتج: تلعب المعادلات التربيعية دورًا كبيرًا في تطوير الرياضيات. نعلم جميعًا كيفية حل المعادلات التربيعية من المدرسة (الصف الثامن) حتى التخرج. يمكن أن تكون هذه المعرفة مفيدة لنا طوال الحياة.

نظرًا لأن هذه الأساليب لحل المعادلات التربيعية سهلة الاستخدام ، فمن المؤكد أنها يجب أن تكون ذات فائدة للطلاب الذين يحبون الرياضيات. عملي يجعل من الممكن إلقاء نظرة مختلفة على المشاكل التي تضعها الرياضيات أمامنا.

المؤلفات:

1. أليموف ش.أ ، إيليين ف.أ. وآخرون. الجبر، 6-8. الكتاب المدرسي التجريبي للمدرسة الثانوية 6-8. - م ، التربية ، 1981.

2. براديس ف. جداول رياضية من أربعة أرقام للمدرسة الثانوية. 57. - م ، التربية ، 1990. ص 83.

3. كروزيبوف إيه كيه ، روبانوف إيه تي. كتاب المشاكل في الجبر والوظائف الابتدائية. كتاب مدرسي للمؤسسات التعليمية الثانوية المتخصصة. - مدرسة ثانوية م. 1969.

4. أوكونيف أ. الدوال التربيعية والمعادلات والمتباينات. دليل للمعلم. - م ، التربية ، 1972.

5. Presman A.A. حل المعادلة التربيعية بالبوصلة والمسطحة. - م ، كفانت ، رقم 4/72. ص 34.

6. سولومنيك في إس ، ميلوف بي. مجموعة من الأسئلة والمهام في الرياضيات. إد. - الرابع ، أضف. - م.المدرسة العليا 1973.

7. خضوبين أ. مجموعة من المسائل في الجبر والوظائف الابتدائية. دليل للمعلم. إد. الثاني. - م ، التربية ، 1970.

Shapovalova L.A. (محطة Egorlykskaya ، MBOU ESOSH رقم 11)

1. مردكوفيتش أ. فئة الجبر 8. كتاب مدرسي للمؤسسات التعليمية / أ. مردكوفيتش. رقم 8622/0790 - M: Mnemozina، 2013. No. 8622 / 0790-260 p.

2. مردكوفيتش أ. فئة الجبر 8. كتاب المهام للمؤسسات التعليمية / أ. مردكوفيتش. رقم 8622/0790 - M: Mnemozina، 2013. رقم 8622/0790 - 270 ص.

3. جليزر جي. تاريخ الرياضيات في المدرسة رقم 8622/0790 / ج. جلاسر. رقم 8622/0790 - م: التعليم ، 1982. رقم 8622/0790 - 340 ص.

4. Gusev V.A. رياضيات. المواد المرجعية / V.A. جوسيف ، أ. مردكوفيتش. رقم 8622/0790 - م: Prosveshchenie ، 1988. رقم 8622/0790 - 372 ص.

5. براديس ف. جداول رياضية مكونة من أربعة أرقام للمدرسة الثانوية / V.M. براديس. رقم 8622/0790 - م: التعليم ، 1990. رقم 8622/0790 - 83 ص.

6. نظرية فييتا. رقم 8622/0790 - وضع الوصول: http://phizmat.org.ua/2009-10-27-13-31-30/817-stihi-o-francua-vieta/ نظرية فييتا (موارد الوصول عن بُعد (الإنترنت) ). 01/20/2016.

7. المعادلات التربيعية. رقم 8622/0790 - وضع الوصول: http://revolution.allbest.ru/pedagogics/00249255_0.html (موارد الوصول عن بعد (الإنترنت)). 01/20/2016.

تحتل نظرية المعادلات مكانة رائدة في الجبر والرياضيات بشكل عام. لا تكمن أهميتها في أهميتها النظرية في معرفة القوانين الطبيعية فحسب ، بل تكمن أيضًا في الأغراض العملية. تنحصر معظم مشاكل الحياة في حل أنواع مختلفة من المعادلات ، وغالبًا ما تكون هذه معادلات ذات صيغة تربيعية.

يأخذ المنهج الدراسي في الاعتبار ثلاث طرق فقط لحلها. استعدادًا للامتحانات القادمة ، أصبحت مهتمًا بطرق أخرى لهذه المعادلات. لذلك اخترت موضوع "10 طرق لحل المعادلات التربيعية".

تكمن أهمية هذا الموضوع في حقيقة أنه في دروس الجبر والهندسة والفيزياء ، غالبًا ما نلتقي بحل المعادلات التربيعية. لذلك ، يجب أن يكون كل طالب قادرًا على حل المعادلات التربيعية بشكل صحيح وعقلاني ، وهو أمر مفيد أيضًا في حل المشكلات الأكثر تعقيدًا ، بما في ذلك عند اجتياز الاختبارات.

الغرض من العمل: دراسة طرق مختلفة لحل المعادلات التربيعية ، لمعرفة كيفية حل المعادلات التربيعية.

النظر في الطرق القياسية وغير القياسية لحل المعادلات التربيعية ؛

تحديد أنسب الطرق لحل المعادلات التربيعية ؛

تعلم كيفية حل المعادلات التربيعية بطرق مختلفة.

موضوع الدراسة: المعادلات التربيعية.

موضوع الدراسة: طرق حل المعادلات التربيعية.

طرق البحث:

النظرية: دراسة الأدبيات حول موضوع البحث ، ودراسة موارد الإنترنت المواضيعية ؛

تحليل المعلومات الواردة ؛

مقارنة بين طرق حل المعادلات التربيعية للراحة والعقلانية.

طرق حل المعادلات التربيعية

المعادلة التربيعية هي معادلة من الشكل ax 2 + bx + c \ u003d 0 ، حيث x متغير ، و a و b و c هي بعض الأرقام ، بينما a؟ 0. جذر هذه المعادلة هو قيمة المتغير الذي يحول التربيع ثلاثي الحدود إلى الصفر ، أي القيمة التي تحول المعادلة التربيعية إلى متطابقة. معاملات المعادلة التربيعية لها أسمائها الخاصة: المعامل أ يسمى الأول أو الأكبر ، المعامل ب يسمى الثاني أو المعامل عند س ، ج يسمى العضو الحر في هذه المعادلة.

المعادلة التربيعية الكاملة هي المعادلة التي تكون جميع معاملاتها غير صفرية (أ ، ب ، ج - 0).

يتم استدعاء معادلة تربيعية مخفضة ، حيث يكون المعامل الرئيسي مساويًا لواحد. يمكن الحصول على مثل هذه المعادلة عن طريق قسمة التعبير بالكامل على المعامل الرئيسي a: x 2 + px + q \ u003d 0، p \ u003d b / a، q \ u003d c / a.

المعادلات التربيعية غير المكتملة من ثلاثة أنواع:

1) الفأس 2 + ج = 0 ، حيث c تساوي 0 ؛

2) الفأس 2 + ب س = 0 ، حيث ب - 0 ؛

في إطار هذا العمل ، سننظر في طرق لحل المعادلات التربيعية الكاملة فقط.

حل المعادلات التربيعية بالصيغة العامة

لحل المعادلات التربيعية ، يتم استخدام طريقة إيجاد الجذور من خلال المميز. تُستخدم الصيغة التالية لإيجاد المميز: D = b 2 - 4ac. بعد إيجاد D ، نستخدم الصيغة لإيجاد جذور المعادلة

من الجدير بالذكر أنه إذا:

D> 0 - للمعادلة جذران ؛

د \ u003d 0 - المعادلة لها جذر واحد ؛

د< 0 - уравнение не имеет корней.

يظهر مثال لحل المعادلة بهذه الطريقة في الشكل. 1 (1.1).

أرز. 1. الجزء العملي

تحليل الجانب الأيسر

لتوضيح الطريقة ، نحل المعادلة x 2 + 10x - 24 = 0.

دعونا نحلل الجانب الأيسر:

x 2 + 10x - 24 = x + 12x - 2x - 24 = = x (x + 12) - 2 (x + 12) = (x + 12) (x - 2).

لذلك ، يمكن إعادة كتابة المعادلة على النحو التالي:

(س + 12) (س - 2) = 0

بما أن المنتج يساوي صفرًا ، فإن أحد عوامله على الأقل هو صفر. لذلك ، يختفي الجانب الأيسر من المعادلة عند x = 2 وأيضًا عند x = -12.

يظهر مثال لحل المعادلة بهذه الطريقة في الشكل. 1 (1.2).

اختيار المربع الكامل هو مثل هذا التحول في الهوية حيث يتم تمثيل ثلاثي الحدود المعطى على أنه (أ ± ب) 2 مجموع أو فرق مربع ذي الحدين وبعض التعبيرات الرقمية أو الحرفية.

لنحل المعادلة x 2 + 14x + 40 = 0.

دعونا نحلل كثير الحدود إلى عوامل باستخدام طريقة التربيع الكامل.

لتطبيق الصيغة الأولى ، تحتاج إلى الحصول على التعبير

س 2 + 14 س + 49 = 0.

لذلك ، نجمع ونطرح الرقم 9 من كثير الحدود x 2 + 14x + 40 لتحديد المربع الكامل

س 2 + 14 س + 40 + 9 - 9 = 0

(س + 14 س + 40 + 9) - 9 = 0

(س + 14 س + 49) - 9 = 0

(س + 7) 2-9 = 0

لنطبق صيغة "فرق المربعات" a2 - b2 = (a - b) (a + b)

(س + 7) 2 - 32 = 0

(س + 7 - 3) (س + 7 + 3) = 0

(س + 4) (س + 10) = 0

س + 4 = 0 × + 10 = 0

س 1 = - 4 × 2 = - 10

الجواب: -4 ؛ - عشرة.

يظهر مثال لحل المعادلة بهذه الطريقة في الشكل. 1 (1.3).

حل المعادلات باستخدام نظرية فييتا

لحل المعادلة التربيعية الكاملة وفقًا لنظرية فييتا ، تحتاج إلى قسمة المعادلة بأكملها على المعامل أ. بالنسبة للمعادلة x 2 + px + q = 0 ، إذا كانت جذورها x1 و x2 ، فإن الصيغ صحيحة:

يظهر مثال لحل المعادلة بهذه الطريقة في الشكل. 1 (1.4).

حل المعادلات باستخدام خواص المعاملات

إذا تم استيفاء الشرط التالي: أ + ج = ب ، إذن x1 = - 1 ؛ x2 = - ق / أ.

4 س 2 + 3 س - 1 = 04-1 = 3

x1 = - 1x2 = - 1/4

إذا تم استيفاء الشرط التالي:

أ + ب + ج = 0 ، ثم س 1 = 1 ؛ x2 = ق / أ.

5x2 + 2x - 7 = 05 + 2-7 = 0

يظهر مثال على استحالة حل المعادلة بهذه الطريقة في الشكل. 1 (1.5).

حل المعادلات بطريقة "التحويل"

تتيح طريقة "النقل" المزعومة اختزال حل المعادلات غير المختزلة وغير القابلة للتحويل إلى شكل المعادلات المختزلة ذات المعاملات الصحيحة عن طريق تقسيمها على المعامل الرئيسي للمعادلات إلى حل المعادلات المختزلة بعدد صحيح معاملات. وهي كالتالي: اضرب المعادلة ax 2 + bx + c = 0 by a.

نحصل على: a 2 x2 + abx + aс = 0. لنقدم متغيرًا جديدًا y = ax. نحصل على y 2 + by + ac = 0. جذور هذه المعادلة هي y1 و y2 ، لذلك ، x1 = y1 / a ؛ x2 = y2 / أ.

يظهر مثال لحل المعادلة بهذه الطريقة في الشكل. 1 (1.6).

لنحل المعادلة x 2 - 4x - 12 = 0.

لنمثلها x 2 - 4x = 12.

على التين. 2 "يصور" التعبير x - 4x ، أي تُطرح مساحة المربع مع الضلع x مرتين من مساحة المربع مع الضلع 2. إذن ، x 2 - 4x + 4 هي مساحة المربع مع الضلع x - 2.

بعد استبدال x 2 - 4x = 12 ، نحصل على

(س - 2) 2 = 12 + 4

س - 2 = 4 س - 2 = - 4

الجواب: س 1 = 6 ، س 1 = - 2.

يظهر مثال لحل المعادلة بهذه الطريقة في الشكل. 1 (1.7).

في المعادلة x 2 + px + q = 0 ، ننقل المصطلحين الثاني والثالث إلى الجانب الأيمن من المعادلة. نحصل على: x 2 \ u003d - px - q. دعونا نبني الرسوم البيانية للوظائف

ص = س 2 (قطع مكافئ) ؛

y = - qx - p (خط مستقيم).

وتجدر الإشارة إلى أن:

إذا كان الخط والقطع المكافئ يتقاطعان عند نقطتين ، فإن حدود نقاط التقاطع هي جذور المعادلة التربيعية ؛

إذا لامس الخط القطع المكافئ (نقطة مشتركة واحدة فقط) ، فإن المعادلة لها جذر واحد ؛

إذا لم يكن للخط والقطع المكافئ نقاط مشتركة ، أي المعادلة التربيعية ليس لها جذور.

حل معادلة بالبوصلة والمسطحة

لنحل المعادلة ax 2 + bx + c = 0:

1) بناء نقاط على مستوى الإحداثيات:

أ (- ب / 2 أ ؛ (أ + ج) / 2 أ) هو مركز الدائرة وب (0 ؛ 1)

2) ارسم دائرة r = AB

3) إن حدود نقاط التقاطع مع محور الثور هي جذور المعادلة الأصلية

وتجدر الإشارة إلى أن:

إذا كان نصف قطر الدائرة أكبر من إحداثيات المركز (AB> AC ، أو R> (a + c) / 2a) ، الدائرة.

يعبر المحور x عند نقطتين K (x1 ؛ 0) و N (x2 ؛ 0) ، حيث x1 و x2 هما جذور المعادلة التربيعية x2 + bx + c = 0.

إذا كان نصف قطر الدائرة يساوي إحداثيات المركز (AB \ u003d AC ، أو R \ u003d (a + c) / 2a) ، تلامس الدائرة محور الإحداثي عند النقطة C (x ؛ 0) ، حيث x1 هو جذر المعادلة التربيعية.

إذا كان نصف قطر الدائرة أقل من إحداثي المركز (AB< AС, или R < (a + c)/2a), окружность не имеет общих точек с осью абсцисс, в этом случае уравнение не имеет решения.

يظهر مثال لحل المعادلة بهذه الطريقة في الشكل. 1 (1.9).

هذه طريقة قديمة ومنسية الآن لحل المعادلات التربيعية.

يعطي الرسم البياني قيم الجذور الموجبة للمعادلة z 2 + pz + q \ u003d 0. إذا كانت المعادلة لها جذور لعلامات مختلفة ، فعند العثور على جذر موجب من الرسم البياني ، يكون السالب هو تم العثور عليها بطرح الموجب من - ص.

أرز. 6. نوع حرف واحد فقط لحل المعادلة z 2 + pz + q = 0

في الحالة التي يكون فيها كلا الجذور سالبين ، يأخذان z = - t ويجدون جذرين موجبين t1 من الرسم البياني ؛ معادلات t 2 t 2 + - pt + z = 0 ثم z1 = - t1 ؛ ض 2 \ u003d - t2.

إذا كان المعاملان p و q خارج النطاق ، فقم بإجراء الاستبدال z = kt وحل المعادلة باستخدام الرسم البياني

حيث يتم أخذ k بطريقة تؤدي إلى عدم المساواة

يمكن إيجاد شكل حرف واحد فقط لحل المعادلة z 2 + pz + q = 0 في الشكل. 6.

"إيجابيات" و "سلبيات" الحلول المختلفة

اسم طريقة حل المعادلات التربيعية
حل المعادلات التربيعية بالصيغة	يمكن تطبيقه على جميع المعادلات التربيعية.	تحتاج إلى تعلم الصيغ.
تحليل الجانب الأيسر من المعادلة	يجعل من الممكن رؤية جذور المعادلة على الفور.	من الضروري حساب شروط التجميع بشكل صحيح.
طريقة اختيار المربع الكامل	لأدنى عدد من الإجراءات ، يمكنك إيجاد جذور المعادلات	من الضروري العثور على جميع المصطلحات بشكل صحيح لتحديد المربع الكامل.
حل المعادلات باستخدام نظرية فييتا	طريقة سهلة إلى حد ما ، تجعل من الممكن رؤية جذور المعادلة على الفور.	يمكن العثور بسهولة على الجذور الكاملة فقط.
خواص معاملات المعادلة التربيعية	لا يتطلب الكثير من الجهد	يناسب فقط بعض المعادلات
حل المعادلات بطريقة التحويل	للحصول على الحد الأدنى من الإجراءات ، يمكنك العثور على جذور المعادلة ، يتم استخدامها بالاقتران مع طريقة نظرية فييتا.	من السهل العثور على الجذور الكاملة فقط.
طريقة هندسية لحل المعادلات التربيعية	طريقة بصرية.	على غرار طريقة تحديد مربع كامل
الحل الرسومي لمعادلة تربيعية	طريقة بصرية	قد يكون هناك عدم دقة في الجدولة
حل المعادلات التربيعية بالبوصلة والمسطحة	طريقة بصرية	قد لا تكون دقيقة
حل المعادلات التربيعية باستخدام الرسم البياني	بديهية وسهلة الاستخدام.	ليس دائمًا في متناول اليد هناك مخطط رمزي.

استنتاج

في سياق هذا العمل البحثي ، تمكنت من تعميم وتنظيم المواد المدروسة حول الموضوع المختار ، لدراسة طرق مختلفة لحل المعادلات التربيعية ، لمعرفة كيفية حل المعادلات التربيعية في 10 طرق. تجدر الإشارة إلى أنه ليس كلهم مناسبين للحل ، لكن كل منهم مثير للاهتمام بطريقته الخاصة. من وجهة نظري ، فإن الأساليب التي تتم دراستها في المدرسة ستكون الأكثر منطقية للاستخدام: 1.1. (حسب الصيغة) ؛ 1.4 (وفقًا لنظرية فييتا) ؛ وكذلك الطريقة 1.5. (باستخدام خصائص المعاملات).

باختصار ، يمكننا أن نستنتج: تلعب المعادلات التربيعية دورًا كبيرًا في الرياضيات. يمكن أن تكون هذه المعرفة مفيدة لنا ليس فقط في المدرسة والجامعة ، ولكن أيضًا طوال حياتنا.

رابط ببليوغرافي

Ulevsky S.A. عشر طرق لحل المعادلات التربيعية // ابدأ في العلم. - 2016. - رقم 1. - ص 75-79 ؛
URL: http://science-start.ru/ru/article/view؟id=15 (تاريخ الوصول: 12/30/2019).

شريحة 1

الشريحة 2

أهداف المقرر الدراسي: التعرف على الأساليب الجديدة لحل المعادلات التربيعية تعميق المعرفة حول موضوع "المعادلات الرباعية" تطوير القدرات الرياضية والفكرية ومهارات البحث. خلق الظروف لتحقيق الذات للفرد.

الشريحة 3

أهداف المقرر الدراسي: تعريف الطلاب بالطرق الجديدة لحل المعادلات التربيعية لتعزيز القدرة على حل المعادلات باستخدام الطرق المعروفة لتقديم النظريات التي تسمح بحل المعادلات بطرق غير قياسية لمواصلة تكوين المهارات التعليمية العامة والثقافة الرياضية لتعزيز التكوين الاهتمام بالأنشطة البحثية لتهيئة الظروف للطلاب لإدراك وتطوير الاهتمام بموضوع الرياضيات إعداد الطلاب للاختيار الصحيح لاتجاه الملف الشخصي

الشريحة 4

محتويات البرنامج الموضوع 1. مقدمة. 1 ساعة. تعريف المعادلة التربيعية. مربع كامل وغير مكتمل. المعادلات. طرق حلها. استجواب. الموضوع 2. حل مربع. المعادلات. طريقة العوملة طريقة اختيار المربع الكامل الحل مربع. المعادلات حسب الصيغ مربع الحل. المعادلات عن طريق طريقة التحويل مربع الحل. المعادلات باستخدام t. Vieta Solution sq. المعادلات باستخدام معامل الحل مربع. المعادلات بطريقة رسومية مربع الحل. المعادلات باستخدام بوصلة ومسطرة الحل. المعادلات بطريقة هندسية مربع الحل. المعادلات باستخدام "nomograms"

الشريحة 5

قليل من التاريخ ... المعادلات التربيعية هي الأساس الذي يقوم عليه صرح الجبر المهيب. تستخدم المعادلات التربيعية على نطاق واسع في حل المعادلات المثلثية والأسية واللوغاريتمية وغير المنطقية والمتجاوزة والمتباينات. المعادلات التربيعية في بابل القديمة. المعادلات التربيعية في الهند. المعادلات التربيعية في الخورزمي. المعادلات التربيعية في أوروبا الثالث عشر - القرن السابع عشر.

الشريحة 6

شريحة 7

شريحة 8

شريحة 9

الشريحة 10

كان العالم الفرنسي الشهير فرانسوا فيت (1540-1603) محامياً بالمهنة. كرس وقت فراغه لعلم الفلك. تتطلب فصول علم الفلك معرفة علم المثلثات والجبر. تناول فيت هذه العلوم وسرعان ما توصل إلى أنه من الضروري تحسينها ، وهو الأمر الذي عمل عليه لعدة سنوات. بفضل عمله ، أصبح الجبر العلم العام للمعادلات الجبرية على أساس التفاضل والتكامل الحرفي. لذلك أصبح من الممكن التعبير عن خصائص المعادلات وجذورها بالصيغ العامة.

الشريحة 11

عند القيام بالعمل ، لوحظ ما يلي: الطرق التي سأستخدمها: نظرية فييتا خصائص المعاملات طريقة "النقل" تحليل الجانب الأيسر إلى عوامل الطريقة الرسومية الطرق مثيرة للاهتمام ، لكنها تستغرق الكثير من الوقت و ليست دائما مريحة. طريقة رسومية بمساعدة الرسم البياني المساطر والبوصلة اختيار مربع كامل أنحني للعلماء الذين اكتشفوا هذه الأساليب وأعطوا العلم زخمًا للتطور في موضوع "حل المعادلات التربيعية"

الشريحة 12

تحليل الجانب الأيسر من المعادلة إلى عوامل دعونا نحل المعادلة x2 + 10x - 24 = 0. تحليل الجانب الأيسر: x2 + 10x - 24 = x2 + 12x -2x - 24 = x (x + 12) - 2 (x + 12) = (x + 12) (x - 2). (س + 12) (س - 2) = 0 س + 12 = 0 أو س - 2 = 0 س = -12 س = 2 الإجابة: س 1 = -12 ، س 2 = 2. حل المعادلات: س 2 - س = 0 س 2 + 2x = 0 x2 - 81 = 0 x2 + 4x + 3 = 0 x2 + 2x - 3 = 0

الشريحة 13

طريقة اختيار المربع الكامل حل المعادلة x2 + 6x - 7 = 0 x2 + 6x - 7 = x2 + 2x3 + 32-32-7 = (x-3) 2-9-7 = (x-3) 2-16 ( x -3) 2-16 = 0 (x-3) 2 = 16 x-3 = 4 أو x-3 = -4 x = 1 x = -7 الإجابة: x1 = 1، x2 = -7. حل المعادلات: x2 - 8x + 15 = 0 x2 + 12x + 20 = 0 x2 + 4x + 3 = 0 x2 + 2x - 2 = 0 x2 - 6x + 8 = 0

الشريحة 14

حل المعادلات التربيعية وفقًا للصيغة الصيغ الأساسية: إذا كانت b فردية ، فإن D = b2-4ac و x 1.2 = ، (إذا كانت D> 0) إذا كانت b زوجية ، فإن D1 = و x1.2 = ، (إذا كانت D > 0) حل المعادلات: 2x2 - 5x + 2 = 0 6x2 + 5x + 1 = 0 4x2 - 5x + 2 = 0 2x2 - 6x + 4 = 0 x2 - 18x + 17 = 0 =

الشريحة 15

حل المعادلات بطريقة التحويل لنحل المعادلة ax2 + bx + c = 0. اضرب طرفي المعادلة في a ، نحصل على a2 x2 + abx + ac = 0. دع الفأس = y ، حيث x = y / a. ثم U2 + شراء + ac = 0. جذوره y1 و y2. أخيرًا x1 = y1 / a ، x1 = y2 / a. لنحل المعادلة 2x2 -11x + 15 = 0. لننقل المعامل 2 إلى المصطلح المجاني: Y2 -11y + 30 = 0. وفقًا لنظرية فييتا ، y1 = 5 و y2 = 6. x1 = 5/2 و x2 = 6/2 x1 = 2.5 و x2 = 3 الإجابة: x1 = 2.5، x2 = 3 حل المعادلة: 2x2 -9x + 9 = 0 10x2 -11x + 3 = 0 3x2 + 11x +6 = 0 6x2 + 5x - 6 = 0 3x2 + 1x - 4 = 0

الشريحة 16

حل المعادلات باستخدام نظرية فييتا ، دعونا نحل المعادلة x2 + 10x-24 = 0. منذ x1 * x2 \ u003d -24 x1 + x2 \ u003d -10 ، ثم 24 \ u003d 2 * 12 ، ولكن -10 \ u003d -12 + 2 ، ثم x1 \ u003d -12 x2 \ u003d 2 الإجابة: x1 \ u003d 2 ، x2 \ u003d -12. حل المعادلات: x2 - 7x - 30 = 0 x2 + 2x - 15 = 0 x2 - 7x + 6 = 0 3x2 - 5x + 2 = 0 5x2 + 4x - 9 = 0

الشريحة 17

خواص معاملات المعادلة التربيعية إذا كانت a + b + c = 0 ، إذن x2 = 1 ، x2 = c / a 7 = 0 فلنحل المعادلة 2x2 + 3x + 1 = 0 1 + 6-7 = 0 ، لذا x1 = 1 ، x2 = -7 / 1 = -7. 2 - 3 + 1 = 0 ، لذا س 1 = - 1 ، س 2 = -1/2 الإجابة: س 1 = 1 ، س 2 = -7. الإجابة: س 1 = -1 ، س 2 = -1 / 2. حل المعادلات: 5x2 - 7x +2 = 0 حل المعادلات: 5x2 - 7x -12 = 0 11x2 + 25x - 36 = 0 11x2 + 25x + 14 = 0345x2 -137x -208 = 0 3x2 + 5x + 2 = 0 3x2 + 5x - 8 = 0 5x2 + 4x - 1 = 0 5x2 + 4x - 9 = 0 x2 + 4x + 3 = 0

مدرسة Kopyevskaya الثانوية الريفية

10 طرق لحل المعادلات التربيعية

الرأس: باتريكيفا غالينا أناتوليفنا ،

مدرس رياضيات

s.Kopyevo ، 2007

1. تاريخ تطور المعادلات التربيعية

1.1 المعادلات التربيعية في بابل القديمة

1.2 كيف قام ديوفانتوس بتجميع وحل المعادلات التربيعية

1.3 المعادلات التربيعية في الهند

1.4 المعادلات التربيعية في الخوارزمي

1.5 المعادلات التربيعية في أوروبا القرنين الثالث عشر والسابع عشر

1.6 حول نظرية فييتا

2. طرق حل المعادلات التربيعية

استنتاج

المؤلفات

1. تاريخ تطور المعادلات التربيعية

1.1 المعادلات التربيعية في بابل القديمة

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

1.2 كيف قام ديوفانتوس بتجميع وحل المعادلات التربيعية.

عند تجميع المعادلات ، يختار Diophantus بمهارة المجهول لتبسيط الحل.

هنا ، على سبيل المثال ، هي إحدى مهامه.

المهمة 11."أوجد رقمين مع العلم أن مجموعهما 20 وحاصل ضربهما 96"

ومن هنا جاءت المعادلة:

(10 + س) (10 - س) = 96

100 - × 2 = 96

× 2-4 = 0 (1)

إذا حللنا هذه المشكلة باختيار أحد الأرقام المرغوبة باعتباره المجهول ، فسنصل إلى حل المعادلة

ص (20 - ص) = 96 ،

ص 2 - 20 ص + 96 = 0. (2)

1.3 المعادلات التربيعية في الهند

آه 2+بس = ج ، أ> 0. (1)

في المعادلة (1) ، المعاملات ، باستثناء أ، يمكن أن تكون سلبية أيضًا. يتطابق حكم براهماغوبتا بشكل أساسي مع حكمنا.

إليكم إحدى مشكلات عالم الرياضيات الهندي الشهير في القرن الثاني عشر. باسكارا.

المهمة 13.

"قطيع مرح من القرود واثنا عشر في الكروم ...

بعد أن أكل السلطة ، استمتع. بدأوا في القفز ، معلقين ...

الجزء الثامن منهم في مربع كم عدد القردة هناك ،

يلهون في المرج. أخبرني ، في هذا القطيع؟

يشير حل باسكارا إلى أنه كان على علم بالقيمة الثنائية لجذور المعادلات التربيعية (الشكل 3).

المعادلة المقابلة للمسألة 13 هي:

(x/8) 2 + 12 = x

يكتب باسكارا تحت ستار:

× 2 - 64 × = -768

ولإكمال الجانب الأيسر من هذه المعادلة إلى مربع ، يضيف إلى كلا الجانبين 32 2 ، ثم الحصول على:

× 2 - 64 × + 32 2 = -768 + 1024 ،

(س - 32) 2 = 256 ،

س - 32 = ± 16 ،

× 1 = 16 ، × 2 = 48.

1.4 المعادلات التربيعية في الخوارزمي

1) "المربعات تساوي الجذور" ، أي الفأس 2 + ج =بX.

2) "المربعات تساوي الرقم" ، أي الفأس 2 = ق.

3) "الجذور تساوي العدد" ، أي آه = ق.

4) "المربعات والأرقام تساوي الجذور" ، أي الفأس 2 + ج =بX.

5) "المربعات والجذور تساوي العدد" ، أي آه 2+bx= ق.

6) "الجذور والأرقام تساوي المربعات" ، أيbx+ ج \ u003d فأس 2.

المهمة 14."المربع والرقم 21 يساوي 10 جذور. ابحث عن الجذر " (بافتراض جذر المعادلة x 2 + 21 = 10x).

1.5 المعادلات التربيعية في أوروباالثالث عشر - السابع عشرقرون

القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية المختزلة إلى شكل أساسي واحد:

× 2+bx= مع

لجميع المجموعات الممكنة لعلامات المعاملات ب, معتمت صياغته في أوروبا فقط في عام 1544 بواسطة M. Stiefel.

1.6 حول نظرية فييتا

(أ +ب) س - س 2 =أب,

× 2 - (أ +ب) x + أب = 0,

س 1 = أ ، س 2 =ب.

2. طرق حل المعادلات التربيعية