Реклама на портале

Классная работа02.04.12. Давайте повторим * Какое уравнение называется квадратным? * Какие уравнения называются неполными квадратными уравнениями? * Какое. Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения Рис.6. Векторное уравнение линии

Равенство вида F(x, y) = 0 называется уравнением с двумя переменными x , у, если оно справедливо не для всяких пар чисел х, у. Говорят, что два числа x = x 0 , у=у 0, удовлетворяют некоторому уравнению вида F(х, у)=0, если при подстановке этих чисел вместо переменных х и у в уравнение его левая часть обращается в нуль.

Уравнением данной линии (в назначенной системе координат) называется такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на ней.

В дальнейшем вместо выражения «дано уравнение линии F(х, у) = 0» мы часто будем говорить короче: дана линия F (х, у) = 0.

Если даны уравнения двух линий F (х, у) = 0 и Ф(х, y) = Q, то совме­стное решение системы

даёт все точки их пересечения. Точнее, каждая пара чисел, являющаяся сов­местным решением этой системы, определяет одну из точек пересечения.

*) В тех случаях, когда система координат не названа, подразумевается, что она - декартова прямоугольная.

157. Даны точки *) M 1 (2; - 2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M 6 (3; -2). Установить, какие изданных точек лежат на линии, определённой уравнением х + у = 0, и какие не лежат на ней. Какая линия определена данным уравнением? (Изобразить её на чертеже.)

158. На линии, определённой уравнением х 2 +y 2 =25, найти точки, абсциссы которых равны следующим числам: а) 0, б) - 3, в) 5, г) 7; на этой же линии найти точки, ординаты которых равны следующим числам: д) 3, е) - 5, ж) - 8. Какая линия определена данным уравнением? (Изобразить её на чертеже.)

159. Установить, какие линии определяются следующими уравне­ниями (построить их на чертеже):

1) х - у = 0; 2) х + у = 0; 3) x - 2 = 0; 4) x + 3 = 0;

5) у - 5 = 0; 6) y + 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0;

9) x 2 - xy = 0; 10) xy + y 2 = 0; 11) x 2 - y 2 = 0; 12) xy = 0;

13) y 2 - 9 = 0; 14) xy 2 - 8 xy +15 = 0; 15) y 2 +5y+4 = 0;

16) х 2 у - 7ху + 10y = 0; 17) у = |x |; 18) х = |у |; 19) y + |x |=0;

20) х + |у |= 0; 21) у = |х- 1|; 22) y = |x + 2|; 23) х 2 + у 2 = 16;

24) (x -2) 2 +(y -1) 2 =16; 25) (x + 5) 2 +(y - 1) 2 = 9;

26) (х - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 +(y + 3) 2 = 1; 28) (x -3) 2 + y 2 = 0;

29) х 2 + 2y 2 = 0; 30) 2 х 2 + 3y 2 + 5 = 0

31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1=0.

160.Даны линии:

1) х + у = 0; 2) х - у = 0; 3) x 2 + y 2 - 36 = 0;

4) x 2 +y 2 -2x ==0; 5) x 2 +y 2 + 4x -6y -1 =0.

Определить, какие из них проходят через начало координат.

161.Даны линии:

1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x - 3) 2 + (y + 4) 2 = 25;

3) (x + 6) 2 + (y - 3) 2 = 25; 4) (x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9;

5) x 2 + y 2 - 12х + 16у = 0; 6) x 2 + y 2 - 2х + 8у + 7 = 0;

7) x 2 + y 2 - 6х + 4у + 12 = 0.

Найти точки их пересечения: а) с осью Ох; б) с осью Оу.

162.Найти точки пересечения двух линий;

1) х 2 +у 2 = 8, х-у = 0;

2) х 2 +у 2 -16x +4у +18 = 0, х + у = 0;

3) х 2 +у 2 -2x +4у -3 = 0, х 2 + у 2 = 25;

4) х 2 +у 2 -8x +10у+40 = 0, х 2 + у 2 = 4.

163. В полярной системе координат даны точки

М 1 (1; ), М 2 (2; 0), М 3 (2; )

М 4 (
;) и М 5 (1; )

Установить, какие из этих точек лежат на линии, определённой уравнением в полярных координатах  = 2 cos , и какие не лежат на ней. Какая линия определяется данным уравнением? (Изобразить её на чертеже:)

164. На линии, определённой уравнением  = , найти точки, полярные углы которых равны следующим числам: а) ,б) -, в) 0,г) . Какая линия определена данным уравнением?

(Построить её на чертеже.)

165.На линии, определённой уравнением  = , найти точки,полярные радиусы которых равны следующим числам: а) 1, б) 2,в)
. Какая линия определена данным уравнением? (Построить её на чертеже.)

166.Установить, какие линии определяются в полярных коор­динатах следующими уравнениями (построить их на чертеже):

1)  = 5; 2)  = ; 3)  = ; 4)  cos  = 2; 5)  sin  = 1;

6)  = 6 cos ; 7)  = 10 sin ; 8) sin  = 9) sin  =

167.Построить на чертеже следующие спирали Архимеда:

1)  = 5, 2)  = 5; 3)  = ; 4)р = -1.

168. Построить на чертеже следующие гиперболические спирали:

1)  = ; 2) = ; 3) = ; 4) = -.

169. Построить на чертеже следующие логарифмические спирали:

,
.

170.Определить длины отрезков, на которые рассекает спиральАрхимеда

луч, выходящий из полюса и наклонённый к полярной оси под углом
. Сделать чертёж.

171. На спирали Архимеда
взята точка С, полярный радиус которой равен 47. Определить, на сколько частей эта спираль рассекает полярный радиус точки С, Сделать чертёж.

172. На гиперболической спирали
найти точку Р, полярный радиус которой равен 12. Сделать чертёж.

173. На логарифмической спирали
найти точку Q, полярный радиус которой равен 81. Сделать чертёж.

Давайте повторим * Какое уравнение называется квадратным? * Какие уравнения называются неполными квадратными уравнениями? * Какое квадратное уравнение называется приведенным? * Что называют корнем квадратного уравнения? * Что значит решить квадратное уравнение? Какое уравнение называется квадратным? Какие уравнения называются неполными квадратными уравнениями? Какое квадратное уравнение называется приведенным? Что называют корнем квадратного уравнения? Что значит решить квадратное уравнение? Какое уравнение называется квадратным? Какие уравнения называются неполными квадратными уравнениями? Какое квадратное уравнение называется приведенным? Что называют корнем квадратного уравнения? Что значит решить квадратное уравнение?
















Алгоритм решения квадратного уравнения: 1. Опредилить каким способом рациональней решить квадратное уравнение 2. Выбрать наиболее рациональный способ решения 3. Определение количества корней квадратного уравнения 4. Нахождение корней квадратного уравнения Для лучшего запоминания заполним таблицу… Для лучшего запоминания заполним таблицу… Для лучшего запоминания заполним таблицу…






Дополнительное условие Уравнение Корни Примеры 1. в = с = 0, а 0 ах 2 = 0 х 1 = 0 2. с = 0, а 0, в 0 ах 2 + bх = 0 х 1 = 0, х 2 =-b/а 3. в = 0, а 0, в 0 ах 2 + с = 0 а) х 1,2 = ±(c/а), где с/а 0. б) если с/а 0, то решений нет 4. а 0 ах 2 + bх + с = 0 x 1,2 =(-b±D)/2 а, где D = в 2 – 4 ас, D0 5. в – четное число (в = 2k), а 0, в 0, с 0 ах 2 + 2kx + c = 0 х 1,2 =(-b±D)/а, D 1 = k 2 – ac, где k = 6. Теорема обратная теореме Виета x 2 + px + q = 0x 1 + x 2 = - p x 1 x 2 = q


II. Специальные методы 7. Метод выделения квадрата двучлена. Цель: Привести уравнение общего вида к неполному квадратному уравнению. Замечание: метод применим для любых квадратных уравнений, но не всегда удобен в использовании. Используется для доказательства формулы корней квадратного уравнения. Пример: решите уравнение х 2 -6 х+8=0 8. Метод «переброски» старшего коэффициента. Корни квадратных уравнений ax 2 + bx + c = 0 и y 2 +by+ac=0 связаны соотношениями: и Замечание: метод хорош для квадратных уравнений с «удобными» коэффициентами. В некоторых случаях позволяет решить квадратное уравнение устно. Пример: решите уравнение 2 х 2 -9 х-5=0 На основании теорем:Пример: решите уравнение 157 х х-177=0 9. Если в квадратном уравнении a+b+c=0, то один из корней равен 1, а второй по теореме Виета равен с /а 10. Если в квадратном уравнении a+c=b, то один из корней равен -1, а второй по теореме Виета равен –с/а Пример: решите уравнение 203 х х+17=0 х 1 =у 1 /а, х 2 =у 2 /а


III. Общие методы решения уравнений 11. Метод разложения на множители. Цель: Привести квадратное уравнение общего вида к виду А(х)·В(х)=0, где А(х) и В(х) – многочлены относительно х. Способы: Вынесение общего множителя за скобки; Использование формул сокращенного умножения; Способ группировки. Пример: решите уравнение 3 х 2 +2 х-1=0 12. Метод введения новой переменной. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной Пример: решите уравнение (х 2 +3 х-25) 2 -6(х 2 +3 х-25)= - 8









Прямая на плоскости и в пространстве.

Изучение свойств геометрических фигур с помощью алгебры носит название аналитической геометрии , а использовать при этом мы будем так называемый метод координат .

Линия на плоскости обычно задается как множество точек, которые обладают присущими только им свойствами. Тот факт, что координаты (числа) х и у точки, лежащей на этой линии, аналитически записываются в виде некоторого уравнения.

Опр.1Уравнением линии (уравнением кривой) на плоскости Оху называется уравнение (*), которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой другой точки, не лежащей на этой линии.

Из определения 1 следует, что всякой линии на плоскости соответствует некоторое уравнение между текущими координатами (х,у ) точки этой линии и наоборот, всякому уравнению соответствует, вообще говоря, некоторая линия.

Отсюда возникают две основные задачи аналитической геометрии на плоскости.

1.Дана линия в виде множества точек. Нужно составить уравнение этой линии.

2. Дано уравнение линии. Необходимо изучить ее геометрические свойства (форму и расположение).

Пример . Лежат ли точки А (-2;1) и В (1;1) на линии 2х +у +3=0?

Задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных уравнениями и, сводится к отысканию координат, которые удовлетворяют уравнению обеих линий, т.е. к решению системы из двух уравнений с двумя неизвестными.

Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересекаются.

Аналогично вводится понятие линии в ПСК.

Линию на плоскости можно задать двумя уравнениями

где х и у – произвольные координаты точки М(х;у), лежащей на данной линии, а t - переменная, называемая параметром , параметр определяет положение точки на плоскости.

Например, если , то значению параметра t=2 соответствует на плоскости точка (3;4).

Если параметр изменяется, то точка на плоскости перемещается, описывая данную линию. Такой способом задания линии называется параметрическим, а уравнение (5.1) –параметрическим уравнением линии.

Чтобы перейти от параметрических уравнений к общему уравнению (*), надо каким – либо способом из двух уравнений исключают параметр. Однако, заметим, такой переход не всегда целесообразен и не всегда возможен.

Линию на плоскости можно задать векторным уравнением , где t- скалярный переменный параметр. Каждому значению параметра соответствует определенный вектор плоскости. При изменении параметра конец вектора опишет некоторую линию.

Векторному уравнению в ДСК соответствуетдва скалярных уравнения

(5.1), т.е. уравнения проекций на оси координат векторного уравнения линии есть ее



параметрическое уравнения.

Векторное уравнение и параметрические уравнения линии имеют механический смысл. Если точка перемещается на плоскости, то указанные уравнения называются уравнениями движения , а линия – траектория точки, параметр t при этом есть время.

Вывод: всякой линии на плоскости соответствует уравнение вида .

ВСЯКОМУ УРАВНЕНИЮ ВИДАсоответствует в общем случае некоторая линия, свойства которой определяются данным уравнением (исключение – уравнению на плоскости не соответствует никакой геометрический образ).

Пусть выбрана система координат на плоскости.

Опр. 5.1. Уравнением линии называется такое уравнение вида F(x;y) =0, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на ней.

Уравнение вида F(x;y )=0 – называют общим уравнением линии или уравнением в неявной форме.

Таким образом, линия Г есть геометрическое место точек, удовлетворяющее данному уравнению Г={(x, y): F(x;y)=0}.

Линию называют также кривой.

Решение уравнения

Иллюстрация графического метода нахождения корней уравнения

Решение уравнения - задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.).

При подстановке другого корня получается неправильное утверждение:

.

Таким образом, второй корень нужно отбросить, как посторонний.

Виды уравнений

Различают алгебраические , параметрические , трансцендентные , функциональные , дифференциальные и другие виды уравнений.

Некоторые классы уравнений имеют аналитические решения, которые удобны тем, что не только дают точное значение корня, а позволяют записать решение в виде формулы, в которую могут входить параметры. Аналитические выражения позволяют не только вычислить корни, а провести анализ их существования и их количества в зависимости от значений параметров, что часто бывает даже важнее для практического применения, чем конкретные значения корней.

К уравнениям, для которых известны аналитические решения, относятся алгебраические уравнения, не выше четвёртой степени: линейное уравнение , квадратное уравнение , кубическое уравнение и уравнение четвёртой степени . Алгебраические уравнения высших степеней в общем случае аналитического решения не имеют, хотя некоторые из них можно свести к уравнениям низших степеней.

Уравнение, в которые входят трансцендентные функции называются трансцендентными. Среди них аналитические решения известны для некоторых тригонометрических уравнений, поскольку нули тригонометрических функций хорошо известны.

В общем случае, когда аналитического решения найти не удается, применяют численные методы . Численные методы не дают точного решения, а только позволяют сузить интервал , в котором лежит корень, до определенного заранее заданного значения.

Примеры уравнений

См. также

Литература

  • Бекаревич, А. Б. Уравнения в школьном курсе математики / А. Б. Бекаревич. - М., 1968.
  • Маркушевич, Л. А. Уравнения и неравенства в заключительном повторении курса алгебры средней школы / Л. А. Маркушевич, Р. С. Черкасов. / Математика в школе. - 2004. - № 1.
  • Каплан Я. В. Рівняння. - Киев: Радянська школа, 1968.
  • Уравнение - статья из Большой советской энциклопедии
  • Уравнения // Энциклопедия Кольера. - Открытое общество. 2000.
  • Уравнение // Энциклопедия Кругосвет
  • Уравнение // Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977-1985.

Ссылки

  • EqWorld - Мир математических уравнений - содержит обширную информацию о математических уравнениях и системах уравнений.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Синонимы :

Антонимы :

  • Хаджимба, Рауль Джумкович
  • ЕС ЭВМ

Смотреть что такое "Уравнение" в других словарях:

    УРАВНЕНИЕ - (1) математическая запись задачи о разыскании таких значений аргументов (см. (2)), при которых значения двух данных (см.) равны. Аргументы, от которых зависят эти функции, называют неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения… … Большая политехническая энциклопедия

    УРАВНЕНИЕ - УРАВНЕНИЕ, уравнения, ср. 1. Действие по гл. уравнять уравнивать и состояние по гл. уравняться уравниваться. Уравнение в правах. Уравнение времени (перевод истинного солнечного времени в среднее солнечное время, принятое в общежитии и в науке;… … Толковый словарь Ушакова

    УРАВНЕНИЕ - (equation) Требование того, чтобы математическое выражение принимало определенное значение. Например, квадратное уравнение записывается в виде: ах2+bх+с=0. Решением является такие значения х, при котором данное уравнение становится тождеством. В… … Экономический словарь

    УРАВНЕНИЕ - математическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны. Аргументы, от которых зависят эти функции, называются неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения функций равны,… … Большой Энциклопедический словарь

    УРАВНЕНИЕ - УРАВНЕНИЕ, два выражения, соединенные знаком равенства; в эти выражения входят одна или несколько переменных, называемых неизвестными. Решить уравнение значит найти все значения неизвестных, при которых оно обращается в тождество, или установить … Современная энциклопедия

Линия на плоскости есть совокупность точек этой плоскости, обладающих определенными свойствами, при этом точки, не лежащие на данной линии, этими свойствами не обладают. Уравнение линии определяет аналитически выраженное соотношение между координатами точек, лежащих на этой линии. Пусть это соотношение задано уравнением

F(x,y )=0. (2.1)

Пара чисел, удовлетворяющая (2.1), – не произвольная: если х задано, то у не может быть каким угодно, значение у связано с х . При изменении х изменяется у , и точка с координатами (х,у ) описывает данную линию. Если координаты точки М 0 (х 0 ,у 0) удовлетворяют уравнению (2.1), т.е. F(х 0 ,у 0)=0 – верное равенство, то точка М 0 лежит на данной линии. Верно и обратное утверждение.

Определение. Уравнением линии на плоскости называется уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой линии .

Если известно уравнение некоторой линии, то исследование геометрических свойств этой линии можно свести к исследованию ее уравнения – в этом заключается одна из основных идей аналитической геометрии. Для исследования уравнений существуют хорошо разработанные методы математического анализа, которые упрощают изучение свойств линий.

При рассмотрении линий используется термин текущая точка линии – переменная точка М(х,у ), перемещающаяся вдоль этой линии. Координаты х и у текущей точки называются текущими координатами точки линии.

Если из уравнения (2.1) можно явным образом выразить у
через х , т. е. записать уравнение (2.1) в виде , то кривую, определяемую таким уравнением, называют графиком функции f(х) .

1. Дано уравнение: , или . Если х принимает произвольные значения, то у принимает значения, равные х . Следовательно, линия, определяемая этим уравнением, состоит из точек, равноотстоящих от координатных осей Ох и Оу – это биссектриса I–III координатных углов (прямая на рис. 2.1).

Уравнение , или , определяет биссектрису II–IV координатных углов (прямая на рис. 2.1).

0 х 0 х С 0 х

рис. 2.1 рис. 2.2 рис. 2.3

2. Дано уравнение: , где С – некоторая постоянная. Это уравнение можно записать иначе: . Этому уравнению удовлетворяют те и только те точки, ординаты у которых равны С при любом значении абсциссы х . Эти точки лежат на прямой, параллельной оси Ох (рис. 2.2). Аналогично, уравнение определяет прямую, параллельную оси Оу (рис. 2.3).

Не всякое уравнение вида F(x,y )=0 определяет линию на плоскости: уравнению удовлетворяет единственная точка – О(0,0), а уравнению не удовлетворяет ни одна точка на плоскости.

В приведенных примерах мы по заданному уравнению строили определяемую этим уравнением линию. Рассмотрим обратную задачу: составить по заданной линии ее уравнение.


3. Составить уравнение окружности с центром в точке Р(a,b ) и
радиусом R.

○ Окружность с центром в точке Р и радиусом R есть совокупность точек, отстоящих от точки Р на расстоянии R. Это значит, что для любой точки М, лежащей на окружности, МР= R, если же точка М не лежит на окружности, то МР ≠ R.. ●