Сказки

Понятие конуса. Конус как геометрическая фигура Что такое длина образующей конуса

Который исходит из одной точки (вершина конуса) и которые проходят через плоскую поверхность.

Бывает, конусом называется часть тела, которая имеет ограниченный объём и которая получена путем объединения каждого отрезка, которые соединяют вершину и точки плоской поверхности. Последняя, в таком случае, является основанием конуса , а конус называется опирающимся на данное основание.

Когда основание конуса является многоугольником - это уже пирамида .

Круговой конус - это тело, состоящее из круга (основание конуса), точки, которая не лежит в плоскости этого круга (вершина конуса и всех отрезков , которые соединяют вершину конуса с точками основания).

Отрезки, которые соединяют вершину конуса и точки окружности основания, называют образующими конуса . Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности правильной n -угольной пирамиды, вписанной в конус:

S n =½P n l n ,

где P n - периметр основания пирамиды, а l n - апофема.

По тому же принципу: для площади боковой поверхности усеченного конуса с радиусами оснований R 1 , R 2 и образующей l получаем такую формулу:

S=(R 1 +R 2)l .

Прямой и косой круговой конусы с равным основанием и высотой. Эти тела обладают одинаковым объёмом:

Свойства конуса.

Когда площадь основания имеет предел, значит, объём конуса тоже имеет предел и равен третьей части произведения высоты на площадь основания.

где S — площадь основания, H — высота.

Т.о., каждый конус, который опирается на это основание и имеющие вершину, которая находится на плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, так как их высоты одинаковые.

Центр тяжести каждого конуса с объёмом, имеющим предел, находится на четверти высоты от основания.
Телесный угол при вершине прямого кругового конуса можно выразить такой формулой:

где α — угол раствора конуса.

Площадь боковой поверхности такого конуса, формула:

а полная площадь поверхности (то есть сумма площадей боковой поверхности и основания), формула:

S=πR(l+R),

где R — радиус основания, l — длина образующей.

Объём кругового конуса , формула:

Для усечённого конуса (не только прямого или кругового) объём, формула:

где S 1 и S 2 — площадь верхнего и нижнего оснований,

h и H — расстояния от плоскости верхнего и нижнего основания до вершины.

Пересечение плоскости с прямым круговым конусом - это один из конических сечений.

На этом уроке мы познакомимся с такой фигурой, как конус. Изучим элементы конуса, виды его сечений. И узнаем, с какой фигурой конус имеет много общих свойств.

Рис.1. Предметы конусовидной формы

В мире огромное количество вещей имеют форму конуса. Зачастую мы их даже не замечаем. Дорожные конусы, предупреждающие о дорожных работах, крыши замков и домов, рожок для мороженого - все эти предметы имеют форму конуса (см. рис. 1).

Рис. 2. Прямоугольный треугольник

Рассмотрим произвольный прямоугольный треугольник с катетами и (см. рис. 2).

Рис. 3. Прямой круговой конус

Вращая данный треугольник вокруг одного из катетов (не нарушая общности, пусть это будет катет ), гипотенуза опишет поверхность, а катет опишет круг. Таким образом, получится тело, которое называют прямым круговым конусом (см. рис. 3).

Рис. 4. Виды конусов

Раз уж мы говорим о прямом круговом конусе, видимо, существует и непрямой, и не круговой? Если в основании конуса круг, но вершина не проектируется в центр этого круга, то такой конус называют наклонным. Если же основание - не круг, а произвольная фигура, то такое тело также иногда называют конусом, однако, разумеется, не круговым (см. рис. 4).

Таким образом, мы снова приходим к аналогии, уже знакомой нам по работе с цилиндрами. По сути конус - это что-то вроде пирамиды, просто у пирамиды в основании многоугольник, а у конуса (который мы будем рассматривать) - круг (см. рис. 5).

Отрезок оси вращения (в нашем случае это катет ), заключенный внутри конуса, называют осью конуса (см. рис. 6).

Рис. 5. Конус и пирамида

Рис. 6. - ось конуса

Рис. 7. Основание конуса

Круг, образованный вращением второго катета (), называют основанием конуса (см. рис. 7).

А длина этого катета является радиусом основания конуса (или, проще говоря, радиусом конуса) (см. рис. 8).

Рис. 8. - радиус конуса

Рис. 9. - вершина конуса

Вершина острого угла вращающегося треугольника, лежащая на оси вращения, называется вершиной конуса (см. рис. 9).

Рис. 10. - высота конуса

Высота конуса - отрезок, проведенный из вершины конуса перпендикулярно его основанию (см. рис. 10).

Здесь у вас может возникнуть вопрос: чем же тогда отличается отрезок оси вращения от высоты конуса? На самом деле они совпадают только в случае прямого конуса, если же вы будете рассматривать наклонный конус, то заметите, что это два совершенно разных отрезка (см. рис. 11).

Рис. 11. Высота в наклонном конусе

Вернемся к прямому конусу.

Рис. 12. Образующие конуса

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности ее основания, называют образующими конуса. Кстати, все образующие прямого конуса равны между собой (см. рис. 12).

Рис. 13. Природные конусоподобные объекты

В переводе с греческого konos означает «сосновая шишка». В природе достаточно объектов, имеющих форму конуса: ель, гора, муравейник и др. (см. рис. 13).

Но мы-то привыкли, что конус - прямой. У него равные между собой образующие, а высота совпадает с осью. Такой конус мы назвали прямым конусом. В курсе школьной геометрии обычно рассматриваются именно прямые конусы, причем по умолчанию любой конус считается прямым круговым. Но мы уже говорили о том, что бывают не только прямые конусы, но и наклонные.

Рис. 14. Перпендикулярное сечение

Вернемся к прямым конусам. «Разрежем» конус плоскостью, перпендикулярной оси (см. рис. 14).

Какая же фигура окажется на срезе? Конечно же, круг! Вспомним, что плоскость проходит перпендикулярно оси, а значит, параллельно основанию, которое является кругом.

Рис. 15. Наклонное сечение

А теперь давайте постепенно наклонять плоскость сечения. Тогда наш круг начнет постепенно превращаться во все более вытянутый овал. Но только до тех пор, пока плоскость сечения не столкнется с окружностью основания (см. рис. 15).

Рис. 16. Виды сечений на примере морковки

Любители познавать мир экспериментальным путем могут в этом убедиться с помощью морковки и ножа (попробуйте отрезать от морковки пластинки под разным углом) (см. рис. 16).

Рис. 17. Осевое сечение конуса

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называют осевым сечением конуса (см. рис. 17).

Рис. 18. Равнобедренный треугольник - фигура сечения

Здесь же мы получим совершенно другую фигуру сечения: треугольник. Данный треугольник является равнобедренным (см. рис. 18).

На этом уроке мы узнали о цилиндрической поверхности, видах цилиндра, элементах цилиндра и сходстве цилиндра с призмой.

Образующая конуса равна 12 см и наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов. Найти площадь осевого сечения конуса.

Решение

Рассмотрим искомое осевое сечение. Это равнобедренный треугольник, в котором боковые стороны равны 12, а угол при основании - 30 градусов. Дальше можно действовать по-разному. Либо можно провести высоту, найти ее (половина гипотенузы, 6), потом основание (по теореме Пифагора, ), а затем площадь .

Рис. 19. Иллюстрация к задаче

Либо сразу найти угол при вершине - 120 градусов - и посчитать площадь как полупроизведение сторон на синус угла между ними (ответ будет, тот же).

Геометрия. Учебник для 10-11 классов. Атанасян Л.С. и др. 18-е изд. - М.: Просвещение, 2009. - 255 с.
Геометрия 11 класс, А.В. Погорелов, М.: Просвещение, 2002
Рабочая тетрадь по геометрии 11 класс, В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков

Yaklass.ru ().
Uztest.ru ().
Bitclass.ru ().

Домашнее задание

) - тело в евклидовом пространстве , полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, имеющую ограниченный объём и полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Если основание конуса представляет собой многоугольник , такой конус является пирамидой .

Энциклопедичный YouTube

1 / 4

✪ Как сделать конус из бумаги.

Субтитры

Связанные определения

Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса .
Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой ) поверхностью конуса . Образующая поверхность конуса является конической поверхностью .
Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса .
Угол раствора конуса - угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине конуса, внутри конуса).
Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым . При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса .
Косой (наклонный ) конус - конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
Круговой конус - конус, основание которого является кругом.
Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой , содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).
Конус, опирающийся на эллипс , параболу или гиперболу , называют соответственно эллиптическим , параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).
Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом , или коническим слоем .

Свойства

Если площадь основания конечна, то объём конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания.

V = 1 3 S H , {\displaystyle V={1 \over 3}SH,}

где S - площадь основания, H - высота. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание (конечной площади) и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.

Центр тяжести любого конуса с конечным объёмом лежит на четверти высоты от основания.
Телесный угол при вершине прямого кругового конуса равен

2 π (1 − cos ⁡ α 2) , {\displaystyle 2\pi \left(1-\cos {\alpha \over 2}\right),} где α - угол раствора конуса.

Площадь боковой поверхности такого конуса равна

S = π R l , {\displaystyle S=\pi Rl,}

а полная площадь поверхности (то есть сумма площадей боковой поверхности и основания)

S = π R (l + R) , {\displaystyle S=\pi R(l+R),} где R - радиус основания, l = R 2 + H 2 {\displaystyle l={\sqrt {R^{2}+H^{2}}}} - длина образующей.

Объём кругового (не обязательно прямого) конуса равен

V = 1 3 π R 2 H . {\displaystyle V={1 \over 3}\pi R^{2}H.}

Для усечённого конуса (не обязательно прямого и кругового) объём равен:

V = 1 3 (H S 2 − h S 1) , {\displaystyle V={1 \over 3}(HS_{2}-hS_{1}),}

где S 1 и S 2 - площади соответственно верхнего (ближнего к вершине) и нижнего оснований, h и H - расстояния от плоскости соответственно верхнего и нижнего основания до вершины.

Пересечение плоскости с прямым круговым конусом является одним из конических сечений (в невырожденных случаях - эллипсом , параболой или гиперболой , в зависимости от положения секущей плоскости).

Уравнение конуса

Уравнения, задающие боковую поверхность прямого кругового конуса с углом раствора 2Θ , вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью Oz :

В сферической системе координат с координатами (r , φ, θ) :

θ = Θ . {\displaystyle \theta =\Theta .}

В цилиндрической системе координат с координатами (r , φ, z ) :

z = r ⋅ ctg ⁡ Θ {\displaystyle z=r\cdot \operatorname {ctg} \Theta } или r = z ⋅ tg ⁡ Θ . {\displaystyle r=z\cdot \operatorname {tg} \Theta .}

В декартовой системе координат с координатами (x , y , z ) :

z = ± x 2 + y 2 ⋅ ctg ⁡ Θ . {\displaystyle z=\pm {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\cdot \operatorname {ctg} \Theta .} Это уравнение в каноническом виде записывается как

где константы a , с определяются пропорцией c / a = cos ⁡ Θ / sin ⁡ Θ . {\displaystyle c/a=\cos \Theta /\sin \Theta .} Отсюда видно, что боковая поверхность прямого кругового конуса представляет собой поверхность второго порядка (она носит название коническая поверхность ). В общем виде коническая поверхность второго порядка опирается на эллипс; в подходящей декартовой координатной системе (оси Ох и Оу параллельны осям эллипса, вершина конуса совпадает с началом координат, центр эллипса лежит на оси Oz ) её уравнение имеет вид

x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 0 , {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0,}

причём a/c и b/c равны полуосям эллипса. В наиболее общем случае, когда конус опирается на произвольную плоскую поверхность, можно показать, что уравнение боковой поверхности конуса (с вершиной в начале координат) задаётся уравнением f (x , y , z) = 0 , {\displaystyle f(x,y,z)=0,} где функция f (x , y , z) {\displaystyle f(x,y,z)} является однородной , то есть удовлетворяющей условию f (α x , α y , α z) = α n f (x , y , z) {\displaystyle f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=\alpha ^{n}f(x,y,z)} для любого действительного числа α .

Развёртка

Прямой круговой конус как тело вращения образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов, где h - высота конуса от центра основания до вершины - является катетом прямоугольного треугольника, вокруг которого происходит вращение. Второй катет прямоугольного треугольника r - радиус в основании конуса. Гипотенузой прямоугольного треугольника является l - образующая конуса.

В создании развёртки конуса могут использоваться всего две величины r и l . Радиус основания r определяет в развертке круг основания конуса, а сектор боковой поверхности конуса определяет образующая боковой поверхности l , являющаяся радиусом сектора боковой поверхности. Угол сектора φ {\displaystyle \varphi } в развёртке боковой поверхности конуса определяется по формуле:

φ = 360°·(r /l ) .

Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга - основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга,- вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания (рис. 1) Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими, конуса. Все образующие конуса равны друг другу. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.
Рис. 1
Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. Наглядно прямой круговой конус можно представлять себе как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси (рис.2).
Рис. 2
Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту.
Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса (рис. 3). В частности, равнобедренным треугольником является осевое сечение конуса. Это сечение, которое проходит через ось конуса (рис. 4).
Рис. 3 Рис. 4

Площадь поверхности конуса
Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих (рис. 2,а,б). Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор (рис. 2,6), радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора - длине окружности основания конуса.
За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки. Выразим площадь Sбок боковой поверхности конуса через его образующую l и радиус основания r.
Площадь кругового сектора - развертки боковой поверхности конуса (рис.2) - равна (Пl2а)/360, где а - градусная мера дуги ABA", поэтому
Sбок = (Пl2а)/360. (*)
Выразим а через l и r. Так как длина дуги ABA" равна 2Пr (длине окружности основания конуса), то 2Пr = Пlа/180, откуда a=360r/l. Подставив это выражение в формулу (*), получим:
Sбок = Пrl. (**)
Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.
Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Для вычисления площади Sкон полной поверхности конуса получается формула: Sкон = Пr (l + r). (***)

Усеченный конус
Возьмем произвольный конус и проведем секущую плоскость, перпендикулярную к его оси. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей представляет собой конус, а другая называется усеченным конусом. Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усеченного конуса, а отрезок, соединяющий их центры, - высотой усеченного конуса.

Часть конической поверхности, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, заключенные между основаниями, называются образующими усеченного конуса. Все образующие усеченного конуса равны друг другу (докажите это самостоятельно).
Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую: Sбок = П (r + r1) l.

Дополнительная информация о конусе
1. В геологии существует понятие «конус выноса». Это форма рельефа, образованная скоплением обломочных пород (гальки, гравия, песка), вынесенными горными реками на предгорную равнину или в более плоскую широкую долину.
2. В биологии есть понятие «конус нарастания». Это верхушка побега и корня растений, состоящая из клеток образовательной ткани.
3. «Конусами» называется семейство морских моллюсков подкласса переднежаберных. Раковина коническая (2–16 см), ярко окрашенная. Конусов свыше 500 видов. Живут в тропиках и субтропиках, являются хищниками, имеют ядовитую железу. Укус конусов очень болезнен. Известны смертельные случаи. Раковины используются как украшения, сувениры.
4. По статистике на Земле ежегодно гибнет от разрядов молний 6 человек на 1 млн. жителей (чаще в южных странах). Этого бы не случалось, если бы везде были громоотводы, так как образуется конус безопасности. Чем выше громоотвод, тем больше объем такого конуса. Некоторые люди пытаются спрятаться от разрядов под деревом, но дерево не проводник, на нем заряды накапливаются и дерево может быть источником напряжения.
5. В физике встречается понятие «телесный угол». Это конусообразный угол, вырезанный в шаре. Единица измерения телесного угла – 1 стерадиан. 1 стерадиан – это телесный угол, квадрат радиуса которого равен площади части сферы, которую он вырезает. Если в этот угол поместить источник света в 1 канделу (1 свечу), то получим световой поток в 1 люмен. Свет от киноаппарата, прожектора распространяется в виде конуса.