Igre

Prvo je razmerje 1 3. Razmerja. Kako izračunati delež

Formula razmerja

Razmerje je enakost dveh razmerij, ko je a:b=c:d

razmerje 1 : 10 je enako razmerju 7 : 70, ki ga lahko zapišemo tudi kot ulomek: 1 10 = 7 70 se glasi: "ena je proti desetim, kot je sedem proti sedemdesetim"

Osnovne lastnosti razmerja

Produkt skrajnih členov je enak produktu srednjih členov (navzkrižno): če je a:b=c:d , potem je a⋅d=b⋅c

1 10 ✕ 7 70 1 ⋅ 70 = 10 ⋅ 7

Inverzija razmerja: če je a:b=c:d potem je b:a=d:c

1 10 7 70 10 1 = 70 7

Prerazporeditev srednjih členov: če a:b=c:d potem a:c=b:d

1 10 7 70 1 7 = 10 70

Prerazporeditev skrajnih členov: če je a:b=c:d potem je d:b=c:a

1 10 7 70 70 10 = 7 1

Reševanje razmerja z eno neznanko | Enačba

1 : 10 = x : 70 oz 1 10 = x 70

Če želite najti x, morate dve znani števili pomnožiti navzkrižno in deliti z nasprotno vrednostjo

x = 1 ⋅ 70 10 = 7

Kako izračunati delež

Naloga: morate piti 1 tableto aktivnega oglja na 10 kilogramov teže. Koliko tablet morate vzeti, če oseba tehta 70 kg?

Naredimo razmerje: 1 tableta - 10 kg x tablete - 70 kg Če želite najti X, morate dve znani števili pomnožiti navzkrižno in deliti z nasprotno vrednostjo: 1 tableta x tablete✕ 10 kg 70 kg x = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 odgovor: 7 tablet

Naloga: v petih urah Vasya napiše dva članka. Koliko člankov bo napisal v 20 urah?

Naredimo razmerje: 2 člena - 5 ur xčlanki - 20 ur x = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 odgovor: 8 člankov

Bodočim maturantom lahko povem, da mi je sposobnost risanja proporcev koristila tako za sorazmerno pomanjševanje slik kot pri HTML postavitvi internetne strani in v vsakdanjih situacijah.

Razmerje (v matematiki) je razmerje med dvema ali več števili iste vrste. Razmerja primerjajo absolutne količine ali dele celote. Razmerja se izračunavajo in zapisujejo na različne načine, vendar so osnovna načela za vsa razmerja enaka.

Koraki

1. del

Opredelitev razmerij

Uporaba razmerij. Razmerja se uporabljajo tako v znanosti kot v Vsakdanje življenje za primerjavo vrednosti. Najenostavnejša razmerja povezujejo le dve števili, obstajajo pa razmerja, ki primerjajo tri ali več vrednosti. V vsaki situaciji, v kateri je prisotnih več kot ena količina, je mogoče razmerje zapisati. S povezovanjem določenih vrednosti lahko razmerja na primer predlagajo, kako povečati količino sestavin v receptu ali snovi v kemijski reakciji.

Določitev razmerij. Razmerje je razmerje med dvema (ali več) vrednostma iste vrste. Na primer, če za torto potrebujete 2 skodelici moke in 1 skodelico sladkorja, je razmerje med moko in sladkorjem 2 proti 1.
- Razmerja je mogoče uporabiti tudi v primerih, ko dve količini nista med seboj povezani (kot v primeru torte). Na primer, če je v razredu 5 deklet in 10 fantov, potem je razmerje med deklicami in fanti 5 proti 10. Ti vrednosti (število fantov in število deklet) sta neodvisni druga od druge, to pomeni, da se bodo njihove vrednosti spremenile, če bo nekdo zapustil razred ali bo v razred prišel nov učenec. Razmerja preprosto primerjajo vrednosti količin.
Bodi pozoren na različne poti predstavitev razmerij. Odnosi so lahko predstavljeni z besedami ali z uporabo matematičnih simbolov.
- Zelo pogosto so razmerja izražena z besedami (kot je prikazano zgoraj). Ta oblika predstavljanja odnosov se uporablja predvsem v vsakdanjem življenju, daleč od znanosti.
- Odnose lahko izrazimo tudi z dvopičjem. Ko primerjate dve števili v razmerju, boste uporabili eno dvopičje (na primer 7:13); Ko primerjate tri ali več vrednosti, postavite dvopičje med vsak par številk (na primer 10:2:23). V našem primeru razreda bi lahko razmerje deklet in fantov izrazili kot 5 deklet : 10 fantov. Ali takole: 5:10.
- Manj običajno so razmerja izražena s poševnico. V primeru razreda bi to lahko zapisali takole: 5/10. Kljub temu to ni ulomek in se takšno razmerje ne bere kot ulomek; Poleg tega ne pozabite, da v razmerju številke ne predstavljajo dela celote.
2. del
Uporaba razmerij
1. Poenostavite razmerje. Razmerje lahko poenostavimo (podobno kot ulomke), tako da vsak člen (število) razmerja delimo z . Vendar ne pozabite na prvotne vrednosti razmerja.
  - V našem primeru je v razredu 5 deklet in 10 fantov; razmerje je 5:10. Največji skupni delilnik razmerje je enako 5 (ker sta tako 5 kot 10 deljiva s 5). Vsako število razmerja delite s 5, da dobite razmerje 1 deklica proti 2 fantoma (ali 1:2). Vendar pa pri poenostavitvi razmerja upoštevajte prvotne vrednosti. V našem primeru v razredu niso 3 učenci, ampak 15. Poenostavljeno razmerje primerja število fantov in deklet. To pomeni, da sta za vsako dekle 2 fanta, vendar v razredu ni 2 fantov in 1 dekleta.
  - Nekaterih odnosov ni mogoče poenostaviti. Na primer, razmerje 3:56 ni poenostavljeno, ker ta števila nimajo skupnih faktorjev (3 je praštevilo in 56 ni deljivo s 3).
2. Za povečanje ali zmanjšanje razmerja uporabite množenje ali deljenje. Pogoste težave vključujejo povečanje ali zmanjšanje dveh vrednosti, ki sta sorazmerni druga z drugo. Če vam je dano razmerje in morate najti ustrezno večje ali manjše razmerje, prvotno razmerje pomnožite ali delite z določenim številom.
  - Na primer, pek mora potrojiti količino sestavin, navedenih v receptu. Če recept zahteva razmerje med moko in sladkorjem 2 proti 1 (2:1), bo pek vsak izraz v razmerju pomnožil s 3, da bo dobil razmerje 6:3 (6 skodelic moke na 3 skodelice sladkorja).
  - Po drugi strani pa, če mora pek prepoloviti količino sestavin, navedenih v receptu, bo pek vsak člen razmerja delil z 2 in dobil razmerje 1:½ (1 skodelica moke na 1/2 skodelice sladkorja). ).
3. Iskanje neznane vrednosti pri dveh enakovrednih razmerjih. To je problem, pri katerem morate najti neznano spremenljivko v eni relaciji z uporabo druge relacije, ki je enakovredna prvi. Za rešitev takšnih težav uporabite. Vsako razmerje zapiši kot navadni ulomek, med njim postavi znak enačaja in navzkrižno pomnoži njihove člene.
  - Na primer, podana je skupina študentov, v kateri sta 2 fanta in 5 deklet. Koliko bo dečkov, če se število deklet poveča na 20 (delež ostane enak)? Najprej zapišite dve razmerji - 2 fanta:5 deklet in X fantje: 20 deklet. Zdaj ta razmerja zapišite kot ulomke: 2/5 in x/20. Pomnožite člene ulomkov navzkrižno in dobite 5x = 40; zato je x = 40/5 = 8.
3. del
Pogoste napake
1. Izogibajte se seštevanju in odštevanju pri besednih težavah z razmerjem. Veliko besednih nalog je videti nekako takole: »Recept zahteva 4 gomolje krompirja in 5 korenčkov korenja. Če želite dodati 8 krompirjev, koliko korenčkov boste potrebovali, da bo razmerje enako? Pri reševanju takšnih problemov se učenci pogosto zmotijo in prvotnemu številu dodajo enako število sestavin. Če pa želite ohraniti razmerje, morate uporabiti množenje. Tu so primeri pravilnih in nepravilnih rešitev:
  - Napačno: “8 - 4 = 4 - torej smo dodali 4 gomolje krompirja. To pomeni, da morate vzeti 5 korenčkov korenja in jim dodati še 4 ... Stop! Razmerja se ne izračunajo na ta način. Vredno je poskusiti znova."
  - Pravilno: “8 ÷ 4 = 2 - kar pomeni, da smo količino krompirja pomnožili z 2. V skladu s tem je treba tudi 5 korenčkov pomnožiti z 2. 5 x 2 = 10 - v recept morate dodati 10 korenčkov korenja. ”

Za reševanje večine problemov v matematiki Srednja šola Potrebno je znanje risanja proporcev. Ta preprosta veščina vam bo pomagala ne le izvajati zapletene vaje iz učbenika, temveč se boste poglobili tudi v samo bistvo matematične znanosti. Kako narediti razmerje? Ugotovimo zdaj.

Večina preprost primer je problem, kjer so znani trije parametri, četrtega pa je treba najti. Deleži so seveda različni, vendar je pogosto treba najti neko število z uporabo odstotkov. Na primer, fant je imel skupaj deset jabolk. Četrti del je podaril mami. Koliko jabolk je ostalo dečku? To je najpreprostejši primer, ki vam bo omogočil ustvarjanje razmerja. Glavna stvar je narediti to. Na začetku je bilo deset jabolk. Naj bo 100%. Vsa njegova jabolka smo označili. Dal je eno četrtino. 1/4=25/100. To pomeni, da mu je ostalo: 100 % (prvotno je bilo) - 25 % (dal je) = 75 %. Ta številka prikazuje odstotek količine preostalega sadja v primerjavi s prvotno razpoložljivo količino. Zdaj imamo tri števila, s katerimi že lahko rešimo delež. 10 jabolk - 100%, X jabolka - 75%, kjer je x zahtevana količina sadja. Kako narediti razmerje? Morate razumeti, kaj je to. Matematično je to videti takole. Znak enačaja je postavljen za vaše razumevanje.

10 jabolk = 100%;

x jabolka = 75 %.

Izkazalo se je, da je 10/x = 100 %/75. To je glavna lastnost razmerij. Konec koncev, večji kot je x, večji je odstotek tega števila od izvirnika. Rešimo ta delež in ugotovimo, da je x = 7,5 jabolk. Ne vemo, zakaj se je fant odločil, da bo dal kar cel znesek. Zdaj veste, kako narediti razmerje. Glavna stvar je najti dve razmerji, od katerih ena vsebuje neznano neznano.

Reševanje razmerja se pogosto zmanjša na preprosto množenje in nato deljenje. Šole otrokom ne pojasnijo, zakaj je tako. Čeprav je pomembno razumeti, da so sorazmerna razmerja matematična klasika, samo bistvo znanosti. Če želite rešiti proporce, morate znati ravnati z ulomki. Na primer, pogosto morate odstotke pretvoriti v ulomke. To pomeni, da snemanje 95% ne bo delovalo. In če takoj napišete 95/100, potem lahko znatno zmanjšate, ne da bi začeli glavni izračun. Vredno je povedati takoj, da če se izkaže, da je vaš delež z dvema neznankama, ga ni mogoče rešiti. Tu ti ne bo pomagal noben profesor. In vaša naloga ima najverjetneje bolj zapleten algoritem za pravilna dejanja.

Poglejmo še en primer, kjer ni interesa. Motorist je kupil 5 litrov bencina za 150 rubljev. Razmišljal je, koliko bi plačal za 30 litrov goriva. Za rešitev tega problema označimo z x potrebno količino denarja. To težavo lahko rešite sami in nato preverite odgovor. Če še niste razumeli, kako narediti razmerje, si oglejte. 5 litrov bencina je 150 rubljev. Kot v prvem primeru zapišemo 5l - 150r. Zdaj pa poiščimo tretjo številko. Seveda je to 30 litrov. Strinjam se, da je v tej situaciji primeren par 30 l - x rubljev. Preidimo na matematični jezik.

5 litrov - 150 rubljev;

30 litrov - x rubljev;

Rešimo ta delež:

x = 900 rubljev.

Tako smo se odločili. Pri nalogi ne pozabite preveriti ustreznosti odgovora. Zgodi se, da z napačno odločitvijo avtomobili dosežejo nerealne hitrosti 5000 kilometrov na uro in podobno. Zdaj veste, kako narediti razmerje. Lahko ga tudi rešite. Kot lahko vidite, v tem ni nič zapletenega.

Osnova matematično raziskovanje je zmožnost pridobivanja znanja o določenih količinah s primerjavo z drugimi količinami, ki bodisi enaka, oz več oz manj kot tiste, ki so predmet raziskave. To se običajno naredi z uporabo serije enačbe in razmerja. Ko uporabljamo enačbe, določimo iskano količino tako, da jo najdemo enakost z neko drugo že znano količino ali količinami.

Vendar se pogosto zgodi, da primerjamo neznano količino z drugimi, ki ni enako njo, ampak bolj ali manj kot njo. To zahteva drugačen pristop k obdelavi podatkov. Morda bomo morali vedeti, npr. kako dolgo ena količina je večja od druge, oz kolikokrat eno vsebuje drugo. Da bi našli odgovor na ta vprašanja, bomo ugotovili, kaj je razmerje dve velikosti. Eno razmerje se imenuje aritmetika, in drugo geometrijski. Čeprav velja omeniti, da oba izraza nista bila sprejeta po naključju ali zgolj zaradi razlikovanja. Tako aritmetične kot geometrijske relacije veljajo tako za aritmetiko kot za geometrijo.

Kot sestavni del širokega in pomembnega predmeta je razmerje odvisno od razmerij, zato je potrebno jasno in popolno razumevanje teh konceptov.

338. Aritmetična relacija to Razlikamed dvema količinama ali nizom količin. Same količine se imenujejo člani razmerja, to je pojmov, med katerimi obstaja razmerje. Tako je 2 aritmetično razmerje 5 in 3. To se izrazi tako, da se med dve vrednosti postavi znak minus, to je 5 - 3. Seveda je izraz aritmetično razmerje in njegov opis po točkah praktično neuporaben, saj le beseda je zamenjana Razlika z znakom minus v izrazu.

339. Če sta oba člena aritmetične relacije pomnožiti oz razdeliti za enak znesek, torej razmerje, bo na koncu pomnožen ali deljen s tem zneskom.
Torej, če imamo a - b = r
Nato obe strani pomnožite s h, (Ax. 3.) ha - hb = hr
In deljenje s h, (Ax. 4.) $\frac(a)(h)-\frac(b)(h)=\frac(r)(h)$

340. Če se členi aritmetičnega razmerja dodajo ali odštejejo od ustreznih členov drugega, potem bo razmerje vsote ali razlike enako vsoti ali razliki obeh razmerij.
Če a - b
In d - h,
sta dve zvezi,
Potem (a + d) - (b + h) = (a - b) + (d - h). Kar je v vsakem primeru = a + d - b - h.
In (a - d) - (b - h) = (a - b) - (d - h). Kar je v vsakem primeru = a - d - b + h.
Tako je aritmetično razmerje 11 - 4 enako 7
In aritmetična relacija 5 - 2 je 3
Razmerje vsote členov 16 - 6 je 10, - vsota razmerij.
Razmerje razlike členov 6 - 2 je 4, - razlika razmerij.

341. Geometrijsko razmerje - je razmerje med količinami, ki se izraža ZASEBNO, če eno količino delimo z drugo.
Tako lahko razmerje 8 proti 4 zapišemo kot 8/4 ali 2. To je količnik 8, deljeno s 4. Z drugimi besedami, kaže, kolikokrat 4 vsebuje 8.

Na enak način lahko določimo razmerje med katero koli količino in drugo tako, da prvo delimo z drugo ali, kar je načeloma isto, tako da prvo naredimo za števec ulomka, drugo pa za imenovalec.
Torej je razmerje med a in b $\frac(a)(b)$
Razmerje med d + h in b + c je $\frac(d+h)(b+c)$.

342. Geometrično zvezo zapišemo tudi tako, da postavimo dve točki eno nad drugo med količinama, ki ju primerjamo.
Tako je a:b razmerje med a in b, 12:4 pa je razmerje med 12 in 4. Obe količini skupaj tvorita par, v katerem se imenuje prvi izraz predhodnik, in zadnji - posledično.

343. Ta zapis v obliki pike in drugi v obliki ulomka sta po potrebi zamenljiva, pri čemer predhodnik postane števec ulomka, posledično pa imenovalec.
Torej je 10:5 enako kot $\frac(10)(5)$ in b:d je enako kot $\frac(b)(d)$.

344. Če je kateri koli od teh treh pomenov: predhodnik, posledica in razmerje dva, potem se najde tretji.

Naj bo a= predhodnik, c= konsekvent, r= razmerje.
Po definiciji je $r=\frac(a)(c)$, kar pomeni, da je razmerje enako predhodniku, deljenemu s posledikom.
Če pomnožimo s c, a = cr, to pomeni, da je predhodnik enak posledičnemu kratniku razmerja.
Delimo z r, $c=\frac(a)(r)$, to pomeni, da je konsekvent enak antecedentu, deljenemu z razmerjem.

oz. 1. Če imata dva para enaka predhodnika in posledice, sta enaka tudi njuna razmerja.

oz. 2. Če imata dva para enaka razmerja in predhodnika, potem sta konsekventa enaka, in če sta razmerja in konsekvenca enaka, sta predhodnika enaka.

345. Če se primerjata dve količini enaka, potem je njuno razmerje enako ena ali razmerje enakosti. Razmerje 3*6:18 je enako ena, saj je količnik katere koli količine deljen sam s seboj enak 1.

Če predhodnik para več, kot posledica, potem je razmerje večje od ena. Ker je dividenda večja od delitelja, je količnik večji od ena. Torej je razmerje 18:6 3. To se imenuje razmerje večjo neenakost.

Po drugi strani pa, če predhodnik manj kot posledica, potem je razmerje manjše od ena in to imenujemo razmerje manj neenakosti. Torej je razmerje 2:3 manjše od ena, ker je dividenda manjša od delitelja.

346. Vzvratno razmerje je razmerje dveh recipročnih vrednosti.
Torej je obratno razmerje 6 proti 3 proti, to je:.
Neposredna povezava med a in b je $\frac(a)(b)$, to je predhodnik, deljen s konsekventom.
Inverzno razmerje je $\frac(1)(a)$:$\frac(1)(b)$ ali $\frac(1)(a).\frac(b)(1)=\frac(b) (a)$.
to je kosekvent b, deljen z antecedentom a.

Zato je izraženo obratno razmerje z obračanjem ulomka, ki prikazuje neposredno razmerje, ali, ko snemanje poteka s pomočjo točk, obračanje vrstnega reda pisanja članov.
Tako je a proti b v nasprotni smeri kot b proti a.

347. Kompleksno razmerje to je razmerje dela ustrezni izrazi z dvema ali več enostavnimi razmerji.
Torej je razmerje 6:3, enako 2
In razmerje 12:4 je enako 3
Njihovo razmerje je 72:12 = 6.

Tukaj dobimo zapleteno relacijo z množenjem dveh predhodnikov in tudi dveh posledic enostavnih relacij.
Torej je razmerje sestavljeno
Iz razmerja a:b
In razmerja c:d
in razmerja h:y
To je relacija $ach:bdy=\frac(ach)(bdy)$.
Zapleten odnos ni nič drugačen narave iz katerega koli drugega razmerja. Ta izraz se uporablja za prikaz izvora odnosa v določenih primerih.

oz. Kompleksno razmerje je enako produktu enostavnih razmerij.
Razmerje a:b je enako $\frac(a)(b)$
Razmerje c:d je enako $\frac(c)(d)$
Razmerje h:y je enako $\frac(h)(y)$
In razmerje, dodano iz teh treh, bo ach/bdy, kar je produkt ulomkov, ki izražajo enostavna razmerja.

348. Če je v zaporedju odnosov v vsakem prejšnjem paru konsekvent antecedent v naslednjem, potem razmerje med prvim predhodnikom in zadnjim konsekventom je enako tistemu, ki ga dobimo iz vmesnih razmerij.
Torej v številnih razmerjih
a:b
b:c
c:d
d:h
razmerje a:h je enako razmerju, seštetemu iz razmerij a:b in b:c ter c:d in d:h. Torej je kompleksno razmerje v zadnjem članku $\frac(abcd)(bcdh)=\frac(a)(h)$ ali a:h.

Na enak način vse količine, ki so hkrati predhodnice in posledice bo izginilo, ko bo produkt ulomkov poenostavljen na nižje člene in bo preostanek kompleksnega razmerja izražen s prvim predhodnikom in zadnjim konsekventom.

349. Poseben razred kompleksnih relacij dobimo z množenjem preproste relacije z sebe ali drugemu enaka razmerje. Te relacije imenujemo dvojno, trojni, štirikrat, in tako naprej, v skladu s številom operacij množenja.

Razmerje, sestavljeno iz dva enakih razmerjih, tj. kvadrat dvojno razmerje.

Sestavljen iz tri, to je kocka preprosta relacija se imenuje trojni, in tako naprej.

Podobno razmerje kvadratni koreni dveh količin imenujemo razmerje kvadratni koren, in razmerje kubične korenine- razmerje kockasti koren, in tako naprej.
Torej je preprosto razmerje a proti b a:b
Dvojno razmerje med a in b je a 2:b 2
Trojno razmerje a proti b je a 3:b 3
Razmerje kvadratnega korena iz a proti b je √a :√b
Razmerje med kubičnim korenom a in b je 3 √a : 3 √b in tako naprej.
Pogoji dvojno, trojni, in tako naprej ni treba mešati z podvojeno, potrojila, in tako naprej.
Razmerje 6 proti 2 je 6:2 = 3
Podvojimo to razmerje, torej razmerje dvakrat, potem dobimo 12:2 = 6
To razmerje potrojimo, torej to razmerje trikrat, dobimo 18:2 = 9
A dvojno razmerje, tj kvadrat razmerje je enako 6 2:2 2 = 9
IN trojni razmerje, to je kocka razmerja, je 6 3:2 3 = 27

350. Da bi bile količine med seboj korelirane, morajo biti iste vrste, da se lahko z gotovostjo reče, ali so med seboj enake, ali je ena večja ali manjša. Stopalo je na palec, kot je 12 na 1: je 12-krat večje od palca. Ne moremo pa na primer reči, da je ura daljša ali krajša od palice ali da je aker več ali manj kot stopinja. Če pa so te količine izražene v številke, potem lahko obstaja povezava med temi številkami. To pomeni, da lahko obstaja razmerje med številom minut v eni uri in številom korakov v milji.

351. Obračanje na narave razmerja, moramo v naslednjem koraku upoštevati način, kako bo sprememba enega ali dveh izrazov, ki se med seboj primerjata, vplivala na samo razmerje. Spomnimo se, da je neposredno razmerje izraženo kot ulomek, kjer je antecedet pari so vedno to števnik, A posledično - imenovalec. Potem bo iz lastnosti ulomkov enostavno razbrati, da do sprememb v razmerju pride s spreminjanjem primerjanih količin. Razmerje obeh količin je enako kot pomen ulomkov, od katerih vsak predstavlja zasebno: števec deljen z imenovalcem. (čl. 341.) Zdaj se je pokazalo, da je množenje števca ulomka s katero koli vrednostjo enako množenju pomen za enako količino in deljenje števca je enako kot deljenje vrednosti ulomka. Zato,

352. Množenje predhodnika para s katero koli vrednostjo pomeni množenje razmerja s to vrednostjo, deljenje predhodnika pa pomeni deljenje tega razmerja.
Tako je razmerje 6:2 enako 3
In razmerje 24:2 je enako 12.
Tukaj sta predhodnik in razmerje v zadnjem paru 4-krat večja kot v prvem.
Razmerje a:b je enako $\frac(a)(b)$
In razmerje na:b je enako $\frac(na)(b)$.

oz. Glede na znano posledico, več predhodnik, bolj razmerje, in obratno, večje kot je razmerje, večji je predhodnik.

353. Če pomnožimo konsekvenco para s poljubno vrednostjo, dobimo rezultat, ko razmerje delimo s to vrednostjo, z delitvijo konsekvente pa pomnožimo razmerje. Z množenjem imenovalca ulomka vrednost delimo, z deljenjem imenovalca pa vrednost pomnožimo.
Torej je razmerje 12:2 6
In razmerje 12:4 je 3.
Tukaj je posledica drugega para v dvakrat več in razmerje dvakrat manj kot prvi.
Razmerje a:b je enako $\frac(a)(b)$
In razmerje a:nb je enako $\frac(a)(nb)$.

oz. Glede na predhodnik, večja kot je posledica, manjše je razmerje. Nasprotno, večje kot je razmerje, manjša je posledica.

354. Iz zadnjih dveh členov sledi, da množenje predhodnika pari katere koli količine bodo imeli enak učinek na razmerje kot posledično delitev s tem zneskom in delitev predhodnika, bo imela enak učinek kot množenje konsekvence.
Zato je razmerje 8:4 enako 2
Če pomnožimo predhodnik z 2, je razmerje 16:4 4
Če predhodnik delimo z 2, je razmerje 8:2 4.

oz. Kaj dejavnik oz delilnik lahko prenesemo iz predhodnika para v posledično ali iz posledičnega v predhodno, ne da bi pri tem spremenili razmerje.

Omeniti velja, da ko faktor na ta način prenesemo iz enega izraza v drugega, postane delitelj, preneseni delitelj pa postane množitelj.
Torej je razmerje 3,6:9 = 2
Če prenesemo faktor 3 naprej, $6:\frac(9)(3)=2$
enako razmerje.

Razmerje $\frac(ma)(y):b=\frac(ma)(by)$
Premikanje y $ma:by=\frac(ma)(by)$
Premikanje m, a:$a:\frac(m)(by)=\frac(ma)(by)$.

355. Kot je razvidno iz čl. 352 in 353, če sta predhodnik in posledica pomnožena ali deljena z enakim zneskom, se razmerje ne spremeni.

oz. 1. Razmerje obeh ulomki, ki imata skupni imenovalec, enak njunemu razmerju števniki.
Torej je razmerje a/n:b/n enako kot a:b.

oz. 2. Neposredno razmerje dveh ulomkov, ki imata skupni števec, je enako obratnemu razmerju imenovalci.

356. Iz članka je enostavno določiti razmerje poljubnih dveh ulomkov. Če vsak člen pomnožimo z dvema imenovalcema, bo razmerje podano z integralnimi izrazi. Če tako pomnožimo člene para a/b:c/d z bd, dobimo $\frac(abd)(b)$:$\frac(bcd)(d)$, ki z redukcijo postane ad:bc skupne vrednosti iz števcev in imenovalcev.

356. b. Razmerje večjo neenakost poveča njegov
Naj bo razmerje večje neenakosti podano kot 1+n:1
In poljubno razmerje a:b
Kompleksno razmerje bo (347. člen) a + na:b
Kar je večje od razmerja a:b (čl. 351 oz.)
Toda razmerje manj neenakosti, zložen z drugačnim razmerjem, zmanjša njegov.
Naj bo razmerje manjše razlike 1-n:1
Poljubno dano razmerje a:b
Kompleksno razmerje a - na:b
Kar je manj kot a:b.

357. Če do ali od članov katerega koli paradodati ali odštejemo dve drugi količini, ki sta v enakem razmerju, potem bodo vsote ali ostanki imeli enako razmerje.
Naj bo razmerje a:b
Enako bo kot c:d
Nato razmerje zneski enaki so tudi predhodniki vsote posledic, namreč od a + c do b + d.
To je $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.

Dokaz.

1. Po predpostavki je $\frac(a)(b)$ = $\frac(c)(d)$
2. Pomnožite z b in d, ad = bc
3. Dodajte cd na obe strani, ad + cd = bc + cd
4. Deli z d, $a+c=\frac(bc+cd)(d)$
5. Deli z b + d, $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.

Razmerje razlike enaki so tudi predhodniki razlike v posledicah.

358. Če so v več parih razmerja enaka, potem vsota vseh predhodnikov je povezana z vsoto vseh posledic, tako kot vsak predhodnik s svojo posledico.
Torej razmerje
|12:6 = 2
|10:5 = 2
|8:4 = 2
|6:3 = 2
Tako je razmerje (12 + 10 + 8 + 6): (6 + 5 + 4 + 3) = 2.

358. b. Razmerje večjo neenakostzmanjša, dodajanje enako količino obema članoma.
Naj bo dano razmerje a+b:a ali $\frac(a+b)(a)$
Če obema izrazoma dodamo x, dobimo a+b+x:a+x ali $\frac(a+b)(a)$.

Prvi postane $\frac(a^2+ab+ax+bx)(a(a+x))$
In zadnji je $\frac(a^2+ab+ax)(a(a+x))$.
Ker je zadnji števec očitno manjši od drugega, torej razmerje mora biti manj. (351. člen oz.)

Toda razmerje manj neenakosti poveča, pri čemer se obema izrazoma doda enak znesek.
Naj bo dano razmerje (a-b):a ali $\frac(a-b)(a)$.
Če obema izrazoma dodate x, postane (a-b+x):(a+x) ali $\frac(a-b+x)(a+x)$
Če jih spravimo na skupni imenovalec,
Prvi postane $\frac(a^2-ab+ax-bx)(a(a+x))$
In zadnji, $\frac(a^2-ab+ax)(a(a+x)).\frac((a^2-ab+ax))(a(a+x))$.

Ker je zadnji števec večji od drugega, torej razmerje več.
Če namesto dodajanja enake vrednosti odnesti iz dveh izrazov, potem je očitno, da bo učinek na razmerje nasproten.

Primeri.

1. Kaj je večje: razmerje 11:9 ali razmerje 44:35?

2. Kaj je večje: razmerje $(a+3):\frac(a)(6)$ ali razmerje $(2a+7):\frac(a)(3)$?

3. Če je predhodnik para 65 in je razmerje 13, kakšna je posledica?

4. Če je konsekvent para 7 in razmerje 18, kakšen je antecedent?

5. Kako izgleda kompleksno razmerje, sestavljeno iz 8:7 in 2a:5b ter (7x+1):(3y-2)?

6. Kako je videti kompleksno razmerje, sestavljeno iz (x+y):b in (x-y):(a + b), pa tudi (a+b):h? Rep. (x 2 - y 2):bh.

7. Če relacije (5x+7):(2x-3) in $(x+2):\left(\frac(x)(2)+3\right)$ tvorijo kompleksno relacijo, kakšno relacijo potem bo pridobljeno: Več ali manj neenakosti? Rep. Razmerje večje neenakosti.

8. Kakšno je razmerje, sestavljeno iz (x + y):a in (x - y):b ter $b:\frac(x^2-y^2)(a)$? Rep. Razmerje enakosti.

9. Kakšno je razmerje 7:5, dvojno razmerje 4:9 in trojno razmerje 3:2?
Rep. 14:15.

10. Kakšno je razmerje, sestavljeno iz 3:7 in potrojenega razmerja x:y ter vzeti koren iz razmerja 49:9?
Rep. x 3:y 3 .

Odnos je določen odnos med entitetami našega sveta. To so lahko števila, fizikalne količine, predmeti, izdelki, pojavi, dejanja in celo ljudje.

V vsakdanjem življenju, ko gre za razmerja, pravimo "razmerje med tem in onim". Na primer, če so v vazi 4 jabolka in 2 hruški, potem rečemo "razmerje jabolko in hruška" "razmerje hrušk in jabolk".

V matematiki se razmerje pogosteje uporablja kot "odnos tega in tega do tega in tega". Na primer, razmerje štirih jabolk in dveh hrušk, ki smo ga obravnavali zgoraj, se bo v matematiki glasilo kot "razmerje med štirimi jabolki in dvema hruškama" ali če zamenjate jabolka in hruške, potem "razmerje dve hruški proti štirim jabolkom".

Razmerje je izraženo kot a Za b(kjer namesto a in b poljubne številke), pogosteje pa lahko najdete vnos, ki je sestavljen z dvopičjem kot a:b. To objavo lahko berete na različne načine:

a Za b
a se nanaša na b
odnos a Za b

Zapišimo razmerje štirih jabolk in dveh hrušk s simbolom razmerja:

4: 2

Če zamenjamo jabolka in hruške, dobimo razmerje 2:4. To razmerje lahko beremo kot "dva do štiri" ali bodisi "dve hruški sta enaki štirim jabolkom" .

V nadaljevanju bomo odnos imenovali razmerje.

Vsebina lekcije

Kaj je odnos?

Relacija je, kot smo že omenili, zapisana v obliki a:b. Lahko ga zapišemo tudi kot ulomek. In vemo, da tak zapis v matematiki pomeni deljenje. Potem bo rezultat relacije količnik števil a in b.

V matematiki je razmerje količnik dveh števil.

Razmerje vam omogoča, da ugotovite, koliko ene entitete je na enoto druge. Vrnimo se k razmerju štiri jabolka proti dvema hruškama (4:2). To razmerje nam bo omogočilo ugotoviti, koliko jabolk je na eno hruško. Z enoto mislimo na eno hruško. Najprej zapišimo razmerje 4:2 kot ulomek:

To razmerje predstavlja deljenje števila 4 s številom 2. Če to delitev izvedemo, dobimo odgovor na vprašanje, koliko jabolk je na enoti hruške.

Dobili smo 2. Torej štiri jabolka in dve hruški (4:2) so korelirani (med seboj povezani), tako da sta dve jabolki za eno hruško

Slika prikazuje, kako so štiri jabolka in dve hruški povezani med seboj. Vidimo, da na vsako hruško prideta dve jabolki.

Razmerje je mogoče obrniti, če ga zapišete kot . Nato dobimo razmerje dveh hrušk proti štirim jabolkom ali »razmerje dveh hrušk proti štirim jabolkom«. To razmerje bo pokazalo, koliko hrušk je na enoto jabolka. Enota jabolka pomeni eno jabolko.

Če želite ugotoviti vrednost ulomka, se morate spomniti, kako manjše število delite z večjim.

Dobili smo 0,5. Prevedimo to decimalno na navadne:

Zmanjšajmo dobljeni navadni ulomek za 5

Dobili smo odgovor (pol hruške). To pomeni, da sta dve hruški in štiri jabolka (2:4) v korelaciji (medsebojno povezani), tako da eno jabolko predstavlja polovico hruške

Na sliki je prikazano, v kakšnem razmerju sta dve hruški in štiri jabolka. Vidi se, da za vsako jabolko pride pol hruške.

Števila, ki sestavljajo razmerje, se imenujejo člani razmerja. Na primer, v razmerju 4:2 sta izraza 4 in 2.

Poglejmo še druge primere odnosov. Da nekaj pripravimo, se sestavi recept. Recept je zgrajen iz razmerij med izdelki. Na primer, za pripravo ovsene kaše običajno potrebujete kozarec kosmičev na dva kozarca mleka ali vode. Dobljeno razmerje je 1:2 (»ena proti dve« ali »kozarec kosmičev na dva kozarca mleka«).

Pretvorimo razmerje 1:2 v ulomek, dobimo . Po izračunu tega deleža dobimo 0,5. To pomeni, da sta en kozarec kosmičev in dva kozarca mleka korelirana (med seboj povezana), tako da en kozarec mleka predstavlja pol kozarca kosmičev.

Če obrnete razmerje 1:2, dobite razmerje 2:1 ("dva proti ena" ali "dve skodelici mleka na eno skodelico kosmičev"). Če pretvorimo razmerje 2:1 v ulomek, dobimo . Če izračunamo ta ulomek, dobimo 2. To pomeni, da sta dva kozarca mleka in en kozarec kosmičev korelirana (medsebojno povezana), tako da za en kozarec kosmičev prideta dva kozarca mleka.

Primer 2. V razredu je 15 učencev. Od tega je 5 fantov, 10 deklet. Razmerje deklet in fantov lahko zapišete kot 10:5 in to razmerje pretvorite v ulomek. Po izračunu tega ulomka dobimo 2. To pomeni, da so dekleta in fantje med seboj povezani tako, da na vsakega fanta prideta dve deklici.

Slika prikazuje primerjavo desetih deklet in petih fantov. Vidi se, da na vsakega fanta prideta dve deklici.

Razmerja ni vedno mogoče pretvoriti v ulomek in najti količnika. V nekaterih primerih bo to nasprotno intuitivno.

Torej, če obrnete odnos, se izkaže, da je to odnos fantov do deklet. Če izračunate ta ulomek, se izkaže, da je 0,5. Izkaže se, da je pet fantov povezanih z desetimi dekleti, tako da je za vsako dekle pol fanta. Matematično to seveda drži, realno gledano pa ni povsem razumno, saj je fant živ človek in ga ni mogoče kar tako vzeti in razdeliti, kot hruško ali jabolko.

Sposobnost razvijanja pravega odnosa je pomembna veščina pri reševanju problemov. Torej je v fiziki razmerje med prepotovano razdaljo in časom hitrost gibanja.

Razdalja je prikazana s spremenljivko S, čas - skozi spremenljivko t, hitrost - skozi spremenljivko v. Nato besedna zveza "Razmerje med prepotovano razdaljo in časom je hitrost gibanja" bo opisan z naslednjim izrazom:

Predpostavimo, da je avto prevozil 100 kilometrov v 2 urah. Potem bo razmerje med sto prevoženimi kilometri in dvema urama hitrost avtomobila:

Hitrost se običajno imenuje razdalja, ki jo prepotuje telo na enoto časa. Enota za čas pomeni 1 uro, 1 minuto ali 1 sekundo. In razmerje, kot je bilo omenjeno prej, vam omogoča, da ugotovite, koliko ene entitete je na enoto druge. V našem primeru razmerje sto kilometrov proti dvema urama kaže, koliko kilometrov je v eni uri gibanja. Vidimo, da je za vsako uro gibanja 50 kilometrov

Zato se hitrost meri v km/h, m/min, m/s. Simbol za ulomek (/) označuje razmerje med razdaljo in časom: kilometrov na uro , metrov na minuto in metrov na sekundo oz.

Primer 2. Razmerje med stroški izdelka in njegovo količino je cena ene enote izdelka

Če smo iz trgovine vzeli 5 čokoladnih ploščic in je njihova skupna cena znašala 100 rubljev, potem lahko določimo ceno ene ploščice. Če želite to narediti, morate najti razmerje med sto rubljev in številom čokoladic. Potem dobimo, da ena sladkarija stane 20 rubljev

Primerjava vrednosti

Prej smo izvedeli, da razmerje med količinami različnih narav tvori novo količino. Tako je razmerje med prevoženo razdaljo in časom hitrost gibanja. Razmerje med vrednostjo izdelka in njegovo količino je cena ene enote izdelka.

Razmerje pa lahko uporabimo tudi za primerjavo količin. Rezultat takšnega razmerja je število, ki kaže, kolikokrat je prva vrednost večja od druge ali kolikšen del je prva vrednost od druge.

Če želite ugotoviti, kolikokrat je prva vrednost večja od druge, morate večjo vrednost zapisati v števec razmerja, manjšo vrednost pa v imenovalec.

Če želite ugotoviti, kateri del je prva vrednost druge, morate v števec razmerja zapisati manjšo vrednost, v imenovalec pa večjo vrednost.

Razmislite o številih 20 in 2. Ugotovimo, kolikokrat je število 20 več številk 2. Če želite to narediti, poiščite razmerje med številom 20 in številom 2. V števcu razmerja zapišemo številko 20, v imenovalcu pa številko 2.

Vrednost tega razmerja je deset

Razmerje med številom 20 in številom 2 je število 10. To število pove, kolikokrat je število 20 večje od števila 2. To pomeni, da je število 20 desetkrat večje od števila 2.

Primer 2. V razredu je 15 učencev. Od tega je 5 fantov, 10 deklet. Ugotovite, kolikokrat je deklic več kot fantov.

Beležimo odnos deklet do fantov. V števec razmerja zapišemo število deklet, v imenovalec razmerja - število fantov:

Vrednost tega razmerja je 2. To pomeni, da je v razredu s 15 ljudmi dvakrat več deklet kot fantov.

Ni več vprašanje, koliko deklet pride na enega fanta. V tem primeru se razmerje uporablja za primerjavo števila deklet s številom fantov.

Primer 3. Kateri del števila 2 je število 20?

Poiščemo razmerje med številom 2 in številom 20. Število 2 zapišemo v števec razmerja, število 20 pa v imenovalec.

Če želite najti pomen tega odnosa, se morate spomniti

Vrednost razmerja med številom 2 in številom 20 je število 0,1

V tem primeru lahko decimalni ulomek 0,1 pretvorimo v navadni ulomek. Ta odgovor bo lažje razumeti:

To pomeni, da je število 2 števila 20 ena desetina.

Lahko narediš pregled. Če želite to narediti, bomo našli številko 20. Če smo vse naredili pravilno, bi morali dobiti številko 2

20: 10 = 2

2 × 1 = 2

Dobili smo število 2. To pomeni, da je ena desetina števila 20 število 2. Od tod sklepamo, da je bila naloga pravilno rešena.

Primer 4. V razredu je 15 ljudi. Od tega je 5 fantov, 10 deklet. Ugotovite, kolikšen delež med skupnim številom šolarjev predstavljajo fantje.

Beležimo razmerje med fanti in skupnim številom šolarjev. V števec razmerja zapišemo pet fantov, v imenovalec pa skupno število šolarjev. Skupno število šolarjev je 5 fantov in 10 deklet, zato v imenovalec razmerja zapišemo število 15.

Če želite najti vrednost danega razmerja, se morate spomniti, kako manjše število delite z večjim. V tem primeru je treba število 5 deliti s številom 15

Če delimo 5 s 15, dobimo periodični ulomek. Pretvorimo ta ulomek v navadni ulomek

Dobili smo končni odgovor. Fantje torej predstavljajo tretjino celotnega razreda

Slika prikazuje, da v razredu s 15 učenci tretjino razreda sestavlja 5 fantov.

Če najdemo 15 šolarjev za pregled, potem dobimo 5 fantov

15: 3 = 5

5 × 1 = 5

Primer 5. Kolikokrat je število 35 večje od števila 5?

Zapišemo razmerje med številom 35 in številom 5. Število 35 morate zapisati v števec razmerja, število 5 v imenovalec, ne pa obratno

Vrednost tega razmerja je 7. To pomeni, da je število 35 sedemkrat večje od števila 5.

Primer 6. V razredu je 15 ljudi. Od tega je 5 fantov, 10 deklet. Ugotovite, kolikšen delež v skupnem številu predstavljajo dekleta.

Beležimo razmerje med deklicami in skupnim številom šolarjev. V števec razmerja zapišemo deset deklet, v imenovalec pa skupno število šolarjev. Skupno število šolarjev je 5 fantov in 10 deklet, zato v imenovalec razmerja zapišemo število 15.

Če želite najti vrednost danega razmerja, se morate spomniti, kako manjše število delite z večjim. V tem primeru je treba število 10 deliti s številom 15

Če delimo 10 s 15, dobimo periodični ulomek. Pretvorimo ta ulomek v navadni ulomek

Zmanjšajmo dobljeni ulomek za 3

Dobili smo končni odgovor. To pomeni, da dekleta predstavljajo dve tretjini celotnega razreda.

Iz slike je razvidno, da je v razredu s 15 učenci dve tretjini razreda 10 deklet.

Če najdemo 15 šolarjev za pregled, dobimo 10 deklet

15: 3 = 5

5 × 2 = 10

Primer 7. Kateri del 10 cm je 25 cm?

Zapišemo razmerje deset centimetrov proti petindvajset centimetrov. V števec razmerja zapišemo 10 cm, v imenovalec 25 cm

Če želite najti vrednost danega razmerja, se morate spomniti, kako manjše število delite z večjim. V tem primeru je treba število 10 deliti s številom 25

Pretvorimo dobljeni decimalni ulomek v navadni ulomek

Zmanjšajmo dobljeni ulomek za 2

Dobili smo končni odgovor. Torej je 10 cm enako 25 cm.

Primer 8. Kolikokrat je 25 cm večje od 10 cm?

Zapišemo razmerje petindvajset centimetrov proti desetim centimetrom. V števec razmerja zapišemo 25 cm, v imenovalec 10 cm

Prejeli smo odgovor 2,5. To pomeni, da je 25 cm 2,5-krat večje od 10 cm (dvainpolkrat)

Pomembna opomba. Pri iskanju istoimenskega razmerja fizikalne količine te količine morajo biti izražene v eni merski enoti, sicer bo odgovor napačen.

Na primer, če imamo opravka z dvema dolžinama in želimo vedeti, kolikokrat je prva dolžina večja od druge ali kolikšen del je prva dolžina druge, potem je treba obe dolžini najprej izraziti v eni merski enoti.

Primer 9. Kolikokrat je 150 cm večje od 1 metra?

Najprej se prepričajmo, da sta obe dolžini izraženi v isti merski enoti. Če želite to narediti, pretvorite 1 meter v centimetre. En meter je sto centimetrov

1 m = 100 cm

Zdaj najdemo razmerje sto petdeset centimetrov proti sto centimetrov. V števcu razmerja zapišemo 150 centimetrov, v imenovalcu - 100 centimetrov.

Poiščimo vrednost tega razmerja

Prejeli smo odgovor 1,5. To pomeni, da je 150 cm 1,5-krat večje od 100 cm (eninpolkrat).

In če ne bi začeli pretvarjati metrov v centimetre in takoj poskušali najti razmerja 150 cm proti enemu metru, bi dobili naslednje:

Izkazalo bi se, da je 150 cm sto petdesetkrat več kot en meter, vendar je to napačno. Zato je nujno, da smo pozorni na merske enote fizikalnih veličin, ki so vključene v razmerje. Če so te količine izražene v različnih merskih enotah, morate za iskanje razmerja med temi količinami iti na eno mersko enoto.

Primer 10. Prejšnji mesec je bila plača osebe 25.000 rubljev, ta mesec pa se je plača povečala na 27.000 rubljev. Ugotovite, kolikokrat se je plača povečala

Zapišemo razmerje sedemindvajset tisoč proti petindvajset tisoč. V števec razmerja zapišemo 27000, v imenovalec 25000

Poiščimo vrednost tega razmerja

Prejeli smo odgovor 1.08. To pomeni, da se je plača povečala za 1,08-krat. V prihodnosti, ko se bomo seznanili z odstotki, bomo kazalnike, kot so plače, izražali v odstotkih.

Primer 11. Širina stanovanjske hiše je 80 metrov, višina pa 16 metrov. Kolikokrat je širina hiše večja od njene višine?

Zapišemo razmerje med širino hiše in njeno višino:

Vrednost tega razmerja je 5. To pomeni, da je širina hiše petkrat večja od njene višine.

Lastnost razmerja

Razmerje se ne spremeni, če njegove člane pomnožimo ali delimo z istim številom.

Ta ena najpomembnejših lastnosti relacije izhaja iz lastnosti partikularnega. Vemo, da če dividendo in delitelj pomnožimo ali delimo z istim številom, se količnik ne spremeni. In ker relacija ni nič drugega kot delitev, lastnost količnika deluje tudi zanjo.

Vrnimo se k odnosu deklet do fantov (10:5). To razmerje je pokazalo, da na vsakega fanta prideta dve deklici. Preverimo, kako deluje lastnost relacije, in sicer poskusimo njene člane pomnožiti ali deliti z istim številom.

V našem primeru je bolj priročno člene relacije deliti z njihovim največjim skupnim deliteljem (GCD).

Gcd členov 10 in 5 je število 5. Zato lahko člene relacije delimo s številom 5

Dobili smo nov odnos. To je razmerje dva proti ena (2:1). To razmerje, tako kot prejšnje razmerje 10:5, kaže, da sta dve deklici za enega fanta.

Na sliki je prikazano razmerje 2:1 (dva proti ena). Kot v prejšnjem razmerju 10: 5 za enega fanta sta dve deklici. Z drugimi besedami, odnos se ni spremenil.

Primer 2. V enem razredu je 10 deklet in 5 fantov. V drugem razredu je 20 deklet in 10 fantov. Kolikokrat je v prvem razredu več deklet kot fantov? Kolikokrat je v drugem razredu več deklet kot fantov?

V obeh razredih je dvakrat več deklic kot dečkov, saj sta razmerja in enaka.

Lastnost relacije vam omogoča izdelavo različnih modelov, ki imajo podobne parametre kot pravi objekt. Predpostavimo, da je stanovanjska hiša široka 30 metrov in visoka 10 metrov.

Če želite na papir narisati podobno hišo, jo morate narisati v enakem razmerju 30:10.

Oba člena tega razmerja delimo s številom 10. Potem dobimo razmerje 3:1. To razmerje je 3, tako kot je prejšnje razmerje 3

Pretvorimo metre v centimetre. 3 metre je 300 centimetrov, 1 meter pa 100 centimetrov

3 m = 300 cm

1 m = 100 cm

Imamo razmerje 300 cm : 100 cm, delimo to razmerje s 100. Dobimo razmerje 3 cm : 1 cm. Zdaj lahko narišete hišo s širino 3 cm in višino 1 cm

Seveda je narisana hiša precej manjša od prave hiše, a razmerje širine in višine ostaja nespremenjeno. Tako smo lahko narisali hišo, ki je čim bolj podobna pravi.

Odnos lahko razumemo še drugače. Prvotno je bilo rečeno, da je prava hiša široka 30 metrov in visoka 10 metrov. Skupaj je 30+10, torej 40 metrov.

Teh 40 metrov lahko razumemo kot 40 delov. Razmerje 30:10 pomeni, da je 30 delov v širino in 10 delov v višino.

Nato so bili členi razmerja 30:10 deljeni z 10. Rezultat je bil razmerje 3:1. To razmerje lahko razumemo kot 4 dele, od katerih so trije v širino, eden v višino. V tem primeru morate običajno natančno ugotoviti, koliko metrov je v širino in višino.

Z drugimi besedami, ugotoviti morate, koliko metrov je v 3 delih in koliko metrov je v 1 delu. Najprej morate ugotoviti, koliko metrov je na del. Za to je treba vseh 40 metrov deliti s 4, saj so v razmerju 3:1 samo štirje deli.

Ugotovimo, koliko metrov je v širino:

10 m × 3 = 30 m

Ugotovimo, koliko metrov je v višino:

10 m × 1 = 10 m

Več članov razmerja

Če je v relaciji podanih več članov, jih je mogoče razumeti kot dele nečesa.

Primer 1. 18 kupljenih jabolk. Ta jabolka so si razdelili mati, oče in hči v razmerju 2:1:3. Koliko jabolk je dobil vsak?

Razmerje 2: 1: 3 pomeni, da je mama prejela 2 dela, oče - 1 del, hči - 3 dele. Z drugimi besedami, vsak člen v razmerju 2:1:3 je določen del 18 jabolk:

Če seštejete izraze razmerja 2: 1: 3, potem lahko ugotovite, koliko delov je:

2 + 1 + 3 = 6 (deli)

Ugotovite, koliko jabolk je v enem delu. To naredite tako, da 18 jabolk razdelite na 6

18: 6 = 3 (jabolka na del)

Zdaj pa ugotovimo, koliko jabolk je prejela vsaka oseba. Z množenjem treh jabolk z vsakim členom razmerja 2 : 1 : 3 lahko ugotovite, koliko jabolk je dobila mama, koliko oče in koliko hči.

Ugotovimo, koliko jabolk je dobila mama:

3 × 2 = 6 (jabolka)

Ugotovimo, koliko jabolk je dobil oče:

3 × 1 = 3 (jabolka)

Ugotovimo, koliko jabolk je dobila moja hči:

3 × 3 = 9 (jabolka)

Primer 2. Novo srebro (alpaka) je zlitina niklja, cinka in bakra v razmerju 3:4:13. Koliko kilogramov vsake kovine je treba vzeti, da dobimo 4 kg novega srebra?

4 kilograme novega srebra bodo vsebovali 3 dele niklja, 4 dele cinka in 13 delov bakra. Najprej ugotovimo, koliko delov bo v štirih kilogramih srebra:

3 + 4 + 13 = 20 (deli)

Določimo, koliko kilogramov bo na del:

4 kg: 20 = 0,2 kg

Ugotovimo, koliko kilogramov niklja bo vsebovalo 4 kg novega srebra. Razmerje 3:4:13 pomeni, da trije deli zlitine vsebujejo nikelj. Zato pomnožimo 0,2 s 3:

0,2 kg × 3 = 0,6 kg niklja

Zdaj pa ugotovimo, koliko kilogramov cinka bo vsebovalo 4 kg novega srebra. Razmerje 3:4:13 pomeni, da štirje deli zlitine vsebujejo cink. Zato pomnožimo 0,2 s 4:

0,2 kg × 4 = 0,8 kg cinka

Zdaj pa ugotovimo, koliko kilogramov bakra bo vsebovalo 4 kg novega srebra. Razmerje 3:4:13 pomeni, da trinajst delov zlitine vsebuje baker. Zato pomnožimo 0,2 s 13:

0,2 kg × 13 = 2,6 kg bakra

To pomeni, da morate za pridobitev 4 kg novega srebra vzeti 0,6 kg niklja, 0,8 kg cinka in 2,6 kg bakra.

Primer 3. Medenina je zlitina bakra in cinka, katerih mase so v razmerju 3:2. Za izdelavo kosa medenine je potrebnih 120 g bakra. Koliko cinka je potrebno za izdelavo tega kosa medenine?

Ugotovimo, koliko gramov zlitine je v enem delu. Pogoj navaja, da je za izdelavo kosa medenine potrebnih 120 g bakra. Rečeno je tudi, da trije deli zlitine vsebujejo baker. Če 120 delimo s 3, ugotovimo, koliko gramov zlitine je na del:

120:3 = 40 gramov na del

Zdaj pa ugotovimo, koliko cinka je potrebno za izdelavo kosa medenine. Če želite to narediti, pomnožite 40 gramov z 2, saj je v razmerju 3: 2 navedeno, da dva dela vsebujeta cink:

40 g × 2 = 80 gramov cinka

Primer 4. Vzeli smo dve zlitini zlata in srebra. V enem je količina teh kovin v razmerju 1:9, v drugem pa 2:3. Koliko posamezne zlitine je treba vzeti, da dobimo 15 kg nove zlitine, v kateri bi bilo zlato in srebro v razmerju 1 : 4?

rešitev

15 kg nove zlitine naj bo sestavljeno iz razmerja 1: 4. To razmerje pomeni, da bo en del zlitine zlata, štirje deli pa srebra. Skupaj je pet delov. Shematično je to mogoče predstaviti na naslednji način

Določimo maso enega dela. Če želite to narediti, najprej seštejte vse dele (1 in 4), nato pa maso zlitine delite s številom teh delov.

1 + 4 = 5
15 kg: 5 = 3 kg

En kos zlitine bo imel maso 3 kg. Potem bo 15 kg nove zlitine vsebovalo 3 × 1 = 3 kg zlata in 3 × 4 = 12 kg srebra.

Torej, da dobimo zlitino, ki tehta 15 kg, potrebujemo 3 kg zlata in 12 kg srebra.

Zdaj pa odgovorimo na vprašanje problema - " Koliko posamezne zlitine bi morali vzeti? »

Vzeli bomo 10 kg prve zlitine, saj sta zlato in srebro v njej v razmerju 1: 9. To pomeni, da nam bo ta prva zlitina dala 1 kg zlata in 9 kg srebra.

Vzeli bomo 5 kg druge zlitine, saj sta zlato in srebro v njej v razmerju 2: 3. To pomeni, da nam bo ta druga zlitina dala 2 kg zlata in 3 kg srebra.

Vam je bila lekcija všeč?
Pridružite se naši novi skupini VKontakte in začnite prejemati obvestila o novih lekcijah