Reklama na portáli

Uveďte definíciu rovnice priamky v rovine. Skvelá práca 04/02/12. Zopakujme si * Ktorá rovnica sa nazýva kvadratická? * Aké rovnice sa nazývajú neúplné kvadratické rovnice? * Ktoré. Pozrite sa, čo je „Rovnica“ v iných slovníkoch

Riešenie rovnice

Ilustrácia grafickej metódy hľadania koreňov rovnice

Úlohou riešenia rovnice je nájsť také hodnoty argumentov, pri ktorých je táto rovnosť dosiahnutá. Na možné hodnoty argumentov možno uložiť ďalšie podmienky (celé číslo, skutočné atď.).

Nahradením iného koreňa vznikne nesprávne vyhlásenie:

.

Preto musí byť druhý koreň vyradený ako cudzí.

Typy rovníc

Existujú algebraické, parametrické, transcendentálne, funkcionálne, diferenciálne a iné typy rovníc.

Niektoré triedy rovníc majú analytické riešenia, ktoré sú vhodné, pretože dávajú nielen presnú hodnotu koreňa, ale tiež umožňujú napísať riešenie vo forme vzorca, ktorý môže obsahovať parametre. Analytické výrazy umožňujú nielen vypočítať korene, ale aj analyzovať ich existenciu a ich množstvo v závislosti od hodnôt parametrov, čo je často ešte dôležitejšie pre praktické uplatnenie, než konkrétne hodnoty koreňov.

Medzi rovnice, pre ktoré sú známe analytické riešenia, patria algebraické rovnice nie vyššieho ako štvrtého stupňa: lineárna rovnica, kvadratická rovnica, kubická rovnica a rovnica štvrtého stupňa. Algebraické rovnice Vo všeobecnom prípade rovnice vyšších stupňov nemajú analytické riešenia, hoci niektoré z nich možno redukovať na rovnice nižších stupňov.

Rovnica, ktorá zahŕňa transcendentálne funkcie, sa nazýva transcendentálna. Medzi nimi sú pre niektorých známe analytické riešenia goniometrické rovnice, keďže nuly goniometrických funkcií sú dobre známe.

Vo všeobecnom prípade, keď nie je možné nájsť analytické riešenie, sa používajú numerické metódy. Numerické metódy neposkytujú presné riešenie, ale umožňujú iba zúžiť interval, v ktorom leží koreň, na určitú vopred určenú hodnotu.

Príklady rovníc

pozri tiež

Literatúra

  • Bekarevič, A. B. Rovnice v školskom matematickom kurze / A. B. Bekarevič. - M., 1968.
  • Markushevich, L. A. Rovnice a nerovnice v záverečnom opakovaní kurzu algebry stredná škola/ L. A. Markuševič, R. S. Čerkasov. / Matematika v škole. - 2004. - č.1.
  • Kaplan Y. V. Rivnyannya. - Kyjev: Radyanska škola, 1968.
  • Rovnica- článok z Veľkej sovietskej encyklopédie
  • Rovnice// Collierova encyklopédia. - Otvorená spoločnosť. 2000.
  • Rovnica// Encyklopédia po celom svete
  • Rovnica // Matematická encyklopédia. - M.: Sovietska encyklopédia. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Odkazy

  • EqWorld – Svet matematických rovníc – obsahuje rozsiahle informácie o matematických rovniciach a sústavách rovníc.

Nadácia Wikimedia. 2010.

Synonymá:

Antonymá:

  • Khadžimba, Raul Džumkovič
  • ES POČÍTAČ

Pozrite sa, čo je „Rovnica“ v iných slovníkoch:

    ROVNICE - (1) matematický zápis problém nájsť také hodnoty argumentov (pozri (2)), pre ktoré sú hodnoty dvoch údajov (pozri) rovnaké. Argumenty, od ktorých tieto funkcie závisia, sa nazývajú neznáme a hodnoty neznámych, pri ktorých sú hodnoty ... ... Veľká polytechnická encyklopédia

    ROVNICE- ROVNICE, rovnice, porov. 1. Akcia podľa Ch. vyrovnať vyrovnať a podmieňovať podľa kap. vyrovnať vyrovnať. Rovnaké práva. Časová rovnica (preklad skutočného slnečného času na stredný slnečný čas, akceptovaný v spoločnosti a vo vede;... ... Slovník Ushakova

    ROVNICE- (rovnica) Požiadavka, že matematický výraz nadobudol určitý význam. Napríklad kvadratická rovnica je napísaná ako: ax2+bx+c=0. Riešením je hodnota x, pri ktorej sa daná rovnica stáva identitou. V…… Ekonomický slovník

    ROVNICE- matematické znázornenie problému hľadania hodnôt argumentov, pre ktoré sú hodnoty dvoch daných funkcií rovnaké. Argumenty, od ktorých tieto funkcie závisia, sa nazývajú neznáme a hodnoty neznámych, pri ktorých sa hodnoty funkcie rovnajú... ... Veľký encyklopedický slovník

    ROVNICE- ROVNICE, dva výrazy spojené znakom rovnosti; tieto výrazy zahŕňajú jednu alebo viac premenných nazývaných neznáme. Vyriešiť rovnicu znamená nájsť všetky hodnoty neznámych, pri ktorých sa stáva identitou, alebo stanoviť... Moderná encyklopédia

1. Ktoré tvrdenie sa nazýva dôsledok? Dokážte, že priamka pretínajúca jednu z dvoch rovnobežných priamok pretína aj druhú 2. Dokážte to

Ak sú dve priamky rovnobežné s treťou priamkou, tak sú rovnobežné.3. Aká veta sa nazýva konverzná teoréma Uveďte príklady teorém konverzných na tieto údaje 4. Dokážte, že keď sa pretínajú dve rovnobežné priamky, uhly sú rovnaké. 5. Dokážte, že ak je priamka kolmá na jednu z dvoch rovnobežné priamky, potom je aj kolmá na inú.6.Dokážte, že keď sa dve rovnobežné priamky pretnú s priečkou: a) zodpovedajúce uhly sú rovnaké; b) súčet jednostranných uhlov je 180°.

Prosím, pomôžte mi s otázkami o geometrii (trieda 9)! 2) Čo znamená rozložiť vektor na dva

k týmto vektorom. 9) Aký je polomerový vektor bodu Dokážte, že súradnice bodu sa rovnajú príslušným súradniciam vektorov. 10) Odvoďte vzorce na výpočet súradníc vektora zo súradníc jeho začiatku a konca. 11) Odvoďte vzorce na výpočet súradníc vektora zo súradníc jeho koncov. 12) Odvoďte vzorec na výpočet dĺžky vektora z jeho súradníc. 13) Odvoďte vzorec na výpočet vzdialenosti medzi dvoma bodmi na základe ich súradníc. 15) Aká rovnica sa nazýva rovnica tejto priamky. 16) Odvoďte rovnicu kružnice daného polomeru so stredom v danom bode.

1) Uveďte a dokážte lemu o kolineárnych vektoroch.


3)Sformulujte a dokážte vetu o rozklade vektora na dva nekolineárne vektory.
4) Vysvetlite, ako sa zavádza pravouhlý súradnicový systém.
5) Čo sú súradnicové vektory?
6)Sformulujte a dokážte tvrdenie o rozklade ľubovoľného vektora na súradnicové vektory.
7) Čo sú vektorové súradnice?
8) Formulujte a dokážte pravidlá na zistenie súradníc súčtu a rozdielu vektorov, ako aj súčinu vektora a čísla na daných vektorových súradniciach.
10) Odvoďte vzorce na výpočet súradníc vektora zo súradníc jeho začiatku a konca.
11) Odvoďte vzorce na výpočet súradníc vektora zo súradníc jeho koncov.
12) Odvoďte vzorec na výpočet dĺžky vektora z jeho súradníc.
13) Odvoďte vzorec na výpočet vzdialenosti medzi dvoma bodmi na základe ich súradníc.
14) Uveďte príklad riešenia geometrický problém pomocou súradnicovej metódy.
16) Odvoďte rovnicu kružnice daného polomeru so stredom v danom bode.
17) Napíšte rovnicu kružnice daného polomeru so stredom v počiatku.
18) Odvoďte rovnicu tejto priamky v pravouhlom súradnicovom systéme.
19) Napíšte rovnicu priamok prechádzajúcich daným bodom M0 (X0: Y0) rovnobežných so súradnicovými osami.
20) Napíšte rovnicu súradnicových osí.
21) Uveďte príklady použitia rovníc kružnice a priamky pri riešení geometrických úloh.

Prosím, naozaj to potrebujem! Najlepšie s nákresmi (ak je to potrebné)!

GEOMETRIA 9. TRIEDA.

1) Uveďte a dokážte lemu o kolineárnych vektoroch.
2) Čo znamená rozložiť vektor na dva dané vektory.
3)Sformulujte a dokážte vetu o rozklade vektora na dva nekolineárne vektory.
4) Vysvetlite, ako sa zavádza pravouhlý súradnicový systém.
5) Čo sú súradnicové vektory?
6)Sformulujte a dokážte tvrdenie o rozklade ľubovoľného vektora na súradnicové vektory.
7) Čo sú vektorové súradnice?
8) Formulujte a dokážte pravidlá na zistenie súradníc súčtu a rozdielu vektorov, ako aj súčinu vektora a čísla na daných vektorových súradniciach.
9) Aký je polomerový vektor bodu? Dokážte, že súradnice bodu sa rovnajú príslušným súradniciam vektorov.
14) Uveďte príklad riešenia geometrickej úlohy súradnicovou metódou.
15) Aká rovnica sa nazýva rovnica tejto priamky? Uveďte príklad.
17) Napíšte rovnicu kružnice daného polomeru so stredom v počiatku.
18) Odvoďte rovnicu tejto priamky v pravouhlom súradnicovom systéme.
19) Napíšte rovnicu priamok prechádzajúcich daným bodom M0 (X0: Y0) rovnobežných so súradnicovými osami.
20) Napíšte rovnicu súradnicových osí.
21) Uveďte príklady použitia rovníc kružnice a priamky pri riešení geometrických úloh.

Priamka v rovine a v priestore.

Štúdium vlastností geometrické tvary pomocou algebry je tzv analytická geometria , a budeme používať tzv súradnicová metóda .

Čiara v rovine je zvyčajne definovaná ako množina bodov, ktoré majú jedinečné vlastnosti. Skutočnosť, že súradnice (čísla) x a y bodu ležiaceho na tejto priamke sú zapísané analyticky vo forme nejakej rovnice.

Def.1 Rovnica priamky (rovnica krivky) na rovine Oxy sa nazýva rovnica (*), ktorá je splnená súradnicami x a y každého bodu na danej priamke a nie je splnená súradnicami žiadneho iného bodu, ktorý na tejto priamke neleží.

Z definície 1 vyplýva, že každá čiara v rovine zodpovedá nejakej rovnici medzi aktuálnymi súradnicami ( x, y ) bodov tejto priamky a naopak, každá rovnica vo všeobecnosti zodpovedá určitej priamke.

To vedie k dvom hlavným problémom analytickej geometrie v rovine.

1. Čiara je daná vo forme množiny bodov. Pre tento riadok musíme vytvoriť rovnicu.

2. Je daná rovnica priamky. Je potrebné študovať jeho geometrické vlastnosti (tvar a umiestnenie).

Príklad. Klamú body A(-2;1) A IN (1;1) v riadku 2 X +pri +3=0?

Problém nájdenia priesečníkov dvoch čiar, dané rovnicami a prichádza k nájdeniu súradníc, ktoré spĺňajú rovnicu oboch priamok, t.j. na riešenie sústavy dvoch rovníc o dvoch neznámych.

Ak tento systém nemá reálne riešenia, potom sa čiary nepretínajú.

Koncepcia linky je v UCS zavedená podobným spôsobom.

Čiara na rovine môže byť definovaná dvoma rovnicami

Kde X A pri – ľubovoľné súradnice bodu M(x;y), ležiace na tejto čiare a t - premenná tzv parameter , parameter určuje polohu bodu v rovine.

Napríklad ak , potom hodnota parametra t=2 zodpovedá bodu (3;4) v rovine.

Ak sa parameter zmení, bod v rovine sa pohne a opisuje túto čiaru. Táto metóda definovania čiary sa nazýva parametrická a rovnica (5.1) je parametrická rovnica priamky.

Ak chcete prejsť z parametrických rovníc na všeobecnú rovnicu (*), musíte nejakým spôsobom odstrániť parameter z týchto dvoch rovníc. Upozorňujeme však, že takýto prechod nie je vždy vhodný a nie vždy možný.

Je možné určiť čiaru na rovine vektorová rovnica , kde t je skalárny premenný parameter. Každá hodnota parametra zodpovedá konkrétnemu rovinnému vektoru. Pri zmene parametra bude koniec vektora opisovať určitú čiaru.

Vektorová rovnica v DSC zodpovedajú dve skalárne rovnice

(5.1), t.j. rovnice priemetov na súradnicové osi vektorovej rovnice priamky sú jej



parametrická rovnica.

Vektorová rovnica a parametrické rovnice priamky majú mechanický význam. Ak sa bod pohybuje po rovine, potom sa nazývajú uvedené rovnice pohybové rovnice , a priamka je trajektória bodu, parameter t je čas.

Záver: každá čiara v rovine zodpovedá rovnici tvaru.

Vo všeobecnom prípade AKEJKOĽVEK ROVNICE POHĽADU zodpovedá určitej priamke, ktorej vlastnosti určuje daná rovnica (s výnimkou, že rovnici v rovine nezodpovedá žiaden geometrický obraz).

Nech sa zvolí súradnicový systém v rovine.

Def. 5.1. Rovnica priamky tento typ rovnice sa nazývaF(x;y) =0, ktorému vyhovujú súradnice každého bodu ležiaceho na tejto priamke a nevyhovujú súradnice žiadneho bodu, ktorý na nej neleží.

Rovnica formuláraF(x;y )=0 – nazýva sa všeobecná rovnica priamky alebo rovnica v implicitnom tvare.

Čiara Г je teda miestom bodov, ktoré spĺňajú túto rovnicu Г=((x, y): F(x;y)=0).

Linka je tiež tzv nepoctivý.

Cieľ: Zvážte pojem čiary v rovine, uveďte príklady. Na základe definície priamky zaviesť pojem rovnica priamky v rovine. Zvážte typy priamych čiar, uveďte príklady a metódy definovania priamky. Posilniť schopnosť preložiť rovnicu priamky z všeobecný pohľad do rovnice priamky „v segmentoch“ s uhlovým koeficientom.

  1. Rovnica priamky na rovine.
  2. Rovnica priamky na rovine. Typy rovníc.
  3. Metódy na určenie priamky.

1. Nech x a y sú dve ľubovoľné premenné.

Definícia: Zavolá sa vzťah v tvare F(x,y)=0 rovnica , ak to neplatí pre žiadne dvojice čísel x a y.

Príklad: 2x + 7r – 1 = 0, x 2 + y2 – 25 = 0.

Ak pre ľubovoľné x, y platí rovnosť F(x,y)=0, potom je F(x,y) = 0 identita.

Príklad: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0

Hovorí sa, že čísla x sú 0 a y sú 0 splniť rovnicu , ak sa pri ich dosadení do tejto rovnice zmení na skutočnú rovnosť.

Najdôležitejším konceptom analytickej geometrie je koncept rovnice priamky.

Definícia: Rovnica danej priamky je rovnica F(x,y)=0, ktorej súradnice všetkých bodov ležiacich na tejto priamke vyhovujú a súradnice žiadneho z bodov, ktoré na tejto priamke neležia, nevyhovujú.

Čiara definovaná rovnicou y = f(x) sa nazýva graf f(x). Premenné x a y sa nazývajú aktuálne súradnice, pretože sú súradnicami premenného bodu.

Niektorí príklady definície čiar.

1) x – y = 0 => x = y. Táto rovnica definuje priamku:

2) x 2 - y 2 = 0 => (x-y)(x+y) = 0 => body musia spĺňať buď rovnicu x - y = 0, alebo rovnicu x + y = 0, ktorá v rovine zodpovedá dvojica pretínajúcich sa priamok, ktoré sú osami súradnicových uhlov:

3) x 2 + y 2 = 0. Túto rovnicu spĺňa iba jeden bod O(0,0).

2. Definícia: Akákoľvek priamka v rovine môže byť špecifikovaná rovnicou prvého poriadku

Ax + Wu + C = 0,

Navyše konštanty A a B sa zároveň nerovnajú nule, t.j. A 2 + B 2 ¹ 0. Táto rovnica prvého rádu sa nazýva všeobecná rovnica priamky.

V závislosti od hodnôt konštánt A, B a C sú možné tieto špeciálne prípady:

C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 – priamka prechádza počiatkom

A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 (By + C = 0) - priamka rovnobežná s osou Ox

B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) – priamka rovnobežná s osou Oy

B = C = 0, A ¹ 0 – priamka sa zhoduje s osou Oy

A = C = 0, B ¹ 0 – priamka sa zhoduje s osou Ox

Rovnica priamky môže byť prezentovaná v rôznych formách v závislosti od akýchkoľvek daných počiatočných podmienok.

Rovnica priamky s uhlovým koeficientom.



Ak sa všeobecná rovnica priamky Ax + By + C = 0 zredukuje na tvar:

a označte , potom sa výsledná rovnica nazýva rovnica priamky so sklonom k.

Rovnica priamky v segmentoch.

Ak v všeobecná rovnica priamka Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, potom vydelením –С dostaneme: alebo, kde

Geometrický význam koeficienty je ten koeficient A je súradnica priesečníka priamky s osou Ox a b– súradnica priesečníka priamky s osou Oy.

Normálna rovnica priamky.

Ak sú obe strany rovnice Ax + By + C = 0 delené číslom tzv normalizačný faktor, potom dostaneme

xcosj + ysinj - p = 0 – normálna rovnica priamky.

Znamienko ± normalizačného faktora sa musí zvoliť tak, aby m × С< 0.

p je dĺžka kolmice zníženej od začiatku k priamke a j je uhol, ktorý zviera táto kolmica s kladným smerom osi Ox.

3. Rovnica priamky pomocou bodu a sklonu.

Nech je uhlový koeficient priamky rovný k, priamka prechádza bodom M(x 0, y 0). Potom rovnicu priamky nájdeme podľa vzorca: y – y 0 = k(x – x 0)

Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi.

Nech sú v priestore dané dva body M 1 (x 1, y 1, z 1) a M 2 (x 2, y 2, z 2), potom rovnica priamky prechádzajúcej týmito bodmi je:

Ak je niektorý z menovateľov nula, zodpovedajúci čitateľ by mal byť nastavený na nulu.

V rovine je rovnica priamky napísaná vyššie zjednodušená:

ak x 1 ¹ x 2 a x = x 1, ak x 1 = x 2.

Zlomok = k sa nazýva sklon rovno.

Nech je v rovine  daný kartézsky pravouhlý súradnicový systém Oxy a nejaká priamka L.

Definícia. Rovnica F(x;y)=0 (1) volal rovnica priamkyL(vo vzťahu k danému súradnicovému systému), ak je táto rovnica splnená súradnicami x a y ktoréhokoľvek bodu ležiaceho na priamke L, a nie súradnicami x a y žiadneho bodu neležiaceho na priamke L.

To. čiara v rovine je lokus bodov (M(x;y)), ktorých súradnice spĺňajú rovnicu (1).

Rovnica (1) definuje čiaru L.

Príklad. Rovnica kruhu.

Kruh– množina bodov rovnako vzdialených od daného bodu M 0 (x 0,y 0).

Bod M 0 (x 0, y 0) – stred kruhu.

Pre ľubovoľný bod M(x;y) ležiaci na kružnici je vzdialenosť MM 0 =R (R=konšt.)

MM 0 ==R

(x-x 0 ) 2 + (oooh 0 ) 2 =R 2 –(2) – rovnica kružnice s polomerom R so stredom v bode M 0 (x 0,y 0).

Parametrická rovnica priamky.

Nech sú súradnice x a y bodov na priamke L vyjadrené pomocou parametra t:

(3) – parametrická rovnica priamky v DSC

kde funkcie (t) a (t) sú spojité vzhľadom na parameter t (v určitom rozsahu variácie tohto parametra).

Vylúčením parametra t z rovnice (3) dostaneme rovnicu (1).

Úsečku L považujme za dráhu, ktorú prejde hmotný bod nepretržite sa pohybujúci podľa určitého zákona. Nech premenná t predstavuje čas počítaný od nejakého počiatočného okamihu. Potom špecifikácia pohybového zákona predstavuje špecifikáciu súradníc x a y pohybujúceho sa bodu ako nejaké spojité funkcie x=(t) a y=(t) času t.

Príklad. Odvoďme parametrickú rovnicu pre kružnicu s polomerom r>0 so stredom v počiatku. Nech M(x,y) je ľubovoľný bod tejto kružnice a t je uhol medzi vektorom polomeru a osou Ox, počítaný proti smeru hodinových ručičiek.

Potom x=r cos x y=r sin t. (4)

Rovnice (4) sú parametrické rovnice uvažovaného kruhu. Parameter t môže nadobudnúť ľubovoľnú hodnotu, ale aby bod M(x,y) raz obišiel kružnicu, je rozsah zmeny parametra obmedzený na polovičný segment 0t2.

Umocnením a sčítaním rovníc (4) získame všeobecnú rovnicu kruhu (2).

2. Polárny súradnicový systém (psc).

Vyberme si os L ( polárna os) a určte bod tejto osi O ( pól). Každý bod v rovine je jednoznačne definovaný polárne súradniceρ a φ, kde

ρ – polárny polomer, rovná vzdialenosti od bodu M k pólu O (ρ≥0);

φ – rohu medzi vektorovým smerom OM a os L ( polárny uhol). M(ρ ; φ )

Čiarová rovnica v UCS dá sa napísať:

ρ=f(φ) (5) explicitná rovnica čiary v UCS

F=(ρ; φ) (6) implicitná priamková rovnica v UCS

Vzťah medzi kartézskymi a polárnymi súradnicami bodu.

(x; y) (ρ ; φ ) Z trojuholníka OMA:

tan φ=(obnovenie uhlaφ podľa známehovzniká dotyčnicaberúc do úvahy, v ktorom kvadrante sa nachádza bod M).(ρ ; φ )(x;y). x=ρcosφ,y=ρsinφ

Príklad . Nájdite polárne súradnice bodov M(3;4) a P(1;-1).

Pre M:=5, φ=arctg (4/3). Pre P: ρ=; φ=Π+arctg(-1)=3Π/4.

Klasifikácia plochých čiar.

Definícia 1. Linka je tzv algebraický, ak v nejakom kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme, ak je definovaný rovnicou F(x;y)=0 (1), v ktorej funkcia F(x;y) je algebraický polynóm.

Definícia 2. Každá nealgebraická čiara je tzv transcendentálny.

Definícia 3. Algebraická čiara je tzv riadok objednávkyn, ak v niektorom kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme je táto priamka určená rovnicou (1), v ktorej funkcia F(x;y) je algebraický polynóm n-tého stupňa.

Čiara n-tého rádu je teda čiara definovaná v nejakom karteziánskom pravouhlom systéme algebraickou rovnicou stupňa n s dvoma neznámymi.

Nasledujúca veta prispieva k stanoveniu správnosti definícií 1,2,3.

Veta(dokument na str. 107). Ak je priamka v niektorom kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme určená algebraickou rovnicou stupňa n, potom je táto priamka v akomkoľvek inom karteziánskom pravouhlom súradnicovom systéme určená algebraickou rovnicou rovnakého stupňa n.