Rozprávky

Koncept kužeľa. Kužeľ ako geometrický útvar Aká je dĺžka tvoriacej čiary kužeľa

Ktoré vychádzajú z jedného bodu (vrchol kužeľa) a ktoré prechádzajú rovným povrchom.

Stáva sa, že kužeľ je časť telesa, ktorá má obmedzený objem a je získaná spojením každého segmentu, ktorý spája vrchol a body rovného povrchu. To druhé v tomto prípade je základňa kužeľa, a hovorí sa, že kužeľ spočíva na tejto základni.

Keď je základňa kužeľa mnohouholník, už je pyramída .

Kruhový kužeľ- ide o teleso pozostávajúce z kruhu (základňa kužeľa), bodu, ktorý neleží v rovine tohto kruhu (vrchol kužeľa a všetky segmenty, ktoré spájajú vrchol kužeľa s hrotmi kužeľa základňa).

Segmenty, ktoré spájajú vrchol kužeľa a body základnej kružnice, sa nazývajú tvoriaci kužeľ. Povrch kužeľa pozostáva zo základne a bočnej plochy.

Bočná plocha je správna n- uhlíková pyramída vpísaná do kužeľa:

Sn = ½ P n l n,

Kde P n- obvod základne pyramídy a l n- apotéma.

Rovnakým princípom: pre bočnú plochu zrezaného kužeľa s polomermi základne R 1, R 2 a formovanie l dostaneme nasledujúci vzorec:

S=(R1+R2)1.

Rovné a šikmé kruhové kužele s rovnakou základňou a výškou. Tieto telesá majú rovnaký objem:

Vlastnosti kužeľa.

Keď má plocha základne limit, znamená to, že objem kužeľa má tiež limit a rovná sa tretej časti súčinu výšky a plochy základne.

Kde S- základná plocha, H- výška.

Takže každý kužeľ, ktorý spočíva na tejto základni a má vrchol, ktorý je umiestnený v rovine rovnobežnej so základňou, má rovnaký objem, pretože ich výšky sú rovnaké.

Ťažisko každého kužeľa s objemom s limitom sa nachádza v štvrtine výšky od základne.
Priestorový uhol vo vrchole pravého kruhového kužeľa možno vyjadriť nasledujúcim vzorcom:

Kde α - uhol otvorenia kužeľa.

Bočný povrch takého kužeľa, vzorec:

a celkový povrch (to znamená súčet plôch bočného povrchu a základne), vzorec:

S=πR(l+R),

Kde R- polomer základne, l— dĺžka tvoriacej čiary.

Objem kruhového kužeľa, vzorec:

Pre zrezaný kužeľ (nielen rovný alebo kruhový), objem, vzorec:

Kde S 1 A S 2- plocha hornej a dolnej základne,

h A H- vzdialenosti od roviny hornej a dolnej základne k vrcholu.

Priesečník roviny s pravým kruhovým kužeľom patrí medzi kužeľosečky.

V tejto lekcii sa zoznámime s takou postavou, ako je kužeľ. Poďme študovať prvky kužeľa a typy jeho sekcií. A zistíme, s ktorou figúrkou má kužeľ veľa spoločných vlastností.

Obr.1. Predmety v tvare kužeľa

Vo svete je obrovské množstvo vecí v tvare kužeľa. Často si ich ani nevšimneme. Cestné kužele upozorňujúce na práce na ceste, strechy hradov a domov, zmrzlinové kornútky - všetky tieto predmety majú tvar kužeľa (viď obr. 1).

Ryža. 2. Pravý trojuholník

Uvažujme ľubovoľný pravouhlý trojuholník s nohami a (pozri obr. 2).

Ryža. 3. Rovný kruhový kužeľ

Otočením daného trojuholníka okolo jednej z nôh (bez straty všeobecnosti, nech je to noha), prepona opíše povrch a noha opíše kruh. Tak získame teleso, ktoré sa nazýva pravý kruhový kužeľ (pozri obr. 3).

Ryža. 4. Druhy kužeľov

Keďže hovoríme o priamom kruhovom kuželi, zrejme existuje nepriamy aj nekruhový? Ak je základňa kužeľa kruh, ale vrchol sa nepremieta do stredu tohto kruhu, potom sa takýto kužeľ nazýva naklonený. Ak základom nie je kruh, ale ľubovoľná postava, potom sa takémuto telesu niekedy hovorí kužeľ, ale, samozrejme, nie kruhový (pozri obr. 4).

Opäť sa teda dostávame k analógii, ktorá je nám už známa z práce s valcami. V skutočnosti je kužeľ niečo ako pyramída, ide len o to, že pyramída má na základni mnohouholník a kužeľ (ktorý budeme uvažovať) má kruh (pozri obr. 5).

Segment osi otáčania (v našom prípade je to noha) uzavretý vo vnútri kužeľa sa nazýva os kužeľa (pozri obr. 6).

Ryža. 5. Kužeľ a pyramída

Ryža. 6. - os kužeľa

Ryža. 7. Základňa kužeľa

Kruh vytvorený rotáciou druhej nohy () sa nazýva základňa kužeľa (pozri obr. 7).

A dĺžka tohto ramena je polomer základne kužeľa (alebo jednoduchšie polomer kužeľa) (pozri obr. 8).

Ryža. 8. - polomer kužeľa

Ryža. 9. - vrch kužeľa

Vrchol ostrého uhla rotujúceho trojuholníka ležiaceho na osi rotácie sa nazýva vrchol kužeľa (pozri obr. 9).

Ryža. 10. - výška kužeľa

Výška kužeľa je úsečka vedená z vrcholu kužeľa kolmo na jeho základňu (pozri obr. 10).

Tu môžete mať otázku: ako sa potom segment osi otáčania líši od výšky kužeľa? V skutočnosti sa zhodujú iba v prípade priameho kužeľa, ak sa pozriete na naklonený kužeľ, všimnete si, že ide o dva úplne odlišné segmenty (pozri obr. 11).

Ryža. 11. Výška v naklonenom kuželi

Vráťme sa k rovnému kužeľu.

Ryža. 12. Generátory kužeľa

Segmenty spájajúce vrchol kužeľa s bodmi kružnice jeho základne sa nazývajú generátory kužeľa. Mimochodom, všetky tvoriace priamky pravého kužeľa sú si navzájom rovné (pozri obr. 12).

Ryža. 13. Prírodné kužeľovité predmety

Konos v preklade z gréčtiny znamená „borovicová šiška“. V prírode je dostatok predmetov, ktoré majú tvar kužeľa: smrek, hora, mravenisko atď. (pozri obr. 13).

Ale už sme si zvykli, že kužeľ je rovný. Má rovnaké tvoriace priamky a jeho výška sa zhoduje s osou. Takýto kužeľ sme nazvali rovný kužeľ. V kurzoch školskej geometrie sa zvyčajne berú do úvahy priame kužele a štandardne sa akýkoľvek kužeľ považuje za pravý kruhový. Ale už sme povedali, že existujú nielen priame kužele, ale aj šikmé.

Ryža. 14. Kolmý rez

Vráťme sa k rovným šiškám. „Vyrežte“ kužeľ rovinou kolmou na os (pozri obr. 14).

Aká postava bude na strihu? Samozrejme, že je to kruh! Pripomeňme si, že rovina prebieha kolmo na os, a teda rovnobežne so základňou, ktorou je kruh.

Ryža. 15. Šikmý úsek

Teraz postupne nakláňame rovinu rezu. Potom sa náš kruh začne postupne meniť na čoraz predĺženejší ovál. Ale len dovtedy, kým rovina rezu nenarazí na základnú kružnicu (pozri obr. 15).

Ryža. 16. Typy rezov na príklade mrkvy

Tí, ktorí radi skúmajú svet experimentálne, si to môžu overiť pomocou mrkvy a noža (skúste rezať plátky z mrkvy pod rôznymi uhlami) (pozri obr. 16).

Ryža. 17. Axiálny rez kužeľa

Rez kužeľa rovinou prechádzajúcou jeho osou sa nazýva osový rez kužeľa (pozri obr. 17).

Ryža. 18. Rovnoramenný trojuholník - prierezový obrazec

Tu dostaneme úplne iný prierezový obrázok: trojuholník. Tento trojuholník je rovnoramenný (pozri obr. 18).

V tejto lekcii sme sa dozvedeli o valcovej ploche, typoch valca, prvkoch valca a podobnosti valca s hranolom.

Tvoriaca čiara kužeľa je 12 cm a je naklonená k rovine základne pod uhlom 30 stupňov. Nájdite axiálnu plochu prierezu kužeľa.

Riešenie

Uvažujme požadovaný osový rez. Toto je rovnoramenný trojuholník, ktorého strany sú 12 stupňov a základný uhol je 30 stupňov. Potom môžete postupovať rôznymi spôsobmi. Alebo môžete nakresliť výšku, nájsť ju (polovica prepony, 6), potom základňu (pomocou Pytagorovej vety) a potom plochu.

Ryža. 19. Ilustrácia problému

Alebo okamžite nájdite uhol vo vrchole - 120 stupňov - a vypočítajte plochu ako polovičný súčin strán a sínus uhla medzi nimi (odpoveď bude rovnaká).

Geometria. Učebnica pre ročníky 10-11. Atanasyan L.S. a ďalšie, 18. vydanie. - M.: Vzdelávanie, 2009. - 255 s.
Geometria 11. ročník, A.V. Pogorelov, M.: Vzdelávanie, 2002
Pracovný zošit z geometrie 11. ročník, V.F. Butuzov, Yu.A. Glazkov

Yaklass.ru ().
Uztest.ru ().
Bitclass.ru ().

Domáca úloha

) - teleso v euklidovskom priestore získané spojením všetkých lúčov vychádzajúcich z jedného bodu ( vrcholov kužeľ) a prechádza cez rovný povrch. Kužeľ je niekedy súčasťou takého telesa, ktoré má obmedzený objem a je získané spojením všetkých segmentov spájajúcich vrchol a body plochého povrchu (ten sa v tomto prípade nazýva základ kužeľ a kužeľ sa nazýva naklonený na tomto základe). Ak je základňa kužeľa mnohouholník, takýto kužeľ je pyramída.

Encyklopedický YouTube

1 / 4

✪ Ako vyrobiť kužeľ z papiera.

titulky

Súvisiace definície

Segment spájajúci vrchol a hranicu základne sa nazýva tvoriaca čiara kužeľa.
Spojenie generátorov kužeľa sa nazýva generatrix(alebo strane) kužeľový povrch. Tvarovacia plocha kužeľa je kužeľová plocha.
Segment spadnutý kolmo z vrcholu na rovinu základne (rovnako ako dĺžka takéhoto segmentu) sa nazýva tzv. výška kužeľa.
Uhol kužeľa- uhol medzi dvoma protiľahlými tvoriacimi priamkami (uhol na vrchole kužeľa, vo vnútri kužeľa).
Ak má základňa kužeľa stred symetrie (napríklad je to kružnica alebo elipsa) a kolmý priemet vrcholu kužeľa na rovinu základne sa zhoduje s týmto stredom, potom sa kužeľ nazýva priamy. V tomto prípade sa nazýva priamka spájajúca vrchol a stred základne os kužeľa.
Šikmé (naklonený) kužeľ - kužeľ, ktorého ortogonálny priemet vrcholu na podstavu sa nezhoduje s jeho stredom súmernosti.
Kruhový kužeľ- kužeľ, ktorého základom je kruh.
Rovný kruhový kužeľ(často jednoducho nazývaný kužeľ) možno získať otáčaním pravouhlého trojuholníka okolo čiary obsahujúcej nohu (táto čiara predstavuje os kužeľa).
Kužeľ spočívajúci na elipse, parabole alebo hyperbole sa nazýva eliptické, parabolický A hyperbolický kužeľ(posledné dve majú nekonečný objem).
Časť kužeľa, ktorá leží medzi základňou a rovinou rovnobežnou so základňou a nachádza sa medzi vrcholom a základňou, sa nazýva zrezaný kužeľ, alebo kónická vrstva.

Vlastnosti

Ak je plocha základne konečná, potom je objem kužeľa tiež konečný a rovná sa jednej tretine súčinu výšky a plochy základne.

V = 1 3 S H , (\displaystyle V=(1 \over 3)SH,)

Kde S- základná plocha, H- výška. Všetky kužele spočívajúce na danej základni (konečnej plochy) a s vrcholom umiestneným v danej rovine rovnobežnej so základňou majú teda rovnaký objem, pretože ich výšky sú rovnaké.

Ťažisko akéhokoľvek kužeľa s konečným objemom leží v štvrtine výšky od základne.
Priestorový uhol vo vrchole pravého kruhového kužeľa je rovný

2 π (1 − cos ⁡ α 2) , (\displaystyle 2\pi \left(1-\cos (\alpha \over 2)\right),) kde α je uhol otvorenia kužeľa.

Bočný povrch takého kužeľa sa rovná

S = π R l , (\displaystyle S=\pi Rl,)

a celkový povrch (to znamená súčet plôch bočného povrchu a základne)

S = π R (l + R), (\displaystyle S=\pi R(l+R),) Kde R- základný polomer, l = R2 + H2 (\displaystyle l=(\sqrt (R^(2)+H^(2))))- dĺžka tvoriacej čiary.

Objem kruhového (nie nevyhnutne priameho) kužeľa sa rovná

V = 13 πR2H. (\displaystyle V=(1 \over 3)\pi R^(2)H.)

Pre zrezaný kužeľ (nie nevyhnutne rovný a kruhový) sa objem rovná:

V = 1 3 (H S 2 − h S 1), (\displaystyle V=(1 \over 3)(HS_(2)-hS_(1)),)

kde S1 a S2 sú plochy hornej (najbližšie k hornej) a dolnej základne, v tomto poradí, h A H- vzdialenosti od roviny hornej a dolnej základne k vrcholu.

Priesečník roviny s pravým kruhovým kužeľom je jednou z kužeľosečiek (v nedegenerovaných prípadoch - elipsa, parabola alebo hyperbola, v závislosti od polohy roviny rezu).

Kužeľová rovnica

Rovnice definujúce bočný povrch pravého kruhového kužeľa s uhlom otvorenia 2Θ, vrcholom v počiatku a osou zhodujúcou sa s osou Oz :

V sférickom súradnicovom systéme so súradnicami ( r, φ, θ) :

θ = Θ. (\displaystyle \theta =\Theta.)

Vo valcovom súradnicovom systéme so súradnicami ( r, φ, z) :

z = r ⋅ ctg ⁡ Θ (\displaystyle z=r\cdot \operatorname (ctg) \Theta ) alebo r = z ⋅ tan ⁡ Θ . (\displaystyle r=z\cdot \operatorname (tg) \Theta .)

V karteziánskom súradnicovom systéme so súradnicami (X, r, z) :

z = ± x 2 + y 2 ⋅ detská postieľka ⁡ Θ . (\displaystyle z=\pm (\sqrt (x^(2)+y^(2)))\cdot \operatorname (ctg) \Theta .) Táto rovnica v kanonickom tvare je napísaná ako

kde sú konštanty a, s určený pomerom c / a = cos ⁡ Θ / sin ⁡ Θ . (\displaystyle c/a=\cos \Theta /\sin \Theta .) To ukazuje, že bočný povrch pravého kruhového kužeľa je povrchom druhého rádu (tzv kužeľový povrch). Vo všeobecnosti kužeľová plocha druhého rádu spočíva na elipse; vo vhodnom karteziánskom súradnicovom systéme (os Oh A OU rovnobežne s osami elipsy sa vrchol kužeľa zhoduje s počiatkom, stred elipsy leží na osi Oz) jeho rovnica má tvar

x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 0 , (\displaystyle (\frac (x^(2))(a^(2)))+(\frac (y^(2))( b^(2)))-(\frac (z^(2))(c^(2)))=0,)

a a/c A b/c rovná poloosiam elipsy. V najvšeobecnejšom prípade, keď kužeľ spočíva na ľubovoľnom rovnom povrchu, je možné ukázať, že rovnica bočného povrchu kužeľa (s jeho vrcholom v počiatku) je daná rovnicou f (x, y, z) = 0, (\displaystyle f(x,y,z)=0,) kde je funkcia f (x, y, z) (\displaystyle f(x,y,z)) je homogénna, teda spĺňa podmienku f (α x, α y, α z) = α n f (x, y, z) (\displaystyle f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=\alpha ^(n)f(x,y ,z)) pre akékoľvek reálne číslo α.

skenovať

Pravý kruhový kužeľ ako rotačné teleso tvorí pravouhlý trojuholník otáčajúci sa okolo jednej z nôh, kde h- výška kužeľa od stredu základne po vrchol - je rameno pravouhlého trojuholníka, okolo ktorého dochádza k rotácii. Druhá vetva pravouhlého trojuholníka r- polomer na základni kužeľa. Prepona pravouhlého trojuholníka je l- tvoriaci kužeľ.

Na vytvorenie skenu kužeľa je možné použiť iba dve množstvá r A l. Polomer základne r definuje kružnicu základne kužeľa vo vývoji a sektor bočnej plochy kužeľa je určený tvoriacou čiarou bočnej plochy l, čo je polomer sektora bočnej plochy. Sektorový uhol φ (\displaystyle \varphi ) vo vývoji bočného povrchu kužeľa je určený vzorcom:

φ = 360° ( r/l) .

Kužeľ (presnejšie kruhový kužeľ) je teleso, ktoré pozostáva z kruhu - základne kužeľa, bodu, ktorý neleží v rovine tohto kruhu - vrcholu kužeľa a všetkých segmentov spájajúcich vrchol kužeľa. s bodmi základne (obr. 1) Úsečky spájajúce vrchol kužeľa s bodmi základne kružnice sa nazývajú generátory kužeľa. Všetky generátory kužeľa sú si navzájom rovné. Povrch kužeľa pozostáva zo základne a bočnej plochy.
Ryža. 1
Kužeľ sa nazýva rovný, ak priamka spájajúca vrchol kužeľa so stredom podstavy je kolmá na rovinu podstavy. Vizuálne si priamy kruhový kužeľ môžeme predstaviť ako teleso získané otáčaním pravouhlého trojuholníka okolo jeho nohy ako osi (obr. 2).
Ryža. 2
Výška kužeľa je kolmica, ktorá klesá z jeho vrcholu na rovinu základne. Pre rovný kužeľ sa základňa výšky zhoduje so stredom základne. Osou pravého kruhového kužeľa je priamka obsahujúca jeho výšku.
Rez kužeľa rovinou prechádzajúcou jeho vrcholom je rovnoramenný trojuholník, ktorého strany tvoria kužeľ (obr. 3). Najmä rovnoramenný trojuholník je axiálna časť kužeľa. Ide o úsek, ktorý prechádza osou kužeľa (obr. 4).
Ryža. 3 Obr. 4

Plocha povrchu kužeľa
Bočná plocha kužeľa, podobne ako bočná plocha valca, môže byť otočená do roviny rezom pozdĺž jednej z tvoriacich priamok (obr. 2, a, b). Rozvinutím bočnej plochy kužeľa je kruhový sektor (obr. 2.6), ktorého polomer sa rovná tvoriacej priamke kužeľa a oblúková dĺžka sektora je obvod základne kužeľa.
Oblasť bočného povrchu kužeľa sa považuje za oblasť jeho vývoja. Vyjadrime plochu S bočnej plochy kužeľa pomocou jeho tvoriacej priamky l a polomeru podstavy r.
Plocha kruhového sektora – rozvinutie bočnej plochy kužeľa (obr. 2) – sa rovná (Pl2a)/360, kde a je miera oblúka ABA“, teda
Sstrana = (Pl2a)/360. (*)
Vyjadrime a pomocou l a r. Keďže dĺžka oblúka ABA" sa rovná 2Pr (obvod základne kužeľa), potom 2Pr = Pla/180, odkiaľ a=360r/l. Dosadením tohto výrazu do vzorca (*) dostaneme:
Sside = Prl. (**)
Plocha bočného povrchu kužeľa sa teda rovná súčinu polovice obvodu základne a tvoriacej čiary.
Celková plocha kužeľa je súčtom plôch bočného povrchu a základne. Na výpočet plochy Scon celkového povrchu kužeľa sa získa vzorec: Scon = Pr (l + r). (***)

Frustum
Zoberme si ľubovoľný kužeľ a nakreslíme rovinu rezu kolmú na jeho os. Táto rovina sa pretína s kužeľom v kruhu a rozdeľuje kužeľ na dve časti. Jedna z častí je kužeľ a druhá sa nazýva zrezaný kužeľ. Základňa pôvodného kužeľa a kružnica získaná zrezaním tohto kužeľa rovinou sa nazývajú základne zrezaného kužeľa a segment spájajúci ich stredy sa nazýva výška zrezaného kužeľa.

Časť kužeľovej plochy, ktorá ohraničuje zrezaný kužeľ, sa nazýva jeho bočná plocha a segmenty tvoriacich čiar kužeľovej plochy uzavreté medzi základňami sa nazývajú generátory zrezaného kužeľa. Všetky generátory zrezaného kužeľa sú si navzájom rovné (dokážte to sami).
Plocha bočného povrchu zrezaného kužeľa sa rovná súčinu polovice súčtu dĺžok kruhov základne a generátora: Sside = П (r + r1) l.

Ďalšie informácie o kuželi
1. V geológii existuje pojem „ventilátor“. Ide o terén vytvorený nahromadením klastických hornín (kamienky, štrk, piesok) unášaných horskými riekami na podhorskú nížinu alebo do plochejšieho, širšieho údolia.
2. V biológii existuje pojem „kužeľ rastu“. Toto je vrchol výhonku a koreňa rastlín, ktorý pozostáva z buniek vzdelávacieho tkaniva.
3. „Kuže“ je čeľaď morských mäkkýšov podtriedy prosobranch. Škrupina je kužeľovitá (2–16 cm), pestrofarebná. Existuje viac ako 500 druhov šišiek. Žijú v trópoch a subtrópoch, sú predátormi a majú jedovatú žľazu. Uhryznutie kužeľov je veľmi bolestivé. Úmrtia sú známe. Mušle sa používajú ako dekorácie a suveníry.
4. Podľa štatistík zomrie na Zem každoročne 6 ľudí na 1 milión obyvateľov na úder blesku (častejšie v južných krajinách). To by sa nestalo, keby boli všade bleskozvody, keďže vzniká bezpečnostný kužeľ. Čím vyšší je bleskozvod, tým väčší je objem takéhoto kužeľa. Niektorí sa snažia pred výbojmi schovať pod strom, ale strom nie je vodič, hromadia sa na ňom náboje a strom môže byť zdrojom napätia.
5. Vo fyzike sa stretávame s pojmom „pevný uhol“. Ide o uholník v tvare kužeľa vyrezaný do gule. Jednotkou priestorového uhla je 1 steradián. 1 steradián je priestorový uhol, ktorého štvorcový polomer sa rovná ploche časti gule, ktorú vyrezáva. Ak do tohto rohu umiestnime svetelný zdroj 1 kandela (1 sviečka), dostaneme svetelný tok 1 lumen. Svetlo z filmovej kamery alebo reflektora sa šíri vo forme kužeľa.