Príprava do školy

Encyklopédia matematiky. Matematická encyklopédia Axiómy a metódy dokazovania

Stiahnite si knihu Matematická encyklopédia v 5 zväzkochúplne zadarmo.

Ak si chcete stiahnuť knihu zadarmo z hostingu súborov, kliknite na odkazy hneď za popisom bezplatnej knihy.

Vážení čitatelia, ak ste neuspeli

stiahnuť matematickú encyklopédiu v 5 zväzkoch

Napíšte o tom do komentárov a my vám určite pomôžeme.

Dúfame, že sa vám kniha páčila a že ste si ju radi prečítali. Ako poďakovanie nám môžete zanechať odkaz na našu stránku na fóre alebo blogu :) Elektronická kniha Matematická encyklopédia v 5 zväzkoch je poskytovaná len na preskúmanie pred kúpou papierovej knihy a nie je konkurentom tlačených publikácií.

Obsah článku

MATEMATIKA. Matematika je zvyčajne definovaná uvedením názvov niektorých jej tradičných odvetví. V prvom rade ide o aritmetiku, ktorá sa zaoberá štúdiom čísel, vzťahmi medzi nimi a pravidlami práce s číslami. Fakty aritmetiky sú otvorené rôznym konkrétnym interpretáciám; napríklad pomer 2 + 3 = 4 + 1 zodpovedá tvrdeniu, že dve a tri knihy tvoria toľko kníh ako štyri a jedna. Akýkoľvek vzťah ako 2 + 3 = 4 + 1, t.j. vzťah medzi čisto matematickými objektmi bez odkazu na akúkoľvek interpretáciu z fyzického sveta sa nazýva abstraktný. Abstraktný charakter matematiky umožňuje jej využitie pri riešení najviac rôzne problémy. Napríklad algebra, ktorá sa zaoberá operáciami s číslami, vám umožňuje riešiť problémy, ktoré presahujú rámec aritmetiky. Špecifickejším odvetvím matematiky je geometria, ktorej hlavnou úlohou je štúdium veľkostí a tvarov predmetov. Kombinácia algebraických metód s geometrickými vedie na jednej strane k trigonometrii (pôvodne sa venovala štúdiu geometrických trojuholníkov a dnes pokrýva oveľa širšiu problematiku) a na druhej strane k analytickej geometrii, v ktorej geometrické telesá a útvary sa študujú algebraickými metódami. Existuje niekoľko odvetví vyššej algebry a geometrie, ktoré majú vyšší stupeň abstrakcie a nezaoberajú sa štúdiom obyčajných čísel a obyčajných geometrických útvarov; najabstraktnejšia z geometrických disciplín sa nazýva topológia.

Matematická analýza sa zaoberá štúdiom veličín, ktoré sa menia v priestore alebo čase, a opiera sa o dva základné pojmy – funkciu a limitu, ktoré sa nenachádzajú v elementárnejších častiach matematiky. Spočiatku matematická analýza pozostávala z diferenciálneho a integrálneho počtu, ale teraz zahŕňa ďalšie časti.

Existujú dve hlavné oblasti matematiky – čistá matematika, v ktorej sa kladie dôraz na deduktívne uvažovanie, a aplikovaná matematika. Termín „aplikovaná matematika“ sa niekedy vzťahuje na tie odvetvia matematiky, ktoré sú vytvorené špeciálne na uspokojenie potrieb a požiadaviek vedy, a niekedy na tie časti rôznych vied (fyzika, ekonómia atď.), ktoré používajú matematiku ako prostriedok riešenia ich úlohy. Mnoho bežných mylných predstáv o matematike vyplýva zo zmätku medzi týmito dvoma interpretáciami „aplikovanej matematiky“. Aritmetika môže byť príkladom aplikovanej matematiky v prvom zmysle a účtovníctva v druhom zmysle.

Na rozdiel od všeobecného presvedčenia sa matematika naďalej rýchlo rozvíja. Mathematical Review publikuje ročne cca. 8000 krátkych súhrnov článkov obsahujúcich najnovšie výsledky - nové matematické fakty, nové dôkazy starých faktov a dokonca aj informácie o úplne nových oblastiach matematiky. Súčasným trendom vo vzdelávaní matematiky je oboznamovať žiakov s modernými, abstraktnejšími matematickými myšlienkami v skoršom štádiu vyučovania matematiky. pozri tiež HISTÓRIA MATEMATIKY. Matematika je jedným zo základných kameňov civilizácie, ale len veľmi málo ľudí má predstavu o súčasnom stave vecí v tejto vede.

Matematika prešla za posledných sto rokov obrovskými zmenami, čo sa týka učiva aj metód štúdia. V tomto článku sa pokúsime poskytnúť všeobecnú predstavu o hlavných etapách vývoja modernej matematiky, ktorých hlavné výsledky možno považovať na jednej strane za zvýšenie rozdielu medzi čistou a aplikovanou matematikou, a na druhej strane úplné prehodnotenie tradičných oblastí matematiky.

VÝVOJ MATEMATICKEJ METÓDY

Zrod matematiky.

Okolo roku 2000 pred Kr bolo zaznamenané, že v trojuholníku so stranami 3, 4 a 5 jednotiek dĺžky sa jeden z uhlov rovná 90 ° (toto pozorovanie uľahčilo vytvorenie pravého uhla pre praktické potreby). Všimli ste si potom vzťah 5 2 = 3 2 + 4 2? V tejto súvislosti nemáme žiadne informácie. O niekoľko storočí neskôr bolo objavené všeobecné pravidlo: v akomkoľvek trojuholníku ABC s pravým uhlom na vrchu A a večierky b = AC A c = AB, medzi ktorými je tento uhol uzavretý, a protiľahlá strana k nemu a = pred Kr pomer a 2 = b 2 + c 2. Dá sa povedať, že veda začína vtedy, keď sa množstvo jednotlivých pozorovaní vysvetľuje jedným všeobecným zákonom; teda objav „Pytagorovej vety“ možno považovať za jeden z prvých známych príkladov skutočne vedeckého úspechu.

Ale ešte dôležitejšie pre vedu vo všeobecnosti a pre matematiku zvlášť je skutočnosť, že spolu s formuláciou bežný zákon sú pokusy to dokázať, t.j. ukazujú, že to nevyhnutne vyplýva z iných geometrických vlastností. Jeden z východných „dôkazov“ je obzvlášť grafický vo svojej jednoduchosti: štyri trojuholníky, ktoré sa rovnajú danému, sú vpísané do štvorca. BCDE ako je znázornené na výkrese. štvorcová plocha a 2 je rozdelený na štyri rovnaké trojuholníky s celkovou plochou 2 bc a štvorec AFGH oblasť ( b – c) 2. Touto cestou, a 2 = (b – c) 2 + 2bc = (b 2 + c 2 – 2bc) + 2bc = b 2 + c 2. Je poučné ísť ešte o krok ďalej a presnejšie zistiť, ktoré „predchádzajúce“ vlastnosti majú byť známe. Najzrejmejším faktom je, že od trojuholníkov BAC A BEF presne, bez medzier a prekrývania, po stranách „nasadené“. BA A bf, čo znamená, že dva rohy vo vrcholoch B A OD v trojuholníku ABS spolu zvierajú uhol 90° a preto súčet všetkých troch jeho uhlov je 90° + 90° = 180°. Vyššie uvedený „dôkaz“ tiež používa vzorec ( bc/2) pre oblasť trojuholníka ABC s uhlom 90° v hornej časti A. V skutočnosti boli použité aj iné predpoklady, ale to, čo bolo povedané, stačí na to, aby sme jasne videli základný mechanizmus matematického dôkazu - deduktívne uvažovanie, ktoré umožňuje používať čisto logické argumenty (na základe správne pripraveného materiálu, v našom príklade - rozdelenie štvorec) odvodiť z známe výsledky nové vlastnosti spravidla nevyplývajú priamo z dostupných údajov.

Axiómy a metódy dokazovania.

Jednou zo základných čŕt matematickej metódy je proces vytvárania, pomocou starostlivo zostavených, čisto logických argumentov, reťazca výrokov, v ktorom je každý nasledujúci článok spojený s predchádzajúcimi. Prvá pomerne zrejmá úvaha je, že každá reťaz musí mať prvý článok. Táto okolnosť sa Grékom stala zrejmou, keď začali v 7. storočí systematizovať kód matematických argumentov. pred Kr. Grékom to trvalo cca. 200 rokov staré a zachované dokumenty poskytujú len približnú predstavu o tom, ako presne konali. Presné informácie máme len o konečnom výsledku výskumu – slávnom Začiatky Euklides (asi 300 pred Kr.). Euklides začína vymenovaním počiatočných pozícií, z ktorých sa odvodzuje všetko ostatné čisto logickým spôsobom. Tieto ustanovenia sa nazývajú axiómy alebo postuláty (výrazy sú prakticky zameniteľné); vyjadrujú buď veľmi všeobecné a trochu vágne vlastnosti objektov akéhokoľvek druhu, ako napríklad „celok je väčší ako časť“, alebo niektoré špecifické matematické vlastnosti, ako napríklad skutočnosť, že pre ľubovoľné dva body existuje jedna priamka, ktorá ich spája. . Nemáme ani žiadne informácie o tom, či Gréci pripisovali „pravde“ axióm nejaký hlbší význam alebo význam, hoci existujú náznaky, že Gréci o nich pred prijatím určitých axióm nejaký čas diskutovali. V Euklidovi a jeho nasledovníkoch sú axiómy prezentované len ako východiská pre konštrukciu matematiky, bez akéhokoľvek komentára k ich podstate.

Pokiaľ ide o metódy dôkazu, spravidla sa obmedzili na priame použitie predtým preukázaných teorémov. Niekedy sa však logika uvažovania ukázala ako zložitejšia. Spomenieme tu Euklidovu obľúbenú metódu, ktorá sa stala súčasťou každodennej praxe matematiky – nepriamy dôkaz, alebo dôkaz protirečením. Ako elementárny príklad dôkazu kontradikciou si ukážeme, že šachovnicu, z ktorej sú vyrezané dve rohové polia, ktoré sa nachádzajú na opačných koncoch uhlopriečky, nemožno obložiť dominou, z ktorých každé sa rovná dvom poliam. (Predpokladá sa, že každé pole šachovnice musí byť prekryté len raz.) Predpokladajme, že platí opačné („opačné“) tvrdenie, t.j. že doska môže byť pokrytá dominou. Každá dlaždica pokrýva jeden čierny a jeden biely štvorec, takže bez ohľadu na to, kde sú kocky domina umiestnené, pokrývajú rovnaký počet čiernych a bielych štvorcov. Keďže však boli odstránené dve rohové polia, šachovnica (ktorá mala pôvodne toľko čiernych ako bielych) má o dve polia jednej farby viac ako polia druhej farby. To znamená, že náš pôvodný predpoklad nemôže byť pravdivý, pretože vedie k rozporu. A keďže protichodné tvrdenia nemôžu byť obe súčasne nepravdivé (ak je jeden z nich nepravdivý, potom je pravdou opak), náš počiatočný predpoklad musí byť pravdivý, pretože protichodný predpoklad je nepravdivý; šachovnicu s dvomi vyrezanými rohovými políčkami umiestnenými diagonálne teda nemožno obložiť dominou. Aby sme teda dokázali určité tvrdenie, môžeme predpokladať, že je nepravdivé, a vyvodiť z tohto predpokladu rozpor s nejakým iným tvrdením, ktorého pravdivosť je známa.

Vynikajúcim príkladom dôkazu protirečením, ktorý sa stal jedným z míľnikov vo vývoji starogréckej matematiky, je dôkaz, že nie je racionálnym číslom, t.j. nereprezentovateľné ako zlomok p/q, kde p A q- celé čísla. Ak , potom 2 = p 2 /q 2, odkiaľ p 2 = 2q 2. Predpokladajme, že existujú dve celé čísla p A q, pre ktoré p 2 = 2q 2. Inými slovami, predpokladáme, že existuje celé číslo, ktorého druhá mocnina je dvojnásobkom druhej mocniny iného celého čísla. Ak niektoré celé čísla spĺňajú túto podmienku, potom jedno z nich musí byť menšie ako všetky ostatné. Zamerajme sa na najmenšie z týchto čísel. Nech je to číslo p. Od 2 q 2 je párne číslo a p 2 = 2q 2, potom číslo p 2 musí byť párne. Pretože druhé mocniny všetkých nepárnych čísel sú nepárne, a štvorec p 2 je párne, teda samotné číslo p musí byť rovnomerné. Inými slovami, číslo p dvakrát nejaké celé číslo r. Pretože p = 2r A p 2 = 2q 2, máme: (2 r) 2 = 4r 2 = 2q 2 a q 2 = 2r 2. Posledná rovnosť má rovnakú formu ako rovnosť p 2 = 2q 2 a môžeme, opakujúc rovnakú úvahu, ukázať, že číslo q je párne a že existuje také celé číslo s, čo q = 2s. Ale potom q 2 = (2s) 2 = 4s 2 a odvtedy q 2 = 2r 2 sme dospeli k záveru, že 4 s 2 = 2r 2 alebo r 2 = 2s 2. Takže dostaneme druhé celé číslo, ktoré spĺňa podmienku, že jeho druhá mocnina je dvojnásobkom druhej mocniny iného celého čísla. Ale potom p nemôže byť najmenšie takéto číslo (pretože r = p/2), aj keď sme pôvodne predpokladali, že je to najmenšie z takýchto čísel. Preto je náš pôvodný predpoklad nepravdivý, pretože vedie k rozporu, a preto neexistujú žiadne takéto celé čísla p A q, pre ktoré p 2 = 2q 2 (t. j. taký, že ). A to znamená, že číslo nemôže byť racionálne.

Od Euklida do začiatku 19. storočia.

Za toto obdobie sa matematika výrazne zmenila v dôsledku troch inovácií.

(1) V priebehu vývoja algebry bola vynájdená metóda symbolického zápisu, ktorá umožňovala reprezentovať čoraz zložitejšie vzťahy medzi veličinami v skrátenej forme. Ako príklad nepríjemnosti, ktorá by nastala, keby neexistovalo takéto „kurzívne písanie“, skúsme slovami vyjadriť pomer ( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2: Plocha štvorca so stranou rovnajúcou sa súčtu strán dvoch daných štvorcov sa rovná súčtu ich plôch spolu s dvojnásobkom plochy obdĺžnika, ktorého strany sa rovnajú stranám dané štvorce.“

(2) Tvorba v prvej polovici 17. storočia. analytická geometria, ktorá umožnila zredukovať akýkoľvek problém klasickej geometrie na nejaký algebraický problém.

(3) Vytvorenie a vývoj medzi rokmi 1600 a 1800 infinitezimálneho počtu, ktorý umožnil ľahko a systematicky riešiť stovky problémov súvisiacich s pojmami limity a spojitosti, z ktorých len veľmi málo bolo s veľkými problémami vyriešených starovekými Grékmi. matematikov. Týmito odvetviami matematiky sa podrobnejšie zaoberáme v článkoch ALGEBRA; ANALYTICKÁ GEOMETRIA; MATEMATICKÁ ANALÝZA ; PREHĽAD GEOMETRIE.

Počnúc 17. storočím. postupne objasňuje otázku, ktorá doteraz zostala nevyriešená. čo je matematika? Pred rokom 1800 bola odpoveď dosť jednoduchá. V tom čase neexistovali jasné hranice medzi rôznymi vedami, matematika bola súčasťou „ prírodná filozofia„- systematické štúdium prírody metódami navrhnutými veľkými reformátormi renesancie a začiatku 17. storočia. - Galileo (1564–1642), F. Bacon (1561–1626) a R. Descartes (1596–1650). Verilo sa, že matematici majú svoj vlastný študijný odbor – čísla a geometrické objekty a že matematici nepoužívajú experimentálnu metódu. Newton a jeho nasledovníci však študovali mechaniku a astronómiu pomocou axiomatickej metódy, podobne ako bola prezentovaná Euklidova geometria. Všeobecnejšie sa uznáva, že každá veda, v ktorej môžu byť výsledky experimentu reprezentované pomocou čísel alebo číselných systémov, sa stáva oblasťou aplikácie matematiky (vo fyzike bola táto myšlienka založená až v 19.

Oblasti experimentálnej vedy, ktoré prešli matematickým spracovaním, sa často označujú ako „aplikovaná matematika“; toto je veľmi nešťastné pomenovanie, pretože ani podľa klasických, ani podľa moderných štandardov v týchto aplikáciách neexistujú (v prísnom zmysle slova) skutočne matematické argumenty, keďže nematematické objekty sú v nich predmetom štúdia. Po preložení experimentálnych údajov do reči čísel alebo rovníc (takýto „preklad“ si často vyžaduje veľkú vynaliezavosť zo strany „aplikovaného“ matematika), objavuje sa možnosť širokého uplatnenia matematických teorémov; výsledok sa potom preloží späť a porovná s pozorovaniami. Skutočnosť, že pojem „matematika“ sa používa na proces tohto druhu, je jedným zo zdrojov nekonečných nedorozumení. V „klasických“ časoch, o ktorých teraz hovoríme, tento druh nedorozumenia neexistoval, pretože tí istí ľudia boli „aplikovaní“ aj „čistí“ matematici, ktorí sa súčasne zaoberali problémami matematickej analýzy alebo teórie čísel a problémami dynamiky alebo optiky. Zvýšená špecializácia a tendencia oddeľovať „čistých“ a „aplikovaných“ matematikov však výrazne oslabila už existujúcu tradíciu univerzálnosti a vedci, ktorí podobne ako J. von Neumann (1903 – 1957) dokázali aktívne vedecká činnosť v aplikovanej aj čistej matematike sa stali skôr výnimkou ako pravidlom.

Akú povahu majú matematické objekty – čísla, body, priamky, uhly, plochy atď., ktorých existenciu sme považovali za samozrejmosť? Čo znamená pojem „pravda“ vo vzťahu k takýmto objektom? Na tieto otázky boli v klasickom období dané celkom jednoznačné odpovede. Samozrejme, vedci tej doby jasne pochopili, že vo svete našich pocitov neexistujú veci ako Euklidova „nekonečne predĺžená priamka“ alebo „bod bez rozmerov“, rovnako ako neexistujú „čisté kovy“, „monochromatické svetlo“. ", "tepelne izolované systémy" atď. .d., s ktorými experimentátori operujú vo svojich úvahách. Všetky tieto pojmy sú „platónske idey“, t.j. akési generatívne modely empirických konceptov, aj keď radikálne odlišného charakteru. Napriek tomu sa mlčky predpokladalo, že fyzické „obrazy“ myšlienok môžu byť ľubovoľne blízke myšlienkam samotným. Do tej miery, do akej možno čokoľvek povedať o blízkosti predmetov k myšlienkam, o „nápadoch“ sa hovorí, že sú takpovediac „obmedzujúcimi prípadmi“ fyzických objektov. Z tohto hľadiska Euklidove axiómy a z nich odvodené vety vyjadrujú vlastnosti „ideálnych“ objektov, ktoré musia zodpovedať predvídateľným experimentálnym faktom. Napríklad meranie optickými metódami uhlov trojuholníka tvoreného tromi bodmi v priestore by v „ideálnom prípade“ malo poskytnúť súčet rovný 180 °. Inými slovami, axiómy sú umiestnené na rovnakej úrovni ako fyzikálne zákony, a preto je ich „pravda“ vnímaná rovnako ako pravda fyzikálnych zákonov; tie. logické dôsledky axióm podliehajú overeniu porovnaním s experimentálnymi údajmi. Samozrejme, zhodu možno dosiahnuť len v medziach chyby spojenej ako s „nedokonalosťou“ meracieho zariadenia, tak aj s „nedokonalosťou“ meraného objektu. Vždy sa však predpokladá, že ak sú zákony „pravdivé“, potom zlepšenia v procesoch merania môžu v zásade spôsobiť takú malú chybu merania, ako si želáte.

Počas celého 18. storočia bolo stále viac dôkazov, že všetky dôsledky odvodené zo základných axióm, najmä v astronómii a mechanike, sú v súlade s experimentálnymi údajmi. A keďže tieto dôsledky boli získané pomocou matematického aparátu, ktorý v tom čase existoval, dosiahnuté úspechy prispeli k posilneniu názoru o pravdivosti Euklidových axióm, ktoré, ako povedal Platón, „je každému jasné“ a nie je predmetom diskusie.

Pochybnosti a nové nádeje.

Neeuklidovská geometria.

Medzi Euklidovskými postulátmi bol jeden taký nezrejmý, že ho aj prví študenti veľkého matematika považovali za slabé miesto v systéme. Začal. Predmetná axióma hovorí, že cez bod ležiaci mimo danej priamky možno nakresliť len jednu priamku rovnobežnú s danou priamkou. Väčšina geometrov verila, že axiómu rovnobežiek možno dokázať pomocou iných axióm a že Euklides formuloval tvrdenie o paralelách ako postulát jednoducho preto, že sa mu nepodarilo prísť s takýmto dôkazom. Ale hoci najlepší matematici pokúsil vyriešiť problém paralel, žiadnej z nich sa nepodarilo prekonať Euklida. Napokon v druhej polovici 18. stor. Boli urobené pokusy dokázať Euklidov postulát paralel protirečením. Bolo navrhnuté, že paralelná axióma je nepravdivá. A priori sa Euklidov postulát môže ukázať ako nepravdivý v dvoch prípadoch: ak nie je možné nakresliť jedinú rovnobežnú priamku cez bod mimo danej priamky; alebo ak sa cez ňu dá nakresliť niekoľko rovnobežných čiar. Ukázalo sa, že prvá apriórna možnosť je inými axiómami vylúčená. Keď matematici prijali novú axiómu namiesto tradičnej axiómy o rovnobežkách (že cez bod mimo danej čiary možno nakresliť niekoľko čiar rovnobežných s danou čiarou), pokúsili sa z nej matematici odvodiť tvrdenie, ktoré bolo v rozpore s inými axiómami, ale nepodarilo sa im to: bez ohľadu na to, ako veľmi sa snažili vytiahnuť dôsledky z novej „antieuklidovskej“ alebo „neeuklidovskej“ axiómy, rozpor sa neobjavil. Napokon, nezávisle od seba, NI Lobačevskij (1793 – 1856) a J. Bolyai (1802 – 1860) si uvedomili, že Euklidov postulát o paralelách je nedokázateľný, alebo, inými slovami, rozpor sa v „neeuklidovskej geometrii“ neobjaví. .

S príchodom neeuklidovskej geometrie sa okamžite objavilo niekoľko filozofických problémov. Keďže sa vytratil nárok na apriórnu nevyhnutnosť axióm, zostala jediná možnosť, ako otestovať ich „pravdivosť“ – experimentálne. Ako však neskôr poznamenal A. Poincaré (1854–1912), v popise akéhokoľvek javu je skrytých toľko fyzikálnych predpokladov, že žiadny experiment nemôže poskytnúť presvedčivý dôkaz pravdivosti alebo nepravdivosti matematickej axiómy. Navyše, aj keď predpokladáme, že náš svet je „neeuklidovský“, vyplýva z toho, že celá euklidovská geometria je falošná? Pokiaľ je známe, žiadny matematik nikdy takúto domnienku vážne nezvažoval. Intuícia naznačila, že euklidovské aj neeuklidovské geometrie sú príkladmi plnohodnotnej matematiky.

Matematické príšery.

Neočakávane, rovnaké závery prišli z úplne iného smeru - boli objavené predmety, ktoré ponorili matematikov 19. storočia. šokovaný a prezývaný „matematické monštrá“. Tento objav priamo súvisí s veľmi jemnými otázkami matematickej analýzy, ktoré sa objavili až v polovici 19. storočia. Ťažkosti nastali pri pokuse nájsť presnú matematickú analógiu experimentálneho konceptu krivky. To, čo bolo podstatou konceptu „kontinuálneho pohybu“ (napríklad hrot kresliaceho pera pohybujúci sa po hárku papiera), podliehalo presnej matematickej definícii a tento cieľ bol dosiahnutý, keď koncept kontinuity získal prísnu matematickú význam ( cm. tiež KRIVKA). Intuitívne sa zdalo, že „krivka“ v každom svojom bode má akoby smer, t.j. vo všeobecnom prípade sa krivka v okolí každého z jej bodov správa takmer rovnako ako priamka. (Na druhej strane nie je ťažké si predstaviť, že krivka má konečný počet rohových bodov, „lomov“, ako mnohouholník.) Táto požiadavka by sa dala formulovať matematicky, konkrétne existencia dotyčnice ku krivke bola predpokladal a do polovice 19. stor. verilo sa, že „krivka“ má tangens takmer vo všetkých svojich bodoch, snáď s výnimkou niektorých „špeciálnych“ bodov. Preto objav „kriviek“, ktoré v žiadnom bode nemali dotyčnicu, spôsobil skutočný škandál ( cm. tiež TEÓRIA FUNKCIÍ). (Čitateľ oboznámený s trigonometriou a analytickou geometriou môže ľahko overiť, že krivka daná rovnicou r = X hriech (1/ X), nemá v počiatku tangens, ale definovať krivku, ktorá nemá tangens v žiadnom zo svojich bodov, je oveľa zložitejšie.)

O niečo neskôr sa získal oveľa „patologickejší“ výsledok: bolo možné skonštruovať príklad krivky, ktorá úplne vypĺňa štvorec. Odvtedy boli vynájdené stovky takýchto „príšer“, v rozpore so „zdravým rozumom“. Treba zdôrazniť, že existencia takýchto nezvyčajných matematických objektov vyplýva zo základných axióm tak striktne a logicky bezchybne ako existencia trojuholníka alebo elipsy. Keďže matematické „monštrá“ nemôžu zodpovedať žiadnemu experimentálnemu objektu a jediným možným záverom je, že svet matematických „nápadov“ je oveľa bohatší a nezvyčajnejší, než by sa dalo očakávať, a len veľmi málo z nich má korešpondenciu vo svete našich pocitov . Ale ak z axióm logicky vyplývajú matematické „monštrá“, možno potom axiómy stále považovať za pravdivé?

Nové objekty.

Vyššie uvedené výsledky sa potvrdili aj z druhej strany: v matematike, hlavne v algebre, sa začali jeden po druhom objavovať nové matematické objekty, ktoré boli zovšeobecnením pojmu číslo. Obyčajné celé čísla sú dosť „intuitívne“ a nie je vôbec ťažké dospieť k experimentálnemu konceptu zlomku (hoci treba priznať, že operácia rozdelenia jednotky na niekoľko rovnakých častí a výber niekoľkých z nich je inherentne odlišná od procesu počítania). Po tom, čo sa ukázalo, že číslo nemožno reprezentovať ako zlomok, boli Gréci nútení uvažovať o iracionálnych číslach, ktorých správna definícia pomocou nekonečnej postupnosti aproximácií racionálnymi číslami patrí k najvyšším výdobytkom ľudskej mysle, ale sotva zodpovedá niečomu skutočnému v našom fyzickom svete (kde akékoľvek meranie vždy podlieha chybám). Napriek tomu sa zavedenie iracionálnych čísel nieslo viac-menej v duchu „idealizácie“ fyzikálnych pojmov. Ale čo záporné čísla, ktoré sa pomaly, narážajúc na veľký odpor, začali dostávať do vedeckého využitia v súvislosti s rozvojom algebry? So všetkou istotou možno konštatovať, že neexistovali žiadne hotové fyzikálne objekty, z ktorých by sme mohli procesom priamej abstrakcie rozvinúť pojem záporného čísla, a pri výučbe kurzu elementárnej algebry musíme mnohé zaviesť. pomocné a pomerne zložité príklady (orientované segmenty, teploty, dlhy atď.) na vysvetlenie, čo sú záporné čísla. Táto pozícia má ďaleko od toho, aby bola „pre každého jasná“, ako to žiadal Platón o myšlienkach, ktoré sú základom matematiky, a nie je nezvyčajné stretnúť absolventov vysokých škôl, pre ktorých je pravidlo znakov stále záhadou (- a)(–b) = ab. pozri tiežČÍSLO

Situácia je ešte horšia s "imaginárnymi" alebo "komplexnými" číslami, pretože obsahujú "číslo" i, také že i 2 = -1, čo je jasné porušenie pravidla o znamienkach. Napriek tomu matematici z konca 16. stor. neváhajte vykonávať výpočty s komplexnými číslami, akoby „dávali zmysel“, hoci pred 200 rokmi nevedeli tieto „objekty“ definovať ani interpretovať pomocou žiadnej pomocnej konštrukcie, ako sa napríklad interpretovali pomocou smerovaných segmentov záporné čísla . (Po roku 1800 bolo ponúknutých niekoľko interpretácií komplexné čísla, najznámejší je pomocou vektorov v rovine.)

moderná axiomatika.

Revolúcia sa odohrala v druhej polovici 19. storočia. A hoci to nesprevádzalo prijatie oficiálnych vyhlásení, v skutočnosti išlo o vyhlásenie akejsi „deklarácie nezávislosti“. Presnejšie o vyhlásení faktickej deklarácie nezávislosti matematiky od okolitého sveta.

Z tohto hľadiska sú matematické „objekty“, ak má vôbec zmysel hovoriť o ich „existencii“, čistými výtvormi mysle a či majú nejaké „korešpondencie“ a či umožňujú nejakú „interpretáciu“ v fyzikálnom svete, pre matematiku nie je dôležitá (hoci samotná otázka je zaujímavá).

„Pravdivé“ tvrdenia o takýchto „objektoch“ sú všetky rovnaké logické dôsledky axióm. Teraz však treba axiómy považovať za úplne ľubovoľné, a preto nie je potrebné, aby boli „zrejmé“ alebo odvoditeľné z každodennej skúsenosti pomocou „idealizácie“. V praxi je úplná sloboda obmedzená rôznymi úvahami. Samozrejme, že „klasické“ objekty a ich axiómy ostávajú nezmenené, ale teraz ich nemožno považovať za jediné objekty a axiómy matematiky a zvyk vyhadzovať alebo prerábať axiómy tak, aby ich bolo možné využívať rôznymi spôsobmi, ako to bolo urobené počas prechodu, vstúpilo do každodennej praxe.od euklidovskej k neeuklidovskej geometrii. (Takto sa získali početné varianty „neeuklidovských“ geometrií iných ako euklidovská geometria a geometria Lobačevského-Bolyaiho; existujú napríklad neeuklidovské geometrie, v ktorých nie sú žiadne paralelné čiary.)

Chcel by som zdôrazniť jednu okolnosť, ktorá vyplýva z nového prístupu k matematickým „objektom“: všetky dôkazy musia byť založené výlučne na axiómach. Ak si spomenieme na definíciu matematického dôkazu, potom sa takéto tvrdenie môže zdať ako opakovanie. Toto pravidlo sa však v klasickej matematike len zriedka dodržiavalo kvôli „intuitívnosti“ jej predmetov alebo axióm. Aj v Začiatky Euklides, pri všetkej ich zdanlivej „prísnosti“, mnohé axiómy nie sú formulované explicitne a mnohé vlastnosti sú buď mlčky predpokladané, alebo zavedené bez dostatočného zdôvodnenia. Aby bolo možné postaviť euklidovskú geometriu na pevný základ, bola potrebná kritická revízia jej samotných princípov. Netreba dodávať, že pedantská kontrola nad najmenšími detailmi dôkazu je dôsledkom objavenia sa „príšer“, ktoré naučili moderných matematikov byť opatrní vo svojich záveroch. Najneškodnejšie a „samozrejmé“ tvrdenie o klasických objektoch, ako je tvrdenie, že krivka spájajúca body umiestnené na opačných stranách priamky nevyhnutne pretína túto priamku, v modernej matematike vyžaduje prísny formálny dôkaz.

Môže sa zdať paradoxné povedať, že práve vďaka dodržiavaniu axióm slúži moderná matematika ako jasný príklad toho, čím by mala byť každá veda. Napriek tomu tento prístup ilustruje charakteristickú črtu jedného z najzákladnejších procesov vedeckého myslenia – získavanie presných informácií v situácii neúplného poznania. Vedecký výskum určitej triedy predmetov naznačuje, že znaky, ktoré umožňujú rozlíšiť jeden predmet od druhého, sú zámerne zabudnuté a zachovávajú sa iba všeobecné znaky posudzovaných predmetov. To, čo odlišuje matematiku od všeobecného spektra vied, je prísne dodržiavanie tohto programu vo všetkých jeho bodoch. Predpokladá sa, že matematické objekty sú úplne určené axiómami používanými v teórii týchto objektov; alebo, slovami Poincarého, axiómy slúžia ako „skryté definície“ predmetov, na ktoré sa vzťahujú.

MODERNÁ MATEMATIKA

Hoci existencia akýchkoľvek axióm je teoreticky možná, doteraz bolo navrhnutých a študovaných len malý počet axióm. Zvyčajne si v priebehu vývoja jednej alebo viacerých teórií všimneme, že niektoré schémy dôkazu sa opakujú vo viac-menej podobných podmienkach. Po objavení vlastností používaných vo všeobecných schémach dôkazov sú tieto formulované vo forme axióm a ich dôsledky sú zabudované do všeobecnej teórie, ktorá priamo nesúvisí s konkrétnymi kontextami, z ktorých boli axiómy abstrahované. Takto získané všeobecné teorémy sú aplikovateľné na akúkoľvek matematickú situáciu, v ktorej existujú systémy objektov, ktoré spĺňajú zodpovedajúce axiómy. Opakovanie rovnakých dôkazových schém v rôznych matematických situáciách naznačuje, že máme do činenia s rôznymi konkretizáciami tej istej všeobecnej teórie. To znamená, že po vhodnej interpretácii sa axiómy tejto teórie stávajú teorémami v každej situácii. Akákoľvek vlastnosť odvodená z axióm bude platiť vo všetkých týchto situáciách, ale nie je potrebný samostatný dôkaz pre každý prípad. V takýchto prípadoch sa hovorí, že matematické situácie majú rovnakú matematickú „štruktúru“.

Pojem štruktúra používame na každom kroku v našom Každodenný život. Ak teplomer ukazuje 10 ° C a predpovedná kancelária predpovedá zvýšenie teploty o 5 ° C, očakávame bez výpočtov teplotu 15 ° C. Ak knihu otvoríme na strane 10 a požiadame, aby sme sa pozreli o 5 strán ďalej, neváhame otvoriť na 15. strane, bez započítania medzistrán. V oboch prípadoch sa domnievame, že sčítanie čísel dáva správny výsledok bez ohľadu na ich interpretáciu - vo forme teploty alebo čísel strán. Nepotrebujeme sa učiť jednu aritmetiku pre teplomery a druhú pre čísla strán (hoci na hodiny používame špeciálnu aritmetiku, v ktorej je 8 + 5 = 1, keďže hodiny majú inú štruktúru ako strany knihy). Štruktúry, ktoré zaujímajú matematikov, sa vyznačujú o niečo vyššou zložitosťou, čo možno ľahko vidieť na príkladoch, ktorých analýze sú venované ďalšie dve časti tohto článku. Jedna z nich sa zaoberá teóriou grúp a matematickými konceptmi štruktúr a izomorfizmov.

Teória skupín.

Pre lepšie pochopenie procesu opísaného vyššie v vo všeobecných podmienkach, dovoľme si nahliadnuť do laboratória moderného matematika a bližšie sa pozrieť na jeden z jeho hlavných nástrojov – teóriu grúp ( cm. tiež ABSTRAKT ALGEBRA). Skupina je zbierka (alebo „množina“) objektov G, na ktorom je definovaná operácia, ktorá spája akékoľvek dva objekty alebo prvky a, b od G, prijaté v určenom poradí (prvý je prvok a, druhý je prvok b), tretí prvok c od G podľa prísne definovaného pravidla. Pre stručnosť tento prvok označujeme a*b; hviezdička (*) znamená operáciu zloženia dvoch prvkov. Táto operácia, ktorú budeme nazývať skupinové násobenie, musí spĺňať nasledujúce podmienky:

(1) pre ľubovoľné tri prvky a, b, c od G vlastnosť asociatívnosti je splnená: a* (b*c) = (a*b) *c;

(2) v G existuje taký prvok e, ktorý pre akýkoľvek prvok a od G existuje vzťah e*a = a*e = a; tento prvok e sa nazýva identita alebo neutrálny prvok skupiny;

(3) pre akýkoľvek prvok a od G existuje taký prvok a¢, nazývané inverzné alebo symetrické k prvku a, čo a*aў = aў* a = e.

Ak sa tieto vlastnosti vezmú ako axiómy, potom ich logické dôsledky (nezávisle od akýchkoľvek iných axióm alebo teorém) spolu tvoria to, čo sa bežne nazýva teória skupín. Odvodenie týchto dôsledkov raz a navždy sa ukázalo ako veľmi užitočné, pretože skupiny sú široko používané vo všetkých odvetviach matematiky. Z tisícok možných príkladov skupín vyberieme len niekoľko najjednoduchších.

a) Zlomky p/q, kde p A q sú ľubovoľné celé čísla i1 (napr q= 1 dostaneme obyčajné celé čísla). Zlomky p/q vytvorte skupinu vzhľadom na násobenie skupín ( p/q) *(r/s) = (pr)/(qs). Vlastnosti (1), (2), (3) vyplývajú z axióm aritmetiky. Naozaj, [( p/q) *(r/s)] *(t/u) = (prt)/(qsu) = (p/q)*[(r/s)*(t/u)]. Prvok identity je číslo 1 = 1/1, pretože (1/1)*( p/q) = (1H p)/(1H q) = p/q. Nakoniec prvok inverzný k zlomku p/q, je zlomok q/p, pretože ( p/q)*(q/p) = (pq)/(pq) = 1.

(b) Považujte za G množina štyroch celých čísel 0, 1, 2, 3 a as a*b- zvyšok divízie a + b 4. Výsledky takto zavedenej operácie sú uvedené v tabuľke. 1 (prvok a*b stojí na priesečníku čiary a a stĺpec b). Je ľahké skontrolovať, či sú splnené vlastnosti (1)– (3) a číslo 0 je jednotkový prvok.

(c) Vyberáme ako G sada čísel 1, 2, 3, 4 a as a*b- zvyšok divízie ab(obyčajný súčin) o 5. V dôsledku toho dostaneme tabuľku. 2. Je ľahké skontrolovať, či sú splnené vlastnosti (1) – (3) a 1 je prvok identity.

(d) Štyri predmety, ako napríklad štyri čísla 1, 2, 3, 4, môžu byť usporiadané do radu 24 spôsobmi. Každé miesto je možné vizualizovať ako transformáciu, ktorá premieňa „prirodzené“ miesto na danú; napríklad poloha 4, 1, 2, 3 sa získa ako výsledok transformácie

S: 1 ® 4, 2 ® 1, 3 ® 2, 4 ® 3,

ktoré možno napísať v pohodlnejšej forme

Pre akékoľvek dve takéto transformácie S, T budeme definovať S*T ako transformácia, ktorá bude výsledkom postupného vykonávania T, a potom S. Napríklad, ak , potom . S touto definíciou všetkých 24 možných transformácií tvorí skupinu; jeho prvok identity je , a prvok inverzný k S, sa získa nahradením šípok v definícii S k opaku; napríklad ak , tak .

Je ľahké to vidieť na prvých troch príkladoch a*b = b*a; v takýchto prípadoch sa skupinové alebo skupinové násobenie považuje za komutatívne. Na druhej strane, v poslednom príklade , a teda T*S sa líši od S*T.

Skupina z príkladu (d) je špeciálnym prípadom tzv. symetrická grupa, ktorej rozsah aplikácií zahŕňa okrem iného aj metódy riešenia algebraických rovníc a správania sa čiar v spektrách atómov. Skupiny v príkladoch (b) a (c) hrajú dôležitú úlohu v teórii čísel; v príklade (b) môže byť číslo 4 nahradené ľubovoľným celým číslom n, a čísla od 0 do 3 - čísla od 0 do n– 1 (kedy n= 12 dostaneme systém čísel, ktoré sú na ciferníkoch, ako sme uviedli vyššie); v príklade c) možno číslo 5 nahradiť ľubovoľným prvočíslom R, a čísla od 1 do 4 - čísla od 1 do p – 1.

Štruktúry a izomorfizmus.

Predchádzajúce príklady ukazujú, aká rôznorodá môže byť povaha objektov, ktoré tvoria skupinu. V skutočnosti však v každom prípade všetko vychádza z rovnakého scenára: z vlastností množiny objektov berieme do úvahy iba tie, ktoré túto množinu menia na skupinu (toto je príklad neúplných znalostí!). V takýchto prípadoch hovoríme, že uvažujeme o skupinovej štruktúre danej nami zvoleným skupinovým násobením.

Ďalším príkladom štruktúry je tzv. štruktúru objednávky. Veľa E vybavené štruktúrou objednávky alebo usporiadané medzi prvkami a è b patriaci E, je daný nejaký vzťah, ktorý označujeme R (a,b). (Takýto vzťah by mal mať zmysel pre akýkoľvek pár prvkov z E, ale vo všeobecnosti je pre niektoré páry nepravdivé a pre iné pravdivé, napríklad vzťah 7

(1) R (a,a) platí pre každého ale vo vlastníctve E;

(2) von R (a,b) A R (b,a) z toho vyplýva a = b;

(3) von R (a,b) A R (b,c) by mal R (a,c).

Uveďme niekoľko príkladov z veľkého množstva rôznych usporiadaných súborov.

(ale) E pozostáva zo všetkých celých čísel, R (a,b) je vzťah" ale menšie alebo rovné b».

(b) E pozostáva zo všetkých celých čísel >1, R (a,b) je vzťah" ale rozdeľuje b alebo rovný b».

Ako posledný príklad štruktúry uvádzame štruktúru metrického priestoru; takáto štruktúra je uvedená na súbore E, ak každá dvojica prvkov a A b patriaci E, môžete číslo porovnať d (a,b) i 0 spĺňajúce nasledujúce vlastnosti:

(1) d (a,b) = 0 vtedy a len vtedy a = b;

(2) d (b,a) = d (a,b);

(3) d (a,c) Ј d (a,b) + d (b,c) pre akékoľvek tri dané prvky a, b, c od E.

Uveďme príklady metrických priestorov:

a) obvyklý „trojrozmerný“ priestor, kde d (a,b) je obvyklá (alebo "euklidovská") vzdialenosť;

b) povrch gule, kde d (a,b) je dĺžka najmenšieho oblúka kružnice spájajúcej dva body a A b na guli;

c) akýkoľvek súbor E, pre ktoré d (a,b) = 1 ak a № b; d (a,a) = 0 pre ľubovoľný prvok a.

Presná definícia pojmu štruktúra je dosť náročná. Bez toho, aby sme zachádzali do podrobností, môžeme povedať, že na scéne Eštruktúra určitého typu je daná, ak medzi prvkami množiny E(a niekedy aj iné objekty, napríklad čísla, ktoré hrajú pomocnú úlohu) sú dané vzťahy, ktoré spĺňajú určitú pevnú množinu axióm, ktorá charakterizuje štruktúru uvažovaného typu. Vyššie sme uviedli axiómy troch typov štruktúr. Samozrejme, existuje mnoho ďalších typov štruktúr, ktorých teórie sú plne rozvinuté.

Mnohé abstraktné pojmy úzko súvisia s pojmom štruktúra; Spomeňme len jeden z najdôležitejších – koncept izomorfizmu. Pripomeňme si príklad skupín (b) a (c) z predchádzajúcej časti. Je ľahké skontrolovať, že z Tab. 1 k tabuľke. 2 je možné navigovať pomocou párovania

0® 1, 1® 2, 2® 4, 3® 3.

V tomto prípade hovoríme, že dané grupy sú izomorfné. Vo všeobecnosti dve skupiny G A Gў sú izomorfné, ak medzi prvkami skupiny G a skupinové prvky G¢ je možné nadviazať takúto individuálnu korešpondenciu a « a¢ čo ak c = a*b, potom cў = aў* b¢ pre príslušné prvky Gў. Akékoľvek tvrdenie z teórie skupín, ktoré platí pre skupinu G, zostáva pre skupinu v platnosti G¢ a naopak. Algebraicky grupy G A G¢ na nerozoznanie.

Čitateľ ľahko uvidí, že presne rovnakým spôsobom možno definovať dve izomorfné usporiadané množiny alebo dva izomorfné metrické priestory. Dá sa ukázať, že koncept izomorfizmu sa rozširuje na štruktúry akéhokoľvek typu.

KLASIFIKÁCIA

Staré a nové klasifikácie matematiky.

Pojem štruktúry a ďalšie pojmy s ním súvisiace zaujali ústredné miesto v modernej matematike, a to tak z čisto „technického“, ako aj z filozofického a metodologického hľadiska. Všeobecné vety o hlavných typoch štruktúr slúžia ako mimoriadne silné nástroje matematickej „techniky“. Kedykoľvek sa matematikovi podarí preukázať, že objekty, ktoré študuje, spĺňajú axiómy určitého typu štruktúry, dokáže tým, že všetky vety teórie štruktúry tohto typu platia pre konkrétne objekty, ktoré študuje (bez týchto všeobecných teorém s veľkou pravdepodobnosťou by chýbali v nedohľadne ich konkrétnych variantov alebo by boli nútení zaťažovať svoje úvahy zbytočnými domnienkami). Podobne, ak sa dokáže, že dve štruktúry sú izomorfné, potom sa počet viet okamžite zdvojnásobí: každá veta dokázaná pre jednu zo štruktúr okamžite dáva zodpovedajúcu vetu pre druhú. Nie je preto prekvapujúce, že existujú veľmi zložité a ťažké teórie, napríklad „teória triedneho poľa“ v teórii čísel, ktorej hlavným účelom je dokázať izomorfizmus štruktúr.

Z filozofického hľadiska rozšírené používanie štruktúr a izomorfizmov demonštruje hlavnú črtu modernej matematiky – skutočnosť, že na „povahe“ matematických „objektov“ v skutočnosti nezáleží, podstatné sú len vzťahy medzi objektmi (druh princíp neúplného poznania).

Napokon nemožno nespomenúť, že koncept štruktúry umožnil klasifikovať úseky matematiky novým spôsobom. Do polovice 19. stor. sa líšili podľa predmetu štúdie. Aritmetika (alebo teória čísel) sa zaoberala celými číslami, geometria sa zaoberala čiarami, uhlami, mnohouholníkmi, kruhmi, plochami atď. Algebra sa zaoberala takmer výlučne metódami riešenia numerických rovníc alebo sústav rovníc, analytická geometria vyvinula metódy na transformáciu geometrických problémov na ekvivalentné algebraické problémy. Spektrum záujmov ďalšieho dôležitého odvetvia matematiky, nazývaného „matematická analýza“, zahŕňalo najmä diferenciálny a integrálny počet a ich rôzne aplikácie v geometrii, algebre a teórii párnych čísel. Počet týchto aplikácií sa zvýšil a zvýšil sa aj ich význam, čo viedlo k rozdeleniu matematickej analýzy na podsekcie: teória funkcií, diferenciálne rovnice (obyčajné a parciálne derivácie), diferenciálna geometria, variačný počet atď.

Pre mnohých moderných matematikov tento prístup pripomína históriu klasifikácie zvierat prvými prírodovedcami: kedysi boli morské korytnačky aj tuniak považované za ryby, pretože žili vo vode a mali podobné črty. Moderný prístup nás naučil vidieť nielen to, čo leží na povrchu, ale aj pozrieť sa hlbšie a pokúsiť sa rozpoznať základné štruktúry, ktoré sa skrývajú za klamlivým vzhľadom matematických objektov. Z tohto hľadiska je dôležité študovať najdôležitejšie typy štruktúr. Je nepravdepodobné, že máme k dispozícii úplný a definitívny zoznam týchto typov; niektoré z nich boli objavené za posledných 20 rokov a existuje dôvod očakávať ďalšie objavy v budúcnosti. Máme však už predstavu o mnohých základných „abstraktných“ typoch štruktúr. (Sú „abstraktné“ v porovnaní s „klasickými“ predmetmi matematiky, aj keď ani tie možno len ťažko nazvať „konkrétnymi“, ide skôr o mieru abstrakcie.)

Známe štruktúry možno klasifikovať podľa vzťahov, ktoré obsahujú, alebo podľa ich zložitosti. Na jednej strane je to rozsiahly blok „algebraických“ štruktúr, ktorých špeciálnym prípadom je napríklad skupinová štruktúra; medzi inými algebraickými štruktúrami menujeme okruhy a polia ( cm. tiež ABSTRAKT ALGEBRA). Odvetvie matematiky, ktoré sa zaoberá štúdiom algebraických štruktúr, sa nazývalo „moderná algebra“ alebo „abstraktná algebra“ na rozdiel od bežnej alebo klasickej algebry. Súčasťou novej algebry sa stala aj významná časť euklidovskej geometrie, neeuklidovská geometria a analytická geometria.

Existujú dva ďalšie bloky štruktúr na rovnakej úrovni všeobecnosti. Jedna z nich, nazývaná všeobecná topológia, zahŕňa teórie typov štruktúr, ktorých konkrétnym prípadom je štruktúra metrického priestoru ( cm. TOPOLÓGIA; abstraktné priestory). Tretí blok tvoria teórie rádových štruktúr a ich rozšírenia. „Rozšírenie“ štruktúry spočíva v pridávaní nových k existujúcim axiómam. Ak napríklad k axiómam grupy pridáme vlastnosť komutativity ako štvrtú axiómu a*b = b*a, potom dostaneme štruktúru komutatívnej (alebo abelovskej) grupy.

Z týchto troch blokov boli posledné dva donedávna v relatívne stabilnom stave a blok „moderná algebra“ rýchlo rástol, niekedy neočakávaným smerom (napríklad bola vyvinutá celá vetva nazývaná „homologická algebra“). Mimo tzv. „čisté“ typy štruktúr sú na ďalšej úrovni – „zmiešané“ štruktúry, napríklad algebraické a topologické, spolu s novými axiómami, ktoré ich spájajú. Bolo študovaných veľa takýchto kombinácií, z ktorých väčšina spadá do dvoch širokých blokov – „topologická algebra“ a „algebraická topológia“.

Celkovo tieto bloky tvoria veľmi solídnu „abstraktnú“ oblasť vedy, pokiaľ ide o objem. Mnohí matematici dúfajú, že lepšie pochopia klasické teórie a vyriešia zložité problémy pomocou nových nástrojov. S primeranou mierou abstrakcie a zovšeobecnenia sa totiž problémy staroveku môžu objaviť v novom svetle, ktoré umožní nájsť ich riešenia. Obrovské kusy klasického materiálu sa dostali pod vplyv novej matematiky a boli transformované alebo zlúčené s inými teóriami. Zostávajú obrovské oblasti, do ktorých moderné metódy neprenikli tak hlboko. Príkladom je teória diferenciálne rovnice a veľa z teórie čísel. Je veľmi pravdepodobné, že po objavení a dôkladnom preštudovaní nových typov štruktúr sa v týchto oblastiach dosiahne významný pokrok.

FILOZOFICKÉ ŤAŽKOSTI

Dokonca aj starí Gréci jasne chápali, že matematická teória by mala byť bez rozporov. To znamená, že z axióm nemožno odvodiť ako logický dôsledok výrok R a jeho popieranie P. Keďže sa však verilo, že matematické objekty majú korešpondencie v reálnom svete a axiómy sú „idealizáciami“ prírodných zákonov, nikto nepochyboval o konzistentnosti matematiky. Pri prechode od klasickej matematiky k modernej matematike nadobudol problém konzistencie iný význam. Sloboda výberu axióm akejkoľvek matematickej teórie musí byť samozrejme obmedzená podmienkou konzistencie, ale je možné si byť istý, že táto podmienka bude splnená?

Pojem set sme už spomenuli. Tento pojem sa vždy viac-menej explicitne používal v matematike a logike. V druhej polovici 19. stor elementárne pravidlá narábania s pojmom množina boli čiastočne systematizované, okrem toho sa získali niektoré dôležité výsledky, ktoré tvorili obsah tzv. teória množín ( cm. tiež SET THEORY), ktorý sa stal akoby substrátom všetkých ostatných matematických teórií. Od staroveku po 19. storočie. existovali obavy z nekonečných množín, napríklad odzrkadlené v slávnych paradoxoch Zena z Eley (5. storočie pred Kristom). Tieto obavy boli čiastočne metafyzické a čiastočne spôsobené ťažkosťami spojenými s koncepciou merania veličín (napríklad dĺžky alebo času). Až po 19. storočí boli tieto ťažkosti odstránené. základné pojmy matematickej analýzy boli prísne definované. V roku 1895 boli všetky obavy rozptýlené a zdalo sa, že matematika spočíva na neotrasiteľnom základe teórie množín. Ale v nasledujúcom desaťročí sa objavili nové argumenty, ktoré zdanlivo poukazovali na inherentnú nekonzistentnosť teórie množín (a celej zvyšku matematiky).

Nové paradoxy boli veľmi jednoduché. Prvý z nich – Russellov paradox – možno považovať v jednoduchej verzii, známej ako „holičský paradox“. V istom meste holič oholí všetkých obyvateľov, ktorí sa neholia sami. Kto holí samotného holiča? Ak sa holič oholí, oholí nielen tých obyvateľov, ktorí sa neholia sami, ale aj jedného obyvateľa, ktorý sa oholí sám; ak sa neholí sám, tak neoholí všetkých obyvateľov mesta, ktorí sa neholia. Paradox tohto typu vzniká vždy, keď sa uvažuje o koncepte „množiny všetkých množín“. Hoci sa tento matematický objekt zdá veľmi prirodzený, uvažovanie o ňom rýchlo vedie k rozporom.

Berryho paradox je ešte viac odhaľujúci. Zvážte súbor všetkých ruských fráz, ktoré neobsahujú viac ako sedemnásť slov; počet slov v ruskom jazyku je konečný, takže počet takýchto fráz je tiež konečný. Vyberáme z nich tie, ktoré jednoznačne definujú nejaké celé číslo, napríklad: "Najväčšie nepárne číslo menšie ako desať." Počet takýchto fráz je tiež konečný; v dôsledku toho je množina celých čísel, ktoré definujú, tiež konečná. Označte konečnú množinu týchto čísel pomocou D. Z axióm aritmetiky vyplýva, že existujú celé čísla, do ktorých nepatria D a že medzi týmito číslami je najmenšie číslo n. Toto číslo n je jednoznačne definovaná vetou: „Najmenšie celé číslo, ktoré nemožno definovať frázou pozostávajúcou z nie viac ako sedemnástich ruských slov.“ Ale táto fráza obsahuje presne sedemnásť slov. Preto určuje počet n, ktorá by mala patriť D a dostávame sa k paradoxnému rozporu.

Intuicionisti a formalisti.

Šok spôsobený paradoxmi teórie množín vyvolal rôzne reakcie. Niektorí matematici boli dosť odhodlaní a vyjadrili názor, že matematika sa od začiatku vyvíjala nesprávnym smerom a mala by byť založená na úplne inom základe. Uhol pohľadu takýchto „intuicionistov“ (ako sa začali nazývať) nie je možné presne opísať, keďže svoje názory odmietli zredukovať na čisto logickú schému. Z pohľadu intuicionistov je nesprávne aplikovať logické procesy na objekty, ktoré nie sú intuitívne reprezentovateľné. Jedinými intuitívne jasnými objektmi sú prirodzené čísla 1, 2, 3,... a konečné množiny prirodzených čísel, „postavené“ podľa presne daných pravidiel. Ale ani na takéto predmety intuicionisti nedovolili aplikovať všetky dedukcie klasickej logiky. To napríklad pri žiadnom výroku neuznali R pravda buď R, alebo nie- R. S takými obmedzenými prostriedkami, ktoré mali k dispozícii, sa ľahko vyhli „paradoxom“, no hodili tým cez palubu nielen celú modernú matematiku, ale aj značnú časť výsledkov klasickej matematiky a pre tie, ktoré ešte zostali, nové, napr. bolo potrebné nájsť zložitejšie dôkazy.

Prevažná väčšina moderných matematikov nesúhlasila s argumentmi intuicionistov. Neintuicionistickí matematici si všimli, že argumenty používané v paradoxoch sa výrazne líšia od argumentov používaných v bežnej matematickej práci s teóriou množín, a preto by takéto argumenty mali byť vylúčené ako nezákonné bez toho, aby boli ohrozené existujúce matematické teórie. Ďalším postrehom bolo, že v „naivnej“ teórii množín, ktorá existovala pred príchodom „paradoxov“, sa význam pojmov „množina“, „vlastnosť“, „vzťah“ nespochybňoval – rovnako ako v klasickej geometrii „intuitívne“ povaha bežných geometrických pojmov. V dôsledku toho možno postupovať rovnako ako v geometrii, teda zahodiť všetky pokusy odvolávať sa na „intuíciu“ a vziať za východisko teórie množín systém presne formulovaných axióm. Nie je však zrejmé, ako môžu byť slová ako „vlastníctvo“ alebo „vzťah“ zbavené svojho obvyklého významu; ale musíme to urobiť, ak chceme vylúčiť také argumenty, ako je Berryho paradox. Metóda spočíva v upustení od používania bežného jazyka pri formulovaní axióm alebo teorémov; ako „vlastnosti“ alebo „vzťahy“ v matematike sú povolené iba vety zostavené podľa explicitného systému pevných pravidiel a vstupujú do formulácie axióm. Tento proces sa nazýva formalizácia. matematický jazyk(aby sa predišlo nejasnostiam vyplývajúcim z nejednoznačností bežného jazyka, odporúča sa ísť ešte o krok ďalej a nahradiť samotné slová špeciálnymi znakmi vo formalizovaných vetách, napr. spojku „a“ nahradiť symbolom &, spojku „príp. “ so symbolom b, „existuje“ so symbolom $ atď.). Matematici, ktorí odmietali metódy navrhované intuicionistami, sa začali nazývať „formalisti“.

Pôvodná otázka však nebola nikdy zodpovedaná. Je „axiomatická teória množín“ bez rozporov? Nové pokusy dokázať konzistentnosť „formalizovaných“ teórií uskutočnil v 20. rokoch 20. storočia D. Hilbert (1862–1943) a jeho škola a nazývali sa „metamathematika“. Metamatematika je v podstate odvetvím „aplikovanej matematiky“, kde objekty, na ktoré sa aplikuje matematické uvažovanie, sú návrhy formalizovanej teórie a ich umiestnenie v rámci dôkazov. Tieto vety je potrebné považovať len za vecné kombinácie symbolov vytvorené podľa určitých stanovených pravidiel, bez akéhokoľvek odkazu na možný „význam“ týchto symbolov (ak nejaký existuje). Ako dobrá analógia môže poslúžiť šachová hra: symboly zodpovedajú figúrkam, vety rôznym pozíciám na šachovnici a odvodzovanie pravidiel pre pohyb figúrok. Na stanovenie konzistencie formalizovanej teórie stačí ukázať, že v tejto teórii žiadny dôkaz nekončí tvrdením 0 č. 0. Môžeme však namietať proti použitiu matematických argumentov v „metamatematickom“ dôkaze konzistentnosti matematická teória; ak by bola matematika nekonzistentná, potom by matematické argumenty stratili všetku silu a dostali by sme sa do situácie začarovaného kruhu. Aby Hilbert odpovedal na tieto námietky, umožnil v metamatematike použiť veľmi obmedzené matematické uvažovanie typu, ktorý intuicionisti považujú za prijateľné. Čoskoro však K. Godel (1931) ukázal, že konzistentnosť aritmetiky nemožno dokázať takýmito obmedzenými prostriedkami, ak je skutočne konzistentná (rozsah tohto článku nám neumožňuje predstaviť dômyselnú metódu, ktorou bol tento pozoruhodný výsledok získaný, a následná história metamatematiky).

Ak zhrnieme súčasnú problematickú situáciu z formalistického hľadiska, musíme priznať, že ani zďaleka nie je ukončená. Použitie konceptu množiny bolo obmedzené výhradami, ktoré boli zámerne zavedené, aby sa predišlo známym paradoxom, a neexistujú žiadne záruky, že v axiomatizovanej teórii množín nevzniknú nové paradoxy. Obmedzenia axiomatickej teórie množín však nezabránili zrodu nových životaschopných teórií.

MATEMATIKA A SKUTOČNÝ SVET

Napriek tvrdeniam o nezávislosti matematiky nikto nebude popierať, že matematika a fyzikálny svet spolu súvisia. Samozrejme, matematický prístup k riešeniu problémov klasickej fyziky zostáva v platnosti. Je tiež pravdou, že vo veľmi dôležitej oblasti matematiky, a to v teórii diferenciálnych rovníc, obyčajných a parciálnych derivácií, je proces vzájomného obohacovania fyziky a matematiky pomerne plodný.

Matematika je užitočná pri interpretácii javov mikrosveta. Nové „aplikácie“ matematiky sa však od tých klasických výrazne líšia. Jedným z najdôležitejších nástrojov fyziky sa stala teória pravdepodobnosti, ktorá sa predtým využívala najmä v teórii hazardných hier a poisťovníctva. Matematické objekty, ktoré fyzici spájajú s „atómovými stavmi“ alebo „prechodmi“, majú vysoko abstraktný charakter a boli predstavené a študované matematikmi dávno pred príchodom kvantovej mechaniky. Treba dodať, že po prvých úspechoch nastali vážne ťažkosti. Stalo sa to v čase, keď sa fyzici pokúšali aplikovať matematické myšlienky na jemnejšie aspekty. kvantová teória; napriek tomu sa mnohí fyzici stále tešia na nové matematické teórie a veria, že im pomôžu vyriešiť nové problémy.

Matematika - veda alebo umenie?

Aj keď do „čistej“ matematiky zahrnieme teóriu pravdepodobnosti alebo matematickú logiku, ukazuje sa, že v súčasnosti je menej ako 50 % známych matematických výsledkov využívaných inými vedami. Čo si máme myslieť o zvyšnej polovici? Inými slovami, aké sú motívy tých oblastí matematiky, ktoré nesúvisia s riešením fyzikálnych problémov?

Ako typického predstaviteľa tohto druhu viet sme už spomenuli iracionalitu čísla. Ďalším príkladom je teorém, ktorý dokázal J.-L. Lagrange (1736–1813). Sotva sa nájde matematik, ktorý by ju nenazval „dôležitou“ alebo „krásnou“. Lagrangeova veta hovorí, že každé celé číslo väčšie alebo rovné jednej môže byť vyjadrené ako súčet druhých mocnín najviac štyroch čísel; napríklad 23 = 3 2 + 3 2 + 2 2 + 1 2 . Za súčasného stavu vecí je nepredstaviteľné, že by tento výsledok mohol byť užitočný pri riešení akéhokoľvek experimentálneho problému. Je pravda, že fyzici sa dnes zaoberajú celými číslami oveľa častejšie ako v minulosti, ale celé čísla, s ktorými pracujú, sú vždy obmedzené (málokedy presahujú niekoľko stoviek); preto veta ako Lagrangeova môže byť „užitočná“ len vtedy, ak sa aplikuje na celé čísla, ktoré nepresahujú nejakú hranicu. Ale akonáhle obmedzíme formuláciu Lagrangeovej vety, matematika okamžite prestane zaujímať, keďže celá príťažlivá sila tejto vety spočíva v jej použiteľnosti na všetky celé čísla. (Existuje veľké množstvo tvrdení o celých číslach, ktoré môžu byť testované počítačmi na veľmi veľké čísla; ale pokiaľ sa nenájde žiadny všeobecný dôkaz, zostávajú hypotetické a nezaujímajú profesionálnych matematikov.)

Zameranie sa na témy, ktoré majú ďaleko od okamžitých aplikácií, nie je nezvyčajné pre vedcov pracujúcich v akejkoľvek oblasti, či už ide o astronómiu alebo biológiu. Avšak zatiaľ čo experimentálny výsledok je možné spresniť a zlepšiť, matematický dôkaz je vždy konečný. Preto je ťažké odolať pokušeniu považovať matematiku, alebo aspoň tú jej časť, ktorá nemá nič spoločné s „realitou“, za umenie. Matematické problémy nie sú vnucované zvonku a ak vezmeme moderné hľadisko, môžeme si vybrať materiál úplne slobodne. Matematici pri hodnotení niektorých matematických prác nemajú „objektívne“ kritériá a sú nútení spoliehať sa na vlastný „vkus“. Chute sa značne líšia v závislosti od času, krajiny, tradícií a jednotlivcov. V modernej matematike existujú módy a „školy“. V súčasnosti existujú tri také „školy“, ktoré pre pohodlie nazývame „klasicizmus“, „modernizmus“ a „abstrakcionizmus“. Aby sme lepšie pochopili rozdiely medzi nimi, analyzujme rôzne kritériá, ktoré matematici používajú pri hodnotení vety alebo skupiny viet.

(1) Podľa všeobecného názoru má byť „krásny“ matematický výsledok netriviálny, t.j. nesmie byť zrejmým dôsledkom axióm alebo predtým osvedčených teorémov; dôkaz musí použiť nejaký nový nápad alebo vtipná aplikácia starých myšlienok. Inými slovami, pre matematika nie je dôležitý samotný výsledok, ale proces prekonávania ťažkostí, s ktorými sa pri jeho získavaní stretol.

(2) Každý matematický problém má svoju vlastnú históriu, takpovediac, „rodokmeň“, ktorý sa riadi rovnakým všeobecným vzorcom, v ktorom sa vyvíjajú dejiny akejkoľvek vedy: po prvých úspechoch môže pred odpoveďou na otázku uplynúť určitý čas. posed sa nachádza. Po prijatí rozhodnutia sa príbeh nekončí, pretože začínajú dobre známe procesy rozširovania a zovšeobecňovania. Napríklad vyššie uvedená Lagrangeova veta vedie k otázke reprezentovať akékoľvek celé číslo ako súčet kociek, mocniny 4, 5 atď. Takto vzniká „problém Waring“, ktorý ešte nemá konečné riešenie. Ak budeme mať šťastie, ukáže sa, že problém, ktorý sme vyriešili, súvisí s jednou alebo viacerými základnými štruktúrami, a to zase povedie k novým problémom súvisiacim s týmito štruktúrami. Aj keď pôvodná teória nakoniec „zomrie“, má tendenciu zanechať po sebe početné živé výhonky. Moderní matematici čelia takému obrovskému rozptylu problémov, že aj keby sa prerušilo všetko spojenie s experimentálnou vedou, ich riešenie by trvalo ešte niekoľko storočí.

(3) Každý matematik bude súhlasiť s tým, že keď sa mu predloží nový problém, je jeho povinnosťou vyriešiť ho všetkými možnými prostriedkami. Keď sa problém týka klasických matematických objektov (klasici sa zriedkavo zaoberajú inými typmi objektov), klasici sa ho snažia riešiť len klasickými prostriedkami, zatiaľ čo iní matematici zavádzajú „abstraktnejšie“ štruktúry, aby mohli použiť všeobecné vety súvisiace s úlohou. Tento rozdiel v prístupe nie je nový. Počnúc 19. storočím. matematici sa delia na „takticov“, ktorí sa snažia nájsť čisto silové riešenie problému, a na „stratégov“, ktorí sú náchylní na obchádzkové manévre umožňujúce rozdrviť nepriateľa malými silami.

(4) Podstatným prvkom „krásy“ vety je jej jednoduchosť. Samozrejme, hľadanie jednoduchosti je vlastné všetkým vedeckým myšlienkam. Ale experimentátori sú pripravení znášať „škaredé riešenia“, ak sa vyrieši iba problém. Podobne v matematike sa klasici a abstrakcionisti príliš nestarajú o to, aby sa „patologické“ výsledky objavili. Na druhej strane, modernisti zachádzajú tak ďaleko, že vidia objavenie sa „patológií“ v teórii ako symptóm nedokonalosti základných konceptov.

Matematická encyklopédia

Matematická encyklopédia- Sovietska encyklopedická publikácia v piatich zväzkoch venovaná matematickým témam. Vydané v roku -1985 vydavateľstvom "Sovietska encyklopédia". Šéfredaktor: akademik I. M. Vinogradov.

Toto je základné ilustrované vydanie zo všetkých hlavných odvetví matematiky. Kniha obsahuje rozsiahly materiál na danú tému, životopisy slávnych matematikov, kresby, grafy, tabuľky a schémy.

Celkový objem: cca 3000 strán. Distribúcia článkov podľa zväzkov:

Zväzok 1: Abacus - Huygensov princíp, 576 s.
Zväzok 2: D'Alembert Operator – Co-op Game, 552 strán.
Zväzok 3: Súradnice - Monomické, 592 s.
4. zväzok: Oko teorému – komplexná funkcia, 608 s.
Zväzok 5: Náhodná premenná - bunka, 623 s.
Príloha k zväzku 5: Predmetový register, zoznam zaznamenaných typografických chýb.

Odkazy

Všeobecné a špeciálne príručky a encyklopédie z matematiky na portáli World of Mathematical Equations, kde si môžete encyklopédiu stiahnuť v elektronickej podobe.

Kategórie:

Knihy podľa abecedy
Matematická literatúra
encyklopédie
Knihy vydavateľstva "Sovietska encyklopédia"
Encyklopédia ZSSR

Nadácia Wikimedia. 2010.

Matematická chémia
Matematické základy kvantovej mechaniky

Pozrite sa, čo je "Matematická encyklopédia" v iných slovníkoch:

matematická logika- (teoretická logika, symbolická logika) odvetvie matematiky, ktoré študuje dôkazy a otázky základov matematiky. "Téma modernej matematickej logiky je rôznorodá." Podľa definície P. S. Poretského „matematická ... ... Wikipedia

Encyklopédia- (nová lat. encyklopédia (nie skôr ako v 16. storočí) z iných gréckych ἐγκύκλιος παιδεία „tréning v plnom kruhu“, κύκλος kruh a παιδεία systém / paideia ... Wikipedia)

ENCYKLOPÉDIA- (z gréc. enkyklios paideia školenie v celom rozsahu vedomostí), vedecký. alebo vedecké populárna referenčná kniha obsahujúca systematizir. súbor vedomostí. Materiál v E. je usporiadaný abecedne alebo systematicky. princíp (podľa odborov poznania). ... ... Prírodná veda. encyklopedický slovník

MATEMATICKÁ LOGIKA- jedno z mien modernej logiky, ktoré prišlo v druhom. poschodie. 19 skôr 20. storočie namiesto tradičnej logiky. Pojem symbolická logika sa používa aj ako iný názov pre modernú etapu vývoja vedy o logike. Definícia…… Filozofická encyklopédia

MATEMATICKÉ NEKONEČNO- všeobecný názov dec. realizácie myšlienky nekonečna v matematike. Hoci medzi významami pojmu M. b. a iné významy, v ktorých sa používa pojem nekonečno, neexistuje žiadna pevná hranica (keďže všetky tieto pojmy v konečnom dôsledku odrážajú veľmi ... ... Filozofická encyklopédia

MATEMATICKÁ INDUKCIA- úplná matematická indukcia (v matematike sa často nazýva jednoducho úplná indukcia; v tomto prípade treba tento pojem odlíšiť od pojmu úplná indukcia uvažovaného v nematematickej formálnej logike), - metóda dokazovania všeobecných tvrdení v ... ... Filozofická encyklopédia

MATEMATICKÁ HYPOTÉZA- údajná zmena tvaru, druhu, povahy rovnice vyjadrujúcej zákonitosť skúmaného odboru javov s cieľom jej rozšírenia o nový, dosiaľ neprebádaný odbor ako zákon jej vlastný. M. je široko používaný v modernej. teoreticky...... Filozofická encyklopédia

MATEMATICKÁ ŠKOLA V POLITICKEJ EKONOMIKE- Angličtina. matematická škola v politickej ekonómii; nemecký mathematische Schule in der politischen Okonomie. Smer v polit, hospodárstve, ktorý vznikol v druhej polovici 19. storočia, jeho predstavitelia (L. Walras, V. Pareto, O. Jevons atď.) dali ... ... Encyklopédia sociológie

MATEMATICKÁ ŠKOLA V SOCIOLÓGII- Angličtina. matematická škola v sociológii; nemecký mathematische Schule in der Soziologie. Smer v sociológii, ktorý vznikol v prvej polovici 20. storočia, ktorého zakladatelia (A. Zipf, E. Dodd a ďalší) verili, že sociológ, teórie dosahujú úroveň ... ... Encyklopédia sociológie

Matematický model budov a stavieb- Matematický (počítačový) model budov a stavieb - znázornenie budov a stavieb vo forme diagramu konečných prvkov pre numerické výpočty pri riešení súboru problémov, ktoré vznikajú pri projektovaní, konštrukcii a ... ... Encyklopédia pojmov, definícií a vysvetlení stavebných materiálov

knihy

Matematická encyklopédia (súbor 5 kníh), . Matematická encyklopédia je praktická príručka o všetkých odvetviach matematiky. Encyklopédia je založená na článkoch venovaných najdôležitejším oblastiam matematiky. Princíp umiestnenia...

Matematická encyklopédia - referenčná kniha o všetkých odvetviach matematiky. Encyklopédia je založená na prehľadových článkoch venovaných najdôležitejším oblastiam matematiky. Hlavnou požiadavkou na články tohto typu je možná úplnosť prehľadu súčasného stavu teórie pri maximálnej prístupnosti prezentácie; tieto články sú všeobecne dostupné starším študentom matematiky, postgraduálnym študentom a odborníkom v príbuzných odboroch matematiky av určitých prípadoch aj odborníkom v iných oblastiach poznania, ktorí vo svojej práci využívajú matematické metódy, inžinierom a učiteľom matematiky. Ďalej sú poskytnuté stredne veľké články o jednotlivých špecifických problémoch a metódach matematiky; tieto články sú určené pre užší okruh čitateľov, preto môže byť prezentácia v nich horšie dostupná. Na záver je tu ešte jeden typ článkov – stručné odkazy-definície. Na konci posledného zväzku Encyklopédie bude umiestnený vecný register, ktorý bude obsahovať nielen názvy všetkých článkov, ale aj mnohé pojmy, ktorých definície budú uvedené vo vnútri článkov prvých dvoch typov, ako napr. ako aj najdôležitejšie výsledky uvedené v článkoch. Väčšina článkov Encyklopédie je pri každom titule sprevádzaná zoznamom odkazov s poradovými číslami, čo umožňuje citovať v textoch článkov. Na konci článkov (spravidla) je uvedený autor alebo zdroj, ak bol článok už publikovaný skôr (väčšinou ide o články Veľkej sovietskej encyklopédie). Mená zahraničných (okrem starovekých) vedcov uvedených v článkoch sú doplnené latinským pravopisom (ak nie je odkaz na zoznam odkazov).

Stiahnite si a prečítajte si Matematickú encyklopédiu, zväzok 3, Vinogradov I.M., 1982

Stiahnite si a prečítajte si Matematickú encyklopédiu, zväzok 2, Vinogradov I.M., 1979

Stiahnite si a prečítajte si Matematickú encyklopédiu, zväzok 1, Vinogradov I.M., 1977

Algebra bola pôvodne oblasťou matematiky, ktorá sa zaoberala riešením rovníc. Na rozdiel od geometrie axiomatická konštrukcia algebry existovala až v polovici 19. storočia, keď sa objavil zásadne nový pohľad na predmet a povahu algebry. Výskum sa začal čoraz viac zameriavať na štúdium takzvaných algebraických štruktúr. Malo to dve výhody. Na jednej strane sa objasnili oblasti, pre ktoré platia určité vety, na druhej strane sa umožnilo použiť rovnaké dôkazy v úplne iných oblastiach. Toto rozdelenie algebry pretrvalo až do polovice 20. storočia a prejavilo sa v tom, že sa objavili dva názvy: „klasická algebra“ a „moderná algebra“. Ten je viac charakterizovaný iným názvom: "abstraktná algebra". Faktom je, že tento úsek – po prvý raz v matematike – sa vyznačoval úplnou abstrakciou.

Stiahnite si a prečítajte si Malú matematickú encyklopédiu, Fried E., Pastor I., Reiman I., Reves P., Ruja I., 1976

"Pravdepodobnosť a matematická štatistika" - referenčná kniha o teórii pravdepodobnosti, matematickej štatistike a ich aplikáciách v rôznych oblastiach vedy a techniky. Encyklopédia má dve časti: hlavná časť obsahuje prehľadové články, články venované jednotlivým špecifickým problémom a metódam, stručné odkazy s definíciami základných pojmov, najdôležitejšie vety a vzorce. Významné miesto je venované aplikovanej problematike - teória informácie, teória radenia, teória spoľahlivosti, plánovanie experimentov a súvisiace oblasti - fyzika, geofyzika, genetika, demografia a niektoré oblasti techniky. K väčšine článkov je pripojená bibliografia najdôležitejších prác o tejto problematike. Názvy článkov sú uvedené aj v anglickom preklade. Druhá časť - "Čítateľ o teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike" obsahuje články napísané pre ruské encyklopédie minulosti, ako aj encyklopedické materiály predtým publikované v iných dielach. Encyklopédia je sprevádzaná rozsiahlym zoznamom časopisov, periodík a priebežných publikácií pokrývajúcich problémy teórie pravdepodobnosti a matematickej štatistiky.
Materiál obsiahnutý v Encyklopédii je potrebný pre študentov, postgraduálnych študentov a výskumníkov z oblasti matematiky a iných vied, ktorí vo svojom výskume a praktickej práci využívajú pravdepodobnostné metódy.

Matematická encyklopédia - referenčná kniha o všetkých odvetviach matematiky. Encyklopédia je založená na prehľadových článkoch venovaných najdôležitejším oblastiam matematiky. Hlavnou požiadavkou na články tohto typu je možná úplnosť prehľadu súčasného stavu teórie pri maximálnej prístupnosti prezentácie; tieto články sú všeobecne dostupné starším študentom matematiky, postgraduálnym študentom a odborníkom v príbuzných odboroch matematiky av určitých prípadoch aj odborníkom v iných oblastiach vedomostí, ktorí vo svojej práci využívajú matematické metódy, inžinierom a učiteľom matematiky. Ďalej sú poskytnuté stredne veľké články o jednotlivých špecifických problémoch a metódach matematiky; tieto články sú určené pre užší okruh čitateľov, preto môže byť prezentácia v nich horšie dostupná. Na záver je tu ešte jeden typ článkov – stručné odkazy-definície. Niektoré definície sú uvedené v prvých dvoch typoch článkov. Väčšina článkov Encyklopédie je pri každom titule sprevádzaná zoznamom odkazov s poradovými číslami, čo umožňuje citovať v textoch článkov. Na konci článkov (spravidla) je uvedený autor alebo zdroj, ak bol článok už publikovaný skôr (väčšinou ide o články Veľkej sovietskej encyklopédie). Mená zahraničných (okrem starovekých) vedcov uvedených v článkoch sú doplnené latinským pravopisom (ak nie je odkaz na zoznam odkazov).

Princíp usporiadania článkov v encyklopédii je abecedný. Ak je názov článku výrazom, ktorý má synonymum, potom sa toto synonymum uvádza za hlavným. V mnohých prípadoch sa názvy článkov skladajú z dvoch alebo viacerých slov. V týchto prípadoch sa termíny uvádzajú buď v najbežnejšom tvare, alebo je na prvom mieste významovo hlavné slovo. Ak názov článku obsahuje vlastný názov, umiestni sa na prvé miesto (v zozname odkazov na takéto články je spravidla primárny zdroj vysvetľujúci názov výrazu). Názvy článkov sa uvádzajú väčšinou v jednotnom čísle.

Encyklopédia hojne využíva systém odkazov na ďalšie články, kde čitateľ nájde doplňujúce informácie k zvažovanej téme. Definícia sa nevzťahuje na výraz uvedený v názve článku.

V záujme šetrenia miesta v článkoch sa preberajú zaužívané skratky niektorých slov pre encyklopédie.

Pracovalo sa na zväzku 1

Matematická redakcia Vydavateľstva sovietskej encyklopédie - V. I. BITYUTSKOV (vedúci redakčnej rady), M. I. VOITSEHOVSKY (vedecký redaktor), Yu. A. GORBKOV (vedecký redaktor), A. B. IVANOV (hlavný vedecký redaktor), O A. IVANOVA ( hlavný vedecký redaktor), T. Yu. L. R. KHABIB (zástupca redaktora).

Pracovníci vydavateľstva: E. P. RYABOVA (literárna redakcia). E. I. ZHAROVÁ, A. M. MARTYNOV (bibliografia). A. F. ĎALKOVSKÝ (prepis). N. A. FEDOROV (Oddelenie obstarávania). 3. A. SUKHOVA (edičné ilustrácie). E. I. ALEKSEEVA, N. YU. KRUŽHALOV (redakčný slovník). M. V. AKIMOVÁ, A. F. PROŠKO (korektúry). G. V. SMIRNOV (technické vydanie).

Obálka od umelca R. I. MALANICHEVA.

Ďalšie informácie o zväzku 1

Vydavateľstvo "Sovietska encyklopédia"

Encyklopédie slovníky príručky

Vedecko - redakčná rada vydavateľstva

A. M. PROKHOROV (predseda), I. V. ABASHIDZE, P. A. AZIMOV, A. P. ALEKSANDROV, V. A. AMBARTZUMYAN, I. I. ARTOBOLEVSKY, A. V. ARTSIKHOVSKY, M. S. ASIMOV, N. Br., B. Yarabov, Yuubash. Yugo. , VV Volsky, BM Vul, BG Gafurov, SR Gershberg, MS Gilyarov, VP Glushko, VM Glushkov, G. N GOLIKOV, DB GULIEV, AA GUSEV (podpredseda), VP ELYUTIN, VS EMELYANOV, EM ZHUKOV, AA IMSHENETSKY, INOZEMTSEV, M. I. Kabachnik, S. V. Kalesnik, G. A. Karavaev, K. K. Karakeev, M. K. Karataev, B. M. Kedrov, G. V. Keldysh, V. A. Kirillin a I. L KNUNYANTS, SM KOVUDALEV (prvý podpredseda), FV K. K. KONSTANTI, FV K. K. KONSTANTI (podpredseda), BV KUKARKIN, VG KULIKOV, I. A. Kutuzov, P. P. Lobanov, G. M. Loza, Yu. E. Maksarev, P. A. Markov, A. I. Markushevich, Yu. Yu. Obichkin, B. E. Paton, V. M. Polevo J, M. A. Prokofiev, Yu.V. Prochorov, N. F. Rostovtsev, A. M. Rumyantsev, B. A. Rybakov, V. P. Samson, M. I. Sladkovsky, V. I. Smirnov, DN SOLOVIEV (podpredseda), VG SOLODOVNIKOV, VN, STOTUKAAAENTOVIEVLIN, VN STOTUKAA. , SA TOKAREV, VA Trapeznikov, E. K. Fedorov, M. B. Khrapchenko, E. I. Chazov, V. N. Chernigovskii, Ya. E. Shmushkis a S. I. Yutkevich tajomníčka rady L. V. KIRILLOVÁ.

Moskva 1977

Matematická encyklopédia. Zväzok 1 (A - D)

Šéfredaktor I. M. VINOGRADOV

Redakčný tím

S. I. ADYAN, P. S. ALEKSANDROV, N. S. BAKHVALOV, V. I. BITYUTSKOV (zástupca šéfredaktora), A. V. BITSADZE, L. N. BOLSHEV, A. A. GONCHAR, N. V. Efimov, VA Ilyin, AAM Levitan, AAMKaratsushev, Kudratdzitan, AAMKarathank SP Novikov a EG Poznyak, Yu. V. PROKHOROV (zástupca šéfredaktora), A. G. SVESHNIKOV, A. N. TIKHONOV, P. L. UĽANOV, A. I. SHIRSHOV, S. V. YABLONSKY

Matematická encyklopédia. Ed. collegium: I. M. Vinogradov (vedúci redakcie) [a ďalší] T. 1 - M., “ Sovietska encyklopédia“, 1977

(Encyklopédie. Slovníky. Príručky), zväzok 1. A - G. 1977. 1152 stb. od chorého.

Odovzdané do súpravy 9. 06. 1976. Do tlače podpísané 18. 02. 1977. Tlač textu z matrík vyrobených v I. vzornej tlačiarni. A. A. Ždanová. Rád Červeného praporu práce, vydavateľstvo "Sovietska encyklopédia". 109817. Moskva, Zh - 28, Pokrovsky Boulevard, 8. T - 02616 Náklad 150 000 kópií. Obj.č.418. Papier do tlače č.1. Veľkosť papiera 84xl08 1/14. Zväzok 36 fyzický p.l. ; 60, 48 konv. p.l. text. 101, 82 účtov - vyd. l. Cena knihy je 7 rubľov. 10 k.

Poriadok Červeného praporu práce Moskovská tlačiareň číslo 1 "Soyuzpoligrafprom" pod Štátnym výborom Rady ministrov ZSSR pre vydavateľstvo, tlač a obchod s knihami, Moskva, I - 85, Prospekt Mira, 105. Rozkaz č. 865.