Ak je určené pravidlo, podľa ktorého je s každým bodom M roviny (alebo niektorej časti roviny) priradené určité číslo u, potom sa hovorí, že na rovine (alebo na časti roviny) je „bodová funkcia daný“; špecifikácia funkcie je symbolicky vyjadrená rovnosťou tvaru u=f(M). Číslo u spojené s bodom M sa nazýva hodnota tejto funkcie v bode M. Napríklad, ak A je pevný bod v rovine, M je ľubovoľný bod, potom vzdialenosť od A po M je funkciou bodu M V tomto prípade f(m)=AM .

Nech je daná nejaká funkcia u=f(M) a zároveň sa zavedie súradnicový systém. Potom je ľubovoľný bod M určený súradnicami x, y. Preto je hodnota tejto funkcie v bode M určená súradnicami x, y, alebo, ako sa tiež hovorí, u=f(M) je funkcia dvoch premenných x a y. Funkciu dvoch premenných x a y označujeme symbolom f(x; y): ak f(M)=f(x;y), potom sa vzorec u=f(x; y) nazýva vyjadrením tohto funkciu vo vybranom súradnicovom systéme. Takže v predchádzajúcom príklade f(M)=AM; ak zavedieme kartézsky pravouhlý súradnicový systém s počiatkom v bode A, dostaneme výraz pre túto funkciu:

u=sqrt(x^2 + y^2)

ÚLOHA 3688 Je daná funkcia f (x, y)=x^2–y^2–16.

Vzhľadom na funkciu f (x, y)=x^2–y^2–16. Určte vyjadrenie tejto funkcie v novom súradnicovom systéme, ak sú osi súradníc otočené o uhol –45 stupňov.

Parametrické priamkové rovnice

Súradnice určitého bodu M označme písmenami x a y; Uvažujme o dvoch funkciách argumentu t:

x=φ(t), y=ψ(t) (1)

Keď sa t zmení, hodnoty x a y sa vo všeobecnosti zmenia, preto sa bod M bude pohybovať. Rovnosti (1) sa nazývajú parametrické priamkové rovnice, čo je trajektória bodu M; argument t sa nazýva parameter. Ak parameter t možno vylúčiť z rovnosti (1), dostaneme rovnicu trajektórie bodu M v tvare

Rovnosť tvaru F (x, y) = 0 nazývaná rovnica v dvoch premenných X, y, ak to neplatí pre všetky dvojice čísel x, y. Hovoria dve čísla X = X 0 , y=y 0, splniť nejakú rovnicu tvaru F(x, y)=0, ak pri dosadzovaní týchto čísel namiesto premenných X A pri v rovnici jej ľavá strana zmizne.

Rovnica danej priamky (v určenom súradnicovom systéme) je rovnica s dvoma premennými, ktorá je splnená súradnicami každého bodu ležiaceho na tejto priamke a nie je splnená súradnicami každého bodu, ktorý na nej neleží.

V nasledujúcom texte je namiesto výrazu „uvedená rovnica priamky F(x, y) = 0“ často povieme v skratke: daný riadok F (x, y) = 0.

Ak sú dané rovnice dvoch riadkov F(x, y) = 0 A Ф(x, y) = Q, potom spoločné riešenie systému

dáva všetky ich priesečníky. Presnejšie, každá dvojica čísel, ktorá je spoločným riešením tohto systému, určuje jeden z priesečníkov.

*) V prípadoch, keď súradnicový systém nie je pomenovaný, predpokladá sa, že je kartézsky pravouhlý.

157. Prideľujú sa body *) M 1 (2; - 2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M 6 (3; -2). Určte, ktoré publikované body ležia na priamke definovanej rovnicou X+ y = 0, a ktoré na ňom neležia. Ktorá čiara je definovaná touto rovnicou? (Nakreslite to na výkres.)

158. Na priamke definovanej rovnicou X 2 +y 2 =25, nájdite body, ktorých úsečky sa rovnajú nasledujúcim číslam: a) 0, b) - 3, c) 5, d) 7; na tej istej priamke nájdite body, ktorých súradnice sa rovnajú nasledujúcim číslam: e) 3, f) - 5, g) - 8. Ktorá priamka je určená touto rovnicou? (Nakreslite to na výkres.)

159. Určte, ktoré čiary sú určené nasledujúcimi rovnicami (zostrojte ich na výkrese):

1) x - y = 0; 2) x + y = 0; 3) X- 2 = 0; 4) X+ 3 = 0;

5) y-5 = 0; 6) r+ 2 = 0; 7) x = 0; 8) r = 0;

9) X 2 - xy = 0; 10) xy+ y2 = 0; jedenásť) X 2 - r 2 = 0; 12) xy= 0;

13) y2-9 = 0; 14) xy 2 - 8xy+15 = 0; 15) y2+5y+4 = 0;

16) X 2 y - 7xy + 10r = 0; 17) y =|X|; 18) x =|pri|; 19)r + |X|=0;

20) x +|pri|= 0; 21)y =|X- 1|; 22) r = |X+ 2|; 23) X 2 + pri 2 = 16;

24) (X-2) 2 +(r-1) 2 =16; 25) (X+ 5) 2 +(r- 1) 2 = 9;

26) (X - 1) 2 + r 2 = 4; 27) X 2 +(r + 3) 2 = 1; 28) (X -3) 2 + r 2 = 0;

29) X 2 + 2r 2 = 0; 30) 2X 2 + 3r 2 + 5 = 0

31) (X- 2) 2 + (r + 3) 2 + 1=0.

160. Dané riadky:

1)X+ y = 0; 2)x - y = 0; 3) X 2 + r 2 - 36 = 0;

4) X 2 +r 2 -2X==0; 5) X 2 +r 2 + 4X-6r-1 =0.

Určte, ktoré z nich prechádzajú počiatkom.

161. Dané riadky:

1) X 2 + r 2 = 49; 2) (X- 3) 2 + (r+ 4) 2 = 25;

3) (X+ 6) 2 + (y - 3) 2 = 25; 4) ( X + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9;

5) X 2 +r 2 - 12x + 16y = 0; 6) X 2 +r 2 - 2x + 8pri+ 7 = 0;

7) X 2 +r 2 - 6x + 4y + 12 = 0.

Nájdite ich priesečníky: a) s osou Oh; b) s osou OU.

162.Nájdite priesečníky dvoch priamok;

1)X 2 +y 2 = 8, x-y = 0;

2) X 2 +y 2 -16X+4pri+18 = 0, x + y= 0;

3) X 2 +y 2 -2X+4pri -3 = 0, X 2 + y 2 = 25;

4) X 2 +y 2 -8X+10у+40 = 0, X 2 + y 2 = 4.

163. Body sú dané v polárnom súradnicovom systéme

M 1 (1; ), M 2 (2; 0), M 3 (2; )

M 4 (
;) A M 5 (1; )

Určte, ktoré z týchto bodov ležia na priamke definovanej rovnicou v polárnych súradniciach  = 2 cos  a ktoré na nej neležia. Ktorá čiara je určená touto rovnicou? (nakreslite si to na výkres :)

164. Na priamke definovanej rovnicou  = , nájdite body, ktorých polárne uhly sa rovnajú nasledujúcim číslam: a) ,b) - , c) 0, d) . Ktorá čiara je definovaná touto rovnicou?

(Postavte ho na výkrese.)

165.Na priamke definovanej rovnicou  = , nájdite body, ktorých polárne polomery sa rovnajú nasledujúcim číslam: a) 1, b) 2, c)
. Ktorá čiara je definovaná touto rovnicou? (Postavte ho na výkrese.)

166. Určte, ktoré čiary sú určené v polárnych súradniciach podľa nasledujúcich rovníc (zostrojte ich na výkrese):

1)  = 5; 2)  = ; 3)  = ; 4)  cos  = 2; 5)  sin  = 1;

6)  = 6 cos ; 7)  = 10 sin ; 8) hriech  = 9) hriech  =

167. Zostrojte na výkrese nasledujúce Archimedove špirály:

1)  = 5, 2)  = 5; 3)  = ; 4)R = -1.

168. Zostrojte na výkrese nasledujúce hyperbolické špirály:

1)  = ; 2) = ; 3) = ; 4) = - .

169. Zostrojte na výkrese nasledujúce logaritmické špirály:

,
.

170. Určte dĺžky segmentov, do ktorých sa Archimedova špirála zarezáva

lúč vychádzajúci z pólu a sklonený k polárnej osi pod uhlom
. Urobte si kresbu.

171. Na Archimedovej špirále
dobrá poznámka S, ktorého polárny polomer je 47. Určte, koľko častí táto špirála pretína polárny polomer bodu S, Urobte si kresbu.

172. Na hyperbolickej špirále
nájsť bod R, ktorého polárny polomer je 12. Urob nákres.

173. Na logaritmickej špirále
nájdite bod Q, ktorého polárny polomer je 81. Nakreslite.

Nech je v rovine  daný kartézsky pravouhlý súradnicový systém Oxy a nejaká priamka L.

Definícia. Rovnica F(x;y)=0 (1) volal rovnica priamkyL(vzhľadom na daný súradnicový systém), ak je táto rovnica splnená súradnicami x a y ktoréhokoľvek bodu ležiaceho na priamke L, a nie súradnicami x a y žiadneho bodu neležiaceho na priamke L.

To. čiara v rovine je lokus bodov (M(x;y)), ktorých súradnice spĺňajú rovnicu (1).

Rovnica (1) definuje čiaru L.

Príklad. Rovnica kruhu.

Kruh– množina bodov rovnako vzdialených od daného bodu M 0 (x 0,y 0).

Bod M 0 (x 0, y 0) – stred kruhu.

Pre ľubovoľný bod M(x;y) ležiaci na kružnici je vzdialenosť MM 0 =R (R=konšt.)

MM 0 ==R

(x-x 0 ) 2 + (oooh 0 ) 2 =R 2 –(2) – rovnica kružnice s polomerom R so stredom v bode M 0 (x 0,y 0).

Parametrická rovnica priamky.

Nech súradnice x a y bodov na priamke L vyjadrené pomocou parametra t:

(3) – parametrická rovnica priamky v DSC

kde funkcie (t) a (t) sú spojité vzhľadom na parameter t (v určitom rozsahu variácie tohto parametra).

Vylúčením parametra t z rovnice (3) dostaneme rovnicu (1).

Úsečku L považujme za dráhu, ktorú prejde hmotný bod nepretržite sa pohybujúci podľa určitého zákona. Nech premenná t predstavuje čas počítaný od nejakého počiatočného okamihu. Potom špecifikácia pohybového zákona predstavuje špecifikáciu súradníc x a y pohybujúceho sa bodu ako nejaké spojité funkcie x=(t) a y=(t) času t.

Príklad. Odvoďme parametrickú rovnicu pre kružnicu s polomerom r>0 so stredom v počiatku. Nech M(x,y) je ľubovoľný bod tejto kružnice a t je uhol medzi vektorom polomeru a osou Ox, počítaný proti smeru hodinových ručičiek.

Potom x=r cos x y=r sin t. (4)

Rovnice (4) sú parametrické rovnice uvažovaného kruhu. Parameter t môže nadobudnúť ľubovoľnú hodnotu, ale aby bod M(x,y) raz obišiel kružnicu, je rozsah zmeny parametra obmedzený na polovičný segment 0t2.

Umocnením a sčítaním rovníc (4) získame všeobecnú rovnicu kruhu (2).

2. Polárny súradnicový systém (psc).

Vyberme si os L ( polárna os) a určte bod tejto osi O ( pól). Akýkoľvek bod v rovine je jednoznačne definovaný polárnymi súradnicami ρ a φ, kde

ρ – polárny polomer rovná vzdialenosti od bodu M k pólu O (ρ≥0);

φ – rohu medzi vektorovým smerom OM a os L ( polárny uhol). M(ρ ; φ )

Čiarová rovnica v UCS dá sa napísať:

ρ=f(φ) (5) explicitná rovnica priamky v UCS

F=(ρ; φ) (6) implicitná priamková rovnica v UCS

Vzťah medzi kartézskymi a polárnymi súradnicami bodu.

(x; y) (ρ ; φ ) Z trojuholníka OMA:

tan φ=(obnovenie uhlaφ podľa známehovzniká dotyčnicaberúc do úvahy, v ktorom kvadrante sa nachádza bod M).(ρ ; φ )(x;y). x=ρcosφ,y=ρsinφ

Príklad . Nájdite polárne súradnice bodov M(3;4) a P(1;-1).

Pre M:=5, φ=arctg (4/3). Pre P: ρ=; φ=Π+arctg(-1)=3Π/4.

Klasifikácia plochých čiar.

Definícia 1. Linka je tzv algebraický, ak v nejakom kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme, ak je definovaný rovnicou F(x;y)=0 (1), v ktorej je funkcia F(x;y) algebraický polynóm.

Definícia 2. Každá nealgebraická čiara je tzv transcendentálny.

Definícia 3. Algebraická čiara je tzv riadok objednávkyn, ak v niektorom kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme je táto priamka určená rovnicou (1), v ktorej funkcia F(x;y) je algebraický polynóm n-tého stupňa.

Čiara n-tého rádu je teda čiara definovaná v nejakom karteziánskom pravouhlom systéme algebraickou rovnicou stupňa n s dvoma neznámymi.

Nasledujúca veta prispieva k stanoveniu správnosti definícií 1,2,3.

Veta(dokument na str. 107). Ak je priamka v niektorom kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme určená algebraickou rovnicou stupňa n, potom je táto priamka v akomkoľvek inom karteziánskom pravouhlom súradnicovom systéme určená algebraickou rovnicou rovnakého stupňa n.

Cieľ: Zvážte pojem čiary v rovine, uveďte príklady. Na základe definície priamky zaviesť pojem rovnica priamky v rovine. Zvážte typy priamych čiar, uveďte príklady a metódy definovania priamky. Posilniť schopnosť preložiť rovnicu priamky zo všeobecného tvaru na rovnicu priamky „v segmentoch“ s uhlovým koeficientom.

1. Rovnica priamky na rovine.
2. Rovnica priamky na rovine. Typy rovníc.
3. Metódy na určenie priamky.

1. Nech x a y sú dve ľubovoľné premenné.

Definícia: Zavolá sa vzťah v tvare F(x,y)=0 rovnica , ak to neplatí pre žiadne dvojice čísel x a y.

Príklad: 2x + 7r – 1 = 0, x 2 + y2 – 25 = 0.

Ak pre ľubovoľné x, y platí rovnosť F(x,y)=0, potom je F(x,y) = 0 identita.

Príklad: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0

Hovorí sa, že čísla x sú 0 a y sú 0 splniť rovnicu , ak sa pri ich dosadení do tejto rovnice zmení na skutočnú rovnosť.

Najdôležitejším konceptom analytickej geometrie je koncept rovnice priamky.

Definícia: Rovnica danej priamky je rovnica F(x,y)=0, ktorej súradnice všetkých bodov ležiacich na tejto priamke vyhovujú a nie súradníc žiadneho z bodov, ktoré na tejto priamke neležia.

Čiara definovaná rovnicou y = f(x) sa nazýva graf f(x). Premenné x a y sa nazývajú aktuálne súradnice, pretože sú súradnicami premenného bodu.

Niektorí príklady definície čiar.

1) x – y = 0 => x = y. Táto rovnica definuje priamku:

2) x 2 - y 2 = 0 => (x-y)(x+y) = 0 => body musia spĺňať buď rovnicu x - y = 0, alebo rovnicu x + y = 0, ktorá v rovine zodpovedá dvojica pretínajúcich sa priamok, ktoré sú osami súradnicových uhlov:

3) x 2 + y 2 = 0. Túto rovnicu spĺňa iba jeden bod O(0,0).

2. Definícia: Akákoľvek priamka v rovine môže byť špecifikovaná rovnicou prvého poriadku

Ax + Wu + C = 0,

Navyše konštanty A a B sa zároveň nerovnajú nule, t.j. A 2 + B 2 ¹ 0. Táto rovnica prvého rádu sa nazýva všeobecná rovnica priamky.

V závislosti od hodnôt konštánt A, B a C sú možné tieto špeciálne prípady:

C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 – priamka prechádza počiatkom

A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 (By + C = 0) - priamka rovnobežná s osou Ox

B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) – priamka rovnobežná s osou Oy

B = C = 0, A ¹ 0 – priamka sa zhoduje s osou Oy

A = C = 0, B ¹ 0 – priamka sa zhoduje s osou Ox

Rovnica priamky môže byť prezentovaná v rôznych formách v závislosti od akýchkoľvek daných počiatočných podmienok.

Rovnica priamky s uhlovým koeficientom.

Ak sa všeobecná rovnica priamky Ax + By + C = 0 zredukuje na tvar:

a označte , potom sa výsledná rovnica nazýva rovnica priamky so sklonom k.

Rovnica priamky v segmentoch.

Ak vo všeobecnej rovnici priamky Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, potom vydelením –С dostaneme: alebo , kde

Geometrický význam koeficientov je, že koeficient A je súradnica priesečníka priamky s osou Ox a b– súradnica priesečníka priamky s osou Oy.

Normálna rovnica priamky.

Ak sú obe strany rovnice Ax + By + C = 0 delené číslom tzv normalizačný faktor, potom dostaneme

xcosj + ysinj - p = 0 – normálna rovnica priamky.

Znamienko ± normalizačného faktora sa musí zvoliť tak, aby m × С< 0.

p je dĺžka kolmice spustenej od začiatku k priamke a j je uhol, ktorý zviera táto kolmica s kladným smerom osi Ox.

3. Rovnica priamky pomocou bodu a sklonu.

Nech je uhlový koeficient priamky rovný k, priamka prechádza bodom M(x 0, y 0). Potom rovnicu priamky nájdeme podľa vzorca: y – y 0 = k(x – x 0)

Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi.

Nech sú v priestore dané dva body M 1 (x 1, y 1, z 1) a M 2 (x 2, y 2, z 2), potom rovnica priamky prechádzajúcej týmito bodmi je:

Ak je niektorý z menovateľov nula, zodpovedajúci čitateľ by mal byť nastavený na nulu.

V rovine je rovnica priamky napísaná vyššie zjednodušená:

ak x 1 ¹ x 2 a x = x 1, ak x 1 = x 2.

Zlomok = k sa nazýva sklon rovno.

Rovnosť tvaru F(x, y) = 0 sa nazýva rovnica s dvoma premennými x, y, ak neplatí pre všetky dvojice čísel x, y. Hovoria, že dve čísla x = x 0, y = y 0 spĺňajú nejakú rovnicu tvaru F(x, y) = 0, ak pri dosadení týchto čísel namiesto premenných x a y do rovnice sa jej ľavá strana stane nulou. .

Rovnica danej priamky (v určenom súradnicovom systéme) je rovnica s dvoma premennými, ktorá je splnená súradnicami každého bodu ležiaceho na tejto priamke a nie je splnená súradnicami každého bodu, ktorý na nej neleží.

V nasledujúcom texte namiesto výrazu „vzhľadom na rovnicu priamky F(x, y) = 0“ často povieme stručnejšie: pri priamke F(x, y) = 0.

Ak sú dané rovnice dvoch riadkov: F(x, y) = 0 a Ф(x, y) = 0, potom spoločné riešenie sústavy

F(x,y) = 0, Ф(x, y) = 0

dáva všetky ich priesečníky. Presnejšie povedané, každá dvojica čísel, ktorá je spoločným riešením tohto systému, určuje jeden z priesečníkov,

157. Dané body *) M 1 (2; -2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M6 (3; -2). Určte, ktoré z daných bodov ležia na priamke definovanej rovnicou x + y = 0 a ktoré na nej neležia. Ktorá čiara je definovaná touto rovnicou? (Nakreslite to na výkres.)

158. Na priamke definovanej rovnicou x 2 + y 2 = 25 nájdite body, ktorých úsečky sa rovnajú nasledujúcim číslam: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; na tom istom riadku nájdite body, ktorých súradnice sa rovnajú nasledujúcim číslam: 5) 3, 6) -5, 7) -8. Ktorá čiara je definovaná touto rovnicou? (Nakreslite to na výkres.)

159. Určte, ktoré priamky sú určené nasledujúcimi rovnicami (zostrojte ich na výkrese): 1)x - y = 0; 2) x + y = 0; 3) x-2 = 0; 4) x + 3 = 0; 5) y-5 = 0; 6) y + 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0; 9) x2 - xy = 0; 10) xy + y2 = 0; 11) x2 - y2 = 0; 12) xy = 0; 13) y2-9 = 0; 14) x 2 - 8 x + 15 = 0; 15) y2+ by + 4 = 0; 16) x 2 y - 7 x y + 10 y = 0; 17) y - |x|; 18) x - |y|; 19) y + |x| = 0; 20) x + |y| = 0; 21) y = |x - 1|; 22) y = |x + 2|; 23) x2 + y2 = 16; 24) (x - 2) 2 + (y - 1) 2 = 16; 25 (x + 5)2 + (y-1)2 = 9; 26) (x - 1)2 + y2 = 4; 27) x 2 + (y + 3) 2 = 1; 28) (x - 3)2 + y2 = 0; 29) x2 + 2y2 = 0; 30) 2x 2 + 3y 2 + 5 = 0; 31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.

160. Dané riadky: l)x + y = 0; 2) x - y = 0; 3) x2 + y2-36 = 0; 4) x2 + y2 - 2x + y = 0; 5) x 2 + y 2 + 4x - 6y - 1 = 0. Určte, ktoré z nich prechádzajú počiatkom.

161. Dané riadky: 1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x - 3) 2 + (y + 4) 2 = 25; 3) (x + 6)2 + (y - Z)2 = 25; 4) (x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9; 5) x 2 + y2 - 12x + 16y - 0; 6) x2 + y2 - 2x + 8y + 7 = 0; 7) x 2 + y 2 - 6x + 4y + 12 = 0. Nájdite ich priesečníky: a) s osou Ox; b) s osou Oy.

162. Nájdite priesečníky dvoch priamok:

1) x2 + y2-8; x - y = 0;

2) x2 + y2 - 16x + 4y + 18 = 0; x + y = 0;

3) x2 + y2 - 2x + 4y - 3 = 0; x2 + y2 = 25;

4) x2 + y2 - 8y + 10y + 40 = 0; x 2 + y2 = 4.

163. V polárnom súradnicovom systéme sú body M 1 (l; π/3), M 2 (2; 0), M 3 (2; π/4), M 4 (√3; π/6) a M 5 (1; 2/3π). Určte, ktoré z týchto bodov ležia na priamke definovanej v polárnych súradniciach rovnicou p = 2cosΘ a ktoré na nej neležia. Ktorá čiara je určená touto rovnicou? (Nakreslite to na výkres.)

164. Na priamke definovanej rovnicou p = 3/cosΘ nájdite body, ktorých polárne uhly sa rovnajú nasledujúcim číslam: a) π/3, b) - π/3, c) 0, d) π/6. Ktorá čiara je definovaná touto rovnicou? (Postavte ho na výkrese.)

165. Na priamke definovanej rovnicou p = 1/sinΘ nájdite body, ktorých polárne polomery sa rovnajú nasledujúcim číslam: a) 1 6) 2, c) √2. Ktorá čiara je definovaná touto rovnicou? (Postavte ho na výkrese.)

166. Určte, ktoré priamky sú určené v polárnych súradniciach podľa nasledujúcich rovníc (zostrojte ich na výkrese): 1) p = 5; 2) Θ = π/2; 3) Θ = - π/4; 4) pcosΘ = 2; 5) p sin8 = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) p = 10 sinΘ; 8) sinΘ = 1/2; 9) sinp = 1/2.

167. Zostrojte na výkrese tieto Archimedove špirály: 1) p = 20; 2) p = 50; 3) p = Θ/π; 4) p = -Θ/π.

168. Zostrojte na výkrese tieto hyperbolické špirály: 1) p = 1/Θ; 2) p = 5/8; 3) p = π/Θ; 4) р= - π/Θ

169. Zostrojte na výkrese nasledujúce logaritmické špirály: 1) p = 2 Θ; 2) p = (1/2) Θ.

170. Určte dĺžky úsečiek, do ktorých je Archimedova špirála p = 3Θ rozrezaná lúčom vychádzajúcim z pólu a skloneným k polárnej osi pod uhlom Θ = π/6. Urobte si kresbu.

171. Na Archimedovej špirále p = 5/πΘ je zachytený bod C, ktorého polárny polomer je 47. Určte, koľko častí táto špirála pretína polárny polomer bodu C. Nakreslite.

172. Na hyperbolickej špirále P = 6/Θ nájdite bod P, ktorého polárny polomer je 12. Nakreslite.

173. Na logaritmickej špirále p = 3 Θ nájdite bod P, ktorého polárny polomer je 81. Nakreslite.