Všeobecné riešenie heterogénneho systému. Homogénne sústavy lineárnych rovníc Riešenie homogénnych sústav 0
Lineárna rovnica sa nazýva homogénne, ak je jeho voľný člen rovný nule, a inak nehomogénny. Systém pozostávajúci z homogénnych rovníc sa nazýva homogénny a má všeobecná forma:
Je zrejmé, že každý homogénny systém je konzistentný a má nulové (triviálne) riešenie. Preto vo vzťahu k homogénnym systémom lineárne rovnicečasto treba hľadať odpoveď na otázku existencie nenulových riešení. Odpoveď na túto otázku možno formulovať ako nasledujúca veta.
Veta . Homogénny systém lineárnych rovníc má nenulové riešenie práve vtedy, ak je jeho poradie menšie ako počet neznámych .
Dôkaz: Predpokladajme, že systém, ktorého poradie je rovnaké, má nenulové riešenie. Je zrejmé, že nepresahuje . V prípade, že má systém unikátne riešenie. Keďže systém homogénnych lineárnych rovníc má vždy nulové riešenie, potom nulovým riešením bude toto jedinečné riešenie. Nenulové riešenia sú teda možné len pre .
Dôsledok 1 : Homogénna sústava rovníc, v ktorej je počet rovníc menší ako počet neznámych, má vždy nenulové riešenie.
Dôkaz: Ak má sústava rovníc , potom hodnosť sústavy nepresahuje počet rovníc, t.j. . Podmienka je teda splnená a systém má teda nenulové riešenie.
Dôsledok 2 : Homogénna sústava rovníc s neznámymi má nenulové riešenie práve vtedy, ak je jej determinant nulový.
Dôkaz: Predpokladajme, že sústava lineárnych homogénnych rovníc, ktorých matica s determinantom má nenulové riešenie. Potom, podľa osvedčenej vety, a to znamená, že matica je singulárna, t.j. .
Kroneckerova-Capelliho veta: SLU je konzistentné vtedy a len vtedy, ak sa poradie systémovej matice rovná hodnote rozšírenej matice tohto systému. Systém ur sa nazýva konzistentný, ak má aspoň jedno riešenie.Homogénny lineárny systém algebraické rovnice .
Sústava m lineárnych rovníc s n premennými sa nazýva sústava lineárnych homogénnych rovníc, ak sú všetky voľné členy rovné 0. Sústava lineárnych homogénnych rovníc je vždy konzistentná, pretože vždy má aspoň nulové riešenie. Systém lineárnych homogénnych rovníc má nenulové riešenie práve vtedy, ak hodnost jeho matice koeficientov pre premenné je menšia ako počet premenných, t.j. pre úroveň A (n. Akákoľvek lineárna kombinácia
Systémové riešenia Lin. homogénne. ur-ii je tiež riešením tohto systému.
Systém lineárnych nezávislých riešení e1, e2,...,еk sa nazýva fundamentálny, ak každé riešenie systému je lineárnou kombináciou riešení. Veta: ak je poradie r matice koeficientov pre premenné sústavy lineárnych homogénnych rovníc menšie ako počet premenných n, potom každý fundamentálny systém riešení sústavy pozostáva z n-r riešenia. Preto spoločné rozhodnutie líniové systémy jeden deň ur-th má tvar: c1e1+c2e2+...+skek, kde e1, e2,..., ek je ľubovoľná základná sústava riešení, c1, c2,...,ck sú ľubovoľné čísla a k=n-r. Všeobecné riešenie sústavy m lineárnych rovníc s n premennými sa rovná súčtu
všeobecného riešenia jemu zodpovedajúceho systému je homogénna. lineárnych rovníc a ľubovoľného partikulárneho riešenia tejto sústavy.
7. Lineárne priestory. Podpriestormi. Základ, rozmer. Lineárna škrupina. Lineárny priestor je tzv n-rozmerný, ak obsahuje sústavu lineárnych nezávislé vektory a akýkoľvek systém z viac vektory sú lineárne závislé. Číslo sa volá dimenzia (počet dimenzií) lineárny priestor a označuje sa . Inými slovami, rozmer priestoru je maximálny počet lineárne nezávislých vektorov tohto priestoru. Ak takéto číslo existuje, potom sa priestor nazýva konečnorozmerný. Ak pre niekoho prirodzené číslo n v priestore existuje systém pozostávajúci z lineárne nezávislých vektorov, potom sa takýto priestor nazýva nekonečno-rozmerný (píše sa: ). V nasledujúcom texte, pokiaľ nie je uvedené inak, sa budú brať do úvahy konečne-dimenzionálne priestory.
Základom n-rozmerného lineárneho priestoru je usporiadaná kolekcia lineárne nezávislých vektorov ( bázové vektory).
Veta 8.1 o expanzii vektora z hľadiska bázy. Ak je základom n-rozmerného lineárneho priestoru, potom každý vektor môže byť reprezentovaný ako lineárna kombinácia základných vektorov:
V=v1*e1+v2*e2+…+vn+sk
a navyše jediným spôsobom, t.j. koeficienty sú určené jednoznačne. Inými slovami, akýkoľvek vektor priestoru môže byť rozšírený na základ a navyše jedinečným spôsobom.
Vskutku, rozmer priestoru je . Systém vektorov je lineárne nezávislý (toto je základ). Po pridaní ľubovoľného vektora k základu dostaneme lineárne závislý systém (keďže tento systém pozostáva z vektorov n-rozmerného priestoru). Pomocou vlastnosti 7 lineárne závislých a lineárne nezávislých vektorov získame záver vety.
Kaluga pobočka federálnej štátnej rozpočtovej vzdelávacej inštitúcie vyššieho odborného vzdelávania
„Moskva štátna technická univerzita pomenovaná po N.E. Bauman"
(KB MSTU pomenovaná po N.E. Baumanovi)
Vlaykov N.D.
Riešenie homogénnych SLAE
Pokyny na vykonávanie cvičení
na kurze analytickej geometrie
Kaluga 2011
Ciele lekcie strana 4
Plán lekcie strana 4
Potrebné teoretické informácie str.5
Praktická časť str.10
Sledovanie zvládnutia preberanej látky str
Domáca úloha str.14
Počet hodín: 2
Ciele lekcie:
Systematizovať získané teoretické poznatky o typoch SLAE a metódach ich riešenia.
Získajte zručnosti pri riešení homogénnych SLAE.
Plán lekcie:
Stručne načrtnite teoretický materiál.
Vyriešte homogénny SLAE.
Nájdite základný systém riešení homogénneho SLAE.
Nájdite konkrétne riešenie homogénneho SLAE.
Sformulujte algoritmus na riešenie homogénneho SLAE.
Skontrolujte svoju aktuálnu domácu úlohu.
Vykonajte overovacie práce.
Prezentujte tému nasledujúceho seminára.
Odošlite aktuálnu domácu úlohu.
Potrebné teoretické informácie.
Hodnosť matice.
Def. Hodnosť matice je číslo, ktoré sa rovná maximálnemu poradiu medzi jej nenulovými maloletými. Hodnosť matice je označená .
Ak je štvorcová matica nejednotná, jej poradie sa rovná jej poradiu. Ak je štvorcová matica jednotná, jej poradie je menšie ako jej poradie.
Hodnosť diagonálnej matice sa rovná počtu jej nenulových diagonálnych prvkov.
teor. Keď sa matica transponuje, jej poradie sa nemení, t.j. 
.
teor. Poradie matice sa pri elementárnych transformáciách jej riadkov a stĺpcov nemení.
Veta o vedľajšom základe.
Def. Menší 
matice 
sa nazýva základný, ak sú splnené dve podmienky:
a) nerovná sa nule;
b) jeho poradie sa rovná hodnosti matice 
.
Matrix 
môže mať niekoľko základne maloletých.
Maticové riadky a stĺpce 
, v ktorých sa nachádza vybraný základný moll, sa nazývajú zákl.
teor. Veta o vedľajšom základe. Základné riadky (stĺpce) matice 
, zodpovedajúca niektorej zo svojich základov maloletých 
, sú lineárne nezávislé. Ľubovoľné riadky (stĺpce) matice 
, nie je súčasťou 
, sú lineárne kombinácie základných riadkov (stĺpcov).
teor. Pre každú maticu sa jej poradie rovná maximálnemu počtu jej lineárne nezávislých riadkov (stĺpcov).
Výpočet hodnosti matice. Metóda elementárnych transformácií.
Použitím elementárnych riadkových transformácií je možné ľubovoľnú maticu zredukovať na stupňovitú formu. Poradie krokovej matice sa rovná počtu nenulových riadkov. Základom v ňom je vedľajší prvok, ktorý sa nachádza na priesečníku nenulových riadkov so stĺpcami zodpovedajúcimi prvým nenulovým prvkom zľava v každom z riadkov.
SLAU. Základné definície.
Def. Systém 
(15.1)
čísla 
sa nazývajú koeficienty SLAE. čísla 
sa nazývajú voľné členy rovníc.
Záznam SLAE vo formulári (15.1) sa nazýva súradnica.
Def. SLAE sa nazýva homogénna ak 
. Inak sa nazýva heterogénny.
Def. Riešením SLAE je taká množina hodnôt neznámych, pri ktorých nahradení sa každá rovnica systému zmení na identitu. Akékoľvek špecifické riešenie SLAE sa tiež nazýva jeho konkrétne riešenie.
Riešenie SLAE znamená riešenie dvoch problémov:
Zistite, či má SLAE riešenia;
Nájdite všetky riešenia, ak existujú.
Def. SLAE sa nazýva spoj, ak má aspoň jedno riešenie. V opačnom prípade sa to nazýva nekompatibilné.
Def. Ak má SLAE (15.1) riešenie, a to jednoznačné, potom sa nazýva určité, a ak riešenie nie je jedinečné, potom sa nazýva neurčité.
Def. Ak v rovnici (15.1) 
,SLAE sa nazýva štvorcový.
Záznamové formuláre SLAU.
Okrem súradnicovej formy (15.1) sa záznamy SLAE často používajú aj v iných jej reprezentáciách.
(15.2)
Vzťah sa nazýva vektorová forma notácie SLAE.
Ak vezmeme za základ súčin matíc, potom SLAE (15.1) možno zapísať takto:
(15.3)
alebo 
.
Zápis SLAE (15.1) v tvare (15.3) sa nazýva matica.
Homogénne SLAE.
Homogénny systém 
lineárne algebraické rovnice s 
neznámy je systém tvaru
Homogénne SLAE sú vždy konzistentné, pretože vždy existuje nulové riešenie.
Kritérium existencie nenulového riešenia. Aby pre homogénny štvorec SLAE existovalo nenulové riešenie, je potrebné a postačujúce, aby jeho matica bola singulárna.
teor. Ak sú stĺpce 
,
,
…,
sú riešenia homogénneho SLAE, potom je riešením tohto systému aj akákoľvek ich lineárna kombinácia.
Dôsledok. Ak má homogénna SLAE nenulové riešenie, potom má nekonečný počet riešení.
Je prirodzené snažiť sa nájsť takéto riešenia 
,
,
…,
systémov tak, aby akékoľvek iné riešenie bolo reprezentované ako ich lineárna kombinácia a navyše jedinečným spôsobom.
Def. Akýkoľvek súbor 
lineárne nezávislé stĺpce 
,
,
…,
, čo sú roztoky homogénneho SLAE 
, Kde 
- počet neznámych a 
- hodnosť svojej matice 
, sa nazýva fundamentálny systém riešení tohto homogénneho SLAE.
Pri štúdiu a riešení homogénnych sústav lineárnych rovníc si v matici sústavy zafixujeme základ minor. Základňa minor bude zodpovedať základným stĺpcom, a teda bázovým neznámym. Zvyšných neznámych zavoláme na slobodu.
teor. O štruktúre všeobecného riešenia homogénneho SLAE. Ak 
,
,
…,
- ľubovoľný fundamentálny systém riešení homogénneho SLAE 
, potom môže byť akékoľvek jeho riešenie reprezentované vo forme
Kde 
,
…,
- niektoré sú trvalé.
To. všeobecný roztok homogénneho SLAE má tvar
Praktická časť.
Zvážte možné sady riešení nasledujúcich typov SLAE a ich grafickú interpretáciu.
;
;
.
Zvážte možnosť riešenia týchto systémov pomocou Cramerových vzorcov a maticovej metódy.
Vysvetlite podstatu Gaussovej metódy.
Vyriešte nasledujúce problémy.
Príklad 1. Vyriešte homogénny SLAE. Nájdite FSR.
.
Zapíšme si maticu systému a zredukujme ju na stupňovitú formu.
.
systém bude mať nekonečne veľa riešení. FSR bude pozostávať z 
stĺpci.
Zahodíme nulové riadky a napíšeme systém znova:
.
Za základnú mollovú budeme považovať ľavý horný roh. To. 
- základné neznáme, a 
- zadarmo. Vyjadrime sa 
cez zadarmo 
:
;
Položme 
.
Nakoniec tu máme:
- súradnicový tvar odpovede, príp
- matričný tvar odpovede, príp
- vektorová forma odpovede (vektor - stĺpce sú stĺpce FSR).
Algoritmus na riešenie homogénneho SLAE.
Nájdite FSR a všeobecné riešenie nasledujúcich systémov:
№2.225(4.39)
. odpoveď: 
№2.223(2.37)
. odpoveď:
№2.227(2.41)
. odpoveď: 
Vyriešte homogénny SLAE:
. odpoveď: 
Vyriešte homogénny SLAE:
. odpoveď: 
Prezentácia témy nasledujúceho seminára.
Riešenie sústav lineárnych nehomogénnych rovníc.
Sledovanie zvládnutia preberanej látky.
Skúšobná práca 3 - 5 minút. Do denníka sa zapoja 4 študenti s nepárnymi číslami od 10
|
Nasleduj tieto kroky:
|
Nasleduj tieto kroky:
|
|
|
Vypočítajte determinant:
|
;
;
|
Nasleduj tieto kroky:
|
Nasleduj tieto kroky:
|
|
Nájdite inverznú maticu tohto:
|
Vypočítajte determinant:
|
nedefinované
Domáca úloha:
1. Riešenie problémov:
№ 2.224, 2.226, 2.228, 2.230, 2.231, 2.232.
2. Pracujte prostredníctvom prednášok na nasledujúce témy:
Systémy lineárnych algebraických rovníc (SLAE). Súradnicové, maticové a vektorové formy záznamu. Kronecker-Capelliho kritérium pre kompatibilitu SLAE. Heterogénne SLAE. Kritérium pre existenciu nenulového riešenia homogénneho SLAE. Vlastnosti roztokov homogénnej SLAE. Základná sústava riešení homogénnej SLAE, veta o jej existencii. Normálny základný systém riešení. Veta o štruktúre všeobecného riešenia homogénnej SLAE. Veta o štruktúre všeobecného riešenia nehomogénneho SLAE.
Nazýva sa sústava lineárnych rovníc, v ktorej sa všetky voľné členy rovnajú nule homogénne :
Akýkoľvek homogénny systém je vždy konzistentný, pretože vždy bol nula (triviálne ) Riešenie. Vzniká otázka, za akých podmienok bude mať homogénny systém netriviálne riešenie.
Veta 5.2.Homogénny systém má netriviálne riešenie vtedy a len vtedy, ak je poradie základnej matice menšie ako počet jej neznámych.
Dôsledok. Štvorcový homogénny systém má netriviálne riešenie práve vtedy, ak determinant hlavnej matice systému nie je rovný nule.
Príklad 5.6. Určte hodnoty parametra l, pri ktorých má systém netriviálne riešenia, a nájdite tieto riešenia:
Riešenie. Tento systém bude mať netriviálne riešenie, keď sa determinant hlavnej matice rovná nule:
Systém je teda netriviálny, keď l=3 alebo l=2. Pre l=3 je poradie hlavnej matice systému 1. Potom ponecháme iba jednu rovnicu a predpokladáme, že r=a A z=b, dostaneme x=b-a, t.j.
Pre l=2 je poradie hlavnej matice systému 2. Potom ako základ vyberieme vedľajšiu:
dostaneme zjednodušený systém
Odtiaľ to nájdeme x=z/4, y=z/2. Veriaci z=4a, dostaneme
Súbor všetkých riešení homogénneho systému má veľmi dôležitý lineárna vlastnosť : ak stĺpce X 1 a X 2 - riešenia homogénnej sústavy AX = 0, potom ľubovoľná ich lineárna kombinácia a X 1 + b X 2 bude tiež riešením tohto systému. Skutočne, odvtedy AX 1 = 0 A AX 2 = 0 , To A(a X 1 + b X 2) = a AX 1 + b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Je to kvôli tejto vlastnosti, že ak má lineárny systém viac ako jedno riešenie, potom bude týchto riešení nekonečný počet.
Lineárne nezávislé stĺpce E 1 , E 2 , Ek, ktoré sú riešeniami homogénnej sústavy, sa nazývajú základný systém riešení homogénna sústava lineárnych rovníc, ak všeobecné riešenie tejto sústavy možno zapísať ako lineárnu kombináciu týchto stĺpcov:
Ak má homogénny systém n premenných a poradie hlavnej matice systému sa rovná r, To k = n-r.
Príklad 5.7. Nájdite základný systém riešení nasledujúceho systému lineárnych rovníc:
Riešenie. Poďme nájsť hodnosť hlavnej matice systému:
Množina riešení tohto systému rovníc teda tvorí lineárny podpriestor dimenzie n-r= 5 - 2 = 3. Ako základ zvolíme moll
Potom, keď ponecháme len základné rovnice (zvyšok bude lineárna kombinácia týchto rovníc) a základné premenné (zvyšok, tzv. voľné premenné posunieme doprava), dostaneme zjednodušený systém rovníc:
Veriaci X 3 = a, X 4 = b, X 5 = c, nájdeme
Veriaci a= 1, b = c= 0, získame prvé zásadité riešenie; veriaceho b= 1, a = c= 0, získame druhé zásadité riešenie; veriaceho c= 1, a = b= 0, získame tretie základné riešenie. V dôsledku toho nadobudne formu normálny základný systém riešení
Pomocou základného systému možno všeobecné riešenie homogénneho systému zapísať ako
X = aE 1 + bE 2 + cE 3. a
Všimnime si niektoré vlastnosti riešení nehomogénnej sústavy lineárnych rovníc AX=B a ich vzťah s príslušným homogénnym systémom rovníc AX = 0.
Všeobecné riešenie nehomogénneho systémusa rovná súčtu všeobecného riešenia zodpovedajúcej homogénnej sústavy AX = 0 a ľubovoľného partikulárneho riešenia nehomogénnej sústavy. Skutočne, nech Y 0 je ľubovoľné partikulárne riešenie nehomogénneho systému, t.j. AY 0 = B, A Y- všeobecné riešenie heterogénnej sústavy, t.j. AY=B. Odčítaním jednej rovnosti od druhej dostaneme
A(Y-Y 0) = 0, t.j. Y-Y 0 je všeobecné riešenie zodpovedajúceho homogénneho systému AX=0. teda Y-Y 0 = X, alebo Y=Y 0 + X. Q.E.D.
Nech má nehomogénny systém tvar AX = B 1 + B 2 . Potom je možné všeobecné riešenie takéhoto systému zapísať ako X = X 1 + X 2 , kde AX 1 = B 1 a AX 2 = B 2. Táto vlastnosť vyjadruje univerzálnu vlastnosť akéhokoľvek lineárne systémy(algebraické, diferenciálne, funkčné atď.). Vo fyzike sa táto vlastnosť nazýva princíp superpozície v elektrotechnike a rádiotechnike - princíp superpozície. Napríklad v teórii lineárnych elektrických obvodov možno prúd v akomkoľvek obvode získať ako algebraický súčet prúdov spôsobených každým zdrojom energie samostatne.
Homogénna sústava lineárnych rovníc AX = 0 vždy spolu. Má netriviálne (nenulové) riešenia, ak r= hodnosť A< n .
Pre homogénne systémy sú základné premenné (ktorých koeficienty tvoria základnú minor) vyjadrené prostredníctvom voľných premenných vzťahmi v tvare:
Potom n-r Lineárne nezávislé vektorové riešenia budú:
a akékoľvek iné riešenie je ich lineárnou kombináciou. Vektorové riešenia 
vytvoriť normalizovaný základný systém.
V lineárnom priestore tvorí množina riešení homogénneho systému lineárnych rovníc podpriestor dimenzie n-r; 
- základ tohto podpriestoru.
Systém m lineárne rovnice s n neznámy(alebo, lineárny systém
 |
Tu X 1 , X 2 , …, x n a 11 , a 12 , …, a mn- systémové koeficienty - a b 1 , b 2 , … b m a iji) a neznáme ( j
Systém (1) sa nazýva homogénneb 1 = b 2 = … = b m= 0), inak - heterogénne.
Systém (1) sa nazýva námestie, ak číslo m rovnice rovné číslu n neznámy.
Riešenie systémy (1) - sada nčísla c 1 , c 2 , …, c n, tak, že nahradenie každého c i namiesto x i do systému (1) premení všetky svoje rovnice na identity.
Systém (1) sa nazýva kĺb nezlučiteľné
Riešenia c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) a c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n rôzne
| c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) . |
istý neistý. Ak existuje viac rovníc ako neznámych, nazýva sa to predefinované.
Riešenie sústav lineárnych rovníc
Riešenie maticových rovníc ~ Gaussova metóda
Metódy riešenia sústav lineárnych rovníc sú rozdelené do dvoch skupín:
1. presné metódy, čo sú konečné algoritmy na výpočet koreňov systému (riešenie systémov pomocou inverznej matice, Cramerovo pravidlo, Gaussova metóda atď.),
2. iteračné metódy, ktoré umožňujú získať riešenie systému s danou presnosťou konvergentnými iteračnými procesmi (metóda iterácie, Seidelova metóda atď.).
Kvôli nevyhnutnému zaokrúhľovaniu sú výsledky aj presných metód približné. Pri použití iteračných metód sa navyše pridáva chyba metódy.
Efektívne využitie iteračných metód výrazne závisí od úspešnej voľby počiatočnej aproximácie a rýchlosti konvergencie procesu.
Riešenie maticových rovníc
Zvážte systém n lineárne algebraické rovnice vzhľadom na n neznámy X 1 , X 2 , …, x n:
 .
| (15) |
Matrix A, ktorého stĺpce sú koeficienty pre zodpovedajúce neznáme a riadky sú koeficienty pre neznáme v zodpovedajúcej rovnici, sa nazýva matice systému; matica-stĺpec b, ktorého prvky sú pravými stranami rovníc sústavy, sa nazýva matica na pravej strane alebo jednoducho pravá strana systémov. Matica stĺpcov X, ktorého prvky sú neznáme neznáme, sa nazýva systémové riešenie.
Ak matica A- nešpeciálny, teda det A n e sa rovná 0, potom systém (13) alebo jemu ekvivalentná maticová rovnica (14) má jedinečné riešenie.
V skutočnosti za predpokladu det A nie je rovnaké 0 existuje inverzná matica A-1. Vynásobenie oboch strán rovnice (14) maticou A-1 dostaneme:
| (16) |
Vzorec (16) dáva riešenie rovnice (14) a je jedinečný.
Pomocou funkcie je vhodné riešiť sústavy lineárnych rovníc vyriešiť.
vyriešiť( A, b)
Vektor riešenia sa vráti X také že Oh= b.
Argumenty:
A- štvorcová, nesingulárna matica.
b- vektor, ktorý má rovnaký počet riadkov, ako je riadkov v matici A .
Obrázok 8 ukazuje riešenie sústavy troch lineárnych rovníc o troch neznámych.
Gaussova metóda
Gaussova metóda, nazývaná aj Gaussova eliminačná metóda, spočíva v tom, že systém (13) je redukovaný postupnou elimináciou neznámych na ekvivalentný systém s trojuholníkovou maticou:
V maticovom zápise to znamená, že najprv (priamy prístup Gaussovej metódy) sa elementárnymi operáciami na riadkoch redukuje rozšírená matica systému do stupňovitej formy:
a potom (obrátená k Gaussovej metóde) sa táto kroková matica transformuje tak, že v prvom n stĺpcov dostaneme jednotkovú maticu:
.
Posledné, ( n+ 1) stĺpec tejto matice obsahuje riešenie systému (13).
V Mathcade sú pohyby dopredu a dozadu Gaussovej metódy vykonávané funkciou rref(A).
Na obrázku 9 je znázornené riešenie sústavy lineárnych rovníc Gaussovou metódou, ktorá využíva nasledujúce funkcie:
rref( A)
Vráti sa stupňovitá forma matice A.
rozšíriť ( A, IN)
Vráti pole vytvorené umiestnením A A IN bok po boku. Polia A A IN musí mať rovnaký počet riadkov.
submatica( A, ir, jr, ic, jc)
Vráti podmaticu pozostávajúcu zo všetkých prvkov s ir Autor: ml a stĺpce s ic Autor: jc. Uistite sa, že ir ml A
ic jc, inak bude poradie riadkov a/alebo stĺpcov obrátené.
Obrázok 9.
Popis metódy
Pre systém n lineárnych rovníc s n neznámymi (nad ľubovoľným poľom)
s determinantom matice sústavy Δ odlišným od nuly sa riešenie zapíše v tvare
(i-tý stĺpec systémovej matice je nahradený stĺpcom voľných výrazov).
V inej forme je Cramerovo pravidlo formulované takto: pre všetky koeficienty c1, c2, ..., cn platí nasledujúca rovnosť:
V tejto forme platí Cramerov vzorec bez predpokladu, že Δ je odlišné od nuly, dokonca nie je potrebné, aby koeficienty systému boli prvkami integrálneho kruhu (determinantom systému môže byť dokonca deliteľ nuly v systéme; koeficientový krúžok). Môžeme tiež predpokladať, že buď množiny b1,b2,...,bn a x1,x2,...,xn, alebo množina c1,c2,...,cn, sa neskladajú z prvkov koeficientového okruhu systému, ale nejaký modul nad týmto prstencom. V tejto podobe sa Cramerov vzorec používa napríklad pri dôkaze vzorca pre Gramov determinant a Nakayamovu lemu.
| 35) Kroneckerova-Capelliho veta |
Aby sústava m nehomogénnych lineárnych rovníc v n neznámych bola konzistentná, je potrebné a postačujúce, že Dôkaz nevyhnutnosti. Nech je sústava (1.13) konzistentná, to znamená, že také čísla existujú X 1 =α
1 , X 2 =α
2 , …, x n = α n ,Čo  (1.15) Odčítajme od posledného stĺpca rozšírenej matice jej prvý stĺpec, vynásobený α 1, druhý - α 2, ..., n-tý - vynásobený α n, teda od posledného stĺpca matice (1.14) by sme mali odpočítať ľavé strany rovnosti ( 1.15). Potom dostaneme matricu  ktorých poradie sa nezmení v dôsledku elementárnych transformácií a . Ale je to zrejmé, a teda dôkaz dostatočnosti. Nech a pre istotu nech je v ľavom hornom rohu matice umiestnený nenulový moll rádu r:  To znamená, že zostávajúce riadky matice možno získať ako lineárne kombinácie prvých r riadkov, tj m-r čiary matice môžu byť reprezentované ako súčty prvých r riadkov vynásobené nejakými číslami. Potom je však prvých r rovníc sústavy (1.13) nezávislých a zvyšok sú ich dôsledky, to znamená, že riešenie sústavy prvých r rovníc je automaticky riešením zvyšných rovníc. Sú dva možné prípady. 1. r=n. Potom systém pozostávajúci z prvých r rovníc má rovnaký počet rovníc a neznámych a je konzistentný a jeho riešenie je jedinečné. 2.r |
36) istota, neistota
Systém m lineárne rovnice s n neznámy(alebo, lineárny systém) v lineárnej algebre je sústava rovníc tvaru
 |
Tu X 1 , X 2 , …, x n- neznáme, ktoré je potrebné určiť. a 11 , a 12 , …, a mn- systémové koeficienty - a b 1 , b 2 , … b m- voľní členovia - predpokladá sa, že sú známi. Koeficientové indexy ( a ij) sústavy označujú čísla rovníc ( i) a neznáme ( j), pri ktorej tento koeficient stojí, resp.
Systém (1) sa nazýva homogénne, ak sa všetky jeho voľné termíny rovnajú nule ( b 1 = b 2 = … = b m= 0), inak - heterogénne.
Systém (1) sa nazýva kĺb, ak má aspoň jedno riešenie, a nezlučiteľné, ak nemá jediné riešenie.
Spoločný systém typu (1) môže mať jedno alebo viac riešení.
Riešenia c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) a c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n(2) sa nazývajú kĺbové systémy tvaru (1). rôzne, ak je porušená aspoň jedna z rovnosti:
| c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) . |
Spoločný systém tvaru (1) sa nazýva istý, ak má jedinečné riešenie; ak má aspoň dve rôzne riešenia, tak sa volá neistý
37) Riešenie sústav lineárnych rovníc Gaussovou metódou
Nech pôvodný systém vyzerá takto
Matrix A sa nazýva hlavná matica systému, b- stĺpec voľných členov.
Potom, podľa vlastnosti elementárnych transformácií cez riadky, môže byť hlavná matica tohto systému zredukovaná na echelonový tvar (rovnaké transformácie musia byť aplikované na stĺpec voľných výrazov):
Potom sa volajú premenné hlavné premenné. Všetci ostatní sú tzv zadarmo.
[upraviť]Podmienka kompatibility
Vyššie uvedená podmienka pre všetkých môže byť formulovaná ako nevyhnutná a postačujúca podmienka kompatibility:
Pripomeňme, že hodnosť spoločného systému je hodnosťou jeho hlavnej matice (alebo rozšírenej matice, keďže sú rovnaké).
Algoritmus
Popis
Algoritmus riešenia SLAE pomocou Gaussovej metódy je rozdelený do dvoch etáp.
§ V prvej fáze sa vykonáva takzvaný priamy ťah, keď sa elementárnymi transformáciami nad radmi systém dostane do stupňovitého alebo trojuholníkového tvaru, alebo sa zistí, že systém je nekompatibilný. Totiž, spomedzi prvkov prvého stĺpca matice vyberte nenulový jeden, presuňte ho na najvyššiu pozíciu preusporiadaním riadkov a po preusporiadaní odčítajte výsledný prvý riadok od zostávajúcich riadkov a vynásobte ho hodnotou. rovný pomeru prvého prvku každého z týchto riadkov k prvému prvku prvého riadku, čím sa vynuluje stĺpec pod ním. Po dokončení týchto transformácií sa prvý riadok a prvý stĺpec v duchu prečiarknu a pokračuje sa, kým nezostane matica nulovej veľkosti. Ak v ktorejkoľvek iterácii nie je medzi prvkami prvého stĺpca žiadny nenulový prvok, prejdite na ďalší stĺpec a vykonajte podobnú operáciu.
§ V druhej fáze sa vykonáva takzvaný spätný ťah, ktorého podstatou je vyjadrenie všetkých výsledných základných premenných v pojmoch nebázických a zostavenie fundamentálnej sústavy riešení, alebo ak sú všetky premenné základné, potom vyjadrite číselne jediné riešenie sústavy lineárnych rovníc. Tento postup začína poslednou rovnicou, z ktorej je vyjadrená zodpovedajúca základná premenná (a je len jedna) a dosadená do predchádzajúcich rovníc atď. Každý riadok zodpovedá presne jednej základnej premennej, takže v každom kroku okrem posledného (najvrchnejšieho) sa situácia presne opakuje ako prípad posledného riadku.
Gaussova metóda vyžaduje poriadok O(n 3) akcie.
Táto metóda sa spolieha na:
38)Kronecker-Capelliho veta.
Systém je konzistentný vtedy a len vtedy, ak sa hodnosť jeho hlavnej matice rovná hodnosti jeho rozšírenej matice.
Účel služby. Online kalkulačka je navrhnutá tak, aby našla netriviálne a zásadné riešenie SLAE. Výsledné riešenie sa uloží do súboru programu Word (pozri príklad riešenia).
Inštrukcie. Vyberte rozmer matrice:
Vlastnosti sústav lineárnych homogénnych rovníc
Aby systém mal netriviálne riešenia, je potrebné a postačujúce, aby hodnosť jeho matice bola menšia ako počet neznámych.Veta. Systém v prípade m=n má netriviálne riešenie práve vtedy, ak je determinant tohto systému rovný nule.
Veta. Akákoľvek lineárna kombinácia riešení systému je tiež riešením tohto systému.
Definícia. Množina riešení sústavy lineárnych homogénnych rovníc sa nazýva základný systém riešení, ak táto množina pozostáva z lineárne nezávislých riešení a akékoľvek riešenie sústavy je lineárnou kombináciou týchto riešení.
Veta. Ak je poradie r systémovej matice menšie ako počet n neznámych, potom existuje základný systém riešení pozostávajúci z (n-r) riešení.
Algoritmus riešenia sústav lineárnych homogénnych rovníc
- Nájdenie hodnosti matice.
- Vyberáme základnú moll. Rozlišujeme závislé (základné) a voľné neznáme.
- Prečiarkneme tie rovnice systému, ktorých koeficienty nie sú zahrnuté v základni minor, pretože sú dôsledkom ostatných (podľa vety o základni minor).
- Členy rovníc obsahujúcich voľné neznáme presunieme na pravú stranu. Výsledkom je sústava r rovníc s r neznámymi, ekvivalentná danej, ktorej determinant je nenulový.
- Výsledný systém riešime elimináciou neznámych. Nachádzame vzťahy vyjadrujúce závislé premenné prostredníctvom voľných.
- Ak sa poradie matice nerovná počtu premenných, nájdeme základné riešenie systému.
- V prípade rang = n máme triviálne riešenie.
Príklad. Nájdite základ sústavy vektorov (a 1, a 2,...,a m), zoraďte a vyjadrite vektory na základe bázy. Ak 1 = (0,0,1,-1) a 2 = (1,1,2,0) a 3 = (1,1,1,1) a 4 = (3,2,1 ,4) a 5 = (2,1,0,3).
Zapíšme si hlavnú maticu systému:
Vynásobte 3. riadok (-3). Pridajme 4. riadok k 3.:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
Vynásobte 4. riadok (-2). Vynásobme 5. riadok (3). Pridajme 5. riadok k 4.:
Pridajme 2. riadok k 1.:
Poďme nájsť hodnosť matice.
Systém s koeficientmi tejto matice je ekvivalentný pôvodnému systému a má tvar:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2 x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Pomocou metódy eliminácie neznámych nájdeme netriviálne riešenie:
Získali sme vzťahy vyjadrujúce závislé premenné x 1 , x 2 , x 3 cez voľné x 4 , čiže sme našli všeobecné riešenie:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4
