Lineárna závislosť a lineárna nezávislosť vektorov.
Základy vektorov. Afinný súradnicový systém

V posluchárni je vozík s čokoládami a každý návštevník dnes dostane sladkú dvojicu - analytickú geometriu s lineárnou algebrou. Tento článok bude pokrývať dve časti naraz. vyššia matematika, a uvidíme, ako im to pôjde v jednom obale. Dajte si pauzu, zjedzte Twix! ...sakra, aká kopa nezmyslov. Aj keď, dobre, nedám gól, nakoniec by ste mali mať pozitívny vzťah k štúdiu.

Lineárna závislosť vektorov, lineárna vektorová nezávislosť, vektorový základ a ďalšie termíny majú nielen geometrický výklad, ale predovšetkým algebraický význam. Samotný pojem „vektor“ z pohľadu lineárnej algebry nie je vždy „obyčajným“ vektorom, ktorý môžeme zobraziť v rovine alebo v priestore. Dôkaz nemusíte hľadať ďaleko, skúste nakresliť vektor päťrozmerného priestoru . Alebo vektor počasia, pre ktorý som práve išiel do Gismetea: – teplota a Atmosférický tlak resp. Príklad je, samozrejme, nesprávny z hľadiska vlastností vektorového priestoru, ale napriek tomu nikto nezakazuje formalizovať tieto parametre ako vektor. Dych jesene...

Nie, nebudem vás nudiť teóriou, lineárne vektorové priestory, úlohou je rozumieť definície a vety. Nové pojmy (lineárna závislosť, nezávislosť, lineárna kombinácia, báza atď.) platia z algebraického hľadiska pre všetky vektory, ale budú uvedené geometrické príklady. Všetko je teda jednoduché, prístupné a prehľadné. Nad rámec úloh analytická geometria Pozrieme sa aj na niektoré typické algebrické úlohy. Na zvládnutie materiálu je vhodné oboznámiť sa s lekciami Vektory pre figuríny A Ako vypočítať determinant?

Lineárna závislosť a nezávislosť rovinných vektorov.
Rovinný základ a afinný súradnicový systém

Zoberme si rovinu vášho počítačového stola (stačí stôl, nočný stolík, podlaha, strop, čokoľvek chcete). Úloha bude pozostávať z nasledujúcich akcií:

1) Vyberte základ roviny. Zhruba povedané, doska stola má dĺžku a šírku, takže je intuitívne, že na vytvorenie základne budú potrebné dva vektory. Jeden vektor zjavne nestačí, tri vektory sú príliš veľa.

2) Na základe zvoleného základu nastaviť súradnicový systém(súradnicová mriežka) na priradenie súradníc všetkým objektom na stole.

Nečudujte sa, najprv budú vysvetlenia na prstoch. Navyše na tej vašej. Umiestnite prosím ľavý ukazovák na okraj stola tak, aby sa pozeral na monitor. Toto bude vektor. Teraz miesto malý prst pravá ruka na okraj stola rovnakým spôsobom - tak, aby smeroval na obrazovku monitora. Toto bude vektor. Usmej sa, vyzeráš skvele! Čo môžeme povedať o vektoroch? Dátové vektory kolineárne, čo znamená lineárne vyjadrené cez seba:
, no, alebo naopak: , kde je nejaké číslo iné ako nula.

Môžete vidieť obrázok tejto akcie v triede. Vektory pre figuríny, kde som vysvetlil pravidlo pre násobenie vektora číslom.

Nastavia vaše prsty základ na rovine počítačového stola? Očividne nie. Kolineárne vektory sa pohybujú tam a späť sám smer a rovina má dĺžku a šírku.

Takéto vektory sa nazývajú lineárne závislé.

Referencia: Slová „lineárne“, „lineárne“ označujú skutočnosť, že v matematických rovniciach a výrazoch nie sú žiadne štvorce, kocky, iné mocniny, logaritmy, sínusy atď. Existujú iba lineárne (1. stupeň) výrazy a závislosti.

Dva rovinné vektory lineárne závislé vtedy a len vtedy, ak sú kolineárne.

Prekrížte prsty na stole tak, aby medzi nimi bol iný uhol ako 0 alebo 180 stupňov. Dva rovinné vektorylineárne nie závislé vtedy a len vtedy, ak nie sú kolineárne. Takže základ je získaný. Netreba sa hanbiť, že základ sa ukázal ako „skreslený“ nekolmými vektormi rôznych dĺžok. Veľmi skoro uvidíme, že na jeho konštrukciu je vhodný nielen uhol 90 stupňov, ale nielen jednotkové vektory rovnakej dĺžky.

akýkoľvek rovinný vektor jediná cesta sa rozširuje podľa základu:
, kde sú reálne čísla. Čísla sa volajú vektorové súradnice v tomto základe.

Tiež sa to hovorí vektorprezentované ako lineárna kombinácia bázové vektory. To znamená, že výraz sa nazýva vektorový rozkladpodľa základu alebo lineárna kombinácia bázové vektory.

Napríklad môžeme povedať, že vektor je rozložený pozdĺž ortonormálnej základne roviny, alebo môžeme povedať, že je reprezentovaný ako lineárna kombinácia vektorov.

Poďme formulovať definícia základu formálne: Základ lietadla sa nazýva dvojica lineárne nezávislých (nekolineárnych) vektorov, , kde akýkoľvek rovinný vektor je lineárna kombinácia základných vektorov.

Podstatným bodom definície je fakt, že vektory sa berú v určitom poradí. Základy – to sú dva úplne odlišné základy! Ako sa hovorí, nemôžete nahradiť malíček ľavej ruky namiesto malíčka pravej ruky.

Základ sme vymysleli, ale nestačí nastaviť súradnicovú mriežku a priradiť súradnice každej položke na vašom počítači. Prečo to nestačí? Vektory sú voľné a pohybujú sa po celej rovine. Ako teda priradíte súradnice k tým malým špinavým miestam na stole, ktoré zostali po divokom víkende? Je potrebný východiskový bod. A takým orientačným bodom je každému známy bod - pôvod súradníc. Poďme pochopiť súradnicový systém:

Začnem „školským“ systémom. Už v úvodnej lekcii Vektory pre figuríny Zdôraznil som niektoré rozdiely medzi pravouhlým súradnicovým systémom a ortonormálnym základom. Tu je štandardný obrázok:

Keď hovoria o pravouhlý súradnicový systém, potom najčastejšie znamenajú počiatok, súradnicové osi a mierku pozdĺž osí. Skúste zadať do vyhľadávača „obdĺžnikový súradnicový systém“ a uvidíte, že mnohé zdroje vám povedia o súradnicových osiach známych z 5. – 6. ročníka a o tom, ako zakresliť body do roviny.

Na druhej strane sa zdá, že pravouhlý súradnicový systém možno úplne definovať z hľadiska ortonormálneho základu. A to je takmer pravda. Znenie je nasledovné:

pôvodu, A ortonormálny základ je nastavený Kartézsky súradnicový systém pravouhlej roviny . Teda pravouhlý súradnicový systém určite je definovaný jedným bodom a dvoma jednotkovými ortogonálnymi vektormi. Preto vidíte kresbu, ktorú som dal vyššie - v geometrické problémyČasto (ale nie vždy) sa kreslia vektory aj súradnicové osi.

Myslím, že každý chápe, že pomocou bodu (pôvodu) a ortonormálneho základu AKÝKOĽVEK BOD v lietadle a AKÝKOĽVEK VEKTOR v lietadle je možné priradiť súradnice. Obrazne povedané, „všetko na lietadle sa dá očíslovať“.

Vyžaduje sa, aby súradnicové vektory boli jednotkou? Nie, môžu mať ľubovoľnú nenulovú dĺžku. Uvažujme bod a dva ortogonálne vektory ľubovoľnej nenulovej dĺžky:

Takýto základ je tzv ortogonálne. Počiatok súradníc s vektormi je definovaný súradnicovou sieťou a každý bod v rovine, ľubovoľný vektor má svoje súradnice v danej báze. Napríklad, alebo. Zjavnou nevýhodou je, že súradnicové vektory všeobecne majú rôzne dĺžky iné ako jednota. Ak sa dĺžky rovnajú jednote, získa sa obvyklý ortonormálny základ.

! Poznámka : na ortogonálnej báze, ako aj pod afinnou bázou roviny a priestoru sa berú do úvahy jednotky pozdĺž osí PODMIENKY. Napríklad jedna jednotka pozdĺž osi x obsahuje 4 cm, jedna jednotka pozdĺž osi 2 cm Táto informácia je dostatočná na to, aby sa v prípade potreby previedli „neštandardné“ súradnice na „naše obvyklé centimetre“.

A druhá otázka, ktorá už bola vlastne zodpovedaná, je, či uhol medzi základnými vektormi musí byť rovný 90 stupňom? Nie! Ako uvádza definícia, základné vektory musia byť len nekolineárne. Podľa toho môže byť uhol akýkoľvek okrem 0 a 180 stupňov.

Bod v lietadle tzv pôvodu, A nekolineárne vektory, , sada afinný rovinný súradnicový systém :

Niekedy sa takýto súradnicový systém nazýva tzv šikmé systému. Ako príklady sú na výkrese znázornené body a vektory:

Ako viete, afinný súradnicový systém je ešte menej pohodlný, vzorce pre dĺžky vektorov a segmentov, o ktorých sme hovorili v druhej časti lekcie, v ňom nefungujú; Vektory pre figuríny, veľa lahodných vzorcov súvisiacich s skalárny súčin vektorov. Platia však pravidlá pre sčítanie vektorov a násobenie vektora číslom, vzorce na delenie segmentu v tomto vzťahu, ako aj niektoré ďalšie typy problémov, ktoré čoskoro zvážime.

A záver je taký, že najvhodnejším špeciálnym prípadom afinného súradnicového systému je karteziánsky pravouhlý systém. Preto ju musíš najčastejšie vidieť, moja drahá. ...Všetko v tomto živote je však relatívne - je veľa situácií, v ktorých šikmý uhol (alebo nejaký iný, napr. polárny) súradnicový systém. A humanoidom by sa takéto systémy mohli páčiť =)

Prejdime k praktickej časti. Všetky problémy v tejto lekcii platia pre pravouhlý súradnicový systém aj pre všeobecný afinný prípad. Nie je tu nič zložité, všetok materiál je prístupný aj pre školáka.

Ako určiť kolinearitu rovinných vektorov?

Typická vec. Aby boli dva rovinné vektory boli kolineárne, je potrebné a postačujúce, aby ich zodpovedajúce súradnice boli proporcionálne V podstate ide o súradnicu po súradnici podrobne o zjavnom vzťahu.

Príklad 1

a) Skontrolujte, či sú vektory kolineárne .
b) Tvoria vektory základ? ?

Riešenie:
a) Zistite, či existuje pre vektory koeficient proporcionality tak, aby boli splnené rovnosti:

Určite vám poviem o „fupskej“ verzii uplatňovania tohto pravidla, ktorá v praxi funguje celkom dobre. Cieľom je okamžite vytvoriť pomer a zistiť, či je správny:

Urobme pomer z pomerov zodpovedajúcich súradníc vektorov:

Skrátime:
, takže zodpovedajúce súradnice sú úmerné, preto

Vzťah by sa mohol vytvoriť opačne, toto je ekvivalentná možnosť:

Pre autotest môžete využiť skutočnosť, že kolineárne vektory sú lineárne vyjadrené cez seba. V tomto prípade dochádza k rovnosti . Ich platnosť možno ľahko overiť pomocou elementárnych operácií s vektormi:

b) Dva rovinné vektory tvoria základ, ak nie sú kolineárne (lineárne nezávislé). Skúmame kolinearitu vektorov . Vytvorme si systém:

Z prvej rovnice vyplýva, že , z druhej rovnice, že , čo znamená systém je nekonzistentný(žiadne riešenia). Zodpovedajúce súradnice vektorov teda nie sú proporcionálne.

Záver: vektory sú lineárne nezávislé a tvoria základ.

Zjednodušená verzia riešenia vyzerá takto:

Zo zodpovedajúcich súradníc vektorov urobme pomer :
, čo znamená, že tieto vektory sú lineárne nezávislé a tvoria základ.

Obyčajne túto možnosť recenzenti neodmietajú, ale problém nastáva v prípadoch, keď sa niektoré súradnice rovnajú nule. Páči sa ti to: . Alebo takto: . Alebo takto: . Ako sa tu dopracovať k pomeru? (v skutočnosti nemôžete deliť nulou). Z tohto dôvodu som zjednodušené riešenie nazval „fupské“.

odpoveď: a) , b) formulár.

Malý kreatívny príklad pre nezávislé rozhodnutie:

Príklad 2

Na akej hodnote parametra sú vektory budú kolineárne?

Vo vzorovom riešení sa parameter nachádza prostredníctvom podielu.

Existuje elegantný algebraický spôsob, ako skontrolovať kolinearitu vektorov, systematizujme naše znalosti a pridajte ich ako piaty bod:

Pre dva rovinné vektory sú nasledujúce tvrdenia ekvivalentné:

2) vektory tvoria základ;
3) vektory nie sú kolineárne;

+ 5) determinant zložený zo súradníc týchto vektorov je nenulový.

resp. nasledujúce opačné tvrdenia sú ekvivalentné:
1) vektory sú lineárne závislé;
2) vektory netvoria základ;
3) vektory sú kolineárne;
4) vektory môžu byť navzájom lineárne vyjadrené;
+ 5) determinant zložený zo súradníc týchto vektorov sa rovná nule.

Naozaj, naozaj dúfam, že už rozumiete všetkým pojmom a vyhláseniam, s ktorými ste sa stretli.

Pozrime sa bližšie na nový, piaty bod: dva rovinné vektory sú kolineárne práve vtedy, ak sa determinant zložený zo súradníc daných vektorov rovná nule:. Ak chcete použiť túto funkciu, samozrejme, musíte byť schopní nájsť determinanty.

Rozhodnime sa Príklad 1 druhým spôsobom:

a) Vypočítajme determinant tvorený súradnicami vektorov :
, čo znamená, že tieto vektory sú kolineárne.

b) Dva rovinné vektory tvoria základ, ak nie sú kolineárne (lineárne nezávislé). Vypočítajme determinant tvorený vektorovými súradnicami :
, čo znamená, že vektory sú lineárne nezávislé a tvoria základ.

odpoveď: a) , b) formulár.

Vyzerá oveľa kompaktnejšie a krajšie ako riešenie s proporciami.

Pomocou uvažovaného materiálu je možné stanoviť nielen kolinearitu vektorov, ale aj dokázať rovnobežnosť úsečiek a priamok. Uvažujme o niekoľkých problémoch so špecifickými geometrickými tvarmi.

Príklad 3

Uvedené sú vrcholy štvoruholníka. Dokážte, že štvoruholník je rovnobežník.

Dôkaz: V úlohe nie je potrebné vytvárať kresbu, pretože riešenie bude čisto analytické. Pripomeňme si definíciu rovnobežníka:
Paralelogram Štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú v pároch rovnobežné, sa nazýva.

Preto je potrebné preukázať:
1) rovnobežnosť protiľahlých strán a;
2) rovnobežnosť protiľahlých strán a.

Dokazujeme:

1) Nájdite vektory:

2) Nájdite vektory:

Výsledkom je rovnaký vektor („podľa školy“ – rovnaké vektory). Kolinearita je celkom zrejmá, ale je lepšie formalizovať rozhodnutie jasne, s usporiadaním. Vypočítajme determinant tvorený vektorovými súradnicami:
, čo znamená, že tieto vektory sú kolineárne a .

Záver: Protiľahlé strany štvoruholníka sú v pároch rovnobežné, čo znamená, že ide podľa definície o rovnobežník. Q.E.D.

Viac dobrých a odlišných postáv:

Príklad 4

Uvedené sú vrcholy štvoruholníka. Dokážte, že štvoruholník je lichobežník.

Pre rigoróznejšiu formuláciu dôkazu je samozrejme lepšie získať definíciu lichobežníka, ale stačí si jednoducho zapamätať, ako vyzerá.

Toto je úloha, ktorú musíte vyriešiť sami. Kompletné riešenie na konci lekcie.

A teraz je čas pomaly sa presunúť z lietadla do vesmíru:

Ako určiť kolinearitu priestorových vektorov?

Pravidlo je veľmi podobné. Aby boli dva priestorové vektory kolineárne, je potrebné a postačujúce, aby ich zodpovedajúce súradnice boli proporcionálne.

Príklad 5

Zistite, či sú nasledujúce priestorové vektory kolineárne:

A);
b)
V)

Riešenie:
a) Skontrolujte, či existuje koeficient proporcionality pre zodpovedajúce súradnice vektorov:

Systém nemá žiadne riešenie, čo znamená, že vektory nie sú kolineárne.

„Zjednodušené“ sa formalizuje kontrolou pomeru. V tomto prípade:
– zodpovedajúce súradnice nie sú proporcionálne, čo znamená, že vektory nie sú kolineárne.

odpoveď: vektory nie sú kolineárne.

b-c) Toto sú body pre nezávislé rozhodnutie. Vyskúšajte to dvoma spôsobmi.

Existuje metóda na kontrolu kolinearity priestorových vektorov prostredníctvom determinantu tretieho rádu, táto metóda je uvedená v tomto článku Vektorový súčin vektorov.

Podobne ako v prípade roviny možno uvažované nástroje použiť na štúdium rovnobežnosti priestorových segmentov a priamok.

Vitajte v druhej časti:

Lineárna závislosť a nezávislosť vektorov v trojrozmernom priestore.
Priestorová báza a afinný súradnicový systém

Mnohé zo vzorov, ktoré sme skúmali v lietadle, budú platiť pre vesmír. Snažil som sa minimalizovať teoretické poznámky, keďže leví podiel informácií už bol prežutý. Odporúčam však, aby ste si pozorne prečítali úvodnú časť, pretože sa objavia nové pojmy a pojmy.

Teraz namiesto roviny počítačového stola skúmame trojrozmerný priestor. Najprv vytvoríme jeho základ. Niekto je teraz vnútri, niekto vonku, no v žiadnom prípade nemôžeme uniknúť trom rozmerom: šírka, dĺžka a výška. Preto na vytvorenie základu budú potrebné tri priestorové vektory. Jeden alebo dva vektory nestačia, štvrtý je nadbytočný.

A opäť sa zahrievame na prstoch. Prosím, zdvihnite ruku a roztiahnite ju rôzne strany palec, ukazovák a prostredník. Budú to vektory, vyzerajú rôznymi smermi, majú rôzne dĺžky a majú rôzne uhly medzi sebou. Gratulujeme, základ trojrozmerného priestoru je pripravený! Mimochodom, učiteľom to netreba demonštrovať, nech krútite prstami akokoľvek, ale z definícií niet úniku =)

Ďalej si položme dôležitú otázku: tvoria akékoľvek tri vektory základ trojrozmerného priestoru? Pevne zatlačte tromi prstami na hornú časť stola počítača. Čo sa stalo? Tri vektory sú umiestnené v rovnakej rovine a zhruba povedané, stratili sme jeden z rozmerov - výšku. Takéto vektory sú koplanárny a je celkom zrejmé, že základ trojrozmerného priestoru nie je vytvorený.

Treba poznamenať, že koplanárne vektory nemusia ležať v rovnakej rovine, môžu byť v rovnobežných rovinách (len to nerobte prstami, urobil to iba Salvador Dali =)).

Definícia: volajú sa vektory koplanárny, ak existuje rovina, s ktorou sú rovnobežné. Tu je logické dodať, že ak takáto rovina neexistuje, potom vektory nebudú koplanárne.

Tri koplanárne vektory sú vždy lineárne závislé, to znamená, že sú lineárne vyjadrené cez seba. Pre jednoduchosť si opäť predstavme, že ležia v rovnakej rovine. Po prvé, vektory nie sú len koplanárne, môžu byť aj kolineárne, potom môže byť akýkoľvek vektor vyjadrený prostredníctvom akéhokoľvek vektora. V druhom prípade, ak napríklad vektory nie sú kolineárne, tretí vektor sa cez ne vyjadrí jedinečným spôsobom: (a prečo je ľahké uhádnuť z materiálov v predchádzajúcej časti).

Opak je tiež pravdou: tri nekoplanárne vektory sú vždy lineárne nezávislé, to znamená, že sa v žiadnom prípade nevyjadrujú cez seba. A samozrejme, iba takéto vektory môžu tvoriť základ trojrozmerného priestoru.

Definícia: Základ trojrozmerného priestoru sa nazýva trojica lineárne nezávislých (nekoplanárnych) vektorov, prijaté v určitom poradí a ľubovoľný vektor priestoru jediná cesta sa rozloží na daný základ, kde sú súradnice vektora v tomto základe

Pripomínam, že môžeme tiež povedať, že vektor je reprezentovaný vo forme lineárna kombinácia bázové vektory.

Koncept súradnicového systému je zavedený presne rovnakým spôsobom ako v prípade roviny, stačí jeden bod a tri ľubovoľné lineárne nezávislé vektory:

pôvodu, A nekoplanárne vektory, prijaté v určitom poradí, sada afinný súradnicový systém trojrozmerného priestoru :

Samozrejme, že súradnicová mriežka je „šikmá“ a nepohodlná, ale napriek tomu nám vytvorený súradnicový systém umožňuje určite určiť súradnice ľubovoľného vektora a súradnice ľubovoľného bodu v priestore. Podobne ako v rovine, niektoré vzorce, ktoré som už spomenul, nebudú fungovať v afinnom súradnicovom systéme priestoru.

Najznámejší a najpohodlnejší špeciálny prípad afinného súradnicového systému, ako každý háda, je pravouhlý priestorový súradnicový systém:

Bod vo vesmíre tzv pôvodu, A ortonormálny základ je nastavený Kartézsky pravouhlý priestorový súradnicový systém . Známy obrázok:

Skôr než prejdeme k praktickým úlohám, opäť systematizujeme informácie:

Pre tri priestorové vektory sú nasledujúce tvrdenia ekvivalentné:
1) vektory sú lineárne nezávislé;
2) vektory tvoria základ;
3) vektory nie sú koplanárne;
4) vektory nemôžu byť lineárne vyjadrené cez seba;
5) determinant zložený zo súradníc týchto vektorov je odlišný od nuly.

Myslím, že opačné tvrdenia sú pochopiteľné.

Lineárna závislosť/nezávislosť priestorových vektorov sa tradične kontroluje pomocou determinantu (bod 5). Zostávajúce praktické úlohy budú mať vyslovene algebraický charakter. Je čas zavesiť geometrickú palicu a ovládať baseballovú pálku lineárnej algebry:

Tri vektory priestoru sú koplanárne vtedy a len vtedy, ak sa determinant zložený zo súradníc daných vektorov rovná nule: .

Chcel by som upozorniť na malú technickú nuansu: súradnice vektorov je možné zapisovať nielen do stĺpcov, ale aj do riadkov (hodnota determinantu sa tým nezmení - pozri vlastnosti determinantov). Ale je to oveľa lepšie v stĺpcoch, pretože je to výhodnejšie pre riešenie niektorých praktických problémov.

Pre tých čitateľov, ktorí trochu zabudli na metódy výpočtu determinantov, alebo im možno len málo rozumejú, odporúčam jednu z mojich najstarších lekcií: Ako vypočítať determinant?

Príklad 6

Skontrolujte, či nasledujúce vektory tvoria základ trojrozmerného priestoru:

Riešenie: V skutočnosti celé riešenie spočíva vo výpočte determinantu.

a) Vypočítajme determinant tvorený vektorovými súradnicami (determinant je uvedený v prvom riadku):

, čo znamená, že vektory sú lineárne nezávislé (nie koplanárne) a tvoria základ trojrozmerného priestoru.

Odpoveď: tieto vektory tvoria základ

b) Toto je bod pre nezávislé rozhodnutie. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Existujú aj kreatívne úlohy:

Príklad 7

Pri akej hodnote parametra budú vektory koplanárne?

Riešenie: Vektory sú koplanárne vtedy a len vtedy, ak sa determinant zložený zo súradníc týchto vektorov rovná nule:

V podstate musíte vyriešiť rovnicu s determinantom. Znášame nuly ako šarkany na jerboas - najlepšie je otvoriť determinant v druhom riadku a okamžite sa zbaviť mínusov:

Vykonávame ďalšie zjednodušenia a redukujeme záležitosť na najjednoduchšie lineárna rovnica:

Odpoveď: o

Je to jednoduché skontrolovať, aby ste to urobili, musíte nahradiť výslednú hodnotu pôvodným determinantom a uistiť sa , znova ho otvoríte.

Na záver zvážime ďalší typický problém, ktorý má viac algebraický charakter a je tradične zahrnutý do kurzu lineárnej algebry. Je taký bežný, že si zaslúži vlastnú tému:

Dokážte, že 3 vektory tvoria základ trojrozmerného priestoru
a nájdite súradnice 4. vektora v tomto základe

Príklad 8

Sú uvedené vektory. Ukážte, že vektory tvoria základ v trojrozmernom priestore a nájdite súradnice vektora v tomto základe.

Riešenie: Najprv sa pozrime na podmienku. Podľa podmienky sú dané štyri vektory a ako vidíte, už majú súradnice na nejakom základe. Aký je tento základ, nás nezaujíma. A nasledujúca vec je zaujímavá: tri vektory môžu dobre tvoriť nový základ. A prvá fáza sa úplne zhoduje s riešením príkladu 6, je potrebné skontrolovať, či sú vektory skutočne lineárne nezávislé:

Vypočítajme determinant tvorený vektorovými súradnicami:

, čo znamená, že vektory sú lineárne nezávislé a tvoria základ trojrozmerného priestoru.

! Dôležité : vektorové súradnice Nevyhnutne zapísať do stĺpcov determinant, nie v reťazcoch. V opačnom prípade nastane zmätok v ďalšom algoritme riešenia.

Vektorový systém je tzv lineárne závislé, ak existujú čísla, medzi ktorými sa aspoň jedno líši od nuly, takže rovnosť https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= " >.

Ak je táto rovnosť splnená iba v prípade, že všetky , potom sa nazýva systém vektorov lineárne nezávislé.

Veta. Vektorový systém bude lineárne závislé vtedy a len vtedy, ak aspoň jeden z jeho vektorov je lineárnou kombináciou ostatných.

Príklad 1 Polynóm je lineárna kombinácia polynómov https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polynómy tvoria lineárne nezávislý systém, pretože polynóm https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Príklad 2 Maticový systém, https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> je lineárne nezávislý, pretože lineárna kombinácia sa rovná nulová matica iba v prípade, keď https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> lineárne závislé.

Riešenie.

Urobme lineárnu kombináciu týchto vektorov https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" výška=" 22">.

Vyrovnaním rovnakých súradníc rovnakých vektorov dostaneme https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Konečne sa dostávame

A

Systém má unikátne triviálne riešenie, takže lineárna kombinácia týchto vektorov sa rovná nule iba v prípade, keď sú všetky koeficienty rovné nule. Preto je tento systém vektorov lineárne nezávislý.

Príklad 4. Vektory sú lineárne nezávislé. Aké budú vektorové systémy?

a).;

b).?

Riešenie.

a). Urobme lineárnu kombináciu a prirovnajme ju k nule

Pomocou vlastností operácií s vektormi v lineárnom priestore prepíšeme poslednú rovnosť vo formulári

Keďže vektory sú lineárne nezávislé, koeficienty at sa musia rovnať nule, t.j.gif" width="12" height="23 src=">

Výsledný systém rovníc má jedinečné triviálne riešenie .

Od rovnosti (*) vykoná sa iba vtedy, keď https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – lineárne nezávislé;

b). Urobme rovnosť https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Aplikovaním podobného uvažovania dostaneme

Riešením sústavy rovníc Gaussovou metódou získame

alebo

Posledný systém má nekonečné množstvo riešení https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Existuje teda ne nulová množina koeficientov, pre ktoré platí rovnosť (**) . Preto systém vektorov - lineárne závislé.

Príklad 5 Systém vektorov je lineárne nezávislý a systém vektorov je lineárne závislý..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

V rovnosti (***) . V skutočnosti by bol systém lineárne závislý.

Zo vzťahu (***) dostaneme alebo Označme .

Dostaneme

Úlohy na samostatné riešenie (v triede)

1. Systém obsahujúci nulový vektor je lineárne závislý.

2. Systém pozostávajúci z jedného vektora A, je lineárne závislý vtedy a len vtedy, a=0.

3. Systém pozostávajúci z dvoch vektorov je lineárne závislý práve vtedy, ak sú vektory proporcionálne (to znamená, že jeden z nich sa získa od druhého vynásobením číslom).

4. Ak pridáte vektor k lineárne závislému systému, dostanete lineárne závislý systém.

5. Ak je vektor odstránený z lineárne nezávislého systému, potom je výsledný systém vektorov lineárne nezávislý.

6. Ak systém S je lineárne nezávislý, ale stáva sa lineárne závislým pri pridávaní vektora b, potom vektor b lineárne vyjadrené prostredníctvom systémových vektorov S.

c). Sústava matíc , , v priestore matíc druhého rádu.

10. Nechaj systém vektorov a,b,c vektorový priestor je lineárne nezávislý. Dokážte lineárnu nezávislosť nasledujúcich vektorových systémov:

a).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">–ľubovoľné číslo

c).a+b, a+c, b+c.

11. Nechaj a,b,c– tri vektory v rovine, z ktorých možno vytvoriť trojuholník. Budú tieto vektory lineárne závislé?

12. Sú uvedené dva vektory a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Nájdite ďalšie dva štvorrozmerné vektory a3 aa4 tak, že systém a1,a2,a3,a4 bol lineárne nezávislý .

Definícia 1. Systém vektorov sa nazýva lineárne závislý, ak jeden z vektorov systému môže byť reprezentovaný ako lineárna kombinácia zostávajúcich vektorov systému a lineárne nezávislý - inak.

Definícia 1´. Systém vektorov sa nazýva lineárne závislý, ak existujú čísla s 1 , s 2 , …, s k , nie všetky rovné nule, takže lineárna kombinácia vektorov s danými koeficientmi sa rovná nulovému vektoru: = , inak sa systém nazýva lineárne nezávislý.

Ukážme, že tieto definície sú ekvivalentné.

Nech je splnená definícia 1, t.j. jeden zo systémových vektorov sa rovná lineárnej kombinácii ostatných:

Lineárna kombinácia sústavy vektorov sa rovná nulovému vektoru a nie všetky koeficienty tejto kombinácie sa rovnajú nule, t.j. Definícia 1´ je splnená.

Nech platí Definícia 1´. Lineárna kombinácia systému vektorov sa rovná , a nie všetky koeficienty kombinácie sa rovnajú nule, napríklad koeficienty vektora .

Jeden z vektorov sústavy sme prezentovali ako lineárnu kombináciu ostatných, t.j. Definícia 1 je splnená.

Definícia 2. Nazýva sa jednotkový vektor alebo jednotkový vektor n-rozmerný vektor, ktorý i-tá súradnica sa rovná jednej a zvyšok je nula.

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

Veta 1. Rôzne jednotkové vektory n-rozmerný priestor sú lineárne nezávislé.

Dôkaz. Nech sa lineárna kombinácia týchto vektorov s ľubovoľnými koeficientmi rovná nulovému vektoru.

Z tejto rovnosti vyplýva, že všetky koeficienty sú rovné nule. Máme rozpor.

Každý vektor n-rozmerný priestor ā (A 1 , A 2 , ..., A n) môže byť reprezentované ako lineárna kombinácia jednotkových vektorov s koeficientmi rovnými vektorovým súradniciam

Veta 2. Ak systém vektorov obsahuje nulový vektor, potom je lineárne závislý.

Dôkaz. Nech je daný systém vektorov a jeden z vektorov je nula, napríklad = . Potom pomocou vektorov tohto systému môžete vytvoriť lineárnu kombináciu rovnú nulovému vektoru a nie všetky koeficienty budú nulové:

Preto je systém lineárne závislý.

Veta 3. Ak je niektorý podsystém systému vektorov lineárne závislý, potom je lineárne závislý celý systém.

Dôkaz. Je daný systém vektorov. Predpokladajme, že systém je lineárne závislý, t.j. sú tam čísla s 1 , s 2 , …, s r , nie všetky sa rovnajú nule, takže = . Potom

Ukázalo sa, že lineárna kombinácia vektorov celého systému sa rovná , a nie všetky koeficienty tejto kombinácie sú rovné nule. V dôsledku toho je systém vektorov lineárne závislý.

Dôsledok. Ak je systém vektorov lineárne nezávislý, potom ktorýkoľvek z jeho podsystémov je tiež lineárne nezávislý.

Dôkaz.

Predpokladajme opak, t.j. niektorý subsystém je lineárne závislý. Z vety vyplýva, že celý systém je lineárne závislý. Dospeli sme k rozporu.

Veta 4 (Steinitzova veta). Ak je každý z vektorov lineárnou kombináciou vektorov a m>n, potom je systém vektorov lineárne závislý.

Dôsledok. V žiadnom systéme n-rozmerných vektorov nemôže byť viac ako n lineárne nezávislých vektorov.

Dôkaz. Každý n-rozmerný vektor je vyjadrený ako lineárna kombinácia n jednotkových vektorov. Ak teda systém obsahuje m vektory a m>n, potom podľa vety je tento systém lineárne závislý.

Vyjadrenie formy volal lineárna kombinácia vektorov A 1 , A 2 ,..., A n s kurzom λ 1, λ 2,...,λ n.

Určenie lineárnej závislosti sústavy vektorov

Vektorový systém A 1 , A 2 ,..., A n volal lineárne závislé, ak existuje nenulová množina čísel λ 1, λ 2,...,λ n, v ktorom lineárna kombinácia vektorov λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n rovná nulovému vektoru, teda sústava rovníc: má nenulové riešenie.
Sada čísel λ 1, λ 2,...,λ n je nenulové, ak je aspoň jedno z čísel λ 1, λ 2,...,λ n odlišný od nuly.

Určenie lineárnej nezávislosti sústavy vektorov

Vektorový systém A 1 , A 2 ,..., A n volal lineárne nezávislé, ak lineárna kombinácia týchto vektorov λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n rovná nulovému vektoru len pre nulovú množinu čísel λ 1, λ 2,...,λ n , teda sústava rovníc: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ má unikátne nulové riešenie.

Príklad 29.1

Skontrolujte, či je systém vektorov lineárne závislý

Riešenie:

1. Zostavíme sústavu rovníc:

2. Riešime to Gaussovou metódou. Jordananove transformácie systému sú uvedené v tabuľke 29.1. Pri výpočte sa nezapisujú pravé strany systému, pretože sú rovné nule a nemenia sa počas Jordanových transformácií.

3. Z posledných troch riadkov tabuľky zapíšte si vyriešený systém ekvivalentný pôvodnému systém:

4. Dostaneme spoločné rozhodnutie systémov:

5. Po nastavení hodnoty voľnej premennej x 3 = 1 podľa vlastného uváženia, dostaneme konkrétne nenulové riešenie X = (-3,2,1).

Odpoveď: Pre nenulovú množinu čísel (-3,2,1) sa teda lineárna kombinácia vektorov rovná nulovému vektoru -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. teda vektorový systém lineárne závislý.

Vlastnosti vektorových systémov

Nehnuteľnosť (1)
Ak je sústava vektorov lineárne závislá, potom je aspoň jeden z vektorov rozšírený z hľadiska ostatných a naopak, ak je aspoň jeden z vektorov sústavy rozšírený z hľadiska ostatných, potom sústava vektorov je lineárne závislý.

Nehnuteľnosť (2)
Ak je ľubovoľný podsystém vektorov lineárne závislý, potom je lineárne závislý celý systém.

Nehnuteľnosť (3)
Ak je systém vektorov lineárne nezávislý, potom ktorýkoľvek z jeho podsystémov je lineárne nezávislý.

Nehnuteľnosť (4)
Akýkoľvek systém vektorov obsahujúci nulový vektor je lineárne závislý.

Nehnuteľnosť (5)
Systém m-rozmerných vektorov je vždy lineárne závislý, ak počet vektorov n je väčší ako ich rozmer (n>m)

Základ vektorového systému

Základ vektorového systému A 1 , A 2 ,..., A n takýto podsystém B 1 , B 2 ,...,B r sa nazýva(každý z vektorov B 1, B 2,...,B r je jedným z vektorov A 1, A 2,..., A n), ktorý spĺňa nasledujúce podmienky:
1. B1,B2,...,B r lineárne nezávislý systém vektorov;
2. akýkoľvek vektor A j systém A 1 , A 2 ,..., A n je lineárne vyjadrený cez vektory B 1 , B 2 ,..., B r

r— počet vektorov zahrnutých v základe.

Veta 29.1 Na jednotkovej báze sústavy vektorov.

Ak systém m-rozmerných vektorov obsahuje m rôznych jednotkových vektorov E 1 E 2 ,..., E m , potom tvoria základ systému.

Algoritmus na nájdenie základu systému vektorov

Na nájdenie základu sústavy vektorov A 1 ,A 2 ,...,A n je potrebné:

• Vytvorte zodpovedajúci vektorový systém homogénny systém rovnice A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• Prineste tento systém

Lineárna závislosť a vektorová nezávislosť

Definície lineárne závislých a nezávislých vektorových systémov

Definícia 22

Majme sústavu n-vektorov a množinu čísel
, Potom

(11)

sa nazýva lineárna kombinácia daného systému vektorov s danou množinou koeficientov.

Definícia 23

Vektorový systém
sa nazýva lineárne závislý, ak existuje takáto množina koeficientov
, z ktorých aspoň jeden sa nerovná nule, že lineárna kombinácia daného systému vektorov s touto množinou koeficientov sa rovná nulovému vektoru:

Nechaj
, Potom

Definícia 24 ( prostredníctvom reprezentácie jedného vektora systému ako lineárnej kombinácie ostatných)

Vektorový systém
sa nazýva lineárne závislý, ak aspoň jeden z vektorov tohto systému môže byť reprezentovaný ako lineárna kombinácia zostávajúcich vektorov tohto systému.

Vyhlásenie 3

Definície 23 a 24 sú ekvivalentné.

Definícia 25(cez nulovú lineárnu kombináciu)

Vektorový systém
sa nazýva lineárne nezávislý, ak je nulová lineárna kombinácia tohto systému možná len pre všetky
rovná nule.

Definícia 26(kvôli nemožnosti reprezentovať jeden vektor systému ako lineárnu kombináciu ostatných)

Vektorový systém
sa nazýva lineárne nezávislý, ak ani jeden z vektorov tohto systému nemôže byť reprezentovaný ako lineárna kombinácia iných vektorov tohto systému.

Vlastnosti lineárne závislých a nezávislých vektorových systémov

Veta 2 (nulový vektor v sústave vektorov)

Ak má systém vektorov nulový vektor, potom je systém lineárne závislý.

 Nechajte
, Potom .

Dostaneme
, teda podľa definície lineárne závislého systému vektorov prostredníctvom nulovej lineárnej kombinácie (12) systém je lineárne závislý. 

Veta 3 (závislý podsystém vo vektorovom systéme)

Ak má systém vektorov lineárne závislý podsystém, potom je lineárne závislý celý systém.

 Nechajte
- lineárne závislý podsystém
, medzi ktorými sa aspoň jedna nerovná nule:

To znamená, že podľa definície 23 je systém lineárne závislý. 

Veta 4

Každý subsystém lineárne nezávislého systému je lineárne nezávislý.

 Z opaku. Nech je systém lineárne nezávislý a má lineárne závislý podsystém. Ale potom, podľa vety 3, bude celý systém tiež lineárne závislý. Rozpor. V dôsledku toho subsystém lineárne nezávislého systému nemôže byť lineárne závislý. 

Geometrický význam lineárnej závislosti a nezávislosti sústavy vektorov

Veta 5

Dva vektory A sú lineárne závislé vtedy a len vtedy
.

 Nevyhnutnosť.

A - lineárne závislý
, že podmienka je splnená
. Potom
, t.j.
.

Primeranosť.

Lineárne závislé. 

Dôsledok 5.1

Nulový vektor je kolineárny s ľubovoľným vektorom

Dôsledok 5.2

Aby boli dva vektory lineárne nezávislé, je potrebné a postačujúce, že nebol kolineárny .

Veta 6

Aby bol systém troch vektorov lineárne závislý, je potrebné a postačujúce, aby tieto vektory boli koplanárne .

 Nevyhnutnosť.

- sú lineárne závislé, preto jeden vektor môže byť reprezentovaný ako lineárna kombinácia ostatných dvoch.

, (13)

Kde
A
. Podľa pravidla rovnobežníka existuje uhlopriečka rovnobežníka so stranami
, ale rovnobežník je plochý obrazec
koplanárny
- sú tiež koplanárne.

Primeranosť.

- koplanárny. Aplikujme tri vektory na bod O:

C

B'

– lineárne závislé 

Dôsledok 6.1

Nulový vektor je koplanárny s ľubovoľným párom vektorov.

Dôsledok 6.2

V poradí pre vektory
boli lineárne nezávislé, je potrebné a postačujúce, aby neboli koplanárne.

Dôsledok 6.3

Akýkoľvek vektor roviny môže byť reprezentovaný ako lineárna kombinácia akýchkoľvek dvoch nekolineárnych vektorov tej istej roviny.

Veta 7

Akékoľvek štyri vektory v priestore sú lineárne závislé .

 Uvažujme o 4 prípadoch:

Nakreslíme rovinu cez vektory, potom rovinu cez vektory a rovinu cez vektory. Potom nakreslíme roviny prechádzajúce bodom D rovnobežné s pármi vektorov ; ; resp. Staviame rovnobežnosten pozdĺž priesečníkov rovín O.B. 1 D 1 C 1 ABDC.

Uvažujme O.B. 1 D 1 C 1 – rovnobežník podľa konštrukcie podľa pravidla rovnobežníka
.

Zvážte OADD 1 – rovnobežník (z vlastnosti rovnobežnostena)
, Potom

EMBED rovnica.3 .

Podľa vety 1
také že . Potom
a podľa definície 24 je systém vektorov lineárne závislý. 

Dôsledok 7.1

Súčet troch nekoplanárnych vektorov v priestore je vektor, ktorý sa zhoduje s uhlopriečkou kvádra postaveného na týchto troch vektoroch aplikovaných na spoločný počiatok a počiatok súčtového vektora sa zhoduje so spoločným počiatkom týchto troch vektorov.

Dôsledok 7.2

Ak vezmeme 3 nekoplanárne vektory v priestore, potom ľubovoľný vektor tohto priestoru možno rozložiť na lineárnu kombináciu týchto troch vektorov.