Vietov teorém. Príklady riešení. Vietova veta pre kvadratické a iné rovnice Riešenie kvadratických rovníc pomocou príkladov Vietovej vety
Formulácia a dôkaz Vietovej vety pre kvadratické rovnice. Inverzná Vieta veta. Vietova veta pre kubické rovnice a rovnice ľubovoľného poriadku.
ObsahPozri tiež: Korene kvadratickej rovnice
Kvadratické rovnice
Vietov teorém
Nech a označme korene redukovanej kvadratickej rovnice
(1)
.
Potom sa súčet koreňov rovná koeficientu at s opačným znamienkom. Súčin koreňov sa rovná voľnému termínu:
;
.
Poznámka o viacerých koreňoch
Ak je diskriminant rovnice (1) nulový, potom má táto rovnica jeden koreň. Aby sa však predišlo ťažkopádnym formuláciám, všeobecne sa uznáva, že v tomto prípade má rovnica (1) dva viacnásobné alebo rovnaké korene:
.
Dôkaz jeden
Nájdite korene rovnice (1). Ak to chcete urobiť, použite vzorec pre korene kvadratickej rovnice:
;
;
.
Nájdenie súčtu koreňov:
.
Na nájdenie produktu použijeme vzorec:
.
Potom
.
Veta bola dokázaná.
Dôkaz dva
Ak čísla a sú koreňmi kvadratickej rovnice (1), potom
.
Otvárame zátvorky.
.
Takže rovnica (1) bude mať tvar:
.
V porovnaní s (1) zistíme:
;
.
Veta bola dokázaná.
Inverzná Vieta veta
Nech sú ľubovoľné čísla. Potom a sú korene kvadratickej rovnice
,
kde
(2)
;
(3)
.
Dôkaz Vietovej konverznej vety
Zvážte kvadratickú rovnicu
(1)
.
Musíme dokázať, že ak a , potom a sú koreňmi rovnice (1).
Nahraďte (2) a (3) za (1):
.
Zoskupujeme členy ľavej strany rovnice:
;
;
(4)
.
Nahradiť v (4):
;
.
Nahradiť v (4):
;
.
Rovnica je splnená. To znamená, že číslo je koreňom rovnice (1).
Veta bola dokázaná.
Vietova veta pre úplnú kvadratickú rovnicu
Teraz zvážte úplnú kvadratickú rovnicu
(5)
,
kde , a sú nejaké čísla. A .
Rovnicu (5) delíme takto:
.
To znamená, že sme dostali vyššie uvedenú rovnicu
,
kde ; .
Potom má Vietova veta pre úplnú kvadratickú rovnicu nasledujúci tvar.
Nech a označme korene úplnej kvadratickej rovnice
.
Potom súčet a súčin koreňov určujú vzorce:
;
.
Vietova veta pre kubickú rovnicu
Podobne môžeme vytvoriť spojenia medzi koreňmi kubickej rovnice. Zvážte kubickú rovnicu
(6)
,
kde , , , sú nejaké čísla. A .
Rozdeľme túto rovnicu takto:
(7)
,
kde , , .
Nech , , sú korene rovnice (7) (a rovnice (6)). Potom
.
Porovnaním s rovnicou (7) zistíme:
;
;
.
Vietova veta pre rovnicu n-tého stupňa
Rovnakým spôsobom môžete nájsť súvislosti medzi koreňmi , , ... , , pre rovnicu n-tého stupňa
.
Vietova veta pre rovnicu n-tého stupňa má nasledujúci tvar:
;
;
;
.
Aby sme získali tieto vzorce, napíšeme rovnicu v nasledujúcom tvare:
.
Potom zrovnáme koeficienty na , , , ... a porovnáme voľný člen.
Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a študentov vysokých škôl, Lan, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov a kol., Algebra: učebnica pre 8. ročník vzdelávacích inštitúcií, Moskva, Vzdelávanie, 2006.
Vietova veta (presnejšie veta inverzná k Vietovej vete) nám umožňuje skrátiť čas na riešenie kvadratických rovníc. Len ho treba vedieť používať. Ako sa naučiť riešiť kvadratické rovnice pomocou Vietovej vety? Je to jednoduché, ak trochu premýšľate.
Teraz budeme hovoriť len o riešení redukovanej kvadratickej rovnice pomocou Vietovej vety Redukovaná kvadratická rovnica je rovnica, v ktorej a, teda koeficient pred x², je rovný jednej. Neuvedené kvadratické rovnice sa dajú vyriešiť aj pomocou Vietovej vety, ale tam už aspoň jeden z koreňov nie je celé číslo. Ťažšie sa odhadujú.
Veta konverzná k Vietovej vete hovorí: ak čísla x1 a x2 sú také, že
potom x1 a x2 sú korene kvadratickej rovnice
Pri riešení kvadratickej rovnice pomocou Vietovej vety sú možné len 4 možnosti. Ak si pamätáte priebeh uvažovania, môžete sa veľmi rýchlo naučiť nájsť celé korene.
I. Ak je q kladné číslo,
to znamená, že korene x1 a x2 sú čísla rovnakého znamienka (pretože iba pri vynásobení čísel s rovnakými znamienkami dostaneme kladné číslo).
I.a. Ak -p je kladné číslo, (resp. str<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).
I.b. Ak -p je záporné číslo, (resp. p>0), potom sú oba korene záporné čísla (sčítali čísla rovnakého znamienka, dostali záporné číslo).
II. Ak je q záporné číslo,
to znamená, že korene x1 a x2 majú rôzne znamienka (pri násobení čísel dostaneme záporné číslo len vtedy, keď sú znamienka faktorov odlišné). V tomto prípade x1 + x2 už nie je súčet, ale rozdiel (veď pri sčítaní čísel s rôznymi znamienkami odčítavame menšie od väčšieho modulo). Preto x1 + x2 ukazuje, ako veľmi sa korene x1 a x2 líšia, teda o koľko je jeden koreň väčší ako druhý (modulo).
II.a. Ak -p je kladné číslo, (t.j. p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.
II.b. Ak -p je záporné číslo, (p>0), potom väčšia odmocnina (modulo) je záporné číslo.
Uvažujme riešenie kvadratických rovníc podľa Vietovej vety na príkladoch.
Vyriešte danú kvadratickú rovnicu pomocou Vietovej vety:
Tu q=12>0, takže korene x1 a x2 sú čísla rovnakého znamienka. Ich súčet je -p=7>0, takže oba korene sú kladné čísla. Vyberieme celé čísla, ktorých súčin je 12. Sú to 1 a 12, 2 a 6, 3 a 4. Súčet je 7 pre pár 3 a 4. 3 a 4 sú teda korene rovnice.
V tomto príklade q=16>0, čo znamená, že korene x1 a x2 sú čísla rovnakého znamienka. Ich súčet -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.
Tu q = -15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, potom je väčšie číslo kladné. Korene sú teda 5 a -3.
q = -36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.
François Vieta (1540-1603) - matematik, tvorca známych vzorcov Vieta
Vietov teorém potrebné na rýchle riešenie kvadratických rovníc (jednoducho povedané).
Podrobnejšie t Vietova veta - toto je súčet koreňov tejto kvadratickej rovnice sa rovná druhému koeficientu, ktorý sa berie s opačným znamienkom, a súčin sa rovná voľnému členu. Táto vlastnosť má akúkoľvek danú kvadratickú rovnicu, ktorá má korene.
Pomocou Vietovej vety môžete jednoducho vyriešiť kvadratické rovnice výberom, takže povedzme „ďakujem“ tomuto matematikárovi s mečom v rukách za náš šťastný 7. ročník.
Dôkaz Vietovej vety
Na dôkaz vety môžete použiť známe koreňové vzorce, vďaka ktorým zostavíme súčet a súčin koreňov kvadratickej rovnice. Až potom sa môžeme uistiť, že sú si rovní, a teda .
Povedzme, že máme rovnicu: . Táto rovnica má tieto korene: a . Dokážme to, .
Podľa vzorcov koreňov kvadratickej rovnice:
1. Nájdite súčet koreňov:
Poďme analyzovať túto rovnicu, pretože sme ju dostali presne takto:
= .
Krok 1. Zlomky zredukujeme na spoločného menovateľa, ukáže sa:
= = .
Krok 2. Máme zlomok, kde musíte otvoriť zátvorky:
Zlomok znížime o 2 a dostaneme:
Vzťah pre súčet koreňov kvadratickej rovnice sme dokázali pomocou Vietovej vety.
2. Nájdite produkt koreňov:
= = = = = .
Dokážme túto rovnicu:
Krok 1. Existuje pravidlo pre násobenie zlomkov, podľa ktorého násobíme túto rovnicu:
Teraz si pripomenieme definíciu druhej odmocniny a zvážime:
= .
Krok 3. Pripomíname si diskriminant kvadratickej rovnice: . Preto namiesto D (diskriminant) dosadíme do posledného zlomku, potom dostaneme:
= .
Krok 4. Otvorte zátvorky a pridajte podobné výrazy do zlomkov:
Krok 5. Znížime "4a" a dostaneme.
Tak sme dokázali vzťah pre súčin koreňov podľa Vietovej vety.
DÔLEŽITÉ!Ak je diskriminant nulový, potom má kvadratická rovnica iba jeden koreň.
Veta inverzná k Vietovej vete
Podľa vety, inverznej k Vietovej vete, môžeme skontrolovať, či je naša rovnica vyriešená správne. Aby sme pochopili samotnú vetu, musíme ju zvážiť podrobnejšie.
Ak sú čísla:
A potom sú koreňmi kvadratickej rovnice.
Dôkaz Vietovej konverznej vety
Krok 1.Dosadíme do rovnice výrazy pre jeho koeficienty:
Krok 2Transformujme ľavú stranu rovnice:
Krok 3. Nájdite korene rovnice a na to použijeme vlastnosť, že súčin sa rovná nule:
Alebo . Odkiaľ pochádza: alebo.
Príklady s riešeniami podľa Vietovej vety
Príklad 1
Cvičenie
Nájdite súčet, súčin a súčet druhých mocnín koreňov kvadratickej rovnice bez toho, aby ste našli korene rovnice.
Riešenie
Krok 1. Spomeňte si na diskriminačný vzorec. Pod písmenami dosadíme naše čísla. To znamená, že , je náhradou za , a . To znamená:
Ukázalo sa:
Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="170" style="vertical-align: -1px;">. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма , а произведение . !}
Súčet druhých mocnín koreňov vyjadrujeme prostredníctvom ich súčtu a súčinu:
Odpoveď
7; 12; 25.
Príklad 2
Cvičenie
Vyriešte rovnicu. V tomto prípade nepoužívajte vzorce kvadratickej rovnice.
Riešenie
Táto rovnica má korene, ktoré sú väčšie ako nula z hľadiska diskriminantu (D). Podľa Vietovej vety je súčet koreňov tejto rovnice 4 a súčin 5. Najprv určíme deliteľov čísla, ktorých súčet je 4. Sú to čísla „5“ a "-1". Ich súčin sa rovná - 5 a súčet - 4. Podľa vety, opaku Vietovej vety, sú teda koreňmi tejto rovnice.
Odpoveď
A Príklad 4
Cvičenie
Napíšte rovnicu, kde každý koreň je dvojnásobkom zodpovedajúceho koreňa rovnice:
Riešenie
Podľa Vietovej vety je súčet koreňov tejto rovnice 12 a súčin = 7. Tieto dva korene sú teda kladné.
Súčet koreňov novej rovnice sa bude rovnať:
A práca.
Ak sa veta obracia na Vietovu vetu, nová rovnica má tvar:
Odpoveď
Výsledkom bola rovnica, ktorej každý koreň je dvakrát väčší:
Takže sme sa pozreli na to, ako vyriešiť rovnicu pomocou Vietovej vety. Je veľmi vhodné použiť túto vetu, ak sa riešia úlohy, ktoré súvisia so znamienkami koreňov kvadratických rovníc. To znamená, že ak je voľný člen vo vzorci kladné číslo a ak v kvadratickej rovnici existujú skutočné korene, potom môžu byť oba záporné alebo kladné.
A ak je voľný člen záporné číslo a ak v kvadratickej rovnici existujú skutočné korene, potom sa obe znamienka budú líšiť. To znamená, že ak je jeden koreň pozitívny, potom druhý koreň bude iba negatívny.
Užitočné zdroje:
- Dorofeev G. V., Suvorova S. B., Bunimovič E. A. Algebra stupeň 8: Moskva „Osvietenie“, 2016 – 318 s.
- Rubin A. G., Chulkov P. V. - učebnica Algebra Grade 8: Moskva "Balass", 2015 - 237 s.
- Nikolsky S. M., Potopav M. K., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. – Algebra Grade 8: Moskva „Osvietenie“, 2014 – 300
Vietov teorém, inverzný Vietov vzorec a príklady s riešením pre figuríny aktualizované: 22. novembra 2019 používateľom: Vedecké články.Ru
V ôsmom ročníku sa žiaci oboznamujú s kvadratickými rovnicami a ich riešením. Zároveň, ako ukazuje skúsenosť, väčšina študentov používa pri riešení úplných kvadratických rovníc iba jednu metódu - vzorec pre korene kvadratickej rovnice. Pre študentov s dobrými schopnosťami ústneho počítania je táto metóda zjavne iracionálna. Študenti musia na strednej škole často riešiť kvadratické rovnice a tam je jednoducho škoda tráviť čas výpočtom diskriminantu. Podľa môjho názoru by sa pri štúdiu kvadratických rovníc malo venovať viac času a pozornosti aplikácii Vietovej vety (podľa programu A.G. Mordkovicha Algebra-8 sú naplánované len dve hodiny na štúdium témy „Veta Vieta. Dekompozícia štvorcová trojčlenka na lineárne faktory“).
Vo väčšine učebníc algebry je táto veta formulovaná pre redukovanú kvadratickú rovnicu a hovorí, že ak má rovnica korene a , potom spĺňajú rovnosti , . Potom sa sformuluje konverzácia k Vietovej vete a ponúkne sa množstvo príkladov na prácu na tejto téme.
Zoberme si konkrétne príklady a nasledujme na nich logiku riešenia pomocou Vietovej vety.
Príklad 1. Vyriešte rovnicu.
Predpokladajme, že táto rovnica má korene, konkrétne a . Potom, podľa Vietovej vety, rovnosti
Všimnite si, že súčin koreňov je kladné číslo. Korene rovnice majú teda rovnaké znamienko. A keďže súčet koreňov je tiež kladné číslo, usúdime, že oba korene rovnice sú kladné. Vráťme sa k produktu koreňov. Predpokladajme, že korene rovnice sú kladné celé čísla. Potom je možné správnu prvú rovnosť získať iba dvoma spôsobmi (až do poradia faktorov): alebo . Skontrolujme pre navrhované dvojice čísel uskutočniteľnosť druhého tvrdenia Vietovej vety: 
. Čísla 2 a 3 teda spĺňajú obe rovnosti, a teda sú koreňmi danej rovnice.
Odpoveď: 2; 3.
Pri riešení danej kvadratickej rovnice pomocou Vietovej vety vyčleňujeme hlavné fázy uvažovania:
| zapíšte si tvrdenie Vietovej vety | (*) |
- určte znamienka koreňov rovnice (Ak sú súčin a súčet koreňov kladné, potom sú oba korene kladné čísla. Ak súčin koreňov je kladné číslo a súčet koreňov záporný, potom oba korene sú záporné čísla. Ak je súčin koreňov záporné číslo, potom korene majú rôzne znamienka. Navyše, ak je súčet koreňov kladný, potom koreň s väčším modulom je kladné číslo a ak súčet koreňov je menší ako nula, potom koreň s väčším modulom je záporné číslo);
- vyberte dvojice celých čísel, ktorých súčin dáva správnu prvú rovnosť v zápise (*);
- z nájdených dvojíc čísel vyberte dvojicu, ktorá po dosadení do druhej rovnosti v zápise (*) dá správnu rovnosť;
- uveďte v odpovedi nájdené korene rovnice.
Uveďme ešte niekoľko príkladov.
Príklad 2: Vyriešte rovnicu 
.
Riešenie.
Dovoliť a byť koreňmi danej rovnice. Potom podľa Vietovej vety Všimnite si, že súčin je kladný a súčet záporný. Takže oba korene sú záporné čísla. Vyberáme dvojice faktorov, ktoré dávajú súčin 10 (-1 a -10; -2 a -5). Druhá dvojica čísel dáva súčet -7. Takže čísla -2 a -5 sú koreňmi tejto rovnice.
odpoveď: -2; -5.
Príklad 3. Vyriešte rovnicu 
.
Riešenie.
Dovoliť a byť koreňmi danej rovnice. Potom podľa Vietovej vety Všimnite si, že súčin je záporný. Takže korene majú rôzne znaky. Súčet koreňov je tiež záporné číslo. Odmocnina s najväčším modulom je teda záporná. Vyberáme dvojice faktorov, ktoré dávajú súčinu -10 (1 a -10; 2 a -5). Druhá dvojica čísel dáva súčet -3. Takže čísla 2 a -5 sú koreňmi tejto rovnice.
odpoveď: 2; -5.
Všimnite si, že Vietova veta môže byť v zásade formulovaná pre úplnú kvadratickú rovnicu: ak kvadratická rovnica 
má korene a potom vyhovujú rovnosti, . Aplikácia tejto vety je však dosť problematická, pretože v úplnej kvadratickej rovnici je aspoň jeden z koreňov (samozrejme, ak nejaký existuje) zlomkové číslo. A práca s výberom zlomkov je dlhá a náročná. Ale stále existuje cesta von.
Zvážte úplnú kvadratickú rovnicu . Vynásobte obe strany rovnice prvým koeficientom a a napíšte rovnicu do tvaru 
. Zavedieme novú premennú a získame redukovanú kvadratickú rovnicu , ktorej korene a (ak nejaké existujú) možno nájsť pomocou Vietovej vety. Potom korene pôvodnej rovnice budú . Všimnite si, že je veľmi ľahké napísať pomocnú redukovanú rovnicu: druhý koeficient sa zachová a tretí koeficient sa rovná súčinu eso. Žiaci s určitou zručnosťou ihneď zostavia pomocnú rovnicu, nájdu jej korene pomocou Vietovej vety a naznačia korene danej kompletnej rovnice. Uveďme si príklady.
Príklad 4. Vyriešte rovnicu 
.
Urobme si pomocnú rovnicu 
a Vietovou vetou nachádzame jej korene. Takže korene pôvodnej rovnice 
.
odpoveď: .
Príklad 5. Vyriešte rovnicu 
.
Pomocná rovnica má tvar . Podľa Vietovej vety sú jej korene . Nájdeme korene pôvodnej rovnice 
.
odpoveď: .
A ešte jeden prípad, keď aplikácia Vietovej vety umožňuje slovne nájsť korene úplnej kvadratickej rovnice. Je ľahké to dokázať číslo 1 je koreňom rovnice , ak a len vtedy. Druhý koreň rovnice sa nachádza podľa Vietovej vety a rovná sa . Ešte jedno vyhlásenie: takže číslo -1 je koreňom rovnice potrebné a dostatočné na to. Potom sa druhý koreň rovnice podľa Vietovej vety rovná . Podobné tvrdenia možno formulovať pre redukovanú kvadratickú rovnicu.
Príklad 6. Vyriešte rovnicu.
Všimnite si, že súčet koeficientov rovnice je nula. Takže korene rovnice 
.
odpoveď: .
Príklad 7. Vyriešte rovnicu.
Koeficienty tejto rovnice spĺňajú vlastnosť
(skutočne 1-(-999)+(-1000)=0). Takže korene rovnice 
.
odpoveď: ..
Príklady na aplikáciu Vietovej vety
Úloha 1. Vyriešte danú kvadratickú rovnicu pomocou Vietovej vety.
1. 
6. 
11. 16. 
2. 7. 
12. 17. 
3. 
8. 
13. 
18. 
4. 
9. 
14. 
19. 
5. 
10. 
15. 
20. 
Úloha 2. Vyriešte úplnú kvadratickú rovnicu prechodom na pomocnú redukovanú kvadratickú rovnicu.
1. 
6. 
11. 
16. 
2. 
7. 
12. 
17. 
3. 
8. 
13. 
18. 
4. 
9. 
14. 
19. 
5. 
10. 
15. 
20. 
Úloha 3. Vyriešte kvadratickú rovnicu pomocou vlastnosti.
Pri štúdiu spôsobov riešenia rovníc druhého rádu v kurze školskej algebry zvážte vlastnosti získaných koreňov. Teraz sú známe ako Vietove teorémy. Príklady jeho použitia sú uvedené v tomto článku.
Kvadratická rovnica
Rovnica druhého rádu je rovnosť, ktorá je znázornená na fotografii nižšie.
Symboly a, b, c sú tu niektoré čísla, ktoré sa nazývajú koeficienty uvažovanej rovnice. Ak chcete vyriešiť rovnosť, musíte nájsť x hodnôt, ktoré ju robia pravdivou.
Všimnite si, že keďže maximálna hodnota mocniny, na ktorú sa x zvýši, sú dve, potom je počet koreňov vo všeobecnom prípade tiež dva.
Existuje niekoľko spôsobov, ako vyriešiť tento typ rovnosti. V tomto článku sa budeme zaoberať jedným z nich, ktorý zahŕňa použitie takzvanej Vietovej vety.
Výrok Vietovej vety
Koncom 16. storočia si slávny matematik Francois Viet (Francúz) pri analýze vlastností koreňov rôznych kvadratických rovníc všimol, že určité ich kombinácie spĺňajú špecifické vzťahy. Tieto kombinácie sú najmä ich súčinom a súčtom.
Vietova veta stanovuje nasledovné: korene kvadratickej rovnice, keď sú sčítané, dávajú pomer lineárnych ku kvadratickým koeficientom s opačným znamienkom, a keď sú vynásobené, vedú k pomeru voľného člena ku kvadratickému koeficientu .
Ak je všeobecný tvar rovnice napísaný tak, ako je znázornený na fotografii v predchádzajúcej časti článku, potom matematicky možno túto vetu zapísať ako dve rovnosti:
- r2 + r1 \u003d -b / a;
- r 1 x r 2 \u003d c / a.
Kde r 1 , r 2 je hodnota koreňov uvažovanej rovnice.
Tieto dve rovnosti možno použiť na riešenie množstva veľmi odlišných matematických problémov. Použitie Vietovej vety v príkladoch s riešením je uvedené v nasledujúcich častiach článku.
