Tvary s obmedzenými líniami. Vypočítajte plochu príkladov obrázkov. Objem rotačného telesa
V tomto článku sa dozviete, ako nájsť oblasť obrázku ohraničenú čiarami pomocou integrálnych výpočtov. Prvýkrát sa s formulovaním takéhoto problému stretávame na strednej škole, keď je práve ukončené štúdium určitých integrálov a je čas začať s geometrickým výkladom získaných poznatkov v praxi.
Čo je teda potrebné na úspešné vyriešenie problému nájdenia oblasti obrázku pomocou integrálov:
- Schopnosť správne kresliť kresby;
- Schopnosť riešiť určitý integrál pomocou známeho Newtonovho-Leibnizovho vzorca;
- Možnosť „vidieť“ výnosnejšie riešenie – t.j. pochopiť, ako bude v tomto alebo tom prípade pohodlnejšie vykonať integráciu? Pozdĺž osi x (OX) alebo osi y (OY)?
- Kde bez správnych výpočtov?) To zahŕňa pochopenie toho, ako vyriešiť tento iný typ integrálov a správne numerické výpočty.
Algoritmus na riešenie problému výpočtu plochy obrazca ohraničeného čiarami:
1. Vytvárame výkres. Je vhodné to urobiť na kus papiera v klietke vo veľkom meradle. Ceruzkou nad každým grafom podpisujeme názov tejto funkcie. Podpis grafov sa vykonáva výlučne pre pohodlie ďalších výpočtov. Po prijatí grafu požadovaného čísla bude vo väčšine prípadov okamžite jasné, ktoré integračné limity sa použijú. Úlohu teda riešime graficky. Stáva sa však, že hodnoty limitov sú zlomkové alebo iracionálne. Preto môžete vykonať ďalšie výpočty, prejdite na druhý krok.
2. Ak integračné limity nie sú explicitne nastavené, nájdeme medzi sebou priesečníky grafov a uvidíme, či sa naše grafické riešenie zhoduje s analytickým.
3. Ďalej musíte analyzovať výkres. V závislosti od toho, ako sú umiestnené grafy funkcií, existujú rôzne prístupy k nájdeniu oblasti obrázku. Zvážte rôzne príklady hľadania oblasti obrazca pomocou integrálov.
3.1. Najklasickejšia a najjednoduchšia verzia problému je, keď potrebujete nájsť oblasť krivočiareho lichobežníka. Čo je to krivočiary lichobežník? Toto je plochý obrazec ohraničený osou x (y=0), rovný x = a, x = b a ľubovoľná krivka súvislá na intervale od a predtým b. Toto číslo zároveň nie je záporné a nenachádza sa nižšie ako os x. V tomto prípade sa plocha krivočiareho lichobežníka numericky rovná určitému integrálu vypočítanému pomocou vzorca Newton-Leibniz:
Príklad 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Aké čiary definujú postavu? Máme parabolu y = x2 - 3x + 3, ktorá sa nachádza nad osou OH, je nezáporné, pretože všetky body tejto paraboly sú kladné. Ďalej, dané rovné čiary x = 1 a x = 3 ktoré prebiehajú rovnobežne s osou OU, sú ohraničujúce čiary obrázku vľavo a vpravo. Dobre y = 0, ona je os x, ktorá obmedzuje postavu zdola. Výsledný obrázok je vytieňovaný, ako je vidieť na obrázku vľavo. V takom prípade môžete problém okamžite začať riešiť. Pred nami je jednoduchý príklad krivočiareho lichobežníka, ktorý potom riešime pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca.
3.2. V predchádzajúcom odseku 3.1 bol analyzovaný prípad, keď je krivočiary lichobežník umiestnený nad osou x. Teraz zvážte prípad, keď sú podmienky problému rovnaké, okrem toho, že funkcia leží pod osou x. K štandardnému Newton-Leibnizovmu vzorcu sa pridáva mínus. Ako vyriešiť takýto problém, zvážime ďalej.
Príklad 2 . Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.
V tomto príklade máme parabolu y=x2+6x+2, ktorý vychádza pod osou OH, rovný x=-4, x=-1, y=0. Tu y = 0 obmedzuje požadovanú hodnotu zhora. Priamy x = -4 a x = -1 toto sú hranice, v rámci ktorých sa bude počítať určitý integrál. Princíp riešenia problému nájdenia oblasti obrázku sa takmer úplne zhoduje s príkladom číslo 1. Jediný rozdiel je v tom, že daná funkcia nie je kladná a je tiež spojitá na intervale [-4; -1] . Čo neznamená pozitívne? Ako je zrejmé z obrázku, obrazec, ktorý leží v danom x, má výlučne „záporné“ súradnice, čo musíme vidieť a zapamätať si pri riešení úlohy. Hľadáme oblasť postavy pomocou vzorca Newton-Leibniz, iba so znamienkom mínus na začiatku.
Článok nie je dokončený.
Akýkoľvek určitý integrál (ktorý existuje) má veľmi dobrý geometrický význam. V triede som povedal, že určitý integrál je číslo. A teraz je čas uviesť ďalší užitočný fakt. Z hľadiska geometrie je určitým integrálom PLOCHA.
teda určitý integrál (ak existuje) geometricky zodpovedá ploche nejakého obrázku. Uvažujme napríklad určitý integrál . Integrand definuje určitú krivku v rovine (v prípade potreby ju možno vždy nakresliť) a samotný určitý integrál sa číselne rovná ploche zodpovedajúceho krivočiareho lichobežníka.
Príklad 1
Toto je typická úloha. Prvým a najdôležitejším momentom rozhodnutia je konštrukcia výkresu. Okrem toho musí byť vytvorený výkres SPRÁVNY.
Pri zostavovaní plánu odporúčam nasledujúce poradie: najprv je lepšie zostaviť všetky čiary (ak existujú) a len po- paraboly, hyperboly, grafy iných funkcií. Vytváranie funkčných grafov je výhodnejšie bod po bode, techniku bodovej konštrukcie nájdete v referenčnom materiáli.
Nájdete tam aj materiál, ktorý je veľmi užitočný v súvislosti s našou lekciou - ako rýchlo postaviť parabolu.
V tomto probléme môže riešenie vyzerať takto.
Urobme nákres (všimnite si, že rovnica definuje os):
Nebudem šrafovať krivočiary lichobežník, je zrejmé, o akej oblasti sa tu bavíme. Riešenie pokračuje takto:
Na segmente sa nachádza graf funkcie cez os, preto:
odpoveď:
Pre tých, ktorí majú problém s výpočtom určitého integrálu a aplikáciou Newtonovho-Leibnizovho vzorca, si pozrite prednášku Určitý integrál. Príklady riešení.
Po dokončení úlohy je vždy užitočné pozrieť sa na výkres a zistiť, či je odpoveď skutočná. V tomto prípade „od oka“ spočítame počet buniek na výkrese - no, napíše sa asi 9, zdá sa, že je to pravda. Je celkom jasné, že ak by sme mali povedzme odpoveď: 20 štvorcových jednotiek, tak sa evidentne niekde stala chyba – 20 buniek sa evidentne nezmestí do predmetného čísla, nanajvýš tucet. Ak bola odpoveď záporná, úloha bola tiež vyriešená nesprávne.
Príklad 2
Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami , , a osou
Toto je príklad „urob si sám“. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.
Čo robiť, ak sa nachádza krivočiary lichobežník pod nápravou?
Príklad 3
Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami a súradnicovými osami.
Riešenie: Urobme kresbu:
Ak krivočiary lichobežník úplne pod nápravou, potom jeho oblasť možno nájsť podľa vzorca:
V tomto prípade:
Pozor! Tieto dva typy úloh by sa nemali zamieňať:
1) Ak ste požiadaní, aby ste vyriešili len určitý integrál bez akéhokoľvek geometrického významu, potom môže byť záporný.
2) Ak ste požiadaní, aby ste našli plochu obrazca pomocou určitého integrálu, potom je plocha vždy kladná! Preto sa v práve uvažovanom vzorci objavuje mínus.
V praxi sa najčastejšie figúrka nachádza v hornej aj dolnej polrovine, a preto od najjednoduchších školských úloh prechádzame k zmysluplnejším príkladom.
Príklad 4
Nájdite plochu plochej postavy ohraničenú čiarami , .
Riešenie: Najprv musíte urobiť kresbu. Všeobecne povedané, pri konštrukcii výkresu v plošných úlohách nás najviac zaujímajú priesečníky čiar. Nájdite priesečníky paraboly a priamky. Dá sa to urobiť dvoma spôsobmi. Prvý spôsob je analytický. Riešime rovnicu:
Preto spodná hranica integrácie, horná hranica integrácie.
Ak je to možné, je lepšie túto metódu nepoužívať.
Oveľa výhodnejšie a rýchlejšie je stavať linky bod po bode, pričom hranice integrácie sa zistia akoby „sami od seba“. Technika vytvárania bodov po bode pre rôzne grafy je podrobne popísaná v pomocníkovi Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií. Analytická metóda hľadania limitov sa však stále niekedy musí použiť, ak je napríklad graf dostatočne veľký alebo závitová konštrukcia neodhalila limity integrácie (môžu byť zlomkové alebo iracionálne). A tiež zvážime taký príklad.
Vraciame sa k našej úlohe: racionálnejšie je najprv zostrojiť priamku a až potom parabolu. Urobme si kresbu:
Opakujem, že pri bodovej konštrukcii sa hranice integrácie najčastejšie zisťujú „automaticky“.
A teraz pracovný vzorec: Ak na segmente nejaká spojitá funkcia väčší alebo rovný nejaká spojitá funkcia, potom oblasť zodpovedajúceho obrázku možno nájsť podľa vzorca:
Tu už nie je potrebné premýšľať o tom, kde sa postava nachádza - nad osou alebo pod osou, a zhruba povedané, záleží na tom, ktorý graf je NAD(vo vzťahu k inému grafu), a ktorý je NIŽŠIE.
V uvažovanom príklade je zrejmé, že na segmente sa parabola nachádza nad priamkou, a preto je potrebné odpočítať od
Dokončenie riešenia môže vyzerať takto:
Požadovaný údaj je ohraničený parabolou zhora a priamkou zdola.
odpoveď:
V skutočnosti školský vzorec pre oblasť krivočiareho lichobežníka v dolnej polrovine (pozri jednoduchý príklad č. 3) je špeciálnym prípadom vzorca. Keďže os je daná rovnicou a graf funkcie je umiestnený pod osou, tak
A teraz pár príkladov pre nezávislé rozhodnutie
Príklad 5
Príklad 6
Nájdite oblasť obrázku ohraničenú čiarami , .
Pri riešení úloh na výpočet plochy pomocou určitého integrálu sa občas stane vtipná príhoda. Výkres bol urobený správne, výpočty boli správne, ale kvôli nepozornosti ... našiel oblasť nesprávnej postavy, tak sa tvoj poslušný sluha niekoľkokrát posral. Tu je skutočný prípad:
Príklad 7
Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami , , , .
Najprv nakreslíme:
Postava, ktorej oblasť potrebujeme nájsť, je vytieňovaná modrou farbou.(pozorne sa pozrite na stav - ako je postava obmedzená!). V praxi sa však v dôsledku nepozornosti často stáva, že musíte nájsť oblasť postavy, ktorá je zatienená zelenou farbou!
Tento príklad je užitočný aj v tom, že sa v ňom plocha obrázku počíta pomocou dvoch určitých integrálov. naozaj:
1) Na segmente nad osou je priamkový graf;
2) Na segmente nad osou je hyperbolový graf.
Je celkom zrejmé, že oblasti sa môžu (a mali by) pridať, preto:
odpoveď:
Príklad 8
Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú čiarami,
Uveďme rovnice v „školskej“ forme a vykonajte kreslenie bod po bode:
Z nákresu je vidieť, že naša horná hranica je „dobrá“: .
Aká je však spodná hranica? Je jasné, že to nie je celé číslo, ale čo? Možno ? Ale kde je záruka, že výkres je vyrobený s dokonalou presnosťou, môže sa to ukázať. Alebo root. Čo ak sme ten graf vôbec nepochopili?
V takýchto prípadoch je potrebné venovať viac času a analyticky spresniť hranice integrácie.
Nájdite priesečníky priamky a paraboly.
Aby sme to dosiahli, riešime rovnicu:
V dôsledku toho, .
Ďalšie riešenie je triviálne, hlavnou vecou nie je zmiasť sa v zámenách a znamienkach, výpočty tu nie sú najjednoduchšie.
Na segmente podľa zodpovedajúceho vzorca:
Na záver lekcie zvážime dve ťažšie úlohy.
Príklad 9
Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami , ,
Riešenie: Nakreslite tento obrázok na výkres.
Pre bodovú konštrukciu výkresu je potrebné poznať vzhľad sínusoidy (a vo všeobecnosti je užitočné poznať grafy všetkých elementárnych funkcií), ako aj niektoré sínusové hodnoty, možno ich nájsť v trigonometrická tabuľka. V niektorých prípadoch (ako v tomto prípade) je dovolené zostaviť schematický výkres, na ktorom musia byť grafy a integračné limity zobrazené v zásade správne.
Problémy s integračnými limitmi tu nie sú, vyplývajú priamo z podmienky: - "x" sa zmení z nuly na "pi". Robíme ďalšie rozhodnutie:
Na segmente je graf funkcie umiestnený nad osou, preto:
(1) Ako sú sínusy a kosínusy integrované do nepárnych mocnín, môžete vidieť v lekcii Integrály goniometrických funkcií. Ide o typickú techniku, odštipneme jeden sínus.
(2) Vo formulári používame základnú goniometrickú identitu
(3) Zmeňme premennú , potom:
Nové prerozdelenia integrácie:
Kto naozaj zle obchoduje so suplovaním, choďte na lekciu Náhradná metóda v neurčitom integráli. Pre tých, ktorým nie je veľmi jasný algoritmus náhrady v určitom integráli, navštívte stránku Určitý integrál. Príklady riešení. Príklad 5: Riešenie: tak:
odpoveď:
Poznámka: všimnite si, ako sa berie integrál dotyčnice v kocke, je tu použitý dôsledok základnej goniometrickej identity.
Späť dopredu
Pozor! Ukážka snímky slúži len na informačné účely a nemusí predstavovať celý rozsah prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si plnú verziu.
Kľúčové slová: integrálny, krivočiary lichobežník, plocha figúr ohraničená ľaliami
Vybavenie: tabuľa, počítač, multimediálny projektor
Typ lekcie: lekcia-prednáška
Ciele lekcie:
- vzdelávacie: formovať kultúru duševnej práce, vytvárať pre každého študenta situáciu úspechu, formovať pozitívnu motiváciu k učeniu; rozvíjať schopnosť hovoriť a počúvať druhých.
- vyvíja: formovanie samostatnosti myslenia študenta pri aplikácii vedomostí v rôznych situáciách, schopnosť analyzovať a vyvodzovať závery, rozvoj logiky, rozvoj schopnosti správne klásť otázky a nájsť na ne odpovede. Zlepšenie formovania výpočtových, výpočtových zručností, rozvoj myslenia študentov pri plnení navrhovaných úloh, rozvoj algoritmickej kultúry.
- vzdelávacie: formovať predstavy o krivočiarom lichobežníku, o integráli, osvojiť si zručnosti výpočtu plôch plochých útvarov
Vyučovacia metóda: vysvetľujúce a názorné.
Počas vyučovania
V predchádzajúcich triedach sme sa naučili, ako vypočítať plochy útvarov, ktorých hranice sú prerušované čiary. V matematike existujú metódy, ktoré vám umožňujú vypočítať plochu číslic ohraničenú krivkami. Takéto obrazce sa nazývajú krivočiare lichobežníky a ich plocha sa vypočítava pomocou primitívnych prvkov.
Krivočiary lichobežník ( snímka 1)
Krivkový lichobežník je útvar ohraničený funkčným grafom, ( w.m.), rovný x = a a x = b a úsečka
Rôzne typy krivočiarych lichobežníkov ( snímka 2)
Zvažujeme rôzne typy krivočiarych lichobežníkov a všimneme si: jedna z čiar je degenerovaná do bodu, úlohu obmedzujúcej funkcie zohráva čiara
Oblasť krivočiareho lichobežníka (snímka 3)
Opravte ľavý koniec intervalu a, a správne X zmeníme, t.j. posunieme pravú stenu krivočiareho lichobežníka a získame meniacu sa postavu. Plocha premenného krivočiareho lichobežníka ohraničeného funkčným grafom je primitívna F pre funkciu f
A v segmente [ a; b] oblasť krivočiareho lichobežníka tvoreného funkciou f, sa rovná prírastku primitívnej funkcie tejto funkcie:
Cvičenie 1:
Nájdite oblasť krivočiareho lichobežníka ohraničeného grafom funkcie: f(x) = x 2 a priamy y=0, x=1, x=2.
Riešenie: ( podľa algoritmu snímky 3)
Nakreslite graf funkcie a čiar
Nájdite jeden z primitívnych derivátov funkcie f(x) = x 2 :
Samokontrola posúvača
Integrálne
Uvažujme krivočiary lichobežník daný funkciou f na segmente [ a; b]. Rozdeľme tento segment na niekoľko častí. Plocha celého lichobežníka bude rozdelená na súčet plôch menších krivočiarych lichobežníkov. ( snímka 5). Každý takýto lichobežník možno považovať približne za obdĺžnik. Súčet plôch týchto obdĺžnikov dáva približnú predstavu o celej ploche krivočiareho lichobežníka. Čím menší zlomíme segment [ a; b], tým presnejšie vypočítame plochu.
Tieto úvahy zapisujeme vo forme vzorcov.
Rozdeľte segment [ a; b] na n častí s bodkami x 0 \u003d a, x1, ..., xn \u003d b. Dĺžka k- th označovať podľa xk = xk - xk-1. Poďme si to zhrnúť
Geometricky je tento súčet oblasťou obrázku vytieňovaného na obrázku ( sh.m.)
Súčty tvaru sa nazývajú integrálne súčty funkcie f. (sch.m.)
Celočíselné súčty udávajú približnú hodnotu plochy. Presná hodnota sa získa prechodom na limit. Predstavte si, že upravíme rozdelenie segmentu [ a; b], takže dĺžky všetkých malých segmentov majú tendenciu k nule. Potom sa plocha zloženej figúry priblíži k oblasti krivočiareho lichobežníka. Môžeme povedať, že plocha krivočiareho lichobežníka sa rovná limitu integrálnych súčtov, Sk.t. (sch.m.) alebo integrálne, t.j.
Definícia:
funkčný integrál f(x) od a predtým b sa nazýva limita integrálnych súčtov
= (sch.m.)
Newtonov-Leibnizov vzorec.
Pamätajte, že limit integrálnych súčtov sa rovná ploche krivočiareho lichobežníka, takže môžeme písať:
Sk.t. = (sch.m.)
Na druhej strane sa plocha krivočiareho lichobežníka vypočíta podľa vzorca
S až. (sch.m.)
Porovnaním týchto vzorcov dostaneme:
= (sch.m.)Táto rovnosť sa nazýva Newton-Leibnizov vzorec.
Pre pohodlie výpočtov je vzorec napísaný takto:
= = (sch.m.)Úlohy: (sch.m.)
1. Vypočítajte integrál pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca: ( skontrolujte snímku 5)
2. Zostavte integrály podľa nákresu ( skontrolujte na snímke 6)
3. Nájdite plochu obrazca ohraničenú čiarami: y \u003d x 3, y \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d 2. ( Snímka 7)
Nájdenie oblastí rovinných figúrok ( snímka 8)
Ako nájsť oblasť figúr, ktoré nie sú krivočiarymi lichobežníkmi?
Nech sú uvedené dve funkcie, ktorých grafy vidíte na snímke . (sch.m.) Nájdite oblasť tieňovanej postavy . (sch.m.). Je daný obrazec krivočiary lichobežník? A ako môžete nájsť jeho oblasť pomocou vlastnosti aditívnosti oblasti? Zvážte dva krivočiare lichobežníky a odpočítajte plochu druhého od plochy jedného z nich ( w.m.)
Urobme si algoritmus na nájdenie oblasti z animácie na snímke:
- Funkcie grafu
- Premietnite priesečníky grafov na os x
- Vytieňujte obrázok získaný krížením grafov
- Nájdite krivočiare lichobežníky, ktorých priesečník alebo spojenie je daný obrazec.
- Vypočítajte plochu každého z nich
- Nájdite rozdiel alebo súčet oblastí
Ústna úloha: Ako získať oblasť tieňovanej postavy (povedzte pomocou animácie, snímka 8 a 9)
Domáca úloha: Vypracujte abstrakt, č. 353 (a), č. 364 (a).
Bibliografia
- Algebra a začiatok analýzy: učebnica pre ročníky 9-11 večernej (zmennej) školy / ed. G.D. Glazer. - M: Osvietenie, 1983.
- Bašmakov M.I. Algebra a začiatok analýzy: učebnica pre ročníky 10-11 strednej školy / Bashmakov M.I. - M: Osvietenie, 1991.
- Bašmakov M.I. Matematika: učebnica pre inštitúcie zač. a priem. Prednášal prof. vzdelanie / M.I. Bašmakov. - M: Akadémia, 2010.
- Kolmogorov A.N. Algebra a začiatok analýzy: učebnica pre 10-11 buniek. vzdelávacie inštitúcie / A.N. Kolmogorov. - M: Osvietenie, 2010.
- Ostrovsky S.L. Ako urobiť prezentáciu na lekciu? / S.L. Ostrovského. – M.: Prvý september 2010.
Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami.
Riešenie.
Nájdeme priesečníky daných čiar. Aby sme to dosiahli, riešime sústavu rovníc:
Aby sme našli úsečky priesečníkov daných čiar, riešime rovnicu:
Nájdeme: X 1 = -2, X 2 = 4.
Takže tieto čiary, ktoré sú parabolou a priamkou, sa pretínajú v bodoch A(-2; 0), B(4; 6).
Tieto čiary tvoria uzavretý obrazec, ktorého plocha sa vypočíta podľa vyššie uvedeného vzorca:
Podľa Newtonovho-Leibnizovho vzorca zistíme:
Nájdite oblasť oblasti ohraničenej elipsou.
Riešenie.
Z rovnice elipsy pre I kvadrant máme . Odtiaľ podľa vzorca získame
Aplikujme substitúciu X = a hriech t, dx = a cos t dt. Nové limity integrácie t = α a t = β sú určené z rovníc 0 = a hriech t, a = a hriech t. Dá sa dať α = 0 a β = π /2.
Nájdeme štvrtinu požadovanej plochy
Odtiaľ S = pab.
Nájdite oblasť obrázku ohraničenú čiaramir = - X 2 + X + 4 ar = - X + 1.
Riešenie.
Nájdite priesečníky čiar r = -X 2 + X + 4, r = -X+ 1, pričom sa zhodujú ordináty čiar: - X 2 + X + 4 = -X+ 1 alebo X 2 - 2X- 3 = 0. Nájdite korene X 1 = -1, X 2 = 3 a im zodpovedajúce súradnice r 1 = 2, r 2 = -2.
Pomocou vzorca oblasti postavy dostaneme
Nájdite oblasť ohraničenú parabolour = X 2 + 1 a priameX + r = 3.
Riešenie.
Riešenie sústavy rovníc
nájdite úsečky priesečníkov X 1 = -2 a X 2 = 1.
Za predpokladu r 2 = 3 - X a r 1 = X 2 + 1, na základe vzorca, ktorý dostaneme
Vypočítajte plochu obsiahnutú v Bernoulliho lemniskáter 2 = a 2 cos 2 φ .
Riešenie.
V polárnom súradnicovom systéme je oblasť obrázku ohraničená oblúkom krivky r = f(φ ) a dva polárne polomery φ 1 = ʅ a φ 2 = ʆ , sa vyjadruje integrálom
Vzhľadom na symetriu krivky najprv určíme jednu štvrtinu požadovanej plochy
Celková plocha je teda S = a 2 .
Vypočítajte dĺžku oblúka astroideaX 2/3 + r 2/3 = a 2/3 .
Riešenie.
Rovnicu astroidea zapíšeme do tvaru
(X 1/3) 2 + (r 1/3) 2 = (a 1/3) 2 .
Položme X 1/3 = a 1/3 cos t, r 1/3 = a 1/3 hriechu t.
Odtiaľ získame parametrické rovnice astroidu
X = a pretože 3 t, r = a hriech 3 t, (*)
kde 0 ≤ t ≤ 2π .
Vzhľadom na symetriu krivky (*) stačí nájsť jednu štvrtinu dĺžky oblúka L zodpovedajúce zmene parametra t od 0 do π /2.
Dostaneme
dx = -3a pretože 2 t hriech t dt, D Y = 3a hriech 2 t cos t dt.
Odtiaľto nájdeme
Integrácia výsledného výrazu v rozsahu od 0 do π /2, dostaneme
Odtiaľ L = 6a.
Nájdite oblasť ohraničenú Archimedovou špirálour = aφ a dva polomerové vektory, ktoré zodpovedajú polárnym uhlomφ 1 aφ 2 (φ 1 < φ 2 ).
Riešenie.
Oblasť ohraničená krivkou r = f(φ ) sa vypočíta podľa vzorca , kde α a β - hranice zmeny polárneho uhla.
Tak dostaneme
(*)
Z (*) vyplýva, že oblasť ohraničená polárnou osou a prvým otočením Archimedovej špirály ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):
Podobne nájdeme oblasť ohraničenú polárnou osou a druhým otočením Archimedovej špirály ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):
Požadovaná plocha sa rovná rozdielu týchto plôch
Vypočítajte objem telesa získaného rotáciou okolo osiVôl postava ohraničená parabolamir = X 2 aX = r 2 .
Riešenie.
Poďme riešiť sústavu rovníc
a získať X 1 = 0, X 2 = 1, r 1 = 0, r 2 = 1, odkiaľ sú priesečníky kriviek O(0; 0), B(jedenásť). Ako je možné vidieť na obrázku, požadovaný objem rotačného telesa sa rovná rozdielu medzi dvoma objemami vytvorenými rotáciou okolo osi Vôl krivočiare lichobežníky OCBA a ODBA:
Vypočítajte plochu ohraničenú osouVôl a sínusoidar = hriechX na segmentoch: a); b) .
Riešenie.
a) Na segmente funkcia sin X zachováva znamienko, a teda podľa vzorca , za predpokladu r= hriech X, nájdeme
b) Na segmente , funkcia sin X znamenie zmien. Pre správne riešenie úlohy je potrebné rozdeliť segment na dva a [ π , 2π ], v každom z nich si funkcia zachováva svoje znamienko.
Podľa pravidla znakov na segmente [ π , 2π ] oblasť je označená znamienkom mínus.
V dôsledku toho sa požadovaná oblasť rovná
Určte objem telesa ohraničeného povrchom získaným rotáciou elipsyokolo hlavnej osia .
Riešenie.
Vzhľadom na to, že elipsa je symetrická podľa súradnicových osí, stačí nájsť objem vytvorený rotáciou okolo osi Vôl oblasť OAB rovná štvrtine plochy elipsy a zdvojnásobte výsledok.
Označme objem rotačného telesa cez V X; potom na základe vzorca máme , kde 0 a a- úsečka bodov B a A. Z rovnice elipsy nájdeme . Odtiaľ
Požadovaný objem sa teda rovná . (Keď sa elipsa otáča okolo vedľajšej osi b, objem tela je )
Nájdite oblasť ohraničenú parabolamir 2 = 2 px aX 2 = 2 py .
Riešenie.
Najprv nájdeme súradnice priesečníkov parabol, aby sme určili integračný interval. Transformáciou pôvodných rovníc získame a . Porovnaním týchto hodnôt dostaneme resp X 4 - 8p 3 X = 0.
X 4 - 8p 3 X = X(X 3 - 8p 3) = X(X - 2p)(X 2 + 2px + 4p 2) = 0.
Nájdeme korene rovníc:
Vzhľadom na skutočnosť, že bod A priesečník parabol je v prvej štvrtine, potom hranice integrácie X= 0 a X = 2p.
Požadovaná oblasť sa nájde podľa vzorca
Príklad 1 . Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú čiarami: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 a x = 2
Postavme postavu (pozri obr.) Postavíme priamku x + 2y - 4 \u003d 0 pozdĺž dvoch bodov A (4; 0) a B (0; 2). Vyjadrením y ako x dostaneme y \u003d -0,5x + 2. Podľa vzorca (1), kde f (x) \u003d -0,5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2 Nájsť
S \u003d \u003d [-0,25 \u003d 11,25 m2 Jednotky
Príklad 2 Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami: x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 a y \u003d 0.
Riešenie. Postavme si postavu.
Zostavme priamku x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).
Zostrojme priamku x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, С(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).
Nájdite priesečník priamok riešením sústavy rovníc:
x = 2, y = 3; M(2; 3).
Na výpočet potrebnej plochy rozdelíme trojuholník AMC na dva trojuholníky AMN a NMC, keďže pri zmene x z A na N je plocha ohraničená priamkou a pri zmene x z N na C ide o priamku.
Pre trojuholník AMN máme: ; y \u003d 0,5x + 2, t.j. f (x) \u003d 0,5x + 2, a \u003d - 4, b \u003d 2.
Pre trojuholník NMC platí: y = - x + 5, t.j. f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.
Výpočtom plochy každého z trojuholníkov a pridaním výsledkov zistíme:
štvorcových Jednotky
štvorcových Jednotky
9 + 4, 5 = 13,5 štvorcových. Jednotky Kontrola: = 0,5 AC = 0,5 štvorcových. Jednotky
Príklad 3 Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú čiarami: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.
V tomto prípade je potrebné vypočítať plochu krivočiareho lichobežníka ohraničeného parabolou y = x 2 , priamky x \u003d 2 a x \u003d 3 a os Ox (pozri obr.) Podľa vzorca (1) nájdeme oblasť krivočiareho lichobežníka
= = 6kv. Jednotky
Príklad 4 Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami: y \u003d - x 2 + 4 a y = 0
Postavme si postavu. Požadovaná oblasť je uzavretá medzi parabolou y \u003d - x 2 + 4 a os Oh.
Nájdite priesečníky paraboly s osou x. Za predpokladu, že y \u003d 0, nájdeme x \u003d Keďže toto číslo je symetrické okolo osi Oy, vypočítame plochu čísla umiestnenej napravo od osi Oy a výsledok zdvojnásobíme: \u003d + 4x] štvorcových Jednotky 2 = 2 štvorcových. Jednotky
Príklad 5 Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú čiarami: y 2 = x, yx = 1, x = 4
Tu je potrebné vypočítať plochu krivočiareho lichobežníka ohraničeného hornou vetvou paraboly y 2 \u003d x, os Ox a priame čiary x \u003d 1x \u003d 4 (pozri obr.)
Podľa vzorca (1), kde f(x) = a = 1 a b = 4, máme = (= štvorcových jednotiek
Príklad 6 . Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .
Požadovaná oblasť je ohraničená sínusoidou polovičnej vlny a osou Ox (pozri obr.).
Máme - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 metre štvorcových. Jednotky
Príklad 7 Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami: y \u003d - 6x, y \u003d 0 a x \u003d 4.
Obrázok sa nachádza pod osou Ox (pozri obr.).
Preto sa jeho plocha zistí podľa vzorca (3)
= =
Príklad 8 Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami: y \u003d a x \u003d 2. Krivku y \u003d zostavíme podľa bodov (pozri obrázok). Plocha obrázku sa teda nachádza podľa vzorca (4)
Príklad 9 .
X 2 + y 2 = r 2 .
Tu je potrebné vypočítať plochu ohraničenú kružnicou x 2 + y 2 = r 2 t.j. oblasť kruhu s polomerom r so stredom v počiatku. Nájdite štvrtú časť tejto oblasti, pričom hranice integrácie si vezmeme od 0
dor; máme: 1 = = [
v dôsledku toho 1 =
Príklad 10 Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami: y \u003d x 2 a y = 2x
Toto číslo je obmedzené parabolou y \u003d x 2 a priamka y \u003d 2x (pozri obr.) Na určenie priesečníkov daných čiar riešime sústavu rovníc: x 2 – 2x = 0 x = 0 a x = 2
Pomocou vzorca (5) na nájdenie oblasti získame
= }
