Vzťah 1 3 na prvom mieste. Vzťahy. Ako vypočítať pomer

Proporčný vzorec

Proporcia je rovnosť dvoch pomerov, keď a:b=c:d

pomer 1 : 10 sa rovná pomeru 7 : 70, ktorý možno zapísať aj zlomkom: 1 10 = 7 70 znie: "jedna je desiatka ako sedem je sedemdesiat"

Základné vlastnosti proporcie

Súčin extrémnych členov sa rovná súčinu stredných členov (krížovo): ak a:b=c:d , potom a⋅d=b⋅c

1 10 ✕ 7 70 1 ⋅ 70 = 10 ⋅ 7

Inverzia proporcií: ak a:b=c:d , potom b:a=d:c

1 10 7 70 10 1 = 70 7

Permutácia stredných členov: ak a:b=c:d , potom a:c=b:d

1 10 7 70 1 7 = 10 70

Permutácia extrémnych členov: ak a:b=c:d , potom d:b=c:a

1 10 7 70 70 10 = 7 1

Riešenie podielu s jednou neznámou | Rovnica

1 : 10 = X : 70 alebo 1 10 = X 70

Ak chcete nájsť x, musíte vynásobiť dve známe čísla krížom a vydeliť ich opačnou hodnotou

X = 1 ⋅ 70 10 = 7

Ako vypočítať pomer

Úloha: musíte vypiť 1 tabletu aktívneho uhlia na 10 kilogramov hmotnosti. Koľko tabliet sa má užiť, ak osoba váži 70 kg?

Urobme pomer: 1 tableta - 10 kg X tablety - 70 kg Ak chcete nájsť x, musíte vynásobiť dve známe čísla krížom a vydeliť opačnou hodnotou: 1 tableta X tablety✕ 10 kg 70 kg X = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 odpoveď: 7 tabliet

Úloha: Vasya napíše dva články za päť hodín. Koľko článkov napíše za 20 hodín?

Urobme pomer: 2 články - 5 hodín Xčlánky - 20 hodín X = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 odpoveď: 8 článkov

Budúcim maturantom môžem povedať, že schopnosť robiť proporcie mi prišla vhod ako pri proporcionálnom zmenšení obrázkov, tak v HTML rozložení webovej stránky a v bežných situáciách.

Pomer (v matematike) je vzťah medzi dvoma alebo viacerými číslami rovnakého druhu. Pomery porovnávajú absolútne hodnoty alebo časti celku. Pomery sa počítajú a píšu rôznymi spôsobmi, ale základné princípy sú pre všetky pomery rovnaké.

Kroky

Časť 1

Definícia pomerov

Použitie pomerov. Pomery sa používajú vo vede aj v každodennom živote na porovnávanie veličín. Najjednoduchšie pomery sa týkajú iba dvoch čísel, existujú však pomery, ktoré porovnávajú tri alebo viac hodnôt. V každej situácii, v ktorej je prítomných viac ako jedna veličina, možno napísať pomer. Prepojením niektorých hodnôt môžu pomery napríklad navrhnúť, ako zvýšiť množstvo prísad v recepte alebo látok v chemickej reakcii.

Definícia pomerov. Vzťah je vzťah medzi dvoma (alebo viacerými) hodnotami rovnakého druhu. Napríklad, ak koláč vyžaduje 2 šálky múky a 1 šálku cukru, potom je pomer múky k cukru 2:1.
- Pomery možno použiť aj vtedy, keď dve veličiny spolu nesúvisia (ako v príklade koláča). Ak je v triede napríklad 5 dievčat a 10 chlapcov, potom je pomer dievčat a chlapcov 5 ku 10. Tieto veličiny (počet chlapcov a počet dievčat) na sebe nezávisia, tzn. ich hodnoty sa zmenia, ak niekto opustí triedu alebo do triedy príde nový študent. Pomery jednoducho porovnávajú hodnoty veličín.
Všimnite si rôzne spôsoby znázornenia pomerov. Vzťahy môžu byť vyjadrené slovami alebo matematickými symbolmi.
- Veľmi často sú pomery vyjadrené slovami (ako je uvedené vyššie). Najmä táto forma znázornenia pomerov sa používa v každodennom živote, ďaleko od vedy.
- Pomery môžu byť tiež vyjadrené dvojbodkou. Pri porovnávaní dvoch čísel v pomere použijete jednu dvojbodku (napríklad 7:13); pri porovnávaní troch alebo viacerých hodnôt vložte dvojbodku medzi každú dvojicu čísel (napríklad 10:2:23). V našom triednom príklade by ste mohli vyjadriť pomer dievčat a chlapcov takto: 5 dievčat: 10 chlapcov. Alebo takto: 5:10.
- Menej často sa pomery vyjadrujú pomocou lomky. V triednom príklade by to mohlo byť napísané takto: 5/10. Napriek tomu to nie je zlomok a takýto pomer sa nečíta ako zlomok; navyše si pamätajte, že v pomere čísla nie sú súčasťou jedného celku.
Časť 2
Použitie pomerov
1. Zjednodušte pomer. Pomer možno zjednodušiť (podobne ako zlomky) vydelením každého člena (čísla) pomeru číslom . Nestrácajte však zo zreteľa pôvodné hodnoty pomerov.
  - V našom príklade je v triede 5 dievčat a 10 chlapcov; pomer je 5:10. Najväčší spoločný deliteľ členov pomeru je 5 (keďže 5 aj 10 sú deliteľné 5). Vydeľte každé pomerové číslo 5, aby ste dostali pomer 1 dievča k 2 chlapcom (alebo 1:2). Pri zjednodušovaní pomeru však majte na pamäti pôvodné hodnoty. V našom príklade nie sú v triede 3 žiaci, ale 15. Zjednodušený pomer porovnáva počet chlapcov a počet dievčat. To znamená, že na každé dievča pripadajú 2 chlapci, ale v triede nie sú 2 chlapci a 1 dievča.
  - Niektoré vzťahy nie sú zjednodušené. Napríklad pomer 3:56 nie je zjednodušený, pretože tieto čísla nemajú spoločných deliteľov (3 je prvočíslo a 56 nie je deliteľné 3).
2. Na zvýšenie alebo zníženie pomeru použite násobenie alebo delenie. Bežným problémom je zvýšenie alebo zníženie dvoch hodnôt, ktoré sú navzájom úmerné. Ak ste dostali pomer a potrebujete nájsť väčší alebo menší pomer, ktorý sa mu zhoduje, vynásobte alebo vydeľte pôvodný pomer nejakým daným číslom.
  - Napríklad pekár potrebuje strojnásobiť množstvo ingrediencií uvedených v recepte. Ak recept hovorí, že pomer múky a cukru je 2:1 (2:1), pekár vynásobí každý výraz 3, aby dostal pomer 6:3 (6 šálok múky na 3 šálky cukru).
  - Na druhej strane, ak pekár potrebuje rozdeliť ingrediencie uvedené v recepte na polovicu, pekár vydelí každý pomerový výraz 2 a získa pomer 1:½ (1 šálka múky na 1/2 šálky cukru).
3. Ak sú uvedené dva ekvivalentné pomery, vyhľadajte neznámu hodnotu. Toto je problém, v ktorom musíte nájsť neznámu premennú v jednom vzťahu pomocou druhého vzťahu, ktorý je ekvivalentný prvému. Na vyriešenie takýchto problémov použite . Napíšte každý pomer ako zlomok, vložte medzi ne znamienko rovnosti a krížovo vynásobte ich členy.
  - Napríklad daná skupina študentov, v ktorej sú 2 chlapci a 5 dievčat. Aký bude počet chlapcov, ak sa počet dievčat zvýši na 20 (podiel zostane zachovaný)? Najprv si zapíšte dva pomery – 2 chlapci:5 dievčat a X chlapci: 20 dievčat. Teraz napíšte tieto pomery ako zlomky: 2/5 a x/20. Vynásobte členy zlomkov krížom a dostanete 5x = 40; teda x = 40/5 = 8.
Časť 3
Bežné chyby
1. Vyhnite sa problémom sčítania a odčítania pri problémoch s pomerom textu. Mnohé slovné úlohy vyzerajú asi takto: „Recept vyžaduje 4 zemiakové hľuzy a 5 koreňových mrkiev. Ak chcete pridať 8 zemiakov, koľko mrkvy potrebujete, aby pomer zostal rovnaký?“ Pri riešení takýchto úloh žiaci často robia chybu, keď k pôvodnému počtu pridajú rovnaké množstvo ingrediencií. Aby ste však pomer dodržali, musíte použiť násobenie. Tu sú príklady správnych a nesprávnych riešení:
  - Nesprávne: „8 - 4 = 4 - preto sme pridali 4 hľuzy zemiakov. Takže musíte vziať 5 koreňov mrkvy a pridať k nim ďalšie 4 ... Stop! Pomery takto nefungujú. Oplatí sa to skúsiť znova."
  - Správne: „8 ÷ 4 = 2 – takže sme vynásobili počet zemiakov 2. Podľa toho je potrebné 2 vynásobiť aj 5 koreňov mrkvy. 5 x 2 = 10 - 10 koreňov mrkvy je potrebné pridať do receptu.“

Na vyriešenie väčšiny problémov zo stredoškolskej matematiky je potrebná znalosť proporcií. Táto jednoduchá zručnosť vám pomôže nielen vykonávať zložité cvičenia z učebnice, ale tiež sa ponoriť do samotnej podstaty matematickej vedy. Ako urobiť pomer? Teraz poďme na to prísť.

Najjednoduchším príkladom je problém, kde sú známe tri parametre a štvrtý sa musí nájsť. Pomery sú, samozrejme, rôzne, no často treba nájsť nejaké číslo podľa percent. Chlapec mal napríklad celkovo desať jabĺk. Štvrtú časť daroval svojej matke. Koľko jabĺk ostalo chlapcovi? Toto je najjednoduchší príklad, ktorý vám umožní vytvoriť proporciu. Hlavná vec je urobiť to. Jabĺk bolo pôvodne desať. Nech je to na 100%. Takto sme označili všetky jeho jablká. Dal jednu štvrtinu. 1/4 = 25/100. Zostalo mu teda: 100 % (pôvodne to bolo) – 25 % (dal) = 75 %. Tento obrázok ukazuje percento množstva zostávajúceho ovocia oproti množstvu ovocia, ktoré bolo k dispozícii ako prvé. Teraz máme tri čísla, pomocou ktorých už vieme vyriešiť pomer. 10 jabĺk - 100%, X jablká - 75 %, kde x je požadované množstvo ovocia. Ako urobiť pomer? Je potrebné pochopiť, čo to je. Matematicky to vyzerá takto. Znamienko rovnosti je pre vaše pochopenie.

10 jabĺk = 100 %;

x jablká = 75 %.

Ukazuje sa, že 10/x = 100 %/75. Toto je hlavná vlastnosť proporcií. Veď čím viac x, tým viac percent je toto číslo oproti originálu. Vyriešime tento podiel a dostaneme, že x=7,5 jabĺk. Prečo sa chlapec rozhodol dať neceločíselné množstvo, nevieme. Teraz viete, ako vytvoriť pomer. Hlavná vec je nájsť dva pomery, z ktorých jeden obsahuje požadovanú neznámu.

Riešenie podielu často vedie k jednoduchému násobeniu a následnému deleniu. Deti sa v školách neučia, prečo je to tak. Aj keď je dôležité pochopiť, že proporčné vzťahy sú matematickou klasikou, samotnou podstatou vedy. Ak chcete vyriešiť proporcie, musíte byť schopní zvládnuť zlomky. Často je napríklad potrebné previesť percentá na obyčajné zlomky. To znamená, že záznam 95 % nebude fungovať. A ak okamžite napíšete 95/100, môžete urobiť solídne zníženie bez toho, aby ste spustili hlavný počet. Okamžite stojí za to povedať, že ak sa váš podiel ukázal s dvoma neznámymi, potom to nemožno vyriešiť. Tu ti žiaden profesor nepomôže. A vaša úloha má s najväčšou pravdepodobnosťou zložitejší algoritmus pre správne akcie.

Zvážte ďalší príklad, kde neexistujú žiadne percentá. Motorista kúpil 5 litrov benzínu za 150 rubľov. Rozmýšľal, koľko by zaplatil za 30 litrov paliva. Na vyriešenie tohto problému označíme x požadované množstvo peňazí. Tento problém môžete vyriešiť sami a potom skontrolujte odpoveď. Ak ste ešte neprišli na to, ako vytvoriť proporciu, pozrite sa. 5 litrov benzínu je 150 rubľov. Rovnako ako v prvom príklade napíšme 5l - 150r. Teraz nájdime tretie číslo. Samozrejme, je to 30 litrov. Súhlaste s tým, že v tejto situácii je vhodný pár 30 l - x rubľov. Prejdime k matematickému jazyku.

5 litrov - 150 rubľov;

30 litrov - x rubľov;

Riešime tento pomer:

x = 900 rubľov.

Tak sme sa rozhodli. Vo svojej úlohe nezabudnite skontrolovať primeranosť odpovede. Stáva sa, že pri nesprávnom rozhodnutí autá dosahujú neskutočnú rýchlosť 5000 kilometrov za hodinu a podobne. Teraz viete, ako vytvoriť pomer. Môžete to tiež vyriešiť. Ako vidíte, v tomto nie je nič zložité.

základ matematický výskum je schopnosť získať poznatky o určitých veličinách ich porovnaním s inými veličinami, ktoré sú buď rovný, alebo viac alebo menej než tie, ktoré sú predmetom štúdie. Zvyčajne sa to robí pomocou série rovnice a proporcie. Keď použijeme rovnice, hľadanú veličinu určíme jej nájdením rovnosť s nejakým iným už známym množstvom alebo množstvami.

Často sa však stáva, že porovnávame neznámu veličinu s inými, ktoré nerovná sa ona, ale viac-menej z nej. Tu potrebujeme iný prístup k spracovaniu údajov. Možno budeme potrebovať vedieť napr. koľko jedna hodnota je väčšia ako druhá, príp koľko krát jedno obsahuje druhé. Aby sme našli odpovede na tieto otázky, zistíme, čo je pomer dve veľkosti. Jeden pomer je tzv aritmetika, a ďalší geometrický. Aj keď stojí za zmienku, že oba tieto pojmy neboli prijaté náhodou alebo len pre rozlíšenie. Aritmetické aj geometrické vzťahy platia pre aritmetiku aj geometriu.

Keďže proporcia je súčasťou rozsiahleho a dôležitého predmetu, závisí od pomerov, takže je potrebné jasné a úplné pochopenie týchto pojmov.

338. Aritmetický pomer toto je rozdielmedzi dvoma veličinami alebo radom veličín. Samotné množstvá sú tzv členov pomery, teda pojmy, medzi ktorými existuje pomer. 2 je teda aritmetický pomer 5 a 3. Vyjadruje sa to umiestnením znamienka medzi tieto dve hodnoty, teda 5 - 3. Samozrejme, že pojem aritmetický pomer a jeho rozpis je prakticky zbytočný, keďže iba nahradenie slova vyskytuje rozdiel na znamienko mínus vo výraze.

339. Ak sú obaja členovia aritmetického vzťahu množiť alebo rozdeliť o rovnakú sumu teda pomer, sa nakoniec vynásobí alebo vydelí touto sumou.
Ak teda máme a - b = r
Potom vynásobte obe strany h , (Ax. 3.) ha - hb = hr
A delenie h, (Os. 4.) $\frac(a)(h)-\frac(b)(h)=\frac(r)(h)$

340. Ak sa členy aritmetického pomeru pripočítajú alebo odčítajú od zodpovedajúcich členov iného, potom sa pomer súčtu alebo rozdielu bude rovnať súčtu alebo rozdielu týchto dvoch pomerov.
Ak a - b
A d-h
sú dva pomery,
Potom (a + d) - (b + h) = (a - b) + (d - h). Čo v každom prípade = a + d - b - h.
A (a - d) - (b - h) = (a - b) - (d - h). Čo v každom prípade = a - d - b + h.
Takže aritmetický pomer 11 - 4 je 7
A aritmetický pomer 5 - 2 je 3
Pomer súčtu členov 16 - 6 je 10,- súčet pomerov.
Pomer rozdielu členov 6 - 2 je 4,- rozdiel pomerov.

341. geometrický pomer je vzťah medzi veličinami, ktorý je vyjadrený SÚKROMNÉ ak je jedna hodnota delená druhou.
Takže pomer 8 ku 4 možno zapísať ako 8/4 alebo 2. To znamená, že podiel 8 delený 4. Inými slovami, ukazuje, koľkokrát je 4 obsiahnutých v 8.

Rovnakým spôsobom je možné určiť pomer akejkoľvek veličiny k inej tak, že prvé vydelíme druhým, alebo, čo je v podstate to isté, urobíme z prvého čitateľa zlomku a z druhého menovateľa.
Takže pomer a k b je $\frac(a)(b)$
Pomer d + h k b + c je $\frac(d+h)(b+c)$.

342. Geometrický pomer sa zapisuje aj umiestnením dvoch bodov nad sebou medzi porovnávané hodnoty.
Takže a:b je pomer a ku b a 12:4 je pomer 12 ku 4. Tieto dve veličiny spolu tvoria pár, v ktorej je prvý termín tzv predchodca, a posledný je následný.

343. Tento bodkovaný zápis a druhý vo forme zlomku sú podľa potreby zameniteľné, pričom predchodca sa stáva čitateľom zlomku a následný menovateľom.
Takže 10:5 je to isté ako $\frac(10)(5)$ a b:d je to isté ako $\frac(b)(d)$.

344. Ak je daný niektorý z týchto troch významov: antecedent, dôsledok a vzťah dva, potom možno nájsť tretieho.

Nech a= antecedent, c= dôsledok, r= pomer.
Podľa definície $r=\frac(a)(c)$, to znamená, že pomer sa rovná predchádzajúcemu deleniu následkom.
Vynásobením c, a = cr, to znamená, že predchodca sa rovná následným násobkom pomeru.
Vydeľte r, $c=\frac(a)(r)$, to znamená, že dôsledok sa rovná predchodcovi vydelenému pomerom.

Resp. 1. Ak majú dva páry rovnaký predchodca a následok, potom sú aj ich pomery rovnaké.

Resp. 2. Ak sú pomery a antecedenty dvoch párov rovnaké, potom sú dôsledky rovnaké, a ak sú pomery a dôsledky rovnaké, potom sú antecedenty rovnaké.

345. Ak sa porovnávajú dve veličiny rovný, potom sa ich pomer rovná jednote alebo rovnosti. Pomer 3 * 6:18 sa rovná jednej, pretože podiel ľubovoľnej hodnoty vydelený sebou samým sa rovná 1.

Ak predchodca páru viac, ako dôsledok, potom je pomer väčší ako jedna. Keďže dividenda je väčšia ako deliteľ, kvocient je väčší ako jedna. Takže pomer 18:6 je 3. Toto sa nazýva pomer väčšia nerovnosť.

Na druhej strane, ak predchodca menej ako dôsledok, potom je pomer menší ako jedna a nazýva sa to pomer menšia nerovnosť. Takže pomer 2:3 je menší ako jedna, pretože dividenda je menšia ako deliteľ.

346. Obrátené pomer je pomer dvoch recipročných.
Takže pomer prevrátenej hodnoty 6 k 3 je k, teda:.
Priamy vzťah a k b je $\frac(a)(b)$, teda predchodca delený následkom.
Inverzný vzťah je $\frac(1)(a)$:$\frac(1)(b)$ alebo $\frac(1)(a).\frac(b)(1)=\frac(b) (a) $.
to znamená, že kosekvencia b delená predchodcom a.

Preto je vyjadrený inverzný vzťah prevrátením zlomku, ktorý zobrazuje priamy vzťah, alebo ak sa zápis vykonáva pomocou bodiek, obrátenie poradia písaných členov.
A teda súvisí s b opačným spôsobom ako b súvisí s a.

347. Komplexný pomer tento pomer Tvorba zodpovedajúce výrazy s dvoma alebo viacerými jednoduchými vzťahmi.
Takže pomer je 6:3, čo sa rovná 2
A pomer 12:4 sa rovná 3
Pomer zložený z nich je 72:12 = 6.

Tu sa získa komplexný vzťah vynásobením dvoch predchodcov a tiež dvoch následkov jednoduchých vzťahov.
Takže pomer sa skladá
Z pomeru a:b
A pomery c:d
a pomer h:y
Toto je pomer $ach:bdy=\frac(ach)(bdy)$.
Komplexný vzťah sa vo svojej podstate nelíši prírody z akéhokoľvek iného pomeru. Tento výraz sa v určitých prípadoch používa na označenie pôvodu vzťahu.

Resp. Komplexný pomer sa rovná súčinu jednoduchých pomerov.
Pomer a:b sa rovná $\frac(a)(b)$
Pomer c:d sa rovná $\frac(c)(d)$
Pomer h:y sa rovná $\frac(h)(y)$
A pridaný pomer týchto troch bude ach/bdy, čo je súčin zlomkov, ktoré vyjadrujú jednoduché pomery.

348. Ak v postupnosti vzťahov v každej predchádzajúcej dvojici je dôsledok predchodcom nasledujúceho, potom pomer prvého predchodcu a posledného následku sa rovná pomeru získanému z medziľahlých pomerov.
Takže v niekoľkých pomeroch
a:b
b:c
c:d
d:h
pomer a:h sa rovná pomeru sčítanému z pomerov a:bab:c a c:d a d:h. Takže komplexný vzťah v poslednom článku je $\frac(abcd)(bcdh)=\frac(a)(h)$ alebo a:h.

Rovnakým spôsobom všetky veličiny, ktoré sú predchodcami aj následkami zmizne, keď sa súčin zlomkov zjednoduší na svoje nižšie členy a vo zvyšku bude komplexný vzťah vyjadrený prvým antecedentom a posledným následkom.

349. Špeciálnu triedu komplexných vzťahov získame vynásobením jednoduchého vzťahu o sám alebo inému rovný pomer. Tieto pomery sa nazývajú dvojitý, trojitý, štvornásobný, a tak ďalej, podľa počtu násobení.

Pomer tvorený dva rovnaké proporcie, tj. námestie dvojitý pomer.

Tvorené tri, teda kocka jednoduchý pomer sa nazýva trojitý, a tak ďalej.

Podobne aj pomer odmocniny dve veličiny sa nazývajú pomer odmocnina a pomer kockové korene- pomer koreň kocky, a tak ďalej.
Takže jednoduchý pomer a k b je a:b
Dvojitý pomer a k b je a 2:b 2
Trojitý pomer a k b je a 3:b 3
Pomer druhej odmocniny a k b je √a :√b
Pomer tretej odmocniny a k b je 3 √a : 3 √b atď.
Podmienky dvojitý, trojitý, a tak ďalej nie je potrebné miešať zdvojnásobil, strojnásobil, a tak ďalej.
Pomer 6:2 je 6:2 = 3
Ak tento pomer zdvojnásobíme, teda pomer dvakrát, dostaneme 12:2 = 6
Tento pomer strojnásobíme, teda tento pomer trikrát, dostaneme 18: 2 = 9
ALE dvojitý pomer, tj námestie pomer je 6 2:2 2 = 9
A trojitý pomer, teda tretia mocnina pomeru, je 6 3:2 3 = 27

350. Aby boli veličiny navzájom korelované, musia byť rovnakého druhu, aby sa dalo s istotou povedať, či sú si navzájom rovné, alebo či je jedna z nich väčšia alebo menšia. Noha je na palec ako 12 ku 1: je 12-krát väčšia ako palec. Ale nemožno napríklad povedať, že hodina je dlhšia alebo kratšia ako palica alebo aker je väčší alebo menší ako stupeň. Ak sú však tieto hodnoty vyjadrené v čísla, potom môže existovať vzťah medzi týmito číslami. To znamená, že môže existovať vzťah medzi počtom minút za hodinu a počtom krokov v míli.

351. Obraciam sa na prírody pomery, ďalším krokom, ktorý musíme vziať do úvahy, je, ako zmena jedného alebo dvoch pojmov, ktoré sa navzájom porovnávajú, ovplyvní samotný pomer. Pripomeňme, že priama úmera je vyjadrená ako zlomok, kde antecedet páry sú vždy čitateľ, a následné - menovateľ. Potom bude ľahké získať z vlastnosti zlomkov, že zmeny v pomere nastávajú zmenou porovnávaných veličín. Pomer dvoch veličín je rovnaký ako význam zlomky, z ktorých každý predstavuje súkromné: čitateľ delený menovateľom. (Čl. 341.) Teraz sa ukázalo, že násobenie čitateľa zlomku akoukoľvek hodnotou je to isté ako násobenie význam rovnakým množstvom a že delenie čitateľa je rovnaké ako delenie hodnôt zlomku. Preto,

352. Vynásobiť predchodcu páru akoukoľvek hodnotou znamená vynásobiť pomery touto hodnotou a vydeliť predchodcu znamená vydeliť tento pomer.
Takže pomer 6:2 je 3
A pomer 24:2 je 12.
Tu je predchodca a pomer v poslednom páre 4-krát väčší ako v prvom.
Vzťah a:b sa rovná $\frac(a)(b)$
A vzťah na:b sa rovná $\frac(na)(b)$.

Resp. So známym následkom tým viac predchodca, viac pomer a naopak, čím väčší pomer, tým väčší predchodca.

353. Vynásobením následku páru ľubovoľnou hodnotou získame delenie pomeru touto hodnotou a vydelením následku vynásobíme pomer. Vynásobením menovateľa zlomku delíme hodnotu a delením menovateľa sa hodnota násobí.
Takže pomer 12:2 je 6
A pomer 12:4 je 3.
Tu je výsledok druhého páru v dvakrát viac, ale pomer dvakrát menej ako prvý.
Pomer a:b je $\frac(a)(b)$
A pomer a:nb sa rovná $\frac(a)(nb)$.

Resp. Pre daný predchodca platí, že čím väčší je dôsledok, tým menší je pomer. A naopak, čím väčší pomer, tým menší dôsledok.

354. Z posledných dvoch článkov vyplýva, že predchodca násobenia párov ľubovoľnou hodnotou bude mať rovnaký vplyv na pomer ako delenie dôsled o túto sumu a predchádzajúce rozdelenie, bude mať rovnaký účinok ako následné násobenie.
Takže pomer 8:4 je 2
Po vynásobení predchodcu 2 je pomer 16:4 4
Po vydelení predchodcu 2 je pomer 8:2 4.

Resp. akýkoľvek faktor alebo rozdeľovač možno preniesť z predchádzajúceho páru na dôsledok alebo z dôsledku na antecedent bez zmeny vzťahu.

Stojí za zmienku, že keď sa faktor takto prenesie z jedného člena do druhého, stane sa deliteľom a prenesený deliteľ sa stane faktorom.
Takže pomer je 3,6:9 = 2
Posunutím faktora 3, $6:\frac(9)(3)=2$
rovnaký pomer.

Vzťah $\frac(ma)(y):b=\frac(ma)(by)$
Presun y $ma:by=\frac(ma)(o)$
Pohybujúce sa m, a:$a:\frac(m)(o)=\frac(ma)(o)$.

355. Ako je zrejmé z článkov. 352 a 353, ak sú predchodca aj dôsledok vynásobené alebo delené rovnakou sumou, potom sa pomer nemení.

Resp. 1. Pomer dvoch zlomky, ktoré majú spoločného menovateľa, rovnakého ako pomer ich čitateľov.
Pomer a/n:b/n je teda rovnaký ako a:b.

Resp. 2. priamy pomer dvoch zlomkov, ktoré majú spoločného čitateľa, sa rovná ich vzájomnému pomeru menovateľov.

356. Je ľahké určiť pomer dvoch ľubovoľných zlomkov z článku. Ak je každý člen vynásobený dvoma menovateľmi, potom bude pomer daný integrálnymi výrazmi. Vynásobením členov páru a/b:c/d bd teda dostaneme $\frac(abd)(b)$:$\frac(bcd)(d)$, ktorý sa zmenšením zmení na ad:bc celkové hodnoty z čitateľov a menovateľov.

356 b. Pomer väčšia nerovnosť zvyšuje jeho
Nech je väčší pomer nerovností daný ako 1+n:1
A akýkoľvek pomer a:b
Komplexný pomer bude (čl. 347) a + na:b
Čo je väčšie ako pomer a:b (článok 351 resp.)
Ale pomer menšia nerovnosť, pridaný s iným pomerom, znižuje jeho.
Nech je pomer menšieho rozdielu 1-n:1
Akýkoľvek daný pomer a:b
Komplexný pomer a - na:b
Čo je menej ako a:b.

357. Ak do alebo z členov akéhokoľvek párupridať alebo odčítajte dve ďalšie množstvá, ktoré sú v rovnakom pomere, potom budú mať súčty alebo zvyšky rovnaký pomer.
Nech je pomer a:b
Bude to rovnaké ako c:d
Potom vzťah sumy antecedentov k súčtu následkov, a to a + c až b + d, je tiež rovnaký.
To znamená, $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.

Dôkaz.

1. Podľa predpokladu $\frac(a)(b)$ = $\frac(c)(d)$
2. Vynásobte b a d, ad = bc
3. Pridajte cd na obe strany, ad + cd = bc + cd
4. Vydeľte d, $a+c=\frac(bc+cd)(d)$
5. Vydeľte b + d, $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.

Pomer rozdiel predchodcovia k rozdielu dôsledkov sú tiež rovnaké.

358. Ak sú pomery vo viacerých pároch rovnaké, potom súčet všetkých predchodcov je súčtom všetkých následkov ako každý predchodca k svojmu následku.
Teda pomer
|12:6 = 2
|10:5 = 2
|8:4 = 2
|6:3 = 2
Teda pomer (12 + 10 + 8 + 6): (6 + 5 + 4 + 3) = 2.

358b. Pomer väčšia nerovnosťklesá, pridávajúc rovnaké množstvo obom členom.
Nech daný vzťah a+b:a alebo $\frac(a+b)(a)$
Pridaním x k obom členom dostaneme a+b+x:a+x alebo $\frac(a+b)(a)$.

Prvý sa zmení na $\frac(a^2+ab+ax+bx)(a(a+x))$
A posledný je $\frac(a^2+ab+ax)(a(a+x))$.
Keďže posledný čitateľ je zjavne menší ako druhý pomer by malo byť menej. (článok 351 resp.)

Ale pomer menšia nerovnosť zvyšuje, pričom k obom výrazom sa pridá rovnaká hodnota.
Nech je daný vzťah (a-b):a, alebo $\frac(a-b)(a)$.
Pridaním x k obom výrazom sa zmení na (a-b+x):(a+x) alebo $\frac(a-b+x)(a+x)$
Priviesť ich k spoločnému menovateľovi,
Prvý sa zmení na $\frac(a^2-ab+ax-bx)(a(a+x))$
A posledný, $\frac(a^2-ab+ax)(a(a+x)).\frac((a^2-ab+ax))(a(a+x))$.

Pretože posledný čitateľ je väčší ako druhý pomer viac.
Ak namiesto pridania rovnakej hodnoty zobrať z dvoch termínov je zrejmé, že vplyv na pomer bude opačný.

Príklady.

1. Čo je väčšie: pomer 11:9 alebo 44:35?

2. Čo je väčšie: pomer $(a+3):\frac(a)(6)$ alebo pomer $(2a+7):\frac(a)(3)$?

3. Ak je predchodca páru 65 a pomer je 13, aký je výsledok?

4. Ak je dôsledok dvojice 7 a pomer je 18, aký je predchádzajúci?

5. Ako vyzerá komplexný pomer zložený z 8:7 a 2a:5b a tiež (7x+1):(3y-2)?

6. Ako vyzerá komplexný pomer zložený z (x + y): b, a (x-y): (a + b) a tiež (a + b): h? Rep. (x 2 - y 2): bh.

7. Ak vzťahy (5x+7):(2x-3) a $(x+2):\vľavo(\frac(x)(2)+3\vpravo)$ tvoria komplexný vzťah, aký vzťah dostanete: väčšiu či menšiu nerovnosť? Rep. Pomer väčšej nerovnosti.

8. Aký je pomer (x + y):a a (x - y):b a $b:\frac(x^2-y^2)(a)$? Rep. Pomer rovnosti.

9. Aký je pomer 7:5 a dvojnásobok 4:9 a trojnásobok 3:2?
Rep. 14:15.

10. Aký je pomer 3:7 a trojnásobný pomer x:y a extrahovanie koreňa z pomeru 49:9?
Rep. x3:y3.

Vzťah je určitý vzťah medzi entitami nášho sveta. Môžu to byť čísla, fyzikálne veličiny, predmety, produkty, javy, akcie a dokonca aj ľudia.

V bežnom živote, keď príde reč na pomery, hovoríme "pomer toho a toho". Napríklad, ak sú vo váze 4 jablká a 2 hrušky, potom povieme pomer jablka k hruške pomer hrušky k jablku.

V matematike sa pomer často používa ako "vzťah niečoho k niečomu". Napríklad pomer štyroch jabĺk a dvoch hrušiek, ktorý sme uvažovali vyššie, v matematike budeme čítať ako "pomer štyroch jabĺk k dvom hruškám" alebo ak vymeníte jablká a hrušky, tak "pomer dvoch hrušiek k štyrom jablkám".

Pomer je vyjadrený ako a do b(kde namiesto a a bľubovoľné čísla), ale častejšie môžete nájsť položku, ktorá sa skladá pomocou dvojbodky ako a:b. Tento záznam si môžete prečítať rôznymi spôsobmi:

a do b
a odkazuje na b
postoj a do b

Pomer štyroch jabĺk a dvoch hrušiek zapíšeme pomocou symbolu pomeru:

4: 2

Ak vymeníme jablká a hrušky, potom budeme mať pomer 2: 4. Tento pomer možno čítať ako "dva až štyri" alebo buď "dve hrušky sa rovnajú štyrom jablkám" .

V nasledujúcom texte budeme vzťah označovať ako vzťah.

Obsah lekcie

Čo je to postoj?

Vzťah, ako už bolo spomenuté, sa píše ako a:b. Dá sa zapísať aj zlomkom. A vieme, že takýto záznam v matematike znamená delenie. Potom výsledkom vzťahu bude kvocient čísel a a b.

V matematike je pomer podielom dvoch čísel.

Pomer vám umožňuje zistiť, koľko jednej entity pripadá na jednotku inej. Vráťme sa k pomeru štyri jablká k dvom hruškám (4:2). Tento pomer nám umožní zistiť, koľko jabĺk pripadá na jednotku hrušky. Jednotka znamená jednu hrušku. Najprv napíšme pomer 4:2 ako zlomok:

Tento pomer je delenie čísla 4 číslom 2. Ak toto delenie vykonáme, dostaneme odpoveď na otázku, koľko jabĺk pripadá na jednotku hrušky

Dostali sme 2. Takže štyri jablká a dve hrušky (4:2) sú korelované (vzájomne prepojené), takže na hrušku pripadajú dve jablká

Obrázok ukazuje, ako spolu súvisia štyri jablká a dve hrušky. Je vidieť, že na každú hrušku pripadajú dve jablká.

Vzťah je možné zvrátiť zápisom ako . Potom dostaneme pomer dvoch hrušiek a štyroch jabĺk alebo „pomer dvoch hrušiek k štyrom jablkám“. Tento pomer ukáže, koľko hrušiek pripadá na jednotku jablka. Jednotka jablka znamená jedno jablko.

Ak chcete nájsť hodnotu zlomku, musíte si pamätať, ako rozdeliť menšie číslo väčším.

Dostal 0,5. Skonvertujme tento desatinný zlomok na obyčajný:

Znížte výsledný obyčajný zlomok o 5

Dostal som odpoveď (pol hrušky). Takže dve hrušky a štyri jablká (2: 4) sú korelované (vzájomne prepojené), takže jedno jablko predstavuje polovicu hrušky

Obrázok ukazuje, ako spolu súvisia dve hrušky a štyri jablká. Je vidieť, že na každé jablko pripadá polovica hrušky.

Čísla, ktoré tvoria vzťah, sa nazývajú členov vzťahu. Napríklad vo vzťahu 4:2 sú členmi čísla 4 a 2.

Zvážte ďalšie príklady vzťahov. Na prípravu niečoho sa robí recept. Recept je zostavený z pomerov medzi produktmi. Napríklad príprava ovsených vločiek zvyčajne vyžaduje pohár cereálií a dva poháre mlieka alebo vody. Výsledkom je pomer 1:2 („jeden ku dvom“ alebo „jeden pohár cereálií k dvom pohárom mlieka“).

Prevedieme pomer 1: 2 na zlomok, dostaneme. Výpočtom tohto zlomku dostaneme 0,5. To znamená, že jeden pohár cereálií a dva poháre mlieka sú korelované (vzájomne korelované), takže na jeden pohár mlieka pripadá pol pohára cereálií.

Ak otočíte pomer 1:2, dostanete pomer 2:1 („dva ku jednej“ alebo „dva poháre mlieka k jednému poháru cereálií“). Prevedením pomeru 2:1 na zlomok dostaneme. Výpočtom tohto zlomku dostaneme 2. Takže dva poháre mlieka a jeden pohár cereálií spolu súvisia (korelujú), takže na jeden pohár cereálií pripadajú dva poháre mlieka.

Príklad 2 V triede je 15 žiakov. Z toho je 5 chlapcov, 10 dievčat. Je možné zapísať pomer dievčat a chlapcov 10:5 a tento pomer previesť na zlomok. Pri výpočte tohto zlomku dostaneme 2. To znamená, že dievčatá a chlapci sú vo vzájomnom príbuzenskom vzťahu, takže na každého chlapca pripadajú dve dievčatá.

Obrázok ukazuje, aký vzťah k sebe majú desať dievčat a päť chlapcov. Je vidieť, že na každého chlapca pripadajú dve dievčatá.

Nie je vždy možné previesť pomer na zlomok a nájsť kvocient. V niektorých prípadoch to bude nelogické.

Ak teda otočíte pomer hore nohami, a toto je pomer chlapcov a dievčat. Ak vypočítate tento zlomok, dostanete 0,5. Ukázalo sa, že päť chlapcov je príbuzných s desiatimi dievčatami, takže na každé dievča pripadá polovica chlapca. Matematicky je to samozrejme pravda, ale z pohľadu reality to nie je celkom rozumné, pretože chlapec je živý človek a nemožno ho jednoducho vziať a rozdeliť ako hrušku alebo jablko.

Schopnosť vybudovať si správny postoj je dôležitou zručnosťou pri riešení problémov. Takže vo fyzike je pomer prejdenej vzdialenosti k času rýchlosťou pohybu.

Vzdialenosť je označená premennou S, čas - cez premennú t, rýchlosť - cez premennú v. Potom fráza "pomer prejdenej vzdialenosti k času je rýchlosť pohybu" bude opísaná nasledujúcim výrazom:

Predpokladajme, že auto prejde 100 kilometrov za 2 hodiny. Potom pomer 100 prejdených kilometrov k 2 hodinám bude rýchlosť auta:

Rýchlosť je vzdialenosť, ktorú telo prejde za jednotku času. Jednotkou času je 1 hodina, 1 minúta alebo 1 sekunda. A pomer, ako už bolo spomenuté, vám umožňuje zistiť, koľko jednej entity pripadá na jednotku inej. V našom príklade pomer sto kilometrov k dvom hodinám ukazuje, koľko kilometrov pripadá na jednu hodinu pohybu. Vidíme, že na každú hodinu pohybu pripadá 50 kilometrov

Rýchlosť sa teda meria v km/h, m/min, m/s. Symbol zlomku (/) označuje pomer vzdialenosti k času: kilometrov za hodinu , metrov za minútu a metrov za sekundu resp.

Príklad 2. Pomer hodnoty statku k jeho množstvu je cena jednej jednotky statku.

Ak sme v obchode vzali 5 čokoládových tyčiniek a ich celková cena bola 100 rubľov, potom môžeme určiť cenu jednej tyčinky. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť pomer sto rubľov k počtu tyčí. Potom dostaneme, že jeden pruh predstavuje 20 rubľov

Porovnanie hodnôt

Už skôr sme sa dozvedeli, že pomer medzi množstvami rôzneho charakteru tvorí novú veličinu. Pomer prejdenej vzdialenosti k času je teda rýchlosť pohybu. Pomer hodnoty statku k jeho množstvu je cena jednej jednotky statku.

Ale pomer sa dá použiť aj na porovnanie hodnôt. Výsledkom takéhoto vzťahu je číslo, ktoré ukazuje, koľkokrát je prvá hodnota väčšia ako druhá, alebo aká časť je prvá hodnota od druhej.

Ak chcete zistiť, koľkokrát je prvá hodnota väčšia ako druhá, musíte napísať väčšiu hodnotu do čitateľa pomeru a menšiu hodnotu do menovateľa.

Ak chcete zistiť, v ktorej časti je prvá hodnota od druhej, musíte do čitateľa pomeru napísať menšiu hodnotu a do menovateľa väčšiu hodnotu.

Uvažujme čísla 20 a 2. Zistime, koľkokrát je číslo 20 väčšie ako číslo 2. Aby sme to urobili, nájdeme pomer čísla 20 k číslu 2. Do čitateľa pomeru napíšme číslo 20 a číslo 2 v menovateli

Hodnota tohto pomeru je desať

Pomer čísla 20 k číslu 2 je číslo 10. Toto číslo ukazuje, koľkokrát je číslo 20 väčšie ako číslo 2. Takže číslo 20 je desaťkrát väčšie ako číslo 2.

Príklad 2 V triede je 15 žiakov. Z toho 5 chlapcov, 10 dievčat. Zistite, koľkokrát je viac dievčat ako chlapcov.

Napíšte postoj dievčat k chlapcom. Do čitateľa pomeru napíšeme počet dievčat, do menovateľa pomeru - počet chlapcov:

Hodnota tohto pomeru je 2. Znamená to, že v triede 15 žiakov je dvakrát viac dievčat ako chlapcov.

Už tu nie je otázka, koľko dievčat pripadá na jedného chlapca. V tomto prípade sa pomer používa na porovnanie počtu dievčat s počtom chlapcov.

Príklad 3. Aká časť čísla 2 je z čísla 20.

Nájdeme pomer čísla 2 k číslu 20. V čitateli pomeru napíšeme číslo 2 a v menovateli - číslo 20

Aby ste našli význam tohto vzťahu, musíte si pamätať,

Hodnota pomeru čísla 2 k číslu 20 je číslo 0,1

V tomto prípade možno desatinný zlomok 0,1 previesť na obyčajný. Táto odpoveď bude zrozumiteľnejšia:

Takže číslo 2 z čísla 20 je jedna desatina.

Môžete urobiť kontrolu. Aby sme to urobili, nájdeme od čísla 20. Ak sme urobili všetko správne, mali by sme dostať číslo 2

20: 10 = 2

2 x 1 = 2

Dostali sme číslo 2. Takže jedna desatina čísla 20 je číslo 2. Z toho usudzujeme, že problém bol vyriešený správne.

Príklad 4 V triede je 15 ľudí. Z toho 5 chlapcov, 10 dievčat. Určte, aký podiel z celkového počtu žiakov tvoria chlapci.

Zapisujeme si pomer chlapcov k celkovému počtu žiakov. Do čitateľa pomeru napíšeme päť chlapcov, do menovateľa celkový počet školákov. Celkový počet školákov je 5 chlapcov plus 10 dievčat, preto do menovateľa pomeru napíšeme číslo 15.

Ak chcete zistiť hodnotu tohto pomeru, musíte si zapamätať, ako rozdeliť menšie číslo väčším. V tomto prípade musí byť číslo 5 vydelené číslom 15

Keď vydelíte 5 číslom 15, dostanete periodický zlomok. Premeňme tento zlomok na obyčajný

Dostal konečnú odpoveď. Chlapci teda tvoria jednu tretinu celej triedy

Obrázok ukazuje, že v triede s 15 žiakmi je tretina triedy 5 chlapcov.

Ak na overenie nájdeme od 15 školákov, tak dostaneme 5 chlapcov

15: 3 = 5

5 x 1 = 5

Príklad 5 Koľkokrát je číslo 35 väčšie ako číslo 5?

Píšeme pomer čísla 35 k číslu 5. Do čitateľa pomeru je potrebné napísať číslo 35, do menovateľa - číslo 5, ale nie naopak

Hodnota tohto pomeru je 7. Takže číslo 35 je sedemkrát väčšie ako číslo 5.

Príklad 6 V triede je 15 ľudí. Z toho 5 chlapcov, 10 dievčat. Určte, aký podiel z celkového počtu tvoria dievčatá.

Zapisujeme si pomer dievčat k celkovému počtu žiakov. Do čitateľa pomeru zapíšeme desať dievčat, do menovateľa celkový počet školákov. Celkový počet školákov je 5 chlapcov plus 10 dievčat, preto do menovateľa pomeru napíšeme číslo 15.

Ak chcete zistiť hodnotu tohto pomeru, musíte si zapamätať, ako rozdeliť menšie číslo väčším. V tomto prípade musí byť číslo 10 vydelené číslom 15

Keď vydelíte 10 číslom 15, dostanete periodický zlomok. Premeňme tento zlomok na obyčajný

Znížime výsledný zlomok o 3

Dostal konečnú odpoveď. Dievčatá teda tvoria dve tretiny celej triedy

Obrázok ukazuje, že v triede s 15 žiakmi sú dve tretiny triedy 10 dievčat.

Ak na overenie nájdeme od 15 školákov, dostaneme 10 dievčat

15: 3 = 5

5 x 2 = 10

Príklad 7 Aká časť 10 cm je 25 cm

Zapíšte si pomer desať centimetrov k dvadsiatim piatim centimetrom. V čitateli pomeru píšeme 10 cm, v menovateli - 25 cm

Ak chcete zistiť hodnotu tohto pomeru, musíte si zapamätať, ako rozdeliť menšie číslo väčším. V tomto prípade musí byť číslo 10 vydelené číslom 25

Výsledný desatinný zlomok prevedieme na obyčajný

Znížime výsledný zlomok o 2

Dostal konečnú odpoveď. Takže 10 cm je 25 cm.

Príklad 8 Koľkokrát je 25 cm väčšie ako 10 cm

Zapíšte si pomer dvadsaťpäť centimetrov k desiatim centimetrom. V čitateli pomeru píšeme 25 cm, v menovateli - 10 cm

Odpoveď som dostal 2.5. Takže 25 cm je 2,5 krát viac ako 10 cm (dva a pol krát)

Dôležitá poznámka. Pri zisťovaní pomeru rovnakých fyzikálnych veličín musia byť tieto veličiny vyjadrené v jednej mernej jednotke, inak bude odpoveď nesprávna.

Napríklad, ak máme čo do činenia s dvoma dĺžkami a chceme vedieť, koľkokrát je prvá dĺžka väčšia ako druhá, alebo aká časť je prvá dĺžka od druhej, potom musia byť obidve dĺžky najprv vyjadrené v jednej mernej jednotke.

Príklad 9 Koľkokrát je 150 cm viac ako 1 meter?

Najprv sa presvedčíme, že obe dĺžky sú vyjadrené v rovnakej jednotke. Ak to chcete urobiť, preveďte 1 meter na centimetre. Jeden meter je sto centimetrov

1 m = 100 cm

Teraz nájdeme pomer stopäťdesiat centimetrov k sto centimetrom. V čitateli pomeru píšeme 150 centimetrov, v menovateli - 100 centimetrov

Poďme zistiť hodnotu tohto vzťahu

Odpoveď som dostal 1.5. Takže 150 cm je viac ako 100 cm 1,5 krát (jeden a pol krát).

A ak by sme nezačali prevádzať metre na centimetre a okamžite by sme sa pokúsili nájsť pomer 150 cm k jednému metru, dostali by sme nasledovné:

Ukázalo by sa, že 150 cm je stopäťdesiatkrát viac ako jeden meter, ale nie je to pravda. Preto je nevyhnutné venovať pozornosť jednotkám merania fyzikálnych veličín, ktoré sú súčasťou vzťahu. Ak sú tieto množstvá vyjadrené v rôznych meracích jednotkách, potom na nájdenie pomeru týchto veličín musíte prejsť na jednu mernú jednotku.

Príklad 10 Minulý mesiac bol plat osoby 25 000 rubľov a tento mesiac sa plat zvýšil na 27 000 rubľov. Zistite, o koľko sa zvýšil plat

Zapíšeme si pomer dvadsaťsedemtisíc ku dvadsaťpäťtisíc. V čitateli pomeru píšeme 27000, v menovateli - 25000

Poďme zistiť hodnotu tohto vzťahu

Dostal som odpoveď 1.08. Mzda sa teda zvýšila 1,08-násobne. V budúcnosti, keď sa zoznámime s percentami, budeme také ukazovatele, ako je plat, vyjadrovať v percentách.

Príklad 11. Bytový dom je široký 80 metrov a vysoký 16 metrov. Koľkokrát je šírka domu väčšia ako jeho výška?

Píšeme pomer šírky domu k jeho výške:

Hodnota tohto pomeru je 5. To znamená, že šírka domu je päťnásobok jeho výšky.

vzťahová vlastnosť

Pomer sa nezmení, ak sa jeho členy vynásobia alebo vydelia rovnakým číslom.

Táto jedna z najdôležitejších vlastností vzťahu vyplýva z kvocientovej vlastnosti. Vieme, že ak sa dividenda a deliteľ vynásobia alebo vydelia rovnakým číslom, potom sa podiel nezmení. A keďže pomer nie je nič iné ako delenie, funguje preň aj vlastnosť kvocient.

Vráťme sa k postoju dievčat k chlapcom (10:5). Tento pomer ukázal, že na každého chlapca pripadajú dve dievčatá. Pozrime sa, ako vlastnosť vzťahu funguje, konkrétne, skúsme vynásobiť alebo vydeliť jej členy rovnakým číslom.

V našom príklade je vhodnejšie rozdeliť členy vzťahu ich najväčším spoločným deliteľom (GCD).

GCD členov 10 a 5 je číslo 5. Preto môžete členy vzťahu rozdeliť číslom 5

Získal som nový postoj. Ide o pomer dva ku jednej (2:1). Tento pomer, rovnako ako predchádzajúci pomer 10:5, ukazuje, že na každého chlapca pripadajú dve dievčatá.

Obrázok ukazuje pomer 2:1 (dva ku jednej). Rovnako ako v predchádzajúcom pomere 10:5, na jedného chlapca pripadajú dve dievčatá. Inými slovami, postoj sa nezmenil.

Príklad 2. V jednej triede je 10 dievčat a 5 chlapcov. V ďalšej triede je 20 dievčat a 10 chlapcov. Koľkokrát je na prvom stupni viac dievčat ako chlapcov? Koľkokrát je na druhom stupni viac dievčat ako chlapcov?

V oboch triedach je dvakrát viac dievčat ako chlapcov, keďže pomery a sú rovnaké.

Vlastnosť vzťahu umožňuje zostaviť rôzne modely, ktoré majú podobné parametre ako skutočný objekt. Predpokladajme, že bytový dom je 30 metrov široký a 10 metrov vysoký.

Ak chcete nakresliť podobný dom na papier, musíte ho nakresliť v rovnakom pomere 30:10.

Vydeľte oba členy tohto pomeru číslom 10. Potom dostaneme pomer 3: 1. Tento pomer je 3, rovnako ako predchádzajúci pomer je 3

Previesť metre na centimetre. 3 metre sú 300 centimetrov a 1 meter je 100 centimetrov.

3 m = 300 cm

1 m = 100 cm

Máme pomer 300 cm : 100 cm Členy tohto pomeru vydelíme 100. Dostaneme pomer 3 cm : 1 cm Teraz môžeme nakresliť domček so šírkou 3 cm a výškou 1 cm

Samozrejme, nakreslený dom je oveľa menší ako skutočný dom, ale pomer šírky a výšky zostáva nezmenený. To nám umožnilo nakresliť dom čo najbližšie k tomu skutočnému.

Postoj sa dá chápať aj inak. Pôvodne sa hovorilo, že skutočný dom má šírku 30 metrov a výšku 10 metrov. Spolu je to 30 + 10, teda 40 metrov.

Týchto 40 metrov možno chápať ako 40 častí. Pomer 30:10 znamená 30 dielov na šírku a 10 dielov na výšku.

Ďalej boli členy pomeru 30:10 delené 10. Výsledkom bol pomer 3:1. Tento pomer môžeme chápať ako 4 časti, z ktorých tri pripadajú na šírku, jedna na výšku. V tomto prípade si zvyčajne musíte presne zistiť, koľko metrov na šírku a výšku.

Inými slovami, musíte zistiť, koľko metrov spadá do 3 častí a koľko metrov spadá do 1 časti. Najprv musíte zistiť, koľko metrov padá na jednu časť. Aby ste to dosiahli, musíte celkových 40 metrov vydeliť 4, pretože existujú iba štyri časti v pomere 3: 1

Poďme určiť, koľko metrov je šírka:

10 m × 3 = 30 m

Poďme určiť, koľko metrov pripadá na výšku:

10 m x 1 = 10 m

Viacerí členovia vzťahu

Ak je vo vzťahu uvedených niekoľko členov, možno ich chápať ako časti niečoho.

Príklad 1. Kúpil 18 jabĺk. Tieto jablká boli rozdelené medzi mamu, otca a dcéru v pomere 2: 1: 3. Koľko jabĺk dostal každý?

Pomer 2: 1: 3 znamená, že matka dostala 2 diely, otec - 1 diel, dcéra - 3 diely. Inými slovami, každý člen pomeru 2:1:3 predstavuje určitý zlomok z 18 jabĺk:

Ak pridáte podmienky pomeru 2: 1: 3, môžete zistiť, koľko častí je celkovo:

2 + 1 + 3 = 6 (časti)

Zistite, koľko jabĺk padá na jednu časť. Za týmto účelom rozdeľte 18 jabĺk 6

18:6 = 3 (jablká na časť)

Teraz určme, koľko jabĺk každý dostal. Vynásobením troch jabĺk každým členom pomeru 2:1:3 môžete určiť, koľko jabĺk dostala mama, koľko otec a koľko dcéra.

Zistite, koľko jabĺk dostala mama:

3 × 2 = 6 (jablká)

Zistite, koľko jabĺk dostal otec:

3 × 1 = 3 (jablká)

Zistite, koľko jabĺk dostala dcéra:

3 × 3 = 9 (jablká)

Príklad 2. Nové striebro (alpaka) je zliatina niklu, zinku a medi v pomere 3:4:13. Koľko kilogramov z každého kovu treba odobrať, aby sme získali 4 kg nového striebra?

4 kilogramy nového striebra budú obsahovať 3 diely niklu, 4 diely zinku a 13 dielov medi. Najprv zistíme, koľko častí bude v štyroch kilogramoch striebra:

3 + 4 + 13 = 20 (časti)

Určte, koľko kilogramov padne na jednu časť:

4 kg: 20 = 0,2 kg

Stanovme si, koľko kilogramov niklu bude obsiahnutých v 4 kg nového striebra. V pomere 3:4:13 sa uvádza, že tri časti zliatiny obsahujú nikel. Takže vynásobíme 0,2 x 3:

0,2 kg × 3 = 0,6 kg niklu

Teraz určme, koľko kilogramov zinku bude obsiahnutých v 4 kg nového striebra. V pomere 3:4:13 sa hovorí, že štyri časti zliatiny obsahujú zinok. Takže vynásobíme 0,2 x 4:

0,2 kg × 4 = 0,8 kg zinku

Teraz určme, koľko kilogramov medi bude obsiahnutých v 4 kg nového striebra. V pomere 3:4:13 má trinásť dielov zliatiny obsahovať meď. Preto vynásobíme 0,2 číslom 13:

0,2 kg × 13 = 2,6 kg medi

Takže, aby ste získali 4 kg nového striebra, musíte vziať 0,6 kg niklu, 0,8 kg zinku a 2,6 kg medi.

Príklad 3. Mosadz je zliatina medi a zinku, ktorej hmotnostný pomer je 3:2. Na výrobu mosadze je potrebných 120 g medi. Koľko zinku je potrebné na výrobu tohto kusu mosadze?

Určme, koľko gramov zliatiny pripadá na jednu časť. Podmienka hovorí, že na výrobu mosadze je potrebných 120 g medi. Hovorí sa tiež, že tri časti zliatiny obsahujú meď. Ak vydelíme 120 3, zistíme, koľko gramov zliatiny je v jednej časti:

120: 3 = 40 gramov na kus

Teraz určme, koľko zinku je potrebné na výrobu kusu mosadze. Na tento účel vynásobíme 40 gramov 2, pretože v pomere 3: 2 sa uvádza, že dve časti obsahujú zinok:

40 g × 2 = 80 gramov zinku

Príklad 4. Vzali dve zliatiny zlata a striebra. V jednom je pomer týchto kovov 1:9 a v druhom 2:3. Koľko z každej zliatiny by sa malo odobrať, aby sa získalo 15 kg novej zliatiny, v ktorej by zlato a striebro boli v pomere 1:4 ?

Riešenie

15 kg novej zliatiny by malo byť v pomere 1: 4. Tento pomer znamená, že jedna časť zliatiny bude mať zlato a štyri časti budú mať striebro. Celkovo je päť častí. Schematicky to možno znázorniť nasledovne

Určme hmotnosť jednej časti. Za týmto účelom najprv pridajte všetky časti (1 a 4), potom vydeľte hmotnosť zliatiny počtom týchto častí

1 + 4 = 5
15 kg: 5 = 3 kg

Jedna časť zliatiny bude mať hmotnosť 3 kg. Potom 15 kg novej zliatiny bude obsahovať 3 × 1 = 3 kg zlata a 3 × 4 = 12 kg striebra.

Preto na získanie zliatiny s hmotnosťou 15 kg potrebujeme 3 kg zlata a 12 kg striebra.

Teraz odpovedzme na otázku úlohy –“ Koľko vziať každú zliatinu? »

Vezmeme 10 kg prvej zliatiny, pretože zlato a striebro v nej sú v pomere 1: 9. To znamená, že táto prvá zliatina nám dá 1 kg zlata a 9 kg striebra.

Vezmeme 5 kg druhej zliatiny, keďže zlato a striebro sú v nej v pomere 2: 3. To znamená, že táto druhá zliatina nám dá 2 kg zlata a 3 kg striebra.

Páčila sa vám lekcia?
Pripojte sa k našej novej skupine Vkontakte a začnite dostávať upozornenia na nové lekcie