Rozprávky

Vzorec na určenie súčtu aritmetickej progresie. Súčet aritmetického postupu. Vzťah medzi aritmetickými a geometrickými postupnosťami

Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Aritmetická postupnosť je séria čísel, v ktorých je každé číslo väčšie (alebo menšie) ako predchádzajúce o rovnakú hodnotu.

Táto téma je často ťažká a nepochopiteľná. Písmenové indexy, n-tý člen progresie, rozdiel progresie - to všetko je nejako mätúce, áno ... Poďme zistiť význam aritmetického postupu a všetko bude fungovať hneď.)

Pojem aritmetická progresia.

Aritmetický postup je veľmi jednoduchý a jasný koncept. Pochybnosti? Márne.) Presvedčte sa sami.

Napíšem nedokončenú sériu čísel:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Môžete predĺžiť tento riadok? Aké čísla budú nasledovať po päťke? Každý ... ehm ..., skrátka každý príde na to, že ďalej pôjdu čísla 6, 7, 8, 9 atď.

Skomplikujme si úlohu. Dávam nedokončenú sériu čísel:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Môžete zachytiť vzor, predĺžiť sériu a pomenovať siedmyčíslo riadku?

Ak ste zistili, že toto číslo je 20 - blahoželám vám! Nielenže ste cítili kľúčové body aritmetického postupu, ale úspešne ich využíval aj v podnikaní! Ak nerozumiete, čítajte ďalej.

Teraz preložme kľúčové body zo vnemov do matematiky.)

Prvý kľúčový bod.

Aritmetická postupnosť sa zaoberá radom čísel. Toto je spočiatku mätúce. Sme zvyknutí riešiť rovnice, zostavovať grafy a to všetko ... A potom predĺžiť sériu, nájsť číslo radu ...

Je to v poriadku. Ide len o to, že progresie sú prvým zoznámením sa s novým odvetvím matematiky. Sekcia sa nazýva "Series" a pracuje s radmi čísel a výrazov. Zvyknúť si na to.)

Druhý kľúčový bod.

V aritmetickej postupnosti sa akékoľvek číslo líši od predchádzajúceho o rovnakú sumu.

V prvom príklade je tento rozdiel jeden. Nech si vezmete akékoľvek číslo, je o jedno viac ako to predchádzajúce. V druhej - tri. Akékoľvek číslo je trikrát väčšie ako predchádzajúce. V skutočnosti je to tento moment, ktorý nám dáva príležitosť zachytiť vzor a vypočítať nasledujúce čísla.

Tretí kľúčový bod.

Tento moment nie je nápadný, áno... Ale veľmi, veľmi dôležitý. Tu je: každé číslo postupu je na svojom mieste. Je tu prvé číslo, je siedme, je štyridsiate piate atď. Ak si ich náhodne popletiete, vzor zmizne. Aritmetický postup tiež zmizne. Je to len séria čísel.

To je celá podstata.

V novej téme sa samozrejme objavujú nové pojmy a zápisy. Potrebujú vedieť. Inak nepochopíte úlohu. Napríklad, musíte sa rozhodnúť niečo ako:

Napíšte prvých šesť členov aritmetickej progresie (a n), ak a 2 = 5, d = -2,5.

Inšpiruje?) Listy, nejaké indexy... A tá úloha, mimochodom, nemôže byť jednoduchšia. Musíte len pochopiť význam pojmov a zápisu. Teraz túto záležitosť zvládneme a vrátime sa k úlohe.

Termíny a označenia.

Aritmetický postup je rad čísel, v ktorých je každé číslo iné ako predchádzajúce o rovnakú sumu.

Táto hodnota sa nazýva . Poďme sa tomuto konceptu venovať podrobnejšie.

Rozdiel aritmetického postupu.

Rozdiel aritmetického postupu je čiastka, o ktorú akékoľvek progresívne číslo viac ten predchádzajúci.

Jeden dôležitý bod. Venujte prosím pozornosť slovu „viac“. Matematicky to znamená, že sa získa každé číslo postupu pridávanie rozdiel aritmetického postupu k predchádzajúcemu číslu.

Na výpočet, povedzme druhýčísla riadku, je potrebné najprvčíslo pridať práve tento rozdiel aritmetického postupu. Pre výpočet piaty- rozdiel je nutný pridať do štvrtý dobre, atď.

Rozdiel aritmetického postupu možno pozitívne potom sa každé číslo série ukáže ako skutočné viac ako predchádzajúca. Táto progresia sa nazýva zvyšujúci sa. Napríklad:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Tu je každé číslo pridávanie kladné číslo, +5 k predchádzajúcemu.

Rozdiel môže byť negatívne potom bude každé číslo v rade menej ako predchádzajúca. Tento postup sa nazýva (neuveríte!) klesajúci.

Napríklad:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Aj tu sa získa každé číslo pridávanie na predchádzajúce, ale už záporné číslo, -5.

Mimochodom, pri práci s progresiou je veľmi užitočné okamžite určiť jej povahu - či sa zvyšuje alebo znižuje. Veľmi pomáha zorientovať sa v rozhodovaní, odhaliť svoje chyby a opraviť ich skôr, než bude neskoro.

Rozdiel aritmetického postupu zvyčajne sa označuje písmenom d.

Ako nájsť d? Veľmi jednoduché. Je potrebné odpočítať od ľubovoľného čísla série predchádzajúcečíslo. Odčítať. Mimochodom, výsledok odčítania sa nazýva "rozdiel".)

Definujme si napr. d pre rastúci aritmetický postup:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Zoberieme ľubovoľné číslo riadku, ktoré chceme, napríklad 11. Odčítame z neho predchádzajúce číslo tie. osem:

Toto je správna odpoveď. Pre tento aritmetický postup je rozdiel tri.

Môžete len vziať ľubovoľný počet progresií, pretože pre konkrétny postup d-vždy to isté. Aspoň niekde na začiatku radu, aspoň v strede, aspoň kdekoľvek. Nemôžete vziať len prvé číslo. Už len kvôli prvému číslu žiadne predchádzajúce.)

Mimochodom, vedieť to d=3, nájdenie siedmeho čísla tohto postupu je veľmi jednoduché. K piatemu číslu pridáme 3 - dostaneme šieste, bude to 17. K šiestemu číslu pridáme tri, dostaneme siedme číslo - dvadsať.

Poďme definovať d pre klesajúci aritmetický postup:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Pripomínam, že bez ohľadu na znamenia určiť d potrebné z akéhokoľvek čísla odobrať predchádzajúce. Zvolíme ľubovoľný počet progresie, napríklad -7. Jeho predchádzajúce číslo je -2. potom:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Rozdiel v aritmetickej progresii môže byť ľubovoľné číslo: celé číslo, zlomok, iracionálne, ľubovoľné.

Iné termíny a označenia.

Každé číslo v rade sa volá člen aritmetického postupu.

Každý člen progresu má svoje číslo.Čísla sú prísne v poriadku, bez akýchkoľvek trikov. Prvý, druhý, tretí, štvrtý atď. Napríklad v postupnosti 2, 5, 8, 11, 14, ... dva je prvý člen, päť je druhý, jedenásť je štvrtý, dobre, rozumiete ...) Jasne pochopte - samotné čísla môže byť úplne akýkoľvek, celý, zlomkový, negatívny, akýkoľvek, ale číslovanie- prísne v poriadku!

Ako napísať progresiu vo všeobecnej forme? Žiaden problém! Každé číslo v rade je napísané ako písmeno. Na označenie aritmetického postupu sa spravidla používa písmeno a. Číslo člena je označené indexom vpravo dole. Členovia sa píšu oddelené čiarkami (alebo bodkočiarkami) takto:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

1 je prvé číslo a 3- tretí atď. Nič zložité. Túto sériu môžete stručne napísať takto: (a n).

Existujú progresie konečný a nekonečný.

konečný postup má obmedzený počet členov. Päť, tridsaťosem, čokoľvek. Ale je to konečné číslo.

Nekonečné progresia - má nekonečný počet členov, ako by ste mohli hádať.)

Môžete napísať konečný postup cez sériu, ako je táto, všetci členovia a bodka na konci:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.

Alebo takto, ak je veľa členov:

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .

V krátkom zázname budete musieť dodatočne uviesť počet členov. Napríklad (pre dvadsať členov) takto:

(a n), n = 20

Nekonečný postup možno rozpoznať podľa elipsy na konci riadku, ako v príkladoch v tejto lekcii.

Teraz už môžete riešiť úlohy. Úlohy sú jednoduché, čisto na pochopenie významu aritmetického postupu.

Príklady úloh na aritmetický postup.

Pozrime sa bližšie na vyššie uvedenú úlohu:

1. Napíšte prvých šesť členov aritmetickej postupnosti (a n), ak a 2 = 5, d = -2,5.

Úlohu preložíme do zrozumiteľného jazyka. Vzhľadom na nekonečný aritmetický postup. Druhé číslo tohto postupu je známe: a 2 = 5. Známy rozdiel v postupe: d = -2,5. Musíme nájsť prvého, tretieho, štvrtého, piateho a šiesteho člena tohto postupu.

Pre názornosť napíšem sériu podľa stavu problému. Prvých šesť členov, pričom druhý člen je päť:

a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6,....

a 3 = a 2 + d

Vo výraze dosadíme a 2 = 5 a d = -2,5. Nezabudnite na mínus!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Tretí termín je menší ako druhý. Všetko je logické. Ak je číslo väčšie ako predchádzajúce negatívne hodnotu, takže samotné číslo bude menšie ako predchádzajúce. Progresia sa znižuje. Dobre, zoberme to do úvahy.) Uvažujeme o štvrtom členovi našej série:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Takže termíny od tretieho do šiesteho boli vypočítané. Výsledkom bola séria:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Zostáva nájsť prvý termín 1 podľa známeho druhého. Toto je krok opačným smerom, doľava.) Preto je rozdiel v aritmetickej progresii d by sa nemalo pridávať a 2, a zobrať:

1 = a 2 - d

1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

To je všetko. Odpoveď na úlohu:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Na okraj podotýkam, že sme túto úlohu vyriešili opakujúci spôsobom. Toto hrozné slovo znamená iba hľadanie člena progresie o predchádzajúce (susedné) číslo. O ďalších spôsoboch práce s progresiou sa bude diskutovať neskôr.

Z tejto jednoduchej úlohy možno vyvodiť jeden dôležitý záver.

Pamätajte:

Ak poznáme aspoň jeden člen a rozdiel aritmetickej postupnosti, môžeme nájsť ľubovoľného člena tejto postupnosti.

Pamätáte si? Tento jednoduchý záver nám umožňuje vyriešiť väčšinu problémov školského kurzu na túto tému. Všetky úlohy sa točia okolo troch hlavných parametrov: člen aritmetického postupu, rozdiel postupu, číslo člena postupu. Všetko.

Samozrejme, že všetka predchádzajúca algebra nie je zrušená.) Nerovnice, rovnice a ďalšie veci sú pripojené k postupu. ale podľa progresie- všetko sa točí okolo troch parametrov.

Zvážte napríklad niektoré populárne úlohy na túto tému.

2. Napíšte konečnú aritmetickú postupnosť ako sériu, ak n=5, d=0,4 a a 1=3,6.

Všetko je tu jednoduché. Všetko je už dané. Musíte si pamätať, ako sa počítajú, počítajú a zapisujú členy aritmetického postupu. Je vhodné nepreskakovať slová v podmienke úlohy: „final“ a „ n=5". Aby ste nepočítali, kým nebudete úplne modrý v tvári.) V tomto postupe je len 5 (päť) členov:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Zostáva napísať odpoveď:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Ďalšia úloha:

3. Určte, či číslo 7 bude členom aritmetickej postupnosti (a n), ak a 1 \u003d 4,1; d = 1,2.

Hmm... Kto vie? Ako niečo definovať?

Ako-ako ... Áno, zapíšte si postup vo forme série a uvidíte, či bude sedmička alebo nie! My veríme:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Teraz je jasne vidieť, že máme len sedem prekĺzol medzi 6,5 a 7,7! Sedmička sa nedostala do nášho číselného radu, a preto sedmička nebude členom daného postupu.

odpoveď: nie.

A tu je úloha založená na skutočnej verzii GIA:

4. Vypíše sa niekoľko po sebe idúcich členov aritmetického postupu:

...; pätnásť; X; 9; 6; ...

Tu je séria bez konca a začiatku. Žiadne čísla členov, žiadny rozdiel d. Je to v poriadku. Na vyriešenie problému stačí pochopiť význam aritmetickej progresie. Pozrime sa a uvidíme, čo môžeme vedieť z tohto riadku? Aké sú parametre troch hlavných?

Čísla členov? Nie je tu ani jedno číslo.

Ale sú tam tri čísla a - pozor! - slovo "po sebe" v stave. To znamená, že čísla sú prísne v poriadku, bez medzier. Sú v tomto rade dvaja? susedný známe čísla? Áno, existuje! Toto je 9 a 6. Takže môžeme vypočítať rozdiel aritmetickej progresie! Odpočítame od šiestich predchádzajúcečíslo, t.j. deväť:

Zostávajú voľné miesta. Aké číslo bude predchádzajúce pre x? Pätnásť. Takže x sa dá ľahko nájsť jednoduchým sčítaním. K 15 pridajte rozdiel aritmetického postupu:

To je všetko. odpoveď: x=12

Nasledujúce problémy riešime sami. Poznámka: tieto hádanky nie sú určené na vzorce. Čisto pre pochopenie významu aritmetického postupu.) Len si zapíšeme sériu čísel-písmen, pozrieme sa a premýšľame.

5. Nájdite prvý kladný člen aritmetickej progresie, ak a 5 = -3; d = 1,1.

6. Je známe, že číslo 5,5 je členom aritmetickej postupnosti (a n), kde a 1 = 1,6; d = 1,3. Určte číslo n tohto člena.

7. Je známe, že v aritmetickej progresii a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Nájdite 3.

8. Vypíše sa niekoľko po sebe idúcich členov aritmetického postupu:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Nájdite člen postupnosti označený písmenom x.

9. Vlak sa dal zo stanice do pohybu, pričom svoju rýchlosť postupne zvyšoval o 30 metrov za minútu. Aká bude rýchlosť vlaku za päť minút? Svoju odpoveď uveďte v km/h.

10. Je známe, že v aritmetickej postupnosti a 2 = 5; a 6 = -5. Nájdite 1.

Odpovede (v neporiadku): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; štyri.

Všetko vyšlo? úžasné! V nasledujúcich lekciách sa môžete naučiť aritmetický postup na vyššej úrovni.

Nevyšlo všetko? Žiaden problém. V špeciálnej časti 555 sú všetky tieto hlavolamy rozobraté kúsok po kúsku.) A, samozrejme, je opísaná jednoduchá praktická technika, ktorá okamžite zvýrazní riešenie takýchto úloh jasne, zreteľne, ako na dlani!

Mimochodom, v hádanke o vlaku sú dva problémy, o ktoré ľudia často narážajú. Jeden - čisto podľa postupu a druhý - spoločný pre všetky úlohy z matematiky a fyziky. Toto je preklad dimenzií z jednej do druhej. Ukazuje, ako by sa tieto problémy mali riešiť.

V tejto lekcii sme skúmali elementárny význam aritmetickej progresie a jej hlavné parametre. To stačí na vyriešenie takmer všetkých problémov na túto tému. Pridať d k číslam napíšte sériu, všetko sa rozhodne.

Riešenie prstov funguje dobre pre veľmi krátke kúsky série, ako v príkladoch v tejto lekcii. Ak je séria dlhšia, výpočty sú komplikovanejšie. Napríklad, ak máte problém 9 v otázke, nahraďte ho "päť minút" na "tridsaťpäť minút" problém bude oveľa horší.)

A existujú aj úlohy, ktoré sú v podstate jednoduché, ale z hľadiska výpočtov úplne absurdné, napríklad:

Daná aritmetická progresia (a n). Nájdite 121, ak a 1 = 3 a d = 1/6.

A čo, pridáme 1/6 veľa, veľa krát?! Je možné sa zabiť!?

Môžete.) Ak nepoznáte jednoduchý vzorec, podľa ktorého takéto úlohy vyriešite za minútu. Tento vzorec bude v ďalšej lekcii. A tam je tento problém vyriešený. O minútu.)

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Problémy s aritmetickým postupom existujú už od staroveku. Objavili sa a požadovali riešenie, pretože mali praktickú potrebu.

Takže v jednom z papyrusov starovekého Egypta, ktorý má matematický obsah - Rhindov papyrus (19. storočie pred Kristom) - obsahuje nasledujúcu úlohu: rozdeľte desať mier chleba na desať ľudí za predpokladu, že rozdiel medzi každým z nich je jeden. ôsme opatrenie.

A v matematických dielach starých Grékov existujú elegantné vety súvisiace s aritmetickým postupom. Hypsikles z Alexandrie (2. storočie, ktorý zostavil mnoho zaujímavých problémov a pridal štrnástu knihu k Euklidovým „Prvkom“, sformuloval myšlienku: „V aritmetickom postupe s párnym počtom členov, súčet členov 2. pol. je väčší ako súčet členov 1. o štvorec 1/2 členov.

Označuje sa postupnosť an. Čísla sekvencie sa nazývajú jej členovia a zvyčajne sa označujú písmenami s indexmi, ktoré označujú poradové číslo tohto člena (a1, a2, a3 ... čítaj: „a 1st“, „a 2nd“, „a 3rd“ a tak ďalej).

Postupnosť môže byť nekonečná alebo konečná.

Čo je to aritmetická progresia? Rozumie sa ako získané pripočítaním predchádzajúceho člena (n) s rovnakým číslom d, čo je rozdiel progresie.

Ak d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, potom sa takáto progresia považuje za rastúcu.

Aritmetická progresia sa považuje za konečnú, ak sa berie do úvahy len niekoľko jej prvých členov. Pri veľmi veľkom počte členov je to už nekonečný postup.

Akákoľvek aritmetická progresia je daná nasledujúcim vzorcom:

an =kn+b, pričom b a k sú nejaké čísla.

Opačné tvrdenie je absolútne pravdivé: ak je postupnosť daná podobným vzorcom, potom ide presne o aritmetickú postupnosť, ktorá má vlastnosti:

Každý člen progresie je aritmetickým priemerom predchádzajúceho člena a nasledujúceho člena.
Opak: ak od 2. je každý člen aritmetickým priemerom predchádzajúceho a nasledujúceho, t.j. ak je podmienka splnená, potom je daná postupnosť aritmetickou progresiou. Táto rovnosť je zároveň znakom progresie, preto sa zvykne nazývať charakteristická vlastnosť progresie.
Rovnakým spôsobom platí veta, ktorá odráža túto vlastnosť: postupnosť je aritmetickou progresiou iba vtedy, ak táto rovnosť platí pre ktorýkoľvek z členov postupnosti, počnúc od 2.

Charakteristická vlastnosť pre ľubovoľné štyri čísla aritmetickej progresie môže byť vyjadrená vzorcom an + am = ak + al, ak n + m = k + l (m, n, k sú čísla progresie).

V aritmetickej postupnosti je možné nájsť akýkoľvek potrebný (N-tý) člen použitím nasledujúceho vzorca:

Napríklad: prvý člen (a1) v aritmetickej postupnosti je daný a rovná sa trom a rozdiel (d) sa rovná štyrom. Musíte nájsť štyridsiaty piaty termín tohto postupu. a45 = 1+4 (45-1) = 177

Vzorec an = ak + d(n - k) umožňuje určiť n-tý člen aritmetickej postupnosti cez ktorýkoľvek z jej k-tých členov za predpokladu, že je známy.

Súčet členov aritmetickej progresie (za predpokladu 1. n členov konečnej progresie) sa vypočíta takto:

Sn = (al+an) n/2.

Ak je známy aj prvý člen, na výpočet je vhodný iný vzorec:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Súčet aritmetickej progresie, ktorá obsahuje n členov, sa vypočíta takto:

Výber vzorcov pre výpočty závisí od podmienok úloh a počiatočných údajov.

Prirodzený rad ľubovoľných čísel ako 1,2,3,...,n,... je najjednoduchším príkladom aritmetickej progresie.

Okrem aritmetického postupu existuje aj geometrický postup, ktorý má svoje vlastné vlastnosti a charakteristiky.

IV Jakovlev | Materiály z matematiky | MathUs.ru

Aritmetický postup

Aritmetický postup je špeciálny druh postupnosti. Preto pred definovaním aritmetickej (a potom geometrickej) progresie musíme stručne diskutovať o dôležitom koncepte číselnej postupnosti.

Následná sekvencia

Predstavte si zariadenie, na ktorého obrazovke sa postupne zobrazujú niektoré čísla. Povedzme 2; 7; 13; jeden; 6; 0; 3; : : : Takáto množina čísel je len príkladom postupnosti.

Definícia. Číselná postupnosť je množina čísel, v ktorých každému číslu možno priradiť jedinečné číslo (to znamená dať do súladu s jedným prirodzeným číslom)1. Číslo s číslom n sa nazýva n-tý člen postupnosti.

Takže vo vyššie uvedenom príklade má prvé číslo číslo 2, čo je prvý člen postupnosti, ktorý možno označiť a1 ; číslo päť má číslo 6, čo je piaty člen postupnosti, ktorý možno označiť a5 . Vo všeobecnosti je n-tý člen sekvencie označený a (alebo bn, cn, atď.).

Veľmi výhodná je situácia, keď n-tý člen postupnosti môže byť špecifikovaný nejakým vzorcom. Napríklad vzorec an = 2n 3 určuje postupnosť: 1; jeden; 3; 5; 7; : : : Vzorec an = (1)n definuje postupnosť: 1; jeden; jeden; jeden; : : :

Nie každá množina čísel je postupnosť. Takže segment nie je sekvencia; obsahuje ¾príliš veľa¿ čísel na prečíslovanie. Množina R všetkých reálnych čísel tiež nie je postupnosť. Tieto skutočnosti sú dokázané v priebehu matematickej analýzy.

Aritmetická postupnosť: základné definície

Teraz sme pripravení definovať aritmetickú progresiu.

Definícia. Aritmetická postupnosť je postupnosť, v ktorej sa každý člen (počnúc druhým) rovná súčtu predchádzajúceho člena a nejakého pevného čísla (nazývaného rozdiel aritmetického postupu).

Napríklad sekvencia 2; 5; osem; jedenásť; : : : je aritmetická postupnosť s prvým členom 2 a rozdielom 3. Sekvencia 7; 2; 3; osem; : : : je aritmetická postupnosť s prvým členom 7 a rozdielom 5. Sekvencia 3; 3; 3; : : : je aritmetický postup s nulovým rozdielom.

Ekvivalentná definícia: Postupnosť an sa nazýva aritmetická progresia, ak rozdiel an+1 an je konštantná hodnota (nezávislá od n).

Aritmetická progresia sa nazýva rastúca, ak je jej rozdiel kladný, a klesajúca, ak je jej rozdiel záporný.

1 A tu je stručnejšia definícia: postupnosť je funkcia definovaná na množine prirodzených čísel. Napríklad postupnosť reálnych čísel je funkcia f: N! R.

V predvolenom nastavení sa postupnosti považujú za nekonečné, to znamená, že obsahujú nekonečný počet čísel. Ale nikto sa neobťažuje uvažovať aj o konečných postupnostiach; v skutočnosti môže byť každá konečná množina čísel nazývaná konečnou postupnosťou. Napríklad konečná sekvencia 1; 2; 3; štyri; 5 pozostáva z piatich čísel.

Vzorec n-tého člena aritmetickej postupnosti

Je ľahké pochopiť, že aritmetický postup je úplne určený dvoma číslami: prvým členom a rozdielom. Preto vyvstáva otázka: ako, keď poznáme prvý člen a rozdiel, nájsť ľubovoľný člen aritmetickej progresie?

Nie je ťažké získať požadovaný vzorec pre n-tý člen aritmetickej progresie. Nechajte

aritmetická progresia s rozdielom d. Máme:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::):
Predovšetkým píšeme:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (al + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (al + 2d) + d = a1 + 3d;
a teraz je jasné, že vzorec pre an je:
an = a1 + (n 1)d:

Úloha 1. V aritmetickom postupe 2; 5; osem; jedenásť; : : : nájdite vzorec n-tého členu a vypočítajte stý člen.

Riešenie. Podľa vzorca (1) máme:

an = 2 + 3 (n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Vlastnosť a znak aritmetického postupu

vlastnosť aritmetickej progresie. V aritmetickej postupnosti a pre ľubovoľné

Inými slovami, každý člen aritmetickej postupnosti (počnúc od druhého) je aritmetickým priemerom susedných členov.

	Dôkaz. Máme:
	a n 1 + a n + 1		(an d) + (an + d)

čo sa vyžadovalo.

Všeobecnejšie povedané, aritmetický postup a spĺňa rovnosť

a n = a n k + a n+k

pre ľubovoľné n > 2 a ľubovoľné prirodzené k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Ukazuje sa, že vzorec (2) je nielen nevyhnutnou, ale aj postačujúcou podmienkou, aby postupnosť bola aritmetickou progresiou.

Znak aritmetického postupu. Ak platí rovnosť (2) pre všetky n > 2, potom postupnosť an je aritmetická postupnosť.

Dôkaz. Prepíšme vzorec (2) takto:

a n a n 1 = a n+1 a n:

To ukazuje, že rozdiel an+1 an nezávisí od n, a to znamená, že postupnosť an je aritmetická progresia.

Vlastnosť a znamienko aritmetickej progresie možno formulovať ako jeden výrok; pre pohodlie to urobíme pre tri čísla (toto je situácia, ktorá sa často vyskytuje pri problémoch).

Charakterizácia aritmetickej progresie. Tri čísla a, b, c tvoria aritmetickú postupnosť práve vtedy, ak 2b = a + c.

Úloha 2. (Moskva štátna univerzita, Ekonomická fakulta, 2007) Tri čísla 8x, 3x2 a 4 v zadanom poradí tvoria klesajúcu aritmetickú postupnosť. Nájdite x a napíšte rozdiel tohto postupu.

Riešenie. Podľa vlastnosti aritmetického postupu máme:

2(3x2) = 8x4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x=5:

Ak x = 1, potom sa získa klesajúca progresia 8, 2, 4 s rozdielom 6. Ak x = 5, potom sa získa rastúca progresia 40, 22, 4; tento prípad nefunguje.

Odpoveď: x = 1, rozdiel je 6.

Súčet prvých n členov aritmetickej progresie

Legenda hovorí, že raz učiteľ povedal deťom, aby našli súčet čísel od 1 do 100 a posadili sa, aby si potichu prečítali noviny. Jeden chlapec však v priebehu niekoľkých minút povedal, že problém vyriešil. Bol to 9-ročný Carl Friedrich Gauss, neskôr jeden z najväčších matematikov histórie.

Nápad malého Gaussa bol takýto. Nechaj

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Napíšme túto sumu v opačnom poradí:

S = 100 + 99 + 98 + : : + 3 + 2 + 1;

a pridajte tieto dva vzorce:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Každý výraz v zátvorkách sa rovná 101 a takýchto výrazov je celkovo 100. Preto

2S = 101 100 = 10 100;

Túto myšlienku použijeme na odvodenie súčtového vzorca

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Užitočnú modifikáciu vzorca (3) získame dosadením vzorca pre n-tý člen an = a1 + (n 1)d do neho:

		2a1 + (n1)d

Úloha 3. Nájdite súčet všetkých kladných trojciferných čísel deliteľných 13.

Riešenie. Trojciferné čísla, ktoré sú násobkami 13, tvoria aritmetickú postupnosť s prvým členom 104 a rozdielom 13; N-tý termín tohto postupu je:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Poďme zistiť, koľko členov obsahuje naša progresia. Aby sme to dosiahli, riešime nerovnosť:

6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

V našej progresii je teda 69 členov. Podľa vzorca (4) nájdeme požadované množstvo:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37 674: 2

Niekto narába so slovom „progresia“ opatrne, ako s veľmi zložitým pojmom zo sekcií vyššej matematiky. Medzitým je najjednoduchším aritmetickým postupom práca počítadla taxíkov (kde stále zostávajú). A pochopiť podstatu (a v matematike nie je nič dôležitejšie ako „pochopiť podstatu“) aritmetickej postupnosti nie je také ťažké, po analýze niekoľkých základných konceptov.

Matematická postupnosť čísel

Je zvykom nazývať číselnú postupnosť radom čísel, z ktorých každé má svoje vlastné číslo.

a 1 je prvý člen sekvencie;

a 2 je druhý člen sekvencie;

a 7 je siedmy člen sekvencie;

a n je n-tý člen sekvencie;

Nás však nezaujíma žiadny ľubovoľný súbor čísel a čísel. Pozornosť zameriame na číselnú postupnosť, v ktorej hodnota n-tého člena súvisí s jeho poradovým číslom pomocou jasne matematicky formulovanej závislosti. Inými slovami: číselná hodnota n-tého čísla je nejakou funkciou n.

a - hodnota člena číselnej postupnosti;

n je jeho sériové číslo;

f(n) je funkcia, kde ordinál v číselnej postupnosti n je argument.

Definícia

Aritmetická postupnosť sa zvyčajne nazýva číselná postupnosť, v ktorej je každý nasledujúci člen väčší (menší) ako predchádzajúci o rovnaké číslo. Vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti je nasledujúci:

a n - hodnota aktuálneho člena aritmetickej progresie;

a n+1 - vzorec nasledujúceho čísla;

d - rozdiel (určité číslo).

Je ľahké určiť, že ak je rozdiel kladný (d>0), potom každý nasledujúci člen uvažovaného radu bude väčší ako predchádzajúci a takáto aritmetická progresia sa bude zvyšovať.

V nižšie uvedenom grafe je ľahké vidieť, prečo sa postupnosť čísel nazýva „narastajúca“.

V prípadoch, keď je rozdiel záporný (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Hodnota zadaného člena

Niekedy je potrebné určiť hodnotu nejakého ľubovoľného člena a n aritmetickej progresie. Môžete to urobiť postupným výpočtom hodnôt všetkých členov aritmetického postupu, od prvého po požadovaný. Tento spôsob však nie je vždy prijateľný, ak je napríklad potrebné nájsť hodnotu päťtisícového alebo osemmiliónového členu. Tradičný výpočet bude trvať dlho. Špecifický aritmetický postup však možno skúmať pomocou určitých vzorcov. Existuje aj vzorec pre n-tý člen: hodnotu ľubovoľného člena aritmetickej postupnosti možno určiť ako súčet prvého člena postupnosti s rozdielom postupnosti vynásobený číslom požadovaného člena mínus jedna .

Vzorec je univerzálny na zvýšenie a zníženie progresie.

Príklad výpočtu hodnoty daného člena

Vyriešme nasledujúci problém hľadania hodnoty n-tého člena aritmetickej postupnosti.

Podmienka: existuje aritmetická progresia s parametrami:

Prvý člen postupnosti je 3;

Rozdiel v číselnom rade je 1,2.

Úloha: je potrebné nájsť hodnotu 214 výrazov

Riešenie: Na určenie hodnoty daného člena použijeme vzorec:

a(n) = a1 + d(n-1)

Nahradením údajov z problémového príkazu do výrazu máme:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Odpoveď: 214. člen postupnosti sa rovná 258,6.

Výhody tejto metódy výpočtu sú zrejmé - celé riešenie nezaberie viac ako 2 riadky.

Súčet daného počtu výrazov

Veľmi často je v danej aritmetickej sérii potrebné určiť súčet hodnôt niektorých jej segmentov. Tiež nie je potrebné počítať hodnoty každého výrazu a potom ich sčítať. Táto metóda je použiteľná, ak je počet členov, ktorých súčet treba nájsť, malý. V ostatných prípadoch je vhodnejšie použiť nasledujúci vzorec.

Súčet členov aritmetickej postupnosti od 1 do n sa rovná súčtu prvého a n-tého člena, vynásobený číslom člena n a delený dvoma. Ak je vo vzorci hodnota n-tého člena nahradená výrazom z predchádzajúceho odseku článku, dostaneme:

Príklad výpočtu

Vyriešme napríklad problém s nasledujúcimi podmienkami:

Prvý člen postupnosti je nula;

Rozdiel je 0,5.

V úlohe je potrebné určiť súčet členov radu od 56 do 101.

Riešenie. Na určenie súčtu progresie použijeme vzorec:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Najprv určíme súčet hodnôt 101 členov progresie dosadením daných podmienok nášho problému do vzorca:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Je zrejmé, že na zistenie súčtu členov postupu od 56. do 101. je potrebné odpočítať S 55 od S 101.

s55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Takže súčet aritmetickej progresie pre tento príklad je:

s 101 - s 55 \u003d 2 525 - 742,5 \u003d 1 782,5

Príklad praktickej aplikácie aritmetickej progresie

Na konci článku sa vráťme k príkladu aritmetickej postupnosti uvedenej v prvom odseku - taxametra (taxi car meter). Zoberme si taký príklad.

Vstup do taxíka (ktorý zahŕňa 3 km) stojí 50 rubľov. Každý nasledujúci kilometer sa platí sadzbou 22 rubľov / km. Dojazd 30 km. Vypočítajte si náklady na cestu.

1. Vyhoďme prvé 3 km, ktorých cena je zahrnutá v nákladoch na pristátie.

30 - 3 = 27 km.

2. Ďalší výpočet nie je nič iné ako analýza aritmetického číselného radu.

Členské číslo je počet prejdených kilometrov (mínus prvé tri).

Hodnota člena je súčet.

Prvý termín v tomto probléme sa bude rovnať 1 = 50 rubľov.

Rozdiel v postupe d = 22 p.

číslo, ktoré nás zaujíma - hodnota (27 + 1) člena aritmetického postupu - stav merača na konci 27. kilometra - 27,999 ... = 28 km.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Výpočty kalendárnych údajov za ľubovoľne dlhé obdobie sú založené na vzorcoch popisujúcich určité číselné postupnosti. V astronómii je dĺžka obežnej dráhy geometricky závislá od vzdialenosti nebeského telesa od svietidla. Okrem toho sa rôzne číselné rady úspešne používajú v štatistike a iných aplikovaných odvetviach matematiky.

Iný druh číselnej postupnosti je geometrický

Geometrická progresia je charakterizovaná veľkou rýchlosťou zmeny v porovnaní s aritmetickou. Nie je náhoda, že v politike, sociológii, medicíne často, aby ukázali vysokú rýchlosť šírenia určitého javu, napríklad choroby počas epidémie, hovoria, že proces sa vyvíja exponenciálne.

N-tý člen geometrického číselného radu sa líši od predchádzajúceho tým, že je vynásobený nejakým konštantným číslom - menovateľ, napríklad prvý člen je 1, menovateľ je 2, potom:

n = 1: 1 ∙ 2 = 2

n = 2: 2 ∙ 2 = 4

n = 3: 4 ∙ 2 = 8

n = 4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - hodnota aktuálneho člena geometrickej progresie;

b n+1 - vzorec ďalšieho člena geometrickej postupnosti;

q je menovateľ geometrickej postupnosti (konštantné číslo).

Ak je graf aritmetickej progresie priamka, potom geometrický graf nakreslí trochu iný obrázok:

Rovnako ako v prípade aritmetiky, geometrická postupnosť má vzorec pre hodnotu ľubovoľného člena. Akýkoľvek n-tý člen geometrickej postupnosti sa rovná súčinu prvého člena a menovateľa postupnosti k mocnine n zníženému o jednotku:

Príklad. Máme geometrickú postupnosť s prvým členom rovným 3 a menovateľom postupnosti rovným 1,5. Nájdite 5. termín postupu

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875

Súčet daného počtu členov sa tiež vypočíta pomocou špeciálneho vzorca. Súčet prvých n členov geometrickej postupnosti sa rovná rozdielu medzi súčinom n-tého člena postupnosti a jeho menovateľa a prvého člena postupnosti vydelenému menovateľom zníženým o jednu: