Ako riešiť rovnice pomocou Vietovej vety v matematike. Vietov teorém. Príklady riešení Metóda Vieta Kvadratická rovnica

Pri štúdiu spôsobov riešenia rovníc druhého rádu v kurze školskej algebry zvážte vlastnosti získaných koreňov. Teraz sú známe ako Vietove teorémy. Príklady jeho použitia sú uvedené v tomto článku.

Kvadratická rovnica

Rovnica druhého rádu je rovnosť, ktorá je znázornená na fotografii nižšie.

Symboly a, b, c sú tu niektoré čísla, ktoré sa nazývajú koeficienty uvažovanej rovnice. Ak chcete vyriešiť rovnosť, musíte nájsť x hodnôt, ktoré ju robia pravdivou.

Všimnite si, že keďže maximálna hodnota mocniny, na ktorú sa x zvýši, sú dve, potom je počet koreňov vo všeobecnom prípade tiež dva.

Existuje niekoľko spôsobov, ako vyriešiť tento typ rovnosti. V tomto článku sa budeme zaoberať jedným z nich, ktorý zahŕňa použitie takzvanej Vietovej vety.

Výrok Vietovej vety

Koncom 16. storočia si slávny matematik Francois Viet (Francúz) pri analýze vlastností koreňov rôznych kvadratických rovníc všimol, že určité ich kombinácie spĺňajú špecifické vzťahy. Tieto kombinácie sú najmä ich súčinom a súčtom.

Vietova veta stanovuje nasledovné: korene kvadratickej rovnice, keď sú sčítané, dávajú pomer lineárnych ku kvadratickým koeficientom s opačným znamienkom, a keď sú vynásobené, vedú k pomeru voľného člena ku kvadratickému koeficientu .

Ak je všeobecný tvar rovnice napísaný tak, ako je znázornený na fotografii v predchádzajúcej časti článku, potom matematicky možno túto vetu zapísať ako dve rovnosti:

• r2 + r1 \u003d -b / a;
• r 1 x r 2 \u003d c / a.

Kde r 1 , r 2 je hodnota koreňov uvažovanej rovnice.

Tieto dve rovnosti možno použiť na riešenie množstva veľmi odlišných matematických problémov. Použitie Vietovej vety v príkladoch s riešením je uvedené v nasledujúcich častiach článku.

Vietova veta sa často používa na testovanie už nájdených koreňov. Ak ste našli korene, môžete použiť vzorce \(\začiatok(prípady)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\koniec(prípady)\) na výpočet hodnôt \(p\ ) a \(q\ ). A ak sa ukáže, že sú rovnaké ako v pôvodnej rovnici, korene sa nájdu správne.

Použime napríklad , vyriešme rovnicu \(x^2+x-56=0\) a získajme korene: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Skontrolujme, či sme v procese riešenia neurobili chybu. V našom prípade \(p=1\) a \(q=-56\). Podľa Vietovej vety máme:

\(\začiatok(prípady)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\koniec(prípady)\) \(\šípka doľava doprava\) \(\začiatok(prípady)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\koniec (prípadov)\) \(\šípka doľava doprava\) \(\začiatok(prípady)-1=-1\\-56=-56\koniec (prípady)\ )

Obidva výroky konvergovali, čo znamená, že rovnicu sme vyriešili správne.

Tento test je možné vykonať ústne. Bude to trvať 5 sekúnd a ušetrí vás to od hlúpych chýb.

Inverzná Vieta veta

Ak \(\začiatok(prípady)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\koniec(prípady)\), potom \(x_1\) a \(x_2\) sú koreňmi kvadratickej rovnice \ (x^ 2+px+q=0\).

Alebo jednoduchým spôsobom: ak máte rovnicu v tvare \(x^2+px+q=0\), tak vyriešením sústavy \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \ cdot x_2=q\ end(cases)\) nájdete jeho korene.

Vďaka tejto vete môžete rýchlo nájsť korene kvadratickej rovnice, najmä ak sú tieto korene . Táto zručnosť je dôležitá, pretože šetrí veľa času.

Príklad . Vyriešte rovnicu \(x^2-5x+6=0\).

Riešenie : Pomocou inverznej Vietovej vety dostaneme, že korene spĺňajú podmienky: \(\začiatok(prípady)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\koniec(prípady)\).
Pozrite sa na druhú rovnicu systému \(x_1 \cdot x_2=6\). Na aké dve sa dá rozložiť číslo \(6\)? Na \(2\) a \(3\), \(6\) a \(1\) alebo \(-2\) a \(-3\) a \(-6\) a \(- jeden\). A ktorý pár si vybrať, prvá rovnica systému povie: \(x_1+x_2=5\). \(2\) a \(3\) sú podobné, pretože \(2+3=5\).
Odpoveď : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Príklady . Pomocou inverznej hodnoty Vietovej vety nájdite korene kvadratickej rovnice:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

Riešenie :
a) \(x^2-15x+14=0\) - na aké faktory sa \(14\) rozkladá? \(2\) a \(7\), \(-2\) a \(-7\), \(-1\) a \(-14\), \(1\) a \(14\ ). Aké dvojice čísel tvoria \(15\)? Odpoveď: \(1\) a \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) - na aké faktory sa rozkladá \(-4\)? \(-2\) a \(2\), \(4\) a \(-1\), \(1\) a \(-4\). Aké dvojice čísel tvoria \(-3\)? Odpoveď: \(1\) a \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – na aké faktory sa rozkladá \(20\)? \(4\) a \(5\), \(-4\) a \(-5\), \(2\) a \(10\), \(-2\) a \(-10\ ), \(-20\) a \(-1\), \(20\) a \(1\). Aké dvojice čísel tvoria \(-9\)? Odpoveď: \(-4\) a \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) - na aké faktory sa rozkladá \(780\)? \(390\) a \(2\). Súčet je \(88\)? Nie Aké ďalšie multiplikátory má \(780\)? \(78\) a \(10\). Súčet je \(88\)? Áno. Odpoveď: \(78\) a \(10\).

Nie je potrebné rozkladať posledný člen na všetky možné faktory (ako v poslednom príklade). Môžete okamžite skontrolovať, či ich súčet dáva \(-p\).

Dôležité! Vietova veta a opačná veta pracujú iba s , teda s takou, ktorej koeficient pred \(x^2\) sa rovná jednej. Ak máme na začiatku neredukovanú rovnicu, môžeme ju zredukovať jednoduchým delením koeficientom pred \ (x ^ 2 \).

Napríklad, nech je daná rovnica \(2x^2-4x-6=0\) a chceme použiť jednu z Vietových viet. Ale nemôžeme, pretože koeficient pred \(x^2\) sa rovná \(2\). Zbavme sa toho tak, že celú rovnicu vydelíme \(2\).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Pripravený. Teraz môžeme použiť obe vety.

Odpovede na často kladené otázky

otázka: Vietovou vetou dokážete vyriešiť akýkoľvek ?
odpoveď: Bohužiaľ nie. Ak v rovnici nie sú celé čísla alebo rovnica nemá žiadne korene, potom Vietova veta nepomôže. V tomto prípade musíte použiť diskriminačný . Našťastie 80 % rovníc v školskom kurze matematiky má celočíselné riešenia.

V ôsmom ročníku sa žiaci oboznamujú s kvadratickými rovnicami a ich riešením. Zároveň, ako ukazuje skúsenosť, väčšina študentov používa pri riešení úplných kvadratických rovníc iba jednu metódu - vzorec pre korene kvadratickej rovnice. Pre študentov s dobrými schopnosťami ústneho počítania je táto metóda zjavne iracionálna. Študenti musia na strednej škole často riešiť kvadratické rovnice a tam je jednoducho škoda tráviť čas výpočtom diskriminantu. Podľa môjho názoru by sa pri štúdiu kvadratických rovníc malo venovať viac času a pozornosti aplikácii Vietovej vety (podľa programu A.G. Mordkovicha Algebra-8 sú naplánované len dve hodiny na štúdium témy „Veta Vieta. Dekompozícia štvorcová trojčlenka na lineárne faktory“).

Vo väčšine učebníc algebry je táto veta formulovaná pre redukovanú kvadratickú rovnicu a hovorí, že ak má rovnica korene a , potom spĺňajú rovnosti , . Potom sa sformuluje konverzácia k Vietovej vete a ponúkne sa množstvo príkladov na prácu na tejto téme.

Zoberme si konkrétne príklady a nasledujme na nich logiku riešenia pomocou Vietovej vety.

Príklad 1. Vyriešte rovnicu.

Predpokladajme, že táto rovnica má korene, konkrétne a . Potom, podľa Vietovej vety, rovnosti

Všimnite si, že súčin koreňov je kladné číslo. Korene rovnice majú teda rovnaké znamienko. A keďže súčet koreňov je tiež kladné číslo, usúdime, že oba korene rovnice sú kladné. Vráťme sa k produktu koreňov. Predpokladajme, že korene rovnice sú kladné celé čísla. Potom je možné správnu prvú rovnosť získať iba dvoma spôsobmi (až do poradia faktorov): alebo . Skontrolujme pre navrhované dvojice čísel uskutočniteľnosť druhého tvrdenia Vietovej vety: . Čísla 2 a 3 teda spĺňajú obe rovnosti, a teda sú koreňmi danej rovnice.

Odpoveď: 2; 3.

Pri riešení danej kvadratickej rovnice pomocou Vietovej vety vyčleňujeme hlavné fázy uvažovania:

zapíšte si tvrdenie Vietovej vety

(*)

• určte znamienka koreňov rovnice (Ak sú súčin a súčet koreňov kladné, potom sú oba korene kladné čísla. Ak súčin koreňov je kladné číslo a súčet koreňov záporný, potom oba korene sú záporné čísla. Ak je súčin koreňov záporné číslo, potom korene majú rôzne znamienka. Navyše, ak je súčet koreňov kladný, potom koreň s väčším modulom je kladné číslo a ak súčet koreňov je menší ako nula, potom koreň s väčším modulom je záporné číslo);
• vyberte dvojice celých čísel, ktorých súčin dáva správnu prvú rovnosť v zápise (*);
• z nájdených dvojíc čísel vyberte dvojicu, ktorá po dosadení do druhej rovnosti v zápise (*) dá správnu rovnosť;
• uveďte v odpovedi nájdené korene rovnice.

Uveďme ešte niekoľko príkladov.

Príklad 2: Vyriešte rovnicu .

Riešenie.

Dovoliť a byť koreňmi danej rovnice. Potom podľa Vietovej vety Všimnite si, že súčin je kladný a súčet záporný. Takže oba korene sú záporné čísla. Vyberáme dvojice faktorov, ktoré dávajú súčin 10 (-1 a -10; -2 a -5). Druhá dvojica čísel dáva súčet -7. Takže čísla -2 a -5 sú koreňmi tejto rovnice.

odpoveď: -2; -5.

Príklad 3. Vyriešte rovnicu .

Riešenie.

Dovoliť a byť koreňmi danej rovnice. Potom podľa Vietovej vety Všimnite si, že súčin je záporný. Takže korene majú rôzne znaky. Súčet koreňov je tiež záporné číslo. Odmocnina s najväčším modulom je teda záporná. Vyberáme dvojice faktorov, ktoré dávajú súčinu -10 (1 a -10; 2 a -5). Druhá dvojica čísel dáva súčet -3. Takže čísla 2 a -5 sú koreňmi tejto rovnice.

odpoveď: 2; -5.

Všimnite si, že Vietova veta môže byť v zásade formulovaná pre úplnú kvadratickú rovnicu: ak kvadratická rovnica má korene a potom vyhovujú rovnosti, . Aplikácia tejto vety je však dosť problematická, pretože v úplnej kvadratickej rovnici je aspoň jeden z koreňov (samozrejme, ak nejaký existuje) zlomkové číslo. A práca s výberom zlomkov je dlhá a náročná. Ale stále existuje cesta von.

Zvážte úplnú kvadratickú rovnicu . Vynásobte obe strany rovnice prvým koeficientom a a napíšte rovnicu do tvaru . Zavedieme novú premennú a získame redukovanú kvadratickú rovnicu , ktorej korene a (ak nejaké existujú) možno nájsť pomocou Vietovej vety. Potom korene pôvodnej rovnice budú . Všimnite si, že je veľmi ľahké napísať pomocnú redukovanú rovnicu: druhý koeficient sa zachová a tretí koeficient sa rovná súčinu eso. Žiaci s určitou zručnosťou ihneď zostavia pomocnú rovnicu, nájdu jej korene pomocou Vietovej vety a naznačia korene danej kompletnej rovnice. Uveďme si príklady.

Príklad 4. Vyriešte rovnicu .

Urobme si pomocnú rovnicu a Vietovou vetou nachádzame jej korene. Takže korene pôvodnej rovnice .

odpoveď: .

Príklad 5. Vyriešte rovnicu .

Pomocná rovnica má tvar . Podľa Vietovej vety sú jej korene . Nájdeme korene pôvodnej rovnice .

odpoveď: .

A ešte jeden prípad, keď aplikácia Vietovej vety umožňuje slovne nájsť korene úplnej kvadratickej rovnice. Je ľahké to dokázať číslo 1 je koreňom rovnice , ak a len vtedy. Druhý koreň rovnice sa nachádza podľa Vietovej vety a rovná sa . Ešte jedno vyhlásenie: takže číslo -1 je koreňom rovnice potrebné a dostatočné na to. Potom sa druhý koreň rovnice podľa Vietovej vety rovná . Podobné tvrdenia možno formulovať pre redukovanú kvadratickú rovnicu.

Príklad 6. Vyriešte rovnicu.

Všimnite si, že súčet koeficientov rovnice je nula. Takže korene rovnice .

odpoveď: .

Príklad 7. Vyriešte rovnicu.

Koeficienty tejto rovnice spĺňajú vlastnosť (skutočne 1-(-999)+(-1000)=0). Takže korene rovnice .

odpoveď: ..

Príklady na aplikáciu Vietovej vety

Úloha 1. Vyriešte danú kvadratickú rovnicu pomocou Vietovej vety.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Úloha 2. Vyriešte úplnú kvadratickú rovnicu prechodom na pomocnú redukovanú kvadratickú rovnicu.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Úloha 3. Vyriešte kvadratickú rovnicu pomocou vlastnosti.

Jednou z metód riešenia kvadratickej rovnice je aplikácia Vzorce VIETA, ktorá bola pomenovaná po FRANCOISOVI VIETEM.

Bol to slávny právnik a slúžil v 16. storočí u francúzskeho kráľa. Vo voľnom čase študoval astronómiu a matematiku. Vytvoril spojenie medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice.

Výhody vzorca:

1 . Použitím vzorca môžete rýchlo nájsť riešenie. Pretože nepotrebujete zadať druhý koeficient do štvorca, potom od neho odčítať 4ac, nájsť diskriminant, dosadiť jeho hodnotu do vzorca na hľadanie koreňov.

2 . Bez riešenia môžete určiť znaky koreňov, vyzdvihnúť hodnoty koreňov.

3 . Po vyriešení systému dvoch záznamov nie je ťažké nájsť samotné korene. Vo vyššie uvedenej kvadratickej rovnici sa súčet koreňov rovná hodnote druhého koeficientu so znamienkom mínus. Súčin koreňov vo vyššie uvedenej kvadratickej rovnici sa rovná hodnote tretieho koeficientu.

4 . Podľa daných koreňov napíšte kvadratickú rovnicu, teda vyriešte inverznú úlohu. Táto metóda sa používa napríklad pri riešení problémov v teoretickej mechanike.

5 . Je vhodné použiť vzorec, keď sa vodiaci koeficient rovná jednej.

nedostatky:

1 . Vzorec nie je univerzálny.

Vietova veta 8. stupeň

Vzorec
Ak x 1 a x 2 sú korene danej kvadratickej rovnice x 2 + px + q \u003d 0, potom:

Príklady
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - korene rovnice x 2 - 2x - 3 \u003d 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Inverzná veta

Vzorec
Ak sú čísla x 1 , x 2 , p, q spojené podmienkami:

Potom x 1 a x 2 sú korene rovnice x 2 + px + q = 0.

Príklad
Urobme kvadratickú rovnicu podľa jej koreňov:

X 1 \u003d 2 -? 3 a x 2 \u003d 2 +? 3.

P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.

Požadovaná rovnica má tvar: x 2 - 4x + 1 = 0.

V tejto prednáške sa zoznámime s kurióznymi vzťahmi medzi koreňmi kvadratickej rovnice a jej koeficientmi. Tieto vzťahy prvýkrát objavil francúzsky matematik Francois Viet (1540-1603).

Napríklad pre rovnicu Зx 2 - 8x - 6 \u003d 0, bez toho, aby ste našli jej korene, môžete pomocou Vietovej vety okamžite povedať, že súčet koreňov je , a súčin koreňov je
t.j. - 2. A pre rovnicu x 2 - 6x + 8 \u003d 0 dospejeme k záveru: súčet koreňov je 6, súčin koreňov je 8; mimochodom, nie je ťažké uhádnuť, čomu sa korene rovnajú: 4 a 2.
Dôkaz Vietovej vety. Korene x 1 a x 2 kvadratickej rovnice ax 2 + bx + c \u003d 0 sa nachádzajú podľa vzorcov

Kde D \u003d b 2 - 4ac je diskriminant rovnice. Položenie týchto koreňov
dostaneme

Teraz vypočítame súčin koreňov x 1 a x 2, ktoré máme

Druhý vzťah je dokázaný:
Komentujte. Vietova veta platí aj v prípade, keď má kvadratická rovnica jeden koreň (to znamená, keď D \u003d 0), ide len o to, že v tomto prípade sa uvažuje, že rovnica má dva rovnaké korene, na ktoré sa vzťahujú vyššie uvedené vzťahy. .
Osvedčené vzťahy pre redukovanú kvadratickú rovnicu x 2 + px + q \u003d 0 majú obzvlášť jednoduchú formu. V tomto prípade dostaneme:

x 1 \u003d x 2 \u003d -p, x 1 x 2 \u003d q
tie. súčet koreňov danej kvadratickej rovnice sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom a súčin koreňov sa rovná voľnému členu.
Pomocou Vietovej vety je možné získať aj iné vzťahy medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice. Nech napríklad x 1 a x 2 sú korene redukovanej kvadratickej rovnice x 2 + px + q = 0. Potom

Hlavným účelom Vietovej vety však nie je to, že vyjadruje určité vzťahy medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice. Oveľa dôležitejší je fakt, že pomocou Vietovej vety je odvodený vzorec na faktorizáciu štvorcového trojčlenu, bez ktorého sa v budúcnosti nezaobídeme.

Dôkaz. Máme

Príklad 1. Rozložte štvorcovú trojčlenku na faktor 3x 2 - 10x + 3.
Riešenie. Po vyriešení rovnice Zx 2 - 10x + 3 \u003d 0 nájdeme korene štvorcového trinomu Zx 2 - 10x + 3: x 1 \u003d 3, x2 \u003d.
Pomocou vety 2 dostaneme

Namiesto toho má zmysel písať Zx - 1. Potom nakoniec dostaneme Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1).
Všimnite si, že daný štvorcový trojčlen môže byť faktorizovaný bez použitia vety 2 pomocou metódy zoskupovania:

Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2 - 9x - x + 3 =
\u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \u003d (x - 3) (Zx - 1).

Ale ako vidíte, pri tejto metóde úspech závisí od toho, či sa nám podarí nájsť úspešné zoskupenie alebo nie, zatiaľ čo pri prvej metóde je úspech zaručený.
Príklad 1. Znížte zlomok

Riešenie. Z rovnice 2x 2 + 5x + 2 = 0 zistíme x 1 = - 2,

Z rovnice x2 - 4x - 12 = 0 zistíme x 1 = 6, x 2 = -2. Preto
x 2 - 4x - 12 \u003d (x - 6) (x - (- 2)) \u003d (x - 6) (x + 2).
Teraz zredukujme daný zlomok:

Príklad 3. Faktorizujte výrazy:
a) x4 + 5 x 2 +6; b) 2x+-3
Riešenie: a) Zavedieme novú premennú y = x 2 . To nám umožní prepísať daný výraz do tvaru štvorcovej trojčlenky vzhľadom na premennú y, konkrétne v tvare y 2 + bу + 6.
Po vyriešení rovnice y 2 + bу + 6 \u003d 0 nájdeme korene štvorcového trinomu y 2 + 5y + 6: y 1 \u003d - 2, y 2 \u003d -3. Teraz použijeme vetu 2; dostaneme

y2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
Zostáva si uvedomiť, že y \u003d x 2, t.j. vrátiť sa k danému výrazu. takže,
x 4 + 5x 2 + 6 \u003d (x 2 + 2) (x 2 + 3).
b) Zaveďme novú premennú y = . To vám umožní prepísať daný výraz do tvaru štvorcového trojčlenu vzhľadom na premennú y, konkrétne v tvare 2y 2 + y - 3. Po vyriešení rovnice
2y 2 + y - 3 \u003d 0, nájdeme korene štvorcového trinomu 2y 2 + y - 3:
y1 = 1, y2 =. Ďalej pomocou vety 2 dostaneme:

Zostáva mať na pamäti, že y \u003d, t.j. vrátiť sa k danému výrazu. takže,

Časť končí niekoľkými úvahami, opäť spojenými s Vietovou vetou, alebo skôr s opačným tvrdením:
ak čísla x 1, x 2 sú také, že x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q, potom tieto čísla sú koreňmi rovnice
Pomocou tohto výroku môžete ústne vyriešiť mnohé kvadratické rovnice bez použitia ťažkopádnych koreňových vzorcov a tiež zostaviť kvadratické rovnice s danými koreňmi. Uveďme si príklady.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. Tu x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. Je ľahké uhádnuť, že x 1 = 8, x 2 = 3.

2) x 2 + 11x + 30 = 0. Tu x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. Je ľahké uhádnuť, že x 1 = -5, x 2 = -6.
Poznámka: ak je voľný člen rovnice kladné číslo, potom sú oba korene kladné alebo záporné; toto je dôležité zvážiť pri výbere koreňov.

3) x 2 + x - 12 = 0. Tu x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. Je ľahké uhádnuť, že x 1 \u003d 3, x2 \u003d -4.
Vezmite prosím na vedomie: ak je voľný člen rovnice záporné číslo, korene majú rôzne znamienka; toto je dôležité zvážiť pri výbere koreňov.

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. Je ľahké vidieť, že x = 1 spĺňa rovnicu, t.j. x 1 \u003d 1 - koreň rovnice. Pretože x 1 x 2 \u003d - a x 1 \u003d 1, dostaneme, že x 2 \u003d -.

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Tu x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Ak dáte pozor na to, že 2830 = 283. 10 a 293 \u003d 283 + 10, potom je zrejmé, že x 1 \u003d 283, x 2 \u003d 10 (teraz si predstavte, aké výpočty by sa museli vykonať na vyriešenie tejto kvadratickej rovnice pomocou štandardných vzorcov).

6) Zostavme kvadratickú rovnicu tak, aby jej korene slúžili čísla x 1 \u003d 8, x 2 \u003d - 4. Zvyčajne v takýchto prípadoch tvoria redukovanú kvadratickú rovnicu x 2 + px + q \u003d 0.
Máme x 1 + x 2 \u003d -p, teda 8 - 4 \u003d -p, to znamená p \u003d -4. Ďalej x 1 x 2 = q, t.j. 8"(-4) = q, odkiaľ dostaneme q = -32. Takže p \u003d -4, q \u003d -32, čo znamená, že požadovaná kvadratická rovnica má tvar x 2 -4x-32 \u003d 0.