Vietova veta pre kvadratické a iné rovnice. Vietov teorém. Príklady použitia Riešiť kvadratické rovnice vieta vzorec

Jednou z metód riešenia kvadratickej rovnice je aplikácia Vzorce VIETA, ktorá bola pomenovaná po FRANCOISOVI VIETEM.

Bol to slávny právnik a slúžil v 16. storočí u francúzskeho kráľa. Vo voľnom čase študoval astronómiu a matematiku. Vytvoril spojenie medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice.

Výhody vzorca:

1 . Použitím vzorca môžete rýchlo nájsť riešenie. Pretože nepotrebujete zadať druhý koeficient do štvorca, potom od neho odčítať 4ac, nájsť diskriminant, dosadiť jeho hodnotu do vzorca na hľadanie koreňov.

2 . Bez riešenia môžete určiť znaky koreňov, vyzdvihnúť hodnoty koreňov.

3 . Po vyriešení systému dvoch záznamov nie je ťažké nájsť samotné korene. Vo vyššie uvedenej kvadratickej rovnici sa súčet koreňov rovná hodnote druhého koeficientu so znamienkom mínus. Súčin koreňov vo vyššie uvedenej kvadratickej rovnici sa rovná hodnote tretieho koeficientu.

4 . Podľa daných koreňov napíšte kvadratickú rovnicu, teda vyriešte inverznú úlohu. Táto metóda sa používa napríklad pri riešení problémov v teoretickej mechanike.

5 . Je vhodné použiť vzorec, keď sa vodiaci koeficient rovná jednej.

nedostatky:

1 . Vzorec nie je univerzálny.

Vietova veta 8. stupeň

Vzorec
Ak x 1 a x 2 sú korene danej kvadratickej rovnice x 2 + px + q \u003d 0, potom:

Príklady
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - korene rovnice x 2 - 2x - 3 \u003d 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Inverzná veta

Vzorec
Ak sú čísla x 1 , x 2 , p, q spojené podmienkami:

Potom x 1 a x 2 sú korene rovnice x 2 + px + q = 0.

Príklad
Urobme kvadratickú rovnicu podľa jej koreňov:

X 1 \u003d 2 -? 3 a x 2 \u003d 2 +? 3.

P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.

Požadovaná rovnica má tvar: x 2 - 4x + 1 = 0.

Formulácia a dôkaz Vietovej vety pre kvadratické rovnice. Inverzná Vieta veta. Vietova veta pre kubické rovnice a rovnice ľubovoľného poriadku.

Obsah

Pozri tiež: Korene kvadratickej rovnice

Kvadratické rovnice

Vietov teorém

Nech a označme korene redukovanej kvadratickej rovnice
(1) .
Potom sa súčet koreňov rovná koeficientu at s opačným znamienkom. Súčin koreňov sa rovná voľnému termínu:
;
.

Poznámka o viacerých koreňoch

Ak je diskriminant rovnice (1) nulový, potom má táto rovnica jeden koreň. Aby sa však predišlo ťažkopádnym formuláciám, všeobecne sa uznáva, že v tomto prípade má rovnica (1) dva viacnásobné alebo rovnaké korene:
.

Dôkaz jeden

Nájdite korene rovnice (1). Ak to chcete urobiť, použite vzorec pre korene kvadratickej rovnice:
;
;
.

Nájdenie súčtu koreňov:
.

Na nájdenie produktu použijeme vzorec:
.
Potom

.

Veta bola dokázaná.

Dôkaz dva

Ak čísla a sú koreňmi kvadratickej rovnice (1), potom
.
Otvárame zátvorky.

.
Takže rovnica (1) bude mať tvar:
.
V porovnaní s (1) zistíme:
;
.

Veta bola dokázaná.

Inverzná Vieta veta

Nech sú ľubovoľné čísla. Potom a sú korene kvadratickej rovnice
,
kde
(2) ;
(3) .

Dôkaz Vietovej konverznej vety

Zvážte kvadratickú rovnicu
(1) .
Musíme dokázať, že ak a , potom a sú koreňmi rovnice (1).

Nahraďte (2) a (3) za (1):
.
Zoskupujeme členy ľavej strany rovnice:
;
;
(4) .

Nahradiť v (4):
;
.

Nahradiť v (4):
;
.
Rovnica je splnená. To znamená, že číslo je koreňom rovnice (1).

Veta bola dokázaná.

Vietova veta pre úplnú kvadratickú rovnicu

Teraz zvážte úplnú kvadratickú rovnicu
(5) ,
kde , a sú nejaké čísla. A .

Rovnicu (5) delíme takto:
.
To znamená, že sme dostali vyššie uvedenú rovnicu
,
kde ; .

Potom má Vietova veta pre úplnú kvadratickú rovnicu nasledujúci tvar.

Nech a označme korene úplnej kvadratickej rovnice
.
Potom súčet a súčin koreňov určujú vzorce:
;
.

Vietova veta pre kubickú rovnicu

Podobne môžeme vytvoriť spojenia medzi koreňmi kubickej rovnice. Zvážte kubickú rovnicu
(6) ,
kde , , , sú nejaké čísla. A .
Rozdeľme túto rovnicu takto:
(7) ,
kde , , .
Nech , , sú korene rovnice (7) (a rovnice (6)). Potom

.

Porovnaním s rovnicou (7) zistíme:
;
;
.

Vietova veta pre rovnicu n-tého stupňa

Rovnakým spôsobom môžete nájsť súvislosti medzi koreňmi , , ... , , pre rovnicu n-tého stupňa
.

Vietova veta pre rovnicu n-tého stupňa má nasledujúci tvar:
;
;
;

.

Aby sme získali tieto vzorce, napíšeme rovnicu v nasledujúcom tvare:
.
Potom zrovnáme koeficienty na , , , ... a porovnáme voľný člen.

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a študentov vysokých škôl, Lan, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov a kol., Algebra: učebnica pre 8. ročník vzdelávacích inštitúcií, Moskva, Vzdelávanie, 2006.

Pozri tiež:

V tejto prednáške sa zoznámime s kurióznymi vzťahmi medzi koreňmi kvadratickej rovnice a jej koeficientmi. Tieto vzťahy prvýkrát objavil francúzsky matematik Francois Viet (1540-1603).

Napríklad pre rovnicu Зx 2 - 8x - 6 \u003d 0, bez toho, aby ste našli jej korene, môžete pomocou Vietovej vety okamžite povedať, že súčet koreňov je , a súčin koreňov je
t.j. - 2. A pre rovnicu x 2 - 6x + 8 \u003d 0 dospejeme k záveru: súčet koreňov je 6, súčin koreňov je 8; mimochodom, nie je ťažké uhádnuť, čomu sa korene rovnajú: 4 a 2.
Dôkaz Vietovej vety. Korene x 1 a x 2 kvadratickej rovnice ax 2 + bx + c \u003d 0 sa nachádzajú podľa vzorcov

Kde D \u003d b 2 - 4ac je diskriminant rovnice. Položenie týchto koreňov
dostaneme

Teraz vypočítame súčin koreňov x 1 a x 2, ktoré máme

Druhý vzťah je dokázaný:
Komentujte. Vietova veta platí aj v prípade, keď má kvadratická rovnica jeden koreň (to znamená, keď D \u003d 0), ide len o to, že v tomto prípade sa uvažuje, že rovnica má dva rovnaké korene, na ktoré sa vzťahujú vyššie uvedené vzťahy. .
Osvedčené vzťahy pre redukovanú kvadratickú rovnicu x 2 + px + q \u003d 0 majú obzvlášť jednoduchú formu. V tomto prípade dostaneme:

x 1 \u003d x 2 \u003d -p, x 1 x 2 \u003d q
tie. súčet koreňov danej kvadratickej rovnice sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom a súčin koreňov sa rovná voľnému členu.
Pomocou Vietovej vety je možné získať aj iné vzťahy medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice. Nech napríklad x 1 a x 2 sú korene redukovanej kvadratickej rovnice x 2 + px + q = 0. Potom

Hlavným účelom Vietovej vety však nie je to, že vyjadruje určité vzťahy medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice. Oveľa dôležitejší je fakt, že pomocou Vietovej vety je odvodený vzorec na faktorizáciu štvorcového trojčlenu, bez ktorého sa v budúcnosti nezaobídeme.

Dôkaz. Máme

Príklad 1. Rozložte štvorcovú trojčlenku na faktor 3x 2 - 10x + 3.
Riešenie. Po vyriešení rovnice Zx 2 - 10x + 3 \u003d 0 nájdeme korene štvorcového trinomu Zx 2 - 10x + 3: x 1 \u003d 3, x2 \u003d.
Pomocou vety 2 dostaneme

Namiesto toho má zmysel písať Zx - 1. Potom nakoniec dostaneme Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1).
Všimnite si, že daný štvorcový trojčlen môže byť faktorizovaný bez použitia vety 2 pomocou metódy zoskupovania:

Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2 - 9x - x + 3 =
\u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \u003d (x - 3) (Zx - 1).

Ale ako vidíte, pri tejto metóde úspech závisí od toho, či sa nám podarí nájsť úspešné zoskupenie alebo nie, zatiaľ čo pri prvej metóde je úspech zaručený.
Príklad 1. Znížte zlomok

Riešenie. Z rovnice 2x 2 + 5x + 2 = 0 zistíme x 1 = - 2,

Z rovnice x2 - 4x - 12 = 0 zistíme x 1 = 6, x 2 = -2. Preto
x 2 - 4x - 12 \u003d (x - 6) (x - (- 2)) \u003d (x - 6) (x + 2).
Teraz zredukujme daný zlomok:

Príklad 3. Faktorizujte výrazy:
a) x4 + 5 x 2 +6; b) 2x+-3
Riešenie: a) Zavedieme novú premennú y = x 2 . To nám umožní prepísať daný výraz do tvaru štvorcovej trojčlenky vzhľadom na premennú y, konkrétne v tvare y 2 + bу + 6.
Po vyriešení rovnice y 2 + bу + 6 \u003d 0 nájdeme korene štvorcového trinomu y 2 + 5y + 6: y 1 \u003d - 2, y 2 \u003d -3. Teraz použijeme vetu 2; dostaneme

y2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
Zostáva si uvedomiť, že y \u003d x 2, t.j. vrátiť sa k danému výrazu. takže,
x 4 + 5x 2 + 6 \u003d (x 2 + 2) (x 2 + 3).
b) Zaveďme novú premennú y = . To vám umožní prepísať daný výraz do tvaru štvorcového trojčlenu vzhľadom na premennú y, konkrétne v tvare 2y 2 + y - 3. Po vyriešení rovnice
2y 2 + y - 3 \u003d 0, nájdeme korene štvorcového trinomu 2y 2 + y - 3:
y1 = 1, y2 =. Ďalej pomocou vety 2 dostaneme:

Zostáva mať na pamäti, že y \u003d, t.j. vrátiť sa k danému výrazu. takže,

Časť končí niekoľkými úvahami, opäť spojenými s Vietovou vetou, alebo skôr s opačným tvrdením:
ak čísla x 1, x 2 sú také, že x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q, potom tieto čísla sú koreňmi rovnice
Pomocou tohto výroku môžete ústne vyriešiť mnohé kvadratické rovnice bez použitia ťažkopádnych koreňových vzorcov a tiež zostaviť kvadratické rovnice s danými koreňmi. Uveďme si príklady.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. Tu x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. Je ľahké uhádnuť, že x 1 = 8, x 2 = 3.

2) x 2 + 11x + 30 = 0. Tu x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. Je ľahké uhádnuť, že x 1 = -5, x 2 = -6.
Poznámka: ak je voľný člen rovnice kladné číslo, potom sú oba korene kladné alebo záporné; toto je dôležité zvážiť pri výbere koreňov.

3) x 2 + x - 12 = 0. Tu x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. Je ľahké uhádnuť, že x 1 \u003d 3, x2 \u003d -4.
Vezmite prosím na vedomie: ak je voľný člen rovnice záporné číslo, korene majú rôzne znamienka; toto je dôležité zvážiť pri výbere koreňov.

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. Je ľahké vidieť, že x = 1 spĺňa rovnicu, t.j. x 1 \u003d 1 - koreň rovnice. Pretože x 1 x 2 \u003d - a x 1 \u003d 1, dostaneme, že x 2 \u003d -.

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Tu x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Ak dáte pozor na to, že 2830 = 283. 10 a 293 \u003d 283 + 10, potom je zrejmé, že x 1 \u003d 283, x 2 \u003d 10 (teraz si predstavte, aké výpočty by sa museli vykonať na vyriešenie tejto kvadratickej rovnice pomocou štandardných vzorcov).

6) Zostavme kvadratickú rovnicu tak, aby jej korene slúžili čísla x 1 \u003d 8, x 2 \u003d - 4. Zvyčajne v takýchto prípadoch tvoria redukovanú kvadratickú rovnicu x 2 + px + q \u003d 0.
Máme x 1 + x 2 \u003d -p, teda 8 - 4 \u003d -p, to znamená p \u003d -4. Ďalej x 1 x 2 = q, t.j. 8"(-4) = q, odkiaľ dostaneme q = -32. Takže p \u003d -4, q \u003d -32, čo znamená, že požadovaná kvadratická rovnica má tvar x 2 -4x-32 \u003d 0.

Najprv sformulujme samotnú vetu: Povedzme, že máme redukovanú kvadratickú rovnicu v tvare x^2+b*x + c = 0. Povedzme, že táto rovnica obsahuje korene x1 a x2. Potom sú podľa vety prípustné nasledujúce tvrdenia:

1) Súčet koreňov x1 a x2 sa bude rovnať zápornej hodnote koeficientu b.

2) Súčin práve týchto koreňov nám dá koeficient c.

Ale čo je vyššie uvedená rovnica?

Redukovaná kvadratická rovnica je kvadratická rovnica, koeficient najvyššieho stupňa, ktorý sa rovná jednej, t.j. toto je rovnica v tvare x^2 + b*x + c = 0. (a rovnica a*x^2 + b*x + c = 0 nie je redukovaná). Inými slovami, aby sme rovnicu zredukovali na redukovaný tvar, musíme túto rovnicu vydeliť koeficientom na najvyššom stupni (a). Úlohou je uviesť túto rovnicu do redukovaného tvaru:

3*x^2 12*x + 18 = 0;

−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;

1,5*x^2 + 7,5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.

Každú rovnicu vydelíme koeficientom najvyššieho stupňa, dostaneme:

X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;

X^2 + 3,5*x - 5,5 = 0.

Ako je zrejmé z príkladov, aj rovnice obsahujúce zlomky sa dajú zredukovať do redukovaného tvaru.

Použitie Vietovej vety

X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;

dostaneme korene: x1 = 2; x2 = 3;

X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = -6; x1*x2 = 8;

v dôsledku toho dostaneme korene: x1 = -2; x2 = -4;

X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = -5; x1*x2 = 4;

dostaneme korene: x1 = −1; x2 = -4.

Význam Vietovej vety

Vietov teorém nám umožňuje vyriešiť akúkoľvek danú kvadratickú rovnicu takmer za pár sekúnd. Na prvý pohľad to vyzerá ako dosť náročná úloha, ale po 5 10 rovniciach sa môžete naučiť vidieť korene hneď.

Z vyššie uvedených príkladov a pomocou vety môžete vidieť, ako môžete výrazne zjednodušiť riešenie kvadratických rovníc, pretože pomocou tejto vety môžete vyriešiť kvadratickú rovnicu s malými alebo žiadnymi zložitými výpočtami a výpočtom diskriminantu, a ako viete , čím menej výpočtov, tým ťažšie je urobiť chybu, čo je dôležité.

Vo všetkých príkladoch sme toto pravidlo použili na základe dvoch dôležitých predpokladov:

Vyššie uvedená rovnica, t.j. koeficient na najvyššom stupni sa rovná jednej (tejto podmienke sa dá ľahko vyhnúť. Môžete použiť neredukovaný tvar rovnice, potom nasledujúce tvrdenia x1+x2=-b/a; x1*x2=c/a budú platné, ale väčšinou sa to ťažšie rieši :))

Keď rovnica bude mať dva rôzne korene. Predpokladáme, že nerovnosť je pravdivá a diskriminant je striktne väčší ako nula.

Preto môžeme zostaviť všeobecný algoritmus riešenia pomocou Vietovej vety.

Algoritmus všeobecného riešenia podľa Vietovej vety

Kvadratickú rovnicu privedieme do redukovaného tvaru, ak nám je rovnica daná v neredukovanom tvare. Keď sa koeficienty v kvadratickej rovnici, ktoré sme predtým prezentovali ako redukované, ukázali ako zlomkové (nie desiatkové), potom by sa v tomto prípade naša rovnica mala riešiť cez diskriminant.

Existujú aj prípady, kedy nám návrat k pôvodnej rovnici umožňuje pracovať s „pohodlnými“ číslami.

Pri štúdiu spôsobov riešenia rovníc druhého rádu v kurze školskej algebry zvážte vlastnosti získaných koreňov. Teraz sú známe ako Vietove teorémy. Príklady jeho použitia sú uvedené v tomto článku.

Kvadratická rovnica

Rovnica druhého rádu je rovnosť, ktorá je znázornená na fotografii nižšie.

Symboly a, b, c sú tu niektoré čísla, ktoré sa nazývajú koeficienty uvažovanej rovnice. Ak chcete vyriešiť rovnosť, musíte nájsť x hodnôt, ktoré ju robia pravdivou.

Všimnite si, že keďže maximálna hodnota mocniny, na ktorú sa x zvýši, sú dve, potom je počet koreňov vo všeobecnom prípade tiež dva.

Existuje niekoľko spôsobov, ako vyriešiť tento typ rovnosti. V tomto článku sa budeme zaoberať jedným z nich, ktorý zahŕňa použitie takzvanej Vietovej vety.

Výrok Vietovej vety

Koncom 16. storočia si slávny matematik Francois Viet (Francúz) pri analýze vlastností koreňov rôznych kvadratických rovníc všimol, že určité ich kombinácie spĺňajú špecifické vzťahy. Tieto kombinácie sú najmä ich súčinom a súčtom.

Vietova veta stanovuje nasledovné: korene kvadratickej rovnice, keď sú sčítané, dávajú pomer lineárnych ku kvadratickým koeficientom s opačným znamienkom, a keď sú vynásobené, vedú k pomeru voľného člena ku kvadratickému koeficientu .

Ak je všeobecný tvar rovnice napísaný tak, ako je znázornený na fotografii v predchádzajúcej časti článku, potom matematicky možno túto vetu zapísať ako dve rovnosti:

• r2 + r1 \u003d -b / a;
• r 1 x r 2 \u003d c / a.

Kde r 1 , r 2 je hodnota koreňov uvažovanej rovnice.

Tieto dve rovnosti možno použiť na riešenie množstva veľmi odlišných matematických problémov. Použitie Vietovej vety v príkladoch s riešením je uvedené v nasledujúcich častiach článku.