Meşteşuguri

Ecuația unui plan este distanța de la un punct la un plan. Distanța de la un punct la un plan. cale. Metoda vectorială

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, în procedurile judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea autorităților guvernamentale de pe teritoriul Federației Ruse - de a vă dezvălui informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către terțul succesor aplicabil.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Determinarea distantei dintre: 1 - punct si plan; 2 - drept și plat; 3 - avioane; 4 - liniile drepte încrucișate sunt considerate împreună, deoarece algoritmul de soluție pentru toate aceste probleme este în esență același și constă din constructii geometrice, care trebuie efectuată pentru a determina distanța dintre punctul dat A și planul α. Dacă există vreo diferență, aceasta constă doar în faptul că în cazurile 2 și 3, înainte de a începe rezolvarea problemei, ar trebui să marcați un punct arbitrar A pe dreapta m (cazul 2) sau pe planul β (cazul 3). distanțe dintre liniile drepte care se intersectează, mai întâi le închidem în plane paralele α și β și apoi determinăm distanța dintre aceste plane.

Să luăm în considerare fiecare dintre cazurile notate de rezolvare a problemelor.

1. Determinarea distanței dintre un punct și un plan.

Distanța de la un punct la un plan este determinată de lungimea unui segment perpendicular trasat de la un punct la plan.

Prin urmare, soluția la această problemă constă în efectuarea secvențială a următoarelor operații grafice:

1) din punctul A coborâm perpendiculara pe planul α (Fig. 269);

2) găsiți punctul M de intersecție al acestei perpendiculare cu planul M = a ∩ α;

3) determinați lungimea segmentului.

Dacă planul α este în poziție generală, atunci pentru a coborî o perpendiculară pe acest plan, este necesar să se determine mai întâi direcția proiecțiilor orizontale și frontale ale acestui plan. Găsirea punctului de întâlnire al acestei perpendiculare cu planul necesită și construcții geometrice suplimentare.

Soluția problemei este simplificată dacă planul α ocupă o anumită poziție față de planurile de proiecție. În acest caz, atât proiecția perpendicularei, cât și găsirea punctului de întâlnire a acesteia cu planul sunt efectuate fără construcții auxiliare suplimentare.

EXEMPLU 1. Determinați distanța de la punctul A la planul α care se proiectează frontal (Fig. 270).

SOLUŢIE. Prin A" desenăm proiecția orizontală a perpendicularei l" ⊥ h 0α, iar prin A" - proiecția sa frontală l" ⊥ f 0α. Marcam punctul M" = l" ∩ f 0α . De la AM || π 2, atunci [A" M"] == |AM| = d.

Din exemplul luat în considerare, este clar cât de simplu se rezolvă problema atunci când avionul ocupă o poziție de proiectare. Prin urmare, dacă în datele sursă este specificat un plan de poziție generală, atunci înainte de a continua cu soluția, planul trebuie mutat într-o poziție perpendiculară pe orice plan de proiecție.

EXEMPLU 2. Determinați distanța de la punctul K la planul specificat de ΔАВС (Fig. 271).

1. Transferăm planul ΔАВС în poziția de proiectare *. Pentru a face acest lucru, trecem de la sistemul xπ 2 /π 1 la x 1 π 3 /π 1: direcția noii axe x 1 este aleasă perpendicular pe proiecția orizontală a planului orizontal al triunghiului.

2. Proiectați ΔABC pe un nou plan π 3 (planul ΔABC este proiectat pe π 3, în [ C " 1 B " 1 ]).

3. Proiectați punctul K pe același plan (K" → K" 1).

4. Prin punctul K" 1 trasăm (K" 1 M" 1)⊥ segmentul [C" 1 B" 1]. Distanța necesară d = |K" 1 M" 1 |

Soluția problemei este simplificată dacă planul este definit prin urme, deoarece nu este nevoie să desenați proiecții ale liniilor de nivel.

EXEMPLU 3. Determinați distanța de la punctul K la planul α, specificată de urme (Fig. 272).

* Cea mai rațională modalitate de a transfera planul triunghiular în poziția de proiectare este înlocuirea planurilor de proiecție, deoarece în acest caz este suficient să construiți o singură proiecție auxiliară.

SOLUŢIE. Înlocuim planul π 1 cu planul π 3, pentru aceasta desenăm o nouă axă x 1 ⊥ f 0α. Pe h 0α marchem un punct arbitrar 1" și determinăm noua proiecție orizontală a acestuia pe planul π 3 (1" 1). Prin punctele X α 1 (X α 1 = h 0α 1 ∩ x 1) și 1" 1 desenăm h 0α 1. Determinăm noua proiecție orizontală a punctului K → K" 1. Din punctul K" 1 coborâm perpendiculara pe h 0α 1 și marcam punctul de intersecție cu h 0α 1 - M" 1. Lungimea segmentului K" 1 M" 1 va indica distanța necesară.

2. Determinarea distanței dintre o dreaptă și un plan.

Distanța dintre o dreaptă și un plan este determinată de lungimea unui segment perpendicular scăpat dintr-un punct arbitrar al dreptei către plan (vezi Fig. 248).

Prin urmare, soluția problemei determinării distanței dintre dreapta m și planul α nu este diferită de exemplele discutate în paragraful 1 pentru determinarea distanței dintre un punct și un plan (vezi Fig. 270 ... 272). Ca punct, puteți lua orice punct aparținând dreptei m.

3. Determinarea distanței dintre avioane.

Distanța dintre planuri este determinată de dimensiunea segmentului perpendicular scăpat dintr-un punct luat pe un plan în alt plan.

Din această definiție rezultă că algoritmul de rezolvare a problemei găsirii distanței dintre planele α și β diferă de un algoritm similar de rezolvare a problemei determinării distanței dintre dreapta m și planul α doar în aceea că linia m trebuie să aparțină planului α. , adică pentru a determina distanța dintre planele α și β urmează:

1) luați o dreaptă m în planul α;

2) selectați un punct arbitrar A pe dreapta m;

3) din punctul A, coborâți perpendiculara l pe planul β;

4) determinați punctul M - punctul de întâlnire al perpendicularei l cu planul β;

5) determinați dimensiunea segmentului.

În practică, este recomandabil să se folosească un algoritm de soluție diferit, care va diferi de cel dat doar prin faptul că, înainte de a trece cu primul pas, planurile ar trebui să fie transferate în poziția de proiecție.

Includerea acestei operații suplimentare în algoritm simplifică execuția tuturor celorlalte puncte fără excepție, ceea ce duce în cele din urmă la o soluție mai simplă.

EXEMPLU 1. Determinați distanța dintre planele α și β (Fig. 273).

SOLUŢIE. Trecem de la sistemul xπ 2 /π 1 la x 1 π 1 /π 3. În ceea ce privește noul plan π 3, planurile α și β ocupă o poziție proeminentă, prin urmare distanța dintre noile urme frontale f 0α 1 și f 0β 1 este cea dorită.

În practica ingineriei, este adesea necesar să se rezolve problema construcției unui plan paralel cu un plan dat și îndepărtat de acesta la o anumită distanță. Exemplul 2 de mai jos ilustrează soluția unei astfel de probleme.

EXEMPLU 2. Este necesar să se construiască proiecții ale unui plan β paralel cu un plan dat α (m || n), dacă se știe că distanța dintre ele este d (Fig. 274).

1. În planul α desenăm drepte orizontale arbitrare h (1, 3) și linii frontale f (1,2).

2. Din punctul 1 refacem perpendiculara l pe planul α(l" ⊥ h", l" ⊥ f").

3. Pe perpendiculara l notăm un punct arbitrar A.

4. Determinați lungimea segmentului - (poziția indică pe diagramă direcția metric nedistorsionată a dreptei l).

5. Așezați segmentul = d pe linia dreaptă (1"A 0) din punctul 1".

6. Marcați pe proiecțiile l" și l" punctele B" și B", corespunzătoare punctului B 0.

7. Prin punctul B desenăm planul β (h 1 ∩ f 1). Pentru β || α, este necesar să se respecte condiția h 1 || h și f 1 || f.

4. Determinarea distanței dintre liniile care se intersectează.

Distanța dintre liniile care se intersectează este determinată de lungimea perpendicularei cuprinse între planurile paralele cărora le aparțin liniile care se intersectează.

Pentru a desena plane reciproc paralele α și β prin drepte care se intersectează m și f, este suficient să trasăm prin punctul A (A ∈ m) o dreaptă p paralelă cu dreapta f și prin punctul B (B ∈ f) o dreaptă k paralelă cu dreapta m . Dreptele care se intersectează m și p, f și k definesc planele reciproc paralele α și β (vezi Fig. 248, e). Distanța dintre planele α și β este egală cu distanța necesară dintre liniile de încrucișare m și f.

Se poate propune o altă modalitate de determinare a distanței dintre liniile care se intersectează, care constă în faptul că, folosind o metodă de transformare a proiecțiilor ortogonale, una dintre liniile care se intersectează este transferată în poziția de proiectare. În acest caz, o proiecție a dreptei degenerează într-un punct. Distanța dintre noile proiecții ale liniilor de încrucișare (punctul A" 2 și segmentul C" 2 D" 2) este cea necesară.

În fig. 275 prezintă o soluție la problema determinării distanței dintre liniile de încrucișare a și b, date segmente [AB] și [CD]. Soluția se efectuează în următoarea secvență:

1. Transferați una dintre liniile de încrucișare (a) într-o poziție paralelă cu planul π 3; Pentru a face acest lucru, treceți de la sistemul de planuri de proiecție xπ 2 /π 1 la noul x 1 π 1 /π 3, axa x 1 este paralelă cu proiecția orizontală a dreptei a. Determinați a" 1 [A" 1 B" 1 ] și b" 1.

2. Prin înlocuirea planului π 1 cu planul π 4, translatăm dreapta

și la poziția a" 2, perpendicular pe planπ 4 (noua axă x 2 este desenată perpendicular pe un „1).

3. Construiți o nouă proiecție orizontală a dreptei b" 2 - [ C" 2 D" 2 ].

4. Distanța de la punctul A" 2 la linia dreaptă C" 2 D" 2 (segmentul (A" 2 M" 2 ] (este cel necesar).

Trebuie avut în vedere că transferul uneia dintre liniile de trecere în poziția de proiectare nu este altceva decât transferul planurilor de paralelism, în care liniile a și b pot fi închise, tot în poziția de proiectare.

De fapt, prin mutarea liniei a într-o poziție perpendiculară pe planul π 4, ne asigurăm că orice plan care conține dreapta a este perpendicular pe planul π 4, inclusiv planul α definit de liniile a și m (a ∩ m, m | |. b). Dacă tragem acum o dreaptă n, paralelă cu a și dreapta care se intersectează cu b, atunci obținem planul β, care este al doilea plan de paralelism, care conține dreptele care se intersectează a și b. Din moment ce β || α, atunci β ⊥ π 4 .

Găsirea distanței de la un punct la un plan este o problemă comună care apare la rezolvare diverse sarcini geometrie analitică, de exemplu, această problemă poate fi redusă la găsirea distanței dintre două drepte care se intersectează sau dintre o dreaptă și un plan paralel cu aceasta.

Se consideră planul $β$ și un punct $M_0$ cu coordonatele $(x_0;y_0; z_0)$ care nu aparține planului $β$.

Definiția 1

Cea mai scurtă distanță dintre un punct și un plan va fi perpendiculara trasată de la punctul $M_0$ la planul $β$.

Figura 1. Distanța de la un punct la un plan. Autor24 - schimb online de lucrări ale studenților

Mai jos discutăm cum să găsim distanța de la un punct la un plan folosind metoda coordonatelor.

Derivarea formulei pentru metoda coordonatelor de găsire a distanței de la un punct la un plan în spațiu

O perpendiculară din punctul $M_0$ care intersectează planul $β$ în punctul $M_1$ cu coordonatele $(x_1;y_1; z_1)$ se află pe o dreaptă al cărei vector direcție este vectorul normal al planului $β$. În acest caz, lungimea vectorului unitar $n$ este egală cu unu. În consecință, distanța de la $β$ la punctul $M_0$ va fi:

$ρ= |\vec(n) \cdot \vec(M_1M_0)|\left(1\right)$, unde $\vec(M_1M_0)$ este vectorul normal al planului $β$ și $\vec( n)$ este vectorul normal unitar al planului luat în considerare.

În cazul în care ecuația planului este dată în vedere generala$Ax+ Prin + Cz + D=0$, coordonatele vectorului normal al planului sunt coeficienții ecuației $$A;B;C$$, iar vectorul normal unitar în acest caz are coordonatele calculate prin următoarea ecuație:

$\vec(n)= \frac($A;B;C$)(\sqrt(A^2 + B^2 + C^2))\left(2\right)$.

Acum putem găsi coordonatele vectorului normal $\vec(M_1M_0)$:

$\vec(M_0M_1)= $x_0 – x_1;y_0-y_1;z_0-z_1$\left(3\right)$.

De asemenea, exprimăm coeficientul $D$ folosind coordonatele unui punct situat în planul $β$:

$D= Ax_1+By_1+Cz_1$

Coordonatele vectorului normal unitar din egalitatea $(2)$ pot fi substituite în ecuația planului $β$, atunci avem:

$ρ= \frac(|A(x_0 -x_1) + B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2))= \frac( |Ax_0+ By_0 + Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2))) = \frac(Ax_0+ By_0 + Cz_0 + D)(\sqrt(A^2) +B^2+C^2))\stanga(4\dreapta)$

Egalitatea $(4)$ este o formulă pentru găsirea distanței de la un punct la un plan în spațiu.

Algoritm general pentru găsirea distanței de la punctul $M_0$ la un plan

Dacă ecuația planului nu este dată în formă generală, mai întâi trebuie să o reduceți la forma generală.
După aceasta este necesar să se exprime din ecuație generală plan, vectorul normal al unui plan dat prin punctul $M_0$ și un punct aparținând unui plan dat pentru aceasta trebuie să folosim egalitatea $(3)$;
Următoarea etapă este căutarea coordonatelor vectorului normal unitar al planului folosind formula $(2)$.
În cele din urmă, puteți începe să găsiți distanța de la punct la plan, acest lucru se face prin calcularea produsului scalar al vectorilor $\vec(n)$ și $\vec(M_1M_0)$.

Condiții de paralelism și perpendicularitate

1°. Condiție pentru coplanaritatea a două planuri

Să fie date două planuri:

A 1 X + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, n 1 = {A 1 ; B 1 ; C 1 } ≠ 0 ;(1)

A 2 X + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, n 2 = {A 2 ; B 2 ; C 2 } ≠ 0 .(2)

Când sunt ele coplanare (adică paralele sau coincidente)? Evident, acesta va fi cazul dacă și numai dacă vectorii lor normali sunt coliniari. Aplicând criteriul de coplanaritate, obținem

Teza 1. Două plane sunt coplanare dacă și numai dacă produsul încrucișat al vectorilor lor normali este egal cu vectorul zero:

[n 1 , n 2 ] = 0 .

2°. Condiție pentru coincidența a două planuri

Propunerea 2. Planurile (1) și (2) coincid dacă și numai dacă toți cei patru coeficienți ai lor sunt proporționali, adică există un număr λ astfel încât

A 2 = λ A 1 , B 2 = λ B 1 , C 2 = λ C 1 , D 2 = λ D 1 . (3)

Dovada. Fie îndeplinite condițiile (3). Atunci ecuația celui de-al doilea plan poate fi scrisă după cum urmează:

λ A 1 X + λ B 1 y + λ C 1 z + λ D 1 = 0.

λ ≠ 0, altfel ar fi A 2 = B 2 = C 2 = D 2 = 0, ceea ce contrazice condiția n 2 ≠ 0 . Prin urmare, ultima ecuație este echivalentă cu ecuația (1), ceea ce înseamnă că cele două plane coincid.

Să știm acum, dimpotrivă, că aceste avioane coincid. Atunci vectorii lor normali sunt coliniari, adică există un număr λ astfel încât

A 2 = λ A 1 , B 2 = λ B 1 , C 2 = λ C 1 .

Ecuația (2) poate fi acum rescrisă ca:

λ A 1 X + λ B 1 y + λ C 1 z + D 2 = 0.

Înmulțind ecuația (1) cu λ, obținem o ecuație echivalentă a primului plan (deoarece λ ≠ 0):

λ A 1 X + λ B 1 y + λ C 1 z + λ D 1 = 0.

Să luăm un punct ( X 0 , y 0 , z 0) din primul (și deci al doilea) plan și înlocuiți coordonatele acestuia în ultimele două ecuații; obținem egalitățile corecte:

λ A 1 X 0 + λ B 1 y 0 + λ C 1 z 0 + D 2 = 0 ;

λ A 1 X 0 + λ B 1 y 0 + λ C 1 z 0 + λ D 1 = 0.

Scăzând partea inferioară din cea superioară, obținem D 2 − λ D 1 = 0, adică D 2 = λ D 1, QED.

3°. Condiție pentru perpendicularitatea a două plane

Evident, pentru aceasta este necesar și suficient ca vectorii normali să fie perpendiculari.

Propunerea 3. Două plane sunt perpendiculare dacă și numai dacă produsul scalar al vectorilor normali este zero:

(n 1 , n 2) = 0 .

Să fie dată ecuația plană

Topor + De + Cz + D = 0, n = {A; B; C} ≠ 0 ,

și punct M 0 = (X 0 , y 0 , z 0). Să derivăm formula pentru distanța de la un punct la un plan:

Să luăm un punct arbitrar Q = (X 1 , y 1 , z 1), culcat în acest plan. Coordonatele sale satisfac ecuația plană:

Topor 1 + De 1 + Cz 1 + D = 0.

Să remarcăm acum că distanța necesară d egală cu valoarea absolută a proiecției vectoriale pe direcția vectorului n (aici luăm proiecția ca mărime numerică și nu ca vector). Apoi, aplicăm formula pentru a calcula proiecția:

O formulă similară este valabilă pentru distanță d din punct M 0 = (X 0 , y 0) plan pe o dreaptă dată de ecuația generală Topor + De + C = 0.

Să fie un avion . Să desenăm un normal
prin originea coordonatelor O. Fie dat
– unghiuri formate de normală cu axe de coordonate.
. Lăsa – lungimea segmentului normal
până când se intersectează cu planul. Presupunând că cosinusurile de direcție ale normalei sunt cunoscute , derivăm ecuația planului .

Lăsa
) este un punct arbitrar pe plan. Vectorul normal unitar are coordonate. Să găsim proiecția vectorului
la normal.

De la punctul M aparține avionului, atunci

Aceasta este ecuația unui plan dat, numită normal .

Distanța de la punct la plan

Să fie dat un avion ,M*
- punct în spațiu, d – distanța sa față de avion.

Definiție. Deviere puncte M* din avion se numește numărul ( + d), Dacă M* se află de cealaltă parte a planului unde direcția pozitivă a punctelor normale , și numărul (- d), dacă punctul este situat pe cealaltă parte a planului:

Teorema. Lasă avionul cu unitatea normală este dat de ecuația normală:

Lăsa M*
– punct în spațiu Abaterea t. M* din plan este dat de expresia

Dovada. Proiecția t.
* notăm cu normal Q. Abaterea punctului M* din plan este egal

Regulă. A găsi deviere T. M* din plan, trebuie să înlocuiți coordonatele t în ecuația normală a planului. M* . Distanța de la un punct la un plan este .

Reducerea ecuației planului general la forma normală

Fie ca acelasi plan sa fie definit prin doua ecuatii:

Ecuația generală

Ecuație normală.

Deoarece ambele ecuații definesc același plan, coeficienții lor sunt proporționali:

Să punem la pătrat primele trei egalități și să le adunăm:

De aici vom găsi - factor de normalizare:

. (10)

Înmulțind ecuația generală a planului cu un factor de normalizare, obținem ecuația normală a planului:

Exemple de probleme pe tema „Avion”.

Exemplul 1. Creați o ecuație a planului trecând printr-un punct dat
(2,1,-1) și paralel cu planul.

Soluţie. Normal la avion :
. Deoarece planurile sunt paralele, atunci normalul este de asemenea normală cu planul dorit . Folosind ecuația unui plan care trece printr-un punct dat (3), obținem pentru plan ecuația:

Răspuns:

Exemplul 2. Baza unei perpendiculare a coborât de la origine la un plan , este ideea
. Aflați ecuația planului .

Soluţie. Vector
este normal pentru avion . Punct M 0 aparține avionului. Puteți folosi ecuația unui plan care trece printr-un punct dat (3):

Răspuns:

Exemplul 3. Construiți avionul , trecând prin puncte

și perpendicular pe plan :.

Prin urmare, pentru un moment dat M (X, y, z) aparținea avionului , este necesar ca trei vectori
au fost coplanari:

=0.

Rămâne să relevăm determinantul și să aducem expresia rezultată la forma ecuației generale (1).

Exemplul 4. Avion este dat de ecuația generală:

Găsiți abaterea punctului
dintr-un plan dat.

Soluţie. Să aducem ecuația planului la forma normală.

Să substituim coordonatele punctului în ecuația normală rezultată M*.

Răspuns:
.

Exemplul 5. Planul intersectează segmentul?

Soluţie. A tăia AB traversat planul, abateri Și din avion trebuie să aibă semne diferite:

Exemplul 6. Intersecția a trei plane într-un punct.

Sistemul are o soluție unică, prin urmare, cele trei planuri au un punct comun.

Exemplul 7. Aflarea bisectoarelor unui unghi diedru format din două plane date.

Lăsa Și - abaterea unui punct
din primul și al doilea plan.

Pe unul dintre planurile bisectoare (corespunzător unghiului în care se află originea coordonatelor) aceste abateri sunt egale ca mărime și semn, iar pe celălalt sunt egale ca mărime și opuse ca semn.

Aceasta este ecuația primului plan bisectoar.

Aceasta este ecuația celui de-al doilea plan bisectoar.

Exemplul 8. Determinarea locației a două puncte date Și raportat la unghiurile diedrice formate de aceste plane.