Exercitii de dictie

Cub cu patru dimensiuni. Cybercube - primul pas în a patra dimensiune Cum se numește un cub cu laturi diferite

Tesseract este un hipercub cu patru dimensiuni - un cub în spațiu cu patru dimensiuni.
Conform Dicționarului Oxford, cuvântul tesseract a fost inventat și folosit în 1888 de Charles Howard Hinton (1853-1907) în cartea sa A New Age of Thought. Mai târziu, unii oameni au numit aceeași figură un tetracub (greacă τετρα - patru) - un cub cu patru dimensiuni.
Un teseract obișnuit în spațiul euclidian cu patru dimensiuni este definit ca o înveliș convex de puncte (±1, ±1, ±1, ±1). Cu alte cuvinte, poate fi reprezentat ca următorul set:
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = Teseractul este limitat de opt hiperplane x_i= +- 1, i=1,2,3,4 , a căror intersecție cu teseractul însuși îl definește fețe tridimensionale (care sunt cuburi obișnuite) Fiecare pereche de fețe tridimensionale neparalele se intersectează pentru a forma fețe bidimensionale (pătrate) și așa mai departe fețe, 24 de fețe bidimensionale, 32 de muchii și 16 vârfuri.
Descriere populară
Să încercăm să ne imaginăm cum va arăta un hipercub fără a părăsi spațiul tridimensional.
Într-un „spațiu” unidimensional - pe o linie - selectăm un segment AB de lungime L. Pe un plan bidimensional la o distanță L de AB, desenăm un segment DC paralel cu acesta și legăm capetele. Rezultatul este un CDBA pătrat. Repetând această operație cu planul, obținem un cub tridimensional CDBAGHFE. Și prin deplasarea cubului în a patra dimensiune (perpendiculară pe primele trei) cu o distanță L, obținem hipercubul CDBAGHFEKLJIOPNM.
Segmentul unidimensional AB servește ca latură a pătratului bidimensional CDBA, pătratul - ca latură a cubului CDBAGHFE, care, la rândul său, va fi latura hipercubului cu patru dimensiuni. Un segment de linie dreaptă are două puncte de limită, un pătrat are patru vârfuri, un cub are opt. Într-un hipercub cu patru dimensiuni, vor exista astfel 16 vârfuri: 8 vârfuri ale cubului original și 8 ale celui deplasat în a patra dimensiune. Are 32 de muchii - câte 12 oferă pozițiile inițiale și finale ale cubului original, iar alte 8 muchii „desenează” cele opt vârfuri ale sale, care s-au mutat în a patra dimensiune. Același raționament se poate face și pentru fețele unui hipercub. În spațiul bidimensional există doar unul (pătratul însuși), un cub are 6 dintre ele (două fețe din pătratul mutat și încă patru care descriu laturile sale). Un hipercub cu patru dimensiuni are 24 de fețe pătrate - 12 pătrate ale cubului original în două poziții și 12 pătrate din cele douăsprezece muchii ale sale.
Așa cum laturile unui pătrat sunt 4 segmente unidimensionale, iar laturile (fețele) unui cub sunt 6 pătrate bidimensionale, la fel pentru un „cub cu patru dimensiuni” (teseract) laturile sunt 8 cuburi tridimensionale . Spațiile perechilor opuse de cuburi tesseract (adică spațiile tridimensionale cărora le aparțin aceste cuburi) sunt paralele. În figură acestea sunt cuburile: CDBAGHFE și KLJIOPNM, CDBAKLJI și GHFEOPNM, EFBAMNJI și GHDCOPLK, CKIAGOME și DLJBHPNF.
În mod similar, putem continua raționamentul pentru hipercuburi Mai mult dimensiuni, dar este mult mai interesant să vedem cum va arăta un hipercub cu patru dimensiuni pentru noi, rezidenții spațiului tridimensional. Pentru aceasta vom folosi metoda deja familiară a analogiilor.
Să luăm cubul de sârmă ABCDHEFG și să-l privim cu un ochi din partea marginii. Vom vedea și putem desena două pătrate pe plan (marginile apropiate și îndepărtate), conectate prin patru linii - margini laterale. În mod similar, un hipercub cu patru dimensiuni în spațiul tridimensional va arăta ca două „cutii” cubice introduse una în cealaltă și conectate prin opt margini. În acest caz, „cutiile” în sine - fețe tridimensionale - vor fi proiectate în spațiul „nostru”, iar liniile care le leagă se vor întinde în direcția celei de-a patra axe. De asemenea, puteți încerca să vă imaginați cubul nu în proiecție, ci într-o imagine spațială.
Așa cum un cub tridimensional este format dintr-un pătrat deplasat de lungimea feței sale, un cub mutat în a patra dimensiune va forma un hipercub. Este limitat de opt cuburi, care în viitor vor arăta ca un fel de drăguț figură complexă. Hipercubul cu patru dimensiuni în sine constă dintr-un număr infinit de cuburi, la fel cum un cub tridimensional poate fi „tăiat” într-un număr infinit de pătrate plate.
Tăiind cele șase fețe ale unui cub tridimensional, îl puteți descompune într-o figură plată - o dezvoltare. Va avea câte un pătrat pe fiecare parte a feței originale plus încă unul - fața opusă acesteia. Și dezvoltarea tridimensională a unui hipercub cu patru dimensiuni va consta din cubul original, șase cuburi „crescând” din acesta, plus încă unul - „hiperfața” finală.
Proprietățile teseractului sunt o extensie a proprietăților forme geometrice dimensiune mai mică în spațiu cu patru dimensiuni.

Puncte (±1, ±1, ±1, ±1). Cu alte cuvinte, poate fi reprezentat ca următorul set:

Teseractul este limitat de opt hiperplane, a căror intersecție cu teseractul însuși își definește fețele tridimensionale (care sunt cuburi obișnuite). Fiecare pereche de fețe 3D neparalele se intersectează pentru a forma fețe 2D (pătrate) și așa mai departe. În cele din urmă, tesseractul are 8 fețe 3D, 24 fețe 2D, 32 de muchii și 16 vârfuri.

Descriere populară

Să încercăm să ne imaginăm cum va arăta un hipercub fără a părăsi spațiul tridimensional.

Construirea unui tesseract pe un plan

Segmentul unidimensional AB servește ca latură a pătratului bidimensional CDBA, pătratul - ca latură a cubului CDBAGHFE, care, la rândul său, va fi latura hipercubului cu patru dimensiuni. Un segment de linie dreaptă are două puncte de limită, un pătrat are patru vârfuri, un cub are opt. Într-un hipercub cu patru dimensiuni, vor exista astfel 16 vârfuri: 8 vârfuri ale cubului original și 8 ale celui deplasat în a patra dimensiune. Are 32 de muchii - câte 12 oferă pozițiile inițiale și finale ale cubului original, iar alte 8 muchii „desenează” cele opt vârfuri ale sale, care s-au mutat în a patra dimensiune. Același raționament se poate face și pentru fețele unui hipercub. În spațiul bidimensional există doar unul (pătratul în sine), un cub are 6 dintre ele (două fețe din pătratul mutat și încă patru care descriu laturile sale). Un hipercub cu patru dimensiuni are 24 de fețe pătrate - 12 pătrate ale cubului original în două poziții și 12 pătrate din cele douăsprezece muchii ale sale.

Așa cum laturile unui pătrat sunt 4 segmente unidimensionale, iar laturile (fețele) unui cub sunt 6 pătrate bidimensionale, la fel pentru un „cub cu patru dimensiuni” (teseract) laturile sunt 8 cuburi tridimensionale . Spațiile perechilor opuse de cuburi tesseract (adică spațiile tridimensionale cărora le aparțin aceste cuburi) sunt paralele. În figură acestea sunt cuburile: CDBAGHFE și KLJIOPNM, CDBAKLJI și GHFEOPNM, EFBAMNJI și GHDCOPLK, CKIAGOME și DLJBHPNF.

Într-un mod similar, ne putem continua raționamentul pentru hipercuburi de un număr mai mare de dimensiuni, dar este mult mai interesant să vedem cum ne va arăta un hipercub cu patru dimensiuni pentru noi, rezidenții spațiului tridimensional. Pentru aceasta vom folosi metoda deja familiară a analogiilor.

Să luăm cubul de sârmă ABCDHEFG și să-l privim cu un ochi din partea marginii. Vom vedea și putem desena două pătrate pe plan (marginile apropiate și îndepărtate), conectate prin patru linii - margini laterale. În mod similar, un hipercub cu patru dimensiuni în spațiul tridimensional va arăta ca două „cutii” cubice introduse una în cealaltă și conectate prin opt margini. În acest caz, „cutiile” în sine - fețe tridimensionale - vor fi proiectate în spațiul „nostru”, iar liniile care le leagă se vor întinde în direcția celei de-a patra axe. De asemenea, puteți încerca să vă imaginați cubul nu în proiecție, ci într-o imagine spațială.

Așa cum un cub tridimensional este format dintr-un pătrat deplasat de lungimea feței sale, un cub mutat în a patra dimensiune va forma un hipercub. Este limitat de opt cuburi, care în perspectivă vor arăta ca o figură destul de complexă. Hipercubul cu patru dimensiuni în sine constă dintr-un număr infinit de cuburi, la fel cum un cub tridimensional poate fi „tăiat” într-un număr infinit de pătrate plate.

Tăiind cele șase fețe ale unui cub tridimensional, îl puteți descompune într-o figură plată - o dezvoltare. Va avea câte un pătrat pe fiecare parte a feței originale plus încă unul - fața opusă acesteia. Și dezvoltarea tridimensională a unui hipercub cu patru dimensiuni va consta din cubul original, șase cuburi „crescând” din acesta, plus încă unul - „hiperfața” finală.

Proprietățile unui tesseract reprezintă o continuare a proprietăților figurilor geometrice de dimensiune inferioară în spațiul cu patru dimensiuni.

Proiecții

Spre spațiul bidimensional

Această structură este greu de imaginat, dar este posibil să se proiecteze un tesseract în spații bidimensionale sau tridimensionale. În plus, proiectarea pe un plan facilitează înțelegerea locației vârfurilor unui hipercub. În acest fel, este posibil să se obțină imagini care nu mai reflectă relațiile spațiale din cadrul teseractului, dar care ilustrează structura conexiunii vârfurilor, ca în următoarele exemple:

A treia imagine prezintă teseractul în izometrie, relativ la punctul de construcție. Această reprezentare este de interes atunci când se utilizează un tesseract ca bază pentru o rețea topologică pentru a lega mai multe procesoare în calcul paralel.

Spre spațiul tridimensional

Una dintre proiecțiile unui tesseract pe spațiul tridimensional reprezintă două cuburi tridimensionale imbricate, ale căror vârfuri corespunzătoare sunt conectate prin segmente. Cuburile interioare și exterioare au dimensiuni diferite în spațiul tridimensional, dar în spațiul cu patru dimensiuni sunt cuburi egale. Pentru a înțelege egalitatea tuturor cuburilor tesseract, a fost creat un model de teseract rotativ.

Cele șase piramide trunchiate de-a lungul marginilor teseractului sunt imagini de șase cuburi egale. Cu toate acestea, aceste cuburi sunt pentru un tesseract, așa cum pătratele (fețele) sunt pentru un cub. Dar, de fapt, teseractul poate fi împărțit într-un număr infinit de cuburi, la fel cum un cub poate fi împărțit într-un număr infinit de pătrate, sau un pătrat într-un număr infinit de segmente.

O altă proiecție interesantă a teseractului pe spațiul tridimensional este un dodecaedru rombic cu cele patru diagonale care leagă perechi de vârfuri opuse la unghiuri mari ale romburilor. În acest caz, 14 din cele 16 vârfuri ale teseractului sunt proiectate în 14 vârfuri ale dodecaedrului rombic, iar proiecțiile celor 2 rămase coincid în centrul acestuia. Într-o astfel de proiecție pe spațiul tridimensional, egalitatea și paralelismul tuturor laturilor unidimensionale, bidimensionale și tridimensionale sunt păstrate.

Pereche stereo

O pereche stereo a unui tesseract este reprezentată ca două proiecții în spațiul tridimensional. Această imagine a teseractului a fost concepută pentru a reprezenta adâncimea ca o a patra dimensiune. Perechea stereo este vizualizată astfel încât fiecare ochi să vadă doar una dintre aceste imagini, apare o imagine stereoscopică care reproduce adâncimea teseractului.

Desfacerea teseractului

Suprafața unui tesseract poate fi desfășurată în opt cuburi (similar cu modul în care suprafața unui cub poate fi desfășurată în șase pătrate). Există 261 de modele diferite de tesseract. Desfăşurarea unui teseract poate fi calculată prin reprezentarea unghiurilor conectate pe un grafic.

Tesseract în art

În „New Abbott Plain” al Edwinei A., hipercubul acționează ca un narator.
Într-un episod din Aventurile lui Jimmy Neutron, „geniul băiat” Jimmy inventează un hipercub cu patru dimensiuni identic cu cutia pliabilă din romanul Glory Road (1963) de Robert Heinlein.
Robert E. Heinlein a menționat hipercuburi în cel puțin trei povești științifico-fantastice. În „Casa celor patru dimensiuni” („The House That Teal Built”), el a descris o casă construită ca un teseract neîmpachetat, iar apoi, din cauza unui cutremur, s-a „împătuit” în a patra dimensiune și a devenit un teseract „adevărat”. .
Romanul lui Heinlein, Drumul Gloriei, descrie o cutie de dimensiuni foarte mari, care era mai mare la interior decât la exterior.
Povestea lui Henry Kuttner „All Tenali Borogov” descrie o jucărie educațională pentru copiii din viitorul îndepărtat, similară ca structură cu un tesseract.
În romanul lui Alex Garland (), termenul „tesseract” este folosit pentru desfășurarea tridimensională a unui hipercub cu patru dimensiuni, mai degrabă decât hipercubul în sine. Aceasta este o metaforă menită să arate că sistemul cognitiv trebuie să fie mai larg decât cel cognoscibil.
Intriga din Cube 2: Hypercube se concentrează pe opt străini prinși într-un „hipercub” sau o rețea de cuburi conectate.
Serialul de televiziune Andromeda folosește generatoare de teseract ca dispozitiv de complot. Ele sunt concepute în primul rând pentru a manipula spațiul și timpul.
Pictura „Răstignirea” (Corpus Hypercubus) de Salvador Dali ().
Cartea de benzi desenate Nextwave descrie un vehicul care include 5 zone tesseract.
În albumul Voivod Nothingface una dintre compoziții se numește „În hipercubul meu”.
În romanul lui Anthony Pearce Route Cube, una dintre lunile orbitale Asociația Internațională dezvoltarea se numește tesseract, care a fost comprimat în 3 dimensiuni.
În serialul „Școala găurii negre” din sezonul al treilea există un episod „Tesseract”. Lucas apasă un buton secret și școala începe să „prindă formă ca un teseract matematic”.
Termenul „tesseract” și derivatul său „tesseract” se găsesc în povestea lui Madeleine L’Engle „A Wrinkle in Time”.
TesseracT este numele unei trupe de djent britanice.
În seria de filme Marvel Cinematic Universe, Tesseract este un element cheie al intrigii, un artefact cosmic sub forma unui hipercub.
În povestea lui Robert Sheckley „Miss Mouse and the Fourth Dimension”, un scriitor ezoteric, o cunoștință a autorului, încearcă să vadă tesseract privind ore întregi la dispozitivul pe care l-a proiectat: o minge pe un picior cu tije înfipte în el, pe care cuburi sunt montate, lipite cu tot felul de simboluri ezoterice. Povestea menționează opera lui Hinton.
În filmele Primul răzbunător, Răzbunătorii. Tesseract - energia întregului univers

Alte nume

Hexadecachoron Hexadecachoron)
Octochoron (engleză) Octachoron)
Tetracubul
4-Cub
Hypercube (dacă nu este specificat numărul de dimensiuni)

Note

Literatură

Charles H. Hinton. A patra dimensiune, 1904. ISBN 0-405-07953-2
Martin Gardner, Carnavalul matematic, 1977. ISBN 0-394-72349-X
Ian Stewart, Concepte de matematică modernă, 1995. ISBN 0-486-28424-7

Legături

In rusa

Programul Transformator4D. Formarea modelelor de proiecții tridimensionale ale obiectelor cu patru dimensiuni (inclusiv Hypercube).
Un program care implementează construcția unui tesseract și toate transformările sale afine, cu cod sursă în C++.

În limba engleză

Mushware Limited - program de ieșire tesseract ( Tesseract Trainer, licență compatibilă cu GPLv2) și un shooter la persoana întâi în spațiu cu patru dimensiuni ( Adanaxis; grafica este în principal tridimensională; Există o versiune GPL în arhivele OS).

Poliedre

Corect
(solide platonice)

Dodecaedru stelat Icosidodecaedru stelat Icosaedru stelat Poliedru stelat Octaedru stelat

Convex

Solide arhimediene	Cubooctaedru Icosidodecaedru Tetraedru trunchiat Octaedru trunchiat Icosaedru trunchiat Cub trunchiat Dodecaedru trunchiat Rombocuboctaedru Rombicocuboctaedru Rombic trunchiat Icosidodecaedru trunchiat Icosidodecaedru trunchiat Snub cuboctaedru Snub cuboctaedru trunchiat Prismă regulată Antiprismă
organismele catalane	Rombododecaedru Rombotriacontaedru Triakisthetraedru Tetrakishexaedru Pentakisdodecaedru Triakisoctaedru Triakisicosaedru Icositraedru deltoidal Hexexontaedru deltoidal Icositraedru pentagonal Hexeaedru pentagonal Disdakisdodecaedru Disdakisdodecaedru
Fără simetrie spațială completă	Prismă piramidală Bipiramidă Antiprismă Zonoedru Paralelepiped Romboedru Prismatoid Piramidă trunchiată
Pentagondodecaedru Paraleloedru

Formule,
teoreme,
teorii

Alte

De îndată ce am putut ține prelegeri după operație, prima întrebare pe care elevii au pus-o a fost:

Când ne vei desena un cub cu 4 dimensiuni? Ilyas Abdulkhaevici ne-a promis!

Îmi amintesc că prietenilor mei dragi le place uneori un moment de activități educaționale matematice. Prin urmare, voi scrie aici o parte din prelegerea mea pentru matematicieni. Și voi încerca fără să fiu plictisitor. În unele momente am citit prelegerea mai strict, desigur.

Să fim de acord mai întâi. Spațiul 4-dimensional și cu atât mai mult 5-6-7- și în general k-dimensional nu ne este oferit în senzațiile senzoriale.
„Suntem nenorociți pentru că suntem doar tridimensionali”, așa cum a spus profesorul meu de la școala duminicală, care mi-a spus prima dată ce este un cub cu 4 dimensiuni. Școala duminicală era, firește, extrem de religioasă – matematică. Acea dată studiam hiper-cuburi. Cu o săptămână înainte de aceasta, inducția matematică, o săptămână după aceea, ciclurile hamiltoniene în grafice - în consecință, aceasta este clasa a 7-a.

Nu putem atinge, mirosi, auzi sau vede un cub 4-dimensional. Ce putem face cu el? Ne putem imagina! Pentru că creierul nostru este mult mai complex decât ochii și mâinile noastre.

Așadar, pentru a înțelege ce este un cub cu 4 dimensiuni, să înțelegem mai întâi ce ne este la dispoziție. Ce este un cub tridimensional?

BINE BINE! Nu vă cer o definiție matematică clară. Imaginează-ți cel mai simplu și mai obișnuit cub tridimensional. Introdus?

Amenda.
Pentru a înțelege cum să generalizați un cub 3-dimensional într-un spațiu 4-dimensional, să ne dăm seama ce este un cub 2-dimensional. Este atât de simplu - este un pătrat!

Un pătrat are 2 coordonate. Cubul are trei. Punctele pătrate sunt puncte cu două coordonate. Primul este de la 0 la 1. Iar al doilea este de la 0 la 1. Punctele cubului au trei coordonate. Și fiecare este orice număr de la 0 la 1.

Este logic să ne imaginăm că un cub cu 4 dimensiuni este un lucru care are 4 coordonate și totul este de la 0 la 1.

/* Este imediat logic să ne imaginăm un cub unidimensional, care nu este altceva decât un simplu segment de la 0 la 1. */

Deci, stai, cum desenezi un cub cu 4 dimensiuni? La urma urmei, nu putem desena spațiu 4-dimensional pe un plan!
Dar nici nu desenăm spațiu tridimensional pe un plan, îl desenăm proiecție pe un plan de desen bidimensional. Așezăm a treia coordonată (z) într-un unghi, imaginându-ne că axa din planul desenului merge „spre noi”.

Acum este complet clar cum să desenezi un cub cu 4 dimensiuni. În același mod în care am poziționat a treia axă la un anumit unghi, să luăm a patra axă și, de asemenea, să o poziționăm la un anumit unghi.
Și - voila! -- proiecția unui cub 4-dimensional pe un plan.

Ce? Ce este asta oricum? Aud mereu șoapte de la birourile din spate. Permiteți-mi să explic mai detaliat ce este acest amestec de linii.
Priviți mai întâi cubul tridimensional. Ce am făcut? Am luat pătratul și l-am târât de-a lungul celei de-a treia axe (z). Este ca multe, multe pătrate de hârtie lipite împreună într-un teanc.
Este la fel și cu un cub cu 4 dimensiuni. Să numim a patra axă, pentru comoditate și pentru science fiction, „axa timpului”. Trebuie să luăm un cub tridimensional obișnuit și să-l tragem în timp de la momentul „acum” până la momentul „într-o oră”.

Avem un cub „acum”. In poza este roz.

Și acum îl tragem de-a lungul celei de-a patra axe - de-a lungul axei timpului (am arătat-o cu verde). Și obținem cubul viitorului - albastru.

Fiecare vârf al „cubului acum” lasă o urmă în timp - un segment. Conectând prezentul ei cu viitorul ei.

Pe scurt, fără versuri: am desenat două cuburi tridimensionale identice și am conectat vârfurile corespunzătoare.
Exact la fel ca și cu un cub tridimensional (desenați 2 cuburi bidimensionale identice și conectați vârfurile).

Pentru a desena un cub 5-dimensional, va trebui să desenați două copii ale unui cub 4-dimensional (un cub 4-dimensional cu a cincea coordonată 0 și un cub 4-dimensional cu a cincea coordonată 1) și să conectați vârfurile corespunzătoare cu muchii. Adevărat, va exista un astfel de amestec de margini în avion, încât va fi aproape imposibil să înțelegi ceva.

Odată ce ne-am imaginat un cub cu 4 dimensiuni și chiar am putut să-l desenăm, îl putem explora în moduri diferite. Amintește-ți să-l explorezi atât în mintea ta, cât și din imagine.
De exemplu. Un cub bidimensional este delimitat pe 4 laturi de cuburi unidimensionale. Acest lucru este logic: pentru fiecare dintre cele 2 coordonate are atât un început, cât și un sfârșit.
Un cub tridimensional este delimitat pe 6 laturi de cuburi bidimensionale. Pentru fiecare dintre cele trei coordonate are un început și un sfârșit.
Aceasta înseamnă că un cub 4-dimensional trebuie să fie limitat de opt cuburi 3-dimensionale. Pentru fiecare dintre cele 4 coordonate - pe ambele părți. În figura de mai sus vedem clar 2 fețe care o limitează de-a lungul coordonatei „timp”.

Iată două cuburi (sunt ușor oblice pentru că au 2 dimensiuni proiectate în plan în unghi), limitând hipercubul nostru la stânga și la dreapta.

De asemenea, este ușor de observat „sus” și „jos”.

Cel mai dificil lucru este să înțelegeți vizual unde sunt „fața” și „spate”. Cel din față începe de la marginea din față a „cubului acum” și până la marginea din față a „cubului viitorului” - este roșu. Cel din spate este violet.

Sunt cele mai greu de observat deoarece alte cuburi sunt încurcate sub picioarele tale, ceea ce limitează hipercubul la o coordonată proiectată diferită. Dar rețineți că cuburile sunt încă diferite! Iată din nou imaginea, unde sunt evidențiate „cubul de acum” și „cubul viitorului”.

Desigur, este posibil să proiectați un cub 4-dimensional în spațiul 3-dimensional.
Primul model spațial posibil este clar cum arată: trebuie să luați 2 cadre cub și să conectați vârfurile lor corespunzătoare cu o nouă muchie.
Nu am acest model pe stoc acum. La prelegere, le arăt studenților un model tridimensional ușor diferit al unui cub cu patru dimensiuni.

Știi cum se proiectează un cub pe un astfel de plan.
Parcă ne uităm la un cub de sus.

Marginea apropiată este, desigur, mare. Și marginea îndepărtată pare mai mică, o vedem prin cea din apropiere.

Acesta este modul în care puteți proiecta un cub 4-dimensional. Cubul este mai mare acum, vedem cubul viitorului în depărtare, așa că pare mai mic.

Pe cealaltă parte. Din partea de sus.

Direct exact din partea marginii:

Din partea coastei:

Iar ultimul unghi, asimetric. Din secțiunea „Spune-mi că m-am uitat printre coastele lui”.

Ei bine, atunci poți veni cu orice. De exemplu, la fel cum există o dezvoltare a unui cub tridimensional pe un plan (este ca și cum ai tăia o foaie de hârtie, astfel încât atunci când este pliat să obții un cub), același lucru se întâmplă și cu dezvoltarea unui cub tridimensional în spaţiu. Este ca și cum ai tăia o bucată de lemn, astfel încât, pliând-o în spațiu 4-dimensional, obținem un teseract.

Puteți studia nu doar un cub cu 4 dimensiuni, ci și cuburi n-dimensionale în general. De exemplu, este adevărat că raza unei sfere circumscrise în jurul unui cub n-dimensional este mai mică decât lungimea muchiei acestui cub? Sau iată o întrebare mai simplă: câte vârfuri are un cub n-dimensional? Câte muchii (fețe unidimensionale)?

Tesseract (din greaca veche τέσσερες ἀκτῖνες - patru raze) este un hipercub cu patru dimensiuni - un analog al unui cub în spațiul cu patru dimensiuni.

Imaginea este o proiecție (perspectivă) a unui cub cu patru dimensiuni pe spațiul tridimensional.

Conform Dicționarului Oxford, cuvântul „tesseract” a fost inventat și folosit în 1888 de Charles Howard Hinton (1853–1907) în cartea sa A New Age of Thought. Mai târziu, unii oameni au numit aceeași figură „tetracub”.

Geometrie

Un teseract obișnuit în spațiul euclidian cu patru dimensiuni este definit ca o înveliș convex de puncte (±1, ±1, ±1, ±1). Cu alte cuvinte, poate fi reprezentat ca următorul set:

Teseractul este limitat de opt hiperplane, a căror intersecție cu teseractul însuși își definește fețele tridimensionale (care sunt cuburi obișnuite). Fiecare pereche de fețe 3D neparalele se intersectează pentru a forma fețe 2D (pătrate) și așa mai departe. În cele din urmă, tesseractul are 8 fețe 3D, 24 fețe 2D, 32 de muchii și 16 vârfuri.

Descriere populară

Să încercăm să ne imaginăm cum va arăta un hipercub fără a părăsi spațiul tridimensional.

Într-un „spațiu” unidimensional - pe o linie - selectăm un segment AB de lungime L. Pe un plan bidimensional la o distanță L de AB, desenăm un segment DC paralel cu acesta și legăm capetele. Rezultatul este un pătrat ABCD. Repetând această operație cu planul, obținem un cub tridimensional ABCDHEFG. Și prin deplasarea cubului în a patra dimensiune (perpendiculară pe primele trei) cu o distanță L, obținem hipercubul ABCDEFGHIJKLMNOP.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Construction_tesseract.PNG

Segmentul unidimensional AB servește ca latură a pătratului bidimensional ABCD, pătratul - ca latură a cubului ABCDHEFG, care, la rândul său, va fi latura hipercubului cu patru dimensiuni. Un segment de linie dreaptă are două puncte de limită, un pătrat are patru vârfuri, iar un cub are opt. Într-un hipercub cu patru dimensiuni, vor exista astfel 16 vârfuri: 8 vârfuri ale cubului original și 8 ale celui deplasat în a patra dimensiune. Are 32 de muchii - câte 12 oferă pozițiile inițiale și finale ale cubului original, iar alte 8 muchii „desenează” cele opt vârfuri ale sale, care s-au mutat în a patra dimensiune. Același raționament se poate face și pentru fețele unui hipercub. În spațiul bidimensional există doar unul (pătratul în sine), un cub are 6 dintre ele (două fețe din pătratul mutat și încă patru care descriu laturile sale). Un hipercub cu patru dimensiuni are 24 de fețe pătrate - 12 pătrate ale cubului original în două poziții și 12 pătrate din cele douăsprezece muchii ale sale.

Desfacerea teseractului

Să luăm cubul de sârmă ABCDHEFG și să-l privim cu un ochi din partea marginii. Vom vedea și putem desena două pătrate pe plan (marginile apropiate și îndepărtate), conectate prin patru linii - margini laterale. În mod similar, un hipercub cu patru dimensiuni în spațiul tridimensional va arăta ca două „cutii” cubice introduse una în cealaltă și conectate prin opt margini. În acest caz, „cutiile” în sine - fețe tridimensionale - vor fi proiectate în spațiul „nostru”, iar liniile care le leagă se vor întinde în a patra dimensiune. De asemenea, puteți încerca să vă imaginați cubul nu în proiecție, ci într-o imagine spațială.

Așa cum un cub tridimensional este format dintr-un pătrat deplasat de lungimea feței sale, un cub mutat în a patra dimensiune va forma un hipercub. Este limitat de opt cuburi, care în perspectivă vor arăta ca o figură destul de complexă. Partea care rămâne în spațiul „nostru” este desenată cu linii continue, iar partea care a intrat în hiperspațiu este desenată cu linii punctate. Hipercubul cu patru dimensiuni în sine constă dintr-un număr infinit de cuburi, la fel cum un cub tridimensional poate fi „tăiat” într-un număr infinit de pătrate plate.

Tăiind cele șase fețe ale unui cub tridimensional, îl puteți descompune într-o figură plată - o dezvoltare. Va avea câte un pătrat pe fiecare parte a feței originale, plus încă unul - fața opusă acesteia. Și dezvoltarea tridimensională a unui hipercub cu patru dimensiuni va consta din cubul original, șase cuburi „crescând” din acesta, plus încă unul - „hiperfața” finală.

Proprietățile unui tesseract reprezintă o continuare a proprietăților figurilor geometrice de dimensiune inferioară în spațiul cu patru dimensiuni.

Proiecții

Spre spațiul bidimensional

Proiecția unui tesseract pe spațiul tridimensional reprezintă două cuburi tridimensionale imbricate, ale căror vârfuri corespunzătoare sunt conectate prin segmente. Cuburile interioare și exterioare au dimensiuni diferite în spațiul tridimensional, dar în spațiul cu patru dimensiuni sunt cuburi egale. Pentru a înțelege egalitatea tuturor cuburilor tesseract, a fost creat un model de teseract rotativ.

Cele șase piramide trunchiate de-a lungul marginilor teseractului sunt imagini de șase cuburi egale.
Pereche stereo

Tesseract în art

În „New Abbott Plain” al Edwinei A., hipercubul acționează ca un narator.
Într-un episod din Aventurile lui Jimmy Neutron: „Boy Genius”, Jimmy inventează un hipercub cu patru dimensiuni identic cu cutia pliabilă din romanul lui Heinlein din 1963, Glory Road.
Robert E. Heinlein a menționat hipercuburi în cel puțin trei povești științifico-fantastice. În Casa celor patru dimensiuni (The House That Teal Built) (1940), el a descris o casă construită ca un tesseract neîmpachetat.
Romanul lui Heinlein, Drumul Gloriei, descrie feluri de mâncare de dimensiuni superioare, care erau mai mari la interior decât la exterior.
Povestea lui Henry Kuttner „Mimsy Were the Borogoves” descrie o jucărie educativă pentru copiii din viitorul îndepărtat, similară ca structură cu un tesseract.
În romanul lui Alex Garland (1999), termenul „tesseract” este folosit pentru desfășurarea tridimensională a unui hipercub cu patru dimensiuni, mai degrabă decât hipercubul în sine. Aceasta este o metaforă menită să arate că sistemul cognitiv trebuie să fie mai larg decât cel cognoscibil.
Intriga din Cube 2: Hypercube se concentrează pe opt străini prinși într-un „hipercub” sau o rețea de cuburi conectate.
Serialul de televiziune Andromeda folosește generatoare de teseract ca dispozitiv de complot. Ele sunt concepute în primul rând pentru a manipula spațiul și timpul.
Pictura „Răstignirea” (Corpus Hypercubus) de Salvador Dali (1954)
Cartea de benzi desenate Nextwave descrie un vehicul care include 5 zone tesseract.
În albumul Voivod Nothingface una dintre compoziții se numește „În hipercubul meu”.
În romanul lui Anthony Pearce Route Cube, una dintre lunile în orbită ale Asociației Internaționale de Dezvoltare este numită tesseract care a fost comprimat în 3 dimensiuni.
În seria „Școală” Gaură neagră„” în al treilea sezon există un episod „Tesseract”. Lucas apasă un buton secret și școala începe să prindă contur ca un teseract matematic.
Termenul „tesseract” și termenul său derivat „tesserat” se găsesc în povestea „A Wrinkle in Time” de Madeleine L’Engle.

Evoluția creierului uman a avut loc în spațiul tridimensional. Prin urmare, ne este greu să ne imaginăm spații cu dimensiuni mai mari de trei. De fapt, creierul uman nu poate imagina obiecte geometrice cu dimensiuni mai mari de trei. Și, în același timp, ne putem imagina cu ușurință obiecte geometrice cu dimensiuni nu doar trei, ci și cu dimensiuni două și unu.

Diferența și analogia dintre spațiile unidimensionale și bidimensionale, precum și diferența și analogia dintre spațiile bidimensionale și tridimensionale ne permit să deschidem ușor ecranul misterului care ne îngrădește de spațiile de dimensiuni superioare. Pentru a înțelege cum este utilizată această analogie, luați în considerare un obiect cu patru dimensiuni foarte simplu - un hipercub, adică un cub cu patru dimensiuni. Pentru a fi specific, să presupunem că vrem să rezolvăm o problemă specifică, și anume, numărăm numărul de fețe pătrate ale unui cub cu patru dimensiuni. Toate considerațiile ulterioare vor fi foarte laxe, fără nicio dovadă, pur prin analogie.

Pentru a înțelege cum este construit un hipercub dintr-un cub obișnuit, trebuie mai întâi să vă uitați la modul în care este construit un cub obișnuit dintr-un pătrat obișnuit. De dragul originalității în prezentarea acestui material, vom numi aici un pătrat obișnuit un SubCube (și nu îl vom confunda cu un succubus).

Pentru a construi un cub dintr-un subcub, trebuie să extindeți subcubul în direcția perpendicular pe plan subcub în direcția celei de-a treia dimensiuni. În acest caz, din fiecare parte a subcubului inițial va crește un subcub, care este fața laterală bidimensională a cubului, care va limita volumul tridimensional al cubului pe patru laturi, două perpendiculare pe fiecare direcție în planul subcubului. Și de-a lungul noii axe a treia există și două subcuburi care limitează volumul tridimensional al cubului. Aceasta este fața bidimensională în care a fost localizat inițial subcubul nostru și acea față bidimensională a cubului unde a venit subcubul la sfârșitul construcției cubului.

Ceea ce tocmai ai citit este prezentat excesiv de detaliat și cu multe precizări. Și din motive întemeiate. Acum vom face un astfel de truc, vom înlocui oficial câteva cuvinte din textul anterior în acest fel:
cub -> hipercub
subcub -> cub
avion -> volum
a treia -> a patra
bidimensional -> tridimensional
patru -> șase
tridimensional -> patrudimensional
doi -> trei
avion -> spatiu

Drept urmare, obținem următorul text semnificativ, care nu mai pare prea detaliat.

Pentru a construi un hipercub dintr-un cub, trebuie să extindeți cubul într-o direcție perpendiculară pe volumul cubului în direcția celei de-a patra dimensiuni. În acest caz, un cub va crește de fiecare parte a cubului original, care este fața laterală tridimensională a hipercubului, care va limita volumul bidimensional al hipercubului pe șase laturi, trei perpendiculare pe fiecare direcție în spațiul cubului. Și de-a lungul noii a patra axe există și două cuburi care limitează volumul patrudimensional al hipercubului. Aceasta este fața tridimensională în care a fost localizat inițial cubul nostru și acea față tridimensională a hipercubului unde a venit cubul la sfârșitul construcției hipercubului.

De ce suntem atât de încrezători că am primit descrierea corectă a construcției unui hipercub? Da, pentru că prin exact aceeași înlocuire formală a cuvintelor obținem o descriere a construcției unui cub dintr-o descriere a construcției unui pătrat. (Verificați-l singur.)

Acum este clar că dacă un alt cub tridimensional ar trebui să crească de fiecare parte a cubului, atunci o față ar trebui să crească de la fiecare margine a cubului inițial. În total, cubul are 12 muchii, ceea ce înseamnă că vor apărea încă 12 fețe noi (subcuburi) pe acele 6 cuburi care limitează volumul cu patru dimensiuni de-a lungul celor trei axe ale spațiului tridimensional. Și au mai rămas două cuburi care limitează acest volum cu patru dimensiuni de jos și de sus de-a lungul celei de-a patra axe. Fiecare dintre aceste cuburi are 6 fețe.

În total, constatăm că hipercubul are 12+6+6=24 fețe pătrate.

Următoarea imagine arată structura logică a unui hipercub. Aceasta este ca o proiecție a unui hipercub în spațiul tridimensional. Aceasta produce un cadru tridimensional de coaste. În figură, desigur, vedeți proiecția acestui cadru pe un plan.

Pe acest cadru, cubul interior este ca cubul inițial de la care a început construcția și care limitează volumul bidimensional al hipercubului de-a lungul celei de-a patra axe de jos. Întindem acest cub inițial în sus de-a lungul celei de-a patra axe de măsurare și merge în cubul exterior. Deci, cuburile exterioare și interioare din această cifră limitează hipercubul de-a lungul celei de-a patra axe de măsurare.

Iar între aceste două cuburi mai puteți vedea încă 6 cuburi noi, care ating fețele comune cu primele două. Aceste șase cuburi ne leagă hipercubul de-a lungul celor trei axe ale spațiului tridimensional. După cum puteți vedea, ele nu sunt doar în contact cu primele două cuburi, care sunt cuburile interioare și exterioare pe acest cadru tridimensional, dar sunt și în contact unul cu celălalt.

Puteți număra direct în figură și vă asigurați că hipercubul are într-adevăr 24 de fețe. Dar această întrebare apare. Acest cadru hipercub din spațiul tridimensional este umplut cu opt cuburi tridimensionale fără nici un gol. Pentru a face un hipercub real din această proiecție tridimensională a unui hipercub, trebuie să întoarceți acest cadru pe dos, astfel încât toate cele 8 cuburi să legă un volum cu 4 dimensiuni.

Se face așa. Invităm un rezident al spațiului cu patru dimensiuni să ne viziteze și să-l cerem să ne ajute. Ea apucă cubul interior al acestui cadru și îl mișcă în direcția celei de-a patra dimensiuni, care este perpendiculară pe spațiul nostru tridimensional. În spațiul nostru tridimensional, îl percepem ca și cum întregul cadru intern ar fi dispărut și ar fi rămas doar cadrul cubului exterior.

Mai departe, asistentul nostru cu patru dimensiuni oferă asistență în maternități pentru naștere nedureroasă, dar femeile noastre însărcinate sunt speriate de perspectiva că copilul va dispărea pur și simplu din stomac și va ajunge în spațiu paralel tridimensional. Prin urmare, persoana cu patru dimensiuni este refuzată politicos.

Și suntem nedumeriți de întrebarea dacă unele dintre cuburile noastre s-au destrămat atunci când am întors cadrul hipercubului pe dos. La urma urmei, dacă unele cuburi tridimensionale care înconjoară un hipercub își ating vecinii de pe cadru cu fețele lor, se vor atinge și ei cu aceleași fețe dacă cubul cu patru dimensiuni întoarce cadrul pe dos?

Să ne întoarcem din nou la analogia cu spațiile de dimensiuni inferioare. Comparați imaginea cadrului hipercubului cu proiecția unui cub tridimensional pe un plan prezentat în imaginea următoare.

Locuitorii spațiului bidimensional au construit pe un plan un cadru pentru proiecția unui cub pe un plan și ne-au invitat pe noi, locuitorii tridimensionali, să întoarcem acest cadru pe dos. Luăm cele patru vârfuri ale pătratului interior și le mutăm perpendicular pe plan. Rezidenții bidimensionali văd dispariția completă a întregului cadru intern și rămân doar cu cadrul pătratului exterior. Cu o astfel de operație, toate pătratele care au fost în contact cu marginile lor continuă să se atingă cu aceleași margini.

Prin urmare, sperăm că nici schema logică a hipercubului nu va fi încălcată atunci când cadrul hipercubului este întors pe dos, iar numărul de fețe pătrate ale hipercubului nu va crește și va fi în continuare egal cu 24. Aceasta, de desigur, nu este deloc o dovadă, ci pur și simplu o presupunere prin analogie.

După tot ce ai citit aici, poți să desenezi cu ușurință cadrul logic al unui cub cu cinci dimensiuni și să calculezi numărul de vârfuri, muchii, fețe, cuburi și hipercuburi pe care le are. Nu este deloc greu.