Tiesi linija. Pagrindinės sąvokos. Lygiagrečios linijos. Vaizdinis vadovas (2020) Kas yra lygiagrečios linijos

Šis straipsnis yra apie lygiagrečias linijas ir lygiagrečias linijas. Pirmiausia pateikiamas lygiagrečių tiesių plokštumoje ir erdvėje apibrėžimas, supažindinama su žymėjimais, pateikiami lygiagrečių tiesių pavyzdžiai ir grafinės iliustracijos. Toliau aptariami tiesių lygiagretumo ženklai ir sąlygos. Pabaigoje pateikiami tipinių tiesių lygiagretumo įrodinėjimo uždavinių sprendimai, kuriuos pateikia tam tikros tiesės lygtys stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje ir trimatėje erdvėje.

Puslapio naršymas.

Lygiagrečios linijos – pagrindinė informacija.

Apibrėžimas.

Vadinamos dvi tiesės plokštumoje lygiagrečiai, jei jie neturi bendrų taškų.

Apibrėžimas.

Dvi linijos trimatėje erdvėje vadinamos lygiagrečiai, jei jie yra toje pačioje plokštumoje ir neturi bendrų taškų.

Atkreipkite dėmesį, kad sąlyga „jei jos yra toje pačioje plokštumoje“ lygiagrečių linijų apibrėžime erdvėje yra labai svarbios. Išsiaiškinkime šį tašką: dvi tiesės trimatėje erdvėje, kurios neturi bendrų taškų ir yra ne vienoje plokštumoje, yra ne lygiagrečios, o susikertančios.

Štai keletas lygiagrečių linijų pavyzdžių. Priešingi bloknoto lapo kraštai yra lygiagrečiose linijose. Tiesios linijos, pagal kurias namo sienos plokštuma kerta lubų ir grindų plokštumas, yra lygiagrečios. Lygioje vietoje esantys geležinkelio bėgiai taip pat gali būti laikomi lygiagrečiomis linijomis.

Norėdami pažymėti lygiagrečias linijas, naudokite simbolį „“. Tai yra, jei tiesės a ir b yra lygiagrečios, tai galime trumpai parašyti a b.

Atkreipkite dėmesį: jei tiesės a ir b yra lygiagrečios, galime sakyti, kad tiesė a yra lygiagreti tiesei b, o tiesė b lygiagreti tiesei a.

Ištarkime teiginį, kuris vaidina svarbų vaidmenį tiriant lygiagrečias tieses plokštumoje: per tašką, esantį ne ant duotosios tiesės, eina vienintelė tiesė, lygiagreti duotajai. Šis teiginys priimamas kaip faktas (jo negalima įrodyti remiantis žinomomis planimetrijos aksiomomis), ir jis vadinamas lygiagrečių tiesių aksioma.

Erdvės atveju galioja teorema: per bet kurį erdvės tašką, kuris nėra tam tikroje tiesėje, eina viena tiesė, lygiagreti duotajai. Ši teorema nesunkiai įrodoma naudojant aukščiau pateiktą lygiagrečių tiesių aksiomą (jos įrodymą rasite 10-11 klasių geometrijos vadovėlyje, kuris yra nurodytas straipsnio pabaigoje literatūros sąraše).

Erdvės atveju galioja teorema: per bet kurį erdvės tašką, kuris nėra tam tikroje tiesėje, eina viena tiesė, lygiagreti duotajai. Šią teoremą galima nesunkiai įrodyti naudojant aukščiau pateiktą lygiagrečios tiesės aksiomą.

Tiesių lygiagretumas – lygiagretumo ženklai ir sąlygos.

Tiesių lygiagretumo ženklas yra pakankama sąlyga, kad tiesės būtų lygiagrečios, tai yra sąlyga, kurios įvykdymas garantuoja tiesių lygiagrečias. Kitaip tariant, šios sąlygos įvykdymo pakanka nustatyti tiesių lygiagrečiai faktą.

Taip pat yra būtinos ir pakankamos sąlygos tiesių lygiagretumui plokštumoje ir trimatėje erdvėje.

Paaiškinkime frazės „būtina ir pakankama lygiagrečių linijų sąlyga“ reikšmę.

Mes jau nagrinėjome pakankamą lygiagrečių linijų sąlygą. O kas yra " būtina sąlyga tiesių lygiagretumas“? Iš pavadinimo „būtina“ aišku, kad lygiagrečioms linijoms ši sąlyga yra būtina. Kitaip tariant, jei neįvykdoma būtina lygiagrečių linijų sąlyga, tai linijos nėra lygiagrečios. Taigi, būtina ir pakankama lygiagrečių linijų sąlyga yra sąlyga, kurios įvykdymas yra būtinas ir pakankamas lygiagrečioms tiesėms. Tai yra, viena vertus, tai yra linijų lygiagretumo ženklas, kita vertus, tai yra lygiagrečių linijų savybė.

Prieš formuluojant būtiną ir pakankamą tiesių lygiagretumo sąlygą, patartina prisiminti keletą pagalbinių apibrėžimų.

Sekanti linija yra tiesė, kertanti kiekvieną iš dviejų nurodytų nesutampančių tiesių.

Kai dvi tiesės susikerta su skersine, susidaro aštuonios neišsivysčiusios. Formuluojant būtinąją ir pakankamą tiesių lygiagretumo sąlygą, vadinamasis guli skersai, atitinka Ir vienpusiai kampai. Parodykime juos brėžinyje.

Teorema.

Jei dvi tieses plokštumoje kerta skersinis, tai kad jos būtų lygiagrečios, būtina ir pakanka, kad susikertantys kampai būtų lygūs arba atitinkami kampai būtų lygūs, arba vienpusių kampų suma būtų lygi 180 laipsnių.

Parodykime šios būtinos ir pakankamos tiesių lygiagretumo plokštumoje sąlygos grafinę iliustraciją.

Šių tiesių lygiagretumo sąlygų įrodymus rasite 7-9 klasių geometrijos vadovėliuose.

Atkreipkite dėmesį, kad šias sąlygas galima naudoti ir trimatėje erdvėje – svarbiausia, kad dvi tiesios linijos ir sekantas būtų toje pačioje plokštumoje.

Štai dar kelios teoremos, kurios dažnai naudojamos tiesių lygiagretumui įrodyti.

Teorema.

Jei dvi tiesės plokštumoje yra lygiagrečios trečiajai tiesei, tada jos yra lygiagrečios. Šio kriterijaus įrodymas išplaukia iš lygiagrečių tiesių aksiomos.

Panaši sąlyga yra lygiagrečioms linijoms trimatėje erdvėje.

Teorema.

Jei dvi tiesės erdvėje lygiagrečios trečiajai tiesei, tai jos lygiagrečios. Šio kriterijaus įrodymas aptariamas geometrijos pamokose 10 klasėje.

Iliustruojame nurodytas teoremas.

Pateiksime dar vieną teoremą, leidžiančią įrodyti tiesių lygiagretumą plokštumoje.

Teorema.

Jei dvi tiesės plokštumoje yra statmenos trečiajai tiesei, tada jos yra lygiagrečios.

Yra panaši teorema tiesėms erdvėje.

Teorema.

Jei dvi tiesės trimatėje erdvėje yra statmenos tai pačiai plokštumai, tada jos yra lygiagrečios.

Nubraižykime paveikslėlius, atitinkančius šias teoremas.

Visos aukščiau suformuluotos teoremos, kriterijai ir būtinos bei pakankamos sąlygos puikiai tinka tiesių lygiagretumui įrodyti geometrijos metodais. Tai yra, norėdami įrodyti dviejų nurodytų tiesių lygiagretumą, turite parodyti, kad jos yra lygiagrečios trečiajai linijai, arba parodyti kryžminių gulėjimo kampų lygybę ir pan. Daug panašių problemų išsprendžiama geometrijos pamokose vidurinė mokykla. Tačiau reikia pažymėti, kad daugeliu atvejų yra patogu naudoti koordinačių metodą tiesių lygiagretumui įrodyti plokštumoje arba trimatėje erdvėje. Suformuluokime būtinas ir pakankamas sąlygas tiesių, kurios nurodytos stačiakampėje koordinačių sistemoje, lygiagretumui.

Tiesių lygiagretumas stačiakampėje koordinačių sistemoje.

Šioje straipsnio pastraipoje suformuluosime būtinos ir pakankamos sąlygos lygiagrečioms linijoms stačiakampėje koordinačių sistemoje, priklausomai nuo lygčių, apibrėžiančių šias tieses, tipo, taip pat pateiksime išsamius charakteringų uždavinių sprendimus.

Pradėkime nuo dviejų tiesių lygiagretumo plokštumoje stačiakampėje koordinačių sistemoje Oxy. Jo įrodymas remiasi tiesės krypties vektoriaus apibrėžimu ir tiesės normaliojo vektoriaus plokštumoje apibrėžimu.

Teorema.

Kad dvi nesutampančios tiesės būtų lygiagrečios plokštumoje, būtina ir pakanka, kad šių tiesių krypties vektoriai būtų kolineriniai, arba šių tiesių normaliosios vektoriai būtų kolinerinės, arba vienos tiesės krypties vektorius būtų statmenas normaliajai antrosios eilutės vektorius.

Akivaizdu, kad dviejų tiesių lygiagretumo plokštumoje sąlyga redukuojama į (tiesių krypties vektorius arba tiesių normaliuosius vektorius) arba iki (vienos tiesės krypties vektorius ir antrosios tiesės normalusis vektorius). Taigi, jei ir yra tiesių a ir b krypties vektoriai, ir Ir yra normalūs tiesių a ir b vektoriai, tada būtina ir pakankama tiesių a ir b lygiagretumo sąlyga bus parašyta kaip , arba , arba , kur t yra tikrasis skaičius. Savo ruožtu tiesių a ir b kreiptuvų ir (ar) normaliųjų vektorių koordinatės randamos naudojant žinomas tiesių lygtis.

Visų pirma, jei tiesė a stačiakampėje koordinačių sistemoje Oxy plokštumoje apibrėžia bendrąją formos tiesės lygtį , ir tiesi linija b - , tada šių eilučių normalieji vektoriai turi atitinkamai koordinates ir, o tiesių a ir b lygiagretumo sąlyga bus parašyta kaip .

Jei tiesė a atitinka formos kampo koeficiento tiesės lygtį, o tiesė b -, tai šių tiesių normaliųjų vektorių koordinates ir , o šių tiesių lygiagretumo sąlyga įgauna formą . Vadinasi, jei tiesės plokštumoje stačiakampėje koordinačių sistemoje yra lygiagrečios ir jas galima nurodyti tiesių su kampiniais koeficientais lygtimis, tai tiesių kampiniai koeficientai bus lygūs. Ir atvirkščiai: jei stačiakampės koordinačių sistemos plokštumoje nesutampančios tiesės gali būti nurodytos tiesės su vienodais kampiniais koeficientais lygtimis, tai tokios tiesės yra lygiagrečios.

Jei tiesė a ir tiesė b stačiakampėje koordinačių sistemoje nustatomos kanoninėmis tiesės lygtimis formos plokštumoje Ir , arba formos plokštumos tiesės parametrines lygtis Ir atitinkamai šių tiesių krypties vektoriai turi koordinates ir , o tiesių a ir b lygiagretumo sąlyga parašyta kaip .

Pažvelkime į kelių pavyzdžių sprendimus.

Pavyzdys.

Ar linijos lygiagrečios? Ir ?

Sprendimas.

Perrašykime tiesės lygtį atkarpomis formoje bendroji lygtis tiesiai: . Dabar matome, kad tai yra normalus linijos vektorius , a yra normalusis linijos vektorius. Šie vektoriai nėra kolineariniai, nes tokių nėra tikras numeris t kuriai lygybė ( ). Vadinasi, būtina ir pakankama tiesių lygiagretumo plokštumoje sąlyga netenkinama, todėl duotosios tiesės nėra lygiagrečios.

Atsakymas:

Ne, linijos nėra lygiagrečios.

Pavyzdys.

Ar tiesios linijos ir lygiagrečios?

Sprendimas.

Sumažinkime kanoninę tiesės lygtį į tiesės su kampiniu koeficientu lygtį: . Akivaizdu, kad tiesių ir lygtys nėra vienodos (šiuo atveju pateiktos tiesės būtų vienodos) ir linijų kampiniai koeficientai yra lygūs, todėl pradinės tiesės yra lygiagrečios.

Plokštumoje tiesės vadinamos lygiagrečios, jei jos neturi bendrų taškų, tai yra, jos nesikerta. Norėdami nurodyti lygiagretumą, naudokite specialią piktogramą || (lygiagrečios tiesės a || b).

Tiesėms, esančioms erdvėje, neužtenka reikalavimo, kad nebūtų bendrų taškų – kad jos būtų lygiagrečios erdvėje, jos turi priklausyti tai pačiai plokštumai (kitaip susikirs).

Nereikia toli ieškoti lygiagrečių linijų pavyzdžių, kurie mus lydi visur, kambaryje - tai sienos susikirtimo su lubomis ir grindimis linijos, užrašų knygelės lape - priešingi kraštai ir pan.

Visiškai akivaizdu, kad turėdama dvi lygiagrečias linijas ir trečią tiesę, lygiagrečią vienai iš pirmųjų dviejų, ji taip pat bus lygiagreti antrajai.

Lygiagrečios plokštumos tiesės yra susietos teiginiu, kurio neįmanoma įrodyti naudojant planimetrijos aksiomas. Tai priimama kaip faktas, kaip aksioma: bet kuriam plokštumos taškui, kuris nėra tiesėje, yra unikali linija, kuri eina per ją lygiagrečiai duotajai. Kiekvienas šeštokas žino šią aksiomą.

Jo erdvinis apibendrinimas, ty teiginys, kad bet kuriame erdvės taške, kuris nėra tiesėje, yra unikali tiesė, einanti per jį lygiagrečiai duotajai, lengvai įrodoma naudojant jau žinomą lygiagretumo aksiomą. lėktuvas.

Lygiagrečių tiesių savybės

• Jei kuri nors iš dviejų lygiagrečių tiesių yra lygiagreti trečiajai, tada jos yra lygiagrečios viena kitai.

Šią savybę turi lygiagrečios linijos tiek plokštumoje, tiek erdvėje.
Kaip pavyzdį apsvarstykite jo pagrindimą stereometrijoje.

Tarkime, kad tiesės b ir a yra lygiagrečios.

Planimetrijai paliksime atvejį, kai visos tiesės yra toje pačioje plokštumoje.

Tarkime, kad a ir b priklauso beta plokštumai, o gama yra plokštuma, kuriai priklauso a ir c (pagal lygiagretumo erdvėje apibrėžimą tiesės turi priklausyti tai pačiai plokštumai).

Jei darysime prielaidą, kad beta ir gama plokštumos yra skirtingos ir pažymime tam tikrą tašką B tiesėje b nuo beta plokštumos, tai plokštuma, nubrėžta per tašką B ir tiesę c, turi kirsti beta plokštumą tiesia linija (žymime ją b1) .

Jei gauta tiesė b1 kerta gama plokštumą, tada, viena vertus, susikirtimo taškas turėtų būti ant a, nes b1 priklauso beta plokštumai, o kita vertus, ji taip pat turėtų priklausyti c, nes b1 priklauso trečiajai plokštumai.
Tačiau lygiagrečios tiesės a ir c neturėtų susikirsti.

Taigi tiesė b1 turi priklausyti betta plokštumai ir tuo pačiu neturėti bendrų taškų su a, todėl pagal paralelizmo aksiomą ji sutampa su b.
Gavome tiesę b1, sutampančią su tiese b, kuri priklauso tai pačiai plokštumai su tiese c ir jos nesikerta, tai yra, b ir c yra lygiagrečios

• Per tašką, kuris nėra tam tikroje tiesėje, lygiagrečiai nurodytai linijai gali eiti tik viena tiesė.

• Dvi tiesės, esančios plokštumoje, statmenoje trečiajai, yra lygiagrečios.

• Jei plokštuma kerta vieną iš dviejų lygiagrečių tiesių, antroji tiesė taip pat kerta tą pačią plokštumą.

• Atitinkami ir kryžminiai vidiniai kampai, susidarę susikirtus dviem lygiagrečioms trečdalio tiesėms, yra lygūs, susidariusių vidinių vienpusių kampų suma yra 180°.

Taip pat teisingi ir atvirkštiniai teiginiai, kurie gali būti laikomi dviejų tiesių lygiagretumo ženklais.

Lygiagrečių linijų sąlyga

Aukščiau suformuluotos savybės ir charakteristikos atspindi linijų lygiagretumo sąlygas ir jas galima įrodyti naudojant geometrijos metodus. Kitaip tariant, norint įrodyti dviejų esamų tiesių lygiagretumą, pakanka įrodyti jų lygiagretumą trečiajai tiesei arba kampų lygybę, nesvarbu, ar jos atitinka, ar skersai, ir pan.

Įrodinėjimui jie dažniausiai naudoja „prieštaravimo“ metodą, tai yra, darydami prielaidą, kad linijos nėra lygiagrečios. Remiantis šia prielaida, galima nesunkiai parodyti, kad šiuo atveju pažeidžiamos nurodytos sąlygos, pavyzdžiui, vidiniai kampai, esantys vienas kitam, pasirodo nelygūs, o tai įrodo padarytos prielaidos neteisingumą.

1. Jei dvi tiesės lygiagrečios trečiajai tiesei, tai jos lygiagrečios:

Jeigu a||c Ir b||c, Tai a||b.

2. Jei dvi tiesės yra statmenos trečiajai tiesei, tai jos yra lygiagrečios:

Jeigu a⊥c Ir b⊥c, Tai a||b.

Likę tiesių lygiagretumo ženklai yra pagrįsti kampais, susidariusiais, kai dvi tiesės susikerta su trečiąja.

3. Jei vidinių vienpusių kampų suma lygi 180°, tai tiesės lygiagrečios:

Jei ∠1 + ∠2 = 180°, tada a||b.

4. Jei atitinkami kampai lygūs, tai tiesės lygiagrečios:

Jei ∠2 = ∠4, tada a||b.

5. Jei vidiniai skersiniai kampai lygūs, tai tiesės lygiagrečios:

Jei ∠1 = ∠3, tada a||b.

Lygiagrečių tiesių savybės

Teiginiai, atvirkštiniai lygiagrečių tiesių savybėms, yra jų savybės. Jie pagrįsti kampų, susidarančių susikertant dviem lygiagrečioms tiesėms su trečiąja linija, savybėmis.

1. Kai dvi lygiagrečios tiesės kerta trečią tiesę, jų suformuotų vidinių vienpusių kampų suma lygi 180°:

Jeigu a||b, tada ∠1 + ∠2 = 180°.

2. Kai dvi lygiagrečios tiesės kerta trečią tiesę, jų suformuoti atitinkami kampai yra lygūs:

Jeigu a||b, tada ∠2 = ∠4.

3. Kai dvi lygiagrečios tiesės susikerta su trečiąja tiese, jų suformuoti skersiniai kampai yra lygūs:

Jeigu a||b, tada ∠1 = ∠3.

Ši savybė yra ypatingas kiekvieno ankstesnio atvejis:

4. Jei tiesė plokštumoje yra statmena vienai iš dviejų lygiagrečių tiesių, tai ji taip pat yra statmena ir kitai:

Jeigu a||b Ir c⊥a, Tai c⊥b.

Penktoji savybė yra lygiagrečių tiesių aksioma:

5. Per tašką, esantį ne ant duotosios tiesės, galima nubrėžti tik vieną tiesę, lygiagrečią duotai tiesei.

Instrukcijos

Prieš pradėdami įrodinėjimą, įsitikinkite, kad linijos yra toje pačioje plokštumoje ir gali būti brėžiamos joje. Paprasčiausias būdas tai įrodyti – matuoti liniuote. Norėdami tai padaryti, liniuote išmatuokite atstumą tarp tiesių keliose vietose, kiek įmanoma toliau viena nuo kitos. Jei atstumas nesikeičia, nurodytos linijos yra lygiagrečios. Tačiau šis metodas nėra pakankamai tikslus, todėl geriau naudoti kitus metodus.

Nubrėžkite trečią liniją taip, kad ji kirstų abi lygiagrečias linijas. Su jais sudaro keturis išorinius ir keturis vidinius kampus. Apsvarstykite vidinius kampus. Tie, kurie guli per sekantinę liniją, vadinami kryžminiu gulėjimu. Tie, kurie guli vienoje pusėje, vadinami vienašaliais. Naudodami transporterį išmatuokite du vidinius susikertančius kampus. Jei jos yra lygios viena kitai, tada linijos bus lygiagrečios. Jei abejojate, išmatuokite vienpusius vidinius kampus ir pridėkite gautas vertes. Linijos bus lygiagrečios, jei vienpusių vidinių kampų suma lygi 180º.

Jei neturite transporterio, naudokite 90º kvadratą. Naudokite jį statmenai vienai iš tiesių sukurti. Po to tęskite šį statmeną, kad jis kirstų kitą liniją. Naudodami tą patį kvadratą patikrinkite, kokiu kampu šis statmenas jį kerta. Jei šis kampas taip pat yra 90º, tada linijos yra lygiagrečios viena kitai.

Jei tiesės pateiktos Dekarto koordinačių sistemoje, raskite jų kryptį arba normaliuosius vektorius. Jei šie vektoriai yra atitinkamai kolinearūs vienas su kitu, tai linijos yra lygiagrečios. Sumažinkite tiesių lygtį į bendrą formą ir raskite kiekvienos tiesės normaliojo vektoriaus koordinates. Jo koordinatės lygios koeficientams A ir B. Jei normaliųjų vektorių atitinkamų koordinačių santykis yra vienodas, tai jos yra kolinijinės, o tiesės lygiagrečios.

Pavyzdžiui, tiesės pateikiamos lygtimis 4x-2y+1=0 ir x/1=(y-4)/2. Pirmoji lygtis yra bendras vaizdas, antrasis – kanoninis. Išveskite antrąją lygtį į jos bendrą formą. Tam naudokite proporcijų konvertavimo taisyklę, rezultatas bus 2x=y-4. Suvedus į bendrą formą, gaunama 2x-y+4=0. Kadangi bendroji bet kurios eilutės lygtis parašyta Ax+By+C=0, tai pirmai eilutei: A=4, B=2, o antrajai eilutei A=2, B=1. Pirmajai tiesioginei normalaus vektoriaus koordinatei (4;2), o antrajai – (2;1). Raskite normaliųjų vektorių atitinkamų koordinačių santykį 4/2=2 ir 2/1=2. Šie skaičiai yra lygūs, o tai reiškia, kad vektoriai yra kolineariniai. Kadangi vektoriai yra kolinearūs, linijos yra lygiagrečios.

Jie nesikerta, kad ir kiek ilgai būtų tęsiami. Tiesių linijų lygiagretumas raštu žymimas taip: AB|| SUE

Tokių eilučių egzistavimo galimybę įrodo teorema.

Teorema.

Per bet kurį tašką, esantį už nurodytos linijos, galima nubrėžti tašką, lygiagrečią šiai linijai.

Leisti ABši tiesi linija ir SU tam tikras taškas, paimtas už jo ribų. Būtina tai įrodyti per SU galite nubrėžti tiesią liniją lygiagrečiaiAB. Nuleiskime iki AB nuo taško SU statmenaiSUD ir tada diriguosime SUE^ SUD, kas įmanoma. Tiesiai C.E. lygiagrečiai AB.

Norėdami tai įrodyti, darykime prielaidą, kad yra priešingai, t.y C.E. susikerta AB tam tikru momentu M. Tada iš taško Mį tiesią liniją SUD turėtume du skirtingus statmenus MD Ir MS, kas neįmanoma. Reiškia, C.E. negali kirsti AB, t.y. SUE lygiagrečiai AB.

Pasekmė.

Du statmenai (CEIrD.B.) iki vienos tiesios linijos (CD) yra lygiagrečios.

Lygiagrečių tiesių aksioma.

Per tą patį tašką neįmanoma nubrėžti dviejų skirtingų tiesių, lygiagrečių tai pačiai linijai.

Taigi, jei tiesiai SUD, nubrėžtas per tašką SU lygiagrečiai linijai AB, tada kas antrą eilutę SUE, nubrėžtas per tą patį tašką SU, negali būti lygiagreti AB, t.y. ji tęsiasi susikirs Su AB.

Įrodyti šią ne visai akivaizdžią tiesą pasirodo neįmanoma. Jis priimamas be įrodymų, kaip būtina prielaida (postulatum).

Pasekmės.

1. Jeigu tiesiai(SUE) susikerta su vienu iš lygiagrečiai(NE), tada jis susikerta su kitu ( AB), nes kitaip per tą patį tašką SU lygiagrečiai eitų dvi skirtingos linijos AB, kas neįmanoma.

2. Jei kiekvienas iš dviejų tiesioginis (AIrB) yra lygiagrečios tai pačiai trečiajai linijai ( SU) , tada jie lygiagrečiai tarp savęs.

Iš tiesų, jei manytume, kad A Ir B susikerta tam tikru momentu M, tada per šį tašką lygiagrečiai eitų dvi skirtingos tiesės SU, kas neįmanoma.

Teorema.

Jeigu linija yra statmena vienai iš lygiagrečių tiesių, tada ji yra statmena kitai lygiagrečiai.

Leisti AB || SUD Ir EF ^ AB.Reikalaujama tai įrodyti EF ^ SUD.

StatmenasEF, susikerta su AB, tikrai kirs ir SUD. Tegul susikirtimo taškas yra H.

Dabar manykime, kad tai SUD ne statmenai E.H.. Tada, pavyzdžiui, kita tiesi linija H.K., bus statmena E.H. ir todėl per tą patį tašką H bus du tiesi lygiagreti AB: vienas SUD, pagal sąlygą ir kita H.K. kaip buvo įrodyta anksčiau. Kadangi tai neįmanoma, negalima taip manyti NE nebuvo statmenai E.H..