ប្រសិនបើច្បាប់មួយត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយយោងទៅតាមលេខជាក់លាក់មួយ u ត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយចំណុចនីមួយៗ M នៃយន្តហោះ (ឬផ្នែកខ្លះនៃយន្តហោះ) បន្ទាប់មកពួកគេនិយាយថានៅលើយន្តហោះ (ឬផ្នែកខ្លះនៃយន្តហោះ) "មុខងារចំណុចគឺ បញ្ជាក់”; លក្ខណៈជាក់លាក់នៃមុខងារត្រូវបានបង្ហាញជានិមិត្តសញ្ញាដោយសមភាពនៃទម្រង់ u=f(M)។ លេខ u ដែលភ្ជាប់ជាមួយចំណុច M ត្រូវបានគេហៅថាតម្លៃនៃអនុគមន៍នេះនៅចំនុច M ។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើ A ជាចំនុចថេរនៅលើយន្តហោះ នោះ M ជាចំនុចបំពាន នោះចំងាយពី A ដល់ M គឺជាមុខងារនៃចំនុច M ។ ក្នុងករណីនេះ f(m)=AM ។

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារមួយចំនួន u=f(M) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយក្នុងពេលតែមួយប្រព័ន្ធកូអរដោណេត្រូវបានណែនាំ។ បន្ទាប់មកចំណុចបំពាន M ត្រូវបានកំណត់ដោយកូអរដោនេ x, y ។ ដូច្នោះហើយតម្លៃនៃមុខងារនេះនៅចំណុច M ត្រូវបានកំណត់ដោយកូអរដោនេ x, y ឬដូចដែលពួកគេនិយាយផងដែរ u = f (M) គឺ មុខងារនៃអថេរពីរ x និង y. អនុគមន៍នៃអថេរពីរ x និង y ត្រូវបានតាងដោយនិមិត្តសញ្ញា f(x; y)៖ ប្រសិនបើ f(M)=f(x;y) នោះរូបមន្ត u=f(x; y) ត្រូវបានគេហៅថាកន្សោមនេះ មុខងារនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេដែលបានជ្រើសរើស។ ដូច្នេះក្នុងឧទាហរណ៍មុន f(M)=AM; ប្រសិនបើយើងណែនាំប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណ Cartesian ដែលមានប្រភពដើមនៅចំណុច A យើងទទួលបានកន្សោមសម្រាប់មុខងារនេះ៖

u=sqrt(x^2 + y^2)

បញ្ហា 3688 បានផ្ដល់អនុគមន៍ f (x, y)=x^2–y^2–16។

អនុគមន៍ f (x, y) = x^2–y^2–16 ។ កំណត់កន្សោមនៃមុខងារនេះនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេថ្មី ប្រសិនបើអ័ក្សកូអរដោនេត្រូវបានបង្វិលដោយមុំ -45 ដឺក្រេ។

សមីការបន្ទាត់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ

អនុញ្ញាតឱ្យយើងសម្គាល់ដោយអក្សរ x និង y កូអរដោនេនៃចំណុចជាក់លាក់ M; ចូរយើងពិចារណាមុខងារពីរនៃអាគុយម៉ង់ t:

x=φ(t), y=ψ(t) (1)

នៅពេល t ផ្លាស់ប្តូរ តម្លៃ x និង y នឹង និយាយជាទូទៅ ផ្លាស់ប្តូរ ដូច្នេះចំនុច M នឹងផ្លាស់ទី។ សមភាព (១) ហៅថា សមីការបន្ទាត់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលជាគន្លងនៃចំណុច M; អាគុយម៉ង់ t ត្រូវបានគេហៅថាប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។ ប្រសិនបើប៉ារ៉ាម៉ែត្រ t អាចត្រូវបានដកចេញពីសមភាព (1) នោះយើងទទួលបានសមីការនៃគន្លងនៃចំណុច M ក្នុងទម្រង់

សមភាពនៃទម្រង់ F (x, y) = 0ហៅថាសមីការក្នុងអថេរពីរ x, y,ប្រសិនបើវាមិនពិតសម្រាប់គូនៃលេខទាំងអស់។ x, y ។ពួកគេនិយាយថាលេខពីរ x = x 0 , y=y 0, បំពេញសមីការមួយចំនួននៃទម្រង់ F(x, y)=0,ប្រសិនបើនៅពេលជំនួសលេខទាំងនេះជំនួសឱ្យអថេរ Xនិង នៅនៅក្នុងសមីការ ផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់វាបាត់។

សមីការនៃបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ (នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេដែលបានកំណត់) គឺជាសមីការដែលមានអថេរពីរដែលពេញចិត្តដោយកូអរដោណេនៃគ្រប់ចំណុចដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់នេះ ហើយមិនពេញចិត្តដោយកូអរដោនេនៃគ្រប់ចំណុចដែលមិនស្ថិតនៅលើវា។

នៅក្នុងអ្វីដែលដូចខាងក្រោមជំនួសឱ្យកន្សោម "សមីការនៃបន្ទាត់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ F(x, y) = 0" ជាញឹកញាប់យើងនឹងនិយាយយ៉ាងខ្លី៖ បានផ្តល់បន្ទាត់ F (x, y) = 0 ។

ប្រសិនបើសមីការនៃបន្ទាត់ពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ F (x, y) = 0និង Ф(x, y) = Q,បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយរួមនៃប្រព័ន្ធ

ផ្តល់ចំណុចប្រសព្វរបស់ពួកគេ។ កាន់តែច្បាស់ជាងនេះទៅទៀត លេខគូនីមួយៗដែលជាដំណោះស្រាយរួមនៃប្រព័ន្ធនេះកំណត់ចំណុចប្រសព្វមួយ។

*) ក្នុងករណីដែលប្រព័ន្ធកូអរដោណេមិនត្រូវបានដាក់ឈ្មោះ វាត្រូវបានសន្មត់ថាជាចតុកោណកែង Cartesian ។

157. ពិន្ទុត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ *) ម 1 (2; - 2), ម 2 (2; 2), ម 3 (2; - 1), ម 4 (3; -3), ម 5 (5; -5), ម៦ (៣; -២)។ កំណត់ចំណុចដែលបានបោះពុម្ពផ្សាយនៅលើបន្ទាត់ដែលកំណត់ដោយសមីការ X+ y = 0,ហើយមួយណាដែលមិនកុហក។ តើ​បន្ទាត់​មួយ​ណា​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ដោយ​សមីការ​នេះ? (គូរវានៅលើគំនូរ។ )

158. នៅលើបន្ទាត់កំណត់ដោយសមីការ X 2 +y 2 =25 រកចំនុចដែល abscissas ស្មើនឹងលេខខាងក្រោម៖ a) 0, b) - 3, c) 5, d) 7; នៅលើបន្ទាត់ដូចគ្នារកចំណុចដែលការចាត់តាំងស្មើនឹងលេខខាងក្រោម៖ e) 3, f) - 5, g) - 8. តើបន្ទាត់ណាមួយត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការនេះ? (គូរវានៅលើគំនូរ។ )

159. កំណត់បន្ទាត់ណាមួយដែលត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការខាងក្រោម (បង្កើតពួកវានៅលើគំនូរ):

1) x − y = 0; 2) x + y = 0; 3) x- 2 = 0; 4) x+ 3 = 0;

5) y − 5 = 0; 6) y+ 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0;

9) x 2 - xy = 0; 10) xy+ y 2 = 0; ដប់មួយ) x 2 - y 2 = 0; 12) xy= 0;

13) y 2 − 9 = 0; ១៤) xy 2 - 8xy+15 = 0; 15) y 2 +5y+4 = 0;

16) X 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y =|x|; 18) x =|នៅ|; 19)y + |x|=0;

20) x +|នៅ|= 0; 21)y =|X- 1|; 22) y = |x+ 2|; 23) X 2 + នៅ 2 = 16;

24) (x-2) 2 +(y-1) 2 =16; 25) (x+ 5) 2 +(y- 1) 2 = 9;

26) (X - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 +(y + 3) 2 = 1; 28) (x -3) 2 + y 2 = 0;

29) X 2 + 2y 2 = 0; 30) 2X 2 + 3y 2 + 5 = 0

31) (x- 2) 2 + (y + 3) 2 + 1=0.

160. បន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ:

1)X+ y = 0; 2)x − y = 0; 3) x 2 + y 2 - 36 = 0;

4) x 2 +y 2 -2x==0; 5) x 2 +y 2 + 4x-6y-1 =0.

កំណត់ថាតើពួកគេមួយណាឆ្លងកាត់ប្រភពដើម។

161. បន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ:

1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x- 3) 2 + (y+ 4) 2 = 25;

3) (x+ 6) 2 + (y − 3) 2 = 25; ៤) ( x + 5) 2 + (y − 4) 2 = 9;

5) x 2 +y 2 - 12x + 16y = 0; 6) x 2 +y 2 - 2x + 8នៅ+ 7 = 0;

7) x 2 +y 2 - 6x + 4y + 12 = 0.

រកចំនុចប្រសព្វរបស់ពួកគេ៖ ក) ជាមួយអ័ក្ស អូ;ខ) ជាមួយអ័ក្ស អូ.

162.ស្វែងរកចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ពីរ;

1)X 2 +y 2 = 8, x-y = 0;

2) X 2 +y 2 -16x+4នៅ+18 = 0, x + y= 0;

3) X 2 +y 2 -2x+4នៅ -3 = 0, X 2 + យ 2 = 25;

4) X 2 +y 2 -8x+10у+40 = 0, X 2 + យ 2 = 4.

163. ពិន្ទុត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេប៉ូល។

ម 1 (1; ), ម 2 (2; 0), ម 3 (2; )

ម 4 (
;) និង ម 5 (1; )

កំណត់ថាចំនុចណាខ្លះស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដែលកំណត់ដោយសមីការក្នុងប៉ូលកូអរដោណេ  = 2 cos  ហើយមួយណាមិនស្ថិតនៅលើវា។ តើ​បន្ទាត់​មួយ​ណា​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ដោយ​សមីការ​នេះ? (គូរវានៅលើគំនូរ :)

164. នៅលើបន្ទាត់កំណត់ដោយសមីការ  = , រកចំណុចដែលមុំប៉ូលស្មើនឹងលេខខាងក្រោម៖ ក) , ខ) - , គ) ០, ឃ) . តើ​បន្ទាត់​មួយ​ណា​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ដោយ​សមីការ​នេះ?

(បង្កើតវានៅលើគំនូរ។ )

165.On the line កំណត់ដោយសមីការ  = រកចំណុចដែលកាំប៉ូលគឺស្មើនឹងលេខខាងក្រោម៖ ក) ១, ខ) ២, គ)
. តើ​បន្ទាត់​មួយ​ណា​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ដោយ​សមីការ​នេះ? (បង្កើតវានៅលើគំនូរ។ )

166. បង្កើតបន្ទាត់ណាមួយដែលត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងប៉ូលកូអរដោណេដោយសមីការខាងក្រោម (បង្កើតពួកវានៅលើគំនូរ)៖

1)  = 5; 2)  = ; 3)  = ; 4)  cos  = 2; 5)  sin  = 1;

6)  = 6 cos ; 7)  = 10 sin ; 8) sin  = 9) sin  =

167. សង់វង់ Archimedes ខាងក្រោមនៅលើគំនូរ៖

1)  = 5, 2)  = 5; 3)  = ; 4) р = -1 ។

168. សង់វង់អ៊ីពែរបូលខាងក្រោមនៅលើគំនូរ៖

1)  = ; 2)  = ; ៣)  = ; ៤)  = - .

169. សង់វង់លោការីតខាងក្រោមនៅលើគំនូរ៖

,
.

170. កំណត់ប្រវែងនៃផ្នែកដែល Archimedes spiral កាត់

កាំរស្មីផុសចេញពីបង្គោល ហើយទំនោរទៅអ័ក្សប៉ូលនៅមុំមួយ។
. ធ្វើគំនូរ។

171. នៅលើវង់ Archimedes
ចំណុចដែលបានយក ជាមួយ,កាំប៉ូលគឺ 47។ កំណត់ចំនួនផ្នែកដែលវង់នេះកាត់កាំប៉ូលនៃចំនុច ជាមួយ,ធ្វើគំនូរ។

172. នៅលើវង់អ៊ីពែរបូល
ស្វែងរកចំណុចមួយ។ Rកាំប៉ូលគឺ 12។ គូរ។

173. នៅលើវង់លោការីត
រកចំណុច Q ដែលកាំប៉ូលគឺ 81។ គូរ។

អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ Cartesian Oxy និងបន្ទាត់ L មួយចំនួនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះ  ។

និយមន័យ. សមីការ F(x;y)=0 (1)បានហៅ សមីការនៃបន្ទាត់អិល(ទាក់ទងទៅនឹងប្រព័ន្ធកូអរដោនេដែលបានផ្តល់ឱ្យ) ប្រសិនបើសមីការនេះត្រូវបានពេញចិត្តដោយកូអរដោនេ x និង y នៃចំណុចណាមួយដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ L ហើយមិនមែនដោយកូអរដោនេ x និង y នៃចំណុចណាមួយដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ L ។

នោះ។ បន្ទាត់នៅលើយន្តហោះគឺជាទីតាំងនៃចំណុច (M(x; y)) ដែលសំរបសំរួលបំពេញសមីការ (1) ។

សមីការ (1) កំណត់បន្ទាត់ L ។

ឧទាហរណ៍។ សមីការនៃរង្វង់មួយ។

រង្វង់- សំណុំនៃពិន្ទុស្មើគ្នាពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ M 0 (x 0, y 0) ។

ចំណុច M 0 (x 0,y 0) – កណ្តាលនៃរង្វង់.

សម្រាប់ចំណុចណាមួយ M(x;y) ស្ថិតនៅលើរង្វង់ ចម្ងាយ MM 0 =R (R=const)

ម 0 ==R

(x-x 0 ) 2 +(អូហូ 0 ) 2 =R 2 –(2) – សមីការនៃរង្វង់កាំ R ដែលមានចំណុចកណ្តាលនៅចំនុច M 0 (x 0,y 0) ។

សមីការ​ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ​នៃ​បន្ទាត់។

អនុញ្ញាតឱ្យ x និង y កូអរដោនេនៃចំនុចនៅលើបន្ទាត់ L ត្រូវបានបង្ហាញដោយប្រើប៉ារ៉ាម៉ែត្រ t:

(3) - សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់នៅក្នុង DSC

ដែលជាកន្លែងដែលមុខងារ (t) និង (t) ត្រូវបានបន្តដោយគោរពតាមប៉ារ៉ាម៉ែត្រ t (នៅក្នុងជួរជាក់លាក់នៃការប្រែប្រួលនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រនេះ)។

ដោយមិនរាប់បញ្ចូលប៉ារ៉ាម៉ែត្រ t ពីសមីការ (3) យើងទទួលបានសមីការ (1) ។

ចូរយើងពិចារណាបន្ទាត់ L ជាផ្លូវដែលឆ្លងកាត់ដោយចំណុចសម្ភារៈដែលបន្តផ្លាស់ទីទៅតាមច្បាប់ជាក់លាក់មួយ។ អនុញ្ញាតឱ្យអថេរ t តំណាងឱ្យពេលវេលារាប់ពីពេលដំបូងមួយចំនួន។ បន្ទាប់មកការបញ្ជាក់នៃច្បាប់ចលនាតំណាងឱ្យការបញ្ជាក់នៃកូអរដោណេ x និង y នៃចំណុចផ្លាស់ទីដែលជាមុខងារបន្តមួយចំនួន x=(t) និង y=(t) នៃពេលវេលា t ។

ឧទាហរណ៍. ចូរយើងទាញយកសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រសម្រាប់រង្វង់នៃកាំ r> 0 ដែលមានចំណុចកណ្តាលនៅដើម។ អនុញ្ញាតឱ្យ M(x,y) ជាចំណុចបំពាននៃរង្វង់នេះ ហើយ t ជាមុំរវាងវ៉ិចទ័រកាំ និងអ័ក្សអុក រាប់ច្រាសទ្រនិចនាឡិកា។

បន្ទាប់មក x = r cos x y = r sin t ។ (4)

សមីការ (4) គឺជាសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃរង្វង់ដែលកំពុងពិចារណា។ ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ t អាចយកតម្លៃណាមួយ ប៉ុន្តែដើម្បីឱ្យចំណុច M(x,y) ដើរជុំវិញរង្វង់ម្តង ជួរនៃការផ្លាស់ប្តូរប៉ារ៉ាម៉ែត្រត្រូវបានកំណត់ត្រឹមពាក់កណ្តាលផ្នែក 0t2។

ដោយ​ការ​ការ៉េ​និង​ការ​បន្ថែម​សមីការ (4) យើង​ទទួល​បាន​សមីការ​ទូទៅ​នៃ​រង្វង់ (2) ។

2. ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលប៉ូល (psc) ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងជ្រើសរើសអ័ក្ស L ( អ័ក្សប៉ូល។) និងកំណត់ចំណុចនៃអ័ក្សនេះ O ( បង្គោល) ចំណុចណាមួយនៅលើយន្តហោះត្រូវបានកំណត់យ៉ាងពិសេសដោយកូអរដោនេប៉ូល ρ និងφ, កន្លែងណា

ρ – កាំប៉ូល, ស្មើនឹងចម្ងាយពីចំណុច M ទៅបង្គោល O (ρ≥0);

φ – ជ្រុងរវាងទិសដៅវ៉ិចទ័រ អូមនិងអ័ក្ស L ( មុំប៉ូល។). ម(ρ ; φ )

សមីការបន្ទាត់នៅក្នុង UCSអាចត្រូវបានសរសេរ:

ρ=f(φ) (5) សមីការច្បាស់លាស់នៃបន្ទាត់នៅក្នុង UCS

F=(ρ; φ) (6) សមីការបន្ទាត់មិនច្បាស់លាស់នៅក្នុង UCS

ទំនាក់ទំនងរវាង Cartesian និងប៉ូលកូអរដោណេនៃចំណុចមួយ។

(x; y) (ρ ; φ ) ពីត្រីកោណ OMA៖

tan φ=(ការស្ដារមុំφ នេះបើយោងតាមគេស្គាល់តង់សង់ត្រូវបានផលិតដោយគិតគូរពីចំនុចបួនជ្រុង M ស្ថិតនៅ)។(ρ ; φ ) (x; y) ។ x=ρcosφ,y=ρsinφ

ឧទាហរណ៍ . ស្វែងរកកូអរដោនេប៉ូលនៃចំណុច M(3;4) និង P(1;-1) ។

សម្រាប់ M:=5, φ=arctg (4/3) ។ សម្រាប់ P: ρ=; φ=Π+arctg(-1)=3Π/4។

ចំណាត់ថ្នាក់នៃបន្ទាត់រាបស្មើ។

និយមន័យ ១.បន្ទាត់ត្រូវបានគេហៅថា ពិជគណិត,ប្រសិនបើនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ Cartesian មួយចំនួន ប្រសិនបើវាត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការ F(x;y)=0 (1) ដែលមុខងារ F(x;y) គឺជាពហុនាមពិជគណិត។

និយមន័យ ២.រាល់បន្ទាត់ដែលមិនមែនជាពិជគណិតត្រូវបានគេហៅថា វិញ្ញាសា.

និយមន័យ ៣. បន្ទាត់ពិជគណិតត្រូវបានគេហៅថា ជួរនៃលំដាប់នប្រសិនបើនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ Cartesian មួយចំនួន បន្ទាត់នេះត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការ (1) ដែលមុខងារ F(x;y) គឺជាពហុនាមពិជគណិតនៃសញ្ញាបត្រទី n ។

ដូច្នេះបន្ទាត់នៃលំដាប់ទី n គឺជាបន្ទាត់ដែលបានកំណត់នៅក្នុងប្រព័ន្ធចតុកោណ Cartesian មួយចំនួនដោយសមីការពិជគណិតនៃដឺក្រេ n ដោយមិនស្គាល់ពីរ។

ទ្រឹស្តីបទខាងក្រោមរួមចំណែកដល់ការបង្កើតភាពត្រឹមត្រូវនៃនិយមន័យ 1,2,3។

ទ្រឹស្តីបទ(ឯកសារនៅលើទំព័រ 107) ។ ប្រសិនបើបន្ទាត់នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណ Cartesian មួយចំនួនត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការពិជគណិតនៃដឺក្រេ n នោះបន្ទាត់នេះនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណ Cartesian ផ្សេងទៀតត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការពិជគណិតនៃដឺក្រេដូចគ្នា n ។

គោលដៅ:ពិចារណាអំពីគំនិតនៃបន្ទាត់នៅលើយន្តហោះ ផ្តល់ឧទាហរណ៍។ ដោយផ្អែកលើនិយមន័យនៃបន្ទាត់ សូមណែនាំគំនិតនៃសមីការនៃបន្ទាត់នៅលើយន្តហោះ។ ពិចារណាអំពីប្រភេទនៃបន្ទាត់ត្រង់ ផ្តល់ឧទាហរណ៍ និងវិធីសាស្រ្តនៃការកំណត់បន្ទាត់ត្រង់មួយ។ ពង្រឹងសមត្ថភាពក្នុងការបកប្រែសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ពី ទិដ្ឋភាពទូទៅចូលទៅក្នុងសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ "នៅក្នុងផ្នែក" ជាមួយនឹងមេគុណមុំ។

1. សមីការនៃបន្ទាត់នៅលើយន្តហោះ។
2. សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះ។ ប្រភេទនៃសមីការ។
3. វិធីសាស្រ្តកំណត់បន្ទាត់ត្រង់។

1. សូមអោយ x និង y ជាអថេរពីរ។

និយមន័យ: ទំនាក់ទំនងនៃទម្រង់ F(x,y)=0 ត្រូវបានហៅ សមីការ ប្រសិនបើវាមិនពិតសម្រាប់គូនៃលេខ x និង y ។

ឧទាហរណ៍៖ 2x + 7y − 1 = 0, x 2 + y 2 − 25 = 0 ។

ប្រសិនបើសមភាព F(x,y)=0 រក្សាទុកសម្រាប់ x, y ណាមួយ ដូច្នេះ F(x,y) = 0 គឺជាអត្តសញ្ញាណ។

ឧទាហរណ៍៖ (x + y) 2 − x 2 − 2xy − y 2 = 0

ពួកគេនិយាយថាលេខ x គឺ 0 ហើយ y គឺ 0 បំពេញសមីការ ប្រសិនបើនៅពេលជំនួសពួកវាទៅក្នុងសមីការនេះ វាប្រែទៅជាសមភាពពិត។

គំនិតសំខាន់បំផុត ធរណីមាត្រវិភាគគឺជាគំនិតនៃសមីការនៃបន្ទាត់។

និយមន័យ: សមីការនៃបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាសមីការ F(x,y)=0 ដែលពេញចិត្តដោយកូអរដោនេនៃចំណុចទាំងអស់ដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់នេះ ហើយមិនពេញចិត្តដោយកូអរដោនេនៃចំនុចណាមួយដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់នេះទេ។

បន្ទាត់ដែលកំណត់ដោយសមីការ y = f(x) ត្រូវបានគេហៅថាក្រាហ្វនៃ f(x)។ អថេរ x និង y ត្រូវបានគេហៅថា កូអរដោណេបច្ចុប្បន្ន ព្រោះវាជាកូអរដោនេនៃចំណុចអថេរ។

ខ្លះ ឧទាហរណ៍និយមន័យបន្ទាត់។

1) x – y = 0 => x = y ។ សមីការនេះកំណត់បន្ទាត់ត្រង់៖

2) x 2 - y 2 = 0 => (x-y)(x+y) = 0 => ពិន្ទុត្រូវតែបំពេញទាំងសមីការ x − y = 0 ឬសមីការ x + y = 0 ដែលត្រូវគ្នានឹងយន្តហោះទៅ គូនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលប្រសព្វគ្នាដែលជា bisectors នៃមុំកូអរដោនេ៖

3) x 2 + y 2 = 0. សមីការនេះត្រូវបានពេញចិត្តដោយចំណុចតែមួយ O(0,0)។

2. និយមន័យ៖ បន្ទាត់ត្រង់ណាមួយនៅលើយន្តហោះអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយសមីការលំដាប់ទីមួយ

អ័ក្ស + Wu + C = 0,

លើសពីនេះទៅទៀតថេរ A និង B មិនស្មើនឹងសូន្យក្នុងពេលតែមួយទេពោលគឺឧ។ A 2 + B 2 ¹ 0. សមីការលំដាប់ទីមួយនេះត្រូវបានគេហៅថា សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់។

អាស្រ័យលើតម្លៃនៃថេរ A, B និង C ករណីពិសេសខាងក្រោមអាចធ្វើទៅបាន៖

C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 – បន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ប្រភពដើម

A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 (By + C = 0) - បន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអ័ក្សអុក

B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) – បន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស Oy

B = C = 0, A ¹ 0 – បន្ទាត់ត្រង់ស្របគ្នានឹងអ័ក្ស Oy

A = C = 0, B ¹ 0 – បន្ទាត់ត្រង់ស្របគ្នានឹងអ័ក្សអុក

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់អាចត្រូវបានបង្ហាញក្នុងទម្រង់ផ្សេងៗគ្នា អាស្រ័យលើលក្ខខណ្ឌដំបូងដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយមេគុណមុំ។

ប្រសិនបើសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ Ax + By + C = 0 ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់៖

ហើយបញ្ជាក់ បន្ទាប់មកសមីការលទ្ធផលត្រូវបានគេហៅថា សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយជម្រាល k.

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងផ្នែក។

ប្រសិនបើនៅក្នុង សមីការទូទៅបន្ទាត់ត្រង់ Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0 បន្ទាប់មកបែងចែកដោយ –С យើងទទួលបាន៖ ឬ កន្លែងណា

អត្ថន័យធរណីមាត្រមេគុណគឺមេគុណ កគឺជាកូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ជាមួយអ័ក្សអុក និង ខ- កូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយអ័ក្សអូ។

សមីការធម្មតានៃបន្ទាត់។

ប្រសិនបើភាគីទាំងពីរនៃសមីការ Ax + By + C = 0 ត្រូវបានបែងចែកដោយលេខដែលហៅថា កត្តាធ្វើឱ្យធម្មតា។បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន

xcosj + ysinj - p = 0 - សមីការធម្មតានៃបន្ទាត់ត្រង់។

សញ្ញា ± នៃកត្តាធម្មតាត្រូវតែត្រូវបានជ្រើសរើស ដូច្នេះ m × С< 0.

p គឺជាប្រវែងនៃកាត់កែងចុះពីដើមទៅបន្ទាត់ត្រង់ ហើយ j គឺជាមុំដែលបង្កើតឡើងដោយកាត់កែងនេះជាមួយនឹងទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្សអុក។

3. សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដោយប្រើចំណុច និងជម្រាល។

សូមឱ្យមេគុណមុំនៃបន្ទាត់ស្មើ k បន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំណុច M (x 0, y 0) ។ បន្ទាប់មកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖ y – y 0 = k(x – x 0)

សមីការនៃបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ពីរចំណុច។

សូម​ឱ្យ​ពិន្ទុ​ពីរ M 1 (x 1, y 1, z 1) និង M 2 (x 2, y 2, z 2) ក្នុង​លំហ បន្ទាប់មក​សមីការ​នៃ​បន្ទាត់​ឆ្លងកាត់​ចំណុច​ទាំងនេះ​គឺ៖

ប្រសិនបើភាគបែងណាមួយជាសូន្យ នោះលេខដែលត្រូវគ្នាគួរតែត្រូវបានកំណត់ស្មើសូន្យ។

នៅលើយន្តហោះ សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលសរសេរខាងលើត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖

ប្រសិនបើ x 1 ¹ x 2 និង x = x 1 ប្រសិនបើ x 1 = x 2 ។

ប្រភាគ = k ត្រូវបានគេហៅថា ជម្រាលត្រង់។

សមភាពនៃទម្រង់ F(x, y) = 0 ត្រូវបានគេហៅថាសមីការដែលមានអថេរពីរ x, y ប្រសិនបើវាមិនពិតសម្រាប់គូទាំងអស់នៃលេខ x, y ។ ពួកគេនិយាយថាចំនួនពីរ x = x 0, y = y 0 បំពេញសមីការមួយចំនួននៃទម្រង់ F(x, y) = 0 ប្រសិនបើនៅពេលជំនួសលេខទាំងនេះជំនួសឱ្យអថេរ x និង y ទៅក្នុងសមីការ ផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់វាក្លាយជាសូន្យ។ .

សមីការនៃបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ (នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេដែលបានកំណត់) គឺជាសមីការមួយដែលមានអថេរពីរដែលពេញចិត្តដោយកូអរដោណេនៃគ្រប់ចំណុចដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់នេះ ហើយមិនពេញចិត្តដោយកូអរដោនេនៃគ្រប់ចំណុចដែលមិនស្ថិតនៅលើវា។

នៅក្នុងអ្វីដែលដូចខាងក្រោមជំនួសឱ្យកន្សោម "បានផ្តល់សមីការនៃបន្ទាត់ F (x, y) = 0" ជាញឹកញាប់យើងនឹងនិយាយយ៉ាងខ្លីបន្ថែមទៀត: បានផ្តល់ឱ្យបន្ទាត់ F (x, y) = 0 ។

ប្រសិនបើសមីការនៃបន្ទាត់ពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ: F (x, y) = 0 និង Ф (x, y) = 0 បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយរួមនៃប្រព័ន្ធ

F(x,y) = 0, Ф(x, y) = 0

ផ្តល់ចំណុចប្រសព្វរបស់ពួកគេ។ កាន់តែច្បាស់ជាងនេះទៅទៀត លេខគូនីមួយៗដែលជាដំណោះស្រាយរួមនៃប្រព័ន្ធនេះកំណត់ចំណុចប្រសព្វមួយ

157. ពិន្ទុដែលបានផ្តល់ឱ្យ *) M 1 (2; -2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), ម 6 (3; -2) ។ កំណត់ចំណុចណាមួយដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដែលកំណត់ដោយសមីការ x + y = 0 ហើយអ្វីដែលមិនស្ថិតនៅលើវា។ តើ​បន្ទាត់​មួយ​ណា​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ដោយ​សមីការ​នេះ? (គូរវានៅលើគំនូរ។ )

158. នៅលើបន្ទាត់ដែលកំណត់ដោយសមីការ x 2 + y 2 = 25 រកចំនុចដែល abscissas ស្មើនឹងលេខខាងក្រោម៖ 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; នៅលើបន្ទាត់ដូចគ្នារកចំណុចដែលការចាត់តាំងស្មើនឹងលេខខាងក្រោម៖ 5) 3, 6) -5, 7) -8 ។ តើ​បន្ទាត់​មួយ​ណា​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ដោយ​សមីការ​នេះ? (គូរវានៅលើគំនូរ។ )

159. កំណត់បន្ទាត់ណាមួយដែលត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការខាងក្រោម (សាងសង់ពួកវានៅលើគំនូរ): 1)x - y = 0; 2) x + y = 0; 3) x − 2 = 0; 4) x + 3 = 0; 5) y − 5 = 0; 6) y + 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0; 9) x 2 − xy = 0; 10) xy + y 2 = 0; 11) x 2 − y 2 = 0; 12) xy = 0; 13) y 2 − 9 = 0; 14) x 2 − 8x + 15 = 0; 15) y 2 + ដោយ + 4 = 0; 16) x 2 y − 7xy + 10y = 0; ១៧) y - |x|; 18) x - |y|; 19) y + |x| = 0; ២០) x + |y| = 0; 21) y = |x − 1|; 22) y = |x + 2|; 23) x 2 + y 2 = 16; 24) (x − 2) 2 + (y − 1) 2 = 16; 25 (x + 5) 2 + (y-1) 2 = 9; 26) (x − 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 + (y + 3) 2 = 1; 28) (x − 3) 2 + y 2 = 0; 29) x 2 + 2y 2 = 0; 30) 2x 2 + 3y 2 + 5 = 0; 31) (x − 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0 ។

160. បន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ: l) x + y = 0; 2) x - y = 0; 3) x 2 + y 2 − 36 = 0; 4) x 2 + y 2 − 2x + y = 0; 5) x 2 + y 2 + 4x − 6y − 1 = 0. កំណត់ថាតើពួកវាមួយណាឆ្លងកាត់ប្រភពដើម។

161. បន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ: 1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x − 3) 2 + (y + 4) 2 = 25; 3) (x + 6) 2 + (y − Z) 2 = 25; 4) (x + 5) 2 + (y − 4) 2 = 9; 5) x 2 + y 2 − 12x + 16y − 0; 6) x 2 + y 2 − 2x + 8y + 7 = 0; 7) x 2 + y 2 − 6x + 4y + 12 = 0. រកចំនុចប្រសព្វរបស់ពួកគេ៖ ក) ជាមួយអ័ក្សអុក; ខ) ជាមួយអ័ក្ស Oy ។

162. រកចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ពីរ៖

1) x 2 + y 2 − 8; x − y = 0;

2) x 2 + y 2 − 16x + 4y + 18 = 0; x + y = 0;

3) x 2 + y 2 − 2x + 4y − 3 = 0; x 2 + y 2 = 25;

4) x 2 + y 2 − 8y + 10y + 40 = 0; x 2 + y 2 = 4 ។

163. នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេប៉ូល ចំនុច M 1 (l; π/3), M 2 (2; 0), M 3 (2; π/4), M 4 (√3; π/6) និង M 5 (1; 2/3π) ។ កំណត់ថាចំនុចណាខ្លះស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដែលបានកំណត់ក្នុងប៉ូលកូអរដោណេដោយសមីការ p = 2cosΘ ហើយមួយណាមិនស្ថិតនៅលើវា។ តើ​បន្ទាត់​មួយ​ណា​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ដោយ​សមីការ​នេះ? (គូរវានៅលើគំនូរ។ )

164. នៅលើបន្ទាត់កំណត់ដោយសមីការ p = 3/cosΘ រកចំនុចដែលមុំប៉ូលស្មើនឹងលេខខាងក្រោម៖ a) π/3, b) - π/3, c) 0, d) π/6 ។ តើ​បន្ទាត់​មួយ​ណា​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ដោយ​សមីការ​នេះ? (បង្កើតវានៅលើគំនូរ។ )

165. នៅលើបន្ទាត់ដែលកំណត់ដោយសមីការ p = 1/sinΘ រកចំនុចដែលកាំប៉ូឡាស្មើនឹងលេខខាងក្រោម៖ ក) 1 6) 2, គ) √2 ។ តើ​បន្ទាត់​មួយ​ណា​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ដោយ​សមីការ​នេះ? (បង្កើតវានៅលើគំនូរ។ )

166. កំណត់បន្ទាត់ណាមួយដែលត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងប៉ូលកូអរដោណេដោយសមីការខាងក្រោម (សាងសង់ពួកវានៅលើគំនូរ): 1) p = 5; 2) Θ = π/2; 3) Θ = − π/4; 4) p cosΘ = 2; 5) p sinΘ = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) p = 10 sinΘ; 8) sinΘ = 1/2; 9) sinp = 1/2 ។

167. សាងសង់វង់ Archimedes ខាងក្រោមនៅលើគំនូរ: 1) p = 20; 2) ទំ = 50; 3) p = Θ/π; 4) p = −Θ/π ។

168. សង់វង់អ៊ីពែរបូលខាងក្រោមនៅលើគំនូរ៖ 1) p = 1/Θ; 2) ទំ = 5/Θ; 3) p = π/Θ; 4) p = − π/Θ

169. សង់វង់លោការីតខាងក្រោមនៅលើគំនូរ៖ 1) p = 2 Θ; 2) ទំ = (1/2) Θ។

170. កំណត់ប្រវែងនៃផ្នែកដែលវង់ Archimedes p = 3Θ ត្រូវបានកាត់ដោយធ្នឹមដែលផុសចេញពីបង្គោល ហើយទំនោរទៅអ័ក្សប៉ូលនៅមុំមួយ Θ = π/6 ។ ធ្វើគំនូរ។

171. នៅលើ Archimedes spiral p = 5/πΘ ចំនុច C ត្រូវបានគេយក កាំប៉ូលដែលមាន 47. កំណត់ចំនួនផ្នែកដែលវង់នេះកាត់កាំប៉ូលនៃចំនុច C. ធ្វើគំនូរ។

172. នៅលើវង់អ៊ីពែរបូល P = 6/Θ រកចំណុច P ដែលកាំប៉ូលគឺ 12. ធ្វើគំនូរ។

173. នៅលើវង់លោការីត p = 3 Θ រកចំណុច P ដែលកាំប៉ូលគឺ 81 ។ ធ្វើគំនូរ។