ឫសគល់នៃសមីការលំដាប់ទី២។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរ។ ការសាងសង់ដំណោះស្រាយទូទៅទៅជាលីនេអ៊ែរដូចគ្នា។
លីនេអ៊ែរដូចគ្នា។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរដែលមានមេគុណថេរមានទម្រង់
ដែល p និង q ជាចំនួនពិត។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍អំពីរបៀបដែលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរដូចគ្នាជាមួយមេគុណថេរត្រូវបានដោះស្រាយ។
ដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរ លំដាប់ទីពីរគឺអាស្រ័យទៅលើឫសគល់នៃសមីការលក្ខណៈ។ សមីការលក្ខណៈគឺសមីការ k²+pk+q=0។
1) ប្រសិនបើឫសនៃសមីការលក្ខណៈគឺជាចំនួនពិតខុសគ្នា៖
បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នាលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីពីរដែលមានមេគុណថេរមានទម្រង់
2) ប្រសិនបើឫសនៃសមីការលក្ខណៈគឺស្មើនឹងចំនួនពិត
(ឧទាហរណ៍ ដោយមានការរើសអើងស្មើនឹងសូន្យ) បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរដូចគ្នាគឺ
3) ប្រសិនបើឫសនៃសមីការលក្ខណៈគឺជាចំនួនកុំផ្លិច
(ឧទាហរណ៍ ដោយមានការរើសអើងស្មើនឹងចំនួនអវិជ្ជមាន) បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរដូចគ្នាត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់
ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរដូចគ្នាលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងមេគុណថេរ
ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរដូចគ្នា៖
យើងបង្កើតសមីការលក្ខណៈ៖ k²-7k+12=0។ ការរើសអើងរបស់វាគឺ D=b²-4ac=1>0 ដូច្នេះឫសគឺជាចំនួនពិតខុសគ្នា។
ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅនៃលំដាប់ទី 2 DE ដូចគ្នានេះគឺ
ចូរយើងចងក្រង និងដោះស្រាយសមីការលក្ខណៈ៖
ឫសគឺពិតប្រាកដនិងប្លែក។ ដូច្នេះ យើងមានដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នានេះ៖
ក្នុងករណីនេះសមីការលក្ខណៈ
ឫសគឺខុសគ្នានិងត្រឹមត្រូវ។ ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នានៃលំដាប់ទី 2 គឺនៅទីនេះ
សមីការលក្ខណៈ
ដោយសារឫសគឺពិត និងស្មើគ្នា សម្រាប់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនេះ យើងសរសេរដំណោះស្រាយទូទៅជា
សមីការលក្ខណៈគឺនៅទីនេះ
ចាប់តាំងពីអ្នករើសអើងគឺ លេខអវិជ្ជមានឫសគល់នៃសមីការលក្ខណៈគឺជាចំនួនកុំផ្លិច។
ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរដូចគ្នានេះមានទម្រង់
សមីការលក្ខណៈ
ពីទីនេះយើងរកឃើញដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះឌីផេរ៉ង់ស្យែលនេះ។ សមីការ៖
ឧទាហរណ៍សម្រាប់ការធ្វើតេស្តដោយខ្លួនឯង។
§ 9. សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីពីរជាមួយនឹងមេគុណថេរ
និយមន័យនៃលំដាប់ទីពីរ LODE ជាមួយនឹងមេគុណថេរ
សមីការលក្ខណៈ៖
ករណីទី១. ការរើសអើងធំជាងសូន្យ
ករណីទី២. ការរើសអើងគឺសូន្យ
ករណីទី៣. រើសអើងតិចជាងសូន្យ
ការស្វែងរកក្បួនដោះស្រាយ ដំណោះស្រាយទូទៅលំដាប់ទីពីរ LOD ជាមួយនឹងមេគុណថេរ
§ 10. សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល inhomogeneous លីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីពីរជាមួយនឹងមេគុណថេរ
ការកំណត់លំដាប់ទីពីរ LPDE ជាមួយនឹងមេគុណថេរ
វិធីសាស្រ្តបំរែបំរួលនៃថេរ
វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយ LNDDE ជាមួយផ្នែកខាងស្តាំពិសេស
ទ្រឹស្តីបទស្តីពីរចនាសម្ព័ន្ធនៃដំណោះស្រាយទូទៅនៃ LNDE
1. មុខងារ r (x) - ពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រ ធ
2. មុខងារ r (x) - ផលិតផលនៃលេខដោយ អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
3. មុខងារ r (x) - ផលបូក អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ
ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះ LPDE ដែលមានផ្នែកខាងស្តាំពិសេស
ការដាក់ពាក្យ
§ ៩. សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីពីរជាមួយនឹងមេគុណថេរ
សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរត្រូវបានគេហៅថា សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នាលីនេអ៊ែរ (LODE) ជាមួយនឹងមេគុណថេរប្រសិនបើវាមើលទៅដូចជា៖
កន្លែងណា ទំនិង q
ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះ LODE វាគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយផ្នែកផ្សេងគ្នាពីររបស់វា និង . បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយទូទៅនៃ LODE នឹងមានទម្រង់
កន្លែងណា ជាមួយ 1 និង ជាមួយ
Leonard Euler បានស្នើឱ្យស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់របស់ LDE នៅក្នុងទម្រង់បែបបទ
កន្លែងណា k- ចំនួនជាក់លាក់។
ភាពខុសគ្នានៃមុខងារនេះពីរដង និងជំនួសកន្សោមសម្រាប់ នៅ, y"និង y"នៅក្នុងសមីការយើងទទួលបាន៖
សមីការលទ្ធផលត្រូវបានគេហៅថា សមីការលក្ខណៈឡូឌូ។ ដើម្បីចងក្រងវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីជំនួសនៅក្នុងសមីការដើម y", y"និង នៅយោងទៅតាម k 2 , kនិង 1:
ដោយបានដោះស្រាយសមីការលក្ខណៈ, i.e. ការស្វែងរកឫស k 1 និង k 2, យើងក៏នឹងស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់ចំពោះ LODE ដើម។
សមីការលក្ខណៈគឺ សមីការការ៉េឫសរបស់វាត្រូវបានរកឃើញតាមរយៈអ្នករើសអើង
ក្នុងករណីនេះ ករណីទាំងបីខាងក្រោមអាចធ្វើទៅបាន។
ករណីទី១. ការរើសអើងធំជាងសូន្យ ដូច្នេះឫស k 1 និង k 2 ត្រឹមត្រូវ និងច្បាស់លាស់៖
k 1¹ k 2
កន្លែងណា ជាមួយ 1 និង ជាមួយ 2 - ថេរឯករាជ្យ។
ករណីទី២. ការរើសអើងគឺសូន្យ ដូច្នេះឫស k 1 និង k 2 ពិតនិងស្មើគ្នា:
k 1 = k 2 = k
ក្នុងករណីនេះដំណោះស្រាយទូទៅរបស់ LOD មានទម្រង់
កន្លែងណា ជាមួយ 1 និង ជាមួយ 2 - ថេរឯករាជ្យ។
ករណីទី៣. រើសអើងតិចជាងសូន្យ . ក្នុងករណីនេះ សមីការមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដទេ៖
មិនមានឫសទេ។
ក្នុងករណីនេះដំណោះស្រាយទូទៅរបស់ LOD មានទម្រង់
កន្លែងណា ជាមួយ 1 និង ជាមួយ 2 - អថេរឯករាជ្យតាមអំពើចិត្ត
ដូច្នេះ ការស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះ LODE លំដាប់ទីពីរដែលមានមេគុណថេរ មករកឫសនៃសមីការលក្ខណៈ និងការប្រើប្រាស់រូបមន្តសម្រាប់ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ (ដោយមិនប្រើការគណនាអាំងតេក្រាល)។
ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះ LODE លំដាប់ទីពីរដែលមានមេគុណថេរ:
1. កាត់បន្ថយសមីការទៅជាទម្រង់ដែល ទំនិង q- ចំនួនពិតមួយចំនួន។
2. បង្កើតសមីការលក្ខណៈ។
3. ស្វែងរកការរើសអើងនៃសមីការលក្ខណៈ។
4. ការប្រើរូបមន្ត (សូមមើលតារាងទី 1) អាស្រ័យលើសញ្ញានៃអ្នករើសអើង សូមសរសេរដំណោះស្រាយទូទៅ។
តារាងទី 1
តារាងនៃដំណោះស្រាយទូទៅដែលអាចធ្វើបាន
នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងពិនិត្យមើលគោលការណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរដូចគ្នាលីនេអ៊ែរ ជាមួយនឹងមេគុណថេរ ដែល p និង q គឺជាចំនួនពិតតាមអំពើចិត្ត។ ជាដំបូង ចូរយើងផ្តោតលើទ្រឹស្តី បន្ទាប់មកអនុវត្តលទ្ធផលដែលទទួលបានក្នុងការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ និងបញ្ហា។
ប្រសិនបើអ្នកឆ្លងកាត់ពាក្យដែលមិនធ្លាប់ស្គាល់ សូមមើលផ្នែកលើនិយមន័យ និងគោលគំនិតនៃទ្រឹស្តីនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។
អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតទ្រឹស្តីបទដែលចង្អុលបង្ហាញនៅក្នុងទម្រង់បែបណាដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃ LOD ។
ទ្រឹស្តីបទ។
ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរដែលមានមេគុណបន្តនៅលើចន្លោះពេលរួមបញ្ចូល X ត្រូវបានកំណត់ដោយការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរ 
, កន្លែងណា 
គឺជាដំណោះស្រាយផ្នែកឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃ LDE នៅលើ X ហើយជាថេរតាមអំពើចិត្ត។
ដូច្នេះ ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរដូចគ្នាលីនេអ៊ែរជាមួយមេគុណថេរមានទម្រង់ y 0 = C 1 ⋅y 1 + C 2 ⋅y 2 ដែល y 1 និង y 2 គឺជាដំណោះស្រាយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរដោយផ្នែក និង C 1 និង C 2 គឺជាអថេរបំពាន។ វានៅសល់ដើម្បីរៀនពីរបៀបស្វែងរកដំណោះស្រាយដោយផ្នែក y 1 និង y 2 ។
អយល័របានស្នើឱ្យស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៅក្នុងទម្រង់។
ប្រសិនបើយើងយកដំណោះស្រាយមួយផ្នែកនៃ LDE លំដាប់ទីពីរជាមួយនឹងមេគុណថេរ នោះនៅពេលជំនួសដំណោះស្រាយនេះទៅក្នុងសមីការ យើងគួរតែទទួលបានអត្តសញ្ញាណ៖ 
ដូច្នេះយើងទទួលបានអ្វីដែលគេហៅថា សមីការលក្ខណៈសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នាលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីពីរជាមួយនឹងមេគុណថេរ។ ដំណោះស្រាយ k 1 និង k 2 នៃសមីការលក្ខណៈនេះកំណត់ដំណោះស្រាយមួយផ្នែកនៃ LODE លំដាប់ទីពីររបស់យើងជាមួយនឹងមេគុណថេរ។
អាស្រ័យលើមេគុណ p និង q ឫសនៃសមីការលក្ខណៈអាចជា៖
ក្នុងករណីដំបូងដំណោះស្រាយផ្នែកឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដើមគឺ និងដំណោះស្រាយទូទៅនៃ LODE លំដាប់ទីពីរដែលមានមេគុណថេរគឺ .
មុខងារ និងពិតជាឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ដោយសារកត្តាកំណត់ Wronski គឺមិនសូន្យសម្រាប់ x ពិតប្រាកដណាមួយសម្រាប់ .
ក្នុងករណីទីពីរដំណោះស្រាយពិសេសមួយគឺមុខងារ។ ជាដំណោះស្រាយពិសេសទីពីរដែលយើងយក។ ចូរយើងបង្ហាញពីអ្វីដែលពិតជាដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះលំដាប់ទីពីរ LODE ជាមួយនឹងមេគុណថេរ និងបញ្ជាក់ ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ y 1 និង y 2 ។
ដោយសារ k 1 = k 0 និង k 2 = k 0 គឺជាឫសគល់ដូចគ្នានៃសមីការលក្ខណៈ វាមានទម្រង់។ ដូច្នេះ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរដូចគ្នាបេះបិទ។ ចូរជំនួសវាទៅក្នុងវា ហើយត្រូវប្រាកដថាសមីការក្លាយជាអត្តសញ្ញាណ៖ 
ដូច្នេះ វាគឺជាដំណោះស្រាយមួយផ្នែកនៃសមីការដើម។
ចូរយើងបង្ហាញភាពឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃមុខងារ និង . ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងគណនាកត្តាកំណត់ Wronski ហើយត្រូវប្រាកដថាវាខុសពីសូន្យ។ 
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ ដំណោះស្រាយផ្នែកឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃ LODE លំដាប់ទីពីរដែលមានមេគុណថេរគឺ និង ហើយដំណោះស្រាយទូទៅមានសម្រាប់ .
ក្នុងករណីទីបីយើងមានដំណោះស្រាយផ្នែកស្មុគស្មាញមួយគូនៃ LDE និង . ដំណោះស្រាយទូទៅនឹងត្រូវបានសរសេរជា 
. ដំណោះស្រាយពិសេសទាំងនេះអាចត្រូវបានជំនួសដោយមុខងារពិតពីរ 
និង, ដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងផ្នែកពិត និងការស្រមើលស្រមៃ។ នេះអាចត្រូវបានគេមើលឃើញយ៉ាងច្បាស់ប្រសិនបើយើងផ្លាស់ប្តូរដំណោះស្រាយទូទៅ ដោយប្រើរូបមន្តពី ទ្រឹស្តីនៃមុខងារនៃអថេរស្មុគស្មាញប្រភេទ៖ 
ដែល C 3 និង C 4 គឺជាអថេរបំពាន។
ដូច្នេះសូមសង្ខេបទ្រឹស្តី។
ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរដូចគ្នាលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងមេគុណថេរ។
សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍សម្រាប់ករណីនីមួយៗ។
ឧទាហរណ៍។
ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរលំដាប់ទីពីរដែលមានមេគុណថេរ 
.
សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរលំដាប់ទី 2 (LDE) មានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ
ដែល , , និងត្រូវបានផ្តល់មុខងារដែលបន្តនៅលើចន្លោះពេលដែលដំណោះស្រាយត្រូវបានស្វែងរក។ ដោយសន្មតថា 0 (x) ≠ 0 យើងបែងចែក (2.1) ដោយ ហើយបន្ទាប់ពីណែនាំសញ្ញាណថ្មីសម្រាប់មេគុណ យើងសរសេរសមីការក្នុងទម្រង់៖
អនុញ្ញាតឱ្យយើងទទួលយកដោយគ្មានភស្តុតាងថា (2.2) មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់នៅលើចន្លោះពេលជាក់លាក់ណាមួយដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូងណាមួយ , ប្រសិនបើនៅលើចន្លោះពេលដែលកំពុងពិចារណាមុខងារ និងបន្ត។ ប្រសិនបើ សមីការ (2.2) ត្រូវបានគេហៅថាដូចគ្នា ហើយសមីការ (2.2) ត្រូវបានគេហៅថា inhomogeneous បើមិនដូច្នេះទេ។
ចូរយើងពិចារណាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដំណោះស្រាយចំពោះលំដាប់ទី 2 ។
និយមន័យ។បន្សំលីនេអ៊ែរនៃអនុគមន៍គឺជាកន្សោម ដែលជាលេខតាមអំពើចិត្ត។
ទ្រឹស្តីបទ។ប្រសិនបើនិង - ដំណោះស្រាយ
បន្ទាប់មកការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែររបស់ពួកគេក៏នឹងក្លាយជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះផងដែរ។
ភស្តុតាង។
ចូរយើងដាក់កន្សោមនៅក្នុង (2.3) ហើយបង្ហាញថាលទ្ធផលគឺជាអត្តសញ្ញាណ៖
ចូរយើងរៀបចំលក្ខខណ្ឌឡើងវិញ៖
ដោយសារអនុគមន៍គឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការ (2.3) ដូច្នេះតង្កៀបនីមួយៗក្នុងសមីការចុងក្រោយគឺដូចគ្នាបេះបិទនឹងសូន្យ ដែលជាអ្វីដែលចាំបាច់ត្រូវតែបញ្ជាក់។
កូរ៉ូឡារី ១.តាមទ្រឹស្តីបទបង្ហាញឱ្យឃើញថា ប្រសិនបើជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ (២.៣) នោះក៏មានដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះផងដែរ។
កូរ៉ូឡារី ២.សន្មតថាយើងឃើញថាផលបូកនៃដំណោះស្រាយពីរចំពោះ Lod ក៏ជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះផងដែរ។
មតិយោបល់។ទ្រព្យសម្បត្តិនៃដំណោះស្រាយដែលបានបង្ហាញនៅក្នុងទ្រឹស្តីបទនៅតែមានសុពលភាពសម្រាប់បញ្ហានៃលំដាប់ណាមួយ។
§៣. កត្តាកំណត់របស់ Vronsky ។
និយមន័យ។ប្រព័ន្ធនៃមុខងារត្រូវបានគេនិយាយថាមានភាពឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៅចន្លោះពេលជាក់លាក់មួយ ប្រសិនបើគ្មានមុខងារទាំងនេះអាចត្រូវបានតំណាងថាជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃមុខងារផ្សេងទៀតទាំងអស់។
ក្នុងករណីមុខងារពីរនេះមានន័យថា 
, i.e. 
. លក្ខខណ្ឌចុងក្រោយអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជា ឬ 
. កត្តាកំណត់ក្នុងភាគយកនៃកន្សោមនេះគឺ 
ត្រូវបានគេហៅថា Wronski កំណត់សម្រាប់មុខងារ និង . ដូច្នេះ កត្តាកំណត់ Wronski សម្រាប់មុខងារឯករាជ្យលីនេអ៊ែរពីរមិនអាចដូចគ្នាបេះបិទនឹងសូន្យបានទេ។
អនុញ្ញាតឱ្យ 
គឺជាកត្តាកំណត់ Wronski សម្រាប់ដំណោះស្រាយ និងសមីការឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ (2.3)។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងធ្វើឱ្យប្រាកដថាដោយការជំនួសថាមុខងារបំពេញសមីការ។ (3.1)
ពិត។ ចាប់តាំងពីអនុគមន៍ និងបំពេញសមីការ (2.3) បន្ទាប់មក i.e. - ដំណោះស្រាយនៃសមីការ (៣.១) ។ ចូរយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយនេះ៖ ; . កន្លែងណា , 
. 
,
, .
នៅផ្នែកខាងស្តាំនៃរូបមន្តនេះ យើងត្រូវយកសញ្ញាបូក ព្រោះមានតែក្នុងករណីនេះទេដែលអត្តសញ្ញាណកើតឡើង។ ដូច្នេះ
(3.2)
រូបមន្តនេះត្រូវបានគេហៅថារូបមន្ត Liouville ។ វាត្រូវបានបង្ហាញខាងលើថា កត្តាកំណត់ Wronski សម្រាប់មុខងារឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ មិនអាចដូចគ្នាបេះបិទនឹងសូន្យបានទេ។ អាស្រ័យហេតុនេះ មានចំណុចមួយដែលកត្តាកំណត់សម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃសមីការ (2.3) ខុសពីសូន្យ។ បន្ទាប់មកវាធ្វើតាមរូបមន្តរបស់ Liouville ដែលមុខងារនឹងមិនសូន្យសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៅក្នុងចន្លោះពេលដែលកំពុងពិចារណា ចាប់តាំងពីសម្រាប់តម្លៃណាមួយដែលកត្តាទាំងពីរនៅជ្រុងខាងស្តាំនៃរូបមន្ត (3.2) គឺមិនសូន្យ។
§ 4 ។ រចនាសម្ព័ននៃដំណោះស្រាយទូទៅទៅ lode លំដាប់ទី 2 ។
ទ្រឹស្តីបទ។ប្រសិនបើ និងជាដំណោះស្រាយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃសមីការ (2.3) នោះការរួមផ្សំលីនេអ៊ែររបស់ពួកគេ។ 
ដែលជាកន្លែងដែល និងជាថេរបំពាន នឹងក្លាយជាដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការនេះ។
ភស្តុតាង។
អ្វី 
គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ (២.៣) ដែលធ្វើតាមពីទ្រឹស្តីបទស្តីពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដំណោះស្រាយទៅលំដាប់ទី ២ ឡូដូ។ យើងគ្រាន់តែត្រូវបង្ហាញថាដំណោះស្រាយ 
នឹង ទូទៅ, i.e. វាចាំបាច់ដើម្បីបង្ហាញថាសម្រាប់លក្ខខណ្ឌដំបូងណាមួយ មនុស្សម្នាក់អាចជ្រើសរើសថេរតាមអំពើចិត្តក្នុងវិធីមួយដើម្បីបំពេញលក្ខខណ្ឌទាំងនេះ។ ចូរយើងសរសេរវាចុះ លក្ខខណ្ឌដំបូងដូចជា៖
ថេរ និងពីប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរនេះត្រូវបានកំណត់ដាច់ដោយឡែកពីគ្នា ចាប់តាំងពីកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធនេះគឺជាតម្លៃនៃកត្តាកំណត់ Wronski សម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរចំពោះ Lodu នៅ:
,
ហើយកត្តាកំណត់បែបនេះ ដូចដែលយើងបានឃើញក្នុងកថាខណ្ឌមុន គឺមិនមែនសូន្យទេ។ ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។
ឧទាហរណ៍។បញ្ជាក់មុខងារនោះ។ 
ជាកន្លែង និងជាអថេរតាមអំពើចិត្ត គឺជាដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះលោក។
ដំណោះស្រាយ។
វាងាយស្រួលក្នុងការផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយការជំនួសថាមុខងារ និងបំពេញសមីការនេះ។ មុខងារទាំងនេះគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ចាប់តាំងពី 
. ដូច្នេះយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទលើរចនាសម្ព័ន្ធនៃដំណោះស្រាយទូទៅ លំដាប់ទី 2 lode 
គឺជាដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការនេះ។
សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃលំដាប់ទី 2
§១. វិធីសាស្រ្តកាត់បន្ថយលំដាប់នៃសមីការ។
សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទី ២ មានទម្រង់៖
https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( ឬឌីផេរ៉ង់ស្យែល" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទី 2)។ បញ្ហាស៊ីជម្រៅសម្រាប់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរ (1..gif" width="85" height="25 src =">.gif" width="85" height="25 src=">.gif" height="25 src="> ។
សូមឱ្យសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទី 2 មានទម្រង់៖ https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height=" 25 src=">.gif" width="265" height="28 src="> ។
ដូច្នេះសមីការលំដាប់ទីពីរ https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height=" 25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">។ ការដោះស្រាយវា យើងទទួលបានអាំងតេក្រាលទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដើម អាស្រ័យលើចំនួនថេរបំពានពីរ៖ DIV_ADBLOCK219">
ឧទាហរណ៍ ១.ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល https://pandia.ru/text/78/516/images/image021_18.gif" width="70" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.gif " width="39" height="25 src=">.gif" width="157" height="25 src=">.gif" width="112" height="25 src="> ។
នេះគឺជាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលមានអថេរដែលអាចបំបែកបាន៖ https://pandia.ru/text/78/516/images/image026_19.gif" width="99" height="41 src=">, i.e..gif" width=" 96" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="48" height="38 src=">..gif" width="99" " height="38 src=">..gif" width="95" height="25 src="> ។
2..gif" width="117" height="25 src=">, i.e..gif" width="102" height="25 src=">..gif" width="117" height="25 src =">.gif" width="106" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="117" height="25 src=" >.gif" width="111" height="27 src=">
ដំណោះស្រាយ។
IN សមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យលំដាប់ទី 2 យ៉ាងច្បាស់មិនរួមបញ្ចូលមុខងារដែលត្រូវការ https://pandia.ru/text/78/516/images/image043_16.gif" width="98" height="25 src=">.gif" width="33" " height="25 src=">.gif" width="105" height="36 src="> ដែលជាសមីការលីនេអ៊ែរ..gif" width="109" height="36 src=">.. gif" width="144" height="36 src=">.gif" height="25 src="> ពីមុខងារមួយចំនួន..gif" width="25" height="25 src=">.gif" ទទឹង = "127" height="25 src=">.gif" width="60" height="25 src="> – លំដាប់នៃសមីការត្រូវបានបន្ទាប។
§២. សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទី 2 ។
សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរលំដាប់ទី 2 (LDE) មានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ
https://pandia.ru/text/78/516/images/image059_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> ។ gif" width="42" height="25 src="> ហើយបន្ទាប់ពីណែនាំសញ្ញាណថ្មីសម្រាប់មេគុណ យើងសរសេរសមីការក្នុងទម្រង់៖
https://pandia.ru/text/78/516/images/image064_12.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="35" height="25 src=">។ gif" width="30" height="25 src="> បន្ត..gif" width="165" height="25 src=">.gif" width="95" height="25 src="> – លេខបំពាន។
ទ្រឹស្តីបទ។ប្រសិនបើ https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> - ដំណោះស្រាយគឺ
https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> ក៏នឹងក្លាយជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះផងដែរ។
ភស្តុតាង។
តោះដាក់កន្សោម https://pandia.ru/text/78/516/images/image077_11.gif" width="420" height="25 src="> ។
ចូរយើងរៀបចំលក្ខខណ្ឌឡើងវិញ៖
https://pandia.ru/text/78/516/images/image073_10.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="54" height="25 src="> ។ gif" width="94" height="25 src="> ក៏ជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះផងដែរ។
កូរ៉ូឡារី ២.សន្មតថា https://pandia.ru/text/78/516/images/image083_11.gif" width="58" height="25 src="> ក៏ជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះផងដែរ។
មតិយោបល់។ទ្រព្យសម្បត្តិនៃដំណោះស្រាយដែលបានបង្ហាញនៅក្នុងទ្រឹស្តីបទនៅតែមានសុពលភាពសម្រាប់បញ្ហានៃលំដាប់ណាមួយ។
§៣. កត្តាកំណត់របស់ Vronsky ។
និយមន័យ។ប្រព័ន្ធមុខងារ https://pandia.ru/text/78/516/images/image084_10.gif" width="61" height="25 src=">.gif" width="110" height="47 src= ">..gif" width="106" height="42 src=">..gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="181" height="47 src= ">.gif" width="42" height="25 src="> សមីការ (2.3)..gif" width="182" height="25 src="> (3.1)
ជាការពិតណាស់, ..gif" width="18" height="25 src="> បំពេញសមីការ (2..gif" width="42" height="25 src="> គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ (3.1)។ .gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width="162" height="42 src="> .gif" width="51" height="25 src="> អត្តសញ្ញាណត្រូវបានទទួល។
https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src="> ដែលក្នុងនោះកត្តាកំណត់សម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃសមីការ (2..gif " width="42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> កត្តាទាំងពីរនៅជ្រុងខាងស្តាំនៃរូបមន្ត (3.2) គឺមិនមែនសូន្យទេ។
§ 4 ។ រចនាសម្ព័ននៃដំណោះស្រាយទូទៅទៅ lode លំដាប់ទី 2 ។
ទ្រឹស្តីបទ។ប្រសិនបើ https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> គឺជាដំណោះស្រាយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរចំពោះសមីការ (2..gif" width=" 19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src=">គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ (2.3) បន្តពីទ្រឹស្តីបទអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដំណោះស្រាយទៅលំដាប់ទី២.. gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="220" height="47">
ថេរ https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> ពីប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ត្រូវបានកំណត់យ៉ាងពិសេស ចាប់តាំងពីកត្តាកំណត់នៃ ប្រព័ន្ធនេះគឺ https://pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">។ gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5 ..gif" width="77" height="25 src=">។ យោងតាមកថាខណ្ឌមុន ដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះលំដាប់ទី 2 Lod ត្រូវបានកំណត់យ៉ាងងាយស្រួល ប្រសិនបើដំណោះស្រាយផ្នែកឯករាជ្យលីនេអ៊ែរពីរនៃសមីការនេះត្រូវបានគេស្គាល់។ វិធីសាស្ត្រសាមញ្ញមួយ សម្រាប់ការស្វែងរកដំណោះស្រាយមួយផ្នែកចំពោះសមីការដែលមានមេគុណថេរដែលស្នើដោយ L. Euler..gif" width="25" height="26 src="> យើងទទួលបាន សមីការពិជគណិតដែលហៅថាលក្ខណៈ៖
https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> នឹងក្លាយជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ (5.1) សម្រាប់តែតម្លៃទាំងនោះនៃ k នោះជាឫសគល់នៃសមីការលក្ខណៈ (៥.២)..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width= "205" height="47 src="">និងដំណោះស្រាយទូទៅ (5..gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="74" height="26 src=" >..gif" width="83" height="26 src=">។ សូមពិនិត្យមើលថាមុខងារនេះបំពេញសមីការ (5.1)..gif" width="190" height="26 src="> ជំនួសកន្សោមទាំងនេះ ចូលទៅក្នុងសមីការ (5.1) យើងទទួលបាន
https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, because..gif" width="137" height="26 src= ">។
ដំណោះស្រាយជាពិសេស https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> គឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ពីព្រោះ..gif" width="166" កម្ពស់ ="26 src=">.gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="65" height="33 src=">.gif" width="134" height= "25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src="> ។
តង្កៀបទាំងពីរនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមភាពនេះគឺដូចគ្នាបេះបិទនឹងសូន្យ..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src="> គឺ ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ (៥.១) ..gif" width="129" height="25 src="> នឹងមើលទៅដូច៖
https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)
ត្រូវបានបង្ហាញជាផលបូកនៃដំណោះស្រាយទូទៅ https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)
និងដំណោះស្រាយជាក់លាក់ណាមួយ https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> នឹងក្លាយជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ (6.1)..gif" width="272" height="25 src="> f(x) ។ សមភាពនេះគឺជាអត្តសញ្ញាណ ព្រោះ..gif" width="128" height="25 src="> f(x)) ដូច្នេះ.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width ="138" height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src="> គឺជាដំណោះស្រាយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរចំពោះសមីការនេះ។ ដូចនេះ៖
https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">
https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">។ gif" width="51" height="25 src="> ហើយកត្តាកំណត់ដូចដែលយើងបានឃើញខាងលើ គឺមិនមែនសូន្យ..gif" width="19" height="25 src="> ពីប្រព័ន្ធ នៃសមីការ (6 ..gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="140" height="25 src => នឹងដោះស្រាយសមីការ
https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> ចូលទៅក្នុងសមីការ (6.5) យើងទទួលបាន
https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f (x) (7.1)
កន្លែងដែល https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> សមីការ (7.1) ក្នុងករណីដែលផ្នែកខាងស្តាំ f(x ) មានទម្រង់ពិសេសមួយ វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានគេហៅថា មេគុណមិនកំណត់ ហើយមាននៅក្នុងការជ្រើសរើសដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ អាស្រ័យលើប្រភេទនៃផ្នែកខាងស្តាំ f(x)។
1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src="> អាចជាសូន្យ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងចង្អុលបង្ហាញទម្រង់ដែលដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយត្រូវតែយកក្នុងករណីនេះ។
ក) ប្រសិនបើលេខ https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height="25" src =>> ។
ដំណោះស្រាយ។
សម្រាប់សមីការ https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src = ">..gif" width="101" height="25 src=">.gif" width="153" height="25 src=">.gif" width="383" height="25 src= ">
យើងកាត់បន្ថយផ្នែកទាំងពីរទៅ https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src="> នៅខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមភាព
https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">
ពីប្រព័ន្ធលទ្ធផលនៃសមីការយើងរកឃើញ៖ https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src="> និងដំណោះស្រាយទូទៅ សមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យមាន:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,
កន្លែងដែល https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src="> ។
ដំណោះស្រាយ។
សមីការលក្ខណៈដែលត្រូវគ្នាមានទម្រង់៖
https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">។ gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src=">។ ចុងក្រោយ យើងមានកន្សោមខាងក្រោមសម្រាប់ដំណោះស្រាយទូទៅ៖
https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> ល្អឥតខ្ចោះ ពីសូន្យ។ ចូរយើងបង្ហាញពីប្រភេទនៃដំណោះស្រាយពិសេសក្នុងករណីនេះ។
ក) ប្រសិនបើលេខ https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src=">,
ដែលជាកន្លែងដែល https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> គឺជាឫសគល់នៃសមីការលក្ខណៈសម្រាប់សមីការ (5..gif" width="229" height="25 src=">,
កន្លែងដែល https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" height="25 src="> ។
ដំណោះស្រាយ។
ឫសគល់នៃសមីការលក្ខណៈសម្រាប់សមីការ https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" height ="25 src="> ។
ផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការដែលបានផ្ដល់ឱ្យក្នុងឧទាហរណ៍ទី 3 មានទម្រង់ពិសេសមួយ៖ f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src= ">.gif " width="55" height="25 src=">.gif" width="229" height="25 src="> ។
ដើម្បីកំណត់ https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src=" > ហើយជំនួសវាទៅក្នុងសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖
ដោយលើកឡើងពីពាក្យស្រដៀងគ្នា ស្មើមេគុណនៅ https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="100" height = "25 src="> ។
ដំណោះស្រាយទូទៅចុងក្រោយចំពោះសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺ៖ https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width="47" " height ="25 src=">.gif" width="10" height="25 src="> រៀងៗខ្លួន ហើយពហុនាមទាំងនេះមួយអាចស្មើនឹងសូន្យ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញពីប្រភេទនៃដំណោះស្រាយពិសេសនៅក្នុងករណីទូទៅនេះ។ .
ក) ប្រសិនបើលេខ https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51">, (7.2)
កន្លែងដែល https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src="> ។
ខ) ប្រសិនបើលេខ https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src="> នោះដំណោះស្រាយពិសេសចំពោះ lndu នឹងមើលទៅដូច៖
https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">។ ក្នុងកន្សោម (7..gif" width="121" height= " 25 src="> ។
ឧទាហរណ៍ 4 ។ចង្អុលបង្ហាញប្រភេទនៃដំណោះស្រាយពិសេសសម្រាប់សមីការ
https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . ដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះ Lodu មានទម្រង់៖
https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">។
មេគុណបន្ថែម https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src=" > មានដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយសម្រាប់សមីការដែលមានផ្នែកខាងស្តាំ f1(x) និងបំរែបំរួល" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">បំរែបំរួលនៃថេរតាមអំពើចិត្ត (វិធីសាស្ត្រ Lagrange)។
ការស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះសមីការដោយផ្ទាល់ លើកលែងតែក្នុងករណីសមីការដែលមានមេគុណថេរ និងជាមួយលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃពិសេសគឺពិបាកណាស់។ ដូច្នេះ ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការ វិធីសាស្ត្រនៃបំរែបំរួលនៃអថេរតាមអំពើចិត្ត ជាធម្មតាត្រូវបានប្រើប្រាស់ ដែលតែងតែធ្វើឱ្យវាអាចស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការក្នុង quadratures ប្រសិនបើប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយចំពោះសមីការដូចគ្នាត្រូវគ្នាត្រូវបានគេស្គាល់។ . វិធីសាស្រ្តនេះមានដូចខាងក្រោម។
យោងតាមខាងលើ ដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការលីនេអ៊ែរដូចគ្នាគឺ៖
https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> – មិនថេរ ប៉ុន្តែមុខងារមួយចំនួននៃ f(x) មិនទាន់ដឹងនៅឡើយ។ . ត្រូវតែយកចេញពីចន្លោះពេល។ ជាការពិត ក្នុងករណីនេះ កត្តាកំណត់ Wronski គឺមិនមែនសូន្យនៅគ្រប់ចំណុចនៃចន្លោះពេលនោះទេ ពោលគឺនៅក្នុងលំហទាំងមូល - ឫសស្មុគ្រស្មាញនៃសមីការលក្ខណៈ..gif" width="20" height="25 src="> ដំណោះស្រាយផ្នែកឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃទម្រង់៖
នៅក្នុងរូបមន្តដំណោះស្រាយទូទៅ ឫសនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងកន្សោមនៃទម្រង់។
