Ертегілер

Антитуынды графиктің астындағы аудан. Анықталған интеграл. Фигураның ауданын қалай есептеу керек. y=f(x) немесе x=g(y) сызықтарымен шектелген фигураның ауданын есептеу мысалдары

Анықталған интегралдың геометриялық мағынасын талдауға арналған алдыңғы бөлімде біз қисық сызықты трапецияның ауданын есептеуге арналған бірқатар формулаларды алдық:

S (G) = ∫ a b f (x) d x үзіліссіз және теріс емес функция үшін y = f (x) кесіндісінде [ a ; b] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x үзіліссіз және оң емес функция үшін y = f (x) кесіндісінде [ a ; b].

Бұл формулалар салыстырмалы түрде қарапайым есептерді шешу үшін қолданылады. Шындығында, біз жиі күрделі пішіндермен жұмыс істеуге тура келеді. Осыған байланысты біз бұл бөлімді анық формадағы функциялармен шектелген фигуралар ауданын есептеу алгоритмдерін талдауға арнаймыз, яғни. y = f(x) немесе x = g(y) сияқты.

Теорема

y = f 1 (x) және y = f 2 (x) функциялары [ a кесіндісінде анықталған және үзіліссіз болсын; b ] , және f 1 (x) ≤ f 2 (x) кез келген х мәні үшін [ a ; b]. Содан кейін x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) және y \u003d f 2 (x) сызықтарымен шектелген G фигурасының ауданын есептеу формуласы S сияқты болады. G) \u003d ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Ұқсас формула y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) және x \u003d g 2 (y) сызықтарымен шектелген фигураның ауданына қатысты болады: S: S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Дәлелдеу

Біз формула жарамды болатын үш жағдайды талдаймыз.

Бірінші жағдайда, ауданның аддитивтік қасиетін ескере отырып, бастапқы G фигурасының және G 1 қисық сызықты трапецияның аудандарының қосындысы G 2 фигурасының ауданына тең. Соны білдіреді

Демек, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x .

Анықталған интегралдың үшінші қасиетін пайдаланып соңғы көшуді орындай аламыз.

Екінші жағдайда теңдік ақиқат: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 () x) - f 1 (x)) d x

Графикалық иллюстрация келесідей болады:

Егер екі функция да оң емес болса, мынаны аламыз: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x . Графикалық иллюстрация келесідей болады:

y = f 1 (x) және y = f 2 (x) О х осімен қиылысатын кездегі жалпы жағдайды қарастыруға көшейік.

Біз қиылысу нүктелерін x i , i = 1 , 2 , деп белгілейміз. . . , n - 1. Бұл нүктелер кесіндіні бұзады [ a ; b ] n бөлікке x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n , мұндағы α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Демек,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f () x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Анықталған интегралдың бесінші қасиетін пайдаланып, соңғы ауысуды жасай аламыз.

Графиктегі жалпы жағдайды көрсетейік.

S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x формуласын дәлелденген деп санауға болады.

Енді y \u003d f (x) және x \u003d g (y) сызықтарымен шектелген фигуралардың ауданын есептеу мысалдарын талдауға көшейік.

Кез келген мысалды қарастыра отырып, біз графикті құрудан бастаймыз. Кескін бізге күрделі фигураларды қарапайым пішіндердің комбинациясы ретінде көрсетуге мүмкіндік береді. Графиктер мен оларға фигураларды салу қиын болса, функцияны зерттеу барысында негізгі элементар функциялар, функция графиктерін геометриялық түрлендіру, сондай-ақ графиктер құру бөлімін оқуға болады.

1-мысал

y \u003d - x 2 + 6 x - 5 параболасы және y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d түзу сызықтарымен шектелген фигураның ауданын анықтау керек. 1, x \u003d 4.

Шешім

Графиктегі сызықтарды декарттық координаталар жүйесінде салайық.

[ 1 аралықта ; 4] y = - x 2 + 6 x - 5 параболасының графигі у = - 1 3 x - 1 2 түзуінің үстінде орналасқан. Осыған байланысты жауап алу үшін біз бұрын алынған формуланы, сондай-ақ Ньютон-Лейбниц формуласы арқылы анықталған интегралды есептеу әдісін қолданамыз:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Жауабы: S (G) = 13

Неғұрлым күрделі мысалды қарастырайық.

2-мысал

y = x + 2 , y = x , x = 7 сызықтарымен шектелген фигураның ауданын есептеу керек.

Шешім

Бұл жағдайда бізде x осіне параллель бір ғана түзу бар. Бұл x = 7. Бұл интеграцияның екінші шегін өзіміз табуды талап етеді.

График тұрғызып, оған есеп шартында берілген сызықтарды қоямыз.

Біздің көз алдымызда график бола отырып, біз интеграцияның төменгі шегі y \u003d x түзу сызығы және y \u003d x + 2 жартылай параболасы бар графиктің қиылысу нүктесінің абсциссасы болатынын оңай анықтай аламыз. Абциссаны табу үшін теңдіктерді қолданамыз:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O D G x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O D G

Қиылысу нүктесінің абсциссасы х = 2 болады.

Сызбадағы жалпы мысалда y = x + 2 , y = x түзулері (2 ; 2) нүктесінде қиылысатынына назар аударамыз, сондықтан мұндай егжей-тегжейлі есептеулер артық болып көрінуі мүмкін. Біз бұл жерде осындай егжей-тегжейлі шешімді ұсындық, өйткені күрделі жағдайларда шешім соншалықты айқын болмауы мүмкін. Бұл түзулердің қиылысу координаталарын әрқашан аналитикалық жолмен есептеген дұрыс дегенді білдіреді.

[ 2 аралықта ; 7 ] y = x функциясының графигі у = x + 2 функциясының графигінен жоғары орналасқан. Ауданды есептеу үшін формуланы қолданыңыз:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Жауабы: S (G) = 59 6

3-мысал

y \u003d 1 x және y \u003d - x 2 + 4 x - 2 функцияларының графиктерімен шектелген суреттің ауданын есептеу керек.

Шешім

Графикке сызықтар саламыз.

Интеграцияның шектерін анықтайық. Ол үшін 1 x және - x 2 + 4 x - 2 өрнектерін теңестіру арқылы түзулердің қиылысу нүктелерінің координаталарын анықтаймыз. x нөлге тең болмаса, 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 теңдігі бүтін коэффициенттері бар үшінші дәрежелі - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 теңдеуіне балама болады. . Мұндай теңдеулерді шешу алгоритмінің жадысын «Кубтық теңдеулерді шешу» бөліміне жүгіну арқылы жаңартуға болады.

Бұл теңдеудің түбірі х = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

- x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 өрнекті x - 1 биномына бөлсек, мынаны аламыз: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

x 2 - 3 x - 1 = 0 теңдеуінен қалған түбірлерді таба аламыз:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

Біз x ∈ 1 интервалын таптық; 3 + 13 2 , мұндағы G көк сызықтың үстінде және қызыл сызықтың астында орналасқан. Бұл фигураның ауданын анықтауға көмектеседі:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Жауабы: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

4-мысал

y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 және x осі қисықтарымен шектелген фигураның ауданын есептеу керек.

Шешім

Барлық сызықтарды графикке қоямыз. y = - log 2 x + 1 функциясының графигін y = log 2 x графигінен ала аламыз, егер оны х осіне симметриялы орналастырып, оны бір бірлік жоғары жылжытсақ. x осінің теңдеуі y \u003d 0.

Түзулердің қиылысу нүктелерін белгілейік.

Суреттен көрініп тұрғандай, y \u003d x 3 және y \u003d 0 функцияларының графиктері (0; 0) нүктесінде қиылысады. Себебі x \u003d 0 - x 3 \u003d 0 теңдеуінің жалғыз нақты түбірі.

x = 2 теңдеудің жалғыз түбірі - log 2 x + 1 = 0 , сондықтан y = - log 2 x + 1 және y = 0 функцияларының графиктері (2 ; 0) нүктесінде қиылысады.

x = 1 - x 3 = - log 2 x + 1 теңдеуінің жалғыз түбірі. Осыған байланысты y \u003d x 3 және y \u003d - log 2 x + 1 функцияларының графиктері (1; 1) нүктесінде қиылысады. Соңғы мәлімдеме анық болмауы мүмкін, бірақ x 3 \u003d - log 2 x + 1 теңдеуінде бірден көп түбір болуы мүмкін емес, өйткені y \u003d x 3 функциясы қатаң өсуде, ал y \u003d - log 2 x функциясы + 1 қатты төмендейді.

Келесі қадам бірнеше опцияны қамтиды.

№1 нұсқа

G фигурасын абсцисса осінен жоғары орналасқан екі қисық сызықты трапецияның қосындысы ретінде көрсете аламыз, олардың біріншісі х ∈ 0 кесіндісінде орта сызықтан төмен орналасқан; 1, ал екіншісі х ∈ 1 кесіндісіндегі қызыл сызықтан төмен; 2. Бұл аудан S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x тең болатынын білдіреді.

№2 нұсқа

G фигурасын екі фигураның айырмасы ретінде көрсетуге болады, олардың біріншісі х осінің үстінде және х ∈ 0 кесіндісінде көк сызықтың астында орналасқан; 2 , ал екіншісі х ∈ 1 кесіндісіндегі қызыл және көк сызықтардың арасында; 2. Бұл бізге келесі аумақты табуға мүмкіндік береді:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Бұл жағдайда ауданды табу үшін S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y түріндегі формуланы қолдануға тура келеді. Шын мәнінде, пішінді байланыстыратын сызықтар y аргументінің функциялары ретінде ұсынылуы мүмкін.

x-ке қатысты y = x 3 және - log 2 x + 1 теңдеулерін шешейік:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Біз қажетті аумақты аламыз:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Жауабы: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

5-мысал

y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4 сызықтарымен шектелген фигураның ауданын есептеу керек.

Шешім

Диаграммаға y = x функциясымен берілген қызыл сызықпен сызық сызыңыз. y = - 1 2 x + 4 түзуін көк түспен сызыңыз, ал у = 2 3 x - 3 түзуін қара түспен белгілеңіз.

Қиылысу нүктелеріне назар аударыңыз.

y = x және y = - 1 2 x + 4 функцияларының графиктерінің қиылысу нүктелерін табыңыз:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i - теңдеудің шешімі x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 теңдеудің шешімі ⇒ (4 ; 2) қиылысу нүктесі i y = x және y = - 1 2 x + 4

y = x және y = 2 3 x - 3 функцияларының графиктерінің қиылысу нүктесін табыңыз:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Тексеру: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 – ⇒ (9; 3) нүктесі мен қиылысуы y = x және y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 теңдеуінің шешімі 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 теңдеудің шешімі емес

y = - 1 2 x + 4 және y = 2 3 x - 3 түзулерінің қиылысу нүктесін табыңыз:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 1) қиылысу нүктесі y = - 1 2 x + 4 және y = 2 3 x - 3

№1 әдіс

Біз қалаған фигураның ауданын жеке фигуралардың аудандарының қосындысы ретінде көрсетеміз.

Сонда фигураның ауданы:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

№2 әдіс

Бастапқы фигураның ауданын қалған екі фигураның қосындысы ретінде көрсетуге болады.

Содан кейін біз x үшін сызық теңдеуін шешеміз, содан кейін ғана фигураның ауданын есептеу формуласын қолданамыз.

y = x ⇒ x = y 2 қызыл сызық y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 қара сызық y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i i l i n i i

Сонымен, аумақ:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Көріп отырғаныңыздай, мәндер сәйкес келеді.

Жауабы: S (G) = 11 3

Нәтижелер

Берілген түзулермен шектелген фигураның ауданын табу үшін жазықтықта түзулерді сызып, олардың қиылысу нүктелерін тауып, ауданды табу формуласын қолдану керек. Бұл бөлімде біз тапсырмалардың ең көп таралған нұсқаларын қарастырдық.

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз

Біз қос интегралды есептеудің нақты процесін қарастырып, оның геометриялық мағынасымен танысамыз.

Қос интеграл сан жағынан жазық фигураның ауданына тең (интегралдау облысы). Бұл екі айнымалының функциясы біреуге тең болғанда қос интегралдың қарапайым түрі: .

Алдымен мәселені жалпы түрде қарастырайық. Енді сіз мұның қаншалықты қарапайым екеніне таң қаласыз! Түзулермен шектелген жазық фигураның ауданын есептейік. Анық болу үшін интервалда деп есептейміз. Бұл фигураның ауданы сандық түрде мынаған тең:

Сызбадағы аумақты бейнелейік:

Аймақты айналып өтудің бірінші жолын таңдайық:

Осылайша:

Және бірден маңызды техникалық трюк: қайталанатын интегралдарды бөлек қарастыруға болады. Алдымен ішкі интеграл, содан кейін сыртқы интеграл. Бұл әдіс шайнектер тақырыбын жаңадан бастағандар үшін өте ұсынылады.

1) «y» айнымалысы бойынша интегралдау жүргізілген кезде ішкі интегралды есептеңіз:

Мұндағы анықталмаған интеграл ең қарапайым болып табылады, содан кейін банальды Ньютон-Лейбниц формуласы қолданылады, жалғыз айырмашылығы бар интеграцияның шегі сандар емес, функциялар. Алдымен жоғарғы шекті «y» (антидеривативті функция), содан кейін төменгі шекті ауыстырдық.

2) бірінші абзацта алынған нәтиже сыртқы интегралға ауыстырылсын:

Бүкіл шешім үшін неғұрлым ықшам белгілер келесідей көрінеді:

Алынған формула «қарапайым» анықталған интегралдың көмегімен жазық фигураның ауданын есептеуге арналған жұмыс формуласы болып табылады! Сабақты қараңыз Анықталған интеграл көмегімен ауданды есептеу, ол әр қадамда!

Яғни, қос интеграл көмегімен ауданды есептеу есебі сәл өзгешеанықталған интегралды пайдаланып ауданды табу есебінен!Шын мәнінде, олар бір және бірдей!

Тиісінше, ешқандай қиындықтар туындамауы керек! Мен көп мысалдарды қарастырмаймын, өйткені сіз бұл мәселеге бірнеше рет тап болдыңыз.

9-мысал

Шешімі:Сызбадағы аумақты бейнелейік:

Аймақты айналып өтудің келесі ретін таңдайық:

Мұнда және төменде мен аумақты қалай өтуге болатынын түсінбеймін, өйткені бірінші абзац өте егжей-тегжейлі болды.

Осылайша:

Жоғарыда атап өткенімдей, жаңадан бастағандар үшін қайталанатын интегралды бөлек есептеген дұрыс, мен сол әдісті ұстанамын:

1) Біріншіден, Ньютон-Лейбниц формуласын пайдаланып, ішкі интегралды қарастырамыз:

2) Бірінші қадамда алынған нәтиже сыртқы интегралға ауыстырылады:

2-тармақ нақты интеграл көмегімен жазық фигураның ауданын табу болып табылады.

Жауап:

Міне, осындай ақымақ және аңғал тапсырма.

Тәуелсіз шешім үшін қызықты мысал:

10-мысал

Қос интегралды пайдаланып , , түзулерімен шектелген жазық фигураның ауданын есептеңіз.

Сабақтың соңындағы қорытынды шешімнің мысалы.

9-10 мысалдарда аймақты айналып өтудің бірінші әдісін пайдалану әлдеқайда тиімді, қызығушылық танытқан оқырмандар, айтпақшы, айналып өту тәртібін өзгертіп, аудандарды екінші жолмен есептей алады. Егер сіз қателеспесеңіз, онда, әрине, бірдей аймақ мәндері алынады.

Бірақ кейбір жағдайларда аймақты айналып өтудің екінші жолы тиімдірек, сондықтан жас нерд курсын қорытындылай келе, осы тақырып бойынша тағы бірнеше мысалды қарастырайық:

11-мысал

Қос интегралды пайдаланып, түзулермен шектелген жазық фигураның ауданын есептеңіз.

Шешімі:біз бүйірінде жатқан желмен екі параболаны асыға күтеміз. Күлімсіреудің қажеті жоқ, бірнеше интегралдардағы ұқсас нәрселер жиі кездеседі.

Сурет салудың ең оңай жолы қандай?

Параболаны екі функция түрінде көрсетейік:
- жоғарғы тармақ және - төменгі тармақ.

Сол сияқты біз параболаны жоғарғы және төменгі тармақтар ретінде көрсетеміз.

Суреттің ауданы қос интегралды формула бойынша есептеледі:

Егер біз аумақты айналып өтудің бірінші жолын таңдасақ не болады? Біріншіден, бұл аймақты екі бөлікке бөлуге тура келеді. Ал, екіншіден, мына мұңды суретті байқаймыз: . Интегралдар, әрине, аса күрделі деңгейге жатпайды, бірақ ... ескі математикалық сөз бар: кім тамырымен дос болса, оған жиынтық қажет емес.

Сондықтан шартта берілген түсінбеушіліктен кері функцияларды өрнектейміз:

Бұл мысалдағы кері функциялардың артықшылығы бар, олар барлық параболаны жапырақсыз, желеңді, бұтақсыз және тамырсыз бірден орнатады.

Екінші әдіске сәйкес аумақты өту келесідей болады:

Осылайша:

Олар айтқандай, айырмашылықты сезініңіз.

1) Ішкі интегралды қарастырамыз:

Нәтижені сыртқы интегралға ауыстырамыз:

«y» айнымалысы бойынша интеграция ұятқа қалмауы керек, егер «zyu» әрпі болса - оның үстіне интеграцияланса тамаша болар еді. Сабақтың екінші абзацын кім оқыса да Айналым денесінің көлемін қалай есептеу керек, ол енді "y" арқылы біріктіруден ең кішкентай ұятты бастан кешірмейді.

Сондай-ақ бірінші қадамға назар аударыңыз: интеграл жұп, ал интеграциялық сегмент нөлге жуық симметриялы. Сондықтан сегментті екі есе азайтуға болады, ал нәтижені екі есеге арттыруға болады. Бұл әдістеме сабақта егжей-тегжейлі түсіндіріледі. Анықталған интегралды есептеудің тиімді әдістері.

Не қосу керек.... Барлығы!

Жауап:

Интеграция техникасын тексеру үшін есептеп көруге болады. Жауап дәл солай болуы керек.

12-мысал

Қос интегралды пайдаланып, түзулермен шектелген жазық фигураның ауданын есептеңіз

Бұл өз қолыңызбен жасалатын мысал. Бір қызығы, егер сіз аумақты айналып өтудің бірінші әдісін қолдануға тырыссаңыз, онда фигура енді екіге емес, үш бөлікке бөлінеді! Және сәйкесінше үш жұп қайталанатын интегралды аламыз. Кейде солай болады.

Мастер-класс аяқталды және гроссмейстер деңгейіне өту уақыты келді - Қосарланған интегралды қалай есептейді? Шешу мысалдары. Екінші мақалада онша маник болмауға тырысамын =)

Сәттілік тілеймін!

Шешімдер мен жауаптар:

2-мысал:Шешімі: Ауданды сызыңыз сызба бойынша:

Аймақты айналып өтудің келесі ретін таңдайық:

Осылайша:
Кері функцияларға көшейік:

Осылайша:
Жауап:

4-мысал:Шешімі: Тікелей функцияларға көшейік:

Сызбаны орындаймыз:

Ауданды айналып өту ретін өзгертейік:

Жауап:

Аудан бойынша өту тәртібі:

Осылайша:

1)
2)

Жауап:

Қолданбалы есептерді шешуге интегралды қолдану

Ауданды есептеу

Үзіліссіз теріс емес функцияның анықталған интегралы f(x) сан жағынан тең y \u003d f (x) қисығымен, O x осімен және x \u003d a және x \u003d b түзулерімен шектелген қисық сызықты трапеция ауданы. Тиісінше аудан формуласы былай жазылады:

Жазық фигуралардың аудандарын есептеудің кейбір мысалдарын қарастырыңыз.

№ 1 тапсырма. y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2 сызықтарымен шектелген аумақты есептеңіз.

Шешім.Біз фигураны құрастырайық, оның ауданын есептеуіміз керек.

y \u003d x 2 + 1 - тармақтары жоғары бағытталған парабола, ал парабола O y осіне қатысты бір бірлікке жоғары ығысқан (1-сурет).

Сурет 1. у = x 2 + 1 функциясының графигі

№ 2 тапсырма. 0-ден 1-ге дейінгі аралықта y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 сызықтарымен шектелген аумақты есептеңіз.

Шешім.Бұл функцияның графигі жоғары бағытталған тармақтың параболасы болып табылады, ал парабола O y осіне қатысты бір бірлікке төмен ығысқан (2-сурет).

Сурет 2. y \u003d x 2 - 1 функциясының графигі

Тапсырма № 3. Сызба жасаңыз және сызықтармен шектелген фигураның ауданын есептеңіз

y = 8 + 2x - x 2 және y = 2x - 4.

Шешім.Бұл екі түзудің біріншісі - тармақтары төмен бағытталған парабола, өйткені x 2-дегі коэффициент теріс, ал екінші сызық - екі координат осін қиып өтетін түзу.

Парабола тұрғызу үшін оның төбесінің координаталарын табайық: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – абсцисса шыңы; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 – оның ординатасы, N(1;9) – шыңы.

Енді парабола мен түзудің қиылысу нүктелерін теңдеулер жүйесін шешу арқылы табамыз:

Сол жақтары тең теңдеудің оң жақтарын теңестіру.

Біз 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 немесе x 2 - 12 \u003d 0 аламыз, қайдан .

Сонымен, нүктелер парабола мен түзудің қиылысу нүктелері болып табылады (1-сурет).

3-сурет y = 8 + 2x – x 2 және y = 2x – 4 функцияларының графиктері

y = 2x - 4 түзуін тұрғызайық.Ол координаталық осьтердегі (0;-4), (2; 0) нүктелері арқылы өтеді.

Парабола тұрғызу үшін оның 0x осімен қиылысу нүктелері де болуы мүмкін, яғни 8 + 2x - x 2 = 0 немесе x 2 - 2x - 8 = 0 теңдеуінің түбірлері. Виета теоремасы бойынша ол оның түбірін табу оңай: x 1 = 2, x 2 = төрт.

3-суретте осы сызықтармен шектелген фигура (М 1 N M 2 параболалық кесінді) көрсетілген.

Есептің екінші бөлігі - бұл фигураның ауданын табу. Оның ауданын формула арқылы анықталған интеграл арқылы табуға болады .

Осы шартқа байланысты интегралды аламыз:

2 Айналым денесінің көлемін есептеу

y \u003d f (x) қисығының O x осінің айналасында айналуынан алынған дененің көлемі мына формуламен есептеледі:

O y осінің айналасында айналу кезінде формула келесідей болады:

№4 тапсырма. x \u003d 0 x \u003d 3 түзу сызықтармен және O x осінің айналасындағы у \u003d қисықпен шектелген қисық сызықты трапецияның айналуынан алынған дененің көлемін анықтаңыз.

Шешім.Сызбаны құрастырайық (4-сурет).

Сурет 4. y = функциясының графигі

Қажетті көлем тең

№5 тапсырма. y = x 2 қисығымен және O y осінің айналасында у = 0 және у = 4 түзулерімен шектелген қисық сызықты трапецияның айналуынан алынған дененің көлемін есептеңдер.

Шешім.Бізде бар:

Қайталау сұрақтары

Бұл мақалада сіз интегралдық есептеулер арқылы сызықтармен шектелген фигураның ауданын қалай табуға болатынын білесіз. Алғаш рет мұндай есепті шығаруды орта мектепте белгілі бір интегралдарды зерттеу аяқталып, тәжірибеде алған білімнің геометриялық интерпретациясына кірісетін кез келген кезде кездестіреміз.

Сонымен, интегралдардың көмегімен фигураның ауданын табу мәселесін сәтті шешу үшін не қажет:

Сызбаларды дұрыс сала білу;
Белгілі Ньютон-Лейбниц формуласы арқылы анықталған интегралды шеше білу;
Неғұрлым тиімді шешімді «көру» мүмкіндігі - яғни. Осы немесе басқа жағдайда интеграцияны жүзеге асыру қалай ыңғайлы болатынын түсіну үшін? x осі (OX) немесе y осі (OY) бойымен?
Дұрыс есептеулерсіз қайда?) Бұл интегралдардың басқа түрін қалай шешу керектігін түсінуді және сандық есептеулерді түзетуді қамтиды.

Түзулермен шектелген фигураның ауданын есептеу есебін шешу алгоритмі:

1. Біз сурет саламыз. Мұны тордағы қағаз парағында, үлкен масштабта жасаған жөн. Әр графиктің үстіне қарындашпен осы функцияның атауына қол қоямыз. Графиктердің қолтаңбасы кейінгі есептеулерге ыңғайлы болу үшін ғана жасалады. Қажетті фигураның графигін алғаннан кейін, көп жағдайда қандай интеграциялық шектеулер қолданылатыны бірден белгілі болады. Осылайша, біз мәселені графикалық түрде шешеміз. Дегенмен, шектеулердің мәндері бөлшек немесе иррационалды болып табылады. Сондықтан, сіз қосымша есептеулер жасай аласыз, екінші қадамға өтіңіз.

2. Егер интеграциялық шектеулер нақты белгіленбесе, онда біз графиктердің бір-бірімен қиылысу нүктелерін табамыз және графикалық шешіміміздің аналитикалық шешімге сәйкес келетінін көреміз.

3. Әрі қарай, сіз сызбаны талдауыңыз керек. Функциялардың графиктерінің орналасуына байланысты фигураның ауданын табудың әртүрлі тәсілдері бар. Интегралдар көмегімен фигураның ауданын табудың әртүрлі мысалдарын қарастырыңыз.

3.1. Мәселенің ең классикалық және қарапайым нұсқасы - қисық сызықты трапецияның ауданын табу керек кезде. Қисық сызықты трапеция дегеніміз не? Бұл х осімен шектелген жалпақ фигура (y=0), Түзу x = a, x = bжәне аралығы бойынша үздіксіз кез келген қисық абұрын б. Сонымен бірге бұл көрсеткіш теріс емес және х осінен төмен емес орналасқан. Бұл жағдайда қисық сызықты трапеция ауданы Ньютон-Лейбниц формуласы арқылы есептелген анықталған интегралға сандық түрде тең:

1-мысал y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Фигураны қандай сызықтар анықтайды? Бізде парабола бар у = x2 - 3x + 3, ол осьтің үстінде орналасқан OH, ол теріс емес, өйткені Бұл параболаның барлық нүктелері оң. Әрі қарай түзу сызықтар берілген x = 1және x = 3осіне параллель орналасқан OU, сол және оң жақтағы фигураның шекті сызықтары. содан y = 0, ол фигураны төменнен шектейтін x осі. Алынған фигура сол жақтағы суретте көрсетілгендей, көлеңкеленген. Бұл жағдайда сіз дереу мәселені шешуге кірісе аласыз. Біздің алдымызда қисық сызықты трапецияның қарапайым мысалы бар, біз оны Ньютон-Лейбниц формуласы арқылы шешеміз.

3.2. Алдыңғы 3.1-тармақта қисық сызықты трапеция х осінен жоғары орналасқан жағдай талданған болатын. Енді мәселенің шарттары бірдей болатын жағдайды қарастырайық, тек функция х осінің астында жатқанын қоспағанда. Стандартты Ньютон-Лейбниц формуласына минус қосылады. Мұндай мәселені қалай шешуге болады, біз әрі қарай қарастырамыз.

2-мысал . Сызықтармен шектелген фигураның ауданын есептеңіз y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

Бұл мысалда бізде парабола бар y=x2+6x+2, ол осьтің астынан басталады OH, Түзу x=-4, x=-1, y=0. Мұнда y = 0жоғарыдан қажетті фигураны шектейді. Тікелей x = -4және x = -1бұл анықталған интеграл есептелетін шекаралар. Фигураның ауданын табу мәселесін шешу принципі №1 мысалмен толық дерлік сәйкес келеді. Жалғыз айырмашылық мынада: берілген функция оң емес, сонымен қатар интервалда үздіксіз болады. [-4; -1] . Позитивті емес нені білдіреді? Суреттен көрініп тұрғандай, берілген х шегінде орналасқан фигураның тек «теріс» координаталары бар, бұл мәселені шешу кезінде көру және есте сақтау қажет. Біз Ньютон-Лейбниц формуласы арқылы фигураның ауданын іздейміз, тек басында минус таңбасы бар.

Мақала аяқталмаған.

Енді біз интегралдық есептеудің қосымшаларын қарастыруға көшеміз. Бұл сабақта біз әдеттегі және ең көп таралған тапсырманы талдаймыз. Анықталған интеграл көмегімен жазық фигураның ауданын есептеу. Ақырында, жоғары математикадан мағына іздейтіндердің бәрі оны таба алады. Сен ешқашан білмейсін. Нақты өмірде сізге қарапайым функциялары бар жазғы коттеджді жуықтап, белгілі бір интеграл арқылы оның ауданын табу керек болады.

Материалды сәтті меңгеру үшін сізге қажет:

1) Анықталмаған интегралды кем дегенде аралық деңгейде түсіну. Осылайша, манекендер алдымен сабақты оқуы керек Жоқ.

2) Ньютон-Лейбниц формуласын қолдана білу және анықталған интегралды есептей алу. Беттегі белгілі бір интегралдармен жылы достық қарым-қатынас орнатуға болады Анықталған интеграл. Шешу мысалдары. «Анықталған интеграл көмегімен ауданды есептеу» тапсырмасы әрқашан сызбаның құрылысын қамтиды, сондықтан сіздің біліміңіз бен сурет салу дағдыларыңыз да өзекті мәселе болады. Кем дегенде түзу, парабола және гипербола құра білу керек.

Қисық сызықты трапециядан бастайық. Қисық сызықты трапеция – бұл қандай да бір функцияның графигімен шектелген жазық фигура ж = f(x), ось ӨҚжәне сызықтар x = а; x = б.

Қисық сызықты трапецияның ауданы белгілі бір интегралға сандық түрде тең

Кез келген белгілі бір интеграл (бар) өте жақсы геометриялық мағынаға ие. Сабақта Анықталған интеграл. Шешу мысалдарыанықталған интегралды сан деп айттық. Енді тағы бір пайдалы фактіні айта кететін кез келді. Геометрия тұрғысынан анықталған интеграл - AREA. Яғни, анықталған интеграл (егер ол бар болса) қандай да бір фигураның ауданына геометриялық түрде сәйкес келеді. Анықталған интегралды қарастырайық

Интеграл

жазықтықта қисық сызықты анықтайды (қажет болса, оны салуға болады), ал анықталған интегралдың өзі сәйкес қисық сызықты трапецияның ауданына сандық түрде тең.

1-мысал

, , , .

Бұл әдеттегі тапсырма мәлімдемесі. Шешімнің ең маңызды нүктесі - сызбаның құрылысы. Оның үстіне сызбаны салу керек ДҰРЫС.

Жоспар құру кезінде мен келесі тәртіпті ұсынамын: біріншібарлық сызықтарды (бар болса) және тек қана құрастырған дұрыс кейін- парабола, гипербола, басқа функциялардың графиктері. Нүкте бойынша құрылыс техникасын анықтамалық материалдан табуға болады Элементар функциялардың графиктері мен қасиеттері. Онда сіз біздің сабағымызға қатысты өте пайдалы материалды таба аласыз - параболаны қалай тез салу керек.

Бұл мәселеде шешім келесідей болуы мүмкін.

Сурет салайық (теңдеу екенін ескеріңіз ж= 0 осьті анықтайды ӨҚ):

Біз қисық сызықты трапецияны шығармаймыз, бұл жерде сөз қай аймақ туралы екені анық. Шешім келесідей жалғасады:

аралықта [-2; 1] функция графигі ж = x 2 + 2 орналасқан ось үстіндеӨҚ, сондықтан:

Жауап: .

Кім анықталған интегралды есептеуде және Ньютон-Лейбниц формуласын қолдануда қиналады

лекцияға жүгініңіз Анықталған интеграл. Шешу мысалдары. Тапсырма орындалғаннан кейін сызбаға қарап, жауаптың нақты екенін анықтау әрқашан пайдалы. Бұл жағдайда «көзбен» біз сызбадағы ұяшықтардың санын есептейміз - жақсы, шамамен 9 терілетін болады, бұл дұрыс сияқты. Егер бізде, айталық, жауап болса: 20 шаршы бірлік, демек, бір жерде қате жіберілгені анық - 20 ұяшық бұл фигураға сәйкес келмейтіні анық, ең көп дегенде ондаған. Егер жауап теріс болып шықса, онда тапсырма да қате шешілген.

2-мысал

Сызықтармен шектелген фигураның ауданын есептеңіз xy = 4, x = 2, x= 4 және ось ӨҚ.

Бұл өз қолыңызбен жасалатын мысал. Толық шешім және сабақ соңында жауап беру.

Қисық сызықты трапеция орналасса не істеу керек осьтің астындаӨҚ?

3-мысал

Сызықтармен шектелген фигураның ауданын есептеңіз ж = e-x, x= 1 және координаталық осьтер.

Шешуі: Сурет салайық:

Егер қисық сызықты трапеция болса толығымен осьтің астында ӨҚ , онда оның ауданын мына формула бойынша табуға болады:

Бұл жағдайда:

Назар аударыңыз! Тапсырмалардың екі түрін шатастыруға болмайды:

1) Егер сізге геометриялық мағынасы жоқ белгілі бір интегралды шешу сұралса, ол теріс болуы мүмкін.

2) Егер сізге белгілі интеграл көмегімен фигураның ауданын табу сұралса, онда аудан әрқашан оң болады! Міне, сондықтан минус қарастырылған формулада пайда болады.

Іс жүзінде фигура көбінесе жоғарғы және төменгі жарты жазықтықта орналасады, сондықтан қарапайым мектеп есептерінен біз мағыналы мысалдарға көшеміз.

4-мысал

Түзулермен шектелген жазық фигураның ауданын табыңыз ж = 2x – x 2 , ж = -x.

Шешуі: Алдымен сурет салу керек. Аудан есептерінің сызбасын құрастыру кезінде бізді сызықтардың қиылысу нүктелері көбірек қызықтырады. Параболаның қиылысу нүктелерін табыңыз ж = 2x – x 2 және түзу ж = -x. Мұны екі жолмен жасауға болады. Бірінші әдіс – аналитикалық. Теңдеуді шешеміз:

Сондықтан интеграцияның төменгі шегі а= 0, интеграцияның жоғарғы шегі б= 3. Интегралдау шегі «өзінен-өзі» анықталғандай, сызықтарды нүкте бойынша салу жиі тиімдірек және жылдамырақ. Дегенмен, шектерді табудың аналитикалық әдісін әлі де кейде қолдануға тура келеді, егер, мысалы, график жеткілікті үлкен болса немесе бұрандалы конструкция интеграцияның шектерін ашпаса (олар бөлшек немесе иррационалды болуы мүмкін). Біз тапсырмамызға ораламыз: алдымен түзу сызықты, содан кейін ғана параболаны тұрғызу ұтымдырақ. Сурет салайық:

Қайталап айтамыз, нүктелік құрылыста интеграцияның шектері көбінесе «автоматты түрде» анықталады.

Ал енді жұмыс формуласы:

Егер аралықта [ а; б] кейбір үздіксіз функция f(x) артық немесе теңкейбір үздіксіз функция g(x), онда сәйкес фигураның ауданын мына формула бойынша табуға болады:

Мұнда фигураның қай жерде орналасқанын ойлаудың қажеті жоқ - осьтің үстінде немесе осьтің астында, бірақ қай диаграмманың ЖОҒАРЫДА екені маңызды(басқа графикке қатысты), және қайсысы ТӨМЕНДЕ.

Қарастырылып отырған мысалда парабола кесіндіде түзу сызықтың үстінде орналасқаны анық, демек 2-ден x – x 2 алу керек - x.

Шешімнің аяқталуы келесідей болуы мүмкін:

Қажетті фигура параболамен шектелген ж = 2x – x 2 жоғарғы және түзу ж = -xтөменнен.

2-сегментте x – x 2 ≥ -x. Сәйкес формула бойынша:

Жауап: .

Шындығында, төменгі жарты жазықтықтағы қисық сызықты трапеция ауданына арналған мектеп формуласы (№3 мысалды қараңыз) формуланың ерекше жағдайы болып табылады.

Осьтен бері ӨҚтеңдеуімен беріледі ж= 0 және функцияның графигі g(x) осінен төмен орналасқан ӨҚ, содан кейін

Енді тәуелсіз шешімге бірнеше мысал

5-мысал

6-мысал

Түзулермен шектелген фигураның ауданын табыңыз

Белгілі бір интегралдың көмегімен ауданды есептеуге арналған есептерді шешу барысында кейде күлкілі оқиға орын алады. Сызба дұрыс жасалды, есептеулер дұрыс болды, бірақ назар аудармағандықтан, ... қате фигураның ауданын тапты.

7-мысал

Алдымен сурет салайық:

Ауданын табуымыз керек фигура көк түспен боялған.(шартты мұқият қараңыз - фигура қалай шектелген!). Бірақ іс жүзінде, назар аудармағандықтан, олар көбінесе жасыл түспен боялған фигураның ауданын табу керек деп шешеді!

Бұл мысал сонымен қатар пайдалы, өйткені онда фигураның ауданы екі анықталған интегралдың көмегімен есептеледі. Шынымен:

1) кесінді бойынша [-1; 1] осьтің үстінде ӨҚграфик түзу ж = x+1;

2) Ось үстіндегі сегментте ӨҚгиперболаның графигі орналасқан ж = (2/x).

Аймақтарды қосуға болатыны (және қажет) екені анық, сондықтан:

Жауап:

8-мысал

Сызықтармен шектелген фигураның ауданын есептеңіз

Теңдеулерді «мектеп» түрінде көрсетейік

және сызық сызбасын орындаңыз:

Сызбадан біздің жоғарғы шегіміз «жақсы» екенін көруге болады: б = 1.

Бірақ төменгі шегі қандай? Бұл бүтін сан емес екені анық, бірақ не?

Мүмкін, а=(-1/3)? Бірақ сызбаның мінсіз дәлдікпен жасалғанына кепілдік қайда, бұл жақсы болуы мүмкін а=(-1/4). Егер біз графикті мүлде дұрыс алмасақ ше?

Мұндай жағдайларда қосымша уақыт жұмсауға және интеграцияның шектерін аналитикалық тұрғыдан нақтылауға тура келеді.

Графиктердің қиылысу нүктелерін табыңыз

Ол үшін мына теңдеуді шешеміз:

Демек, а=(-1/3).

Бұдан әрі шешім тривиальды. Ең бастысы - ауыстырулар мен белгілерде шатастырмау. Мұнда есептеулер оңай емес. Сегментте

, ,

сәйкес формула бойынша:

Жауап:

Сабақты қорытындылай келе, қиынырақ екі тапсырманы қарастырамыз.

9-мысал

Сызықтармен шектелген фигураның ауданын есептеңіз

Шешуі: Бұл фигураны сызбаға салыңыз.

Сызба нүктесін нүкте бойынша салу үшін синусоидтың сыртқы түрін білу керек. Жалпы алғанда, барлық элементар функциялардың графиктерін, сондай-ақ синустың кейбір мәндерін білу пайдалы. Оларды мәндер кестесінен табуға болады тригонометриялық функциялар. Кейбір жағдайларда (мысалы, бұл жағдайда) схемалық сызбаны салуға рұқсат етіледі, онда графиктер мен интеграциялық шектеулер негізінен дұрыс көрсетілуі керек.

Мұнда интеграциялық шектеулермен ешқандай проблемалар жоқ, олар тікелей шарттан туындайды:

- «х» нөлден «пиге» өзгереді. Біз қосымша шешім қабылдаймыз:

Кесіндіде функцияның графигі ж= күнә 3 xосінен жоғары орналасқан ӨҚ, сондықтан:

(1) Сабақта синустар мен косинустардың тақ дәрежелерде қалай біріктірілгенін көруге болады Тригонометриялық функциялардың интегралдары. Біз бір синусты шымшып аламыз.

(2) Біз формада негізгі тригонометриялық сәйкестікті қолданамыз