Ойындар

Қатынас 1 3 басында. Қарым-қатынастар. Пропорцияны қалай есептеу керек

Пропорция формуласы

Пропорция – a:b=c:d кезіндегі екі қатынастың теңдігі

қатынасы 1 : 10 саны 7 қатынасына тең : 70, оны бөлшек түрінде де жазуға болады: 1 10 = 7 70 «жеті жетпіске дейін бір болса, онға дейін» деп жазылған.

Пропорцияның негізгі қасиеттері

Шеткі мүшелердің көбейтіндісі ортаңғы мүшелердің көбейтіндісіне тең (айқас): егер a:b=c:d , онда a⋅d=b⋅c

1 10 ✕ 7 70 1 ⋅ 70 = 10 ⋅ 7

Пропорцияның инверсиясы: егер a:b=c:d , онда b:a=d:c

1 10 7 70 10 1 = 70 7

Ортаңғы мүшелерді ауыстыру: егер a:b=c:d , онда a:c=b:d

1 10 7 70 1 7 = 10 70

Шеткі мүшелерді ауыстыру: егер a:b=c:d , онда d:b=c:a

1 10 7 70 70 10 = 7 1

Бір белгісіз | пропорциясын шешу теңдеу

1 : 10 = x : 70 немесе 1 10 = x 70

х-ті табу үшін екі белгілі санды көлденеңінен көбейтіп, қарама-қарсы мәнге бөлу керек

x = 1 ⋅ 70 10 = 7

Пропорцияны қалай есептеу керек

Тапсырма: 10 кг салмаққа 1 таблетка белсендірілген көмірді ішу керек. Егер адамның салмағы 70 кг болса, қанша таблетка ішу керек?

Пропорция жасайық: 1 таблетка - 10 кг xтаблеткалар - 70 кг x табу үшін екі белгілі санды көлденеңінен көбейтіп, қарама-қарсы мәнге бөлу керек: 1 таблетка xтаблеткалар✕ 10 кг 70 кг x = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 Жауап: 7 таблетка

Тапсырма:Вася бес сағатта екі мақала жазады. Ол 20 сағатта қанша мақала жазады?

Пропорция жасайық: 2 мақала - 5 сағат xмақалалар – 20 сағат x = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 Жауап: 8 мақала

Болашақ мектеп түлектеріне пропорцияларды жасау қабілеті суреттерді пропорционалды түрде азайту үшін де, веб-парақшаның HTML макетінде де, күнделікті жағдайларда да пайдалы болды деп айта аламын.

Қатынас (математикада) – бір тектес екі немесе одан да көп сандардың арасындағы қатынас. Арақатынастар абсолютті мәндерді немесе бүтіннің бөліктерін салыстырады. Арақатынастар әртүрлі тәсілдермен есептеледі және жазылады, бірақ негізгі принциптер барлық қатынас үшін бірдей.

Қадамдар

1 бөлім

Қатынастардың анықтамасы

Арақатынастарды қолдану.Арақатынастар ғылымда да, күнделікті өмірде де шамаларды салыстыру үшін қолданылады. Ең қарапайым қатынас тек екі санға қатысты, бірақ үш немесе одан да көп мәндерді салыстыратын қатынас бар. Бірден көп шама бар кез келген жағдайда қатынасты жазуға болады. Кейбір мәндерді байланыстыру арқылы арақатынастар, мысалы, рецепттегі ингредиенттердің немесе химиялық реакциядағы заттардың мөлшерін қалай арттыру керектігін ұсына алады.

Қатынастардың анықтамасы.Қатынас - бұл бір түрдегі екі (немесе одан да көп) мәндер арасындағы қатынас. Мысалы, тортқа 2 кесе ұн және 1 кесе қант қажет болса, онда ұнның қантқа қатынасы 2-ден 1-ге тең болады.
- Арақатынастарды екі шама бір-бірімен байланысты болмаған кезде де қолдануға болады (торт мысалындағыдай). Мысалы, бір сыныпта 5 қыз және 10 ұл бала болса, онда қыздар мен ұлдардың арақатынасы 5-тен 10-ға тең болады.Бұл шамалар (ұлдар мен қыздардың саны) бір-біріне тәуелді емес, яғни егер біреу сыныптан кетсе немесе сыныпқа жаңа оқушы келсе, олардың құндылықтары өзгереді. Пропорциялар жай ғана шамалардың мәндерін салыстырады.
Қатынастарды көрсетудің әртүрлі тәсілдеріне назар аударыңыз.Қарым-қатынастарды сөзбен немесе математикалық белгілермен көрсетуге болады.
- Көбінесе қатынас сөздермен көрсетіледі (жоғарыда көрсетілгендей). Әсіресе, қатынасты бейнелеудің бұл түрі ғылымнан алшақ, күнделікті өмірде қолданылады.
- Сондай-ақ, қатынасты қос нүкте арқылы көрсетуге болады. Екі санды арақатынаста салыстыру кезінде бір қос нүктені қолданасыз (мысалы, 7:13); үш немесе одан да көп мәндерді салыстыру кезінде әрбір сан жұбының арасына қос нүкте қойыңыз (мысалы, 10:2:23). Біздің сыныптағы мысалда қыздар мен ұлдардың арақатынасын былайша көрсетуге болады: 5 қыз: 10 ұл. Немесе келесідей: 5:10.
- Көбінесе арақатынастар қиғаш сызық арқылы көрсетіледі. Сынып мысалында оны былай жазуға болады: 5/10. Дегенмен, бұл бөлшек емес және мұндай қатынас бөлшек ретінде оқылмайды; сонымен қатар, қатынаста сандар бір бүтіннің бөлігі емес екенін есте сақтаңыз.
2-бөлім
Қатынастарды пайдалану
1. Пропорцияны жеңілдету.Арақатынастың әрбір мүшесін (санын) -ге бөлу арқылы қатынасты жеңілдетуге болады (бөлшектерге ұқсас). Дегенмен, бастапқы қатынас мәндерін естен шығармаңыз.
  - Біздің мысалда сыныпта 5 қыз және 10 ұл бала бар; қатынасы 5:10. Қатынас мүшелерінің ең үлкен ортақ бөлгіші 5-ке тең (себебі 5 пен 10-ның екеуі де 5-ке бөлінеді). 1 қыз бен 2 ұлдың (немесе 1:2) қатынасын алу үшін әрбір қатынас санын 5-ке бөліңіз. Дегенмен, арақатынасты жеңілдету кезінде бастапқы мәндерді есте сақтаңыз. Біздің мысалда сыныпта 3 оқушы емес, 15 оқушы бар. Жеңілдетілген қатынас ұлдар мен қыздардың санын салыстырады. Яғни, әр қыз балаға 2 ұлдан келеді, бірақ сыныпта 2 ұл, 1 қыз бала болмайды.
  - Кейбір қатынастар жеңілдетілмеген. Мысалы, 3:56 қатынасы оңайлатылған жоқ, себебі бұл сандардың ортақ бөлгіштері жоқ (3 - жай сан, ал 56 3-ке бөлінбейді).
2. Арақатынасты көбейту немесе азайту үшін көбейту немесе бөлуді пайдаланыңыз.Жалпы мәселе - бір-біріне пропорционал екі мәнді арттыру немесе азайту. Егер сізге қатынас берілсе және оған сәйкес келетін үлкен немесе кіші қатынасты табу қажет болса, бастапқы қатынасты берілген санға көбейтіңіз немесе бөліңіз.
  - Мысалы, наубайшы рецептте берілген ингредиенттерді үш есе көбейтуі керек. Егер рецепт ұнның қантқа қатынасы 2:1 (2:1) болса, онда наубайшы 6:3 (6 кесе ұн 3 кесе қантқа) қатынасын алу үшін әрбір мүшені 3-ке көбейтеді.
  - Екінші жағынан, егер наубайшы рецептте берілген ингредиенттерді екі есе азайтуы керек болса, онда наубайшы әрбір қатынас терминін 2-ге бөліп, 1: ½ (1 кесе ұн мен 1/2 кесе қант) қатынасын алады.
3. Екі эквивалентті қатынас берілгенде белгісіз мәнді іздеңіз.Бұл біріншіге эквивалентті екінші қатынасты пайдаланып бір қатынаста белгісіз айнымалыны табу керек мәселе. Осындай мәселелерді шешу үшін пайдаланыңыз. Әрбір қатынасты бөлшек түрінде жазып, олардың арасына тең таңбаны қойып, олардың мүшелерін көлденеңінен көбейтіңіз.
  - Мысалы, 2 ұл және 5 қыз бар студенттер тобы берілген. Қыздар санын 20-ға жеткізсе (пропорция сақталады) ұлдар саны қанша болады? Алдымен екі қатынасты жазыңыз - 2 ұл: 5 қыз және Xұлдар: 20 қыз. Енді осы қатынасты бөлшек түрінде жазыңыз: 2/5 және x/20. Бөлшектердің мүшелерін көлденеңінен көбейтіп, 5х = 40 шығады; демек x = 40/5 = 8.
3-бөлім
Жалпы қателер
1. Мәтін қатынасы мәселелерінде қосу және азайтудан аулақ болыңыз.Көптеген сөз есептері келесідей көрінеді: «Рецепт 4 картоп түйнегі мен 5 тамыр сәбізін қажет етеді. Егер сіз 8 картоп қосқыңыз келсе, арақатынасты сақтау үшін қанша сәбіз керек?» Мұндай есептерді шығарғанда оқушылар бастапқы санға бірдей мөлшердегі ингредиенттерді қосу қатесін жиі жібереді. Дегенмен, қатынасты сақтау үшін көбейтуді пайдалану керек. Міне, дұрыс және бұрыс шешімдердің мысалдары:
  - Дұрыс емес: «8 - 4 = 4 - сондықтан біз 4 картоп түйнегін қостық. Сонымен, 5 сәбіз тамырын алып, оларға тағы 4 қосу керек ... Тоқта! Пропорциялар бұлай жұмыс істемейді. Қайталап көруге тұрарлық ».
  - Дұрыс: "8 ÷ 4 = 2 - сондықтан біз картоп санын 2-ге көбейттік. Сәйкесінше, 5 сәбіз тамырын да 2-ге көбейту керек. 5 x 2 = 10 - 10 сәбіз тамырын рецептке қосу керек."

Орта мектеп математикасындағы көптеген есептерді шешу үшін пропорцияны білу қажет. Бұл қарапайым дағды сізге оқулықтағы күрделі жаттығуларды орындауға ғана емес, сонымен қатар математика ғылымының мәнін ашуға көмектеседі. Пропорцияны қалай жасауға болады? Енді оны анықтайық.

Ең қарапайым мысал үш параметр белгілі, ал төртіншісін табу керек есеп. Пропорциялар, әрине, әртүрлі, бірақ жиі пайызбен кейбір сандарды табу керек. Мысалы, баланың барлығы он алмасы болды. Төртінші бөлігін анасына берді. Балада неше алма қалды? Бұл пропорция жасауға мүмкіндік беретін ең қарапайым мысал. Ең бастысы - мұны істеу. Бастапқыда он алма болды. 100% болсын. Бұл оның барлық алмаларын белгіледік. Төрттен бір бөлігін берді. 1/4=25/100. Сонымен, ол кетті: 100% (бастапқыда болды) - 25% (ол берді) = 75%. Бұл сурет бірінші қол жетімді болған жемістерден қалған жеміс мөлшерінің пайызын көрсетеді. Енді бізде пропорцияны шешуге болатын үш сан бар. 10 алма - 100%, Xалма - 75%, мұнда x - жемістің қажетті мөлшері. Пропорцияны қалай жасауға болады? Оның не екенін түсіну керек. Математикалық тұрғыдан ол осылай көрінеді. Теңдік белгісі сіздің түсінуіңіз үшін.

10 алма = 100%;

x алма = 75%.

10/х = 100%/75 болып шығады. Бұл пропорциялардың негізгі қасиеті. Өйткені, х неғұрлым көп болса, бұл сан түпнұсқадан соғұрлым көп пайыз болады. Осы пропорцияны шешіп, х=7,5 алма аламыз. Неліктен бала бүтін емес соманы беруге шешім қабылдады, біз білмейміз. Енді сіз пропорцияны қалай жасау керектігін білесіз. Ең бастысы - екі қатынасты табу, олардың біреуі қажетті белгісізді қамтиды.

Пропорцияны шешу көбінесе қарапайым көбейтуге, содан кейін бөлуге келеді. Неліктен бұлай екенін балалар мектепте оқытпайды. Пропорционалдық қатынастардың математикалық классика екенін түсіну маңызды болғанымен, ғылымның мәні. Пропорцияларды шешу үшін бөлшектерді өңдеуді білу керек. Мысалы, жиі пайыздарды жай бөлшектерге түрлендіру қажет. Яғни, 95% рекорды жұмыс істемейді. Ал егер сіз бірден 95/100 деп жазсаңыз, онда негізгі санауды бастамай-ақ қатты қысқартулар жасай аласыз. Бірден айта кету керек, егер сіздің пропорцияңыз екі белгісіз болса, оны шешу мүмкін емес. Бұл жерде сізге ешбір профессор көмектесе алмайды. Сіздің тапсырмаңызда дұрыс әрекеттердің күрделі алгоритмі бар.

Проценттер жоқ басқа мысалды қарастырыңыз. Автокөлікші 5 литр бензинді 150 рубльге сатып алды. 30 литр жанармайға қанша төлейтінін ойлады. Бұл есепті шешу үшін қажетті ақша сомасын х деп белгілейміз. Сіз бұл мәселені өзіңіз шеше аласыз, содан кейін жауапты тексере аласыз. Егер сіз пропорцияны қалай жасау керектігін әлі түсінбесеңіз, қараңыз. 5 литр бензин 150 рубльді құрайды. Бірінші мысалдағыдай 5л - 150р деп жазайық. Енді үшінші санды табайық. Әрине, бұл 30 литр. Бұл жағдайда 30 л - x рубль жұбының орынды екеніне келісіңіз. Математикалық тілге көшейік.

5 литр - 150 рубль;

30 литр - х рубль;

Бұл пропорцияны шешеміз:

x = 900 рубль.

Біз осылай шештік. Тапсырмаңызда жауаптың сәйкестігін тексеруді ұмытпаңыз. Дұрыс емес шешіммен автомобильдер сағатына 5000 шақырым жылдамдыққа жетеді және т.б. Енді сіз пропорцияны қалай жасау керектігін білесіз. Сонымен қатар сіз оны шеше аласыз. Көріп отырғаныңыздай, бұл жерде күрделі ештеңе жоқ.

негізіматематикалық зерттеу — белгілі бір шамалар туралы оларды басқа шамалармен салыстыру арқылы білім алу қабілеті тең, немесе Көбірекнемесе Аздаузерттеу пәні болып табылатындарға қарағанда. Бұл әдетте сериямен жасалады теңдеулержәне пропорциялар. Теңдеулерді қолданғанда біз іздеген шаманы табу арқылы анықтаймыз теңдікбасқа бұрыннан таныс шама немесе мөлшерлермен.

Дегенмен, біз белгісіз шаманы басқалармен салыстыратынымыз жиі кездеседі тең емесол, бірақ оның көп немесе аз. Мұнда деректерді өңдеуге басқаша көзқарас қажет. Бізге білу қажет болуы мүмкін, мысалы, қаншабір мән екіншісінен үлкен немесе қанша ретбіреуі екіншісін қамтиды. Бұл сұрақтарға жауап табу үшін біз не екенін анықтаймыз арақатынасекі өлшем. Бір қатынас деп аталады арифметика, және басқа геометриялық. Айта кету керек, бұл екі термин де кездейсоқ немесе тек ерекшелік үшін қабылданбаған. Арифметикалық және геометриялық қатынастар арифметикаға да, геометрияға да қолданылады.

Кең және маңызды пәннің құрамдас бөлігі бола отырып, пропорция қатынасқа байланысты, сондықтан бұл ұғымдарды нақты және толық түсіну қажет.

338. Арифметикалық қатынас бұл айырмашылықекі шама немесе шамалар қатары арасында. Шамалардың өздері деп аталады мүшелеріарақатынастар, яғни араларында қатынас болатын терминдер. Сонымен 2 - 5 пен 3-тің арифметикалық қатынасы. Бұл екі мәннің арасына минус белгісін қою арқылы өрнектеледі, яғни 5 - 3. Әрине, арифметикалық қатынас термині және оны бөлшектеу іс жүзінде пайдасыз, өйткені тек сөзді ауыстыру ғана. орын алады айырмашылықөрнектегі минус белгісіне.

339. Арифметикалық қатынастың екі мүшесі болса көбейтунемесе бөлусол мөлшерде, содан кейін арақатынас,ақырында сол сомаға көбейтіледі немесе бөлінеді.
Осылайша, егер бізде a - b = r болса
Содан кейін екі жағын h көбейтіңіз , (Бал. 3.) га - hb = сағ
Ал h-ға бөлу, (4 бал.) $\frac(a)(h)-\frac(b)(h)=\frac(r)(h)$

340. Егер арифметикалық қатынастың мүшелері басқасының сәйкес мүшелеріне қосылса немесе азайтса, онда қосындының немесе айырманың қатынасы екі қатынастың қосындысына немесе айырмасына тең болады.
Егер a - b
Және d-h
екі қатынас,
Сонда (a + d) - (b + h) = (a - b) + (d - h). Әрбір жағдайда = a + d - b - h.
Және (a - d) - (b - h) = (a - b) - (d - h). Әрбір жағдайда = a - d - b + h.
Сонымен 11 - 4-тің арифметикалық қатынасы 7-ге тең
Ал 5 - 2 арифметикалық қатынасы 3-ке тең
16 - 6 мүшелерінің қосындысының қатынасы 10, - қатынастың қосындысы.
6 - 2 мүшелерінің айырмасының қатынасы 4, - қатынас айырмасы.

341. геометриялық қатынас өрнектелетін шамалар арасындағы қатынас болып табылады ЖЕКЕегер бір мән екіншісіне бөлінсе.
Сонымен 8-ден 4-ке қатынасын 8/4 немесе 2 деп жазуға болады. Яғни, 8-нің 4-ке бөлінген бөлігі. Басқаша айтқанда, 8-де 4-тің неше рет болатынын көрсетеді.

Сол сияқты кез келген шаманың екіншісіне қатынасын біріншіні екіншіге бөлу арқылы анықтауға болады, немесе, негізінен, бірдей нәрсе, біріншіні бөлшектің алымы, екіншісін бөлгіш ету арқылы анықтауға болады.
Демек, а мен b қатынасы $\frac(a)(b)$
d + h пен b + c қатынасы $\frac(d+h)(b+c)$.

342. Геометриялық қатынас салыстырылған шамалар арасында екі нүктенің бірінің үстіне бірін қою арқылы да жазылады.
Осылайша, a:b - a мен b қатынасы, ал 12:4 - 12 мен 4 қатынасы. Екі шама бірге түзеді. жұп, онда бірінші мүше деп аталады алдыңғы, ал соңғысы салдарлы.

343. Бөлшек түріндегі бұл нүктелік белгі мен екіншісі қажетіне қарай ауыстырылады, алғы сөз бөлшектің алымына, ал одан әрі бөлгішке айналады.
Сонымен 10:5 $\frac(10)(5)$ және b:d $\frac(b)(d)$ бірдей.

344. Осы үш мағынаның кез келгені: алдыңғы, салдар және қатынас кез келген берілсе. екі, содан кейін үшіншісін табуға болады.

a= антецедент, c= салдар, r= қатынас болсын.
Анықтамасы бойынша $r=\frac(a)(c)$, яғни қатынас алдыңғы мәнді нәтижеге бөлгенге тең.
c-ға көбейту, a = cr, яғни алдыңғы нәтиже нәтижелі көбейтінді қатынасына тең.
r-ге бөліңіз, $c=\frac(a)(r)$, яғни салдар арақатынасқа бөлінген антецедентке тең.

Жауап. 1. Егер екі жұптың алдыңғы және салдарлары бірдей болса, онда олардың қатынасы да тең болады.

Жауап. 2.Егер екі жұптың қатынасы мен алдыңғылары тең болса, онда салдарлары тең болады, ал қатынас пен салдар тең болса, алдыңғылары тең болады.

345. Екі шаманы салыстырса тең, онда олардың қатынасы бірлікке немесе теңдікке тең болады. 3 * 6:18 қатынасы біреуге тең, өйткені кез келген мәннің өзіне бөлінген бөлігі 1-ге тең.

Егер жұптың алдыңғы бөлігі болса Көбірек,салдарына қарағанда, онда қатынас бірден үлкен болады. Дивиденд бөлгіштен үлкен болғандықтан, үлес бірден үлкен. Сонымен 18:6 қатынасы 3. Бұл қатынас деп аталады үлкен теңсіздік.

Екінші жағынан, егер алдыңғы Аздаусалдарына қарағанда, онда қатынас бірден кіші болады және бұл қатынас деп аталады теңсіздік аз. Сонымен 2:3 қатынасы біреуден кем, себебі дивиденд бөлгіштен аз.

346. Керіқатынас – екі кері қатынастың қатынасы.
Сонымен 6-ға кері санның 3-ке қатынасы -ға, яғни:.
a-ның b-ге тікелей қатынасы $\frac(a)(b)$, яғни салдарға бөлінген антецедент.
Кері қатынас $\frac(1)(a)$:$\frac(1)(b)$ немесе $\frac(1)(a).\frac(b)(1)=\frac(b) (а) $.
яғни б косевенциясы алдыңғы аға бөлінеді.

Осыдан кері байланыс өрнектеледі бөлшекті түрлендіру арқылы, ол тікелей қатынасты көрсетеді немесе нүктелер арқылы белгілеу орындалғанда, мүшелердің жазылу ретін өзгерту.
Сонымен, a b-мен b-мен байланысқанына қарама-қарсы түрде байланысты.

347. Күрделі қатынасбұл қатынас жұмыс істейдіекі немесе одан да көп жай қатынасы бар сәйкес терминдер.
Демек, қатынас 6:3, 2-ге тең
Және қатынасы 12:4 тең 3
Олардың арақатынасы 72:12 = 6.

Мұнда күрделі қатынас екі антецедентті, сонымен қатар жай қатынастардың екі салдарын көбейту арқылы алынады.
Осылайша, қатынас құрылады
a:b қатынасынан
Және c:d қатынасы
және h:y қатынасы
Бұл $ach:bdy=\frac(ach)(bdy)$ қатынасы.
Күрделі қатынас бір-бірінен ерекшеленбейді табиғаткез келген басқа қатынастан. Бұл термин белгілі бір жағдайларда қатынастың шығу тегін көрсету үшін қолданылады.

Жауап. Күрделі қатынас қарапайым қатынастың көбейтіндісіне тең.
a:b қатынасы $\frac(a)(b)$ тең
c:d қатынасы $\frac(c)(d)$ тең
h:y қатынасы $\frac(h)(y)$ тең
Ал осы үшеуінің қосылатын қатынасы ach/bdy болады, бұл жай қатынасты өрнектейтін бөлшектердің көбейтіндісі.

348. Егер әрбір алдыңғы жұптағы қатынастар тізбегінде салдар келесі жұпта антецедент болса, онда бірінші алдыңғы және соңғы салдарлардың қатынасы аралық қатынастардан алынғанға тең.
Сонымен, бірқатар арақатынастарда
а:б
б:c
c:d
д:сағ
a:h қатынасы a:b және b:c және c:d және d:h арақатынастарынан алынған қатынасқа тең. Сонымен, соңғы мақаладағы күрделі қатынас $\frac(abcd)(bcdh)=\frac(a)(h)$ немесе a:h.

Сол сияқты алдыңғы және салдар болып табылатын барлық шамалар жоғалып кету, Бөлшектердің көбейтіндісі оның төменгі мүшелеріне жеңілдетілгенде, ал қалғанында күрделі қатынас бірінші антецедентпен және соңғы салдармен өрнектелетін болады.

349. Күрделі қатынастардың ерекше класы жай қатынасты көбейту арқылы алынады өзінемесе басқасына теңарақатынас. Бұл коэффициенттер деп аталады қос, үштік, төрттік, және т.б., көбейту санына сәйкес.

қатынасы екітең пропорциялар, яғни шаршы қосарақатынас.

Құрылған үш, яғни, текшеқарапайым қатынас деп аталады үштік, тағыда басқа.

Сол сияқты, қатынас шаршы түбірлерекі шама қатынас деп аталады шаршы түбір, және қатынасы текше тамырлар- арақатынас текше түбірі, тағыда басқа.
Сонымен a-ның b-ге қарапайым қатынасы a:b болады
a-ның b-ге қосарланған қатынасы a 2:b 2
a және b үштік қатынасы 3:b 3
a-ның квадрат түбірінің b-ке қатынасы √a :√b
a-ның текше түбірінің b-ге қатынасы 3 √a : 3 √b , т.б.
Шарттар қос, үштік, және т.б. араластырудың қажеті жоқ еселенген, үш есе өсті, тағыда басқа.
6-дан 2-ге қатынасы 6:2 = 3
Егер осы қатынасты, яғни қатынасты екі есе көбейтсек, 12:2 = 6 болады
Біз бұл қатынасты үш есе, яғни бұл қатынасты үш есе көбейтеміз, біз 18: 2 = 9 аламыз
БІРАҚ қосқатынасы, яғни шаршықатынасы 6 2:2 2 = 9
Және үштікқатынасы, яғни қатынастың кубы 6 3:2 3 = 27

350. Шамалар бір-бірімен корреляциялануы үшін олар бір текті болуы керек, сонда олардың бір-біріне тең екендігін немесе олардың біреуі үлкен немесе кіші екенін анық айтуға болады. Аяқ 12-ден 1-ге дейін дюймге дейін: ол дюймнен 12 есе үлкен. Бірақ, мысалы, бір сағат таяқшадан ұзағырақ немесе қысқа, немесе акр градустан үлкен немесе аз деп айтуға болмайды. Алайда, егер бұл мәндер өрнектелсе сандар, онда бұл сандар арасында байланыс болуы мүмкін. Яғни, сағаттағы минуттар мен мильдегі қадамдар саны арасында байланыс болуы мүмкін.

351. Бұрылу табиғатқатынасы, біз ескеруіміз керек келесі қадам - бір-бірімен салыстырылатын бір немесе екі мүшенің өзгеруі қатынастың өзіне қалай әсер ететіні. Еске салайық, тура қатынас бөлшек түрінде өрнектеледі, мұнда алдыңғыжұптар әрқашан алым, а нәтижесінде - бөлгіш. Сонда салыстырмалы шамаларды өзгерту арқылы қатынастың өзгеруі болатын бөлшектердің қасиетінен алу оңай болады. Екі шаманың қатынасы бірдей мағынасыбөлшектер, олардың әрқайсысы білдіреді жеке: бөлгішке бөлінген алым. (341-бап.) Енді бөлшектің алымын кез келген мәнге көбейту көбейтумен бірдей екені көрсетілді. мағынасысол шамаға және алымға бөлу бөлшектің мәндерін бөлумен бірдей. Сондықтан,

352. Жұптың алдынғысын кез келген мәнге көбейту коэффициенттерді осы мәнге көбейтуді, ал алдыңғысын бөлу бұл қатынасты бөлуді білдіреді..
Сонымен 6:2 қатынасы 3-ке тең
Ал 24:2 қатынасы 12.
Мұнда соңғы жұптағы антецедент пен қатынас біріншіге қарағанда 4 есе артық.
a:b қатынасы $\frac(a)(b)$ тең
Ал na:b қатынасы $\frac(na)(b)$-ға тең.

Жауап. Белгілі салдарымен, соғұрлым көп алдыңғы, көбірек арақатынас, және керісінше, қатынас неғұрлым үлкен болса, соғұрлым антецедент үлкен болады.

353. Жұптың нәтижесін кез келген мәнге көбейтіп, нәтижесінде осы мәнге қатынастың бөлінуін аламыз, ал нәтижені бөлу арқылы қатынасты көбейтеміз.Бөлшектің бөлімін көбейту арқылы мәнін бөлеміз, ал бөлгішті бөлгенде, мәні көбейтіледі.
Сонымен 12:2 қатынасы 6 болады
Ал 12:4 қатынасы 3-ке тең.
Міне, екінші жұптың нәтижесі екі реткөп, бірақ қатынасы екі есебіріншіден аз.
a:b қатынасы $\frac(a)(b)$
Ал a:nb қатынасы $\frac(a)(nb)$-ға тең.

Жауап. Берілген антецедент үшін салдар неғұрлым үлкен болса, соғұрлым қатынас аз болады. Керісінше, арақатынас неғұрлым үлкен болса, соғұрлым аз болады.

354. Соңғы екі баптан шығатыны көбейту алғышарттарыкез келген мән бойынша жұптар қатынасқа бірдей әсер етеді нәтижені бөлуосы сома бойынша және алдыңғы бөлу, сияқты әсер етеді нәтижелі көбейту.
Сонымен 8:4 қатынасы 2 болады
Антецедентті 2-ге көбейткенде, 16:4 қатынасы 4 болады
Антецедентті 2-ге бөлгенде 8:2 қатынасы 4-ке тең болады.

Жауап. Кез келген факторнемесе бөлгішқатынасты өзгертпей, жұптың алдыңғы сыңарынан сабақтасқа, немесе сабақтастың алдыңғы сыңарына ауысуы мүмкін.

Айта кету керек, көбейткіш осылайша бір мүшеден екіншісіне ауысқанда, ол бөлгішке айналады, ал тасымалданатын бөлгіш көбейткіш болады.
Сонымен қатынас 3,6:9 = 2
3 факторын жылжыту, $6:\frac(9)(3)=2$
бірдей қатынас.

$\frac(ma)(y):b=\frac(ma)(by)$ қатынасы
y $ma:by=\frac(ma)(by)$ жылжыту
Жылжыту m, a:$a:\frac(m)(by)=\frac(ma)(by)$.

355. Баптардан көрініп тұрғандай. 352 және 353, егер алдыңғы және салдар бірдей шамаға көбейтілсе немесе бөлінсе, онда қатынас өзгермейді..

Жауап. 1. Екінің қатынасы бөлшектер, ортақ бөлгіші бар, олардың қатынасымен бірдей алымдар.
Сонымен a/n:b/n қатынасы a:b қатынасымен бірдей.

Жауап. 2. тікелейортақ алымы бар екі бөлшектің қатынасы олардың өзара қатынасына тең бөлгіштер.

356. Артикльден кез келген екі бөлшектің қатынасын анықтау оңай. Егер әрбір мүше екі бөлгішке көбейтілсе, онда қатынас интегралдық өрнектермен беріледі. Осылайша, a/b:c/d жұбының мүшелерін bd-ге көбейтіп, азайту арқылы ad:bc болатын $\frac(abd)(b)$:$\frac(bcd)(d)$ аламыз. алымдар мен бөлгіштерден алынған жалпы мәндер.

356 б. Арақатынас үлкен теңсіздік артадыоның
Үлкен теңсіздік қатынасы 1+n:1 түрінде берілсін
Және кез келген қатынас а:б
Күрделі қатынас (347-бап) a + na:b болады
a:b қатынасынан не үлкен (351-бап)
Бірақ қатынас теңсіздік аз, басқа қатынаспен қосылған, азайтадыоның.
Кіші айырмашылықтың қатынасы 1-n:1 болсын
Кез келген берілген қатынас а:б
Күрделі қатынас a - na:b
a:b-ден не кем.

357. Кез келген жұптың мүшелеріне немесе мүшелерінен болсақосу немесе бірдей қатынастағы екі басқа шаманы алып тастаса, қосындылар немесе қалдықтар бірдей қатынасқа ие болады..
a:b қатынасы болсын
Бұл c:d сияқты болады
Содан кейін қатынас сомаларсалдарлар қосындысының антецеденттері, атап айтқанда, a + c - b + d, сондай-ақ бірдей.
Яғни, $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.

Дәлелдеу.

1. Болжам бойынша $\frac(a)(b)$ = $\frac(c)(d)$
2. b және d көбейтіңіз, ad = bc
3. Екі жағына cd қосыңыз, ad + cd = bc + cd
4. d-ға бөліңіз, $a+c=\frac(bc+cd)(d)$
5. b + d, $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$-ға бөліңіз.

Арақатынас айырмашылықсалдарлардың айырмашылығының алғышарттары да бірдей.

358. Бірнеше жұптардағы қатынас тең болса, онда барлық алдыңғылардың қосындысы барлық салдарлардың қосындысына тең, өйткені кез келген антецедент оның салдары болып табылады.
Осылайша қатынас
|12:6 = 2
|10:5 = 2
|8:4 = 2
|6:3 = 2
Осылайша (12 + 10 + 8 + 6) қатынас: (6 + 5 + 4 + 3) = 2.

358b. Арақатынас үлкен теңсіздіктөмендейді, қосу бірдей сомаекі мүшеге де.
Берілген қатынас a+b:a немесе $\frac(a+b)(a)$ болсын
Екі шартқа да х қосу арқылы a+b+x:a+x немесе $\frac(a+b)(a)$ аламыз.

Біріншісі $\frac(a^2+ab+ax+bx)(a(a+x))$ болады
Ал соңғысы $\frac(a^2+ab+ax)(a(a+x))$.
Соңғы алым екіншісінен анық аз болғандықтан, демек арақатынасаз болуы керек. (351-бап)

Бірақ қатынас теңсіздік аз артады, екі шартқа бірдей мән қосу.
Берілген қатынас (a-b):a немесе $\frac(a-b)(a)$ болсын.
Екі шартқа да х қосу арқылы ол (a-b+x):(a+x) немесе $\frac(a-b+x)(a+x)$ болады.
Оларды ортақ белгіге келтіру,
Біріншісі $\frac(a^2-ab+ax-bx)(a(a+x))$ болады
Ал соңғысы, $\frac(a^2-ab+ax)(a(a+x)).\frac((a^2-ab+ax))(a(a+x))$.

Соңғы алым екіншісінен үлкен болғандықтан арақатынасКөбірек.
Егер бірдей мәнді қосудың орнына ала кетуекі шарттан, қатынасқа әсер керісінше болатыны анық.

Мысалдар.

1. Қайсысы үлкен: 11:9 қатынас па әлде 44:35 қатынас па?

2. Қайсысы үлкен: $(a+3):\frac(a)(6)$ қатынасы ма, әлде $(2a+7):\frac(a)(3)$ қатынасы ма?

3. Егер жұптың антецеденті 65, ал қатынасы 13 болса, нәтижесі қандай болады?

4. Егер жұптың салдары 7-ге, ал қатынасы 18-ге тең болса, алдыңғы қатар нешеге тең?

5. 8:7, және 2а:5б, сондай-ақ (7х+1):(3у-2) құрайтын күрделі қатынас неге ұқсайды?

6. (x + y): b, және (x-y): (a + b), және де (a + b): h-тен тұратын күрделі қатынас неге ұқсайды? Реп. (x 2 - y 2):bh.

7. Егер (5x+7):(2x-3), және $(x+2):\left(\frac(x)(2)+3\right)$ қатынастары күрделі қатынас құраса, онда қандай қатынас сіз аласыз ба: көп немесе аз теңсіздік? Реп. Үлкен теңсіздіктің қатынасы.

8. (x + y):a және (x - y):b және $b:\frac(x^2-y^2)(a)$ қандай қатынастан тұрады? Реп. Теңдік қатынасы.

9. 7:5 қатынасы және 4:9-ды екі есе, 3:2-ні үш есе көбейту нешеге тең?
Реп. 14:15.

10. 3:7 қатынасы, ал х:у қатынасын үш есе көбейтіп, 49:9 қатынасынан түбірді бөліп алу нешеге тең?
Реп. x3:y3.

Қарым-қатынас - бұл біздің дүниеміздің субъектілері арасындағы белгілі бір қарым-қатынас. Бұл сандар, физикалық шамалар, заттар, өнімдер, құбылыстар, әрекеттер, тіпті адамдар болуы мүмкін.

Күнделікті өмірде қатынасқа келгенде айтамыз «осы мен мынаның қатынасы». Мысалы, вазада 4 алма мен 2 алмұрт болса, онда біз айтамыз алманың алмұртқа қатынасы алмұрттың алмаға қатынасы.

Математикада қатынас жиі қолданылады «бір нәрсенің бір нәрсеге қатысы». Мысалы, біз жоғарыда қарастырған төрт алма мен екі алмұрттың қатынасы математикада былай оқылады. «төрт алманың екі алмұртқа қатынасы»немесе алма мен алмұрт ауыстырсаңыз, онда «екі алмұрттың төрт алмаға қатынасы».

қатынасы былай өрнектеледі адейін б(орнына ажәне бкез келген сандар), бірақ көбінесе қос нүкте арқылы жасалған жазбаны таба аласыз а:б. Бұл жазбаны әртүрлі жолдармен оқуға болады:

адейін б
асілтеме жасайды б
көзқарас адейін б

Төрт алма мен екі алмұрттың қатынасын қатынас белгісі арқылы жазамыз:

4: 2

Егер алма мен алмұртты ауыстыратын болсақ, онда бізде 2: 4 қатынасы болады. Бұл қатынас ретінде оқуға болады «екіден төртке» немесе біреуі «Екі алмұрт төрт алмаға тең» .

Келесіде біз қатынасты қатынасқа жатқызамыз.

Сабақтың мазмұны

Көзқарас дегеніміз не?

Қатынас, бұрын айтылғандай, былай жазылады а:б. Оны бөлшек түрінде де жазуға болады. Ал математикадағы мұндай рекорд бөлу дегенді білдіретінін білеміз. Сонда қатынастың нәтижесі сандардың бөлімі болады ажәне б.

Математикада қатынас екі санның бөлімі болып табылады.

Арақатынас бір нысанның басқа бірлігіне қанша келетінін білуге мүмкіндік береді. Төрт алманың екі алмұртқа қатынасына (4:2) оралайық. Бұл қатынас алмұрт бірлігіне қанша алма бар екенін анықтауға мүмкіндік береді. Бірлік бір алмұрт дегенді білдіреді. Алдымен 4:2 қатынасын бөлшек түрінде жазайық:

Бұл қатынас 4 санының 2 санына бөлінуі.Осы бөлуді орындасақ, алмұрт бірлігінде қанша алма бар деген сұраққа жауап аламыз.

Бізде 2 болды. Сонымен төрт алма мен екі алмұрт (4: 2) өзара байланысты (бір-бірімен байланысты), бір алмұртқа екі алмадан келеді.

Суретте төрт алма мен екі алмұрттың бір-бірімен байланысы көрсетілген. Әр алмұртқа екі алмадан келетінін көруге болады.

ретінде жазу арқылы қатынасты өзгертуге болады. Сонда екі алмұрт пен төрт алманың қатынасын немесе «екі алмұрттың төрт алмаға қатынасын» аламыз. Бұл қатынас алма бірлігіне қанша алмұрт бар екенін көрсетеді. Алманың бірлігі бір алманы білдіреді.

Бөлшектің мәнін табу үшін кіші санды үлкенге бөлуді есте сақтау керек.

0,5 алды. Мына ондық бөлшекті жай бөлшекке айналдырайық:

Алынған жай бөлшекті 5-ке азайтыңыз

Жауап алды (жарты алмұрт). Сонымен, екі алмұрт пен төрт алма (2: 4) өзара байланысты (бір-бірімен байланысты), бір алма алмұрттың жартысын құрайды

Суретте екі алмұрт пен төрт алманың бір-бірімен байланысы көрсетілген. Әрбір алмаға жарты алмұрт келетінін көруге болады.

Қарым-қатынасты құрайтын сандар деп аталады қатынас мүшелері. Мысалы, 4:2 қатынасында мүшелер 4 және 2 сандары болып табылады.

Қарым-қатынастың басқа мысалдарын қарастырыңыз. Бір нәрсені дайындау үшін рецепт жасалады. Рецепт өнімдер арасындағы арақатынастардан құрастырылған. Мысалы, сұлы майын жасау үшін әдетте екі стакан сүт немесе су үшін бір стақан жарма қажет. Нәтижесінде 1:2 қатынасы («бірден екіге» немесе «бір стақан жармадан екі стакан сүтке») алынады.

1: 2 қатынасын бөлшекке айналдырайық, біз аламыз. Бұл бөлшекті есептей отырып, біз 0,5 аламыз. Бұл бір стақан сүтке жарты стақан жарма болатындай бір стақан жарма мен екі стақан сүт корреляция (бір-бірімен корреляция) дегенді білдіреді.

Егер сіз 1:2 қатынасын аударсаңыз, сіз 2:1 қатынасын аласыз («екіден бірге» немесе «бір стақан жармаға екі стакан сүт»). 2:1 қатынасын бөлшекке айналдырсақ, аламыз. Бұл бөлшекті есептей отырып, біз 2 аламыз. Демек, екі стақан сүт пен бір стақан жарма бір-бірімен байланысты (бір-бірімен корреляцияланған), сондықтан бір стақан жарма үшін екі стақан сүт болады.

2-мысалСыныпта 15 оқушы бар. Оның 5-еуі ұл, 10-ы қыз. 10:5 қыздар мен ұлдардың қатынасын жазып, бұл қатынасты бөлшекке айналдыруға болады. Бұл бөлшекті есептесек, біз 2 аламыз. Яғни, қыздар мен ұлдар бір-бірімен туысқан, сондықтан әр ұлға екі қыздан келеді.

Суретте он қыз бен бес ұлдың бір-бірімен қарым-қатынасы көрсетілген. Әрбір ұлға екі қыздан келетінін байқауға болады.

Қатынысты бөлшекке айналдырып, көбейтіндіні табу әрқашан мүмкін бола бермейді. Кейбір жағдайларда бұл қисынсыз болады.

Сонымен, егер сіз арақатынасты төңкеріп алсаңыз және бұл ұлдар мен қыздардың қатынасы. Егер сіз бұл бөлшекті есептесеңіз, сіз 0,5 аласыз. Әр қызға жарты ұлдан келетіндей бес ұл он қызбен туысқан екен. Математикалық тұрғыдан бұл, әрине, дұрыс, бірақ шындық тұрғысынан алғанда, бұл мүлдем ақылға қонымды емес, өйткені бала тірі адам және оны алмұрт немесе алма сияқты жай алып, бөлуге болмайды.

Дұрыс көзқарасты қалыптастыру қабілеті - мәселені шешудегі маңызды дағды. Сонымен физикада жүріп өткен жолдың уақытқа қатынасы қозғалыс жылдамдығы болып табылады.

Қашықтық айнымалымен белгіленеді С, уақыт - айнымалы арқылы т, жылдамдық – айнымалы арқылы v. Содан кейін сөз тіркесі «жүрген жолдың уақытқа қатынасы қозғалыс жылдамдығы»келесі өрнекпен сипатталады:

Автокөлік 2 сағатта 100 км жол жүрді делік. Сонда 100 километр жолдың 2 сағатқа қатынасы автомобильдің жылдамдығы болады:

Жылдамдық – дененің уақыт бірлігінде жүріп өткен жолы. Уақыт бірлігі 1 сағат, 1 минут немесе 1 секунд. Ал арақатынас, бұрын айтылғандай, бір субъектінің басқа бірлігіне қанша келетінін білуге мүмкіндік береді. Біздің мысалда жүз километрдің екі сағатқа қатынасы бір сағаттық қозғалыс үшін қанша километр болатынын көрсетеді. Әрбір сағаттық қозғалыс үшін 50 шақырым болатынын көреміз

Сонымен, жылдамдық өлшенеді км/сағ, м/мин, м/с. Бөлшек таңбасы (/) қашықтықтың уақытқа қатынасын көрсетеді: сағатына километр , минутына метржәне секундына метр тиісінше.

2-мысал. Тауар құнының оның санына қатынасы тауардың бір бірлігінің бағасы болып табылады.

Егер біз дүкеннен 5 шоколад батонкасын алсақ және олардың жалпы құны 100 рубль болса, онда бір бардың бағасын анықтауға болады. Ол үшін жүз рубльдің жолақтардың санына қатынасын табу керек. Сонда біз бір бардың шотына 20 рубль аламыз

Құндылықтарды салыстыру

Бұрын біз табиғаты әртүрлі шамалар арасындағы қатынас жаңа шаманы құрайтынын білдік. Сонымен жүріп өткен жолдың уақытқа қатынасы қозғалыс жылдамдығы болып табылады. Тауар құнының оның санына қатынасы тауардың бір бірлігінің бағасы болып табылады.

Бірақ қатынас мәндерді салыстыру үшін де пайдаланылуы мүмкін. Мұндай қатынастың нәтижесі бірінші мән екіншіден неше есе үлкен екенін немесе бірінші мән екіншіден қандай бөліктен тұратынын көрсететін сан болып табылады.

Бірінші мән екіншіден неше есе үлкен екенін білу үшін қатынастың алымына үлкен мәнді, ал бөлгішке кіші мәнді жазу керек.

Бірінші мән екіншіден қандай бөлік екенін білу үшін қатынастың алымына кіші мәнді, ал бөлгішке үлкен мәнді жазу керек.

20 және 2 сандарын қарастырайық. 20 саны 2 санынан неше есе үлкен екенін анықтайық. Ол үшін 20 санының 2 санына қатынасын табамыз. Қатынас алымына 20 санын жаз. , және бөлгіштегі 2 саны

Бұл қатынастың мәні он

20 санының 2 санына қатынасы 10 саны. Бұл сан 20 саны 2 санынан неше есе артық екенін көрсетеді. Демек 20 саны 2 санынан он есе артық.

2-мысалСыныпта 15 оқушы бар. Оның 5-і ұл, 10-ы қыз. Қыздардың ұлдарға қарағанда неше есе көп екенін анықтаңыз.

Қыздардың ұлдарға деген көзқарасын жазыңыз. Қатынас алымына қыздардың санын, қатынастың бөлгішіне ұлдардың санын жазамыз:

Бұл арақатынастың мәні 2. Бұл 15 оқушыдан тұратын сыныпта қыздар ұлдарға қарағанда екі есе көп екенін білдіреді.

Енді бір ұлға қанша қыз бар деген сұрақ жоқ. Бұл жағдайда қыздардың санын ұлдар санымен салыстыру үшін коэффициент қолданылады.

3-мысал. 20 санынан 2 санының қай бөлігі.

2 санының 20 санына қатынасын табамыз. Қатынас алымына 2 санын, ал бөлгішке 20 санын жазамыз.

Бұл қарым-қатынастың мәнін табу үшін есте сақтау керек,

2 санының 20 санына қатынасының мәні 0,1 саны

Бұл жағдайда 0,1 ондық бөлшекті жай бөлшекке айналдыруға болады. Бұл жауапты түсіну оңайырақ болады:

Сонымен 20 санының 2 саны оннан бір.

Сіз тексеру жасай аласыз. Ол үшін 20 санынан табамыз.Егер барлығын дұрыс орындасақ, 2 санын алуымыз керек.

20: 10 = 2

2 x 1 = 2

Біз 2 санын алдық.Сонымен 20 санының оннан бір бөлігі 2 саны.Осыдан есеп дұрыс шығарылды деген қорытындыға келеміз.

4-мысалСыныпта 15 адам бар. Оның 5-і ұл, 10-ы қыз. Оқушылардың жалпы санының қандай үлесі ұл балалар екенін анықтаңыз.

Ұлдардың жалпы оқушылар санына қатынасын жазамыз. Қатынастың алымы бойынша бес ұлды, ал бөлгішке мектеп оқушыларының жалпы санын жазамыз. Мектеп оқушыларының жалпы саны 5 ұл плюс 10 қыз, сондықтан қатынастың бөлгішіне 15 санын жазамыз.

Бұл қатынастың мәнін табу үшін кіші санды үлкенге бөлуді есте сақтау керек. Бұл жағдайда 5 санын 15 санына бөлу керек

5-ті 15-ке бөлгенде периодты бөлшек шығады. Осы бөлшекті жай бөлшекке айналдырайық

Соңғы жауабын алды. Сонымен ұлдар бүкіл сыныптың үштен бірін құрайды

Суретте 15 оқушыдан тұратын сыныпта сыныптың үштен бірі 5 ұл бала екенін көрсетеді.

Тексеру үшін 15 оқушыдан тапсақ, 5 ұл бала аламыз

15: 3 = 5

5 x 1 = 5

5-мысал 35 саны 5 санынан неше есе артық?

35 санының 5 санына қатынасын жазамыз. Қатынас алымына 35 санын, бөлгішке 5 санын жазу керек, бірақ керісінше емес

Бұл қатынастың мәні 7. Демек 35 саны 5 санынан жеті есе артық.

6-мысалСыныпта 15 адам бар. Оның 5-і ұл, 10-ы қыз. Жалпы санның қандай үлесін қыздар құрайтынын анықтаңыз.

Оқушылардың жалпы санына қыздардың қатынасын жазамыз. Қатынас санына он қызды, ал бөлгішке мектеп оқушыларының жалпы санын жазамыз. Мектеп оқушыларының жалпы саны 5 ұл плюс 10 қыз, сондықтан қатынастың бөлгішіне 15 санын жазамыз.

Бұл қатынастың мәнін табу үшін кіші санды үлкенге бөлуді есте сақтау керек. Бұл жағдайда 10 санын 15 санына бөлу керек

10-ды 15-ке бөлгенде периодты бөлшек шығады. Осы бөлшекті жай бөлшекке айналдырайық

Алынған бөлшекті 3-ке азайтайық

Соңғы жауабын алды. Демек, қыздар бүкіл сыныптың үштен екісін құрайды

Суретте 15 оқушыдан тұратын сыныпта сыныптың үштен екі бөлігін 10 қыз құрайтыны көрсетілген.

Тексеру үшін 15 оқушыдан тапсақ, 10 қызды аламыз

15: 3 = 5

5 x 2 = 10

7-мысал 10 см-нің қандай бөлігі 25 см-ге тең

Он сантиметрдің жиырма бес сантиметрге қатынасын жаз. Қатынас алымына 10 см, бөлгішке 25 см жазамыз

Бұл қатынастың мәнін табу үшін кіші санды үлкенге бөлуді есте сақтау керек. Бұл жағдайда 10 санын 25 санына бөлу керек

Алынған ондық бөлшекті жай бөлшекке айналдырайық

Алынған бөлшекті 2-ге азайтайық

Соңғы жауабын алды. Сонымен 10 см 25 см.

8-мысал 25 см 10 см-ден неше есе артық?

Жиырма бес сантиметрдің он сантиметрге қатынасын жаз. Қатынас алымына 25 см, бөлгішке 10 см жазамыз

Жауап 2.5. Сонымен 25 см 10 см-ден 2,5 есе көп (екі жарым есе)

Маңызды ескерту.Бірдей физикалық шамалардың қатынасын тапқанда бұл шамаларды бір өлшем бірлігінде көрсету керек, әйтпесе жауап қате болады.

Мысалы, егер біз екі ұзындықпен жұмыс жасайтын болсақ және бірінші ұзындық екіншісінен неше есе үлкен екенін немесе бірінші ұзындық екіншіден қандай бөлікке жататынын білгіміз келсе, онда екі ұзындықтың екеуі де алдымен бір өлшем бірлігінде көрсетілуі керек.

9-мысал 150 см 1 метрден неше есе артық?

Алдымен, екі ұзындықтың бір бірлікте көрсетілгеніне көз жеткізейік. Ол үшін 1 метрді сантиметрге айналдырыңыз. Бір метр жүз сантиметр

1 м = 100 см

Енді біз жүз елу сантиметрдің жүз сантиметрге қатынасын табамыз. Пропорцияның алымында біз 150 сантиметрді, бөлгіште - 100 сантиметрді жазамыз

Осы қатынастың мәнін табайық

Жауап 1.5. Сонымен 150 см 100 см-ден 1,5 есеге артық (бір жарым есе).

Егер біз метрлерді сантиметрге түрлендіруді бастамасақ және бірден 150 см-нің бір метрге қатынасын табуға тырыссақ, онда біз мынаны аламыз:

150 см бір метрден жүз елу есе артық екені белгілі болды, бірақ бұл дұрыс емес. Сондықтан қатынасқа қатысатын физикалық шамалардың өлшем бірліктеріне назар аудару міндетті болып табылады. Егер бұл шамалар әртүрлі өлшем бірліктерімен өрнектелсе, онда бұл шамалардың қатынасын табу үшін бір өлшем бірлігіне өту керек.

10-мысалӨткен айда бір адамның жалақысы 25 000 рубль болса, осы айда жалақысы 27 000 рубльге дейін өсті. Жалақы қаншаға өскенін анықтаңыз

Жиырма жеті мыңның жиырма бес мыңға қатынасын жазамыз. Қатынас алымына 27000, бөлгішке 25000 деп жазамыз.

Осы қатынастың мәнін табайық

Жауап 1.08. Осылайша, жалақы 1,08 есеге өсті. Алдағы уақытта пайызбен танысқанда жалақы сияқты көрсеткіштерді пайызбен көрсететін боламыз.

11-мысал. Көпқабатты үйдің ені 80 метр, биіктігі 16 метр. Үйдің ені биіктігінен неше есе артық?

Үйдің енінің биіктігіне қатынасын жазамыз:

Бұл қатынастың мәні 5. Бұл үйдің ені оның биіктігінен бес есе көп екенін білдіреді.

қатынас қасиеті

Егер оның мүшелері бірдей санға көбейтілсе немесе бөлінсе, қатынас өзгермейді.

Бұл қатынастың ең маңызды қасиеттерінің бірі бөлік қасиетінен туындайды. Егер дивиденд пен бөлгіш бірдей санға көбейтілсе немесе бөлінсе, онда бөлгіш өзгермейтінін білеміз. Қатынас бөлуден басқа ештеңе болмағандықтан, quotient қасиеті ол үшін де жұмыс істейді.

Қыздардың ұлдарға деген көзқарасына оралайық (10:5). Бұл арақатынас әрбір ұл балаға екі қыздан келетінін көрсетті. Қатынас қасиетінің қалай жұмыс істейтінін тексерейік, атап айтқанда оның мүшелерін бірдей санға көбейтуге немесе бөлуге тырысайық.

Біздің мысалда қатынас мүшелерін олардың ең үлкен ортақ бөлгішіне (GCD) бөлу ыңғайлырақ.

10 және 5 мүшелерінің GCD саны 5. Сондықтан қатынастың мүшелерін 5 санына бөлуге болады.

Жаңа көзқарас пайда болды. Бұл екіден бірге қатынасы (2:1). Бұл арақатынас бұрынғы 10:5 қатынасы сияқты әр ұлға екі қыздан келетінін көрсетеді.

Суретте 2:1 қатынасы көрсетілген (екіден бірге). Бұрынғы 10:5 қатынасындағыдай, бір ұл балаға екі қыздан келеді. Басқаша айтқанда, көзқарас өзгерген жоқ.

2-мысал. Бір сыныпта 10 қыз, 5 ұл бар. Басқа сыныпта 20 қыз, 10 ұл бар. Бірінші сыныпта қыздар ұлдарға қарағанда неше есе көп? Екінші сыныптағы қыздар ұлдарға қарағанда неше есе көп?

Екі сыныпта да қыздар ұлдарға қарағанда екі есе көп, өйткені және қатынасы бірдей санға тең.

Қатынас қасиеті нақты нысанға ұқсас параметрлері бар әртүрлі үлгілерді құруға мүмкіндік береді. Көп пәтерлі үйдің ені 30 метр, биіктігі 10 метр делік.

Қағазға ұқсас үйді салу үшін оны бірдей 30:10 қатынасында салу керек.

Осы қатынастың екі мүшесін де 10 санына бөлеміз. Сонда 3:1 қатынасын аламыз. Бұл қатынас алдыңғы қатынас сияқты 3-ке тең

Метрлерді сантиметрге түрлендіру. 3 метр 300 сантиметр, 1 метр 100 сантиметр.

3 м = 300 см

1 м = 100 см

Бізде 300 см: 100 см қатынас бар.Осы қатынастың мүшелерін 100-ге бөлеміз.3 см қатынасты аламыз: 1 см.Енді ені 3 см, биіктігі 1 см болатын үй салуға болады.

Әрине, сызылған үй нақты үйден әлдеқайда аз, бірақ ені мен биіктігінің қатынасы өзгеріссіз қалады. Бұл бізге үйді мүмкіндігінше шынайы үйге жақындатуға мүмкіндік берді.

Қарым-қатынасты басқаша түсінуге болады. Бастапқыда нағыз үйдің ені 30 метр, биіктігі 10 метр болатыны айтылған. Барлығы 30 + 10, яғни 40 метр.

Бұл 40 метрді 40 бөлік деп түсінуге болады. 30:10 қатынасы ені үшін 30 бөлікті және биіктік үшін 10 бөлікті білдіреді.

Әрі қарай 30: 10 қатынасының мүшелері 10-ға бөлінді. Нәтижесінде 3: 1 қатынасы болды. Бұл қатынасты 4 бөлік деп түсінуге болады, оның үшеуі еніне, біреуі биіктікке түседі. Бұл жағдайда әдетте ені мен биіктігіне қанша метрді дәл анықтау керек.

Басқаша айтқанда, неше метр 3 бөлікке, қанша метр 1 бөлікке түсетінін табу керек. Алдымен бір бөлікке қанша метр түсетінін білу керек. Мұны істеу үшін жалпы 40 метрді 4-ке бөлу керек, өйткені 3: 1 қатынасында тек төрт бөлік бар.

Ені неше метр екенін анықтайық:

10 м × 3 = 30 м

Биіктікке қанша метр түсетінін анықтайық:

10 м × 1 = 10 м

Қатынастың көп мүшелері

Егер қатынаста бірнеше мүше берілсе, онда оларды бір нәрсенің бөліктері деп түсінуге болады.

1-мысал. 18 алма сатып алды. Бұл алмалар анасы, әкесі және қызы арасында 2: 1: 3 қатынасында бөлінді. Әрқайсысы неше алма алды?

2: 1: 3 қатынасы анасы 2 бөлікті, әкесі - 1 бөлікті, қызы - 3 бөлікті алғанын көрсетеді. Басқаша айтқанда, 2:1:3 қатынасының әрбір мүшесі 18 алманың белгілі бір бөлігі болып табылады:

Егер сіз 2: 1: 3 қатынасының шарттарын қоссаңыз, онда барлығы қанша бөлік бар екенін білуге болады:

2 + 1 + 3 = 6 (бөліктер)

Бір бөлікке қанша алма түскенін табыңыз. Ол үшін 18 алманы 6-ға бөлу керек

18:6 = 3 (әр бөлікке алма)

Енді әрқайсысы қанша алма алғанын анықтайық. 2:1:3 қатынасының әрбір мүшесіне үш алманы көбейту арқылы ананың қанша алма алғанын, қанша әке алғанын және қанша қызы алғанын анықтауға болады.

Ананың қанша алма алғанын табыңыз:

3 × 2 = 6 (алма)

Әкемнің қанша алма алғанын табыңыз:

3 × 1 = 3 (алма)

Қызының қанша алма алғанын табыңыз:

3 × 3 = 9 (алма)

2-мысал. Жаңа күміс (альпака) - 3:4:13 қатынасындағы никель, мырыш және мыстың қорытпасы. 4 кг жаңа күміс алу үшін әр металдан неше килограмм алу керек?

4 килограмм жаңа күмістің құрамында 3 бөлік никель, 4 бөлік мырыш және 13 бөлік мыс болады. Алдымен төрт килограмм күмісте қанша бөлік болатынын анықтаймыз:

3 + 4 + 13 = 20 (бөліктер)

Бір бөлікке қанша килограмм түсетінін анықтаңыз:

4 кг: 20 = 0,2 кг

4 кг жаңа күмісте қанша килограмм никель болатынын анықтайық. 3:4:13 қатынасында қорытпаның үш бөлігінде никель бар дейді. Сондықтан 0,2-ні 3-ке көбейтеміз:

0,2 кг × 3 = 0,6 кг никель

Енді 4 кг жаңа күмісте қанша килограмм мырыш болатынын анықтайық. 3:4:13 қатынасында қорытпаның төрт бөлігінде мырыш бар дейді. Сондықтан 0,2-ні 4-ке көбейтеміз:

0,2 кг × 4 = 0,8 кг мырыш

Енді 4 кг жаңа күмісте қанша килограмм мыс болатынын анықтайық. 3:4:13 қатынасында қорытпаның он үш бөлігінде мыс бар дейді. Сондықтан 0,2-ні 13-ке көбейтеміз:

0,2 кг × 13 = 2,6 кг мыс

Сонымен, 4 кг жаңа күміс алу үшін 0,6 кг никель, 0,8 кг мырыш және 2,6 кг мыс алу керек.

3-мысал. Жез - массалық қатынасы 3:2 болатын мыс пен мырыш қорытпасы. Жезден жасалған кесек жасау үшін 120 г мыс қажет. Бұл жезді жасау үшін қанша мырыш қажет?

Бір бөлікке қанша грамм қорытпа түсетінін анықтайық. Шарт жезден жасалған кесек жасау үшін 120 г мыс қажет екенін айтады. Сондай-ақ қорытпаның үш бөлігінде мыс бар екені айтылады. 120-ны 3-ке бөлсек, бір бөлікте қанша грамм қорытпа бар екенін анықтаймыз:

120: бір бөлікке 3 = 40 грамм

Енді жезден жасалған бөлікті жасау үшін қанша мырыш қажет екенін анықтайық. Мұны істеу үшін біз 40 граммды 2-ге көбейтеміз, өйткені 3: 2 қатынасында екі бөлікте мырыш бар екендігі көрсетілген:

40 г × 2 = 80 грамм мырыш

4-мысал. Олар алтын мен күмістің екі қорытпасын алды. Бірінде бұл металдардың қатынасы 1:9, ал екіншісінде 2:3. Алтын мен күміс 1:4 қатынасында болатын 15 кг жаңа қорытпаны алу үшін әрбір қорытпаның қанша мөлшерін алу керек. ?

Шешім

15 кг жаңа қорытпа 1: 4 қатынасында болуы керек. Бұл қатынас қорытпаның бір бөлігінде алтын, ал төрт бөлігінде күміс болатынын көрсетеді. Барлығы бес бөліктен тұрады. Схемалық түрде оны келесідей көрсетуге болады

Бір бөліктің массасын анықтайық. Ол үшін алдымен барлық бөліктерді (1 және 4) қосыңыз, содан кейін қорытпаның массасын осы бөліктердің санына бөліңіз.

1 + 4 = 5
15 кг: 5 = 3 кг

Қорытпаның бір бөлігінің массасы 3 кг болады. Сонда 15 кг жаңа қорытпада 3 × 1 = 3 кг алтын және 3 × 4 = 12 кг күміс болады.

Демек, салмағы 15 кг қорытпаны алу үшін бізге 3 кг алтын және 12 кг күміс қажет.

Енді тапсырманың сұрағына жауап берейік - « Әр қорытпаны қанша алу керек? »

Біз бірінші қорытпадан 10 кг аламыз, өйткені ондағы алтын мен күміс 1: 9 қатынасында. Яғни, бұл бірінші қорытпа бізге 1 кг алтын және 9 кг күміс береді.

Біз екінші қорытпадан 5 кг аламыз, өйткені оның құрамында алтын мен күміс 2: 3 қатынасында болады. Яғни, бұл екінші қорытпа бізге 2 кг алтын және 3 кг күміс береді.

Сізге сабақ ұнады ма?
Біздің жаңа Вконтакте тобымызға қосылыңыз және жаңа сабақтар туралы хабарландырулар алуды бастаңыз