Математикада Виет теоремасын пайдаланып теңдеулерді шешу жолы. Виетаның теоремасы. Шешу мысалдары Виета әдісі Квадрат теңдеу

Мектеп алгебра курсында екінші ретті теңдеулерді шешу жолдарын оқығанда алынған түбірлердің қасиеттерін қарастыру. Олар қазір Виетаның теоремасы ретінде белгілі. Оны пайдалану мысалдары осы мақалада келтірілген.

Квадрат теңдеу

Екінші ретті теңдеу - төмендегі фотода көрсетілген теңдік.

Мұндағы a, b, c таңбалары қарастырылып отырған теңдеудің коэффициенттері деп аталатын кейбір сандар. Теңдікті шешу үшін оны ақиқат ететін x мәндерін табу керек.

Назар аударыңыз, х көтерілетін дәреженің максималды мәні екі болғандықтан, жалпы жағдайда түбірлер саны да екі болады.

Теңдіктің бұл түрін шешудің бірнеше жолы бар. Бұл мақалада біз олардың бірін қарастырамыз, ол Вьетнам деп аталатын теореманы қолдануды қамтиды.

Вьета теоремасының тұжырымы

16 ғасырдың аяғында атақты математик Франсуа Виет (француз) әртүрлі квадрат теңдеулердің түбірлерінің қасиеттерін талдай отырып, олардың белгілі бір комбинациялары нақты қатынастарды қанағаттандыратынын байқады. Атап айтқанда, бұл комбинациялар олардың туындысы мен сомасы болып табылады.

Виет теоремасы мынаны белгілейді: квадрат теңдеудің түбірлері қосындыда қарама-қарсы таңбамен алынған сызықтық және квадраттық коэффициенттердің қатынасын береді, ал оларды көбейткенде бос мүшенің квадраттық коэффициентке қатынасына әкеледі. .

Егер теңдеудің жалпы түрі мақаланың алдыңғы бөліміндегі фотосуретте көрсетілгендей жазылса, онда математикалық түрде бұл теореманы екі теңдік түрінде жазуға болады:

• r 2 + r 1 \u003d -b / a;
• r 1 x r 2 \u003d c / a.

Мұндағы r 1 , r 2 – қарастырылатын теңдеудің түбірлерінің мәні.

Бұл екі теңдік өте әртүрлі математикалық есептерді шешу үшін пайдаланылуы мүмкін. Шешімі бар мысалдарда Виета теоремасын қолдану мақаланың келесі бөлімдерінде берілген.

Виетаның теоремасы бұрыннан табылған түбірлерді тексеру үшін жиі қолданылады. Түбірлерді тапқан болсаңыз, \(p\ мәндерін есептеу үшін \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) формулаларын пайдалана аласыз. ) және \(q\ ). Ал егер олар бастапқы теңдеудегідей болып шықса, онда түбірлер дұрыс табылған.

Мысалы, қолданып, \(x^2+x-56=0\) теңдеуін шешіп, түбірлерін алайық: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Шешу барысында қателік жібергенімізді тексерейік. Біздің жағдайда \(p=1\) және \(q=-56\). Виетаның теоремасы бойынша бізде:

\(\бастау(жағдайлар)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\соңы(жағдайлар)\) \(\Сол оң жақ көрсеткі\) \(\бастау(жағдайлар)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\соңы(жағдайлар)\) \(\сол оң жақ көрсеткі\) \(\бастау(жағдайлар)-1=-1\\-56=-56\соңы(іс)\ )

Екі мәлімдеме де жинақталды, яғни біз теңдеуді дұрыс шештік.

Бұл сынақты ауызша жасауға болады. Бұл 5 секундты алады және сізді ақымақ қателіктерден құтқарады.

Кері Виета теоремасы

Егер \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), онда \(x_1\) және \(x_2\) квадрат теңдеудің түбірлері болады \ (x^ 2+px+q=0\).

Немесе қарапайым түрде: егер сізде \(x^2+px+q=0\) түріндегі теңдеу болса, онда \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \ жүйесін шешу арқылы cdot x_2=q\ end(cases)\) оның түбірін табасыз.

Осы теореманың арқасында квадрат теңдеудің түбірлерін тез табуға болады, әсіресе бұл түбірлер . Бұл дағды маңызды, өйткені ол көп уақытты үнемдейді.

Мысал . \(x^2-5x+6=0\) теңдеуін шешіңіз.

Шешім : Кері Виета теоремасын пайдалана отырып, түбірлердің шарттарды қанағаттандыратынын аламыз: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
\(x_1 \cdot x_2=6\) жүйесінің екінші теңдеуін қараңыз. \(6\) санын қандай екіге бөлуге болады? \(2\) және \(3\), \(6\) және \(1\) немесе \(-2\) және \(-3\) және \(-6\) және \(- бір\). Ал қай жұпты таңдау керек, жүйенің бірінші теңдеуі мынаны көрсетеді: \(x_1+x_2=5\). \(2\) және \(3\) ұқсас, себебі \(2+3=5\).
Жауап : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Мысалдар . Виета теоремасының кері тетігін пайдаланып, квадрат теңдеудің түбірлерін табыңыз:
a) \(x^2-15x+14=0\); б) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); г) \(x^2-88x+780=0\).

Шешім :
а) \(x^2-15x+14=0\) - \(14\) қандай факторларға ыдырайды? \(2\) және \(7\), \(-2\) және \(-7\), \(-1\) және \(-14\), \(1\) және \(14\ ). Қандай жұп сандар қосылса \(15\) болады? Жауабы: \(1\) және \(14\).

б) \(x^2+3x-4=0\) - \(-4\) қандай факторларға ыдырайды? \(-2\) және \(2\), \(4\) және \(-1\), \(1\) және \(-4\). Қандай жұп сандар қосылса \(-3\) болады? Жауабы: \(1\) және \(-4\).

в) \(x^2+9x+20=0\) – \(20\) қандай факторларға ыдырайды? \(4\) және \(5\), \(-4\) және \(-5\), \(2\) және \(10\), \(-2\) және \(-10\ ), \(-20\) және \(-1\), \(20\) және \(1\). Қандай жұп сандар қосылса \(-9\) болады? Жауабы: \(-4\) және \(-5\).

г) \(x^2-88x+780=0\) - \(780\) қандай факторларға ыдырайды? \(390\) және \(2\). Олар \(88\) қосады ма? Жоқ. \(780\) тағы қандай көбейткіштерге ие? \(78\) және \(10\). Олар \(88\) қосады ма? Иә. Жауабы: \(78\) және \(10\).

Соңғы терминді барлық мүмкін факторларға бөлу қажет емес (соңғы мысалдағыдай). Сіз олардың қосындысы \(-p\) беретінін дереу тексере аласыз.

Маңызды!Виетаның теоремасы мен оған қарама-қарсы теорема тек , яғни \(x^2\) алдындағы коэффициенті бірге тең болса ғана жұмыс істейді. Егер бізде бастапқыда төмендетілмеген теңдеу болса, онда оны \ (x ^ 2 \) алдындағы коэффициентке жай ғана бөлу арқылы азайта аламыз.

Мысалға, \(2x^2-4x-6=0\) теңдеуі берілсін және біз Вьета теоремаларының бірін қолданғымыз келеді. Бірақ біз алмаймыз, себебі \(x^2\) алдындағы коэффициент \(2\) тең. Бүкіл теңдеуді \(2\)-ге бөлу арқылы одан құтылайық.

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Дайын. Енді біз екі теореманы да пайдалана аламыз.

Жиі қойылатын сұрақтарға жауаптар

Сұрақ: Виетаның теоремасы бойынша сіз кез келген нәрсені шеше аласыз ба?
Жауап: Өкінішке орай жоқ. Егер теңдеуде бүтін сандар болмаса немесе теңдеудің түбірі мүлде болмаса, онда Виетаның теоремасы көмектеспейді. Бұл жағдайда пайдалану керек дискриминант . Бақытымызға орай, мектептегі математика курсындағы теңдеулердің 80% бүтін шешімдерге ие.

Сегізінші сыныпта оқушылар квадрат теңдеулермен және оларды шешу жолдарымен танысады. Сонымен қатар, тәжірибе көрсеткендей, оқушылардың көпшілігі толық квадрат теңдеулерді шешуде тек бір ғана әдісті – квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласын қолданады. Ауызша санауды жақсы меңгерген оқушылар үшін бұл әдіс қисынсыз екені анық. Студенттер көбінесе орта мектепте квадрат теңдеулерді шешуге тура келеді, және ол жерде дискриминантты есептеуге уақыт жұмсау өкінішті. Менің ойымша, квадрат теңдеулерді зерттегенде Виеталық теореманы қолдануға көбірек уақыт пен көңіл бөлу керек (А.Г. Мордкович Алгебра-8 бағдарламасына сәйкес «Вьета теоремасы. Декомпозиция квадрат үшмүшені сызықтық көбейткіштерге айналдыру»).

Алгебра оқулықтарының көпшілігінде бұл теорема келтірілген квадрат теңдеу үшін тұжырымдалған және теңдеуінің түбірі болса және , онда олар теңдіктерін қанағаттандырады , .Содан кейін Виет теоремасына қарама-қайшы мәлімдеме тұжырымдалады және осы тақырып бойынша жұмыс істеу үшін бірнеше мысалдар ұсынылады.

Нақты мысалдарды алайық және олар бойынша Виет теоремасын пайдаланып шешімнің логикасын қадағалап көрейік.

Мысал 1. Теңдеуді шешіңіз.

Бұл теңдеудің түбірі бар делік, атап айтқанда, және . Содан кейін, Виетаның теоремасы бойынша, теңдіктер

Түбірлердің көбейтіндісі оң сан екенін ескеріңіз. Сонымен, теңдеудің түбірлерінің таңбалары бірдей. Ал түбірлердің қосындысы да оң сан болғандықтан, теңдеудің екі түбірі де оң деген қорытындыға келеміз. Тамырдың өніміне қайта оралайық. Теңдеудің түбірлері натурал сандар деп есептейік. Сонда дұрыс бірінші теңдікті тек екі жолмен алуға болады (көбейткіштер ретіне дейін): немесе . Ұсынылған сандар жұбын Виеталық теореманың екінші бекітуінің орындылығын тексерейік: . Сонымен, 2 және 3 сандары екі теңдікті де қанағаттандырады, демек, берілген теңдеудің түбірі болады.

Жауабы: 2; 3.

Виета теоремасы арқылы берілген квадрат теңдеуді шешу кезінде пайымдаудың негізгі кезеңдерін бөліп көрсетеміз:

Вьета теоремасының бекітуін жазыңыз

(*)

• теңдеудің түбірлерінің таңбаларын анықтаңдар (Егер түбірлердің көбейтіндісі мен қосындысы оң болса, онда екі түбір де оң сандар. Түбірлердің көбейтіндісі оң сан, ал түбірлердің қосындысы теріс болса, онда Екі түбір де теріс сандар.Егер түбірлердің көбейтіндісі теріс сан болса, онда түбірлердің таңбалары әртүрлі болады.Сонымен қатар, егер түбірлердің қосындысы оң болса, онда модулі үлкен түбір оң сан болады, ал түбірлердің қосындысы нөлден кіші болса, онда модулі үлкен түбір теріс сан болады);
• (*) белгісінде көбейтіндісі дұрыс бірінші теңдік беретін бүтін сандар жұптарын таңдау;
• табылған сандар жұбынан (*) белгісіндегі екінші теңдікке ауыстырылғанда дұрыс теңдік беретін жұпты таңдаңыз;
• жауапта теңдеудің табылған түбірлерін көрсетіңіз.

Тағы бірнеше мысал келтірейік.

2-мысал: Теңдеуді шешіңіз .

Шешім.

Берілген теңдеудің түбірлері болсын. Содан кейін Виет теоремасы бойынша көбейтіндінің оң, ал қосындының теріс екенін ескеріңіз. Демек, екі түбір де теріс сандар. 10 көбейтіндісін беретін жұп көбейткіштерді таңдаймыз (-1 және -10; -2 және -5). Сандардың екінші жұбы -7-ге жетеді. Сонымен -2 және -5 сандары осы теңдеудің түбірі болады.

Жауап: -2; -5.

Мысал 3. Теңдеуді шешіңіз .

Шешім.

Берілген теңдеудің түбірлері болсын. Содан кейін Виетаның теоремасы бойынша туындының теріс екенін ескеріңіз. Сондықтан тамырлар әртүрлі белгілермен ерекшеленеді. Түбірлердің қосындысы да теріс сан. Демек, модулі ең үлкен түбір теріс. Көбейтіндіні -10 (1 және -10; 2 және -5) беретін жұптарды таңдаймыз. Сандардың екінші жұбы -3-ке жетеді. Сонымен 2 және -5 сандары осы теңдеудің түбірі болады.

Жауап: 2; -5.

Виета теоремасын негізінен толық квадрат теңдеу үшін тұжырымдауға болатынын ескеріңіз: квадрат теңдеу болса түбірлері бар және , онда олар теңдіктерді қанағаттандырады , .Дегенмен, бұл теореманы қолдану өте қиын, өйткені толық квадрат теңдеуде түбірлердің кем дегенде біреуі (әрине, бар болса) бөлшек сан болып табылады. Ал бөлшек таңдаумен жұмыс ұзақ және қиын. Бірақ одан шығудың жолы бар.

Толық квадрат теңдеуді қарастырайық . Теңдеудің екі жағын бірінші коэффициентке көбейтіңіз ажәне теңдеуді формада жазыңыз . Біз жаңа айнымалыны енгіземіз және қысқартылған квадрат теңдеуді аламыз, оның түбірі мен (бар болса) Виета теоремасы арқылы табуға болады. Сонда бастапқы теңдеудің түбірлері болады. Көмекші келтірілген теңдеуді жазу өте оңай екенін ескеріңіз: екінші коэффициент сақталады, ал үшінші коэффициент көбейтіндіге тең. ace. Белгілі бір дағдымен оқушылар бірден көмекші теңдеу құрастырады, Виета теоремасы арқылы оның түбірлерін тауып, берілген толық теңдеудің түбірін көрсетеді. Мысалдар келтірейік.

Мысал 4. Теңдеуді шешіңіз .

Көмекші теңдеу құрайық ал Виетаның теоремасы бойынша оның түбірін табамыз. Сонымен бастапқы теңдеудің түбірлері .

Жауап: .

Мысал 5. Теңдеуді шешіңіз .

Көмекші теңдеудің түрі бар. Виетаның теоремасы бойынша оның түбірлері . Бастапқы теңдеудің түбірлерін табамыз .

Жауап: .

Виет теоремасын қолдану толық квадрат теңдеудің түбірлерін ауызша табуға мүмкіндік беретін тағы бір жағдай. Мұны дәлелдеу оңай 1 саны теңдеудің түбірі болып табылады , егер және тек егер. Теңдеудің екінші түбірі Вьета теоремасы арқылы табылады және оған тең. Тағы бір мәлімдеме: сондықтан -1 саны теңдеудің түбірі болады қажетті және жеткілікті. Сонда Вьета теоремасы бойынша теңдеудің екінші түбірі -ге тең. Ұқсас мәлімдемелерді келтірілген квадрат теңдеу үшін тұжырымдауға болады.

Мысал 6. Теңдеуді шешіңіз.

Теңдеу коэффициенттерінің қосындысы нөлге тең екенін ескеріңіз. Сонымен теңдеудің түбірлері .

Жауап: .

Мысал 7. Теңдеуді шешіңіз.

Бұл теңдеудің коэффициенттері сипатты қанағаттандырады (шынында, 1-(-999)+(-1000)=0). Сонымен теңдеудің түбірлері .

Жауап: ..

Вьета теоремасын қолдануға мысалдар

1-тапсырма.Вьета теоремасын пайдаланып, берілген квадрат теңдеуді шеш.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Тапсырма 2. Көмекші келтірілген квадрат теңдеуге көшу арқылы толық квадрат теңдеуді шеш.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

3-тапсырма.Қасиетін пайдаланып квадрат теңдеуді шеш.

Квадрат теңдеуді шешу әдістерінің бірі қолданбалы әдіс болып табылады VIETA формулалары, ол ФРАНСУА ВИЕТтің есімімен аталды.

Ол әйгілі заңгер болды және 16 ғасырда француз королімен бірге қызмет етті. Бос уақытында астрономия мен математиканы оқыды. Ол квадрат теңдеудің түбірлері мен коэффициенттері арасында байланыс орнатты.

Формуланың артықшылығы:

1 . Формуланы қолдану арқылы шешімді тез табуға болады. Өйткені квадратқа екінші коэффициентті енгізудің қажеті жоқ, содан кейін одан 4ac-ты алып тастаңыз, дискриминантты табыңыз, оның мәнін түбірлерді табу формуласына ауыстырыңыз.

2 . Шешімі жоқ, сіз тамырлардың белгілерін анықтай аласыз, тамырлардың мәндерін таңдай аласыз.

3 . Екі жазбаның жүйесін шешкеннен кейін, түбірлерді өздері табу қиын емес. Жоғарыда келтірілген квадрат теңдеуде түбірлердің қосындысы минус таңбасы бар екінші коэффициенттің мәніне тең. Жоғарыдағы квадрат теңдеудегі түбірлердің көбейтіндісі үшінші коэффициенттің мәніне тең.

4 . Берілген түбірлер бойынша квадрат теңдеуді жаз, яғни кері есепті шығар. Мысалы, бұл әдіс теориялық механикада есептерді шығаруда қолданылады.

5 . Жетекші коэффициент бірге тең болғанда формуланы қолдану ыңғайлы.

Кемшіліктері:

1 . Формула әмбебап емес.

Вьета теоремасы 8-сынып

Формула
Егер x 1 және x 2 берілген квадрат теңдеудің түбірлері болса x 2 + px + q \u003d 0, онда:

Мысалдар
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - x 2 - 2x - 3 \u003d 0 теңдеуінің түбірлері.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Кері теорема

Формула
Егер x 1 , x 2 , p, q сандары шарттармен қосылса:

Сонда x 1 және x 2 x 2 + px + q = 0 теңдеуінің түбірі болады.

Мысал
Түбірлері бойынша квадрат теңдеу құрайық:

X 1 \u003d 2 -? 3 және x 2 \u003d 2 +? 3 .

P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.

Қажетті теңдеудің келесі түрі бар: x 2 - 4x + 1 = 0.

Бұл лекцияда біз квадрат теңдеудің түбірлері мен оның коэффициенттері арасындағы қызықты байланыстармен танысамыз. Бұл қатынастарды алғаш рет француз математигі Франсуа Вьет (1540-1603) ашты.

Мысалы, Зx 2 - 8x - 6 \u003d 0 теңдеуі үшін оның түбірлерін таппай, Виета теоремасын қолдана отырып, түбірлердің қосындысы , ал түбірлердің көбейтіндісі тең екенін бірден айтуға болады.
яғни - 2. Ал x 2 - 6x + 8 \u003d 0 теңдеуі үшін қорытынды жасаймыз: түбірлердің қосындысы 6, түбірлердің көбейтіндісі 8; Айтпақшы, түбірлердің неге тең екенін болжау қиын емес: 4 және 2.
Вьета теоремасын дәлелдеу. ax 2 + bx + c \u003d 0 квадрат теңдеуінің x 1 және x 2 түбірлері формулалар арқылы табылады.

Мұндағы D \u003d b 2 - 4ac теңдеудің дискриминанты. Бұл тамырларды төсеу
Біз алып жатырмыз

Енді x 1 және x 2 түбірлерінің көбейтіндісін есептейміз

Екінші қатынас дәлелденді:
Түсініктеме. Виет теоремасы квадрат теңдеудің бір түбірі болған жағдайда да жарамды (яғни, D \u003d 0 болғанда), бұл жағдайда теңдеудің жоғарыда көрсетілген қатынастар қолданылатын екі бірдей түбірі бар деп есептеледі. .
Келтірілген x 2 + px + q \u003d 0 квадрат теңдеуінің дәлелденген қатынастары өте қарапайым пішінді алады. Бұл жағдайда мынаны аламыз:

x 1 \u003d x 2 \u003d -p, x 1 x 2 \u003d q
анау. берілген квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы қарама-қарсы таңбамен алынған екінші коэффициентке тең, ал түбірлердің көбейтіндісі бос мүшеге тең.
Виета теоремасын пайдалана отырып, квадрат теңдеудің түбірлері мен коэффициенттері арасындағы басқа да қатынастарды алуға болады. Мысалы, x 1 және x 2 келтірілген x 2 + px + q = 0 квадрат теңдеудің түбірі болсын. Сонда

Алайда Виет теоремасының негізгі мақсаты оның квадрат теңдеудің түбірлері мен коэффициенттері арасындағы белгілі бір байланыстарды өрнектеуінде емес. Виетаның теоремасының көмегімен квадрат үшмүшені көбейткіштерге бөлу формуласы шығарылғаны әлдеқайда маңызды, онсыз біз болашақта жасай алмаймыз.

Дәлелдеу. Бізде бар

1-мысал. 3x 2 - 10x + 3 үшмүшелігін көбейткіштерге бөліңіз.
Шешім. Zx 2 - 10x + 3 \u003d 0 теңдеуін шешіп, Zx 2 - 10x + 3 шаршы үшмүшесінің түбірлерін табамыз: x 1 \u003d 3, x2 \u003d.
2-теореманы пайдаланып, аламыз

Zx - 1 деп жазудың орнына мағынасы бар. Содан кейін біз Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1) аламыз.
Берілген квадрат үшмүшені топтастыру әдісімен 2-теореманы қолданбай-ақ көбейткіштерге бөлуге болатынын ескеріңіз:

Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2 - 9x - x + 3 =
\u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \u003d (x - 3) (Zx - 1).

Бірақ, көріп отырғаныңыздай, бұл әдіспен табыс сәтті топтастыруды таба аламыз ба, жоқ па, соған байланысты, ал бірінші әдіспен табысқа кепілдік беріледі.
1-мысал. Бөлшекті азайту

Шешім. 2x 2 + 5x + 2 = 0 теңдеуінен х 1 = - 2,

x2 - 4x - 12 = 0 теңдеуінен х 1 = 6, х 2 = -2 табамыз. Сондықтан
x 2 - 4x - 12 \u003d (x - 6) (x - (- 2)) \u003d (x - 6) (x + 2).
Енді берілген бөлшекті азайтайық:

3-мысал. Өрнектерді көбейткіштерге бөлу:
а) x4 + 5x 2 +6; б) 2x+-3
Шешімі.а) y = x 2 жаңа айнымалысын енгіземіз. Бұл берілген өрнекті y айнымалысына қатысты квадрат үшмүше түрінде, атап айтқанда y 2 + bу + 6 түрінде қайта жазуға мүмкіндік береді.
y 2 + bу + 6 \u003d 0 теңдеуін шешіп, y 2 + 5y + 6 квадрат үшмүшесінің түбірлерін табамыз: y 1 \u003d - 2, y 2 \u003d -3. Енді біз 2-теореманы қолданамыз; Біз алып жатырмыз

y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
y \u003d x 2, яғни берілген өрнекке оралу керек екенін есте ұстаған жөн. Сонымен,
x 4 + 5x 2 + 6 \u003d (x 2 + 2) (x 2 + 3).
б) Жаңа y = айнымалысын енгізейік. Бұл берілген өрнекті у айнымалысына қатысты квадрат үшмүше түрінде, атап айтқанда 2y 2 + y - 3 түрінде қайта жазуға мүмкіндік береді. Теңдеуді шешкеннен кейін
2y 2 + y - 3 \u003d 0, 2y 2 + y - 3 квадрат үшмүшесінің түбірлерін табамыз:
y 1 = 1, y 2 =. Әрі қарай, 2-теореманы пайдалана отырып, біз мынаны аламыз:

y \u003d, яғни берілген өрнекке оралу керектігін есте сақтау керек. Сонымен,

Бөлім қайтадан Вьета теоремасымен, дәлірек айтсақ, керісінше бекітумен байланысты кейбір пікірлермен аяқталады:
егер x 1, x 2 сандары x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q болатындай болса, онда бұл сандар теңдеудің түбірі болады
Бұл мәлімдемені пайдалана отырып, көптеген квадрат теңдеулерді күрделі түбір формулаларын қолданбай ауызша шешуге, сондай-ақ берілген түбірлері бар квадрат теңдеулерді құруға болады. Мысалдар келтірейік.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. Мұнда x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. х 1 = 8, x 2 = 3 екенін болжау оңай.

2) x 2 + 11x + 30 = 0. Мұнда x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. x 1 = -5, x 2 = -6 деп болжау оңай.
Назар аударыңыз: егер теңдеудің бос мүшесі оң сан болса, онда екі түбір де оң немесе теріс болады; бұл тамырларды таңдағанда ескеру маңызды.

3) x 2 + x - 12 = 0. Мұнда x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. x 1 \u003d 3, x2 \u003d -4 екенін болжау оңай.
Назар аударыңыз: егер теңдеудің бос мүшесі теріс сан болса, онда түбірлер таңбалары бойынша әр түрлі болады; бұл тамырларды таңдағанда ескеру маңызды.

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. x = 1 теңдеуді қанағаттандыратынын оңай байқауға болады, яғни. x 1 \u003d 1 - теңдеудің түбірі. x 1 x 2 \u003d - және x 1 \u003d 1 болғандықтан, біз x 2 \u003d - аламыз.

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Мұнда x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. 2830 = 283 екеніне назар аударсаңыз. 10, және 293 \u003d 283 + 10, содан кейін x 1 \u003d 283, x 2 \u003d 10 екені белгілі болады (енді осы квадрат теңдеуді стандартты формулалар арқылы шешу үшін қандай есептеулер қажет болатынын елестетіп көріңіз).

6) x 1 \u003d 8, x 2 \u003d - 4 сандары оның түбірлері болатындай квадрат теңдеуді құрастырайық.Әдетте мұндай жағдайларда олар x 2 + px + q \u003d 0 келтірілген квадрат теңдеуді құрайды.
Бізде x 1 + x 2 \u003d -p, сондықтан 8 - 4 \u003d -p, яғни p \u003d -4. Әрі қарай, x 1 x 2 = q, яғни. 8"(-4) = q, осыдан q = -32 аламыз. Сонымен, p \u003d -4, q \u003d -32, бұл қажетті квадрат теңдеудің x 2 -4x-32 \u003d 0 түріне ие екенін білдіреді.