Арифметикалық прогрессияның қосындысын анықтау формуласы. Арифметикалық прогрессияның қосындысы. Арифметикалық және геометриялық прогрессияның байланысы

Назар аударыңыз!
Қосымша бар
555 арнайы бөлімдегі материал.
Қатты «өте емес...» дегендер үшін
Ал «өте...» дегендерге)

Арифметикалық прогрессия - әрбір сан алдыңғы саннан бірдей мөлшерде үлкен (немесе аз) болатын сандар қатары.

Бұл тақырып жиі қиын және түсініксіз. Әріптік индекстер, прогрессияның n-ші мүшесі, прогрессияның айырмашылығы - мұның бәрі қандай да бір түсініксіз, иә... Арифметикалық прогрессияның мағынасын анықтайық, сонда бәрі бірден орындалады.)

Арифметикалық прогрессия туралы түсінік.

Арифметикалық прогрессия өте қарапайым және түсінікті ұғым. Күмән? Бекер.) Өзіңіз қараңыз.

Мен аяқталмаған сандар қатарын жазамын:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Сіз бұл сызықты ұзарта аласыз ба? Келесі бестен кейін қандай сандар шығады? Барлығы... у..., қысқасы, барлығы 6, 7, 8, 9, т.б. сандардың әрі қарай жүретінін анықтайтын болады.

Тапсырманы күрделендірейік. Мен аяқталмаған сандар қатарын беремін:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Үлгіні ұстауға, серияны кеңейтуге және атауға болады жетіншіқатар нөмірі?

Егер сіз бұл санның 20 екенін білсеңіз - мен сізді құттықтаймын! Сіз сезініп қана қойған жоқсыз Арифметикалық прогрессияның негізгі нүктелері,сонымен қатар оларды бизнесте сәтті қолданды! Түсінбесеңіз, оқыңыз.

Енді негізгі ойларды сезімдерден математикаға аударайық.)

Бірінші негізгі нүкте.

Арифметикалық прогрессия сандар қатарын қарастырады.Бұл алдымен шатастырады. Біз теңдеулерді шешуге, графиктер құруға және осының бәріне үйреніп қалдық ... Содан кейін қатарды кеңейтіп, қатардың нөмірін табыңыз ...

Бәрі жақсы. Прогрессиялар математиканың жаңа саласымен алғашқы танысу болып табылады. Бөлім «Қатар» деп аталады және сандар және өрнектер қатарымен жұмыс істейді. Оған үйреніңіз.)

Екінші негізгі нүкте.

Арифметикалық прогрессияда кез келген сан алдыңғы саннан ерекшеленеді бірдей мөлшерде.

Бірінші мысалда бұл айырмашылық біреу. Қандай санды алсаңыз да, алдыңғы саннан бір артық. Екіншісінде - үшеу. Кез келген сан алдыңғы саннан үш есе артық. Шын мәнінде, дәл осы сәт бізге үлгіні ұстап, кейінгі сандарды есептеуге мүмкіндік береді.

Үшінші негізгі нүкте.

Бұл сәт таң қалдырмайды, иә ... Бірақ өте, өте маңызды. Мінеки: әрбір прогрессия саны өз орнында.Бірінші сан бар, жетінші бар, қырық бесінші бар, т.б. Егер сіз оларды кездейсоқ шатастырсаңыз, үлгі жоғалады. Арифметикалық прогрессия да жоғалады. Бұл жай ғана сандар қатары.

Мәселе осында.

Әрине, жаңа тақырыпта жаңа терминдер мен белгілер пайда болады. Олар білуі керек. Әйтпесе, сіз тапсырманы түсінбейсіз. Мысалы, сіз келесідей нәрсені шешуіңіз керек:

Арифметикалық прогрессияның (a n) алғашқы алты мүшесін жазыңыз, егер a 2 = 5, d = -2,5.

Бұл шабыттандырады ма?) Хаттар, кейбір көрсеткіштер... Ал тапсырма, айтпақшы, оңай болуы мүмкін емес еді. Сізге тек терминдер мен белгілердің мағынасын түсіну керек. Енді осы істі меңгеріп, тапсырмаға қайта ораламыз.

Терминдер мен белгілеулер.

Арифметикалық прогрессияәр сан алдыңғы саннан ерекшеленетін сандар қатары бірдей мөлшерде.

Бұл мән деп аталады . Бұл тұжырымдаманы толығырақ қарастырайық.

Арифметикалық прогрессияның айырмашылығы.

Арифметикалық прогрессияның айырмашылығыкез келген прогрессия санының шамасы болып табылады Көбірекалдыңғы.

Бір маңызды нүкте. Сөзге назар аударыңыз «Көбірек».Математикалық тұрғыдан бұл әрбір прогрессия санының алынғанын білдіреді қосуарифметикалық прогрессияның алдыңғы санға айырмасы.

Есептеу үшін айталық екіншіжолдың нөмірлері, бұл қажет біріншісаны қосудәл осы арифметикалық прогрессияның айырмашылығы. Есептеу үшін бесінші- айырмашылық қажет қосудейін төртіншіжақсы және т.б.

Арифметикалық прогрессияның айырмашылығымүмкін оңонда серияның әрбір саны нақты болып шығады алдыңғысынан көп.Бұл прогрессия деп аталады ұлғайту.Мысалға:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Мұнда әрбір сан бар қосуоң сан, алдыңғыға +5.

Айырмашылық болуы мүмкін теріссодан кейін қатардағы әрбір сан болады алдыңғысынан аз.Бұл прогресс деп аталады (сіз сенбейсіз!) төмендеу.

Мысалға:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Мұнда да әрбір нөмір алынады қосуалдыңғы, бірақ қазірдің өзінде теріс санға, -5.

Айтпақшы, прогрессиямен жұмыс істегенде, оның табиғатын бірден анықтау өте пайдалы - ол өсуде немесе кемуде. Бұл шешім қабылдауда өз ұстанымдарыңызды табуға, қателіктеріңізді анықтауға және оларды кеш болмай тұрып түзетуге көп көмектеседі.

Арифметикалық прогрессияның айырмашылығыәдетте әріппен белгіленеді г.

Қалай табуға болады г? Өте оңай. Қатарлардың кез келген санынан шегеру керек алдыңғысаны. Алу. Айтпақшы, алудың нәтижесі «айырма» деп аталады.)

Мысалы, анықтайық гарифметикалық прогрессия үшін:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Біз жолдың кез келген санын аламыз, мысалы, 11. Одан шегереміз алдыңғы сананау. сегіз:

Бұл дұрыс жауап. Бұл арифметикалық прогрессия үшін айырмашылық үшке тең.

Сіз жай ғана аласыз прогрессияның кез келген саны,өйткені белгілі бір прогресс үшін d-әрқашан бірдей.Кем дегенде бір жерде қатардың басында, кем дегенде ортасында, кем дегенде кез келген жерде. Сіз тек бірінші нөмірді ала алмайсыз. Тек бірінші сан болғандықтан бұрынғы жоқ.)

Айтпақшы, соны білу d=3, бұл прогрессияның жетінші санын табу өте оңай. Бесінші санға 3 қосамыз – алтыншыны аламыз, ол 17 болады. Алтыншы санға үшті қосамыз, жетінші санды аламыз – жиырма.

анықтайық гкемімелі арифметикалық прогрессия үшін:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Белгілеріне қарамастан анықтау керек екенін еске саламын гкез келген нөмірден қажет алдыңғысын алып тастаңыз.Біз прогрессияның кез келген санын таңдаймыз, мысалы -7. Оның бұрынғы саны -2. Содан кейін:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Арифметикалық прогрессияның айырымы кез келген сан болуы мүмкін: бүтін, бөлшек, иррационал, кез келген.

Басқа терминдер мен белгілер.

Қатардағы әрбір сан шақырылады арифметикалық прогрессияның мүшесі.

Прогрессияның әрбір мүшесі оның нөмірі бар.Сандар қатаң тәртіпте, ешқандай айласыз. Бірінші, екінші, үшінші, төртінші, т.б. Мысалы, прогрессияда 2, 5, 8, 11, 14, ... екі - бірінші мүше, бес - екінші, он бір - төртінші, жақсы, түсіндің ...) Нақты түсініңіз - сандардың өзіабсолютті кез келген, бүтін, бөлшек, болымсыз, кез келген, бірақ болуы мүмкін нөмірлеу- қатаң тәртіпте!

Прогрессияны жалпы түрде қалай жазуға болады? Проблема жоқ! Қатардағы әрбір сан әріп түрінде жазылады. Арифметикалық прогрессияны белгілеу үшін, әдетте, әріп қолданылады а. Мүше нөмірі төменгі оң жақтағы индекспен көрсетіледі. Мүшелер үтірмен (немесе нүктелі үтірмен) былай жазылады:

а 1 , а 2 , а 3 , а 4 , а 5 , .....

а 1бірінші сан болып табылады а 3- үшінші және т.б. Күрделі ештеңе жоқ. Сіз бұл серияны келесідей қысқаша жаза аласыз: (а н).

Прогрессиялар бар шекті және шексіз.

түпкіліктіпрогрессияның шектеулі мүшелері бар. Бес, отыз сегіз, бәрібір. Бірақ бұл шекті сан.

Шексізпрогрессия - сіз болжағандай мүшелердің шексіз саны бар.)

Соңғы прогрессті келесідей серия арқылы жаза аласыз, барлық мүшелер және соңында нүкте:

а 1, а 2, а 3, а 4, а 5.

Немесе көптеген мүшелер болса:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

Қысқа жазбада сіз мүшелер санын қосымша көрсетуіңіз керек. Мысалы (жиырма мүше үшін) келесідей:

(a n), n = 20

Шексіз прогрессияны осы сабақтағы мысалдардағыдай жолдың соңындағы эллипс арқылы тануға болады.

Енді сіз тапсырмаларды шеше аласыз. Тапсырмалар қарапайым, тек арифметикалық прогрессияның мағынасын түсінуге арналған.

Арифметикалық прогрессияға арналған тапсырмалардың мысалдары.

Жоғарыдағы тапсырманы толығырақ қарастырайық:

1. Арифметикалық прогрессияның (a n) алғашқы алты мүшесін жазыңыз, егер a 2 = 5, d = -2,5.

Тапсырманы түсінікті тілге аударамыз. Шексіз арифметикалық прогрессия берілген. Бұл прогрессияның екінші саны белгілі: a 2 = 5.Белгілі прогрессияның айырмашылығы: d = -2,5.Бұл прогрессияның бірінші, үшінші, төртінші, бесінші және алтыншы мүшелерін табуымыз керек.

Түсінікті болу үшін мен есептің шартына сәйкес серияларды жазамын. Алғашқы алты мүше, екінші мүше бес:

а 1 , 5 , а 3 , а 4 , а 5 , а 6 ,....

а 3 = а 2 + г

Өрнекте ауыстырамыз a 2 = 5және d=-2,5. Минусты ұмытпаңыз!

а 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Үшінші термин екіншіден аз. Барлығы логикалық. Егер сан алдыңғы саннан көп болса терісмәні, сондықтан санның өзі алдыңғысынан аз болады. Прогрессия азайып келеді. Жарайды, ескерейік.) Біздің қатарымыздың төртінші мүшесін қарастырамыз:

а 4 = а 3 + г

а 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

а 5 = а 4 + г

а 5=0+(-2,5)= - 2,5

а 6 = а 5 + г

а 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Сонымен, үшіншіден алтыншыға дейінгі мерзімдер есептелді. Нәтижесінде келесі сериялар пайда болды:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Бірінші мүшені табу қалды а 1белгілі екінші бойынша. Бұл басқа бағытта, солға қарай қадам.) Демек, арифметикалық прогрессияның айырмашылығы гқосуға болмайды а 2, а ала кету:

а 1 = а 2 - г

а 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Мұның бәрі бар. Тапсырмаға жауап:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Бұл тапсырманы шешкенімізді айта кетейін қайталанатынжол. Бұл қорқынышты сөз тек прогрессияның мүшесін іздеуді білдіреді алдыңғы (көрші) сан бойынша.Прогрессиямен жұмыс істеудің басқа жолдары кейінірек талқыланады.

Осы қарапайым тапсырмадан бір маңызды қорытынды жасауға болады.

Есіңізде болсын:

Егер біз арифметикалық прогрессияның кем дегенде бір мүшесін және айырмасын білсек, бұл прогрессияның кез келген мүшесін таба аламыз.

Есіңізде ме? Бұл қарапайым қорытынды осы тақырып бойынша мектеп курсының көптеген мәселелерін шешуге мүмкіндік береді. Барлық тапсырмалар үш негізгі параметрдің айналасында айналады: арифметикалық прогрессияның мүшесі, прогрессияның айырымы, прогрессияның мүшесінің саны.Барлығы.

Әрине, барлық алдыңғы алгебра жойылмайды.) Прогрессияға теңсіздіктер, теңдеулер және т.б. Бірақ прогрессияға сәйкес- барлығы үш параметрдің айналасында айналады.

Мысалы, осы тақырып бойынша кейбір танымал тапсырмаларды қарастырыңыз.

2. n=5, d=0,4 және a 1=3,6 болса, соңғы арифметикалық прогрессияны қатар түрінде жазыңыз.

Мұнда бәрі қарапайым. Барлығы қазірдің өзінде берілген. Арифметикалық прогрессияның мүшелері қалай есептелетінін, санайтынын және жазып алатынын есте сақтау керек. Тапсырма шартындағы сөздерді өткізіп жібермеген жөн: «қорытынды» және « n=5". Бетіңіз көгергенше санамау үшін.) Бұл прогрессияда тек 5 (бес) мүше бар:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4

а 4 = а 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

а 5 = а 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Жауапты жазу қалды:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Тағы бір тапсырма:

3. 7 саны арифметикалық прогрессияның (a n) мүшесі болатынын анықтаңыз, егер a 1 \u003d 4.1; d = 1,2.

Хм... Кім біледі? Бір нәрсені қалай анықтауға болады?

Қалай-қалай... Иә, прогрессияны қатар түрінде жазып, жеті болатынын немесе болмайтынын көріңіз! Біз сенеміз:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5

а 4 = а 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Енді небәрі жетіге келгеніміз анық көрініп тұр сырғып өтті 6,5 пен 7,7 арасында! Жеті саны біздің сандар қатарымызға енген жоқ, демек, жеті берілген прогрессияның мүшесі болмайды.

Жауап: жоқ.

Міне, GIA нақты нұсқасына негізделген тапсырма:

4. Арифметикалық прогрессияның бірнеше қатарынан мүшелері жазылады:

...; он бес; X; 9; 6; ...

Міне, соңы мен басы жоқ серия. Мүше нөмірлері жоқ, айырмашылық жоқ г. Бәрі жақсы. Есепті шешу үшін арифметикалық прогрессияның мағынасын түсіну жеткілікті. Қолымыздан келетінін көрейік, көрейік білуосы жолдан? Негізгі үш параметрдің параметрлері қандай?

Мүше нөмірлері? Мұнда бірде-бір нөмір жоқ.

Бірақ үш сан бар және - назар аударыңыз! - сөз «дәйекті»күйінде. Бұл сандар бос орынсыз, қатаң тәртіпте екенін білдіреді. Бұл қатарда екеуі бар ма? көршібелгілі сандар? Ия бар! Бұлар 9 және 6. Сонымен арифметикалық прогрессияның айырмасын есептей аламыз! Алтыдан алып тастаймыз алдыңғысаны, яғни. тоғыз:

Бос орындар қалды. x үшін алдыңғы сан қандай болады? Он бес. Сонымен x-ті қарапайым қосу арқылы оңай табуға болады. 15-ке арифметикалық прогрессияның айырмасын қосыңыз:

Осымен болды. Жауап: x=12

Келесі мәселелерді өзіміз шешеміз. Ескерту: бұл басқатырғыштар формулаларға арналмаған. Таза арифметикалық прогрессияның мағынасын түсіну үшін.) Біз тек сандар-әріптер қатарын жазып, қарап, ойланамыз.

5. Арифметикалық прогрессияның бірінші оң мүшесін табыңыз, егер a 5 = -3 болса; d = 1.1.

6. 5,5 саны арифметикалық прогрессияның (a n) мүшесі екені белгілі, мұндағы a 1 = 1,6; d = 1,3. Осы мүшенің n санын анықтаңыз.

7. Арифметикалық прогрессияда а 2 = 4 болатыны белгілі; a 5 \u003d 15.1. 3 табыңыз.

8. Арифметикалық прогрессияның бірнеше қатарынан мүшелері жазылады:

...; 15,6; X; 3.4; ...

х әрпімен белгіленген прогрессияның мүшесін табыңыз.

9. Пойыз бірте-бірте жылдамдығын минутына 30 метрге арттыра отырып, станциядан қозғала бастады. Бес минутта пойыздың жылдамдығы қандай болады? Жауабыңызды км/сағ.

10. Арифметикалық прогрессияда а 2 = 5 болатыны белгілі; a 6 = -5. 1-ді табыңыз.

Жауаптар (ретсіз): 7,7; 7,5; 9.5; 9; 0,3; төрт.

Бәрі ойдағыдай болды ма? Керемет! Келесі сабақтарда арифметикалық прогрессияны жоғары деңгейде меңгеруге болады.

Бәрі ойдағыдай болмады ма? Ештеңе етпейді. 555-ші арнайы бөлімде бұл жұмбақтардың барлығы бөлшектелген.) Және, әрине, қарапайым практикалық әдістеме сипатталған, ол мұндай тапсырмалардың шешімін бірден алақандағыдай анық, анық көрсетеді!

Айтпақшы, пойыз туралы басқатырғышта адамдар жиі сүрінетін екі мәселе бар. Біреуі – тек прогрессия бойынша, екіншісі – математика мен физикадағы кез келген тапсырмаларға ортақ. Бұл өлшемдердің бірінен екіншісіне аудармасы. Бұл проблемаларды қалай шешу керек екенін көрсетеді.

Бұл сабақта біз арифметикалық прогрессияның элементар мағынасын және оның негізгі параметрлерін қарастырдық. Бұл осы тақырып бойынша барлық дерлік мәселелерді шешу үшін жеткілікті. қосу гсандарға, қатар жазыңыз, бәрі шешіледі.

Саусақ шешімі осы сабақтағы мысалдардағыдай серияның өте қысқа бөліктері үшін жақсы жұмыс істейді. Егер қатар ұзағырақ болса, есептеулер күрделене түседі. Мысалы, егер сұрақтағы 9 мәселеде болса, ауыстырыңыз «бес минут»үстінде «отыз бес минут»мәселе әлдеқайда қиын болады.)

Сондай-ақ мәні бойынша қарапайым, бірақ есептеулер тұрғысынан мүлдем абсурдтық тапсырмалар бар, мысалы:

Арифметикалық прогрессия (a n) берілген. a 1 =3 және d=1/6 болса, 121-ді табыңыз.

Ал, 1/6-ны көп, көп есе қосамыз?! Өзіңді өлтіру мүмкін бе!?

Сіз жасай аласыз.) Егер сіз осындай тапсырмаларды бір минут ішінде шешуге болатын қарапайым формуланы білмесеңіз. Бұл формула келесі сабақта болады. Және бұл мәселе сонда шешіледі. Бір минуттан кейін.)

Егер сізге бұл сайт ұнаса...

Айтпақшы, менде тағы бірнеше қызықты сайттар бар.)

Мысалдар шешуге жаттығып, өз деңгейіңізді білуге ​​болады. Жедел тексеру арқылы тестілеу. Оқу - қызығушылықпен!)

функциялармен және туындылармен танысуға болады.

Арифметикалық прогрессия есептері ерте заманнан бері бар. Олар пайда болды және шешімді талап етті, өйткені олардың практикалық қажеттілігі болды.

Сонымен, математикалық мазмұны бар Ежелгі Египет папирустарының бірінде – Ринд папирусында (б.з.б. ХІХ ғ.) мынадай тапсырма бар: он өлшем нанды он адамға бөліңіз, егер олардың әрқайсысының айырмашылығы бір болса. өлшемнің сегізінші бөлігі.

Ал ежелгі гректердің математикалық еңбектерінде арифметикалық прогрессияға байланысты талғампаз теоремалар кездеседі. Сонымен, көптеген қызықты есептер құрастырған және Евклидтің «Элементтеріне» он төртінші кітапты қосқан 2 ғасырдағы Александрияның Гипсиктері: «Мүшелерінің саны жұп болатын арифметикалық прогрессияда 2-ші жартының мүшелерінің қосындысы 1-ші мүшелердің қосындысынан шаршы 1/2 мүшеге артық.

a тізбегі белгіленеді. Тізбектің сандары оның мүшелері деп аталады және әдетте осы мүшенің реттік нөмірін көрсететін индекстері бар әріптермен белгіленеді (a1, a2, a3 ... оқыңыз: «a 1st», «a 2nd», «a 3th» және т.б.).

Тізбек шексіз немесе ақырлы болуы мүмкін.

Арифметикалық прогрессия дегеніміз не? Прогрессияның айырмасы болып табылатын алдыңғы мүшесі (n) бірдей d санымен қосу арқылы алынған деп түсініледі.

Егер d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0 болса, мұндай прогрессия өсуде деп саналады.

Арифметикалық прогрессия, егер оның алғашқы мүшелерінің бірнешеуі ғана ескерілсе, оны ақырлы деп атайды. Мүшелер саны өте көп, бұл қазірдің өзінде шексіз прогресс.

Кез келген арифметикалық прогрессия келесі формуламен беріледі:

an =kn+b, ал b және k кейбір сандар.

Қарама-қарсы тұжырым абсолютті дұрыс: егер тізбек ұқсас формуламен берілсе, онда бұл дәл арифметикалық прогрессия, оның қасиеттері бар:

1. Прогрессияның әрбір мүшесі алдыңғы және келесі мүшенің арифметикалық ортасы болып табылады.
2. Керісінше: егер 2-ден бастап әрбір мүше алдыңғы және келесі мүшенің арифметикалық ортасы болса, яғни. егер шарт орындалса, онда берілген тізбек арифметикалық прогрессия болады. Бұл теңдік бір мезгілде прогрессияның белгісі, сондықтан оны әдетте прогрессияның сипатты қасиеті деп атайды.
   Дәл осылай, бұл сипатты көрсететін теорема ақиқат: егер бұл теңдік 2-ден бастап қатар мүшелерінің кез келгені үшін ақиқат болса ғана, тізбек арифметикалық прогрессия болып табылады.

Арифметикалық прогрессияның кез келген төрт санына тән қасиет an + am = ak + al формуласымен өрнектелуі мүмкін, егер n + m = k + l болса (m, n, k - прогрессияның сандары).

Арифметикалық прогрессияда кез келген қажетті (N-ші) мүшені келесі формуланы қолдану арқылы табуға болады:

Мысалы: арифметикалық прогрессияның бірінші мүшесі (a1) берілген және үшке тең, ал айырма (d) төртке тең. Бұл прогрессияның қырық бесінші мүшесін табу керек. a45 = 1+4(45-1)=177

an = ak + d(n - k) формуласы белгілі болған жағдайда арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесін оның кез келген k-ші мүшесі арқылы анықтауға мүмкіндік береді.

Арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қосындысы (соңғы прогрессияның 1-ші n мүшесін ескере отырып) келесі түрде есептеледі:

Sn = (a1+an) n/2.

Егер 1-ші мүше де белгілі болса, онда басқа формула есептеуге ыңғайлы:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

n мүшесі бар арифметикалық прогрессияның қосындысы келесі түрде есептеледі:

Есептеулер үшін формулаларды таңдау тапсырмалардың шарттарына және бастапқы деректерге байланысты.

1,2,3,...,n,... сияқты кез келген сандардың натурал қатары арифметикалық прогрессияның ең қарапайым мысалы болып табылады.

Арифметикалық прогрессиядан басқа, өзіне тән қасиеттері мен белгілері бар геометриялық прогрессия да бар.

И.В.Яковлев | Математика бойынша материалдар | MathUs.ru

Арифметикалық прогрессия

Арифметикалық прогрессия – тізбектің ерекше түрі. Сондықтан арифметикалық (содан кейін геометриялық) прогрессияны анықтамас бұрын, сандар тізбегі туралы маңызды ұғымды қысқаша талқылауымыз керек.

Кіші реттілік

Экранда бірнеше сандар бірінен соң бірі көрсетілетін құрылғыны елестетіп көріңіз. 2 делік; 7; 13; бір; 6; 0; 3; : : : Мұндай сандар жиыны тізбектің мысалы ғана.

Анықтама. Сандық реттілік дегеніміз - әрбір санға бірегей сан берілуі мүмкін сандар жиыны (яғни, бір натурал санмен сәйкестікке қойылады)1. n саны бар санды қатардың n-ші мүшесі деп атайды.

Сонымен, жоғарыдағы мысалда бірінші санда 2 саны бар, ол тізбектің бірінші мүшесі болып табылады, оны a1 арқылы белгілеуге болады; бес санында қатардың бесінші мүшесі болып табылатын 6 саны бар, оны a5 деп белгілеуге болады. Жалпы, тізбектің n-ші мүшесі a (немесе bn , cn , т.б.) арқылы белгіленеді.

Тізбектің n-ші мүшесін қандай да бір формуламен көрсетуге болатын жағдай өте ыңғайлы. Мысалы, an = 2n 3 формуласы реттілікті көрсетеді: 1; бір; 3; 5; 7; : : : an = (1)n формуласы тізбекті анықтайды: 1; бір; бір; бір; : : :

Сандардың әрбір жиыны реттілік емес. Сонымен, сегмент тізбек емес; онда қайта нөмірлену үшін ¾тым көп¿ нөмір бар. Барлық нақты сандардың R жиыны да тізбек емес. Бұл фактілер математикалық талдау барысында дәлелденеді.

Арифметикалық прогрессия: негізгі анықтамалар

Енді арифметикалық прогрессияны анықтауға дайынбыз.

Анықтама. Арифметикалық прогрессия деп әрбір мүшесі (екіншіден бастап) алдыңғы мүшесінің және кейбір тіркелген санның (арифметикалық прогрессияның айырымы деп аталады) қосындысына тең болатын тізбекті айтады.

Мысалы, 2-рет; 5; сегіз; он бір; : : : бірінші мүшесі 2 және айырмасы 3 болатын арифметикалық прогрессия. 7-ші рет; 2; 3; сегіз; : : : бірінші мүшесі 7 және айырмасы 5 болатын арифметикалық прогрессия. 3-тізбек; 3; 3; : : : айырмасы нөлге тең арифметикалық прогрессия.

Эквивалентті анықтама: an тізбегі арифметикалық прогрессия деп аталады, егер an+1 an айырмасы тұрақты мән болса (n-ге тәуелді емес).

Арифметикалық прогрессияның айырмашылығы оң болса өседі, ал теріс болса кемиді деп аталады.

1 Ал мұнда қысқарақ анықтама берілген: реттілік дегеніміз натурал сандар жиынында анықталған функция. Мысалы, нақты сандар тізбегі f функциясы: N! Р.

Әдепкі бойынша тізбектер шексіз болып саналады, яғни сандардың шексіз санын қамтиды. Бірақ ақырғы тізбектерді де қарастыру ешкімді алаңдатпайды; шын мәнінде, кез келген ақырлы сандар жиынын ақырлы тізбек деп атауға болады. Мысалы, соңғы реттілік 1; 2; 3; төрт; 5 бес саннан тұрады.

Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы

Арифметикалық прогрессияның екі санмен толық анықталатынын түсіну оңай: бірінші мүшесі және айырмасы. Сондықтан сұрақ туындайды: бірінші мүшесі мен айырмасын біле отырып, арифметикалық прогрессияның ерікті мүшесін қалай табуға болады?

Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесі үшін қажетті формуланы алу қиын емес. рұқсат етіңіз

айырмасы бар арифметикалық прогрессия d. Бізде бар:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::):
Атап айтқанда, біз жазамыз:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
ал енді a формуласы екені белгілі болды:
an = a1 + (n 1)d:

Тапсырма 1. Арифметикалық прогрессияда 2; 5; сегіз; он бір; : : : n-ші мүшесінің формуласын тауып, жүздік мүшесін есепте.

Шешім. (1) формулаға сәйкес бізде:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Арифметикалық прогрессияның қасиеті және таңбасы

арифметикалық прогрессияның қасиеті. Арифметикалық прогрессияда кез келген үшін

Басқаша айтқанда, арифметикалық прогрессияның әрбір мүшесі (екіншіден бастап) көршілес мүшелердің арифметикалық ортасы болып табылады.

	Дәлелдеу. Бізде бар:
	a n 1 + a n+1		(d) + (an + d)

бұл талап етілді.

Жалпы алғанда, арифметикалық прогрессия a теңдікті қанағаттандырады

a n = a n k + a n+k

кез келген n > 2 және кез келген табиғи k үшін< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

(2) формула тізбектің арифметикалық прогрессия болуы үшін қажетті шарт қана емес, сонымен қатар жеткілікті шарт болып табылады.

Арифметикалық прогрессияның белгісі. Егер (2) теңдігі барлық n > 2 үшін орындалса, онда a тізбегі арифметикалық прогрессия болады.

Дәлелдеу. (2) формуланы келесі түрде қайта жазайық:

a n a n 1 = a n+1 a n:

Бұл an+1 an айырмасы n-ге тәуелді емес екенін көрсетеді және бұл тек an тізбегі арифметикалық прогрессия екенін білдіреді.

Арифметикалық прогрессияның қасиеті мен таңбасы бір мәлімдеме түрінде тұжырымдалады; ыңғайлы болу үшін біз мұны үш сан үшін жасаймыз (бұл мәселеде жиі кездесетін жағдай).

Арифметикалық прогрессияның сипаттамасы. a, b, c үш саны арифметикалық прогрессияны құрайды, егер 2b = a + c болғанда ғана.

Есеп 2. (МГУ, Экономика факультеті, 2007 ж.) Көрсетілген ретпен 8х, 3х2 және 4 үш саны кемімелі арифметикалық прогрессияны құрайды. х тауып, осы прогрессияның айырмасын жаз.

Шешім. Арифметикалық прогрессияның қасиеті бойынша бізде:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x=5:

Егер x = 1 болса, онда 8, 2, 4 кемімелі прогрессия 6 айырмашылығымен алынады. Егер x = 5 болса, онда 40, 22, 4 өсетін прогрессия алынады; бұл іс жұмыс істемейді.

Жауабы: x = 1, айырмасы 6.

Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысы

Аңызда айтылғандай, бірде мұғалім балаларға 1-ден 100-ге дейінгі сандардың қосындысын табуды бұйырды да, газетті тыныш оқуға отырды. Алайда бірнеше минут ішінде бір бала мәселені шешкенін айтты. Бұл кейінірек тарихтағы ең ұлы математиктердің бірі болған 9 жасар Карл Фридрих Гаусс болды.

Кішкентай Гаусстың идеясы осы болды. Болсын

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Осы қосындыны кері ретпен жазайық:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

және осы екі формуланы қосыңыз:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Жақшадағы әрбір мүше 101-ге тең және барлығы 100 осындай мүше бар.Сондықтан

2S = 101 100 = 10100;

Бұл идеяны қосынды формуласын шығару үшін қолданамыз

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

(3) формуланың пайдалы түрлендіруі оған n-ші мүшесінің формуласын an = a1 + (n 1)d ауыстыру арқылы алынады:

		2a1 + (n 1)d

3-тапсырма. 13-ке бөлінетін барлық оң үш таңбалы сандардың қосындысын табыңыз.

Шешім. 13-ке еселік болатын үш таңбалы сандар бірінші мүшесі 104 және айырмасы 13 болатын арифметикалық прогрессияны құрайды; Бұл прогрессияның n-ші мүшесі:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Прогрессиямызда қанша мүше бар екенін білейік. Ол үшін теңсіздікті шешеміз:

6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Осылайша, біздің прогрессімізде 69 мүше бар. (4) формула бойынша біз қажетті мөлшерді табамыз:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Біреу «прогрессия» сөзін жоғары математика бөлімдерінен өте күрделі термин ретінде сақтықпен қарастырады. Сонымен қатар, ең қарапайым арифметикалық прогрессия такси есептегішінің жұмысы болып табылады (олар әлі де қалады). Бірнеше қарапайым ұғымдарды талдай отырып, арифметикалық тізбектің мәнін (және математикада «мәнін түсінуден» маңыздырақ ештеңе жоқ) түсіну соншалықты қиын емес.

Математикалық сандар тізбегі

Сандық тізбекті әрқайсысының өз нөмірі бар сандар тізбегі деп атаған жөн.

және 1 - қатардың бірінші мүшесі;

және 2 - қатардың екінші мүшесі;

және 7 - қатардың жетінші мүшесі;

және n – қатардың n-ші мүшесі;

Дегенмен, бізді кез-келген цифрлар мен сандар қызықтырмайды. Біз назарымызды n-ші мүшенің мәні оның реттік санына математикалық түрде анық тұжырымдауға болатын тәуелділік арқылы қатысты болатын сандық тізбекке аударамыз. Басқаша айтқанда: n-ші санның сандық мәні n-дің кейбір функциясы болып табылады.

a - сандық қатардың мүшесінің мәні;

n – оның сериялық нөмірі;

f(n) – n сандық қатардағы реттік аргумент болатын функция.

Анықтама

Арифметикалық прогрессия әдетте әрбір келесі мүше алдыңғысынан бірдей санға үлкен (кем) болатын сандық тізбек деп аталады. Арифметикалық қатардың n-ші мүшесінің формуласы келесідей:

a n – арифметикалық прогрессияның ағымдағы мүшесінің мәні;

a n+1 – келесі санның формуласы;

d - айырмашылық (белгілі бір сан).

Айырма оң (d>0) болса, онда қарастырылып отырған қатардың әрбір келесі мүшесі алдыңғысынан үлкен болатынын және мұндай арифметикалық прогрессияның өсетінін анықтау оңай.

Төмендегі графикте сандар тізбегі неліктен «өсу» деп аталатынын түсіну оңай.

Айырмашылық теріс болған жағдайларда (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Көрсетілген мүшенің мәні

Кейде арифметикалық прогрессияның кейбір ерікті мүшесі a n мәнін анықтау қажет болады. Мұны біріншіден қажеттіге дейінгі арифметикалық прогрессияның барлық мүшелерінің мәндерін дәйекті есептеу арқылы жасауға болады. Алайда, мысалы, бес мыңыншы немесе сегіз миллионыншы мүшенің мәнін табу қажет болса, бұл жол әрқашан қолайлы бола бермейді. Дәстүрлі есептеу көп уақытты алады. Дегенмен, белгілі бір арифметикалық прогрессияны белгілі формулалар арқылы зерттеуге болады. Сондай-ақ n-ші мүшесінің формуласы бар: арифметикалық прогрессияның кез келген мүшесінің мәнін прогрессияның бірінші мүшесінің қосындысы прогрессияның айырмасы, қажетті мүшенің санына көбейтінді, бір минус ретінде анықтауға болады. .

Формула прогрессияның жоғарылауы және төмендеуі үшін әмбебап болып табылады.

Берілген мүшенің мәнін есептеудің мысалы

Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің мәнін табуға келесі есепті шығарайық.

Шарты: параметрлері бар арифметикалық прогрессия бар:

Тізбектің бірінші мүшесі 3;

Сандар қатарындағы айырмашылық 1,2.

Тапсырма: 214 мүшенің мәнін табу керек

Шешуі: берілген мүшенің мәнін анықтау үшін мына формуланы қолданамыз:

a(n) = a1 + d(n-1)

Мәселе мәлімдемесіндегі деректерді өрнекке ауыстырсақ, бізде:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Жауабы: Тізбектің 214-ші мүшесі 258,6-ға тең.

Бұл есептеу әдісінің артықшылықтары айқын - бүкіл шешім 2 жолдан аспайды.

Берілген терминдер санының қосындысы

Көбінесе берілген арифметикалық қатарда оның кейбір сегменттерінің мәндерінің қосындысын анықтау қажет. Сондай-ақ әр терминнің мәндерін есептеп, содан кейін оларды қорытындылаудың қажеті жоқ. Бұл әдіс қосындысы табылуы тиіс мүшелердің саны аз болған жағдайда қолданылады. Басқа жағдайларда келесі формуланы қолдану ыңғайлырақ.

1-ден n-ге дейінгі арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қосындысы бірінші және n-ші мүшелердің қосындысын n мүше санына көбейтіп, екіге бөлгенге тең. Егер формулада n-ші мүшенің мәні мақаланың алдыңғы абзацындағы өрнекпен ауыстырылса, біз мынаны аламыз:

Есептеу мысалы

Мысалы, келесі шарттармен мәселені шешейік:

Тізбектің бірінші мүшесі нөлге тең;

Айырмашылық 0,5.

Есепте 56-дан 101-ге дейінгі қатар мүшелерінің қосындысын анықтау қажет.

Шешім. Прогрессияның қосындысын анықтау үшін формуланы қолданайық:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Біріншіден, есептің берілген шарттарын формулаға ауыстыру арқылы прогрессияның 101 мүшесінің мәндерінің қосындысын анықтаймыз:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

56-дан 101-ге дейінгі прогрессияның мүшелерінің қосындысын табу үшін S 101-ден S 55-ті алу керек екені анық.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Сонымен, осы мысал үшін арифметикалық прогрессияның қосындысы:

s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742,5 \u003d 1,782,5

Арифметикалық прогрессияның практикалық қолданылуының мысалы

Мақаланың соңында бірінші абзацта келтірілген арифметикалық тізбектің мысалына оралайық - таксиметр (такси вагонының есептегіші). Мұндай мысалды қарастырайық.

Таксиге отыру (оның ішінде 3 км) 50 рубльді құрайды. Әрбір келесі шақырым 22 рубль / км мөлшерінде төленеді. Жол жүру қашықтығы 30 км. Сапардың құнын есептеңіз.

1. Бағасы қону құнына кіретін алғашқы 3 шақырымды тастаймыз.

30 - 3 = 27 км.

2. Әрі қарай есептеу арифметикалық сандар қатарын талдаудан басқа ештеңе емес.

Мүше нөмірі - жүріп өткен километрлер саны (алғашқы үшті алып тастағанда).

Мүшенің мәні қосынды болып табылады.

Бұл мәселедегі бірінші термин 1 = 50 рубльге тең болады.

Прогрессия айырмасы d = 22 б.

бізді қызықтыратын сан - арифметикалық прогрессияның (27 + 1)-ші мүшесінің мәні - 27-ші километрдің соңындағы метр көрсеткіші - 27,999 ... = 28 км.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Күнтізбе деректерінің еркін ұзақ кезеңдегі есептеулері белгілі бір сандық реттіліктерді сипаттайтын формулаларға негізделген. Астрономияда орбитаның ұзындығы геометриялық тұрғыдан аспан денесінің жарық сәулесіне дейінгі қашықтығына тәуелді. Сонымен қатар, әртүрлі сандық қатарлар статистикада және математиканың басқа қолданбалы салаларында сәтті қолданылады.

Сандар тізбегінің тағы бір түрі геометриялық

Геометриялық прогрессия арифметикамен салыстырғанда үлкен өзгеріс жылдамдығымен сипатталады. Саясатта, әлеуметтануда, медицинада көбінесе белгілі бір құбылыстың, мысалы, індет кезіндегі аурудың таралу жылдамдығының жоғары екенін көрсету үшін бұл процестің экспоненциалды түрде дамитынын айтуы кездейсоқ емес.

Геометриялық сандар қатарының N-ші мүшесі алдыңғысынан қандай да бір тұрақты санға көбейтілетіндігімен ерекшеленеді - бөлгіш, мысалы, бірінші мүшесі 1-ге, азайғышы сәйкесінше 2-ге тең, сонда:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n – геометриялық прогрессияның ағымдағы мүшесінің мәні;

b n+1 – геометриялық прогрессияның келесі мүшесінің формуласы;

q – геометриялық прогрессияның (тұрақты сан) бөлгіші.

Егер арифметикалық прогрессияның графигі түзу болса, геометриялық сызба сәл басқаша сурет салады:

Арифметика жағдайындағы сияқты геометриялық прогрессияның ерікті мүшенің мәні үшін формуласы болады. Геометриялық прогрессияның кез келген n-ші мүшесі бірінші мүшесінің көбейтіндісіне және n дәрежесіне азайтылған прогрессияның бөліміне тең:

Мысал. Бізде бірінші мүшесі 3-ке, ал прогрессияның бөлгіші 1,5-ке тең геометриялық прогрессия бар. Прогрессияның 5-ші мүшесін табыңыз

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875 ж.

Берілген мүшелер санының қосындысы да арнайы формула арқылы есептеледі. Геометриялық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысы прогрессияның n-ші мүшесі мен оның бөлгіші мен прогрессияның бірінші мүшесінің көбейтіндісінің бірге азайтылған бөлгішке бөлінгеніне тең:

Егер b n жоғарыда қарастырылған формуланы пайдаланып ауыстырылса, қарастырылатын сандар қатарының бірінші n мүшесінің қосындысының мәні келесідей болады:

Мысал. Геометриялық прогрессия 1-ге тең бірінші мүшесінен басталады. Бөлгіш 3-ке тең қойылды. Алғашқы сегіз мүшесінің қосындысын табайық.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280