Арифметикалық прогрессияны шешуді қалай үйренуге болады. Алгебра: арифметикалық және геометриялық прогрессиялар. Арифметикалық прогрессияның қосындысы

Мысалы, тізбегі \(2\); \(5\); \(сегіз\); \(он бір\); \(14\)… – арифметикалық прогрессия, себебі әрбір келесі элемент алдыңғысынан үшке ерекшеленеді (алдыңғыдан үш қосу арқылы алуға болады):

Бұл прогрессияда \(d\) айырмасы оң болады (\(3\) тең), сондықтан әрбір келесі мүше алдыңғысынан үлкен. Мұндай прогрессиялар деп аталады ұлғайту.

Дегенмен, \(d\) теріс сан да болуы мүмкін. Мысалға, арифметикалық прогрессияда \(16\); \(он\); \(төрт\); \(-2\); \(-8\)… прогрессияның айырмасы \(d\) минус алтыға тең.

Және бұл жағдайда әрбір келесі элемент алдыңғысынан аз болады. Бұл прогрессиялар деп аталады төмендеу.

Арифметикалық прогрессияның жазылуы

Прогрессия шағын латын әрпімен белгіленеді.

Прогрессияны құрайтын сандар деп аталады мүшелері(немесе элементтер).

Олар арифметикалық прогрессиямен бірдей әріппен, бірақ реті бойынша элемент нөміріне тең сандық индекспен белгіленеді.

Мысалы, арифметикалық прогрессия \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) \(a_1=2\) элементтерінен тұрады; \(a_2=5\); \(a_3=8\) және т.б.

Басқаша айтқанда, прогрессия үшін \(a_n = \сол\(2; 5; 8; 11; 14…\оң\)\)

Арифметикалық прогрессияға есептер шығару

Негізінде, жоғарыда аталған ақпарат арифметикалық прогрессия бойынша кез келген дерлік есепті шешу үшін жеткілікті (оның ішінде OGE-де ұсынылғандар).

Мысал (OGE). Арифметикалық прогрессия \(b_1=7; d=4\) шарттарымен берілген. \(b_5\) табыңыз.
Шешімі:

Жауап: \(b_5=23\)

Мысал (OGE). Арифметикалық прогрессияның алғашқы үш мүшесі берілген: \(62; 49; 36...\) Осы прогрессияның бірінші теріс мүшесінің мәнін табыңыз.
Шешімі:

	Бізге тізбектің бірінші элементтері берілген және оның арифметикалық прогрессия екенін білеміз. Яғни, әрбір элемент көрші элементтен бірдей санмен ерекшеленеді. Келесі элементтен алдыңғысын алып тастау арқылы қайсысы екенін табыңыз: \(d=49-62=-13\).
	Енді біз қажетті (бірінші теріс) элементке прогрессімізді қалпына келтіре аламыз.
	Дайын. Жауабын жаза аласыз.

Жауап: \(-3\)

Мысал (OGE). Арифметикалық прогрессияның бірнеше ретті элементтері берілген: \(...5; x; 10; 12,5...\) \(x\) әрпімен белгіленген элементтің мәнін табыңыз.
Шешімі:

	\(x\) табу үшін келесі элементтің алдыңғысынан қаншалықты ерекшеленетінін, басқаша айтқанда прогрессияның айырмашылығын білу керек. Оны екі белгілі көрші элементтерден табайық: \(d=12,5-10=2,5\).
	Ал енді іздегенімізді еш қиындықсыз табамыз: \(x=5+2,5=7,5\).
	Дайын. Жауабын жаза аласыз.

Жауап: \(7,5\).

Мысал (OGE). Арифметикалық прогрессия келесі шарттармен беріледі: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Осы прогрессияның алғашқы алты мүшесінің қосындысын табыңыз.
Шешімі:

Прогрессияның алғашқы алты мүшесінің қосындысын табуымыз керек. Бірақ біз олардың мағыналарын білмейміз, бізге тек бірінші элемент беріледі. Сондықтан біз алдымен берілген мәндерді пайдалана отырып, өз кезегінде мәндерді есептейміз: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Ал бізге қажет алты элементті есептеп, олардың қосындысын табамыз.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Сұралған сома табылды.

Жауап: \(S_6=9\).

Мысал (OGE). Арифметикалық прогрессияда \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Осы прогрессияның айырмашылығын табыңыз.
Шешімі:

Жауап: \(d=7\).

Маңызды арифметикалық прогресс формулалары

Көріп отырғаныңыздай, арифметикалық прогрессияның көптеген мәселелерін негізгі нәрсені түсіну арқылы шешуге болады - арифметикалық прогрессия сандар тізбегі және осы тізбектің әрбір келесі элементі алдыңғыға бірдей санды қосу арқылы алынады (айырмашылық). прогрессияның).

Дегенмен, кейде «маңдайда» шешуге өте ыңғайсыз жағдайлар бар. Мысалы, ең бірінші мысалда бесінші элементті \(b_5\) емес, үш жүз сексен алтыншы \(b_(386)\) табу керек деп елестетіңіз. Бұл не, біз \ (385 \) есе төрт қосу керек пе? Немесе соңғы мысалда бірінші жетпіс үш элементтің қосындысын табу керек деп елестетіңіз. Санау шатастырады...

Сондықтан мұндай жағдайларда олар «маңдайда» шешпейді, бірақ арифметикалық прогрессия үшін алынған арнайы формулаларды пайдаланады. Ал негізгілері прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы және бірінші мүшелерінің \(n\) қосындысының формуласы.

\(n\)-ші мүшенің формуласы: \(a_n=a_1+(n-1)d\), мұндағы \(a_1\) прогрессияның бірінші мүшесі;
\(n\) – қажетті элементтің саны;
\(a_n\) - \(n\) саны бар прогрессияның мүшесі.

Бұл формула бірінші мен прогрессияның айырмашылығын біле отырып, кем дегенде үш жүздік, тіпті миллионыншы элементті жылдам табуға мүмкіндік береді.

Мысал. Арифметикалық прогрессия мына шарттармен беріледі: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). \(b_(246)\) табыңыз.
Шешімі:

Жауап: \(b_(246)=1850\).

Бірінші n мүшесінің қосындысының формуласы: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), мұндағы

\(a_n\) - соңғы қосынды мүшесі;

Мысал (OGE). Арифметикалық прогрессия \(a_n=3,4n-0,6\) шарттарымен берілген. Осы прогрессияның бірінші \(25\) мүшелерінің қосындысын табыңыз.
Шешімі:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Алғашқы жиырма бес элементтің қосындысын есептеу үшін бірінші және жиырма бесінші мүшенің мәнін білуіміз керек. Біздің прогрессиямыз оның санына байланысты n-ші мүшесінің формуласымен беріледі (толығырақ қараңыз). Бірінші элементті \(n\) орнына бір элементпен есептейік.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Енді \(n\) орнына жиырма бесті қойып, жиырма бесінші мүшесін табайық.
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Енді біз қажетті соманы еш қиындықсыз есептейміз.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Жауабы дайын.

Жауап: \(S_(25)=1090\).

Бірінші мүшелердің \(n\) қосындысы үшін басқа формуланы алуға болады: тек \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\) орнына оның формуласын \(a_n=a_1+(n-1)d\) ауыстырыңыз. Біз алып жатырмыз:

Бірінші n мүшесінің қосындысының формуласы: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), мұндағы

\(S_n\) – бірінші элементтердің қажетті қосындысы \(n\);
\(a_1\) - қосылатын бірінші мүше;
\(d\) – прогрессияның айырмашылығы;
\(n\) - қосындыдағы элементтер саны.

Мысал. Арифметикалық прогрессияның бірінші \(33\)-ex мүшелерінің қосындысын табыңыз: \(17\); \(15,5\); \(он төрт\)…
Шешімі:

Жауап: \(S_(33)=-231\).

Күрделі арифметикалық прогрессия есептері

Енді сізде кез келген дерлік арифметикалық прогрессия мәселесін шешуге қажетті барлық ақпарат бар. Формулаларды қолданып қана қоймай, аздап ойлану қажет болатын есептерді қарастыру арқылы тақырыпты аяқтаймыз (математикада бұл пайдалы болуы мүмкін ☺)

Мысал (OGE). Прогрессияның барлық теріс мүшелерінің қосындысын табыңыз: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Шешімі:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Тапсырма алдыңғы тапсырмаға өте ұқсас. Біз де осылай шеше бастаймыз: алдымен \(d\) табамыз.
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Енді біз \(d\) қосындысының формуласына ауыстырар едік ... және мұнда кішкене нюанс пайда болады - біз \(n\) білмейміз. Басқаша айтқанда, қанша термин қосу керек екенін білмейміз. Қалай білуге ​​болады? Ойланайық. Бірінші оң элементке жеткенде элементтерді қосуды тоқтатамыз. Яғни, бұл элементтің нөмірін білу керек. Қалай? Арифметикалық прогрессияның кез келген элементін есептеу формуласын жазайық: біздің жағдайымыз үшін \(a_n=a_1+(n-1)d\).
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Бізге \(a_n\) нөлден үлкен болуы керек. Бұл не \(n\) болатынын білейік.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Теңсіздіктің екі жағын да \(0,3\) бөлеміз.
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Біз белгілерді өзгертуді ұмытпай, бір минус жібереміз
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Есептеу...
\(n>65,333…\)		…және бірінші оң элементте \(66\) саны болатыны белгілі болды. Сәйкесінше, соңғы теріс мәнде \(n=65\) бар. Мүмкін болса, оны тексеріп көрейік.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Осылайша, бірінші \(65\) элементтерді қосуымыз керек.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Жауабы дайын.

Жауап: \(S_(65)=-630,5\).

Мысал (OGE). Арифметикалық прогрессия мына шарттармен беріледі: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)-ші элементтен \(42\) элементке дейінгі қосындыны табыңыз.
Шешімі:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Бұл есепте де элементтердің қосындысын табу керек, бірақ біріншіден емес, \(26\)-дан бастап. Бізде бұл үшін формула жоқ. Қалай шешуге болады? Оңай – \(26\)-дан \(42\)-ға дейінгі қосынды алу үшін алдымен \(1\)-ден \(42\)-ға дейінгі қосындыны табу керек, содан кейін одан қосындыны алу керек. біріншіден \ (25 \) дейін (суретті қараңыз).
	Прогрессиямыз үшін \(a_1=-33\) және айырма \(d=4\) үшін (ақыр соңында келесі элементті табу үшін алдыңғы элементке төрт қосамыз). Осыны біле отырып, бірінші \(42\)-uh элементтерінің қосындысын табамыз.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Енді бірінші \(25\)-ші элементтердің қосындысы.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Соңында біз жауапты есептейміз.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Жауап: \(S=1683\).

Арифметикалық прогрессия үшін практикалық пайдалылығы төмен болғандықтан осы мақалада қарастырмаған тағы бірнеше формулалар бар. Дегенмен, сіз оларды оңай таба аласыз.

Сандық реттілік ұғымы әрбір натурал санның қандай да бір нақты мәнге сәйкес келетінін білдіреді. Мұндай сандар қатары ерікті және белгілі бір қасиеттерге ие болуы мүмкін - прогрессия. Соңғы жағдайда тізбектің әрбір келесі элементін (мүшесін) алдыңғысының көмегімен есептеуге болады.

Арифметикалық прогрессия – оның көрші мүшелері бір-бірінен бірдей санмен ерекшеленетін сандық мәндер тізбегі (қатардың 2-шіден бастап барлық элементтері ұқсас қасиетке ие). Бұл сан – алдыңғы және кейінгі мүшенің айырмасы – тұрақты және прогрессияның айырымы деп аталады.

Прогрессияның айырмашылығы: Анықтамасы

j мәндерінен тұратын тізбекті қарастырайық A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j N натурал сандар жиынына жатады. Арифметикалық прогрессия, оның анықтамасы бойынша a(3) - a(2) = a(4) - a(3) = a(5) - a(4) = ... = a(j) - тізбегі болып табылады. a(j-1) = d. d мәні - бұл прогрессияның қажетті айырмасы.

d = a(j) - a(j-1).

Бөлу:

• Өсіп келе жатқан прогрессия, бұл жағдайда d > 0. Мысалы: 4, 8, 12, 16, 20, …
• прогрессияның төмендеуі, содан кейін d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Прогрессияның айырмашылығы және оның ерікті элементтері

Прогрессияның 2 ерікті мүшесі (i-ші, k-ші) белгілі болса, онда бұл тізбек үшін айырмашылықты мына қатынас негізінде орнатуға болады:

a(i) = a(k) + (i - k)*d, сондықтан d = (a(i) - a(k))/(i-k).

Прогрессия айырмашылығы және оның бірінші мүшесі

Бұл өрнек реттілік элементінің саны белгілі болған жағдайда ғана белгісіз мәнді анықтауға көмектеседі.

Прогрессия айырмасы және оның қосындысы

Прогрессияның қосындысы оның мүшелерінің қосындысы болып табылады. Оның бірінші j элементтерінің жалпы мәнін есептеу үшін сәйкес формуланы пайдаланыңыз:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, бірақ бері a(j) = a(1) + d(j – 1), онда S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(() 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Кескіндеме мен поэзия сияқты математиканың да өзіндік сұлулығы бар.

Орыс ғалымы, механик Н.Е. Жуковский

Математикадан қабылдау сынақтарында өте жиі кездесетін тапсырмалар арифметикалық прогрессия ұғымына байланысты тапсырмалар болып табылады. Мұндай есептерді сәтті шешу үшін арифметикалық прогрессияның қасиеттерін жақсы білу және оларды қолдануда белгілі бір дағдыларды меңгеру қажет.

Алдымен арифметикалық прогрессияның негізгі қасиеттерін еске түсіріп, ең маңызды формулаларын көрсетейік, осы тұжырымдамамен байланысты.

Анықтама. Сандық реттілік, онда әрбір келесі термин алдыңғысынан бірдей санмен ерекшеленеді, арифметикалық прогрессия деп аталады. Сонымен қатар, нөмірпрогрессияның айырмасы деп аталады.

Арифметикалық прогрессия үшін формулалар жарамды

, (1)

қайда. Формула (1) арифметикалық прогрессияның ортақ мүшесінің формуласы деп аталады, ал (2) формула арифметикалық прогрессияның негізгі қасиеті болып табылады: прогрессияның әрбір мүшесі көршілес мүшелерінің арифметикалық ортасымен сәйкес келеді және .

Қарастырылып отырған прогрессияның дәл осы қасиетіне байланысты «арифметикалық» деп аталатынына назар аударыңыз.

Жоғарыдағы (1) және (2) формулалар төмендегідей жинақталған:

(3)

Қосындыны есептеу үшінбірінші арифметикалық прогрессияның мүшелеріформуласы әдетте қолданылады

(5) қайда және .

Егер формуланы ескерсек (1), онда (5) формула білдіреді

белгілесек

қайда. Өйткені, онда (7) және (8) формулалар сәйкес (5) және (6) формулалардың жалпылауы болып табылады.

Сондай-ақ , (5) формуладан шығады, не

Студенттердің көпшілігіне аз белгілісі – келесі теорема арқылы тұжырымдалған арифметикалық прогрессияның қасиеті.

Теорема.Егер болса, онда

Дәлелдеу.Егер болса, онда

Теорема дәлелденді.

Мысалға , теореманы қолдану, оны көрсетуге болады

«Арифметикалық прогрессия» тақырыбы бойынша есептер шығарудың типтік мысалдарын қарастыруға көшейік.

1-мысалрұқсат етіңіз және . Табыңыз.

Шешім.(6) формуланы қолданып, аламыз. бері және , содан кейін немесе .

2-мысалҮш есе көп болсын, ал бөліндіге бөлгенде 2 шығады, ал қалғаны 8 болады. және анықтаңыз.

Шешім.Теңдеулер жүйесі мысалдың шартынан шығады

болғандықтан, , және , онда (10) теңдеулер жүйесінен аламыз

Бұл теңдеулер жүйесінің шешімі және.

3-мысалЕгер және .

Шешім.(5) формулаға сәйкес бізде немесе. Дегенмен, (9) сипатты пайдалана отырып, біз аламыз.

бастап және , содан кейін теңдігінен теңдеу келесідейнемесе .

4-мысалЕгер табыңыз.

Шешім.(5) формула бойынша бізде бар

Дегенмен, теореманы пайдаланып, жазуға болады

Осы жерден және (11) формуладан аламыз.

5-мысал. Берілген: . Табыңыз.

Шешім.Сол уақыттан бері . Алайда, сондықтан.

6-мысалболсын , және . Табыңыз.

Шешім.(9) формуланы қолданып, аламыз. Демек, егер болса, онда немесе.

Содан бері және онда бізде теңдеулер жүйесі бар

Қайсысын шешсек, және .

Теңдеудің табиғи түбіріболып табылады.

7-мысалЕгер және .

Шешім.(3) формула бойынша бізде бұл болғандықтан, есеп шартынан теңдеулер жүйесі шығады

Егер өрнекті ауыстырсақжүйенің екінші теңдеуіне, онда біз немесе аламыз.

Квадрат теңдеудің түбірлеріжәне .

Екі жағдайды қарастырайық.

1. Онда болсын. Содан бері және, содан кейін.

Бұл жағдайда (6) формулаға сәйкес бізде

2. Егер , онда , және

Жауап: және.

8-мысалБұл белгілі және Табыңыз.

Шешім.(5) формуланы және мысалдың шартын ескере отырып, және жазамыз.

Бұл теңдеулер жүйесін білдіреді

Егер жүйенің бірінші теңдеуін 2-ге көбейтіп, екінші теңдеуге қоссақ, мынаны аламыз

(9) формулаға сәйкес бізде бар. Осыған байланысты (12) тармақтан келесідей боладынемесе .

Содан бері және, содан кейін.

Жауап: .

9-мысалЕгер және .

Шешім.бері , және шарты бойынша , содан кейін немесе .

(5) формуладан белгілі, не . Сол уақыттан бері .

Демек, мұнда сызықтық теңдеулер жүйесі бар

Осыдан біз аламыз және . (8) формуланы ескере отырып, жазамыз.

10-мысалТеңдеуді шеш.

Шешім.Берілген теңдеуден шығатыны. , , және деп есептейік. Мұндай жағдайда .

(1) формулаға сәйкес немесе жаза аламыз.

(13) теңдеудің бірегей сәйкес түбірі бар болғандықтан.

11-мысал.және болған жағдайда ең үлкен мәнді табыңыз.

Шешім.болғандықтан, онда қарастырылатын арифметикалық прогрессия кемиді. Осыған байланысты өрнек прогрессияның минималды оң мүшесінің саны болғанда максималды мән қабылдайды.

Біз формуланы (1) және фактіні қолданамыз, қайсысы және . Сонда біз оны аламыз немесе .

Өйткені , содан кейін немесе . Дегенмен, бұл теңсіздіктеең үлкен натурал сан, сондықтан .

Егер және мәндері (6) формулаға ауыстырылса, онда біз аламыз.

Жауап: .

12-мысал. 6-ға бөлгенде 5 қалдығы болатын барлық екі таңбалы натурал сандардың қосындысын табыңыз.

Шешім.Барлық екі мәнді натурал сандар жиынымен белгілеңіз, яғни. . Әрі қарай, 6 санына бөлгенде 5 қалдығын беретін жиынның элементтерінен (сандарынан) тұратын ішкі жиынды саламыз.

Орнату оңай, не . Әлбетте, бұл жиынның элементтеріарифметикалық прогрессияны құрайды, онда және .

Жиынның түбегейлілігін (элементтерінің санын) анықтау үшін, деп есептейміз. және болғандықтан, онда (1) формула немесе дегенді білдіреді. (5) формуланы ескере отырып, аламыз.

Есептерді шешудің жоғарыда келтірілген мысалдары ешбір жағдайда толық деп айта алмайды. Бұл мақала берілген тақырып бойынша типтік есептерді шешудің заманауи әдістерін талдау негізінде жазылған. Арифметикалық прогрессияға байланысты есептерді шешу әдістерін тереңірек зерттеу үшін ұсынылған әдебиеттер тізіміне жүгінген жөн.

1. Техникалық жоғары оқу орындарына түсушілерге арналған математикадан тапсырмалар жинағы / Ред. М.И. Сканави. - М .: Әлем және білім, 2013. - 608 б.

2. Супрун В.П. Жоғары сынып оқушыларына арналған математика: мектеп бағдарламасының қосымша бөлімдері. – М.: Ленанд / URSS, 2014. - 216 б.

3. Медынский М.М. Тапсырмалар мен жаттығулардағы бастауыш математиканың толық курсы. 2-кітап: Сандар тізбегі мен прогрессиясы. – М.: Эдитус, 2015. - 208 б.

Сұрақтарыңыз бар ма?

Тәрбиешінің көмегін алу үшін – тіркеліңіз.

сайт, материалды толық немесе ішінара көшіру арқылы дереккөзге сілтеме қажет.

Арифметикалық прогрессияның қосындысы.

Арифметикалық прогрессияның қосындысы қарапайым нәрсе. Мағынасы жағынан да, формуласы жағынан да. Бірақ бұл тақырып бойынша әр түрлі тапсырмалар бар. Бастауыштан әбден берікке дейін.

Алдымен қосындының мәні мен формуласымен айналысайық. Сосын шешеміз. Өзіңіздің рахаттануыңыз үшін.) Қосындының мағынасы төмендеу сияқты қарапайым. Арифметикалық прогрессияның қосындысын табу үшін оның барлық мүшелерін мұқият қосу керек. Бұл терминдер аз болса, ешқандай формулаларсыз қосуға болады. Бірақ көп болса, немесе көп болса ... қосу тітіркендіреді.) Бұл жағдайда формула үнемдейді.

Қосынды формуласы қарапайым:

Формулаға қандай әріптер кіретінін анықтайық. Бұл көп нәрсені түсіндіреді.

S n арифметикалық прогрессияның қосындысы болып табылады. Қосу нәтижесі барлықмүшелері, бірге біріншіқосулы соңғы.Бұл маңызды. Дәл қосыңыз барлықмүшелер қатарда, бос және секірусіз. Және, дәл, бастап бірінші.Үшінші және сегізінші мүшелердің қосындысын немесе бестен жиырмаға дейінгі мүшелердің қосындысын табу сияқты есептердегі формуланы тікелей қолдану көңіл көншітпейді.)

а 1 - ең біріншіпрогрессияның мүшесі. Мұнда бәрі түсінікті, қарапайым біріншіжол нөмірі.

а н- соңғыпрогрессияның мүшесі. Жолдың соңғы нөмірі. Өте таныс атау емес, бірақ сомаға қолданғанда өте қолайлы. Сонда өзіңіз көресіз.

n соңғы мүшенің нөмірі болып табылады. Формуладағы бұл санды түсіну маңызды қосылған терминдер санына сәйкес келеді.

Тұжырымдаманы анықтайық соңғымүшесі а н. Толтыратын сұрақ: қандай мүше болады соңғы,берілген болса шексізарифметикалық прогрессия?

Сенімді жауап алу үшін сіз арифметикалық прогрессияның элементар мағынасын түсінуіңіз керек және ... тапсырманы мұқият оқып шығыңыз!)

Арифметикалық прогрессияның қосындысын табу тапсырмасында соңғы мүше әрқашан пайда болады (тікелей немесе жанама), ол шектелуі керек.Әйтпесе, шектеулі, нақты сома жай ғана жоқ.Шешім үшін прогрессияның қандай түрі берілгені маңызды емес: ақырлы немесе шексіз. Оның қалай берілгені маңызды емес: сандар қатары бойынша немесе n-ші мүшенің формуласы бойынша.

Ең бастысы, формула прогрессияның бірінші мүшесінен санмен мүшеге дейін жұмыс істейтінін түсіну n.Шын мәнінде, формуланың толық атауы келесідей: арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысы.Бұл ең алғашқы мүшелердің саны, яғни. n, тек тапсырмамен анықталады. Тапсырмада бұл құнды ақпараттың бәрі жиі шифрланған, иә ... Бірақ ештеңе жоқ, төмендегі мысалдарда біз бұл құпияларды ашамыз.)

Арифметикалық прогрессияның қосындысына арналған тапсырмалардың мысалдары.

Ең алдымен пайдалы ақпарат:

Арифметикалық прогрессияның қосындысына арналған тапсырмалардағы негізгі қиындық формуланың элементтерін дұрыс анықтау болып табылады.

Тапсырмалардың авторлары дәл осы элементтерді шексіз қиялмен шифрлайды.) Мұнда ең бастысы қорықпау керек. Элементтердің мәнін түсіне отырып, олардың шифрын ашу жеткілікті. Бірнеше мысалды егжей-тегжейлі қарастырайық. Нақты GIA негізіндегі тапсырмадан бастайық.

1. Арифметикалық прогрессия шартпен берілген: a n = 2n-3,5. Алғашқы 10 мүшесінің қосындысын табыңыз.

Жақсы жұмыс. Оңай.) Формула бойынша мөлшерді анықтау үшін нені білуіміз керек? Бірінші мүше а 1, соңғы тоқсан а н, иә соңғы мүшенің саны n.

Соңғы мүше нөмірін қайдан алуға болады n? Иә, сол жерде, күйде! Қосындыны тап дейді алғашқы 10 мүше.Ал, ол қандай сан болады соңғы,оныншы мүше?) Сенбейсіз, оның саны оныншы!) Сондықтан, орнына а нформулаға ауыстырамыз а 10, бірақ орнына n- он. Тағы да, соңғы мүшенің саны мүшелер санымен бірдей.

Оны анықтау керек а 1және а 10. Бұл есеп шығаруда берілген n-ші мүшесінің формуласымен оңай есептеледі. Мұны қалай істеу керектігін білмейсіз бе? Өткен сабаққа барыңыз, онсыз - ештеңе жоқ.

а 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

а 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Арифметикалық прогрессияның қосындысы формуласының барлық элементтерінің мағынасын білдік. Оларды ауыстыру және санау қалады:

Мұның бәрі бар. Жауабы: 75.

GIA негізіндегі тағы бір тапсырма. Біраз күрделірек:

2. Айырмашылығы 3,7 болатын арифметикалық прогрессия (a n) берілген; a 1 \u003d 2.3. Алғашқы 15 мүшесінің қосындысын табыңыз.

Біз бірден қосынды формуласын жазамыз:

Бұл формула кез келген мүшенің мәнін оның саны бойынша табуға мүмкіндік береді. Біз қарапайым ауыстыруды іздейміз:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Формуладағы барлық элементтерді арифметикалық прогрессияның қосындысына ауыстыру және жауапты есептеу қалады:

Жауабы: 423.

Айтпақшы, егер оның орнына қосынды формуласында а н n-ші мүшесінің формуласын ауыстырсақ, мынаны аламыз:

Ұқсастарын береміз, арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қосындысының жаңа формуласын аламыз:

Көріп отырғаныңыздай, мұнда n-ші мүше қажет емес. а н. Кейбір тапсырмаларда бұл формула көп көмектеседі, иә ... Сіз бұл формуланы есте сақтай аласыз. Сіз оны дәл осы жерде сияқты қажетті уақытта алып тастай аласыз. Өйткені, қосындының формуласы мен n-ші мүшесінің формуласы барлық жағынан есте сақталуы керек.)

Енді қысқа шифрлау түріндегі тапсырма):

3. Үшке еселік барлық оң екі таңбалы сандардың қосындысын табыңыз.

Қалай! Бірінші мүше жоқ, соңғы жоқ, прогресс мүлдем жоқ... Қалай өмір сүру керек!?

Сізге баспен ойланып, шарттан арифметикалық прогрессияның қосындысының барлық элементтерін шығару керек болады. Екі таңбалы сандар дегеніміз не - біз білеміз. Олар екі саннан тұрады.) Қандай екі таңбалы сан болады бірінші? 10, мүмкін.) соңғы нәрсеекі таңбалы сан? 99, әрине! Үш таңбалы сандар оның соңынан ереді ...

Үштің еселіктері... Хм... Бұл үшке тең бөлінетін сандар, міне! Он үшке бөлінбейді, 11 бөлінбейді... 12... бөлінбейді! Сонымен, бір нәрсе пайда болады. Мәселенің жағдайына қарай қатар жазуға болады:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Бұл қатар арифметикалық прогрессия бола ма? Әрине! Әрбір термин алдыңғысынан үшке ғана ерекшеленеді. Терминге 2 немесе 4 қосылса, айталық, нәтиже, яғни. жаңа сан енді 3-ке бөлінбейді. Үйіндіге арифметикалық прогрессияның айырмашылығын бірден анықтауға болады: d = 3.Пайдалы!)

Сонымен, біз прогрессияның кейбір параметрлерін қауіпсіз жаза аламыз:

Нөмірі қандай болады nсоңғы мүше? 99 деп ойлайтын адам қателеседі ... Сандар - олар әрқашан қатар жүреді, ал біздің мүшелер үздік үштіктен секіреді. Олар сәйкес келмейді.

Мұнда екі шешім бар. Бір жолы - өте еңбекқор. Прогрессияны, сандар қатарын түгел бояуға және саусақпен мүшелер санын санауға болады.) Екінші әдіс – ойлыларға. n-ші мүшесінің формуласын есте сақтау керек. Егер формула біздің есепімізге қолданылса, 99 прогрессияның отызыншы мүшесі екенін аламыз. Анау. n = 30.

Арифметикалық прогрессияның қосындысының формуласын қарастырамыз:

Біз қарап, қуанамыз.) Есептің шартынан соманы есептеуге қажеттінің бәрін шығарып алдық:

а 1= 12.

а 30= 99.

S n = S 30.

Қалған нәрсе қарапайым арифметика. Формуладағы сандарды ауыстырыңыз және есептеңіз:

Жауабы: 1665 ж

Танымал басқатырғыштардың тағы бір түрі:

4. Арифметикалық прогрессия берілген:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Жиырмасыншыдан отыз төртіншіге дейінгі мүшелердің қосындысын табыңыз.

Қосынды формуласына қарап ... ренжідік.) Формула, еске салайын, қосындыны есептейді. біріншіденмүшесі. Ал есепте қосындыны есептеу керек жиырмасыншы жылдан бастап...Формула жұмыс істемейді.

Сіз, әрине, бүкіл прогрессияны қатарынан бояй аласыз және мүшелерді 20-дан 34-ке дейін қоя аласыз. Бірақ ... бұл қалай болғанда да ақымақ және ұзақ уақытқа шығады, солай ма?)

Неғұрлым талғампаз шешім бар. Сериямызды екі бөлікке бөлейік. Бірінші бөлім болады бірінші тоқсаннан он тоғызыншы тоқсанға дейін.Екінші бөлім – жиырмадан отыз төртке дейін.Бірінші бөлімнің мүшелерінің қосындысын есептесек, түсінікті S 1-19, оны екінші бөліктің мүшелерінің қосындысына қосайық S 20-34, бірінші мүшесінен отыз төртіншіге дейінгі прогрессияның қосындысын аламыз S 1-34. Бұл сияқты:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Бұл қосындыны табу керектігін көрсетеді S 20-34қарапайым алу арқылы жасауға болады

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Оң жақтағы екі сома да қарастырылады біріншіденмүше, яғни. стандартты қосынды формуласы оларға әбден жарамды. Біз бастадық па?

Тапсырма шартынан прогрессияның параметрлерін шығарамыз:

d = 1,5.

а 1= -21,5.

Алғашқы 19 және алғашқы 34 мүшенің қосындысын есептеу үшін бізге 19-шы және 34-ші мүшелер қажет болады. Оларды 2-есептегідей n-ші мүшесінің формуласы бойынша санаймыз:

а 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

а 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Ештеңе қалмады. 34 мүшенің қосындысынан 19 мүшенің қосындысын алып тастаңыз:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Жауабы: 262.5

Бір маңызды ескерту! Бұл мәселені шешуде өте пайдалы мүмкіндік бар. Тікелей есептеудің орнына сізге қажет (S 20-34),санадық қажет емес сияқты - S 1-19.Содан кейін олар анықтады S 20-34, толық нәтижеден қажетсізді алып тастау. Мұндай «құлақпен финт» жиі зұлым басқатырғыштардан құтқарады.)

Бұл сабақта біз арифметикалық прогрессияның қосындысының мәнін түсіну жеткілікті болатын есептерді қарастырдық. Сіз бірнеше формуланы білуіңіз керек.)

Практикалық кеңес:

Арифметикалық прогрессияның қосындысына кез келген есепті шығарған кезде мен осы тақырыптың екі негізгі формуласын дереу жазып шығуды ұсынамын.

n-ші мүшенің формуласы:

Бұл формулалар мәселені шешу үшін нені іздеу керектігін, қай бағытта ойлану керектігін бірден айтып береді. Көмектеседі.

Ал енді өз бетінше шешуге арналған тапсырмалар.

5. Үшке бөлінбейтін барлық екі таңбалы сандардың қосындысын табыңыз.

Керемет пе?) Кеңес 4-есептің жазбасында жасырылған. Ал, 3-есеп көмектеседі.

6. Арифметикалық прогрессия шартпен беріледі: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Алғашқы 24 мүшенің қосындысын табыңыз.

Ерекше?) Бұл қайталанатын формула. Бұл туралы өткен сабақта оқи аласыз. Сілтемені елемеңіз, мұндай басқатырғыштар GIA-да жиі кездеседі.

7. Вася мерекеге ақша жинады. 4550 рубльге дейін! Ал мен ең сүйікті адамға (өзіме) бірнеше күн бақыт сыйлауды шештім). Өзіңізге ештеңені жоққа шығармай әдемі өмір сүріңіз. Бірінші күні 500 рубль жұмсаңыз, ал келесі күні алдыңғы күннен 50 рубль көп жұмсаңыз! Ақша біткенше. Васяның неше күні бақытты болды?

Бұл қиын ба?) 2-тапсырмадағы қосымша формула көмектеседі.

Жауаптар (ретсіз): 7, 3240, 6.

Егер сізге бұл сайт ұнаса...

Айтпақшы, менде тағы бірнеше қызықты сайттар бар.)

Мысалдар шешуге жаттығып, өз деңгейіңізді білуге ​​болады. Жедел тексеру арқылы тестілеу. Оқу - қызығушылықпен!)

функциялармен және туындылармен танысуға болады.

Ендеше орнымызға отырып, сандарды жазуды бастайық. Мысалға:
Сіз кез келген сандарды жаза аласыз және қалағаныңызша көп болуы мүмкін (біздің жағдайда олар). Қанша сандарды жазсақ та, олардың қайсысы бірінші, қайсысы екінші және т.б. соңғысына дейін айта аламыз, яғни нөмірлей аламыз. Бұл сандар тізбегінің мысалы:

Сандық реттілік
Мысалы, біздің реттілік үшін:

Тағайындалған нөмір тек бір реттік нөмірге тән. Басқаша айтқанда, реттілікте үш секундтық сан жоқ. Екінші сан (-ші сан сияқты) әрқашан бірдей.
саны бар сан қатардың --ші мүшесі деп аталады.

Біз әдетте бүкіл тізбекті қандай да бір әріп деп атаймыз (мысалы,), және бұл тізбектің әрбір мүшесі - осы мүшенің санына тең индексі бар бірдей әріп: .

Біздің жағдайда:

Көрші сандар арасындағы айырмашылық бірдей және тең болатын сандық тізбек бар делік.
Мысалға:

және т.б.
Мұндай сандық тізбек арифметикалық прогрессия деп аталады.
«Прогрессия» терминін Рим авторы Боэций 6-ғасырдың өзінде енгізген және кең мағынада шексіз сандық тізбек ретінде түсінілген. «Арифметика» атауы ежелгі гректер айналысқан үздіксіз пропорциялар теориясынан көшірілді.

Бұл сандық тізбек, оның әрбір мүшесі алдыңғысына тең, сол санмен қосылады. Бұл сан арифметикалық прогрессияның айырымы деп аталады және белгіленеді.

Қандай сандар тізбегі арифметикалық прогрессия, қайсысы емес екенін анықтауға тырысыңыз:

а)
б)
в)
г)

Түсіндім? Жауаптарымызды салыстырыңыз:
Бұларифметикалық прогрессия – b, c.
Емесарифметикалық прогрессия – a, d.

Берілген прогрессияға () оралайық және оның ші мүшесінің мәнін табуға тырысайық. Бар екітабудың жолы.

1. Әдіс

Прогрессия санының алдыңғы мәніне прогрессияның үшінші мүшесіне жеткенше қосуға болады. Бізде қорытындылайтын көп нәрсе жоқ - тек үш мән:

Сонымен, сипатталған арифметикалық прогрессияның --ші мүшесі тең.

2. Әдіс

Прогрессияның үшінші мүшесінің мәнін табу керек болса ше? Қорытындылау бізге бір сағаттан астам уақытты алатын еді және сандарды қосқанда қателеспегеніміз шындық емес.
Әрине, математиктер алдыңғы мәнге арифметикалық прогрессияның айырмасын қосудың қажеті жоқ әдісті ойлап тапты. Салынған суретке мұқият қараңыз ... Сіз белгілі бір үлгіні байқадыңыз, атап айтқанда:

Мысалы, осы арифметикалық прогрессияның --ші мүшесінің мәні неден тұратынын көрейік:


Басқа сөздермен айтқанда:

Осы арифметикалық прогрессияның мүшесінің мәнін осылайша өз бетінше табуға тырысыңыз.

Есептелген бе? Жазбаларыңызды жауаппен салыстырыңыз:

Назар аударыңыз, біз алдыңғы мәнге арифметикалық прогрессияның мүшелерін дәйекті түрде қосқанда, алдыңғы әдістегідей санды алдыңыз.
Бұл формуланы «жеке тұлғасыздандыруға» тырысайық - біз оны жалпы формаға келтіреміз және аламыз:

Арифметикалық прогрессияның теңдеуі.

Арифметикалық прогрессиялар өседі немесе кемиді.

Көбеюде- терминдердің әрбір келесі мәні алдыңғысынан үлкен болатын прогрессиялар.
Мысалға:

Төмендеу- терминдердің әрбір келесі мәні алдыңғысынан кіші болатын прогрессиялар.
Мысалға:

Туынды формула арифметикалық прогрессияның өсу және кему мүшелерінің мүшелерін есептеуде қолданылады.
Оны тәжірибе жүзінде тексеріп көрейік.
Бізге келесі сандардан тұратын арифметикалық прогрессия берілген:

Сол уақыттан бері:

Осылайша, формуланың арифметикалық прогрессияның кемуінде де, артуында да жұмыс істейтініне көз жеткіздік.
Осы арифметикалық прогрессияның - ші және - ші мүшелерін өзіңіз тауып көріңіз.

Нәтижелерді салыстырайық:

Арифметикалық прогрессияның қасиеті

Тапсырманы күрделендірейік – арифметикалық прогрессияның қасиетін шығарамыз.
Бізге келесі шарт берілді делік:
- арифметикалық прогрессия, мәнін табу.
Оңай дейсіз де, өзіңіз білетін формула бойынша санауды бастаңыз:

а болсын, онда:

Өте дұрыс. Алдымен табамыз, сосын бірінші санға қосып, іздегенімізді аламыз. Прогрессия шағын мәндермен ұсынылса, онда бұл туралы күрделі ештеңе жоқ, бірақ шартта бізге сандар берілсе ше? Келісіңіз, есептеулерде қателіктер жіберу мүмкіндігі бар.
Енді ойланыңыз, бұл мәселені кез келген формула арқылы бір қадаммен шешуге бола ма? Әрине, иә, және біз оны қазір шығаруға тырысамыз.

Арифметикалық прогрессияның қажетті мүшесін былай деп белгілейік, біз оны табу формуласын білеміз - бұл біз басында шығарған формула:
, содан кейін:

• прогрессияның алдыңғы мүшесі:
• прогрессияның келесі шарты:

Прогрессияның алдыңғы және келесі мүшелерін қосайық:

Прогрессияның алдыңғы және кейінгі мүшелерінің қосындысы олардың арасында орналасқан прогрессия мүшесінің мәнінен екі есе көп болатыны белгілі болды. Басқаша айтқанда, белгілі алдыңғы және тізбекті мәндері бар прогрессивті мүшенің мәнін табу үшін оларды қосып, бөлу керек.

Дұрыс, бізде бірдей нөмір бар. Материалды түзетейік. Прогрессияның мәнін өзіңіз есептеңіз, өйткені бұл мүлдем қиын емес.

Жарайсың! Сіз прогресс туралы барлығын дерлік білесіз! Аңыз бойынша, барлық уақыттағы ең ұлы математиктердің бірі, «математиктердің патшасы» - Карл Гаусс өзі үшін оңай шығарылған бір ғана формуланы табу керек ...

Карл Гаусс 9 жаста болғанда, басқа сынып оқушыларының жұмысын тексерумен айналысқан мұғалім сабақта келесі тапсырманы қойды: «Барлық натурал сандардың қосындысын (басқа дереккөздер бойынша) қоса есептеңіз. " Бір минуттан кейін оның шәкірттерінің бірі (бұл Карл Гаусс) тапсырмаға дұрыс жауап бергенде, мұғалімнің таңданысы неде болды, ал батыл сыныптастарының көпшілігі ұзақ есептеулерден кейін қате нәтиже алды ...

Жас Карл Гаусс сіз оңай байқайтын үлгіні байқады.
Бізде -ti мүшелерінен тұратын арифметикалық прогрессия бар делік: Арифметикалық прогрессияның берілген мүшелерінің қосындысын табу керек. Әрине, біз барлық мәндерді қолмен қоса аламыз, бірақ егер Гаусс іздеген тапсырмада оның шарттарының қосындысын табу керек болса ше?

Бізге берілген прогрессті бейнелеп көрейік. Ерекшеленген сандарға мұқият қарап, олармен әртүрлі математикалық амалдарды орындауға тырысыңыз.


Көрдіңіз бе? Сіз не байқадыңыз? Дұрыс! Олардың қосындысы тең

Енді жауап беріңізші, бізге берілген прогрессияда осындай неше жұп болады? Әрине, барлық сандардың дәл жартысы, яғни.
Арифметикалық прогрессияның екі мүшесінің қосындысы тең және ұқсас жұптардың қосындысы тең екендігіне сүйене отырып, жалпы қосындының мынаған тең екенін аламыз:
.
Сонымен, кез келген арифметикалық прогрессияның бірінші мүшелерінің қосындысының формуласы:

Кейбір есептерде біз 3-ші мүшесін білмейміз, бірақ прогрессияның айырмашылығын білеміз. Қосынды формуласында ші мүшенің формуласын қойып көріңіз.
Сіз не алдыңыз?

Жарайсың! Енді Карл Гауссқа берілген есепке қайта оралайық: -ыншыдан басталатын сандардың қосындысы, ал -іншіден басталатын сандардың қосындысы қандай болатынын өзіңіз есептеңіз.

Қанша алдың?
Гаусс мүшелерінің қосындысы тең, ал мүшелерінің қосындысы тең болатынын анықтады. Сіз осылай шештіңіз бе?

Шындығында, арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қосындысының формуласын сонау 3 ғасырда ежелгі грек ғалымы Диофант дәлелдеген және осы уақыт бойы тапқыр адамдар арифметикалық прогрессияның қасиеттерін күшті және негізгі арқылы қолданды.
Мысалы, Ежелгі Египетті және сол кездегі ең үлкен құрылыс алаңын елестетіңіз - пирамиданың құрылысы ... Суретте оның бір жағы көрсетілген.

Бұл жерде прогресс қайда дейсіз бе? Мұқият қарап, пирамида қабырғасының әр жолындағы құмды блоктар санының үлгісін табыңыз.


Неліктен арифметикалық прогрессия емес? Негізге блокты кірпіш қойылса, бір қабырғаны салу үшін қанша блок қажет екенін есептеңіз. Мониторда саусағыңызды жылжыту арқылы санамайсыз деп үміттенемін, соңғы формуланы және арифметикалық прогрессия туралы айтқанымыздың бәрі есіңізде ме?

Бұл жағдайда прогресс келесідей болады:
Арифметикалық прогрессияның айырмашылығы.
Арифметикалық прогрессияның мүшелерінің саны.
Соңғы формулаларға деректерімізді ауыстырайық (блоктардың санын 2 тәсілмен санаймыз).

1-әдіс.

2-әдіс.

Енді сіз мониторда есептей аласыз: алынған мәндерді біздің пирамидадағы блоктар санымен салыстырыңыз. Келісті ме? Жарайсыңдар, сендер арифметикалық прогрессияның ші мүшелерінің қосындысын меңгердіңдер.
Әрине, сіз базадағы блоктардан пирамида сала алмайсыз, бірақ неден? Осы шартпен қабырғаны салу үшін қанша құм кірпіш қажет екенін есептеп көріңіз.
Сіз басқардыңыз ба?
Дұрыс жауап блоктар:

Машықтану

Тапсырмалар:

1. Маша жазға дайындалып жатыр. Күн сайын ол скват санын көбейтеді. Маша бірінші жаттығуда еңкейсе, апта ішінде қанша рет еңкейеді.
2. Құрамындағы барлық тақ сандардың қосындысы неге тең.
3. Бөренелерді сақтау кезінде ағаш өңдеушілер оларды әрбір үстіңгі қабат алдыңғыға қарағанда бір бөренеден аз болатындай етіп жинайды. Бір кірпіште қанша бөрене бар, егер тастың негізі бөренелер болса.

Жауаптары:

1. Арифметикалық прогрессияның параметрлерін анықтайық. Бұл жағдайда
   (апта = күн).

   Жауап:Екі аптадан кейін Маша күніне бір рет шөгу керек.

2. Бірінші тақ сан, соңғы сан.
   Арифметикалық прогрессияның айырмашылығы.
   - жартысындағы тақ сандар саны, дегенмен бұл фактіні арифметикалық прогрессияның -ші мүшесін табу формуласы арқылы тексеріңіз:

   Сандарда тақ сандар бар.
   Қолда бар деректерді формулаға ауыстырамыз:

   Жауап:Құрамындағы барлық тақ сандардың қосындысы тең.

3. Пирамидалар туралы есепті еске түсіріңіз. Біздің жағдайда, a , әрбір жоғарғы қабат бір журналға азайғандықтан, тек қабаттар шоғыры бар, яғни.
   Формуладағы деректерді ауыстырыңыз:

   Жауап:Кірпіште бөренелер бар.

Жинақтау

1. - көрші сандар арасындағы айырмашылық бірдей және тең болатын сандық тізбек. Ол көбейіп, азайып келеді.
2. Формула табуАрифметикалық прогрессияның ші мүшесі - формуласымен жазылады, мұндағы прогрессиядағы сандар саны.
3. Арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қасиеті- - мұндағы - прогрессиядағы сандар саны.
4. Арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қосындысыекі жолмен табуға болады:
   
   , мұндағы – мәндер саны.

АРИФМЕТИКАЛЫҚ ПРОГРЕССИЯ. ОРТАША ДЕҢГЕЙ

Сандық реттілік

Орнымызға отырып, сандарды жазуды бастайық. Мысалға:

Сіз кез келген сандарды жаза аласыз және қалағаныңызша көп болуы мүмкін. Бірақ сіз әрқашан олардың қайсысы бірінші, қайсысы екінші және т.б. айта аласыз, яғни біз оларды нөмірлей аламыз. Бұл сандар тізбегінің мысалы.

Сандық реттілік— әрқайсысына бірегей нөмір берілуі мүмкін сандар жиыны.

Басқаша айтқанда, әрбір санды белгілі бір натурал санмен байланыстыруға болады және тек бір. Және біз бұл нөмірді осы жиынтықтағы басқа нөмірге бермейміз.

саны бар сан қатардың --ші мүшесі деп аталады.

Біз әдетте бүкіл тізбекті қандай да бір әріп деп атаймыз (мысалы,), және бұл тізбектің әрбір мүшесі - осы мүшенің санына тең индексі бар бірдей әріп: .

Тізбектің --ші мүшесі қандай да бір формуламен берілуі мүмкін болса, бұл өте ыңғайлы. Мысалы, формула

ретін орнатады:

Ал формула келесі реттілік:

Мысалы, арифметикалық прогрессия – тізбек (мұндағы бірінші мүше тең, ал айырма). Немесе (, айырмашылық).

n-ші мүше формуласы

Біз қайталанатын формула деп атаймыз, онда --ші мүшесін білу үшін алдыңғы немесе бірнеше алдыңғыларды білу қажет:

Мысалы, осындай формуланы пайдаланып прогрессияның ші мүшесін табу үшін алдыңғы тоғызды есептеу керек. Мысалы, рұқсат етіңіз. Содан кейін:

Ал, енді формула қандай екені түсінікті болды ма?

Әрбір жолда біз кейбір санға көбейтеміз. Не үшін? Өте қарапайым: бұл ағымдағы мүшенің саны минус:

Қазір әлдеқайда ыңғайлы, солай ма? Біз тексереміз:

Өзіңіз шешіңіз:

Арифметикалық прогрессияда n-ші мүшесінің формуласын тауып, жүзінші мүшесін табыңыз.

Шешімі:

Бірінші мүше тең. Ал айырмашылығы неде? Міне, мыналар:

(әйтеуір, ол прогрессияның тізбектелген мүшелерінің айырмасына тең болғандықтан айырма деп аталады).

Сонымен формула:

Сонда жүзінші мүше:

-ден бастап барлық натурал сандардың қосындысы неге тең?

Аңыз бойынша, ұлы математик Карл Гаусс 9 жасар бала бола отырып, бұл соманы бірнеше минутта есептеп шығарған. Ол бірінші және соңғы санның қосындысы тең, екінші мен соңғы санның қосындысы бірдей, соңынан үшінші мен үшінші санның қосындысы бірдей және т.б. Осындай неше жұп бар? Бұл дұрыс, барлық сандар санының дәл жартысы, яғни. Сонымен,

Кез келген арифметикалық прогрессияның бірінші мүшелерінің қосындысының жалпы формуласы:

Мысалы:
Барлық екі таңбалы көбейткіштердің қосындысын табыңыз.

Шешімі:

Мұндай бірінші сан мынау. Әрбір келесі санды алдыңғыға қосу арқылы алынады. Осылайша, бізді қызықтыратын сандар бірінші мүшесі мен айырмасы бар арифметикалық прогрессияны құрайды.

Бұл прогрессияның ші мүшесінің формуласы:

Прогрессияда неше мүше бар, егер олардың барлығы екі таңбалы болуы керек?

Өте жеңіл: .

Прогрессияның соңғы мүшесі тең болады. Сонда сома:

Жауап: .

Енді өзіңіз шешіңіз:

1. Күн сайын спортшы алдыңғы күннен 1 метрге артық жүгіреді. Бірінші күні км м жүгірсе, ол аптада неше км жүгіреді?
2. Велосипедші күн сайын алдыңғысына қарағанда көбірек миль жүреді. Бірінші күні ол км жол жүрді. Бір километрді бағындыру үшін ол неше күн жүру керек? Жолдың соңғы күнінде ол неше километр жол жүреді?
3. Дүкендегі тоңазытқыштың бағасы жыл сайын осыншама төмендейді. Егер тоңазытқыш рубльге сатылса, алты жылдан кейін рубльге сатылса, оның бағасы жыл сайын қаншаға төмендегенін анықтаңыз.

Жауаптары:

1. Бұл жерде ең бастысы арифметикалық прогрессияны тану және оның параметрлерін анықтау. Бұл жағдайда, (апта = күн). Осы прогрессияның бірінші мүшелерінің қосындысын анықтау керек:
   .
   Жауап:
2. Мұнда берілген:, табу керек.
   Әлбетте, алдыңғы мәселедегідей қосынды формуласын пайдалану керек:
   .
   Мәндерді ауыстырыңыз:

   Түбір сәйкес келмейтіні анық, сондықтан жауап.
   -ші мүшесінің формуласы арқылы соңғы тәулікте жүріп өткен жолды есептейік:
   (км).
   Жауап:

3. Берілген: . Табу: .
   Бұл оңай емес:
   (сүрту).
   Жауап:

АРИФМЕТИКАЛЫҚ ПРОГРЕССИЯ. НЕГІЗГІ ТУРАЛЫ ҚЫСҚА

Бұл көрші сандар арасындағы айырмашылық бірдей және тең болатын сандық тізбек.

Арифметикалық прогрессия өсуде () және кемуде ().

Мысалға:

Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесін табу формуласы

формула түрінде жазылады, мұндағы прогрессиядағы сандар саны.

Арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қасиеті

Бұл прогрессияның мүшесін табуды жеңілдетеді, егер оның көрші мүшелері белгілі болса - прогрессиядағы сандар саны қайда.

Арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қосындысы

Қосындыны табудың екі жолы бар:

Мәндердің саны қайда.

Мәндердің саны қайда.

ҚАЛҒАН 2/3 МАҚАЛАЛАР ТЕК СІЗДЕРДІҢ КӨЛЕМДІ СТУДЕНТТЕРІҢІЗГЕ ҚОЛЖЕТІМДІ!

YouClever студенті болыңыз,

«Айына бір кесе кофе» бағасымен OGE немесе USE-ге дайындалыңыз,

Сондай-ақ, «YouClever» оқулығына, «100gia» оқу бағдарламасына (шешімдер кітабы), шексіз USE және OGE сынақ нұсқасына, шешімдерді талдауы бар 6000 тапсырмаға және басқа YouClever және 100gia қызметтеріне шексіз қол жеткізіңіз.