Квадрат және басқа теңдеулер үшін Виет теоремасы. Виетаның теоремасы. Квадрат теңдеулерді қолдану мысалдары vieta формуласын шешу

Квадрат теңдеуді шешу әдістерінің бірі қолданбалы әдіс болып табылады VIETA формулалары, ол ФРАНСУА ВИЕТтің есімімен аталды.

Ол әйгілі заңгер болды және 16 ғасырда француз королімен бірге қызмет етті. Бос уақытында астрономия мен математиканы оқыды. Ол квадрат теңдеудің түбірлері мен коэффициенттері арасында байланыс орнатты.

Формуланың артықшылығы:

1 . Формуланы қолдану арқылы шешімді тез табуға болады. Өйткені шаршыға екінші коэффициентті енгізудің қажеті жоқ, содан кейін одан 4ac-ты алып тастаңыз, дискриминантты табыңыз, оның мәнін түбірлерді табу формуласына ауыстырыңыз.

2 . Шешімі жоқ, сіз тамырлардың белгілерін анықтай аласыз, тамырлардың мәндерін таңдай аласыз.

3 . Екі жазбаның жүйесін шешкеннен кейін, түбірлерді өздері табу қиын емес. Жоғарыда келтірілген квадрат теңдеуде түбірлердің қосындысы минус таңбасы бар екінші коэффициенттің мәніне тең. Жоғарыдағы квадрат теңдеудегі түбірлердің көбейтіндісі үшінші коэффициенттің мәніне тең.

4 . Берілген түбірлер бойынша квадрат теңдеуді жаз, яғни кері есепті шығар. Мысалы, бұл әдіс теориялық механикада есептерді шығаруда қолданылады.

5 . Жетекші коэффициент бірге тең болғанда формуланы қолдану ыңғайлы.

Кемшіліктері:

1 . Формула әмбебап емес.

Вьета теоремасы 8-сынып

Формула
Егер x 1 және x 2 берілген квадрат теңдеудің түбірлері болса x 2 + px + q \u003d 0, онда:

Мысалдар
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - x 2 - 2x - 3 \u003d 0 теңдеуінің түбірлері.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Кері теорема

Формула
Егер x 1 , x 2 , p, q сандары шарттармен қосылса:

Сонда x 1 және x 2 x 2 + px + q = 0 теңдеуінің түбірі болады.

Мысал
Түбірлері бойынша квадрат теңдеу құрайық:

X 1 \u003d 2 -? 3 және x 2 \u003d 2 +? 3 .

P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.

Қажетті теңдеудің келесі түрі бар: x 2 - 4x + 1 = 0.

Квадрат теңдеулер үшін Виет теоремасын тұжырымдау және дәлелдеу. Кері Виета теоремасы. Кубтық теңдеулер мен ерікті ретті теңдеулер үшін Виетаның теоремасы.

Мазмұны

Сондай-ақ қараңыз: Квадрат теңдеудің түбірлері

Квадрат теңдеулер

Виетаның теоремасы

Келтірілген квадрат теңдеудің түбірлерін белгілейік
(1) .
Сонда түбірлердің қосындысы қарама-қарсы таңбамен алынған коэффициентке тең болады. Түбірлердің көбейтіндісі бос мүшеге тең:
;
.

Бірнеше түбір туралы ескертпе

Егер (1) теңдеудің дискриминанты нөлге тең болса, онда бұл теңдеудің бір түбірі болады. Бірақ, қиын тұжырымдарды болдырмау үшін, бұл жағдайда (1) теңдеудің екі еселі немесе тең түбірі бар екендігі жалпы қабылданған:
.

Бір дәлелі

(1) теңдеудің түбірлерін табайық. Ол үшін квадрат теңдеудің түбірлері үшін формуланы қолданыңыз:
;
;
.

Түбірлердің қосындысын табу:
.

Өнімді табу үшін формуланы қолданамыз:
.
Содан кейін

.

Теорема дәлелденді.

Екінші дәлел

Егер және сандары (1) квадрат теңдеудің түбірі болса, онда
.
Біз жақшаларды ашамыз.

.
Осылайша, (1) теңдеу келесі түрде болады:
.
(1)-мен салыстырсақ:
;
.

Теорема дәлелденді.

Кері Виета теоремасы

Ерікті сандар болсын. Сонда және квадрат теңдеудің түбірлері болады
,
қайда
(2) ;
(3) .

Виетаның қарама-қарсы теоремасын дәлелдеу

Квадрат теңдеуді қарастырайық
(1) .
Егер және болса, онда және (1) теңдеуінің түбірлері болатынын дәлелдеу керек.

(2) және (3) тармақтарын (1) ауыстырыңыз:
.
Теңдеудің сол жағының мүшелерін топтастырамыз:
;
;
(4) .

(4) орнына:
;
.

(4) орнына:
;
.
Теңдеу орындалды. Яғни, сан (1) теңдеудің түбірі болып табылады.

Теорема дәлелденді.

Толық квадрат теңдеу үшін Виет теоремасы

Енді толық квадрат теңдеуді қарастырайық
(5) ,
мұндағы және кейбір сандар. Және .

(5) теңдеуді келесіге бөлеміз:
.
Яғни, жоғарыдағы теңдеуді алдық
,
қайда; .

Сонда толық квадрат теңдеу үшін Виета теоремасы келесі түрге ие болады.

Толық квадрат теңдеудің түбірлерін белгілейік
.
Содан кейін түбірлердің қосындысы мен көбейтіндісі мына формулалармен анықталады:
;
.

Кубтық теңдеу үшін Виетаның теоремасы

Сол сияқты біз текше теңдеудің түбірлері арасында байланыс орната аламыз. Текше теңдеуін қарастырайық
(6) ,
мұндағы , , , кейбір сандар. Және .
Бұл теңдеуді келесіге бөлейік:
(7) ,
қайда , , .
(7) теңдеудің (және (6) теңдеуінің) түбірлері , , болсын. Содан кейін

.

(7) теңдеумен салыстырсақ:
;
;
.

n-дәрежелі теңдеу үшін Виетаның теоремасы

Дәл осылай n-ші дәрежелі теңдеу үшін , , ... , , түбірлерінің арасындағы байланыстарды табуға болады.
.

n-дәрежелі теңдеу үшін Виет теоремасы келесі формада болады:
;
;
;

.

Бұл формулаларды алу үшін теңдеуді келесі түрде жазамыз:
.
Содан кейін , , , ... бойынша коэффициенттерді теңестіріп, бос мүшені салыстырамыз.

Қолданылған әдебиет:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Жоғары оқу орындарының инженерлері мен студенттеріне арналған математика анықтамалығы, Лан, 2009 ж.
СМ. Никольский, М.К. Потапов және т.б., Алгебра: оқу орындарының 8-сыныбына арналған оқулық, Мәскеу, Білім, 2006 ж.

Сондай-ақ қараңыз:

Бұл лекцияда біз квадрат теңдеудің түбірлері мен оның коэффициенттері арасындағы қызықты байланыстармен танысамыз. Бұл қатынастарды алғаш рет француз математигі Франсуа Вьет (1540-1603) ашты.

Мысалы, Зx 2 - 8x - 6 \u003d 0 теңдеуі үшін оның түбірлерін таппай, Виета теоремасын қолдана отырып, түбірлердің қосындысы , ал түбірлердің көбейтіндісі тең екенін бірден айтуға болады.
яғни - 2. Ал x 2 - 6x + 8 \u003d 0 теңдеуі үшін қорытынды жасаймыз: түбірлердің қосындысы 6, түбірлердің көбейтіндісі 8; Айтпақшы, түбірлердің неге тең екенін болжау қиын емес: 4 және 2.
Вьета теоремасын дәлелдеу. ax 2 + bx + c \u003d 0 квадрат теңдеуінің x 1 және x 2 түбірлері формулалар арқылы табылады.

Мұндағы D \u003d b 2 - 4ac теңдеудің дискриминанты. Бұл тамырларды төсеу
Біз алып жатырмыз

Енді x 1 және x 2 түбірлерінің көбейтіндісін есептейміз

Екінші қатынас дәлелденді:
Түсініктеме. Виет теоремасы квадрат теңдеудің бір түбірі болған жағдайда да жарамды (яғни, D \u003d 0 болғанда), бұл жағдайда теңдеудің жоғарыда көрсетілген қатынастар қолданылатын екі бірдей түбірі бар деп есептеледі. .
Келтірілген x 2 + px + q \u003d 0 квадрат теңдеуінің дәлелденген қатынастары өте қарапайым пішінді алады. Бұл жағдайда мынаны аламыз:

x 1 \u003d x 2 \u003d -p, x 1 x 2 \u003d q
анау. берілген квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы қарама-қарсы таңбамен алынған екінші коэффициентке тең, ал түбірлердің көбейтіндісі бос мүшеге тең.
Виета теоремасын пайдалана отырып, квадрат теңдеудің түбірлері мен коэффициенттері арасындағы басқа да қатынастарды алуға болады. Мысалы, x 1 және x 2 келтірілген x 2 + px + q = 0 квадрат теңдеудің түбірі болсын. Сонда

Алайда Виет теоремасының негізгі мақсаты оның квадрат теңдеудің түбірлері мен коэффициенттері арасындағы белгілі бір байланыстарды өрнектеуінде емес. Виетаның теоремасының көмегімен квадрат үшмүшені көбейткіштерге бөлу формуласы шығарылғаны әлдеқайда маңызды, онсыз біз болашақта жасай алмаймыз.

Дәлелдеу. Бізде бар

1-мысал. 3x 2 - 10x + 3 үшмүшелігін көбейткіштерге бөліңіз.
Шешім. Zx 2 - 10x + 3 \u003d 0 теңдеуін шешіп, Zx 2 - 10x + 3 шаршы үшмүшесінің түбірлерін табамыз: x 1 \u003d 3, x2 \u003d.
2-теореманы пайдаланып, аламыз

Zx - 1 деп жазудың орнына мағынасы бар. Содан кейін біз Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1) аламыз.
Берілген квадрат үшмүшені топтастыру әдісімен 2-теореманы қолданбай-ақ көбейткіштерге бөлуге болатынын ескеріңіз:

Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2 - 9x - x + 3 =
\u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \u003d (x - 3) (Zx - 1).

Бірақ, көріп отырғаныңыздай, бұл әдіспен табыс сәтті топтастыруды таба аламыз ба, жоқ па, соған байланысты, ал бірінші әдіспен табысқа кепілдік беріледі.
1-мысал. Бөлшекті азайту

Шешім. 2x 2 + 5x + 2 = 0 теңдеуінен х 1 = - 2,

x2 - 4x - 12 = 0 теңдеуінен х 1 = 6, х 2 = -2 табамыз. Сондықтан
x 2 - 4x - 12 \u003d (x - 6) (x - (- 2)) \u003d (x - 6) (x + 2).
Енді берілген бөлшекті азайтайық:

3-мысал. Өрнектерді көбейткіштерге жіктеу:
а) x4 + 5x 2 +6; б) 2x+-3
Шешімі.а) y = x 2 жаңа айнымалысын енгіземіз. Бұл берілген өрнекті y айнымалысына қатысты квадрат үшмүше түрінде, атап айтқанда y 2 + bу + 6 түрінде қайта жазуға мүмкіндік береді.
y 2 + bу + 6 \u003d 0 теңдеуін шешіп, y 2 + 5y + 6 квадрат үшмүшесінің түбірлерін табамыз: y 1 \u003d - 2, y 2 \u003d -3. Енді біз 2-теореманы қолданамыз; Біз алып жатырмыз

y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
y \u003d x 2, яғни берілген өрнекке оралу керек екенін есте ұстаған жөн. Сонымен,
x 4 + 5x 2 + 6 \u003d (x 2 + 2) (x 2 + 3).
б) Жаңа y = айнымалысын енгізейік. Бұл берілген өрнекті у айнымалысына қатысты квадрат үшмүше түрінде, атап айтқанда 2y 2 + y - 3 түрінде қайта жазуға мүмкіндік береді. Теңдеуді шешкеннен кейін
2y 2 + y - 3 \u003d 0, 2y 2 + y - 3 квадрат үшмүшесінің түбірлерін табамыз:
y 1 = 1, y 2 =. Әрі қарай, 2-теореманы пайдалана отырып, біз мынаны аламыз:

y \u003d, яғни берілген өрнекке оралу керектігін есте сақтау керек. Сонымен,

Бөлім қайтадан Вьета теоремасымен, дәлірек айтсақ, керісінше бекітумен байланысты кейбір пікірлермен аяқталады:
егер x 1, x 2 сандары x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q болатындай болса, онда бұл сандар теңдеудің түбірі болады
Бұл мәлімдемені пайдалана отырып, көптеген квадрат теңдеулерді күрделі түбір формулаларын қолданбай ауызша шешуге, сондай-ақ берілген түбірлері бар квадрат теңдеулерді құруға болады. Мысалдар келтірейік.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. Мұнда x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. х 1 = 8, x 2 = 3 екенін болжау оңай.

2) x 2 + 11x + 30 = 0. Мұнда x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. x 1 = -5, x 2 = -6 деп болжау оңай.
Назар аударыңыз: егер теңдеудің бос мүшесі оң сан болса, онда екі түбір де оң немесе теріс болады; бұл тамырларды таңдағанда ескеру маңызды.

3) x 2 + x - 12 = 0. Мұнда x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. x 1 \u003d 3, x2 \u003d -4 екенін болжау оңай.
Назар аударыңыз: егер теңдеудің бос мүшесі теріс сан болса, онда түбірлер таңбалары бойынша әр түрлі болады; бұл тамырларды таңдағанда ескеру маңызды.

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. x = 1 теңдеуді қанағаттандыратынын оңай байқауға болады, яғни. x 1 \u003d 1 - теңдеудің түбірі. x 1 x 2 \u003d - және x 1 \u003d 1 болғандықтан, біз x 2 \u003d - аламыз.

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Мұнда x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. 2830 = 283 екеніне назар аударсаңыз. 10, және 293 \u003d 283 + 10, содан кейін x 1 \u003d 283, x 2 \u003d 10 екені белгілі болады (енді осы квадрат теңдеуді стандартты формулалар арқылы шешу үшін қандай есептеулер қажет болатынын елестетіп көріңіз).

6) x 1 \u003d 8, x 2 \u003d - 4 сандары оның түбірлері болатындай квадрат теңдеуді құрастырайық.Әдетте мұндай жағдайларда олар x 2 + px + q \u003d 0 келтірілген квадрат теңдеуді құрайды.
Бізде x 1 + x 2 \u003d -p, сондықтан 8 - 4 \u003d -p, яғни p \u003d -4. Әрі қарай, x 1 x 2 = q, яғни. 8"(-4) = q, осыдан q = -32 аламыз. Сонымен, p \u003d -4, q \u003d -32, бұл қажетті квадрат теңдеудің x 2 -4x-32 \u003d 0 түріне ие екенін білдіреді.

Алдымен теореманың өзін тұжырымдаймыз: Бізде x^2+b*x + c = 0 түріндегі келтірілген квадрат теңдеу бар делік. Бұл теңдеудің x1 және x2 түбірлері бар делік. Сонда теорема бойынша келесі тұжырымдар рұқсат етіледі:

1) x1 және x2 түбірлерінің қосындысы b коэффициентінің теріс мәніне тең болады.

2) Осы түбірлердің көбейтіндісі бізге c коэффициентін береді.

Бірақ жоғарыдағы теңдеу қандай?

Келтірілген квадрат теңдеу – квадрат теңдеу, ең жоғары дәрежелі коэффициент, ол бірге тең, яғни. бұл x^2 + b*x + c = 0 түріндегі теңдеу. (және a*x^2 + b*x + c = 0 теңдеуі азайтылмаған). Басқаша айтқанда, теңдеуді келтірілген түрге келтіру үшін бұл теңдеуді ең жоғары (а) дәрежедегі коэффициентке бөлу керек. Бұл теңдеуді қысқартылған түрге келтіру міндеті:

3*x^2 12*x + 18 = 0;

−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;

1,5*x^2 + 7,5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.

Әрбір теңдеуді ең жоғары дәрежелі коэффициентке бөлеміз, біз аламыз:

X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;

X^2 + 3,5*x - 5,5 = 0.

Мысалдардан көрініп тұрғандай, бөлшектері бар теңдеулерді де қысқартылған түрге келтіруге болады.

Виета теоремасын қолдану

X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;

түбірлерді аламыз: x1 = 2; x2 = 3;

X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; x1*x2 = 8;

нәтижесінде түбірлерді аламыз: x1 = -2; x2 = -4;

X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1*x2 = 4;

түбірлерді аламыз: x1 = −1; x2 = −4.

Вьета теоремасының маңызы

Виетаның теоремасы кез келген берілген квадрат теңдеуді бірнеше секундта шешуге мүмкіндік береді. Бір қарағанда, бұл өте қиын тапсырма сияқты көрінеді, бірақ 5 10 теңдеуден кейін сіз бірден тамырларды көруге үйренуге болады.

Жоғарыда келтірілген мысалдардан және теореманы пайдалана отырып, сіз квадрат теңдеулерді шешуді қалай айтарлықтай жеңілдетуге болатынын көре аласыз, өйткені бұл теореманы пайдалана отырып, күрделі есептеулер аз немесе мүлде жоқ квадрат теңдеуді шешуге және дискриминантты есептеуге болады және өзіңіз білетіндей , неғұрлым аз есептеулер болса, соғұрлым қателесу қиынырақ, бұл маңызды.

Барлық мысалдарда біз екі маңызды болжамға негізделген бұл ережені қолдандық:

Жоғарыдағы теңдеу, яғни. ең жоғары дәрежедегі коэффициент бірге тең (бұл шартты болдырмау оңай. Теңдеудің қысқартылмаған түрін қолдануға болады, онда келесі мәлімдемелер x1+x2=-b/a; x1*x2=c/a болады жарамды, бірақ әдетте оны шешу қиынырақ :))

Қашан теңдеудің екі түрлі түбірі болады. Теңсіздік ақиқат және дискриминант нөлден қатаң үлкен деп есептейміз.

Сондықтан Виет теоремасын пайдаланып жалпы шешім алгоритмін құра аламыз.

Виет теоремасы бойынша жалпы шешім алгоритмі

Квадрат теңдеуді келтірілген түрге келтіреміз, егер теңдеу бізге келтірілмеген түрде берілсе. Квадрат теңдеудегі біз бұрын келтірілген деп келтірген коэффициенттер бөлшек (ондық емес) болып шыққанда, бұл жағдайда теңдеуімізді дискриминант арқылы шешу керек.

Бастапқы теңдеуге қайта оралу «ыңғайлы» сандармен жұмыс істеуге мүмкіндік беретін жағдайлар да бар.

Мектеп алгебра курсында екінші ретті теңдеулерді шешу жолдарын оқығанда алынған түбірлердің қасиеттерін қарастыру. Олар қазір Виетаның теоремасы ретінде белгілі. Оны пайдалану мысалдары осы мақалада келтірілген.

Квадрат теңдеу

Екінші ретті теңдеу - төмендегі фотода көрсетілген теңдік.

Мұндағы a, b, c таңбалары қарастырылып отырған теңдеудің коэффициенттері деп аталатын кейбір сандар. Теңдікті шешу үшін оны ақиқат ететін x мәндерін табу керек.

Назар аударыңыз, х көтерілетін дәреженің максималды мәні екі болғандықтан, жалпы жағдайда түбірлер саны да екі болады.

Теңдіктің бұл түрін шешудің бірнеше жолы бар. Бұл мақалада біз олардың бірін қарастырамыз, ол Вьетнам деп аталатын теореманы қолдануды қамтиды.

Вьета теоремасының тұжырымы

16 ғасырдың аяғында атақты математик Франсуа Виет (француз) әртүрлі квадрат теңдеулердің түбірлерінің қасиеттерін талдай отырып, олардың белгілі бір комбинациялары нақты қатынастарды қанағаттандыратынын байқады. Атап айтқанда, бұл комбинациялар олардың туындысы мен сомасы болып табылады.

Виет теоремасы мынаны белгілейді: квадрат теңдеудің түбірлері қосындыда қарама-қарсы таңбамен алынған сызықтық және квадраттық коэффициенттердің қатынасын береді, ал оларды көбейткенде бос мүшенің квадраттық коэффициентке қатынасына әкеледі. .

Егер теңдеудің жалпы түрі мақаланың алдыңғы бөліміндегі фотосуретте көрсетілгендей жазылса, онда математикалық түрде бұл теореманы екі теңдік түрінде жазуға болады:

• r 2 + r 1 \u003d -b / a;
• r 1 x r 2 \u003d c / a.

Мұндағы r 1 , r 2 – қарастырылатын теңдеудің түбірлерінің мәні.

Бұл екі теңдік өте әртүрлі математикалық есептерді шешу үшін пайдаланылуы мүмкін. Шешімі бар мысалдарда Виета теоремасын қолдану мақаланың келесі бөлімдерінде берілген.