Шектелген сызықтары бар пішіндер. Фигура мысалдарының ауданын есептеңіз. Революция денесінің көлемі
Бұл мақалада сіз интегралдық есептеулер арқылы сызықтармен шектелген фигураның ауданын қалай табуға болатынын білесіз. Алғаш рет мұндай есепті шығаруды орта мектепте белгілі бір интегралдарды зерттеу аяқталып, тәжірибеде алған білімнің геометриялық интерпретациясына кірісетін кез келген кезде кездестіреміз.
Сонымен, интегралдардың көмегімен фигураның ауданын табу мәселесін сәтті шешу үшін не қажет:
- Сызбаларды дұрыс сала білу;
- Белгілі Ньютон-Лейбниц формуласы арқылы анықталған интегралды шеше білу;
- Неғұрлым тиімді шешімді «көру» мүмкіндігі - яғни. Осы немесе басқа жағдайда интеграцияны жүзеге асыру қалай ыңғайлы болатынын түсіну үшін? x осі (OX) немесе y осі (OY) бойымен?
- Дұрыс есептеулерсіз қайда?) Бұл интегралдардың басқа түрін қалай шешу керектігін түсінуді және сандық есептеулерді түзетуді қамтиды.
Түзулермен шектелген фигураның ауданын есептеу есебін шешу алгоритмі:
1. Біз сурет саламыз. Мұны тордағы қағаз парағында, үлкен масштабта жасаған жөн. Әр графиктің үстіне қарындашпен осы функцияның атауына қол қоямыз. Графиктердің қолтаңбасы кейінгі есептеулерге ыңғайлы болу үшін ғана жасалады. Қажетті фигураның графигін алғаннан кейін, көп жағдайда қандай интеграциялық шектеулер қолданылатыны бірден белгілі болады. Осылайша, біз мәселені графикалық түрде шешеміз. Дегенмен, шектеулердің мәндері бөлшек немесе иррационалды болып табылады. Сондықтан, сіз қосымша есептеулер жасай аласыз, екінші қадамға өтіңіз.
2. Егер интеграциялық шектеулер нақты белгіленбесе, онда біз графиктердің бір-бірімен қиылысу нүктелерін табамыз және графикалық шешіміміздің аналитикалық шешімге сәйкес келетінін көреміз.
3. Әрі қарай, сіз сызбаны талдауыңыз керек. Функциялардың графиктерінің орналасуына байланысты фигураның ауданын табудың әртүрлі тәсілдері бар. Интегралдар көмегімен фигураның ауданын табудың әртүрлі мысалдарын қарастырыңыз.
3.1. Мәселенің ең классикалық және қарапайым нұсқасы - қисық сызықты трапецияның ауданын табу керек кезде. Қисық сызықты трапеция дегеніміз не? Бұл х осімен шектелген жалпақ фигура (y=0), Түзу x = a, x = bжәне аралығы бойынша үздіксіз кез келген қисық абұрын б. Сонымен бірге бұл көрсеткіш теріс емес және х осінен төмен емес орналасқан. Бұл жағдайда қисық сызықты трапеция ауданы Ньютон-Лейбниц формуласы арқылы есептелген анықталған интегралға сандық түрде тең:
1-мысал y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Фигураны қандай сызықтар анықтайды? Бізде парабола бар у = x2 - 3x + 3, ол осьтің үстінде орналасқан OH, ол теріс емес, өйткені Бұл параболаның барлық нүктелері оң. Әрі қарай түзу сызықтар берілген x = 1және x = 3осіне параллель орналасқан OU, сол және оң жақтағы фигураның шекті сызықтары. содан y = 0, ол фигураны төменнен шектейтін x осі. Алынған фигура сол жақтағы суретте көрсетілгендей, көлеңкеленген. Бұл жағдайда сіз дереу мәселені шешуге кірісе аласыз. Біздің алдымызда қисық сызықты трапецияның қарапайым мысалы бар, біз оны Ньютон-Лейбниц формуласы арқылы шешеміз.
3.2. Алдыңғы 3.1-тармақта қисық сызықты трапеция х осінен жоғары орналасқан жағдай талданған болатын. Енді мәселенің шарттары бірдей болатын жағдайды қарастырайық, тек функция х осінің астында жатқанын қоспағанда. Стандартты Ньютон-Лейбниц формуласына минус қосылады. Мұндай мәселені қалай шешуге болады, біз әрі қарай қарастырамыз.
2-мысал . Сызықтармен шектелген фигураның ауданын есептеңіз y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.
Бұл мысалда бізде парабола бар y=x2+6x+2, ол осьтің астынан басталады OH, Түзу x=-4, x=-1, y=0. Мұнда y = 0жоғарыдан қажетті фигураны шектейді. Тікелей x = -4және x = -1бұл анықталған интеграл есептелетін шекаралар. Фигураның ауданын табу мәселесін шешу принципі №1 мысалмен толық дерлік сәйкес келеді. Жалғыз айырмашылық мынада: берілген функция оң емес, сонымен қатар интервалда үздіксіз болады. [-4; -1] . Позитивті емес нені білдіреді? Суреттен көрініп тұрғандай, берілген х шегінде орналасқан фигураның тек «теріс» координаталары бар, бұл мәселені шешу кезінде көру және есте сақтау қажет. Біз Ньютон-Лейбниц формуласы арқылы фигураның ауданын іздейміз, тек басында минус таңбасы бар.
Мақала аяқталмаған.
Кез келген белгілі бір интеграл (бар) өте жақсы геометриялық мағынаға ие. Сабақта анықталған интегралды сан деп айттым. Енді тағы бір пайдалы фактіні айта кететін кез келді. Геометрия тұрғысынан анықталған интеграл - AREA.
Яғни, анықталған интеграл (егер ол бар болса) қандай да бір фигураның ауданына геометриялық түрде сәйкес келеді. Мысалы, анықталған интегралды қарастырайық. Интеграл жазықтықта белгілі бір қисық сызықты анықтайды (қажет болса оны әрқашан сызуға болады), ал анықталған интегралдың өзі сәйкес қисық сызықты трапецияның ауданына сандық түрде тең.
1-мысал
Бұл әдеттегі тапсырма мәлімдемесі. Шешімнің бірінші және ең маңызды сәті сызбаның құрылысы болып табылады. Оның үстіне сызбаны салу керек ДҰРЫС.
Жоспар құру кезінде мен келесі тәртіпті ұсынамын: біріншібарлық сызықтарды (бар болса) және тек қана құрастырған дұрыс кейін- парабола, гипербола, басқа функциялардың графиктері. Функция графиктерін құру тиімдірек нүкте бойынша, нүктелік тұрғызу техникасын анықтамалық материалдан табуға болады.
Онда сіз біздің сабағымызға қатысты өте пайдалы материалды таба аласыз - параболаны қалай тез салу керек.
Бұл мәселеде шешім келесідей болуы мүмкін.
Сызба жасайық (теңдеу осьті анықтайтынын ескеріңіз):
Мен қисық сызықты трапецияны шығармай-ақ қояйын, бұл жерде әңгіме қай аймақ туралы екені анық. Шешім келесідей жалғасады:
кесіндісінде функцияның графигі орналасқан ось үстінде, сондықтан:
Жауап:
Анықталған интегралды есептеуде және Ньютон-Лейбниц формуласын қолдануда қиналғандар үшін дәрісті қараңыз. Анықталған интеграл. Шешу мысалдары.
Тапсырма орындалғаннан кейін сызбаға қарап, жауаптың нақты екенін анықтау әрқашан пайдалы. Бұл жағдайда «көзбен» біз сызбадағы ұяшықтардың санын есептейміз - жақсы, шамамен 9 терілетін болады, бұл дұрыс сияқты. Егер бізде, айталық, жауап болса: 20 шаршы бірлік, демек, бір жерде қате жіберілгені анық - 20 ұяшық бұл фигураға сәйкес келмейтіні анық, ең көп дегенде ондаған. Егер жауап теріс болып шықса, онда тапсырма да қате шешілген.
2-мысал
, , және осімен шектелген фигураның ауданын есептеңіз
Бұл өз қолыңызбен жасалатын мысал. Толық шешім және сабақ соңында жауап беру.
Қисық сызықты трапеция орналасса не істеу керек осьтің астында?
3-мысал
Түзулермен және координат осьтерімен шектелген фигураның ауданын есептеңіз.
Шешуі: Сурет салайық:
Егер қисық сызықты трапеция болса толығымен осьтің астында, онда оның ауданын мына формула бойынша табуға болады:
Бұл жағдайда:
Назар аударыңыз! Тапсырмалардың екі түрін шатастыруға болмайды:
1) Егер сізге геометриялық мағынасы жоқ белгілі бір интегралды шешу сұралса, ол теріс болуы мүмкін.
2) Егер сізге белгілі интеграл көмегімен фигураның ауданын табу сұралса, онда аудан әрқашан оң болады! Міне, сондықтан минус қарастырылған формулада пайда болады.
Іс жүзінде фигура көбінесе жоғарғы және төменгі жарты жазықтықта орналасады, сондықтан қарапайым мектеп есептерінен біз мағыналы мысалдарға көшеміз.
4-мысал
Түзулермен шектелген жазық фигураның ауданын табыңыз.
Шешуі: Алдымен сурет салу керек. Жалпы алғанда, аудан есептерінің сызбасын салғанда, бізді сызықтардың қиылысу нүктелері қызықтырады. Парабола мен түзудің қиылысу нүктелерін табайық. Мұны екі жолмен жасауға болады. Бірінші әдіс – аналитикалық. Теңдеуді шешеміз:
Демек, интеграцияның төменгі шегі , интеграцияның жоғарғы шегі .
Мүмкіндігінше бұл әдісті қолданбаған дұрыс.
Интеграцияның шегі «өздігінен» анықталғандай, сызықтарды нүкте бойынша салу әлдеқайда тиімді және жылдамырақ. Әртүрлі диаграммалар үшін нүкте бойынша салу техникасы анықтамада егжей-тегжейлі талқыланады Элементар функциялардың графиктері мен қасиеттері. Дегенмен, шектерді табудың аналитикалық әдісін әлі де кейде қолдануға тура келеді, егер, мысалы, график жеткілікті үлкен болса немесе бұрандалы конструкция интеграцияның шектерін ашпаса (олар бөлшек немесе иррационалды болуы мүмкін). Сондай-ақ біз мұндай мысалды қарастырамыз.
Біз тапсырмамызға ораламыз: алдымен түзу сызықты, содан кейін ғана параболаны тұрғызу ұтымдырақ. Сурет салайық:
Қайталап айтамын, нүктелік құрылыспен интеграцияның шектері көбінесе «автоматты түрде» анықталады.
Ал енді жұмыс формуласы:Егер сегментте үзіліссіз функция болса артық немесе теңүзіліссіз функция болса, сәйкес фигураның ауданын мына формула бойынша табуға болады:
Мұнда фигураның қай жерде орналасқаны туралы ойлаудың қажеті жоқ - осьтің үстінде немесе осьтің астында, және шамамен айтқанда, қай диаграмманың ЖОҒАРЫДА екені маңызды(басқа графикке қатысты), және қайсысы ТӨМЕНДЕ.
Қарастырылып отырған мысалда парабола кесіндіде түзу сызықтың үстінде орналасқаны анық, сондықтан одан шегеру керек.
Шешімнің аяқталуы келесідей болуы мүмкін:
Қажетті фигура жоғарыдан параболамен және төменнен түзу сызықпен шектеледі.
Жауап:
Шын мәнінде, төменгі жарты жазықтықтағы қисық сызықты трапеция ауданына арналған мектеп формуласы (қарапайым мысал № 3 қараңыз) формуланың ерекше жағдайы болып табылады. Ось теңдеу арқылы берілгендіктен, ал функцияның графигі осьтен төмен орналасқандықтан, онда
Енді тәуелсіз шешімге бірнеше мысал
5-мысал
6-мысал
, сызықтарымен қоршалған фигураның ауданын табыңыз.
Белгілі бір интегралдың көмегімен ауданды есептеуге арналған есептерді шешу барысында кейде күлкілі оқиға орын алады. Сызба дұрыс жасалды, есептеулер дұрыс болды, бірақ назар аудармағандықтан ... қате фигураның ауданын тапты, сенің мойынсұнғыш қызметшісің осылайша бірнеше рет бұрмалады. Міне, нақты өмірлік оқиға:
7-мысал
, , , сызықтарымен шектелген фигураның ауданын есептеңдер.
Алдымен сурет салайық:
Ауданын табуымыз керек фигура көк түспен боялған.(шартты мұқият қараңыз - фигура қалай шектелген!). Бірақ іс жүзінде абайсыздықтың салдарынан жасыл түспен боялған фигураның ауданын табу керек болады!
Бұл мысал сонымен қатар пайдалы, өйткені онда фигураның ауданы екі анықталған интегралдың көмегімен есептеледі. Шынымен:
1) Ось үстіндегі кесіндіде түзу графигі бар;
2) Ось үстіндегі кесіндіде гипербола графигі орналасқан.
Аймақтарды қосуға болатыны (және қажет) екені анық, сондықтан:
Жауап:
8-мысал
Түзулермен шектелген фигураның ауданын есептеңіз,
Теңдеулерді «мектеп» түрінде ұсынып, нүктелік сызбаны орындаймыз:
Сызбадан біздің жоғарғы шегіміз «жақсы» екенін көруге болады: .
Бірақ төменгі шегі қандай? Бұл бүтін сан емес екені анық, бірақ не? Мүмкін ? Бірақ сызбаның мінсіз дәлдікпен жасалғанына кепілдік қайда, бұл жақсы болуы мүмкін. Немесе тамыр. Егер біз графикті мүлде дұрыс алмасақ ше?
Мұндай жағдайларда қосымша уақыт жұмсауға және интеграцияның шектерін аналитикалық тұрғыдан нақтылауға тура келеді.
Түзу мен параболаның қиылысу нүктелерін табайық.
Ол үшін мына теңдеуді шешеміз:
Демек, .
Әрі қарай шешім тривиальды, бастысы - ауыстырулар мен белгілерде шатастырмау, мұнда есептеулер оңай емес.
Сәйкес формула бойынша сегментінде:
Ал, сабақты қорытындылай келе, қиынырақ екі тапсырманы қарастырамыз.
9-мысал
Түзулермен шектелген фигураның ауданын есептеңдер, ,
Шешуі: Бұл фигураны сызбаға салыңыз.
Сызбаны нүкте бойынша салу үшін синусоидтың сыртқы түрін білу қажет (және жалпы алғанда білу пайдалы барлық элементар функциялардың графиктері), сондай-ақ кейбір синус мәндерін, оларды табуға болады тригонометриялық кесте. Кейбір жағдайларда (бұл жағдайда сияқты) схемалық сызбаны салуға рұқсат етіледі, онда графиктер мен интеграциялық шектеулер негізінен дұрыс көрсетілуі керек.
Мұнда интеграциялық шектеулермен ешқандай проблемалар жоқ, олар тікелей шарттан туындайды: - «x» нөлден «пиге» өзгереді. Біз қосымша шешім қабылдаймыз:
Сегментте функцияның графигі осьтің үстінде орналасқан, сондықтан:
(1) Синустар мен косинустардың тақ дәрежелерде қалай біріктірілгенін сабақта көруге болады Тригонометриялық функциялардың интегралдары. Бұл әдеттегі әдіс, біз бір синусты қысамыз.
(2) Біз формада негізгі тригонометриялық сәйкестікті қолданамыз
(3) Айнымалыны өзгертейік, содан кейін:
Интеграцияның жаңа қайта бөлулері:
Ауыстырумен кім шынымен жаман бизнес, сабаққа өтіңіз Анықталмаған интегралда ауыстыру әдісі. Белгілі интегралдағы ауыстыру алгоритмі туралы өте анық емес адамдар үшін бетке кіріңіз. Анықталған интеграл. Шешу мысалдары. 5-мысал: Шешуі: осылайша:
Жауап:
Ескерту:текшедегі жанаманың интегралы қалай алынғанын, мұнда негізгі тригонометриялық сәйкестіктің салдары қолданылатынын ескеріңіз.
Артқа алға
Назар аударыңыз! Слайдты алдын ала қарау тек ақпараттық мақсаттарға арналған және презентацияның толық көлемін көрсетпеуі мүмкін. Егер сізді осы жұмыс қызықтырса, толық нұсқасын жүктеп алыңыз.
Түйінді сөздер:интегралды, қисық сызықты трапеция, лалагүлдермен шектелген фигуралардың ауданы
Жабдық: тақта, компьютер, мультимедиялық проектор
Сабақтың түрі: сабақ-дәріс
Сабақтың мақсаттары:
- тәрбиелік:ақыл-ой еңбегінің мәдениетін қалыптастыру, әрбір оқушының табысқа жету жағдайын жасау, оқуға деген оң ынтасын қалыптастыру; сөйлеу және басқаларды тыңдау қабілеттерін дамыту.
- дамытушы:әр түрлі жағдаяттарда алған білімін қолдануда оқушының ойлау дербестігін қалыптастыру, талдау және қорытынды жасай білу, логикасын дамыту, сұрақты дұрыс қойып, оған жауап табу қабілеттерін дамыту. Есептеу, есептеу дағдыларын қалыптастыруды жетілдіру, ұсынылған тапсырмаларды орындау барысында оқушылардың ойлауын дамыту, алгоритмдік мәдениетін дамыту.
- тәрбиелік: қисық сызықты трапеция, интеграл туралы түсініктерін қалыптастыру, жазық фигуралардың аудандарын есептеу дағдыларын меңгерту.
Оқыту әдісі:түсіндірмелі және көрнекі.
Сабақтар кезінде
Өткен сабақтарда шекаралары сынық сызықтар болып табылатын фигуралардың аудандарын есептеуді үйрендік. Математикада қисық сызықтармен шектелген фигуралардың ауданын есептеуге мүмкіндік беретін әдістер бар. Мұндай фигуралар қисық сызықты трапециялар деп аталады, ал олардың ауданы антитуындылардың көмегімен есептеледі.
Қисық сызықты трапеция ( слайд 1)
Қисық сызықты трапеция – функция графигімен шектелген фигура, ( в.м.), Түзу x = aжәне x = bжәне абсцисса
Қисық сызықты трапециялардың әртүрлі түрлері ( слайд 2)
Біз қисық сызықты трапециялардың әртүрлі түрлерін қарастырамыз және мынаны байқаймыз: сызықтардың бірі нүктеге азғындалған, шектеуші функцияның рөлін сызық атқарады.
Қисық сызықты трапеция ауданы (3-слайд)
Аралықтың сол жақ ұшын бекітіңіз а,және дұрыс Xбіз өзгереміз, яғни қисық сызықты трапецияның оң қабырғасын жылжытамыз және өзгеретін фигураны аламыз. Функция графигімен шектелген айнымалы қисық сызықты трапеция ауданы антитуынды болып табылады Ффункциясы үшін f
Ал сегментте [ а; б] функциясы арқылы құрылған қисық сызықты трапеция ауданы f,осы функцияның антитуынды өсіміне тең:
1-жаттығу:
Функция графигімен шектелген қисық сызықты трапеция ауданын табыңыз: f(x) = x 2және тікелей y=0, x=1, x=2.
Шешімі: ( 3-слайд алгоритмі бойынша)
Функцияның графигін және түзулерін сал
Функцияның қарсы туындыларының бірін табыңыз f(x) = x 2 :
Слайдтың өзін-өзі тексеруі
Ажырамас
Функциямен берілген қисық сызықты трапецияны қарастырайық fсегментінде [ а; б]. Осы сегментті бірнеше бөлікке бөлейік. Бүкіл трапецияның ауданы кішірек қисық сызықты трапециялардың аудандарының қосындысына бөлінеді. ( слайд 5). Әрбір осындай трапецияны шамамен тіктөртбұрыш деп санауға болады. Осы тіктөртбұрыштардың аудандарының қосындысы қисық сызықты трапецияның бүкіл ауданы туралы шамамен түсінік береді. Біз сегментті неғұрлым кішірек бөлеміз [ а; б], ауданды неғұрлым дәл есептейміз.
Бұл ойларды формулалар түрінде жазамыз.
сегментті бөліңіз [ а; б] нүктелері бар n бөлікке x 0 \u003d a, x1, ..., xn \u003d b.Ұзындығы к- th арқылы белгілеңіз xk = xk - xk-1. Қорытындылайық
Геометриялық тұрғыдан бұл қосынды суретте көлеңкеленген фигураның ауданы болып табылады ( ш.м.)
Пішіннің қосындылары функция үшін интегралдық қосындылар деп аталады f. (ш.м.)
Интегралдық қосындылар ауданның жуық мәнін береді. Нақты мән шекке өту арқылы алынады. Біз сегменттің бөлігін нақтылайтынымызды елестетіңіз [ а; б] барлық шағын сегменттердің ұзындықтары нөлге бейім болатындай етіп. Содан кейін құрастырылған фигураның ауданы қисық сызықты трапеция ауданына жақындайды. Қисық сызықты трапецияның ауданы интегралдық қосындылардың шегіне тең деп айта аламыз, Ск.т. (ш.м.)немесе интегралдық, яғни,
Анықтамасы:
функция интегралы f(x)бастап абұрын бинтегралдық қосындылардың шегі деп аталады
= (ш.м.)
Ньютон-Лейбниц формуласы.
Есіңізде болсын, интегралдық қосындылардың шегі қисық сызықты трапецияның ауданына тең, сондықтан мынаны жаза аламыз:
Ск.т. = (ш.м.)
Екінші жағынан, қисық сызықты трапецияның ауданы формула бойынша есептеледі
С-ден т. (ш.м.)
Осы формулаларды салыстыра отырып, мынаны аламыз:
= (ш.м.)Бұл теңдік Ньютон-Лейбниц формуласы деп аталады.
Есептеулер ыңғайлы болу үшін формула былай жазылады:
= = (ш.м.)Тапсырмалар: (ш.м.)
1. Ньютон-Лейбниц формуласы бойынша интегралды есептеңіз: ( 5-слайдты тексеру)
2. Сызба бойынша интегралды құрастырыңыз ( 6 слайдты тексеріңіз)
3. Сызықтармен шектелген фигураның ауданын табыңыз: y \u003d x 3, y \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d 2. ( Слайд 7)
Жазық фигуралардың аудандарын табу ( слайд 8)
Қисықсызықты трапеция емес фигуралардың ауданын қалай табуға болады?
Графиктерін слайдтан көріп тұрған екі функция берілсін . (ш.м.)Көлеңкеленген фигураның ауданын табыңыз . (ш.м.). Қарастырылып отырған фигура қисық сызықты трапеция ма? Ал ауданның аддитивтілік қасиетін пайдаланып оның ауданын қалай табуға болады? Екі қисық трапецияны қарастырып, олардың біреуінің ауданынан екіншісінің ауданын шегеріңіз ( в.м)
Слайдтағы анимациядан ауданды табу алгоритмін құрайық:
- Сюжеттік функциялар
- Графиктердің қиылысу нүктелерін х осіне проекциялаңыз
- Графиктерді кесіп өту арқылы алынған фигураны бояңыз
- Қиылысуы немесе бірігуі берілген фигура болатын қисық сызықты трапецияларды табыңыз.
- Әрқайсысының ауданын есептеңіз
- Аудандардың айырмасын немесе қосындысын табыңыз
Ауызша тапсырма: Көлеңкеленген фигураның ауданын қалай алуға болады (анимация арқылы айту, слайд 8 және 9)
Үй жұмысы:Аннотацияны пысықтау, №353 (а), №364 (а).
Әдебиеттер тізімі
- Алгебра және талдаудың басы: кешкі (ауысымдық) мектептің 9-11 сыныптарына арналған оқулық / ред. Г.Д. Глейзер. - М: Ағарту, 1983 ж.
- Башмаков М.И. Алгебра және талдаудың басы: орта мектептің 10-11 сыныптарына арналған оқулық / Башмаков М.И. - М: Ағарту, 1991 ж.
- Башмаков М.И. Математика: бастауыш мекемелерге арналған оқулық. және орт. проф. білім / М.И. Башмаков. - М: Академия, 2010 ж.
- Колмогоров А.Н. Алгебра және талдаудың басы: 10-11 ұяшыққа арналған оқулық. оқу орындары / А.Н.Колмогоров. - М: Ағарту, 2010 ж.
- Островский С.Л. Сабаққа презентацияны қалай жасауға болады?/ С.Л. Островский. – М.: Бірінші қыркүйек, 2010 ж.
Сызықтармен шектелген фигураның ауданын есептеңіз.
Шешім.
Берілген түзулердің қиылысу нүктелерін табамыз. Ол үшін теңдеулер жүйесін шешеміз:
Берілген түзулердің қиылысу нүктелерінің абсциссаларын табу үшін мына теңдеуді шешеміз:
Біз табамыз: x 1 = -2, x 2 = 4.
Сонымен, парабола және түзу болып табылатын бұл түзулер нүктелерде қиылысады А(-2; 0), Б(4; 6).
Бұл жолдар жабық фигураны құрайды, оның ауданы жоғарыдағы формула бойынша есептеледі:
Ньютон-Лейбниц формуласы бойынша мынаны табамыз:
Эллипспен шектелген ауданның ауданын табыңыз.
Шешім.
I квадрант үшін эллипс теңдеуінен бізде . Осыдан формула бойынша аламыз
Ауыстыруды қолданайық x = акүнә т, dx = а cos т дт. Интеграцияның жаңа шектері т = α және т = β 0 = теңдеулерінен анықталады акүнә т, а = акүнә т. Қоюға болады α = 0 және β = π /2.
Біз қажетті аумақтың төрттен бірін табамыз
Осы жерден С = паб.
Түзулермен шектелген фигураның ауданын табыңызж = - x 2 + x + 4 жәнеж = - x + 1.
Шешім.
Түзулердің қиылысу нүктелерін табыңыз ж = -x 2 + x + 4, ж = -x+ 1, түзулердің ординаталарын теңестіру: - x 2 + x + 4 = -x+ 1 немесе x 2 - 2x- 3 = 0. Түбірлерді табыңыз x 1 = -1, x 2 = 3 және олардың сәйкес ординаталары ж 1 = 2, ж 2 = -2.
Фигураның ауданы формуласын қолданып, аламыз
Параболамен қоршалған ауданды табыңызж = x 2 + 1 және тікелейx + ж = 3.
Шешім.
Теңдеулер жүйесін шешу
қиылысу нүктелерінің абсциссаларын табыңыз x 1 = -2 және x 2 = 1.
Болжам бойынша ж 2 = 3 - xжәне ж 1 = x 2 + 1, формулаға сүйене отырып, біз аламыз
Бернулли лемнискатындағы ауданды есептеңізr 2 = а 2 cos 2 φ .
Шешім.
Полярлық координаталар жүйесінде фигураның ауданы қисық доғасымен шектелген r = f(φ ) және екі полярлық радиус φ 1 = ʅ және φ 2 = ʆ , интегралмен өрнектеледі
Қисық сызықтың симметриясына байланысты алдымен қалаған ауданның төрттен бір бөлігін анықтаймыз
Демек, жалпы ауданы С = а 2 .
Астроид доғасының ұзындығын есептеңізx 2/3 + ж 2/3 = а 2/3 .
Шешім.
Астроид теңдеуін түрінде жазамыз
(x 1/3) 2 + (ж 1/3) 2 = (а 1/3) 2 .
қояйық x 1/3 = а 1/3 cos т, ж 1/3 = а 1/3 күнә т.
Осыдан астроидтың параметрлік теңдеулерін аламыз
x = а cos 3 т, ж = акүнә 3 т, (*)
мұндағы 0 ≤ т ≤ 2π .
Қисықтың (*) симметриясын ескере отырып, доға ұзындығының төрттен бір бөлігін табу жеткілікті. Лпараметрінің өзгеруіне сәйкес келеді т 0-ден π /2.
Біз алып жатырмыз
dx = -3а cos 2 ткүнә т дт, dy = 3акүнә 2 т cos т дт.
Осы жерден табамыз
Алынған өрнекті 0-ден бастап аралықта біріктіру π /2, аламыз
Осы жерден Л = 6а.
Архимед спиралімен шектелген ауданды табыңызr = aφ және полярлық бұрыштарға сәйкес келетін екі радиус векторыφ 1 жәнеφ 2 (φ 1 < φ 2 ).
Шешім.
Қисық сызықпен шектелген аудан r = f(φ ) формуласымен есептеледі, мұндағы α және β - полярлық бұрыштың өзгеру шегі.
Осылайша, біз аламыз
(*)
(*) нүктесінен поляр осімен және Архимед спиральының бірінші айналымымен шектелген аудан шығады ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):
Сол сияқты, поляр осімен және Архимед спиральының екінші айналымымен шектелген ауданды табамыз ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):
Қажетті аудан осы аумақтардың айырмашылығына тең
Ось айналасында айналу нәтижесінде алынған дененің көлемін есептеңдерӨгіз параболалармен шектелген фигураж = x 2 жәнеx = ж 2 .
Шешім.
Теңдеулер жүйесін шешейік
және алу x 1 = 0, x 2 = 1, ж 1 = 0, ж 2 = 1, қисықтардың қиылысу нүктелері осыдан О(0; 0), Б(он бір). Суретте көрініп тұрғандай, айналу денесінің қажетті көлемі ось айналасында айналу нәтижесінде пайда болған екі көлемнің айырмашылығына тең. Өгізқисық сызықты трапециялар OCBAжәне ОДБА:
осімен шектелген ауданды есептеңдерӨгіз және синусоидж = күнәx сегменттер бойынша: a); б) .
Шешім.
а) кесіндіде sin функциясы xтаңбасын сақтайды, демек формула бойынша , қабылдайды ж= күнә x, табамыз
б) , кесіндісінде sin функциясы xбелгісін өзгертеді. Есепті дұрыс шешу үшін кесіндіні екіге және [ге бөлу керек. π , 2π ], олардың әрқайсысында функция өз белгісін сақтайды.
Белгілер ережесі бойынша сегментте [ π , 2π ] ауданы минус белгісімен алынады.
Нәтижесінде қалаған аумақ тең болады
Эллипстің айналуынан алынған бетпен шектелген дененің көлемін анықтаңызнегізгі осьтің айналасындаа .
Шешім.
Эллипс координата осьтеріне қатысты симметриялы екенін ескерсек, ось айналасында айналу нәтижесінде пайда болған көлемді табу жеткілікті. Өгізаумақ OAB, эллипс ауданының төрттен біріне тең және нәтижені екі есе көбейтіңіз.
Төңкеріс денесінің көлемін арқылы белгілейік В x; онда формулаға сүйене отырып, бізде , мұндағы 0 және а- нүктелердің абсциссалары Бжәне А. Эллипс теңдеуінен табамыз. Осы жерден
Осылайша, қажетті көлем -ге тең. (Эллипс кіші ось айналасында айналғанда б, дененің көлемі )
Параболалармен шектелген ауданды табыңызж 2 = 2 px жәнеx 2 = 2 py .
Шешім.
Біріншіден, интегралдау интервалын анықтау үшін параболалардың қиылысу нүктелерінің координаталарын табамыз. Бастапқы теңдеулерді түрлендіре отырып, және аламыз. Осы мәндерді теңестіріп, немесе аламыз x 4 - 8б 3 x = 0.
x 4 - 8б 3 x = x(x 3 - 8б 3) = x(x - 2б)(x 2 + 2px + 4б 2) = 0.
Теңдеулердің түбірін табамыз:
Нүкте екенін ескере отырып Апараболалардың қиылысы бірінші ширекте, одан кейін интегралдау шегінде болады x= 0 және x = 2б.
Қажетті аудан формула бойынша табылады
Мысал 1 . Сызықтармен шектелген фигураның ауданын есептеңіз: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 және x = 2
Фигураны тұрғызайық (суретті қараңыз) Екі A (4; 0) және В (0; 2) нүктелерінің бойымен x + 2y - 4 \u003d 0 түзуін саламыз. y мәнін x арқылы өрнектесек, біз у \u003d -0,5x + 2 аламыз. (1) формулаға сәйкес, мұнда f (x) \u003d -0,5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2, біз табу
S \u003d \u003d [-0,25 \u003d 11,25 ш. бірлік
2-мысал Сызықтармен шектелген фигураның ауданын есептеңіз: x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 және y \u003d 0.
Шешім. Фигураны құрастырайық.
x - 2y + 4 = 0 түзуін тұрғызайық: у = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).
x + y - 5 = 0 түзуін салайық: y = 0, x = 5, С(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).
Теңдеулер жүйесін шешу арқылы түзулердің қиылысу нүктесін табыңыз:
x = 2, y = 3; M(2; 3).
Қажетті ауданды есептеу үшін AMC үшбұрышын екі AMN және NMC үшбұрыштарына бөлеміз, өйткені х А-дан N-ге өзгергенде, аудан түзумен шектеледі, ал х N-ден С-ге өзгергенде, ол түзу болады.
AMN үшбұрышы үшін бізде: ; y \u003d 0,5x + 2, яғни f (x) \u003d 0,5x + 2, a \u003d - 4, b \u003d 2.
NMC үшбұрышы үшін бізде: y = - x + 5, яғни f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.
Үшбұрыштардың әрқайсысының ауданын есептеп, нәтижелерді қоса отырып, біз табамыз:
шаршы бірлік
шаршы бірлік
9 + 4, 5 = 13,5 ш. бірлік Тексеріңіз: = 0,5AC = 0,5 кв. бірлік
3-мысал Түзулермен шектелген фигураның ауданын есептеңіз: y = x 2 , у = 0, x = 2, x = 3.
Бұл жағдайда у = x параболасымен шектелген қисық сызықты трапецияның ауданын есептеу қажет. 2 , x \u003d 2 және x \u003d 3 түзу сызықтары және Ox осі (суретті қараңыз) Формула (1) бойынша біз қисық сызықты трапецияның ауданын табамыз.
= = 6 кв. бірлік
4-мысал Сызықтармен шектелген фигураның ауданын есептеңіз: y \u003d - x 2 + 4 және у = 0
Фигураны құрастырайық. Қажетті аймақ y \u003d - x параболасының арасына салынған 2 + 4 және ось Oh.
Параболаның х осімен қиылысу нүктелерін табыңыз. y \u003d 0 деп есептесек, біз x \u003d табамыз Бұл фигура Oy осіне симметриялы болғандықтан, біз Oy осінің оң жағында орналасқан фигураның ауданын есептейміз және нәтижені екі есе көбейтеміз: \u003d + 4x] шаршы бірлік 2 = 2 шаршы бірлік
5-мысал Түзулермен шектелген фигураның ауданын есептеңіз: у 2 = x, yx = 1, x = 4
Мұнда у параболаның жоғарғы тармағымен шектелген қисық сызықты трапеция ауданын есептеу қажет. 2 \u003d x, Ox осі және түзу сызықтар x \u003d 1x \u003d 4 (суретті қараңыз)
(1) формуласына сәйкес, мұндағы f(x) = a = 1 және b = 4, бізде = (= шаршы бірліктері бар)
6-мысал . Түзулермен шектелген фигураның ауданын есептеңіз: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .
Қажетті аймақ жарты толқынды синусоидпен және Ox осімен шектелген (суретті қараңыз).
Бізде - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 шаршы метр. бірлік
7-мысал Сызықтармен шектелген фигураның ауданын есептеңіз: y \u003d - 6x, y \u003d 0 және x \u003d 4.
Сурет Ox осінің астында орналасқан (суретті қараңыз).
Сондықтан оның ауданы (3) формула бойынша табылады.
= =
8-мысал Сызықтармен шектелген фигураның ауданын есептеңіз: y \u003d және x \u003d 2. Біз y \u003d қисығын нүктелер арқылы саламыз (суретті қараңыз). Осылайша, фигураның ауданы (4) формуласы бойынша табылады.
9-мысал .
X 2 + ж 2 = r 2 .
Мұнда x шеңберімен шектелген ауданды есептеу керек 2 + ж 2 = r 2 , яғни координаталар координатасында центрленген r радиусы бар шеңбердің ауданы. 0-ден интегралдау шегін алып, осы ауданның төртінші бөлігін табайық
дор; бізде бар: 1 = = [
Демек, 1 =
10-мысал Сызықтармен шектелген фигураның ауданын есептеңіз: y \u003d x 2 және y = 2x
Бұл көрсеткіш y \u003d x параболасымен шектелген 2 және түзу y \u003d 2x (суретті қараңыз) Берілген түзулердің қиылысу нүктелерін анықтау үшін теңдеулер жүйесін шешеміз: x 2 – 2x = 0 x = 0 және x = 2
Ауданды табу үшін (5) формуланы қолданып аламыз
= }
