Жасау

Тең қабырғалы үшбұрыш – параллелограмм. Параллелограммдық теоремалар. Диагоналдар жартысына кесілген

Евклид геометриясындағыдай нүкте мен түзу жазықтықтар теориясының негізгі элементтері болып табылады, сондықтан параллелограмм дөңес төртбұрыштардың негізгі фигураларының бірі болып табылады. Одан шардың жіптері сияқты «тіктөртбұрыш», «шаршы», «ромб» және басқа геометриялық шамалар ұғымдары шығады.

Байланыста

Параллелограммның анықтамасы

дөңес төртбұрыш,әрбір жұбы параллель болатын кесінділерден тұратын геометрияда параллелограмм деп аталады.

Классикалық параллелограмм ABCD төртбұрышына ұқсайды. Қабырғалары табандар (AB, BC, CD және AD), кез келген төбеден осы төбенің қарама-қарсы жағына жүргізілген перпендикуляр биіктік (BE және BF) деп аталады, AC және BD түзулері диагональдар болып табылады.

Назар аударыңыз!Шаршы, ромб және тіктөртбұрыш параллелограмның ерекше жағдайлары болып табылады.

Қабырғалары мен бұрыштары: қатынас ерекшеліктері

Негізгі қасиеттер, жалпы алғанда, белгілеудің өзі алдын ала белгіленеді, олар теорема арқылы дәлелденеді. Бұл сипаттамалар келесідей:

Қарама-қарсы жақтары жұпта бірдей.
Бір-біріне қарама-қарсы бұрыштар жұпта тең.

Дәлелдеу: ABCD төртбұрышын АС түзуіне бөлу арқылы алынған ∆ABC және ∆ADC қарастырайық. ∠BCA=∠CAD және ∠BAC=∠ACD, өйткені AC оларға ортақ (тиісінше BC||AD және AB||CD үшін тік бұрыштар). Бұдан шығатыны: ∆ABC = ∆ADC (үшбұрыштар теңдігінің екінші критерийі).

∆ABC-тегі AB және BC сегменттері ∆ADC-тегі CD және AD сызықтарына жұппен сәйкес келеді, бұл олардың бірдей екенін білдіреді: AB = CD, BC = AD. Осылайша, ∠B ∠D сәйкес келеді және олар тең. ∠A=∠BAC+∠CAD болғандықтан, жұптарда да бірдей ∠C=∠BCA+∠ACD, онда ∠A = ∠C. Меншік дәлелденді.

Фигураның диагональдарының сипаттамасы

Негізгі ерекшелігімына параллелограмм түзулері: қиылысу нүктесі оларды екіге бөледі.

Дәлелдеу: ABCD фигурасының AC және BD диагональдарының қиылысу нүктесі m.E болсын. Олар екі пропорционал үшбұрыш құрайды - ∆ABE және ∆CDE.

AB=CD, өйткені олар қарама-қарсы. Сызықтар мен секанттарға сәйкес ∠ABE = ∠CDE және ∠BAE = ∠DCE.

Теңдіктің екінші белгісі бойынша ∆ABE = ∆CDE. Бұл ∆ABE және ∆CDE элементтері: AE = CE, BE = DE және, сонымен қатар, олар AC және BD тең бөліктері болып табылады дегенді білдіреді. Меншік дәлелденді.

Көршілес бұрыштардың ерекшеліктері

Көрші қабырғаларда бұрыштардың қосындысы 180°-қа тең, өйткені олар параллель түзулер мен секанттың бір жағында жатады. ABCD төртбұрышы үшін:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Биссектриса қасиеттері:

, бір жағына түсірілген, перпендикуляр;
қарама-қарсы төбелердің параллель биссектрисалары болады;
биссектрисасын салу арқылы алынған үшбұрыш тең қабырғалы болады.

Теорема арқылы параллелограмның сипаттамалық белгілерін анықтау

Бұл фигураның ерекшеліктері оның келесідей оқылатын негізгі теоремасынан туындайды: төртбұрыш параллелограмм болып саналадыоның диагональдары қиылысатын жағдайда және бұл нүкте оларды тең кесінділерге бөледі.

Дәлелдеу: ABCD төртбұрышының AC және BD түзулері t Е-де қиылыссын. ∠AED = ∠BEC, және AE+CE=AC BE+DE=BD болғандықтан, ∆AED = ∆BEC (үшбұрыштар теңдігінің бірінші белгісі бойынша). Яғни, ∠EAD = ∠ECB. Олар сонымен қатар AD және BC сызықтары үшін айнымалы ток секантының ішкі қиылысу бұрыштары болып табылады. Сонымен, параллелизмнің анықтамасы бойынша – AD || BC. BC және CD сызықтарының ұқсас қасиеті де шығарылады. Теорема дәлелденді.

Фигураның ауданын есептеу

Бұл фигураның ауданы бірнеше жолмен табылдықарапайымдардың бірі: ол тартылатын биіктік пен негізді көбейту.

Дәлелдеу: В және С төбелерінен BE және CF перпендикулярларын салыңдар. AB = CD және BE = CF болғандықтан ∆ABE және ∆DCF тең. ABCD EBCF тіктөртбұрышына тең, өйткені олар да пропорционалды сандардан тұрады: S ABE және S EBCD, сонымен қатар S DCF және S EBCD. Бұдан шығатыны, бұл геометриялық фигураның ауданы тіктөртбұрыштың ауданымен бірдей:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Параллелограмм ауданының жалпы формуласын анықтау үшін биіктікті деп белгілейміз hb, және жағы б. Сәйкесінше:

Ауданды табудың басқа жолдары

Аудандық есептеулер параллелограммның қабырғалары мен бұрышы арқылы, олар қалыптастырады, екінші белгілі әдіс болып табылады.

Spr-ma - аймақ;

a және b - оның қабырғалары

α - a және b сегменттері арасындағы бұрыш.

Бұл әдіс іс жүзінде біріншіге негізделген, бірақ ол белгісіз жағдайда. әрқашан параметрлері тригонометриялық сәйкестіктер арқылы табылған тікбұрышты үшбұрышты кесіп тастайды, яғни. Пропорцияны түрлендірсек, аламыз. Бірінші әдістің теңдеуінде биіктікті осы көбейтіндімен ауыстырамыз және осы формуланың жарамдылығының дәлелін аламыз.

Параллелограмм мен бұрыштың диагональдары арқылы,олар қиылысқан кезде жасайды, сіз ауданды да таба аласыз.

Дәлелдеу: AC және BD қиылысу төрт үшбұрышты құрайды: ABE, BEC, CDE және AED. Олардың қосындысы осы төртбұрыштың ауданына тең.

Олардың әрқайсысының ауданын ∆ өрнегінен табуға болады, мұндағы a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. болғандықтан, онда есептеулерде синустың жалғыз мәні қолданылады. Яғни . AE+CE=AC= d 1 және BE+DE=BD= d 2 болғандықтан, аудан формуласы келесіге азайтылады:

Векторлық алгебрада қолданылуы

Бұл төртбұрыштың құрамдас бөліктерінің ерекшеліктері векторлық алгебрада қолдануды тапты, атап айтқанда: екі векторды қосу. Параллелограмм ережесі бұл туралы айтады векторлары берілген болсажәнеемесколлинеар болса, онда олардың қосындысы осы фигураның диагоналіне тең болады, олардың негіздері осы векторларға сәйкес келеді.

Дәлелдеу: ерікті түрде таңдалған бастаудан - яғни. - және векторларын саламыз. Әрі қарай, OA және OB сегменттері қабырғалар болып табылатын OASV параллелограммын саламыз. Осылайша, ОЖ векторда немесе қосындыда жатыр.

Параллелограммның параметрлерін есептеу формулалары

Сәйкестендірулер келесі шарттарда беріледі:

a және b, α - қабырғалары және олардың арасындағы бұрыш;
d 1 және d 2 , γ - диагональдар және олардың қиылысу нүктесінде;
h a және h b - a және b жақтарына түсірілген биіктіктер;

Параметр	Формула
Тараптарды табу
диагональдардың бойымен және олардың арасындағы бұрыштың косинусы
диагональды және бүйірлік
биіктік және қарама-қарсы шың арқылы
Диагональдардың ұзындығын табу
бүйірлерде және олардың арасындағы үстіңгі жағының өлшемі
бүйірлері мен диагональдарының бірі бойымен	Қорытынды Параллелограмм, геометрияның негізгі фигураларының бірі ретінде, өмірде, мысалы, құрылыста учаскенің ауданын немесе басқа өлшемдерді есептеу кезінде қолданылады. Сондықтан оның әртүрлі параметрлерін есептеудің ерекше белгілері мен әдістері туралы білім өмірдің кез келген уақытында пайдалы болуы мүмкін.

Сабақтың тақырыбы

Параллелограмның диагональдарының қасиеттері.

Сабақтың мақсаттары

Жаңа анықтамалармен танысыңыз және бұрын зерттелген кейбірін еске түсіріңіз.
Параллелограммның диагональдарының қасиетін тұжырымдап, дәлелдеңдер.
Пішіндердің қасиеттерін есептер шығаруда қолдана білуге үйрету.
Дамытушылық – оқушылардың зейінін, алғырлығын, алғырлығын, логикалық ойлауын, математикалық сөйлеуін дамыту.
Тәрбиелік – сабақ арқылы бір-біріне деген ілтипатты қарым-қатынасқа тәрбиелеу, жолдастарын тыңдай білуге, өзара көмек көрсетуге, дербестікке баулу.

Сабақтың мақсаттары

Оқушылардың есептер шығару қабілетін тексеру.

Сабақ жоспары

Ашылу сөзі.
Бұрын меңгерілген материалды қайталау.
Параллелограмм, оның қасиеттері мен белгілері.
Тапсырма мысалдары.
Өзін-өзі тексеру.

Кіріспе

«Ірі ғылыми жаңалық үлкен мәселенің шешімін береді, бірақ кез келген мәселені шешуде жаңалық бар».

Параллелограмның қарама-қарсы қабырғаларының қасиеттері

Параллелограмның қарама-қарсы қабырғалары тең.

Дәлелдеу.

ABCD берілген параллелограмм болсын. Ал оның диагональдары О нүктесінде қиылыссын.
Үшбұрыштар теңдігінің бірінші белгісі бойынша Δ AOB = Δ COD болғандықтан (∠ AOB = ∠ COD, вертикальдар ретінде, AO=OC, DO=OB, параллелограммдық диагональдардың қасиеті бойынша), онда AB=CD. Сол сияқты BOC және DOA үшбұрыштарының теңдігінен BC=DA шығады. Теорема дәлелденді.

Параллелограмның қарама-қарсы бұрыштарының қасиеті

Параллелограмның қарама-қарсы бұрыштары болады.

Дәлелдеу.

ABCD берілген параллелограмм болсын. Ал оның диагональдары О нүктесінде қиылыссын.
Параллелограмның қарама-қарсы қабырғаларының қасиеттерінен теоремада дәлелденген Δ ABC = Δ CDA үш жағы бойынша (AB=CD, BC=DA дәлелденген, АС жалпы). Үшбұрыштардың теңдігінен ∠ABC = ∠CDA болатыны шығады.
Сондай-ақ ∠ DAB = ∠ BCD болатыны дәлелденді, ол ∠ ABD = ∠ CDB-ден туындайды. Теорема дәлелденді.

Параллелограмның диагональдарының қасиеті

Параллелограммның диагональдары қиылысады және қиылысу нүктесі екіге бөлінеді.

Дәлелдеу.

ABCD берілген параллелограмм болсын. Айнымалы токтың диагоналін салайық. Оған ортаңғы О белгісін қоямыз.DO кесіндісінің жалғасында DO-ға тең OB 1 кесіндісін шетке қоямыз.
Алдыңғы теорема бойынша AB 1 CD параллелограмм болып табылады. Демек, AB 1 сызығы тұрақты токқа параллель. Бірақ А нүктесі арқылы тұрақты токқа параллель бір ғана түзу жүргізуге болады. Демек, АВ 1 түзуі АВ түзуімен сәйкес келеді.
Сондай-ақ BC 1 BC-ге сәйкес келетіні дәлелденді. Сонымен С нүктесі С 1-мен сәйкес келеді. ABCD параллелограмы AB 1 CD параллелограммымен сәйкес келеді. Демек, параллелограмның диагональдары қиылысады және қиылысу нүктесі екіге бөлінеді. Теорема дәлелденді.

Қарапайым мектептерге арналған оқулықтарда (мысалы, Погореловта) ол былай дәлелденген: диагональдар параллелограммды 4 үшбұрышқа бөледі. Бір жұпты қарастырып, анықтаңыз - олар тең: олардың табандары қарама-қарсы жақтары, оған іргелес жатқан сәйкес бұрыштар параллель түзулермен тік сияқты тең. Яғни, диагональдардың кесінділері жұппен тең. Барлығы.

Бәрі осы ма?
Жоғарыда қиылысу нүктесі диагональдарды екіге бөлетіні дәлелденді - егер ол бар болса. Жоғарыда келтірілген пайымдаулар оның бар екендігін ешқандай түрде дәлелдемейді. Яғни, теореманың «параллелограмм диагональдары қиылысады» бөлігі дәлелденбеген күйінде қалады.

Бұл бөлікті дәлелдеу әлдеқайда қиын болғаны қызық. Айтпақшы, бұл жалпы нәтижеден туындайды: кез келген дөңес төртбұрыш үшін диагональдар қиылысады, кез келген дөңес емес төртбұрыш үшін олар қиылыспайды.

Қабырғасының бойындағы үшбұрыштардың және оған іргелес екі бұрыштың теңдігі туралы (үшбұрыштар теңдігінің екінші белгісі) және т.б.

Қабырғасы бойындағы екі үшбұрыштың және оған іргелес екі бұрыштың теңдігі туралы теорема Фалес маңызды практикалық қолдануды тапты. Милет портында теңіздегі кемеге дейінгі қашықтықты анықтайтын қашықтық өлшегіш салынды. Ол A, B және C (AB = BC) және CA-ға перпендикуляр белгіленген SK түзу сызығынан тұрды. Кеме SC түзу сызығында пайда болған кезде D, .B және E нүктелері бір түзуде болатындай D нүктесі табылды. Сызбадан көрініп тұрғандай, жердегі қашықтық CD - кемеге қажетті қашықтық.

Сұрақтар

Шаршының диагональдары қиылысу нүктесімен екіге бөлінген бе?
Параллелограммның диагональдары тең бе?
Параллелограмның қарама-қарсы бұрыштары тең бе?
Параллелограммның анықтамасы қандай?
Параллелограмның неше ерекшелігі бар?
Ромб параллелограмм бола ала ма?

Пайдаланылған көздер тізімі

Кузнецов А.В., математика мұғалімі (5-9 сыныптар), Киев қ
«Бірыңғай мемлекеттік емтихан 2006. Математика. Студенттерді дайындауға арналған оқу және оқу материалдары / Рособрнадзор, ISOP - М .: Интеллект-Орталығы, 2006 »
Мазур К.И. «М.И.Сканавидің редакциясымен жинақтың математикадағы негізгі бәсекелестік есептерін шешу»
Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Е.Г.Позняк, И.И.Юдина «Геометрия, 7 - 9: оқу орындарына арналған оқулық»

Сабақ бойынша жұмыс

Кузнецов А.В.

Потурнак С.А.

Евгений Петров

Сіз заманауи білім беру туралы сұрақ қоюға, идеяны білдіруге немесе өзекті мәселені шешуге болады Білім форумымұнда жаңа ойлар мен әрекеттердің білім беру кеңесі халықаралық деңгейде кездеседі. Құра отырып блог,Сіз білікті ұстаз мәртебесін көтеріп қана қоймай, болашақ мектебінің дамуына зор үлес қосасыз. Білім көшбасшыларының гильдиясыжоғары дәрежелі мамандарға есік ашады және әлемдегі ең үздік мектептерді құру бағытында ынтымақтастыққа шақырады.

Пәндер > Математика > Математика 8-сынып

Дәлелдеу

Алдымен айнымалы токтың диагоналін салайық. Екі үшбұрыш алынады: ABC және ADC.

ABCD параллелограмм болғандықтан, келесі дұрыс:

AD || BC \Оң жақ көрсеткі \бұрыш 1 = \бұрыш 2көлденең жатқан сияқты.

AB || CD \Оң жақ көрсеткі \бұрыш3 = \бұрыш 4көлденең жатқан сияқты.

Сондықтан \triangle ABC = \triangle ADC (екінші ерекшелігі бойынша: және AC ортақ).

Сонымен, \triangle ABC = \triangle ADC , содан кейін AB = CD және AD = BC .

Дәлелденген!

2. Қарама-қарсы бұрыштар бірдей.

Дәлелдеу

Дәлелге сәйкес қасиеттері 1Біз мұны білеміз \бұрыш 1 = \бұрыш 2, \бұрыш 3 = \бұрыш 4. Сонымен, қарама-қарсы бұрыштардың қосындысы: \бұрыш 1 + \бұрыш 3 = \бұрыш 2 + \бұрыш 4. \triangle ABC = \triangle ADC екенін ескерсек, \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Дәлелденген!

3. Диагональдар қиылысу нүктесі арқылы екіге бөлінген.

Дәлелдеу

Басқа диагональ сызайық.

Авторы мүлік 1қарама-қарсы жақтары бірдей екенін білеміз: AB = CD . Тағы бір рет көлденең жатқан тең бұрыштарды байқаймыз.

Осылайша, үшбұрыштар теңдігінің екінші белгісі бойынша \triangle AOB = \triangle COD екенін көруге болады (екі бұрыш және олардың арасындағы қабырға). Яғни, BO = OD (қарсы \ бұрыш 2 және \ бұрыш 1 ) және AO = OC (сәйкесінше \ бұрыш 3 және \ бұрыш 4 ).

Дәлелденген!

Параллелограмның ерекшеліктері

Егер сіздің мәселеңізде бір ғана белгі болса, онда фигура параллелограмм болып табылады және сіз бұл фигураның барлық қасиеттерін пайдалана аласыз.

Жақсырақ есте сақтау үшін параллелограмм белгісі келесі сұраққа жауап беретінін ескеріңіз - «қалай білуге болады?». Яғни, берілген фигураның параллелограмм екенін қалай анықтауға болады.

1. Параллелограмм деп екі қабырғасы тең және параллель төртбұрышты айтады.

AB=CD; AB || CD \Rightarrow ABCD - параллелограмм.

Дәлелдеу

Толығырақ қарастырайық. Неліктен AD || BC?

\triangle ABC = \triangle ADC бойынша мүлік 1: AB = CD, AC ортақ және \ бұрыш 1 = \ бұрыш 2 AB және CD параллель және айнымалы токпен көлденең көлденең.

Бірақ егер \triangle ABC = \triangle ADC , онда \angle 3 = \angle 4 (олар сәйкесінше AB және CD-ге қарама-қарсы орналасады). Сондықтан AD || BC (\бұрыш 3 және \бұрыш 4 - көлденең жатқан да тең).

Бірінші белгі дұрыс.

2. Параллелограмм – қарама-қарсы қабырғалары тең төртбұрыш.

AB = CD , AD = BC \Оң жақ көрсеткі ABCD - параллелограмм.

Дәлелдеу

Осы мүмкіндікті қарастырайық. Айнымалы токтың диагоналін тағы да салайық.

Авторы мүлік 1\triangle ABC = \triangle ACD .

Бұдан былай шығады: \бұрыш 1 = \бұрыш 2 \оң жақ көрсеткі AD || BCжәне \бұрыш 3 = \бұрыш 4 \Оң жақ көрсеткі AB || CD, яғни ABCD параллелограмм болып табылады.

Екінші белгі дұрыс.

3. Параллелограмм – қарама-қарсы бұрыштары тең төртбұрыш.

\ бұрыш A = \ бұрыш C , \ бұрыш B = \ бұрыш D \ Оң жақ көрсеткі ABCD- параллелограмм.

Дәлелдеу

2 \альфа + 2 \бета = 360^(\цирк)(себебі ABCD төртбұрыш болып табылады және шарт бойынша \ бұрыш A = \ бұрыш C , \ бұрыш B = \ бұрыш D).

Сонымен \альфа + \бета = 180^(\circ) . Бірақ \alpha және \beta AB секантында ішкі бір жақты.

Ал \alpha + \beta = 180^(\circ) болуы да AD || BC.

Сонымен бірге \alpha және \beta AD секанты бар ішкі бір жақты болады. Және бұл AB || дегенді білдіреді CD.

Үшінші белгі дұрыс.

4. Параллелограмм деп диагональдары қиылысу нүктесімен екіге бөлінген төртбұрышты айтады.

AO=OC; BO = OD \Оң жақ көрсеткі параллелограмм.

Дәлелдеу

BO=OD; AO = OC , \бұрыш 1 = \бұрыш 2 тік \Rightarrow \triangle AOB = \triangle COD, \Оң жақ көрсеткі \бұрыш 3 = \бұрыш 4, және \Rightarrow AB || CD.

Сол сияқты BO = OD; AO=OC, \ бұрыш 5 = \ бұрыш 6 \ Оң жақ көрсеткі \ үшбұрыш AOD = \ үшбұрыш BOC \ Оң жақ көрсеткі \ бұрыш 7 = \ бұрыш 8, және \Rightarrow AD || BC.

Төртінші белгі дұрыс.

Параллелограмм – қарама-қарсы қабырғалары жұп болып параллель болатын төртбұрыш (233-сурет).

Ерікті параллелограммның келесі қасиеттері бар:

1. Параллелограмның қарама-қарсы қабырғалары тең.

Дәлелдеу. ABCD параллелограммында AC диагональін салыңыз. ACD және AC B үшбұрыштары ортақ AC қабырғасы және оған көршілес екі жұп бірдей бұрыштары бар сияқты:

(AD және BC параллель түзулері бар көлденең жатқан бұрыштар ретінде). Демек, тең бұрыштар қарама-қарсы жатқан тең үшбұрыштардың қабырғалары ретінде дәлелдеуді талап етті.

2. Параллелограмның қарама-қарсы бұрыштары:

3. Параллелограмның көршілес бұрыштары, яғни бір қабырғасына іргелес бұрыштары, қосындылары т.б.

2 және 3 қасиеттердің дәлелі параллель түзулердегі бұрыштардың қасиеттерінен бірден шығады.

4. Параллелограммның диагональдары олардың қиылысу нүктесінде бір-бірін екіге бөледі. Басқаша айтқанда,

Дәлелдеу. AOD және BOC үшбұрыштары тең, өйткені олардың AD және BC қабырғалары тең (1-қасиет) және оларға іргелес бұрыштар (параллель түзулері бар көлденең жатқан бұрыштар ретінде). Бұл осы үшбұрыштардың сәйкес қабырғаларының теңдігін білдіреді: дәлелдеуге қажет болатын AO.

Осы төрт қасиеттің әрқайсысы параллелограммды сипаттайды немесе олар айтқандай, оның сипатты қасиеті болып табылады, яғни осы қасиеттердің кем дегенде біреуіне ие кез келген төртбұрыш параллелограмм болып табылады (демек, қалған үш қасиеті де бар).

Дәлелдеуді әрбір мүлік үшін бөлек жүргіземіз.

1". Төртбұрыштың қарама-қарсы қабырғалары жұптық тең болса, онда ол параллелограмм болады.

Дәлелдеу. ABCD төртбұрышының сәйкесінше AD және ВС, АВ және CD қабырғалары тең болсын (233-сурет). Айнымалы токтың диагоналін салайық. ABC және CDA үшбұрыштары тең қабырғалары бар үш жұп ретінде сәйкес болады.

Бірақ онда BAC және DCA бұрыштары тең және болады. ВС және AD қабырғаларының параллельдігі CAD және DIA бұрыштарының теңдігінен шығады.

2. Егер төртбұрыштың екі жұп қарама-қарсы бұрыштары тең болса, онда ол параллелограмм болады.

Дәлелдеу. рұқсат етіңіз. AD және ВС екі жақтары параллель болғандықтан (параллель түзулер негізінде).

3. Тұжырымдама мен дәлелді оқырманға қалдырамыз.

4. Егер төртбұрыштың диагональдары қиылысу нүктесінде өзара екіге бөлінген болса, онда төртбұрыш параллелограмм болады.

Дәлелдеу. Егер AO \u003d OS, BO \u003d OD (233-сурет), онда AOD және BOC үшбұрыштары тең болады, өйткені тең бұрыштары бар (тік!) О шыңында, AO және CO, BO және қабырғалары тең жұптардың арасына қоршалған. ЖАСАУ. Үшбұрыштардың теңдігінен AD және ВС қабырғалары тең деген қорытындыға келеміз. АВ және CD қабырғалары да тең, ал төртбұрыш Г сипаттамалық қасиеті бойынша параллелограмм болып шығады.

Сонымен, берілген төртбұрыштың параллелограмм екенін дәлелдеу үшін төрт қасиеттің кез келгенінің дұрыстығын тексеру жеткілікті. Оқырманға параллелограмның тағы бір тән қасиетін өз бетінше дәлелдеу ұсынылады.

5. Егер төртбұрыштың параллель қабырғалары тең болса, онда ол параллелограмм болады.

Кейде параллелограмның кез келген параллель қабырғалары оның табандары, ал қалған екеуі бүйір қабырғалары деп аталады. Параллелограмның екі қабырғасына перпендикуляр түзу кесіндісін олардың арасына салынған параллелограммның биіктігі деп атайды. Суреттегі параллелограмм. 234 AD және BC жақтарына сызылған h биіктігі бар, оның екінші биіктігі кесіндімен бейнеленген.

Қалалық бюджеттік білім беру мекемесі

Савинская орта мектебі

Зерттеу жұмысы

Параллелограмм және оның жаңа қасиеттері

Орындаған: 8Б сынып оқушысы

МБОУ Савинская орта мектебі

Кузнецова Светлана, 14 жаста

Жүргізуші: математика мұғалімі

Тульчевская Н.А.

Савино

Иваново облысы, Ресей

2016

I. Кіріспе ______________________________________________________ 3 бет

II. Параллелограмм тарихынан ________________________________________________4-бет

III Параллелограммның қосымша қасиеттері ______________________4-бет

IV. Қасиеттерін растау ______________________________________ 5 бет

В. Қосымша қасиеттерді пайдаланып есептер шығару __________8 бет

VI. Параллелограммның қасиеттерінің өмірде қолданылуы___________________11 бет

VII. Қорытынды ______________________________________________________ 12 бет

VIII. Әдебиет _________________________________________________ 13 бет

Кіріспе

"Ақыл-ойы бірдей

сағ басқа жағдайлардың ұқсастығы

геометрияны білетіндерден жоғары»

(Блез Паскаль).

Геометрия сабағында «Параллелограмм» тақырыбын оқу барысында біз параллелограмның екі қасиеті мен үш белгісін қарастырдық, бірақ есептерді шығара бастағанда бұл жеткіліксіз болып шықты.

Менің сұрағым бар еді, параллелограмның басқа қасиеттері бар ма және олар есептерді шешуге қалай көмектеседі?

Ал мен параллелограмның қосымша қасиеттерін зерттеп, оларды есептерді шығаруға қалай қолдануға болатынын көрсетуді жөн көрдім.

Зерттеу пәні : параллелограмм

Зерттеу объектісі : параллелограмның қасиеттері
Жұмыс мақсаты:

параллелограмның мектепте оқытылмаған қосымша қасиеттерін тұжырымдау және дәлелдеу;

есептерді шешу үшін осы қасиеттерді қолдану.

Тапсырмалар:

Параллелограммның тарихын және оның қасиеттерінің даму тарихын оқып үйрену;

Зерттелетін мәселе бойынша қосымша әдебиеттерді табу;

Параллелограмның қосымша қасиеттерін зерттеп, дәлелдеу;

Осы қасиеттердің есептерді шешуге қолданылуын көрсету;

Параллелограмның қасиеттерінің өмірде қолданылуын қарастырыңыз.
Зерттеу әдістері:

Оқу және ғылыми-көпшілік әдебиеттермен, интернет ресурстарымен жұмыс;

Теориялық материалды меңгеру;

Параллелограмның қосымша қасиеттерін пайдалана отырып шешуге болатын тапсырмалар ауқымын таңдау;

Бақылау, салыстыру, талдау, аналогия.

Оқу ұзақтығы : 3 ай: 2016 жылдың қаңтар-наурыз

Геометрия оқулығында біз параллелограммның келесі анықтамасын оқимыз: Параллелограмм – қарама-қарсы қабырғалары жұппен параллель болатын төртбұрыш.

Параллелограмм сөзі «параллель түзулер» деп аударылады (гректің Parallelos – параллель және gramme – түзу сөздерінен шыққан), бұл терминді Евклид енгізген. Евклид «Элементтер» кітабында параллелограмның келесі қасиеттерін дәлелдеді: параллелограмның қарама-қарсы қабырғалары мен бұрыштары тең, ал диагональ оны екіге бөледі. Евклид параллелограммның қиылысу нүктесін айтпайды. Орта ғасырдың аяғында ғана параллелограммдардың толық теориясы жасалды.Ал тек 17 ғасырда ғана оқулықтарда параллелограммдық теоремалар пайда болды, олар параллелограммның қасиеттері туралы Евклид теоремасы арқылы дәлелденді.

III Параллелограмның қосымша қасиеттері

Геометрия оқулығында параллелограмның тек 2 қасиеті берілген:

Қарама-қарсы бұрыштар мен қабырғалар тең

Параллелограммның диагональдары қиылысады және қиылысу нүктесі екіге бөлінеді

Геометрияның әртүрлі көздерінде келесі қосымша қасиеттерді табуға болады:

Параллелограмның көршілес бұрыштарының қосындысы 180 0

Параллелограммның бұрыш биссектрисасы одан тең қабырғалы үшбұрышты кесіп тастайды;

Параллелограмның қарама-қарсы бұрыштарының биссектрисалары параллель түзулерде жатыр;

Параллелограмның көршілес бұрыштарының биссектрисалары тік бұрыш жасап қиылысады;

Параллелограмның барлық бұрыштарының биссектрисалары қиылысқанда тіктөртбұрыш құрайды;

Параллелограмның қарама-қарсы бұрыштарынан бір диагональға дейінгі қашықтықтар тең.

Параллелограммдағы қарама-қарсы төбелерді қарама-қарсы қабырғалардың ортаңғы нүктелерімен байланыстырсаңыз, сіз басқа параллелограмм аласыз.

Параллелограмның диагональдарының квадраттарының қосындысы оның көрші қабырғаларының квадраттарының қосындысының екі еселенгеніне тең.

Параллелограммда қарама-қарсы екі бұрыштан биіктік салсақ, тіктөртбұрыш аламыз.

IV Параллелограммның қасиеттерін дәлелдеу

Параллелограмның көршілес бұрыштарының қосындысы 180-ге тең 0

Берілген:

ABCD — параллелограмм

Дәлелдеу:

A+
B=

Дәлелдеу:

А және
B - BC параллель түзулері бар ішкі бір жақты бұрыштар AD және секант AB, сондықтан
A+
B=

Берілген:А Б С Д - параллелограмм,

АК - биссектриса
БІРАҚ.

Дәлелдеу: AVK - тең қабырғалы

Дәлелдеу:

1)
1=
3 (б.з.б. қиылысу AD және АК секант),

2)
2=
3 өйткені АК биссектриса,

1= білдіреді
2.

3) ABK тең қабырғалы, өйткені үшбұрыштың 2 бұрышы тең

. Параллелограммның бұрыш биссектрисасы одан тең қабырғалы үшбұрышты кесіп тастайды

Берілген: ABCD — параллелограмм

АК - А-ның биссектрисасы,

СР - С-ның биссектрисасы.

Дәлелдеу:АК ║ СР

Дәлелдеу:

1) АК- биссектрисасынан бастап 1=2

2) 4=5 себебі SR - биссектриса

3) 3=1 (қиғаш жатқан бұрыштар

BC ║ AD және AK-секант),

4) A \u003d C (параллелограммның қасиеті бойынша), бұл 2 \u003d 3 \u003d 4 \u003d 5 дегенді білдіреді.

4) 3 және 4-тармақтардан 1 = 4 болатыны шығады және бұл бұрыштар AK және SR түзулеріне және ВС секантына сәйкес келеді,

демек, AK ║ SR (параллель түзулер негізінде)

. Параллелограмның қарама-қарсы бұрыштарының биссектрисалары параллель түзулерде жатыр

Параллелограмның көршілес бұрыштарының биссектрисалары тік бұрыш жасап қиылысады

Берілген: ABCD - параллелограмм,

AC биссектрисасы,

DP- биссектриса D

Дәлелдеу: DP АК.

Дәлелдеу:

1) 1=2, өйткені АК – биссектриса

1=2=x, онда A=2x болсын,

2) 3=4, өйткені D P – биссектриса

3=4=y, содан кейін D=2y болсын

3) A + D \u003d 180 0, өйткені параллелограмның көршілес бұрыштарының қосындысы 180-ге тең

2) қарастыру А ОД

1+3=90 0 болса
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)

5. Параллелограмның барлық бұрыштарының биссектрисалары қиылысқанда тіктөртбұрыш құрайды.

Берілген: ABCD - параллелограмм, АК- биссектриса А,

DP- биссектриса D,

CM - С-ның биссектрисасы,

BF -В-ның биссектрисасы.

Дәлелдеу: KRNS -тіктөртбұрыш

Дәлелдеу:

Алдыңғы қасиетке негізделген 8=7=6=5=90 0 ,

KRNS тіктөртбұрыш екенін білдіреді.

Параллелограмның қарама-қарсы бұрыштарынан бір диагональға дейінгі қашықтықтар тең.

Берілген: ABCD-параллелограмм, AC-диагональ.

VC AU, Д.П. AC

Дәлелдеу: BK=DP

Дәлелдеу: 1) DCP \u003d KAB, ішкі көлденең орналасқан AB ║ CD және секанттық айнымалы ток.

2) AKB= CDP (бүйір бойымен және оған іргелес екі бұрыш AB=CD CD P=AB K).

Ал тең үшбұрыштарда сәйкес жақтары тең, сондықтан DP \u003d BK.

Берілген: ABCD параллелограммы.

Дәлелдеу: VKDP - параллелограмм.

Дәлелдеу:

1) BP=KD (AD=BC, K және P нүктелері

осы жақтарын екіге бөліңіз)

2) АҚ ║ КД (АД бойынша жатыр BC)

Егер төртбұрыштың қарама-қарсы қабырғалары тең және параллель болса, онда бұл төртбұрыш параллелограмм болады.

Параллелограммда қарама-қарсы екі бұрыштан биіктік салсақ, тіктөртбұрыш аламыз.

Берілген: ABCD — параллелограмм. BD және AC диагональдары.

Дәлелдеу: AC 2 + BD 2 =2(AB 2 + AD 2 )

Дәлелдеу: 1)СҰРАҚ: AC ²=
+

2)Б РD : BD 2 = Б Р 2 + ПD 2 (Пифагор теоремасы бойынша)

3) AC ²+ BD ²=SC²+А K²+Б Р²+РD ²

4) SK = BP = H(биіктігі )

5) айнымалы ток 2 +VD 2 = Х 2 + А Кімге 2 + Х 2 +PD 2

6) Болсын D K=А P=x, содан кейін C КімгеD : Х 2 = CD 2 - X 2 Пифагор теоремасы бойынша )

7) AC²+BD ² = CD 2 - x²+ АК 1 ²+ CD 2 -X 2 +PD 2 ,

AC²+VD ²=2СD 2 -2x 2 + А Кімге 2 +PD 2

8) А Кімге=AD+ X, РD=AD- X,

AC²+VD ² =2CD 2 -2x 2 +(AD +x) 2 +(AD -X) 2 ,

AC²+ ATD²=2 FROMD²-2 X²+AD 2 +2AD X+ X 2 + AD 2 -2AD X+ X 2 ,
AC²+ ATD²=2CD 2 +2AD 2 =2(CD 2 + AD 2 ).

В . Осы қасиеттерді пайдаланып есептер шығару

Параллелограмның бір қабырғасына іргелес жатқан екі бұрышының биссектрисаларының қиылысу нүктесі қарама-қарсы қабырғаға жатады. Параллелограмның қысқа жағы 5 . Оның үлкен жағын табыңыз.

Берілген: ABCD — параллелограмм,

АК – биссектриса
БІРАҚ,

D K - биссектриса
D, AB=5

Табу: күн

шешім

Шешім

Өйткені АК – биссектриса
A, онда ABC тең қабырғалы болады.

Өйткені D K - биссектриса
D, содан кейін DCK - тең қабырғалы

DC \u003d C K \u003d 5

Сонда VS=VK+SK=5+5 = 10

Жауабы: 10

2. Параллелограммның бір бұрышының биссектрисасы параллелограмның қабырғасын 7 см және 14 см кесінділерге бөлсе, оның периметрін табыңыз.

1 жағдай

Берілген:
БІРАҚ,

VK=14 см, KS=7 см

Табу: R параллелограмм

Шешім

BC=VK+KS=14+7=21 (см)

Өйткені АК – биссектриса
A, онда ABC тең қабырғалы болады.

AB=BK=14см

Содан кейін P \u003d 2 (14 + 21) \u003d 70 (см)

болып жатқан

Берілген: ABCD — параллелограмм,

D K - биссектриса
D,

VK=14 см, KS=7 см

Табу: R параллелограмм

Шешім

BC=VK+KS=14+7=21 (см)

Өйткені D K - биссектриса
D, содан кейін DCK - тең қабырғалы

DC \u003d C K \u003d 7

Содан кейін, P \u003d 2 (21 + 7) \u003d 56 (см)

Жауап: 70см немесе 56см

3. Параллелограмның қабырғалары 10 см және 3 см.Үлкен қабырғасына іргелес жатқан екі бұрыштың биссектрисалары қарама-қарсы қабырғаны үш кесіндіге бөледі. Мына сегменттерді табыңыз.

1 жағдай:биссектрисалар параллелограмнан тыс қиылысады

Берілген: ABCD – параллелограмм, АК – биссектриса
БІРАҚ,

D K - биссектриса
D , AB=3 см, ВС=10 см

Табу: BM, MN, NC

Шешім

Өйткені AM – биссектриса
Ал, онда AVM тең қабырғалы болады.

Өйткені DN - биссектриса
D, содан кейін DCN - тең қабырғалы

DC=CN=3

Содан кейін, MN \u003d 10 - (BM + NC) \u003d 10 - (3 + 3) \u003d 4 см

2 жағдай:биссектрисалар параллелограммның ішінде қиылысады

Өйткені АН – биссектриса
A, онда ABN тең қабырғалы болады.

AB=BН = 3 D

Ал жылжымалы тор - есік саңылауында қажетті қашықтыққа жылжытыңыз

Параллелограмм механизмі- буындары параллелограммды құрайтын төрт буынды механизм. Ол топсалы механизмдердің трансляциялық қозғалысын жүзеге асыру үшін қолданылады.

Бекітілген сілтемесі бар параллелограмм- бір буын қозғалыссыз, қарама-қарсысы қозғалыссызға параллель болып тербелетін қозғалыс жасайды. Бірінің артынан бірі жалғанған екі параллелограмм соңғы буынға екі еркіндік дәрежесін береді және оны бекітілгенге параллель қалдырады.

Мысалдар: автобустың шыны тазалағыштары, жүк көтергіштері, штативтер, ілгіштер, көлік ілгіштері.

Бекітілген топсасы бар параллелограмм- параллелограммның қасиеті үш нүкте арасындағы қашықтықтардың тұрақты қатынасын сақтау үшін қолданылады. Мысалы: сызба пантографы – сызбаларды масштабтауға арналған құрылғы.

Ромб- барлық буындардың ұзындығы бірдей, қарама-қарсы топса жұбының жақындауы (тарылуы) қалған екі топсаның кеңеюіне әкеледі. Барлық сілтемелер қысу режимінде жұмыс істейді.

Мысал ретінде автомобильдің алмас домкратын, трамвай пантографын келтіруге болады.

қайшынемесе Х-тәрізді механизм, ретінде де белгілі Нюрнберг қайшысы- ромбтың нұсқасы - ортасында топса арқылы қосылған екі звено. Механизмнің артықшылығы - жинақылық пен қарапайымдылық, кемшілігі - екі жылжымалы жұптың болуы. Тізбектей қосылған екі (немесе одан да көп) осындай механизмдер ортасында ромб(лар) құрайды. Ол көтергіштерде, балалар ойыншықтарында қолданылады.

VII Қорытынды

Математикамен бала кезінен айналысқан,

зейінін дамытады, миын жаттықтырады,

өз еркі, табандылыққа тәрбиелейді

және мақсатқа жетудегі табандылық

А.Маркушевич

Жұмыс барысында параллелограммның қосымша қасиеттерін дәлелдедім.

Мен осы қасиеттерді қолдану арқылы мәселелерді тезірек шешуге болатынына сенімді болдым.

Мен бұл қасиеттердің қалай қолданылатынын нақты есептерді шешу мысалдарында көрсеттім.

Мен геометрия оқулығымызда жоқ параллелограмм туралы көп нәрсені білдім

Параллелограмның қасиеттерін қолдану мысалдары арқылы геометрияны білу өмірде өте маңызды екеніне көз жеткіздім.

Зерттеу жұмысымның мақсаты орындалды.

Өмір бойы математиканың көмегінсіз өткен адам туралы кітап шығарған адамға сыйлық тағайындалуы математикалық білімнің маңыздылығын көрсетеді. Әзірге бұл сыйлықты ешкім алған жоқ.

VIII Әдебиет