Виетаның теоремасы. Шешу мысалдары. Квадрат және басқа теңдеулер үшін Виет теоремасы Квадрат теңдеулерді Виет теоремасының мысалдарын пайдаланып шешу

Квадрат теңдеулер үшін Виет теоремасын тұжырымдау және дәлелдеу. Кері Виета теоремасы. Кубтық теңдеулер мен ерікті ретті теңдеулер үшін Виетаның теоремасы.

Мазмұны

Сондай-ақ қараңыз: Квадрат теңдеудің түбірлері

Квадрат теңдеулер

Виетаның теоремасы

Келтірілген квадрат теңдеудің түбірлерін белгілейік
(1) .
Сонда түбірлердің қосындысы қарама-қарсы таңбамен алынған коэффициентке тең болады. Түбірлердің көбейтіндісі бос мүшеге тең:
;
.

Бірнеше түбір туралы ескертпе

Егер (1) теңдеудің дискриминанты нөлге тең болса, онда бұл теңдеудің бір түбірі болады. Бірақ, қиын тұжырымдарды болдырмау үшін, бұл жағдайда (1) теңдеудің екі еселі немесе тең түбірі бар екендігі жалпы қабылданған:
.

Бір дәлелі

(1) теңдеудің түбірлерін табайық. Ол үшін квадрат теңдеудің түбірлері үшін формуланы қолданыңыз:
;
;
.

Түбірлердің қосындысын табу:
.

Өнімді табу үшін формуланы қолданамыз:
.
Содан кейін

.

Теорема дәлелденді.

Екінші дәлел

Егер және сандары (1) квадрат теңдеудің түбірі болса, онда
.
Біз жақшаларды ашамыз.

.
Осылайша, (1) теңдеу келесі түрде болады:
.
(1)-мен салыстырсақ:
;
.

Теорема дәлелденді.

Кері Виета теоремасы

Ерікті сандар болсын. Сонда және квадрат теңдеудің түбірлері болады
,
қайда
(2) ;
(3) .

Виетаның қарама-қарсы теоремасын дәлелдеу

Квадрат теңдеуді қарастырайық
(1) .
Егер және болса, онда және (1) теңдеуінің түбірлері болатынын дәлелдеу керек.

(2) және (3) тармақтарын (1) ауыстырыңыз:
.
Теңдеудің сол жағының мүшелерін топтастырамыз:
;
;
(4) .

(4) орнына:
;
.

(4) орнына:
;
.
Теңдеу орындалды. Яғни, сан (1) теңдеудің түбірі болып табылады.

Теорема дәлелденді.

Толық квадрат теңдеу үшін Виет теоремасы

Енді толық квадрат теңдеуді қарастырайық
(5) ,
мұндағы және кейбір сандар. Және .

(5) теңдеуді келесіге бөлеміз:
.
Яғни, жоғарыдағы теңдеуді алдық
,
қайда; .

Сонда толық квадрат теңдеу үшін Виета теоремасы келесі түрге ие болады.

Толық квадрат теңдеудің түбірлерін белгілейік
.
Содан кейін түбірлердің қосындысы мен көбейтіндісі мына формулалармен анықталады:
;
.

Кубтық теңдеу үшін Виетаның теоремасы

Сол сияқты біз текше теңдеудің түбірлері арасында байланыс орната аламыз. Текше теңдеуін қарастырайық
(6) ,
мұндағы , , , кейбір сандар. Және .
Бұл теңдеуді келесіге бөлейік:
(7) ,
қайда , , .
(7) теңдеудің (және (6) теңдеуінің) түбірлері , , болсын. Содан кейін

.

(7) теңдеумен салыстырсақ:
;
;
.

n-дәрежелі теңдеу үшін Виетаның теоремасы

Дәл осылай n-ші дәрежелі теңдеу үшін , , ... , , түбірлерінің арасындағы байланыстарды табуға болады.
.

n-дәрежелі теңдеу үшін Виет теоремасы келесі формада болады:
;
;
;

.

Бұл формулаларды алу үшін теңдеуді келесі түрде жазамыз:
.
Содан кейін , , , ... бойынша коэффициенттерді теңестіріп, бос мүшені салыстырамыз.

Қолданылған әдебиет:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Жоғары оқу орындарының инженерлері мен студенттеріне арналған математика анықтамалығы, Лан, 2009 ж.
СМ. Никольский, М.К. Потапов және т.б., Алгебра: оқу орындарының 8-сыныбына арналған оқулық, Мәскеу, Білім, 2006 ж.

Сондай-ақ қараңыз:

Виетаның теоремасы (дәлірек айтсақ, Вьета теоремасына кері теорема) квадрат теңдеулерді шешу уақытын қысқартуға мүмкіндік береді. Сіз оны қалай пайдалану керектігін білуіңіз керек. Квадрат теңдеулерді Виет теоремасын пайдаланып шешуді қалай үйренуге болады? Аздап ойлансаңыз оңай.

Енді қысқартылған квадрат теңдеуді Виета теоремасы арқылы шешу туралы ғана айтамыз.Келтірілген квадрат теңдеу – бұл а, яғни x² алдындағы коэффициент бірге тең болатын теңдеу. Берілмеген квадрат теңдеулерді Виета теоремасы арқылы шешуге болады, бірақ түбірлердің кем дегенде біреуі бүтін сан емес. Оларды болжау қиынырақ.

Виетаның теоремасына қарама-қарсы теорема былай дейді: егер x1 және x2 сандары

онда x1 және x2 квадрат теңдеудің түбірі болады

Квадрат теңдеуді Виета теоремасын пайдаланып шешкенде тек 4 нұсқа мүмкін. Егер сіз пайымдау барысын еске түсірсеңіз, сіз тұтас тамырларды тез табуға үйрене аласыз.

I. Егер q оң сан болса,

бұл х1 және х2 түбірлері бір таңбалы сандар екенін білдіреді (өйткені таңбалары бірдей сандарды көбейткенде ғана оң сан шығады).

I.a. Егер -p оң сан болса, (тиісінше, б<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Егер -p теріс сан болса, (сәйкесінше, p>0), онда екі түбір де теріс сандар (бір таңбалы сандарды қосты, теріс сан алды).

II. Егер q теріс сан болса,

бұл х1 және х2 түбірлерінің таңбалары әртүрлі екенін білдіреді (сандарды көбейткенде, көбейткіштердің белгілері әртүрлі болғанда ғана теріс сан алынады). Бұл жағдайда x1 + x2 енді қосынды емес, айырмашылық болып табылады (ақыр соңында, әртүрлі таңбалары бар сандарды қосқанда үлкенірек модульден кішісін алып тастаймыз). Демек, x1 + x2 x1 және x2 түбірлерінің қаншалықты ерекшеленетінін, яғни бір түбірдің екіншісінен қанша артық екенін көрсетеді (модуль).

II.a. Егер -p оң сан болса, (яғни б<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Егер -p теріс сан болса, (p>0), онда үлкенірек (модульдік) түбір теріс сан болады.

Квадрат теңдеулерді Виет теоремасы бойынша шешуді мысалдар арқылы қарастырыңыз.

Берілген квадрат теңдеуді Виет теоремасын пайдаланып шешіңіз:

Мұнда q=12>0, сондықтан х1 және х2 түбірлері бір таңбалы сандар. Олардың қосындысы -p=7>0, сондықтан екі түбір де оң сандар. Көбейтінділері 12 болатын бүтін сандарды таңдаймыз. Бұлар 1 және 12, 2 және 6, 3 және 4. 3 және 4 жұбы үшін қосынды 7 болады. Демек, 3 және 4 теңдеудің түбірі болады.

Бұл мысалда q=16>0, яғни x1 және x2 түбірлері бірдей таңбалы сандар. Олардың қосындысы -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Мұнда q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0 болса, үлкен сан оң болады. Сонымен, түбірлер 5 және -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

Франсуа Виета (1540-1603) - математик, әйгілі Вьета формулаларын жасаушы

Виетаның теоремасыквадрат теңдеулерді жылдам шешу үшін қажет (қарапайым тілде).

Толығырақ, т Виет теоремасы - бұл квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы қарама-қарсы таңбамен алынған екінші коэффициентке тең, ал көбейтіндісі бос мүшеге тең. Бұл қасиетте түбірі бар кез келген берілген квадрат теңдеу бар.

Виета теоремасын пайдалана отырып, таңдау арқылы квадрат теңдеулерді оңай шешуге болады, сондықтан қолында қылыш ұстаған математикке бақытты 7-сыныпқа «рахмет» деп айтайық.

Вьета теоремасын дәлелдеу

Теореманы дәлелдеу үшін белгілі түбір формулаларын қолдануға болады, соның арқасында квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы мен көбейтіндісін құрастырамыз. Осыдан кейін ғана олардың тең екендігіне және сәйкесінше .

Бізде теңдеу бар делік: . Бұл теңдеудің келесі түбірі бар: және . Осыны дәлелдеп көрейік.

Квадрат теңдеудің түбірлерінің формулалары бойынша:

1. Түбірлердің қосындысын табыңыз:

Бұл теңдеуді талдап көрейік, өйткені біз оны дәл осылай алдық:

= .

1-қадам. Бөлшектерді ортақ бөлгішке келтіреміз, былай шығады:

= = .

2-қадам. Бізде жақшаларды ашу керек бөлшек бар:

Бөлшекті 2-ге азайтып, мынаны аламыз:

Квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысының қатынасын Виет теоремасын пайдаланып дәлелдедік.

2. Түбірлердің көбейтіндісін табыңыз:

= = = = = .

Мына теңдеуді дәлелдеп көрейік:

1-қадам. Бөлшектерді көбейту ережесі бар, оған сәйкес біз бұл теңдеуді көбейтеміз:

Енді квадрат түбірдің анықтамасын еске түсіреміз және қарастырамыз:

= .

3-қадам. Квадрат теңдеудің дискриминантын еске түсіреміз: . Сондықтан D (дискриминант) орнына соңғы бөлшекті қоямыз, содан кейін аламыз:

= .

4-қадам. Жақшаларды ашып, бөлшектерге ұқсас мүшелерді қосыңыз:

5-қадам. Біз «4а» азайтамыз және аламыз.

Сонымен біз түбірлердің көбейтіндісінің қатынасын Виет теоремасы бойынша дәлелдедік.

МАҢЫЗДЫ!Егер дискриминант нөлге тең болса, онда квадрат теңдеудің бір ғана түбірі болады.

Виетаның теоремасына кері теорема

Теоремаға сәйкес, Вьетнам теоремасына кері теорема, біз теңдеуіміздің дұрыс шешілгенін тексере аламыз. Теореманың өзін түсіну үшін біз оны толығырақ қарастыруымыз керек.

Егер сандар:

Сонда олар квадрат теңдеудің түбірлері болады.

Виетаның қарама-қарсы теоремасын дәлелдеу

1-қадам.Теңдеуде оның коэффициенттерін өрнектермен алмастырайық:

2-қадамТеңдеудің сол жағын түрлейік:

3-қадам. Теңдеудің түбірлерін табайық және ол үшін көбейтіндінің нөлге тең болатын қасиетін қолданамыз:

Немесе . Ол қайдан келеді: немесе.

Виета теоремасы бойынша шешімдері бар мысалдар

1-мысал

Жаттығу

Квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысын, көбейтіндісін және квадраттарының қосындысын теңдеудің түбірлерін таппай табыңдар.

Шешім

1-қадам. Дискриминант формуласын еске түсіріңіз. Әріптердің астына сандарымызды қоямыз. Яғни, , , және орнына алмастырғыш болып табылады. Бұл мынаны білдіреді:

Шығарылады:

Title="(!LANG: QuickLaTeX.com арқылы көрсетілген" height="13" width="170" style="vertical-align: -1px;">. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма , а произведение . !}

Түбірлердің квадраттарының қосындысын олардың қосындысы мен көбейтіндісі арқылы өрнектейміз:

Жауап

7; 12; 25.

2-мысал

Жаттығу

Теңдеуді шеш. Бұл жағдайда квадрат теңдеудің формулаларын қолдануға болмайды.

Шешім

Бұл теңдеудің дискриминант (D) бойынша нөлден үлкен түбірлері бар. Сәйкесінше, Вьетнам теоремасы бойынша бұл теңдеудің түбірлерінің қосындысы 4, ал көбейтіндісі 5. Біріншіден, қосындысы 4 болатын санның бөлгіштерін анықтаймыз. Бұл «5» және «-1». Олардың көбейтіндісі – 5-ке, ал қосындысы – 4-ке тең. Демек, Вьетнам теоремасының кері теоремасы бойынша олар осы теңдеудің түбірлері болып табылады.

Жауап

Және 4-мысал

Жаттығу

Әрбір түбірі теңдеудің сәйкес түбірі екі есе болатын теңдеуді жазыңыз:

Шешім

Виет теоремасы бойынша бұл теңдеудің түбірлерінің қосындысы 12, көбейтіндісі = 7. Демек, екі түбір оң болады.

Жаңа теңдеудің түбірлерінің қосындысы мынаған тең болады:

Және жұмыс.

Виетаның теоремасына қарама-қарсы теорема бойынша жаңа теңдеу келесідей болады:

Жауап

Нәтижесінде әрбір түбірі екі есе үлкен теңдеу пайда болды:

Сонымен, Виет теоремасын пайдаланып теңдеуді шешу жолын қарастырдық. Квадрат теңдеулердің түбірлерінің белгілерімен байланысты тапсырмалар шешілсе, бұл теореманы қолдану өте ыңғайлы. Яғни, егер формуладағы бос мүше оң сан болса және квадрат теңдеуде нақты түбірлер болса, онда олардың екеуі де теріс немесе оң болуы мүмкін.

Ал егер бос мүше теріс сан болса және квадрат теңдеуде нақты түбірлер болса, онда екі таңба да әр түрлі болады. Яғни, бір түбір оң болса, екінші түбір тек теріс болады.

Пайдалы дереккөздер:

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра 8-сынып: Мәскеу «Просвещение», 2016 – 318 б.
2. Рубин А.Г., Чулков П.В. - оқулық Алгебра 8-сынып: Мәскеу «Баласс», 2015 - 237 б.
3. Никольский С.М., Потопав М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. – Алгебра 8-сынып: Мәскеу «Просвещение», 2014 – 300

Виетаның теоремасы, кері Вита формуласы және муляждар үшін шешімі бар мысалдаржаңартылды: 2019 жылдың 22 қарашасында: Ғылыми мақалалар.Ru

Сегізінші сыныпта оқушылар квадрат теңдеулермен және оларды шешу жолдарымен танысады. Сонымен қатар, тәжірибе көрсеткендей, оқушылардың көпшілігі толық квадрат теңдеулерді шешуде тек бір ғана әдісті – квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласын қолданады. Ауызша санауды жақсы меңгерген оқушылар үшін бұл әдіс қисынсыз екені анық. Студенттер көбінесе орта мектепте квадрат теңдеулерді шешуге тура келеді, және ол жерде дискриминантты есептеуге уақыт жұмсау өкінішті. Менің ойымша, квадрат теңдеулерді зерттегенде Виеталық теореманы қолдануға көбірек уақыт пен көңіл бөлу керек (А.Г. Мордкович Алгебра-8 бағдарламасына сәйкес «Вьета теоремасы. Декомпозиция квадрат үшмүшені сызықтық көбейткіштерге айналдыру»).

Алгебра оқулықтарының көпшілігінде бұл теорема келтірілген квадрат теңдеу үшін тұжырымдалған және теңдеуінің түбірі болса және , онда олар теңдіктерін қанағаттандырады , .Содан кейін Виет теоремасына қарама-қайшы мәлімдеме тұжырымдалады және осы тақырып бойынша жұмыс істеу үшін бірнеше мысалдар ұсынылады.

Нақты мысалдарды алайық және олар бойынша Виет теоремасын пайдаланып шешімнің логикасын қадағалап көрейік.

Мысал 1. Теңдеуді шешіңіз.

Бұл теңдеудің түбірі бар делік, атап айтқанда, және . Содан кейін, Виетаның теоремасы бойынша, теңдіктер

Түбірлердің көбейтіндісі оң сан екенін ескеріңіз. Сонымен, теңдеудің түбірлерінің таңбалары бірдей. Ал түбірлердің қосындысы да оң сан болғандықтан, теңдеудің екі түбірі де оң деген қорытындыға келеміз. Тамырдың өніміне қайта оралайық. Теңдеудің түбірлері натурал сандар деп есептейік. Сонда дұрыс бірінші теңдікті тек екі жолмен алуға болады (көбейткіштер ретіне дейін): немесе . Ұсынылған сандар жұбын Виеталық теореманың екінші бекітуінің орындылығын тексерейік: . Сонымен, 2 және 3 сандары екі теңдікті де қанағаттандырады, демек, берілген теңдеудің түбірі болады.

Жауабы: 2; 3.

Виета теоремасы арқылы берілген квадрат теңдеуді шешу кезінде пайымдаудың негізгі кезеңдерін бөліп көрсетеміз:

Вьета теоремасының бекітуін жазыңыз

(*)

• теңдеудің түбірлерінің таңбаларын анықтаңдар (Егер түбірлердің көбейтіндісі мен қосындысы оң болса, онда екі түбір де оң сандар. Түбірлердің көбейтіндісі оң сан, ал түбірлердің қосындысы теріс болса, онда Екі түбір де теріс сандар.Егер түбірлердің көбейтіндісі теріс сан болса, онда түбірлердің таңбалары әртүрлі болады.Сонымен қатар, егер түбірлердің қосындысы оң болса, онда модулі үлкен түбір оң сан болады, ал түбірлердің қосындысы нөлден кіші болса, онда модулі үлкен түбір теріс сан болады);
• (*) белгісінде көбейтіндісі дұрыс бірінші теңдік беретін бүтін сандар жұптарын таңдау;
• табылған сандар жұбынан (*) белгісіндегі екінші теңдікке ауыстырылғанда дұрыс теңдік беретін жұпты таңдаңыз;
• жауапта теңдеудің табылған түбірлерін көрсетіңіз.

Тағы бірнеше мысал келтірейік.

2-мысал: Теңдеуді шешіңіз .

Шешім.

Берілген теңдеудің түбірлері болсын. Содан кейін Виет теоремасы бойынша көбейтіндінің оң, ал қосындының теріс екенін ескеріңіз. Демек, екі түбір де теріс сандар. 10 көбейтіндісін беретін жұп көбейткіштерді таңдаймыз (-1 және -10; -2 және -5). Сандардың екінші жұбы -7-ге жетеді. Сонымен -2 және -5 сандары осы теңдеудің түбірі болады.

Жауап: -2; -5.

Мысал 3. Теңдеуді шешіңіз .

Шешім.

Берілген теңдеудің түбірлері болсын. Содан кейін Виетаның теоремасы бойынша туындының теріс екенін ескеріңіз. Сондықтан тамырлар әртүрлі таңбалы. Түбірлердің қосындысы да теріс сан. Демек, модулі ең үлкен түбір теріс. Көбейтіндіні -10 (1 және -10; 2 және -5) беретін жұптарды таңдаймыз. Сандардың екінші жұбы -3-ке жетеді. Сонымен 2 және -5 сандары осы теңдеудің түбірі болады.

Жауап: 2; -5.

Виета теоремасын негізінен толық квадрат теңдеу үшін тұжырымдауға болатынын ескеріңіз: квадрат теңдеу болса түбірлері бар және , онда олар теңдіктерді қанағаттандырады , .Дегенмен, бұл теореманы қолдану өте қиын, өйткені толық квадрат теңдеуде түбірлердің кем дегенде біреуі (әрине, бар болса) бөлшек сан болып табылады. Ал бөлшек таңдаумен жұмыс ұзақ және қиын. Бірақ одан шығудың жолы бар.

Толық квадрат теңдеуді қарастырайық . Теңдеудің екі жағын бірінші коэффициентке көбейтіңіз ажәне теңдеуді формада жазыңыз . Біз жаңа айнымалыны енгіземіз және қысқартылған квадрат теңдеуді аламыз, оның түбірі мен (бар болса) Виета теоремасы арқылы табуға болады. Сонда бастапқы теңдеудің түбірлері болады. Көмекші келтірілген теңдеуді жазу өте оңай екенін ескеріңіз: екінші коэффициент сақталады, ал үшінші коэффициент көбейтіндіге тең. ace. Белгілі бір дағдымен оқушылар бірден көмекші теңдеу құрастырады, Виета теоремасы арқылы оның түбірлерін тауып, берілген толық теңдеудің түбірін көрсетеді. Мысалдар келтірейік.

Мысал 4. Теңдеуді шешіңіз .

Көмекші теңдеу құрайық ал Виетаның теоремасы бойынша оның түбірін табамыз. Сонымен бастапқы теңдеудің түбірлері .

Жауап: .

Мысал 5. Теңдеуді шешіңіз .

Көмекші теңдеудің түрі бар. Виетаның теоремасы бойынша оның түбірлері . Бастапқы теңдеудің түбірлерін табамыз .

Жауап: .

Виет теоремасын қолдану толық квадрат теңдеудің түбірлерін ауызша табуға мүмкіндік беретін тағы бір жағдай. Мұны дәлелдеу оңай 1 саны теңдеудің түбірі болып табылады , егер және тек егер. Теңдеудің екінші түбірі Вьета теоремасы арқылы табылады және оған тең. Тағы бір мәлімдеме: сондықтан -1 саны теңдеудің түбірі болады қажетті және жеткілікті. Сонда Вьета теоремасы бойынша теңдеудің екінші түбірі -ге тең. Ұқсас мәлімдемелерді келтірілген квадрат теңдеу үшін тұжырымдауға болады.

Мысал 6. Теңдеуді шешіңіз.

Теңдеу коэффициенттерінің қосындысы нөлге тең екенін ескеріңіз. Сонымен теңдеудің түбірлері .

Жауап: .

Мысал 7. Теңдеуді шешіңіз.

Бұл теңдеудің коэффициенттері сипатты қанағаттандырады (шынында, 1-(-999)+(-1000)=0). Сонымен теңдеудің түбірлері .

Жауап: ..

Вьета теоремасын қолдануға мысалдар

1-тапсырма.Вьета теоремасын пайдаланып, берілген квадрат теңдеуді шеш.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Тапсырма 2. Көмекші келтірілген квадрат теңдеуге көшу арқылы толық квадрат теңдеуді шеш.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

3-тапсырма.Қасиетін пайдаланып квадрат теңдеуді шеш.

Мектеп алгебра курсында екінші ретті теңдеулерді шешу жолдарын оқығанда алынған түбірлердің қасиеттерін қарастыру. Олар қазір Виетаның теоремасы ретінде белгілі. Оны пайдалану мысалдары осы мақалада келтірілген.

Квадрат теңдеу

Екінші ретті теңдеу - төмендегі фотода көрсетілген теңдік.

Мұндағы a, b, c таңбалары қарастырылып отырған теңдеудің коэффициенттері деп аталатын кейбір сандар. Теңдікті шешу үшін оны ақиқат ететін x мәндерін табу керек.

Назар аударыңыз, х көтерілетін дәреженің максималды мәні екі болғандықтан, жалпы жағдайда түбірлер саны да екі болады.

Теңдіктің бұл түрін шешудің бірнеше жолы бар. Бұл мақалада біз олардың бірін қарастырамыз, ол Вьетнам деп аталатын теореманы қолдануды қамтиды.

Вьета теоремасының тұжырымы

16 ғасырдың аяғында атақты математик Франсуа Виет (француз) әртүрлі квадрат теңдеулердің түбірлерінің қасиеттерін талдай отырып, олардың белгілі бір комбинациялары нақты қатынастарды қанағаттандыратынын байқады. Атап айтқанда, бұл комбинациялар олардың туындысы мен сомасы болып табылады.

Виет теоремасы мынаны белгілейді: квадрат теңдеудің түбірлері қосындыда қарама-қарсы таңбамен алынған сызықтық және квадраттық коэффициенттердің қатынасын береді, ал оларды көбейткенде бос мүшенің квадраттық коэффициентке қатынасына әкеледі. .

Егер теңдеудің жалпы түрі мақаланың алдыңғы бөліміндегі фотосуретте көрсетілгендей жазылса, онда математикалық түрде бұл теореманы екі теңдік түрінде жазуға болады:

• r 2 + r 1 \u003d -b / a;
• r 1 x r 2 \u003d c / a.

Мұндағы r 1 , r 2 – қарастырылатын теңдеудің түбірлерінің мәні.

Бұл екі теңдік өте әртүрлі математикалық есептерді шешу үшін пайдаланылуы мүмкін. Шешімі бар мысалдарда Виета теоремасын қолдану мақаланың келесі бөлімдерінде берілген.