Ойындар

Синустың ерекше жағдайы 0. Тригонометриялық теңдеулер. Көмекші бұрышпен таныстыру

Мәселеңіздің толық шешіміне тапсырыс бере аласыз!!!

Белгі астында белгісізді қамтитын теңдік тригонометриялық функция(`sin x, cos x, tan x` немесе `ctg x`) тригонометриялық теңдеу деп аталады және олардың формулаларын әрі қарай қарастырамыз.

Ең қарапайым теңдеулер `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a` болып табылады, мұндағы `x` - табу керек бұрыш, `a` - кез келген сан. Олардың әрқайсысының түбір формулаларын жазып алайық.

1. `sin x=a` теңдеуі.

`|a|>1` үшін оның шешімдері жоқ.

Қашан `|a| \leq 1` шешімдерінің шексіз саны бар.

Түбір формуласы: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. `cos x=a` теңдеуі

`|a|>1` үшін - синус жағдайындағы сияқты, арасындағы шешімдер нақты сандаржоқ.

Қашан `|a| \leq 1` шешімдерінің шексіз саны бар.

Түбір формуласы: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Графиктердегі синус пен косинустың ерекше жағдайлары.

3. `tg x=a` теңдеуі

Кез келген `a` мәндері үшін шешімдердің шексіз саны бар.

Түбір формуласы: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. `ctg x=a` теңдеуі

Сондай-ақ кез келген `a` мәндері үшін шешімдердің шексіз саны бар.

Түбір формуласы: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Кестедегі тригонометриялық теңдеулердің түбірлерінің формулалары

Синус үшін:
Косинус үшін:
Тангенс және котангенс үшін:
Құрамында кері тригонометриялық функциялар бар теңдеулерді шешу формулалары:

Тригонометриялық теңдеулерді шешу әдістері

Кез келген тригонометриялық теңдеуді шешу екі кезеңнен тұрады:

оны ең қарапайым түрлендіру арқылы;
жоғарыда жазылған түбір формулалар мен кестелер арқылы алынған қарапайым теңдеуді шешу.

Мысалдар арқылы шешудің негізгі әдістерін қарастырайық.

Алгебралық әдіс.

Бұл әдіс айнымалыны ауыстыруды және оны теңдікке ауыстыруды қамтиды.

Мысал. Теңдеуді шешіңіз: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

ауыстыруды жасаңыз: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, содан кейін `2y^2-3y+1=0`,

біз түбірлерді табамыз: `y_1=1, y_2=1/2`, одан екі жағдай шығады:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Жауабы: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Факторизация.

Мысал. Теңдеуді шешіңіз: `sin x+cos x=1`.

Шешім. Теңдіктің барлық мүшелерін солға жылжытайық: `sin x+cos x-1=0`. көмегімен сол жақ бөлігін түрлендіреміз және көбейткіштерге бөлеміз:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

`sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
`cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Жауабы: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Біртекті теңдеуге келтіру

Алдымен бұл тригонометриялық теңдеуді екі форманың біріне келтіру керек:

`a sin x+b cos x=0` ( біртекті теңдеубірінші дәрежелі) немесе `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (екінші дәрежелі біртекті теңдеу).

Содан кейін екі бөлікті де бірінші жағдай үшін `cos x \ne 0`, ал екіншісі үшін `cos^2 x \ne 0` деп бөліңіз. Біз `tg x` үшін теңдеулерді аламыз: `a tg x+b=0` және `a tg^2 x + b tg x +c =0`, оларды белгілі әдістер арқылы шешу қажет.

Мысал. Теңдеуді шешіңіз: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Шешім. Оны жазып алайық оң жақ`1=sin^2 x+cos^2 x` сияқты:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Бұл екінші дәрежелі біртекті тригонометриялық теңдеу, оның сол және оң жақтарын `cos^2 x \ne 0`-ге бөлеміз, мынаны аламыз:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. `t^2 + t - 2=0` болатын `tg x=t` ауыстыруды енгізейік. Бұл теңдеудің түбірлері `t_1=-2` және `t_2=1`. Содан кейін:

`tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
`tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \Z` ішінде.

Жауап. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Жарты бұрышқа жылжыту

Мысал. Теңдеуді шешіңіз: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Шешім. Қос бұрыш формулаларын қолданайық, нәтижесінде: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 тг^2 x/2 — 11 тг x/2 +6=0`

Жоғарыда айтылғандарды қолдану алгебралық әдіс, Біз алып жатырмыз:

`tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
`tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Жауап. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Көмекші бұрышпен таныстыру

`a sin x + b cos x =c` тригонометриялық теңдеуінде, мұндағы a,b,c - коэффициенттер және x - айнымалы, екі жағын `sqrt (a^2+b^2)`-ге бөліңіз:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Сол жақтағы коэффициенттер синус пен косинустың қасиеттеріне ие, атап айтқанда олардың квадраттарының қосындысы 1-ге тең, ал модульдері 1-ден үлкен емес. Оларды былай белгілейік: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, содан кейін:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Келесі мысалды толығырақ қарастырайық:

Мысал. Теңдеуді шешіңіз: `3 sin x+4 cos x=2`.

Шешім. Теңдіктің екі жағын `sqrt (3^2+4^2)`-ге бөлсек, мынаны аламыз:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt) (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

`3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` деп белгілейік. `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` болғандықтан, көмекші бұрыш ретінде `\varphi=arcsin 4/5` аламыз. Содан кейін теңдігімізді келесі түрде жазамыз:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Синус үшін бұрыштардың қосындысының формуласын қолданып, теңдігімізді келесі түрде жазамыз:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Жауап. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Бөлшек рационал тригонометриялық теңдеулер

Бұл алымдары мен бөлгіштері тригонометриялық функцияларды қамтитын бөлшектермен теңдіктер.

Мысал. Теңдеуді шеш. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Шешім. Теңдіктің оң жағын `(1+cos x)` көбейтіңіз және бөліңіз. Нәтижесінде біз аламыз:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Бөлгіш нөлге тең бола алмайтынын ескерсек, Z`-де `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \боламыз.

Бөлшектің алымын нөлге теңестірейік: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Содан кейін `sin x=0` немесе `1-sin x=0`.

`sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
`1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` болатынын ескере отырып, шешімдер `x=2\pi n, n \in Z` және `x=\pi /2+2\pi n` болады. , `n \in Z`.

Жауап. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометрия, әсіресе тригонометриялық теңдеулер геометрияның, физиканың және техниканың барлық дерлік салаларында қолданылады. Оқу 10-сыныпта басталады, Бірыңғай мемлекеттік емтиханға әрқашан тапсырмалар бар, сондықтан тригонометриялық теңдеулердің барлық формулаларын есте сақтауға тырысыңыз - олар сізге міндетті түрде пайдалы болады!

Дегенмен, оларды жаттап алудың да қажеті жоқ, бастысы – мәнін түсініп, оны шығара білу. Бұл көрінгендей қиын емес. Видеоны көру арқылы өзіңіз көріңіз.

Құпиялықты сақтау біз үшін маңызды. Осы себепті біз сіздің ақпаратыңызды қалай пайдаланатынымызды және сақтайтынымызды сипаттайтын Құпиялылық саясатын әзірледік. Құпиялылық тәжірибелерімізді қарап шығыңыз және сұрақтарыңыз болса, бізге хабарлаңыз.

Жеке ақпаратты жинау және пайдалану

Жеке ақпарат белгілі бір адамды анықтау немесе байланысу үшін пайдаланылуы мүмкін деректерге жатады.

Бізбен байланысқан кез келген уақытта сізден жеке ақпаратыңызды беру сұралуы мүмкін.

Төменде біз жинай алатын жеке ақпарат түрлерінің және мұндай ақпаратты қалай пайдалана алатынымыздың кейбір мысалдары берілген.

Біз қандай жеке ақпаратты жинаймыз:

Сайтта өтініш жіберген кезде біз әртүрлі ақпаратты, соның ішінде атыңызды, телефон нөміріңізді, электрондық пошта мекенжайыңызды және т.б. жинай аламыз.

Жеке ақпаратыңызды қалай қолданамыз:

Біз жинайтын жеке ақпарат бізге бірегей ұсыныстар, жарнамалық акциялар және басқа оқиғалар мен алдағы оқиғалар туралы сізбен байланысуға мүмкіндік береді.
Уақыт өте келе біз сіздің жеке ақпаратыңызды маңызды хабарламалар мен хабарламаларды жіберу үшін пайдалана аламыз.
Сондай-ақ біз жеке ақпаратты біз ұсынатын қызметтерді жақсарту және қызметтерімізге қатысты ұсыныстар беру үшін аудиттер жүргізу, деректерді талдау және әртүрлі зерттеулер сияқты ішкі мақсаттарда пайдалана аламыз.
Егер сіз ұтыс ойынына, конкурсқа немесе ұқсас науқанға қатыссаңыз, біз сіз берген ақпаратты осындай бағдарламаларды басқару үшін пайдалана аламыз.

Ақпаратты үшінші тұлғаларға ашу

Біз сізден алынған ақпаратты үшінші тұлғаларға жария етпейміз.

Ерекшеліктер:

Қажет болған жағдайда - заңға сәйкес, сот тәртібімен, сот процесінде және/немесе Ресей Федерациясының аумағындағы мемлекеттік органдардың қоғамдық сұраныстары немесе сұраулары негізінде - жеке мәліметтеріңізді жария етуге. Сондай-ақ, мұндай ашу қауіпсіздік, құқық қорғау немесе басқа да қоғамдық маңызды мақсаттар үшін қажет немесе сәйкес екенін анықтасақ, сіз туралы ақпаратты аша аламыз.
Қайта ұйымдастыру, біріктіру немесе сату жағдайында біз жинаған жеке ақпаратты тиісті мұрагерге үшінші тарапқа бере аламыз.

Жеке ақпаратты қорғау

Біз сіздің жеке ақпаратыңызды жоғалудан, ұрланудан және теріс пайдаланудан, сондай-ақ рұқсатсыз кіруден, жария етуден, өзгертуден және жоюдан қорғау үшін сақтық шараларын, соның ішінде әкімшілік, техникалық және физикалық шараларды қабылдаймыз.

Компания деңгейінде құпиялылығыңызды құрметтеу

Сіздің жеке ақпаратыңыздың қауіпсіз болуын қамтамасыз ету үшін біз қызметкерлерге құпиялылық пен қауіпсіздік стандарттарын хабарлаймыз және құпиялылық тәжірибесін қатаң түрде орындаймыз.

Ең қарапайым тригонометриялық теңдеулер – теңдеулер

Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a

cos(x) = a теңдеуі

Түсіндіру және негіздеу

cosx = a теңдеуінің түбірлері. Қашан | а | > 1 теңдеудің түбірі жоқ, өйткені | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 немесе а< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

рұқсат етіңіз а |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. Интервалда y = cos x функциясы 1-ден -1-ге дейін төмендейді. Бірақ кемімелі функция өзінің әрбір мәнін анықтау облысының бір нүктесінде ғана қабылдайды, сондықтан cos x = a теңдеуінің осы интервалда бір ғана түбірі бар, ол арккосинаның анықтамасы бойынша мынаған тең: x 1 = arccos a (және осы түбір үшін cos x = A).

Косинус жұп функция, сондықтан [-n интервалында; 0] теңдеуі cos x = және тек бір ғана түбірі бар - x 1-ге қарама-қарсы сан, яғни

x 2 = -arccos a.

Осылайша, [-n интервалында; p] (ұзындығы 2p) теңдеуі cos x = a |мен а |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

y = cos x функциясы 2n периоды периодты болып табылады, сондықтан барлық басқа түбірлер 2n (n € Z) арқылы табылғандардан ерекшеленеді. cos x = a теңдеуінің түбірлері үшін келесі формуланы аламыз

x = ±arccos a + 2pp, n £ Z.

cosx = a теңдеуін шешудің ерекше жағдайлары.

cos x = a теңдеуінің түбірлері үшін арнайы белгілерді есте сақтау пайдалы

a = 0, a = -1, a = 1, оны сілтеме ретінде бірлік шеңберін пайдаланып оңай алуға болады.

Косинус бірлік шеңбердің сәйкес нүктесінің абсциссасына тең болғандықтан, егер бірлік шеңбердің сәйкес нүктесі А немесе В нүктесі болса ғана cos x = 0 мәнін аламыз.

Сол сияқты cos x = 1, егер бірлік шеңбердің сәйкес нүктесі С нүктесі болса ғана, демек,

x = 2πп, k € Z.

Сондай-ақ cos x = -1, егер бірлік шеңбердің сәйкес нүктесі D нүктесі болса ғана, осылайша x = n + 2n,

sin(x) = a теңдеуі

Түсіндіру және негіздеу

sinx = a теңдеуінің түбірлері. Қашан | а | > 1 теңдеудің түбірі жоқ, өйткені | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 немесе а< -1 не пересекает график функции y = sinx).

Тригонометриялық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері: теңдеулерді қарапайымға келтіру (тригонометриялық формулаларды қолдану), жаңа айнымалыларды енгізу және факторинг. Олардың қолданылуын мысалдармен қарастырайық. Тригонометриялық теңдеулердің шешімдерін жазу форматына назар аударыңыз.

Тригонометриялық теңдеулерді сәтті шешудің қажетті шарты тригонометриялық формулаларды білу болып табылады (6 жұмыстың 13-тақырыбы).

Мысалдар.

1. Ең қарапайымға келтірілген теңдеулер.

1) Теңдеуді шеш

Шешімі:

Жауап:

2) Теңдеудің түбірлерін табыңыз

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, сегментке жатады.

Шешімі:

Жауап:

2. Квадратқа келтіретін теңдеулер.

1) 2 sin 2 x – cosx –1 = 0 теңдеуін шешіңіз.

Шешімі: sin 2 x = 1 – cos 2 x формуласын қолданып, аламыз

Жауап:

2) cos 2x = 1 + 4 cosx теңдеуін шешіңіз.

Шешімі: cos 2x = 2 cos 2 x – 1 формуласын қолданып, аламыз

Жауап:

3) tgx – 2ctgx + 1 = 0 теңдеуін шешіңіз

Шешімі:

Жауап:

3. Біртекті теңдеулер

1) 2sinx – 3cosx = 0 теңдеуін шешіңіз

Шешуі: cosx = 0 болсын, содан кейін 2sinx = 0 және sinx = 0 – sin 2 x + cos 2 x = 1 болатын қайшылық. Бұл cosx ≠ 0 дегенді білдіреді және теңдеуді cosx-ке бөлуге болады. Біз алып жатырмыз

Жауап:

2) 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x теңдеуін шешіңіз

Шешімі:

1 = sin 2 x + cos 2 x және sin 2x = 2 sinxcosx формулаларын қолданамыз, біз аламыз

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

cosx = 0 болсын, онда sin 2 x = 0 және sinx = 0 – sin 2 x + cos 2 x = 1 деген қайшылық.
Бұл cosx ≠ 0 дегенді білдіреді және теңдеуді cos 2 x-ке бөлуге болады . Біз алып жатырмыз

тг 2 x – 6 тгх + 8 = 0
tgx = y деп белгілейік
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
а) tgx = 4, x= arctan4 + 2 к, к
б) tgx = 2, x= arctan2 + 2 к, к .

Жауап: arctg4 + 2 к, arctan2 + 2 к,к

4. Пішіннің теңдеулері а sinx + б cosx = с, с≠ 0.

1) Теңдеуді шеш.

Шешімі:

Жауап:

5. Бөлшектеу арқылы шешілетін теңдеулер.

1) sin2x – sinx = 0 теңдеуін шешіңіз.

Теңдеудің түбірі f (X) = φ ( X) тек 0 саны ретінде қызмет ете алады. Осыны тексерейік:

cos 0 = 0 + 1 – теңдік ақиқат.

0 саны бұл теңдеудің жалғыз түбірі болып табылады.

Жауап: 0.

«А алу» бейне курсы табысты болу үшін қажетті барлық тақырыптарды қамтиды Бірыңғай мемлекеттік емтиханды тапсыруматематикадан 60-65 балл. Барлық есептер 1-13 Бейіндік Бірыңғай мемлекеттік емтиханматематикадан. Сондай-ақ математикадан Базалық Бірыңғай мемлекеттік емтихан тапсыруға жарамды. Бірыңғай мемлекеттік емтиханды 90-100 баллмен тапсырғыңыз келсе, 1-бөлімді 30 минутта қатесіз шешуіңіз керек!

10-11 сыныптарға, сондай-ақ мұғалімдерге арналған Бірыңғай мемлекеттік емтиханға дайындық курсы. Математикадан Бірыңғай мемлекеттік емтиханның 1-бөлігін (алғашқы 12 есеп) және 13-есепті (тригонометрия) шешу үшін қажет нәрсенің бәрі. Ал бұл Бірыңғай мемлекеттік емтихандағы 70 ұпайдан жоғары және оларсыз 100 баллдық студент те, гуманитарлық пәннің студенті де істей алмайды.

Барлық қажетті теория. Бірыңғай мемлекеттік емтиханның жылдам шешімдері, қателері мен құпиялары. FIPI тапсырмалар банкінен 1-бөлімнің барлық ағымдағы тапсырмалары талданды. Курс 2018 жылғы Бірыңғай мемлекеттік емтиханның талаптарына толығымен сәйкес келеді.

Курс әрқайсысы 2,5 сағаттан тұратын 5 үлкен тақырыпты қамтиды. Әрбір тақырып нөлден бастап, қарапайым және түсінікті түрде беріледі.

Жүздеген Бірыңғай мемлекеттік емтихан тапсырмалары. Сөздік есептер және ықтималдықтар теориясы. Есептерді шешудің қарапайым және есте сақтау оңай алгоритмдері. Геометрия. Бірыңғай мемлекеттік емтихан тапсырмаларының барлық түрлеріне теория, анықтамалық материал, талдау. Стереометрия. Күрделі шешімдер, пайдалы парақтар, әзірлеу кеңістіктік қиял. Тригонометрия нөлден есеп 13. Тығыздау орнына түсіну. Көрнекі түсіндіру күрделі ұғымдар. Алгебра. Түбірлер, дәрежелер және логарифмдер, функция және туынды. Бірыңғай мемлекеттік емтиханның 2-бөлімінің күрделі есептерін шешуге негіз.