x котангенсінің туындысы. Тригонометриялық функциялардың туындылары: тангенс, синус, косинус және т.б. Тригонометриялық функциялардың туынды формулалары

x котангенсінен х айнымалысына қатысты туынды минус 1-ге тең, х-тің синус квадратына бөлінген.:
(ctg x)′ =.

Котангенс туынды формуласын шығару

Котангенс туындысының формуласын шығару үшін келесі математикалық фактілерді қолданамыз:
1) Котангентті косинус пен синус арқылы өрнектеу:
(1) ;
2) Косинус туындысының мәні:
(2) ;
3) Синус туындысының мәні:
(3) ;
4) Бөлшек туынды формуласы:
(4) ;
5) Тригонометриялық формула:
(5) .

Бұл формулалар мен ережелерді котангенс туындысына қолданамыз.

.

Осылайша, біз котангенс туындысының формуласын алдық.

Туынды бөлшек формуласы (4) функциялардың туындылары бар және бөлшектің бөлгіші жойылмайтын х айнымалысының мәндері үшін жарамды:
.
Біздің жағдайда
, . Косинус пен синустың туындылары х айнымалысының барлық мәндері үшін анықталғандықтан, котангенс туындысының формуласы синусы нөлге тең болатын нүктелерді қоспағанда, барлық х үшін жарамды. Яғни, ұпайларды қоспағанда
,
бүтін сан қайда.
Функцияның өзі y = ctg xнүктелерден басқа барлық х үшін анықталған
.
Сондықтан котангенстің туындысы котангенс функциясын анықтаудың барлық облысы бойынша анықталады.

Жоғары ретті туындылар

y = котангенсінің n-ші ретті туындысының қарапайым формуласы ctg x, Жоқ. Бірақ жоғары дәрежелі туынды құралдарды есептеуді жеңілдетуге болады. Процестің өзін қысқартуға болады көпмүшені дифференциалдау.

Ол үшін котангенстің туындысын котангенстің өзі арқылы өрнектейміз:
.
Сонымен біз таптық:
(6) .

(6) теңдеудің сол және оң жақтарының туындыларын тауып, күрделі функцияны дифференциалдау ережесін қолданайық. Біз алып жатырмыз екінші ретті туынды:
.
(6) ауыстырайық:
(7) .

Үшінші ретті туындыны табайық. Ол үшін (7) теңдеуді ажыратамыз, күрделі функцияны дифференциалдау ережесін қолданамыз және бірінші туынды үшін (6) өрнекті қолданамыз:
.

Осыған ұқсас жолмен біз табамыз төртінші және бесінші ретті туындылар:

;

.

IN жалпы көрініс, n-ші ретті туынды, котангенс функциясының х айнымалысында, , котангенс дәрежесінде көпмүше ретінде ұсынылуы мүмкін:
.
Бұл көпмүшенің коэффициенттері өзара байланысты қайталану қатынасы:
,
Қайда
; ;
.

Жалпы формула

Бір формуламен дифференциалдау процесін елестетіп көрейік. Мұны істеу үшін мынаны ескеріңіз
.
Сонда котангенстің n-ші туындысы келесі түрге ие болады:
,
Қайда.

Ең жиі қойылатын сұрақтар

Берілген үлгі бойынша құжатқа мөр қоюға болады ма? Жауап Иә, бұл мүмкін. Сканерленген көшірмені немесе фотосуретті электрондық пошта мекенжайымызға жіберіңіз жақсы сапа, және біз қажетті көшірме жасаймыз.

Сіз қандай төлем түрлерін қабылдайсыз? Жауап Құжатты толтыру дұрыстығын және дипломның ресімделу сапасын тексергеннен кейін курьер алған кезде төлей аласыз. Мұны қолма-қол ақшаны жеткізу қызметтерін ұсынатын пошта компанияларының кеңсесінде де жасауға болады.
Құжаттарды жеткізу мен төлеудің барлық шарттары «Төлем және жеткізу» бөлімінде сипатталған. Құжатты жеткізу және төлеу шарттарына қатысты ұсыныстарыңызды да тыңдауға дайынбыз.

Тапсырыс бергеннен кейін менің ақшаммен жоғалып кетпейтініңізге сенімді бола аламын ба? Жауап Дипломдық өндіріс саласында біздің үлкен тәжірибеміз бар. Бізде үнемі жаңартылып тұратын бірнеше веб-сайттар бар. Біздің мамандар еліміздің түкпір-түкпірінде жұмыс істейді, күніне 10-нан астам құжат жасайды. Осы жылдар ішінде біздің құжаттарымыз көптеген адамдарға жұмысқа орналасу мәселелерін шешуге немесе жалақысы жоғары жұмысқа ауысуға көмектесті. Біз клиенттер арасында сенім мен мойындауға ие болдық, сондықтан мұны істеуге ешқандай себеп жоқ. Оның үстіне, мұны физикалық түрде жасау мүмкін емес: сіз тапсырысыңызды қолыңызға алған кезде төлейсіз, алдын ала төлем жоқ.

Кез келген университеттің дипломына тапсырыс бере аламын ба? Жауап Жалпы, иә. Бұл салада 12 жылға жуық еңбек етіп келеміз. Осы уақыт ішінде еліміздегі және одан тысқары жерлердегі барлық дерлік университеттер беретін құжаттардың толық дерлік деректер базасы қалыптасты. әр түрлі жылдаршығару. Сізге тек университетті, мамандықты, құжатты таңдап, тапсырыс формасын толтыру жеткілікті.

Құжаттағы қателер мен қателерді тапсаңыз не істеу керек? Жауап Біздің курьерлік немесе пошталық компаниядан құжатты алған кезде барлық мәліметтерді мұқият тексеруді ұсынамыз. Егер қате, қате немесе дәлсіздік анықталса, сіз дипломды алмауға құқығыңыз бар, бірақ анықталған кемшіліктерді курьерге жеке өзіңіз немесе электрондық пошта арқылы жазбаша түрде көрсетуіңіз керек.
IN мүмкіндігінше тезірекҚұжатты түзетіп, көрсетілген мекенжайға қайта жібереміз. Әрине, жеткізу ақысын біздің компания төлейді.
Осындай түсініспеушіліктерді болдырмау үшін түпнұсқа пішінді толтырмас бұрын біз тұтынушыға соңғы нұсқасын тексеру және бекіту үшін болашақ құжаттың макетін жібереміз. Құжатты курьер немесе пошта арқылы жібермес бұрын, біз сонымен бірге қосымша фотосуреттер мен бейнелерді (оның ішінде ультракүлгін сәуледе) түсіреміз, осылайша сіз соңында не алатыныңыз туралы нақты түсінікке ие боласыз.

Сіздің компанияңыздан дипломға тапсырыс беру үшін не істеуім керек? Жауап Құжатқа тапсырыс беру үшін (сертификат, диплом, академиялық аттестат және т. бізге.
Тапсырыс бланкісінің/сауалнаманың кез келген жолында не көрсету керектігін білмесеңіз, оларды бос қалдырыңыз. Сондықтан барлық жетіспейтін ақпаратты телефон арқылы нақтылайтын боламыз.

Соңғы шолулар

Торивилд:

Мен басқа қалаға көшіп кетіп, заттарымның арасынан дипломымды таппай жүргенде, сіздің компанияңыздың дипломын алуды шештім. Ол болмаса мені жақсы, жалақысы жоғары жұмысқа алмас едім. Сіздің кеңесшіңіз маған сендірді бұл ақпаратжария етілмейді және құжатты түпнұсқадан ешкім ажыратпайды. Ешқандай күмән болған жоқ, бірақ тәуекелге баруға тура келді. Маған алдын ала төлем талап етілмейтіні ұнады. Жалпы, дипломымды уақытында алдым, алданбадым. Рақмет сізге!

Оксана Ивановна:

Дипломымды ұрлап кеткенде қатты ренжідім. Өйткені, мен дәл сол кезде жұмыстан шығарылғанмын, бірақ мен оларды қазір таба аламын Жақсы жұмысдипломсыз жоғары біліммүмкін емес дерлік. Бақытымызға орай, көршіңіз ұйымыңызға хабарласуды ұсынды. Басында күмәнмен қарадым, бірақ тәуекелге бел будым. Мен компания менеджеріне телефон соғып, жағдайымды түсіндірдім. Ал мен бақыттымын! Олар барлығын дер кезінде істеді, ең бастысы, менің сырымды жарияламауға уәде берді. Дипломды сатып алғаным кейін шықпай ма деп уайымдадым.

Маша Кутенкова:

Жұмысыңызға рахмет! 1991 жылғы дипломға тапсырыс бердім. Құжаттарын көтере бастағанда, тәжірибе аз, білімін растайтын қағаз да керек болып шықты. Менде ондай болмады, бастық мұны білді және ол сіздің компанияңызды өзі ұсынды (шамасы, мен қызметкер сияқты емеспін). Құжатта ол маған егжей-тегжейлерді көрсетті, мысалы, олар сия немесе сияны қай жылдары қолданады, қолтаңбаның қалыңдығы және т.б. Мұқият және сапа үшін рахмет!

ЛенОК:

Дипломдары түрлі-түсті принтерде басылған қызметкерлердің ұятсыз жұмыстан босатылғаны туралы әңгімелерді оқып, университетке құжат тапсыруға бардым. Әттең, бюджет жоқ, оқуға ақша жоқ, сеанстарға ақша жоқ, сондықтан тәуекелге баруға тура келді. Сіздің компанияңызбен танысқаныма өте қуаныштымын. Практикалық блоктан өтпегендіктен дипломыңызбен жұмысқа қабылданбағаныммен, бұл сіздің кінәңіз емес. Мен жаңа орын тапқан бойда, мен сізге дереу келемін, кідіріссіз!

Джерри Терри:

Әріптесімнің жалған диплом үшін жұмыстан қуылғанын қандай ұятпен көріп, одан үлгі алудың өзі қорқынышты болды. Сізден бұйырған бәйбішесі болмаса, мен тәуекелге бармас едім. Ол мұнда бәрі тегіс, менің атым қажет болған жерде болады деп сендірді. Менде барлығын жасауға 4 күн болды. Жылдамдығыңызға рахмет - біз оны 3-те аяқтадық, сонымен қатар жалған құжаттарды жасау әдістерін мұқият зерттедік, бірақ сіздің пішініңіз жалған емес, яғни ол түпнұсқаға өтеді.

Андрей:

Диплом сатып аламын деп ешқашан ойламаған едім. Мектептен кейін қызым Польшаға жұмыс істеуге кетті, ол 5 жылдан кейін оралғанда жергілікті сән үйіне киім дизайнері болып жұмысқа орналасқысы келді. Дипломсыз оны ешкім жұмысқа алғысы келмеді. Ол бұл жұмысты алмаса, қайтадан кететінін түсінді. Мен кешке интернетті шарлаумен өткіздім, ал таңертең қызымның құжаттарымен кеңседе болдым. Бір аптадан кейін ол дипломын өзімен бірге алып кетті, ол ақыры өз қаласына қалаған лауазымында жұмыс істеуге қалды. Менің саған қаншалықты риза екенімді білмейсің!

Мектеп оқушылары геометрия мен математика курсынан туынды ұғымы фигураның ауданы, дифференциал, функция шегі, сонымен қатар шек арқылы берілетіндігіне дағдыланады. Туынды ұғымына басқа қырынан қарап, туынды және тригонометриялық функцияларды қалай байланыстыруға болатынын анықтап көрейік.

Сонымен, абстрактілі y = f(x) функциясымен сипатталатын кейбір ерікті қисық сызықты қарастырайық.

Кесте туристік маршруттың картасы деп елестетейік. Суреттегі ∆x (дельта x) өсімі жолдың белгілі бір қашықтығы, ал ∆y – теңіз деңгейінен биіктіктің өзгеруі.
Сонда ∆x/∆y қатынасы маршруттың әрбір сегментіндегі маршруттың күрделілігін сипаттайтыны белгілі болды. Бұл құндылықты меңгергеннен кейін, сіз көтерілу/түсіру тік екенін, альпинизмге арналған құрал-жабдықтардың қажет болатынын және туристерге белгілі бір дене жаттығуларын қажет ететінін сенімді түрде айта аласыз. Бірақ бұл көрсеткіш бір шағын ∆x интервалында ғана жарамды болады.

Егер сапарды ұйымдастырушы соқпақтың бастапқы және аяқталу нүктелерінің мәндерін қабылдаса, яғни ∆x маршрут ұзындығына тең болса, онда ол қиындық дәрежесі туралы объективті деректерді ала алмайды. сапар туралы. Сондықтан жолдағы өзгерістердің жылдамдығы мен «сапасын» сипаттайтын, басқаша айтқанда, маршруттың әрбір «метрі» үшін ∆x/∆y қатынасын анықтайтын басқа графикті құру қажет.

Бұл график белгілі бір жол үшін көрнекі туынды болады және оның әрбір қызығушылық интервалындағы өзгерістерін объективті түрде сипаттайды. Мұны тексеру өте оңай, ∆x/∆y мәні x пен у-ның нақты мәні үшін алынған дифференциалдан басқа ештеңе емес; Дифференциацияны нақты координаттарға емес, жалпы функцияға қолданайық:

Туынды және тригонометриялық функциялар

Тригонометриялық функциялар туындылармен тығыз байланысты. Мұны келесі сызбадан түсінуге болады. Координаталар осінің фигурасы Y = f (x) функциясын көрсетеді - көк қисық.

K (x0; f (x0)) - ерікті нүкте, x0 + ∆x - OX осі бойындағы өсім, ал f (x0 + ∆x) - белгілі бір L нүктесіндегі OY осі бойындағы өсу.

К және L нүктелері арқылы түзу жүргізіп, тұрғызайық тікбұрышты үшбұрыш KLN. Егер сіз LN сегментін Y = f (x) графигі бойымен ойша жылжытсаңыз, L және N нүктелері K (x0; f (x0)) мәндеріне бейім болады. Бұл нүктені графиктің шартты басы - шегі деп атаймыз, егер функция шексіз болса, ең болмағанда интервалдардың бірінде бұл тенденция да шексіз болады және оның шекті мәні 0-ге жақын болады.

Бұл тенденцияның сипатын таңдалған y = kx + b нүктесіне жанама арқылы немесе dy бастапқы функциясының туындысының графигі арқылы сипаттауға болады - жасыл түзу.

Бірақ бұл жерде тригонометрия қайда?! Барлығы өте қарапайым, KLN тікбұрышты үшбұрышын қарастырыңыз. Белгілі бір K нүктесі үшін дифференциалдық мән α немесе ∠K бұрышының тангенсі болып табылады:

Осылайша туындының геометриялық мағынасын және оның тригонометриялық функциялармен байланысын сипаттай аламыз.

Тригонометриялық функциялардың туынды формулалары

Туындыны анықтау кезінде синус, косинус, тангенс және котангенс түрлендірулерін есте сақтау керек.

Соңғы екі формула қате емес, мәселе қарапайым аргументтің туындысын және бірдей сиымдылықтағы функцияны анықтау арасында айырмашылық бар.

Синус, косинус, тангенс және котангенс туындыларының формулалары бар салыстырмалы кестені қарастырайық:

Сондай-ақ формулалар арксин, арккосин, арктангенс және арккотангенс туындылары үшін алынған, бірақ олар өте сирек қолданылады:

Айта кету керек, жоғарыда аталған формулалар тригонометриялық өрнектің туындысын табудың нақты мысалын шешу кезінде көрсетілетін типтік USE тапсырмаларын сәтті шешу үшін жеткіліксіз.

Жаттығу: Функцияның туындысын табу және оның π/4 үшін мәнін табу керек:

Шешім: y’ табу үшін бастапқы функцияны туындыға түрлендірудің негізгі формулаларын еске түсіру керек, атап айтқанда.