Գծերով սահմանափակված նկարի տարածքը պարամետրականորեն առցանց է: Պարամետրականորեն սահմանված կորով սահմանափակված գործչի տարածքի հաշվարկ: Ինչպես հաշվարկել հեղափոխության մարմնի ծավալը

Դիտարկենք ստացված բանաձևի կիրառման օրինակներ, որոնք թույլ են տալիս հաշվարկել պարամետրականորեն նշված գծերով սահմանափակված թվերի տարածքները:

Օրինակ.

Հաշվե՛ք այն գործչի մակերեսը, որը սահմանափակված է մի ուղիղով, որի պարամետրային հավասարումները նման են.

Որոշում.

Մեր օրինակում պարամետրորեն սահմանված գիծը 2 և 3 միավորների կիսաառանցքներով էլիպս է։ Եկեք կառուցենք այն:

Գտե՛ք էլիպսի քառորդի մակերեսը, որը գտնվում է առաջին քառորդում: Այս տարածքը ընկած է միջակայքում . Մենք հաշվարկում ենք ամբողջ գործչի մակերեսը՝ ստացված արժեքը չորսով բազմապատկելով։

Ինչ ունենք.

Համար k = 0 մենք ստանում ենք միջակայքը . Այս միջակայքում ֆունկցիան միապաղաղ նվազում է (տես բաժինը): Մենք կիրառում ենք բանաձևը՝ տարածքը հաշվարկելու և որոշյալ ինտեգրալը գտնելու համար՝ օգտագործելով Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը.

Այսպիսով, սկզբնական գործչի մակերեսը կազմում է .

Մեկնաբանություն.

Տրամաբանական հարց է ծագում՝ ինչո՞ւ վերցրեցինք էլիպսի քառորդ մասը, ոչ թե կեսը։ Հնարավոր էր հաշվի առնել գործչի վերին (կամ ստորին) կեսը: Նա տիրույթում է . Այս դեպքում մենք կունենայինք

Այսինքն, k = 0-ի համար մենք ստանում ենք միջակայքը: Այս միջակայքում ֆունկցիան միապաղաղ նվազում.

Այնուհետև տրված է էլիպսի կեսի մակերեսը

Բայց էլիպսի աջ կամ ձախ կեսը չի կարելի վերցնել։

Էլիպսի պարամետրային պատկերը, որը կենտրոնացած է սկզբնաղբյուրի և a և b կիսաառանցքների վրա, ունի ձև: Եթե ​​մենք գործենք այնպես, ինչպես վերլուծված օրինակում, կստանանք էլիպսի մակերեսը հաշվարկելու բանաձև .

T պարամետրով R շառավիղի կոորդինատների սկզբնակետով շրջանագիծը տրված է հավասարումների համակարգով: Եթե ​​օգտագործենք ստացված բանաձևը էլիպսի մակերեսի համար, ապա կարող ենք անմիջապես գրել շրջանագծի մակերեսը գտնելու բանաձևըշառավիղ R:

Եկեք ևս մեկ օրինակ լուծենք.

Օրինակ.

Հաշվե՛ք պարամետրականորեն տրված կորով սահմանափակված գործչի մակերեսը:

Որոշում.

Մի փոքր առաջ նայելով՝ կորը «երկարացված» աստրոիդ է։ (Աստրոիդն ունի հետևյալ պարամետրային պատկերը).

Եկեք մանրամասն անդրադառնանք գործիչը սահմանափակող կորի կառուցմանը: Մենք այն կկառուցենք կետ առ կետ։ Սովորաբար նման շինարարությունը բավարար է խնդիրների մեծ մասի լուծման համար։ Ավելի բարդ դեպքերում, անկասկած, կպահանջվի պարամետրականորեն տրված ֆունկցիայի մանրամասն ուսումնասիրություն դիֆերենցիալ հաշվարկի օգնությամբ։

Մեր օրինակում.

Այս ֆունկցիաները սահմանվում են t պարամետրի բոլոր իրական արժեքների համար, և սինուսի և կոսինուսի հատկություններից մենք գիտենք, որ դրանք պարբերական են երկու pi պարբերությամբ: Այսպիսով, որոշների համար ֆունկցիաների արժեքների հաշվարկը (Օրինակ ), մենք ստանում ենք միավորների հավաքածու .

Հարմարության համար աղյուսակում մուտքագրելու ենք արժեքները.

Կետերը նշում ենք հարթության վրա և ՀԵՐԹԱԿԱՆ գծով կապում։

Հաշվարկենք առաջին կոորդինատային եռամսյակում գտնվող տարածքի մակերեսը։ Այս տարածքի համար .

ժամը k=0 ստանում ենք միջակայքը , որի վրա ֆունկցիան միապաղաղ նվազում է. Տարածքը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը.

Մենք հաշվարկում ենք ստացված որոշակի ինտեգրալները՝ օգտագործելով Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը և գտնում ենք Նյուտոն-Լայբնից բանաձևի հակաածանցյալները՝ օգտագործելով ձևի ռեկուրսիվ բանաձևը: , որտեղ .

Հետևաբար, նկարի քառորդ մակերեսը կազմում է , ապա ամբողջ գործչի մակերեսը հավասար է.

Նմանապես, կարելի է դա ցույց տալ astroid տարածքգտնվում է որպես , իսկ գծով սահմանափակված գործչի մակերեսը հաշվարկվում է բանաձևով.

Երբ մենք պարզեցինք որոշակի ինտեգրալի երկրաչափական նշանակությունը, ստացանք մի բանաձև, որով կարող եք գտնել կորագիծ տրապեզիի տարածքը, որը սահմանափակվում է աբսցիսայի առանցքով, ուղիղ գծերով: x=a, x=b, ինչպես նաև շարունակական (ոչ բացասական կամ ոչ դրական) ֆունկցիա y = f(x) .Երբեմն ավելի հարմար է ֆունկցիան, որը սահմանում է գործիչը պարամետրային ձևով, այսինքն. արտահայտել ֆունկցիոնալ կախվածությունը t պարամետրով: Այս նյութի շրջանակներում մենք ցույց կտանք, թե ինչպես կարող եք գտնել գործչի տարածքը, եթե այն սահմանափակված է պարամետրականորեն տրված կորով:

Տեսությունը բացատրելուց և բանաձևը դուրս բերելուց հետո մենք կվերլուծենք մի քանի բնորոշ օրինակներ՝ նման թվերի տարածքը գտնելու համար։

Հաշվարկի հիմնական բանաձևը

Ենթադրենք, որ ունենք կորագիծ տրապիզոիդ, որի սահմաններն են x = a, x = b ուղիղները, O x առանցքը և պարամետրորեն սահմանված կորը x = φ (t) y = ψ (t) , և x ֆունկցիաները: = φ (t) և y = ψ (t) շարունակական են α ինտերվալի վրա; β, α< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .

Սահմանում 1

Նման պայմաններում տրապեզոիդի տարածքը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել S (G) = ∫ α β ψ (t) φ "(t) d t բանաձևը:

Մենք այն դուրս ենք բերել կորագիծ տրապիզոիդի տարածքի բանաձևից S (G) = ∫ a b f (x) d x օգտագործելով x = φ (t) y = ψ (t) փոխարինման մեթոդը.

S (G) = ∫ a b f (x) d x = ∫ α β ψ (t) d (φ (t)) = ∫ α β ψ (t) φ " (t) d t

Սահմանում 2

Հաշվի առնելով β ինտերվալի վրա x = φ (t) ֆունկցիայի միապաղաղ նվազումը; α, β< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .

Եթե ​​x = φ (t) ֆունկցիան չի պատկանում հիմնական տարրականներին, ապա մենք պետք է հիշենք ինտերվալի վրա ֆունկցիայի մեծացման և նվազման հիմնական կանոնները, որպեսզի որոշենք՝ այն կավելանա, թե նվազի։

Այս պարբերությունում մենք կվերլուծենք վերը բերված բանաձևի կիրառման մի քանի խնդիր:

Օրինակ 1

ՎիճակԳտեք նկարի մակերեսը, որը կազմված է x = 2 cos t y = 3 sin t ձևի հավասարումներով տրված գծով:

Որոշում

Մենք պարամետրորեն սահմանված գիծ ունենք։ Գրաֆիկորեն այն կարող է ցուցադրվել որպես էլիպս երկու կիսաառանցքներով 2 և 3: Տես նկարազարդումը.

Փորձենք գտնել ստացված պատկերի 1 4 մակերեսը, որը զբաղեցնում է առաջին քառորդը։ Տարածքը գտնվում է x ∈ a միջակայքում; b = 0 2. Հաջորդը, ստացված արժեքը բազմապատկեք 4-ով և գտնել տարածքըամբողջ գործիչ.

Ահա մեր հաշվարկների ընթացքը.

x = φ (t) = 2 cos t y = ψ (t) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ β = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

0-ի հավասար k-ով մենք ստանում ենք β միջակայքը; α = 0; π 2 . x = φ (t) = 2 cos t ֆունկցիան դրա վրա միապաղաղ կնվազի (ավելի մանրամասն տե՛ս հիմնական տարրական ֆունկցիաների և դրանց հատկությունների մասին հոդվածը)։ Այսպիսով, դուք կարող եք կիրառել տարածքի բանաձևը և գտնել որոշակի ինտեգրալ՝ օգտագործելով Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը.

- ∫ 0 π 2 3 sin t 2 cos t "d t = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π 2 (1 - cos (2 t) d t = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π. 2 \u003d 3 π 2 - մեղք 2 π 2 2 - 0 - մեղք 2 0 2 \u003d 3 π 2

Սա նշանակում է, որ սկզբնական կորով տրված գործչի մակերեսը հավասար կլինի S (G) \u003d 4 3 π 2 \u003d 6 π:

Պատասխան՝ S (G) = 6 պ

Պարզաբանենք, որ վերը նշված խնդիրը լուծելիս հնարավոր եղավ վերցնել ոչ միայն էլիպսի քառորդ մասը, այլև դրա կեսը՝ վերին կամ ստորին հատվածը։ Մեկ կեսը կգտնվի x ∈ a միջակայքում; b = - 2; 2. Այս դեպքում մենք կունենայինք.

φ (α) = a ⇔ 2 cos α = - 2 ⇔ α = π + π k , k ∈ Z , φ (β) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k , k ∈ Z.

Այսպիսով, երբ k-ն հավասար է 0-ի, ստացանք β; α = 0; պ . x = φ (t) = 2 cos t ֆունկցիան այս միջակայքում միապաղաղ կնվազի:

Դրանից հետո մենք հաշվարկում ենք էլիպսի կեսի մակերեսը.

- ∫ 0 π 3 sin t 2 cos t "d t = 6 ∫ 0 π sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π (1 - cos (2 t) d t = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π = 3 π. - մեղք 2 π 2 - 0 - մեղք 2 0 2 = 3 π

Կարևոր է նշել, որ դուք կարող եք վերցնել միայն վերևից կամ ներքևից, և ոչ աջից կամ ձախից:

Այս էլիպսի համար կարող եք գրել պարամետրային հավասարում, որի կենտրոնը կգտնվի սկզբնաղբյուրում: Այն կունենա x = a cos t y = b sin t: Գործելով նույն կերպ, ինչպես վերը նշված օրինակում, մենք ստանում ենք բանաձև՝ S e l և p էլիպսի մակերեսը \u003d πab-ով հաշվարկելու համար:

Դուք կարող եք սահմանել շրջան, որի կենտրոնը գտնվում է սկզբնակետում՝ օգտագործելով x = R cos t y = R sin t հավասարումը, որտեղ t-ը պարամետր է, իսկ R-ը՝ տվյալ շրջանագծի շառավիղը: Եթե ​​մենք անմիջապես օգտագործենք էլիպսի մակերեսի բանաձևը, ապա մենք կստանանք բանաձև, որով կարող ենք հաշվարկել R շառավղով շրջանագծի մակերեսը՝ S կլոր a = πR 2:

Դիտարկենք ևս մեկ խնդիր.

Օրինակ 2

Վիճակը: գտե՛ք, թե որքան կլինի նկարի մակերեսը, որը սահմանափակված է պարամետրականորեն տրված կորով x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t :

Որոշում

Անմիջապես պարզաբանենք, որ այս կորը երկարավուն աստրոիդի տեսք ունի։ Սովորաբար աստրոիդը արտահայտվում է x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t ձևի հավասարման միջոցով:

Այժմ մենք մանրամասն կվերլուծենք, թե ինչպես կարելի է կառուցել նման կոր: Եկեք հիմնվենք առանձին կետերի վրա: Սա ամենատարածված մեթոդն է և կիրառելի է առաջադրանքների մեծ մասի համար: Ավելին բարդ օրինակներպարամետրականորեն տրված ֆունկցիան բացահայտելու համար պահանջվում է դիֆերենցիալ հաշվարկ:

Մենք ունենք x \u003d φ (t) \u003d 3 cos 3 t, y \u003d ψ (t) \u003d 2 sin 3 t:

Այս գործառույթները սահմանվում են t-ի բոլոր իրական արժեքների համար: Sin-ի և cos-ի համար հայտնի է, որ դրանք պարբերական են և նրանց շրջանը 2 փի է։ Հաշվարկելով ֆունկցիաների արժեքները x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t որոշ t = t 0 ∈ 0; 2 π π 8 , π 4 , 3 π 8 , π 2 , . . . , 15 π 8 , ստանում ենք միավոր x 0 ; y 0 = (φ (t 0) ; ψ (t 0)) .

Եկեք կազմենք ընդհանուր արժեքների աղյուսակ.

t0	0	π 8	π 4	3 պ 8	π 2	5 պ 8	3 պ 4	7 պ 8	π
x 0 \u003d φ (t 0)	3	2 . 36	1 . 06	0 . 16	0	- 0 . 16	- 1 . 06	- 2 . 36	- 3
y 0 = ψ (t 0)	0	0 . 11	0 . 70	1 . 57	2	1 . 57	0 . 70	0 . 11	0

t0	9 պ 8	5 պ 4	11 pi 8	3 π 2	13 պ 8	7 պ 4	15 պ 8	2 պ
x 0 \u003d φ (t 0)	- 2 . 36	- 1 . 06	- 0 . 16	0	0 . 16	1 . 06	2 . 36	3
y 0 = ψ (t 0)	- 0 . 11	- 0 . 70	- 1 . 57	- 2	- 1 . 57	- 0 . 70	- 0 . 11	0

Դրանից հետո ինքնաթիռի վրա նշեք ցանկալի կետերը և միացրեք դրանք մեկ տողով։

Այժմ մենք պետք է գտնենք պատկերի այն հատվածի մակերեսը, որը գտնվում է առաջին կոորդինատային եռամսյակում: Նրա համար x ∈ a ; b = 0 3:

φ (α) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ (β) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

Եթե ​​k-ն 0 է, ապա մենք ստանում ենք β միջակայքը; α = 0; π 2 , իսկ x = φ (t) = 3 cos 3 t ֆունկցիան դրա վրա միապաղաղ կնվազի։ Այժմ մենք վերցնում ենք տարածքի բանաձևը և հաշվարկում.

- ∫ 0 π 2 2 sin 3 t 3 cos 3 t "d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t cos 2 t d t = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t (1 - sin 2 t) d t = 18 ∫ 0 π. 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t

Մենք ստացել ենք որոշակի ինտեգրալներ, որոնք կարելի է հաշվարկել Նյուտոն-Լայբնից բանաձևով։ Այս բանաձևի պարզունակները կարելի է գտնել օգտագործելով ռեկուրսիվ բանաձևը J n (x) = - cos x sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x) , որտեղ J n (x) = ∫ մեղք n x d x.

∫ sin 4 t d t = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 t d t = = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 - cos t sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 t d t = = - cos t sin. 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π 16 ∫ sin 6 t d t = - cos t sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 t d t ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = - cos t sin 5 t 6 0 π 2 + 5 6 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = . 6 3 π 16 = 15 π 96

Մենք հաշվարկել ենք նկարի քառորդ մակերեսը։ Այն հավասար է 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = 18 3 π 16 - 15 π 96 = 9 π 16։

Եթե ​​այս արժեքը բազմապատկենք 4-ով, ապա կստանանք ամբողջ գործչի մակերեսը՝ 9 π 4:

Ճիշտ նույն կերպ մենք կարող ենք ապացուցել, որ ասրոիդի տարածքը, տրված է հավասարումներով x \u003d a cos 3 t y \u003d a sin 3 t, կարելի է գտնել sin 3 t բանաձևով, հաշվարկվում է S = 3 πab 8 բանաձևով:

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Եկեք գտնենք մարմնի ծավալը, որն առաջանում է ցիկլոիդ կամարի պտույտի հետևանքով իր հիմքի շուրջ: Ռոբերվալը գտավ այն՝ կոտրելով ստացված ձվաձեւ մարմինը (նկ. 5.1) անսահման բարակ շերտերի, այդ շերտերի մեջ գլաններ գրելով և դրանց ծավալներն ավելացնելով։ Ապացույցը երկար է, հոգնեցուցիչ և ոչ ամբողջովին խիստ: Ուստի այն հաշվարկելու համար դիմում ենք բարձրագույն մաթեմատիկային։ Եկեք պարամետրորեն դնենք ցիկլոիդ հավասարումը:

Ինտեգրալ հաշվում ծավալներն ուսումնասիրելիս օգտագործում է հետևյալ դիտողությունը.

Եթե ​​կորագիծը սահմանափակող կորը տրված է պարամետրային հավասարումներով, և այդ հավասարումների ֆունկցիաները բավարարում են որոշակի ինտեգրալում փոփոխականի փոփոխության թեորեմի պայմանները, ապա Ox առանցքի շուրջ տրապեզի պտտման մարմնի ծավալը կլինի. հաշվարկել բանաձևով.

Եկեք այս բանաձևով գտնենք մեզ անհրաժեշտ ծավալը։

Նույն կերպ մենք հաշվարկում ենք այս մարմնի մակերեսը։

L=((x,y): x=a(t - sin t), y=a(1 - ծախս), 0 ? t ? 2р)

Ինտեգրալ հաշվարկում կա հետևյալ բանաձևը՝ պտտվող մարմնի մակերեսը պարամետրորեն (t 0 ?t ?t 1) կորի x առանցքի շուրջ նշված հատվածի մակերեսը գտնելու համար.

Կիրառելով այս բանաձևը մեր ցիկլոիդ հավասարմանը, մենք ստանում ենք.

Դիտարկենք նաև մեկ այլ մակերես, որը առաջացել է ցիկլոիդ աղեղի պտույտի հետևանքով: Դա անելու համար մենք կկառուցենք ցիկլոիդ կամարի հայելային արտացոլումը դրա հիմքի նկատմամբ, և մենք կպտտենք ցիկլոիդից ձևավորված ձվաձև պատկերը և դրա արտացոլումը KT առանցքի շուրջ (նկ. 5.2):

Նախ գտնենք մարմնի ծավալը, որը ձևավորվել է ԿՏ առանցքի շուրջ ցիկլոիդ կամարի պտույտից։ Դրա ծավալը կհաշվարկվի բանաձևով (*):

Այսպիսով, մենք հաշվարկեցինք այս շաղգամի մարմնի կեսի ծավալը։ Այնուհետեւ ընդհանուր ծավալը կլինի

Բաժիններ: Մաթեմատիկա

Դասի տեսակը՝ համակցված։

Դասի նպատակը.սովորել ինտեգրալների միջոցով հաշվարկել հեղափոխության մարմինների ծավալները:

Առաջադրանքներ.

• համախմբել մի շարք երկրաչափական ձևերից կորագիծ trapezoids ընտրելու ունակությունը և զարգացնել կորագիծ trapezoids տարածքները հաշվարկելու հմտությունը.
• ծանոթանալ եռաչափ գործչի հայեցակարգին;
• սովորել հաշվարկել հեղափոխության մարմինների ծավալները.
• նպաստել զարգացմանը տրամաբանական մտածողություն, գրագետ մաթեմատիկական խոսք, գծագրերի կառուցման ճշգրտություն;
• զարգացնել հետաքրքրություն առարկայի նկատմամբ, գործել մաթեմատիկական հասկացություններով և պատկերներով, ձևավորել կամք, անկախություն, հաստատակամություն վերջնական արդյունքի հասնելու համար:

Դասերի ընթացքում

I. Կազմակերպչական պահ.

Խմբային ողջույններ. Ուսանողների հետ դասի նպատակների մասին հաղորդակցություն:

Արտացոլում. Հանգիստ մեղեդի.

Այսօրվա դասը կցանկանայի սկսել առակով. «Կար մի իմաստուն մարդ, ով գիտեր ամեն ինչ։ Մի մարդ ուզում էր ապացուցել, որ իմաստունն ամեն ինչ չգիտի։ Թիթեռը ձեռքերում բռնած՝ նա հարցրեց. «Ասա ինձ, իմաստուն, ո՞ր թիթեռնիկն է իմ ձեռքում՝ մեռա՞ծ, թե՞ ողջ»: Իսկ ինքը մտածում է. «Եթե կենդանին ասի՝ կսպանեմ, եթե մեռածն ասի՝ դուրս կթողնեմ»։ Իմաստունը, մտածելով, պատասխանեց. «Ամեն ինչ ձեր ձեռքերում է». (Ներկայացում.Սլայդ)

-Ուրեմն, եկեք այսօր բեղմնավոր աշխատենք, գիտելիքների նոր պաշար ձեռք բերենք, իսկ ձեռք բերած հմտություններն ու կարողությունները կկիրառենք հետագա կյանքում և գործնական գործունեության մեջ։ «Ամեն ինչ ձեր ձեռքերում է».

II. Նախկինում սովորած նյութի կրկնություն:

Եկեք վերանայենք նախկինում ուսումնասիրված նյութի հիմնական կետերը: Դա անելու համար եկեք կատարենք առաջադրանքը «Հեռացրեք ավելորդ բառը».(Սլայդ.)

(Աշակերտը գնում է I.D. ռետինի օգնությամբ հանում է ավելորդ բառը):

-Ճիշտ «Դիֆերենցիալ». Փորձեք անվանել մնացած բառերը մեկ ընդհանուր բառով: (Ամբողջական հաշվարկ):

- Եկեք հիշենք ինտեգրալ հաշվարկի հետ կապված հիմնական փուլերն ու հասկացությունները ..

«Մաթեմատիկական փունջ».

Զորավարժություններ. Վերականգնել անցումները: (Աշակերտը դուրս է գալիս և գրիչով գրում անհրաժեշտ բառերը):

- Ինտեգրալների կիրառման մասին հաշվետվություն կլսենք ավելի ուշ։

Աշխատեք նոթատետրերում.

– Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը մշակվել է անգլիացի ֆիզիկոս Իսահակ Նյուտոնի (1643–1727) և գերմանացի փիլիսոփա Գոթֆրիդ Լայբնիցի (1646–1716) կողմից։ Եվ դա զարմանալի չէ, քանի որ մաթեմատիկան այն լեզուն է, որով խոսում է հենց բնությունը:

– Մտածեք, թե ինչպես է այս բանաձևն օգտագործվում գործնական առաջադրանքները լուծելիս:

Օրինակ 1: Հաշվե՛ք գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը

Լուծում. Կառուցենք ֆունկցիաների գրաֆիկները կոորդինատային հարթության վրա . Ընտրեք հայտնաբերվող գործչի տարածքը:

III. Նոր նյութ սովորելը.

- Ուշադրություն դարձրեք էկրանին. Ի՞նչ է պատկերված առաջին նկարում: (Սլայդ) (Նկարը ցույց է տալիս հարթ գործիչ):

Ի՞նչ է պատկերված երկրորդ նկարում: Արդյո՞ք այս ցուցանիշը հարթ է: (Սլայդ) (Նկարը ցույց է տալիս եռաչափ պատկեր):

տիեզերքում, երկրի վրա և ներսում Առօրյա կյանքմենք հանդիպում ենք ոչ միայն հարթ պատկերներով, այլև եռաչափ, բայց ինչպե՞ս հաշվարկել այդպիսի մարմինների ծավալը։ Օրինակ՝ մոլորակի, գիսաստղի, երկնաքարի ծավալը և այլն։

– Մտածեք ծավալի և տներ կառուցելու և մի նավից մյուսը ջուր լցնելու մասին: Ծավալների հաշվման կանոններ ու մեթոդներ պետք է առաջանային, այլ բան, թե որքանով էին դրանք ճշգրիտ ու հիմնավորված։

Ուսանողի ուղերձ. (Տյուրինա Վերա.)

Ավստրիական Լինց քաղաքի բնակիչների համար, որտեղ ապրում էր այն ժամանակ հայտնի աստղագետ Յոհաննես Կեպլերը, հատկապես խաղողի համար, 1612 թվականը շատ բեղմնավոր էր։ Մարդիկ պատրաստում էին գինու տակառներ և ցանկանում էին իմանալ, թե ինչպես կարելի է գործնականում որոշել դրանց ծավալները։ (Սլայդ 2)

- Այսպիսով, Կեպլերի դիտարկված աշխատությունները սկիզբ դրեցին հետազոտությունների մի ամբողջ հոսքի, որը գագաթնակետին հասավ 17-րդ դարի վերջին քառորդում։ դիզայն Ի. Նյուտոնի և Գ.Վ. Լայբնիցի դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվարկ. Այդ ժամանակվանից ի վեր մաթեմատիկական գիտելիքների համակարգում առաջատար տեղ է գրավել մեծության փոփոխականների մաթեմատիկան։

-Ուրեմն այսօր մենք զբաղվելու ենք նման գործնական գործունեությամբ, հետևաբար.

Մեր դասի թեման՝ «Հեղափոխության մարմինների ծավալների հաշվարկը որոշակի ինտեգրալով»։ (Սլայդ)

-Հեղափոխության մարմնի սահմանումը կսովորեք կատարելով հետևյալ առաջադրանքը.

«Լաբիրինթոս».

Լաբիրինթ (հունարեն բառ) նշանակում է անցում դեպի զնդան։ Լաբիրինթոսը արահետների, անցումների, սենյակների բարդ ցանց է, որոնք շփվում են միմյանց հետ:

Բայց «վթարի ենթարկվեց» սահմանումը, սլաքների տեսքով ակնարկներ եղան։

Զորավարժություններ. Գտեք ելք շփոթեցնող իրավիճակից և գրեք սահմանումը:

Սլայդ. «Հրահանգային քարտ» Ծավալների հաշվարկ.

Որոշակի ինտեգրալ օգտագործելով՝ կարող եք հաշվարկել մարմնի, մասնավորապես՝ հեղափոխության մարմնի ծավալը։

Հեղափոխության մարմինն այն մարմինն է, որը ստացվում է կորագիծ տրապիզոնի հիմքի շուրջը պտտելով (նկ. 1, 2):

Հեղափոխության մարմնի ծավալը հաշվարկվում է բանաձևերից մեկով.

1. x առանցքի շուրջ:

2. , եթե կորագիծ trapezoid-ի պտույտը y առանցքի շուրջ:

Յուրաքանչյուր ուսանող ստանում է հրահանգչական քարտ: Ուսուցիչը նշում է հիմնական կետերը.

Ուսուցիչը գրատախտակին բացատրում է օրինակների լուծումը:

Դիտարկենք մի հատված Ա.Ս. Պուշկինի հայտնի հեքիաթից «Ցար Սալթանի հեքիաթը, նրա փառահեղ և հզոր որդու՝ արքայազն Գվիդոն Սալտանովիչի և գեղեցիկ արքայադուստր Լեբեդի մասին» (Սլայդ 4):

…..
Եվ հարբած սուրհանդակ բերեց
Նույն օրը կարգը հետևյալն է.
«Ցարը պատվիրում է իր տղաներին.
Ժամանակ չկորցնելով,
Եվ թագուհին և սերունդը
Գաղտնի նետված ջրերի անդունդը»։
Անելու բան չկա. տղաները,
Ինքնիշխանի համար սգալով
Եվ երիտասարդ թագուհին
Նրա ննջասենյակ եկավ բազմություն։
Հայտարարեց թագավորական կամքը.
Նա և իր որդին չար ճակատագիր ունեն,
Բարձրաձայն կարդացեք հրամանագիրը
Եվ թագուհին միևնույն ժամանակ
Ինձ տղայիս հետ տակառի մեջ դրեցին,
Աղոթեց, գլորվեց
Եվ նրանք ինձ թույլ տվեցին մտնել օկիան...
Այսպես պատվիրեց ցար Սալթանը.

Որքա՞ն պետք է լինի տակառի ծավալը, որպեսզի թագուհին և նրա որդին տեղավորվեն դրա մեջ:

- Հաշվի առեք հետևյալ առաջադրանքները

1. Գտե՛ք այն մարմնի ծավալը, որը ստացվել է գծերով սահմանափակված կորագիծ տրապեզիի y առանցքի շուրջ պտտվելուց. x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0:

Պատասխան՝ 1163 սմ 3 .

Գտե՛ք մարմնի ծավալը, որը ստացվել է աբսցիսայի շուրջ պարաբոլիկ trapezoid պտտելով y =, x = 4, y = 0:

IV. Նոր նյութի ամրագրում

Օրինակ 2. Հաշվե՛ք x առանցքի շուրջ ծաղկաթերթի պտույտից առաջացած մարմնի ծավալը. y \u003d x 2, y 2 \u003d x.

Եկեք գծենք ֆունկցիայի գրաֆիկները։ y=x2, y2=x. Ժամանակացույց y 2 = xվերածվել ձևի y= .

Մենք ունենք V \u003d V 1 - V 2Եկեք հաշվարկենք յուրաքանչյուր ֆունկցիայի ծավալը

- Հիմա եկեք նայենք Մոսկվայի ռադիոկայանի աշտարակին Շաբոլովկայում, որը կառուցվել է հիանալի ռուս ինժեներ, պատվավոր ակադեմիկոս Վ.Գ.Շուխովի նախագծով: Այն բաղկացած է մասերից՝ հեղափոխության հիպերբոլոիդներից։ Ընդ որում, դրանցից յուրաքանչյուրը պատրաստված է հարակից շրջանակները միացնող ուղիղ մետաղական ձողերից (նկ. 8, 9):

-Խնդիրը հաշվի առեք.

Գտե՛ք մարմնի ծավալը, որը ստացվել է հիպերբոլայի աղեղների պտտմամբ իր երևակայական առանցքի շուրջ, ինչպես ցույց է տրված Նկ. 8, որտեղ

խորանարդ միավորներ

Խմբային առաջադրանքներ. Սովորողները առաջադրանքներով վիճակահանություն են անում, Whatman թղթի վրա նկարներ են արվում, խմբի ներկայացուցիչներից մեկը պաշտպանում է աշխատանքը։

1-ին խումբ.

Հարվածե՛ք Հարվածե՛ք Եվս մեկ հիթ!
Գնդակը թռչում է դարպասի մեջ - ԳՆԴԱԿ:
Եվ սա ձմերուկի գնդակ է
Կանաչ, կլոր, համեղ։
Ավելի լավ նայեք, ինչ գնդակ:
Այն կազմված է շրջանակներից։
Ձմերուկը օղակների մեջ կտրատել
Եվ համտեսեք դրանք:

Գտե՛ք մարմնի ծավալը, որը ստացվում է սահմանափակված ֆունկցիայի OX առանցքի շուրջ պտտվելուց

Սխալ. Էջանիշը սահմանված չէ:

- Ասացեք, խնդրում եմ, որտե՞ղ ենք մենք հանդիպում այս գործչի հետ:

Տուն. առաջադրանք 1-ին խմբի համար. ԳԼՈՆՆԵՐ (Սլայդ) .

«Գլան - ինչ է դա»: Ես հարցրեցի հայրիկիս.
Հայրը ծիծաղեց. Գլխարկը գլխարկ է:
Ճիշտ պատկերացում ունենալու համար,
Մխոցը, ասենք, թիթեղյա տարա է։
Շոգենավի խողովակը գլան է,
Մեր տանիքի խողովակը նույնպես,

Բոլոր խողովակները նման են գլան:
Եվ ես այսպիսի օրինակ բերեցի.
Իմ սիրելի կալեիդոսկոպ
Դուք չեք կարող ձեր աչքերը կտրել նրանից:
Այն նաև մխոցի տեսք ունի:

- Մարզվել. Տնային առաջադրանք՝ ֆունկցիան գծելու և ծավալը հաշվարկելու համար:

2-րդ խումբ. ԿՈՆ (Սլայդ).

Մայրիկը ասաց. Եվ հիմա
Կոնի մասին կլինի իմ պատմությունը:
Stargazer բարձր գլխարկով
Ամբողջ տարին հաշվում է աստղերը։
ԿՈՆ - աստղադիտողի գլխարկ:
Ահա թե ինչ է նա։ Հասկացա՞ր: վերջ։
Մայրիկը սեղանի մոտ էր
Նա յուղ լցրեց շշերի մեջ:
-Որտե՞ղ է ձագարը: Ձագար չկա:
Նայել. Մի կանգնեք կողքի վրա:
- Մայրիկ, ես տեղից չեմ շարժվի,
Ասա ինձ ավելի շատ կոնի մասին:
- Ձագարը ջրցանի կոնի տեսքով է։
Արի, շուտ գտիր ինձ:
Ես չկարողացա գտնել ձագարը
Բայց մայրիկը պայուսակ պատրաստեց,
Ստվարաթուղթ փաթաթեք ձեր մատի շուրջը
Եվ վարպետորեն ամրացվում է թղթի սեղմակով:
Նավթը թափվում է, մայրիկը ուրախ է
Կոնը ճիշտ դուրս եկավ:

Զորավարժություններ. Հաշվե՛ք մարմնի ծավալը, որը ստացվում է x առանցքի շուրջ պտտվելուց

Տուն. առաջադրանք 2-րդ խմբի համար. ԲՈՒՐԳ(Սլայդ).

Ես տեսա նկարը։ Այս նկարում
Ավազոտ անապատում ԲՈՒՐԳ կա։
Բուրգում ամեն ինչ արտասովոր է,
Դրա մեջ ինչ-որ առեղծված ու առեղծված կա:
Սպասկայա աշտարակը Կարմիր հրապարակում
Հայտնի են և՛ երեխաները, և՛ մեծահասակները:
Նայեք աշտարակին՝ սովորական տեսքով,
Ի՞նչ կա նրա գլխավերեւում: Բուրգ!

Զորավարժություններ.Տնային առաջադրանքը գծեք ֆունկցիա և հաշվարկեք բուրգի ծավալը

- Մենք հաշվարկել ենք տարբեր մարմինների ծավալները՝ հիմնվելով մարմինների ծավալների հիմնական բանաձևի վրա՝ օգտագործելով ինտեգրալը:

Սա ևս մեկ հաստատում է, որ որոշակի ինտեգրալը որոշակի հիմք է մաթեմատիկայի ուսումնասիրության համար:

«Հիմա մի քիչ հանգստանանք»։

Գտեք զույգ:

Մաթեմատիկական դոմինոյի մեղեդին նվագում է:

«Ճանապարհը, որը նա ինքն էր փնտրում, երբեք չի մոռացվի…»:

Հետազոտություն. Ինտեգրալի կիրառումը տնտեսագիտության և տեխնոլոգիայի մեջ.

Թեստեր ուժեղ սովորողների և մաթեմատիկայի ֆուտբոլի համար:

Մաթեմատիկայի սիմուլյատոր.

2. Տրված ֆունկցիայի բոլոր հակաածանցյալների բազմությունը կոչվում է

Ա) անորոշ ինտեգրալ

բ) գործառույթ,

Բ) տարբերակում.

7. Գտե՛ք այն մարմնի ծավալը, որը ստացվել է գծերով սահմանափակված կորագիծ տրապեզի աբսցիսային առանցքի շուրջը պտտվելուց.

Դ/Զ. Հաշվիր հեղափոխության մարմինների ծավալները։

Արտացոլում.

Արտացոլման ընդունումը ձևով ծանոթ(հինգ տող):

1-ին տող - թեմայի անվանումը (մեկ գոյական):

2-րդ տող - թեմայի նկարագրությունը համառոտ, երկու ածական:

3-րդ տող - այս թեմայի շրջանակներում գործողության նկարագրությունը երեք բառով:

4-րդ տող - չորս բառից բաղկացած արտահայտություն, ցույց է տալիս վերաբերմունքը թեմային (ամբողջ նախադասություն):

5-րդ տողը հոմանիշ է, որը կրկնում է թեմայի էությունը։

1. Ծավալը.
2. Որոշակի ինտեգրալ, ինտեգրվող ֆունկցիա:
3. Կառուցում ենք, պտտում, հաշվարկում։
4. Մարմին, որը ստացվում է կորագիծ տրապիզոնի պտտմամբ (նրա հիմքի շուրջը)։
5. Հեղափոխության մարմին (3D երկրաչափական մարմին):

Եզրակացություն (Սլայդ).

• Որոշակի ինտեգրալը մաթեմատիկայի ուսումնասիրության մի տեսակ հիմք է, որն անփոխարինելի ներդրում է կատարում գործնական բովանդակության խնդիրների լուծման գործում:
• «Ինտեգրալ» թեման հստակ ցույց է տալիս կապը մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի, կենսաբանության, տնտեսագիտության և տեխնիկայի միջև։
• Ժամանակակից գիտության զարգացումն անհնար է պատկերացնել առանց ինտեգրալի կիրառման։ Այս առումով անհրաժեշտ է սկսել այն ուսումնասիրել միջնակարգ մասնագիտացված կրթության շրջանակներում՛՛։

Գնահատում. (Մեկնաբանությամբ):

Մեծն Օմար Խայամը մաթեմատիկոս, բանաստեղծ և փիլիսոփա է: Նա կոչ է անում լինել իր ճակատագրի տերը։ Լսեք մի հատված նրա ստեղծագործությունից.

Դուք ասում եք, որ այս կյանքը ընդամենը մի պահ է:
Գնահատե՛ք այն, ոգեշնչե՛ք դրանից։
Ինչպես ծախսես, այնպես էլ կանցնի։
Մի մոռացեք, որ նա ձեր ստեղծագործությունն է: