игри

10 начина за решаване на квадрат. Методи за решаване на квадратни уравнения. История на развитието на квадратните уравнения

https://pandia.ru/text/78/082/images/image002_237.gif" height="952"> MOU "Сергиевска гимназия"

Изпълнил: Сизиков Станислав

Учител:

с. Сергиевка, 2007 г

1. Въведение. Квадратни уравнения в древен Вавилон……………….3

2. Квадратни уравнения в Diaphant…………..………………………….4

3. Квадратни уравнения в Индия ……………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

4. Квадратни уравнения в ал-Хорезми ……………………………………..6

5. Квадратни уравнения в Европа XIII - XYII…………………………...7

6. За теоремата на Vieta ……………………………………………………………..9

7. Десет начина за решаване на квадратни уравнения……………………..10

8. Заключение ……………………………………………………………………20

9. Литература ………………………………………………………...21

Въведение

Квадратни уравнения

Квадратните уравнения са основата, върху която се крепи величествената сграда на алгебрата. Квадратните уравнения се използват широко при решаване на тригонометрични, експоненциални, логаритмични, ирационални уравнения. Всички знаем как се решават квадратни уравнения, като се започне от 8 клас. Но как възниква и се развива историята на решаването на квадратни уравнения?

Квадратни уравнения в древен Вавилон

Необходимостта от решаване на уравнения не само от първа, но и от втора степен, още в древността, е била причинена от необходимостта от решаване на задачи, свързани с намирането на площите на земята; земни работи от военен характер, както и с развитието на самата астрономия и математика. Квадратните уравнения са били в състояние да решават около 2000 г. пр.н.е. д. вавилонци. Използвайки съвременната алгебрична нотация, можем да кажем, че в техните клинописни текстове, освен непълните, има например пълни квадратни уравнения: x2 + x = , : x2 - x = 14https://pandia.ru/text/ 78/082 /images/image005_150.gif" width="16" height="41 src=">)2 + 12 = x; Bhaskara пише под прикритието

x2- 64х = - 768

и за да завърши лявата страна на това уравнение на квадрат, той добавя 322 към двете страни, получавайки след това: x2- 64x + 322 = - 768 + 1024;

(Х- 32)2 = 256; Х - 32 = ± 16, xt = 16, hg= 48.

Квадратни уравнения в ал-Хорезми

Алгебричният трактат на Ал-Хорезми дава класификация на линейни и квадратни уравнения. Авторът изброява 6 вида уравнения, като ги изразява по следния начин:

1) „Квадратите са равни на корени“, т.е. ax2 = в.

2) „Квадратите са равни на число“, т.е. ах2= с.

3) „Корените са равни на числото“, т.е. ах = s.

4) “Квадратите и числата са равни на корени”, т.е. ах2+ c = в.

5) “Квадратите и корените са равни на число”, т.е. ах2+ в = s.

6) „Корените и числата са равни на квадрати“, т.е. в+ c \u003d ax2.За ал-Хорезми, който избягва използването на отрицателни числа, членовете на всяко от тези уравнения са събираеми, а не изваждания. В този случай уравненията, които нямат положителни решения, очевидно не се вземат предвид. Авторът излага методи за решаване на тези уравнения. Неговото решение, разбира се, не съвпада напълно с нашето. Да не говорим за факта, че е чисто реторичен, трябва да се отбележи, например, че когато решава непълно квадратно уравнение от първи тип, ал-Хорезми, както всички математици преди 17 век, не взема предвид нулата решение, вероятно защото в конкретни практически задачи това няма значение. При решаването на пълни квадратни уравнения ал-Хорезми излага правилата за решаването им, като използва конкретни числени примери и след това техните геометрични доказателства.

Да вземем пример.

Задача 14. „Квадратът и числото 21 са равни на корен 10. Намерете корена "(което означава корена на уравнението x2+ 21 = 10Х).

Решението на автора е нещо подобно: разделете броя на корените наполовина, получавате 5, умножете 5 по себе си, извадете 21 от продукта, остава 4. Вземете корен от 4, получавате 2. Извадете 2 от 5, вие получите 3, това ще бъде желаният корен. Или добавете 2 към 5, което ще даде 7, това също е корен.

Трактатът на ал-Хорезми е първата книга, достигнала до нас, в която систематично е представена класификацията на квадратните уравнения и са дадени формули за тяхното решаване.

Квадратни уравнения в ЕвропаXIII- XVIIвекове

Формулите за решаване на квадратни уравнения по модела на ал-Хорезми в Европа са изложени за първи път в Книгата на абака (публикувана в Рим в средата на миналия век, Книгата на Фибоначи на абака съдържа 459 страници), написана в 1202 г. от италианския математик Леонардо Фибоначи. Този обемист труд, който отразява влиянието на математиката както от страните на исляма, така и от Древна Гърция, се отличава както с пълнота, така и с яснота на изложението. Авторът самостоятелно разработи някои нови алгебрични примери за решаване на проблеми и първия вЕвропа се приближи до въвеждането на отрицателните числа. Книгата му допринася за разпространението на алгебричните знания не само в Италия, но и в Германия, Франция и други европейски страни. Много задачи от Книгата на абака са преминали в почти всички европейски учебници от 16-17 век. и отчасти XVIII.

Общо правило за решаване на квадратни уравнения, приведени до единична канонична форма x2+ в = s,за всички възможни комбинации от знаци на коефициентите в, се формулиран в Европа едва през 1544г. М. Щифел.

Vieta има общо извеждане на формулата за решаване на квадратно уравнение, но Vieta признава само положителни корени. Сред първите през 16 век са италианските математици Тарталия, Кардако, Бомбели. вземете предвид, в допълнение към положителните, и отрицателните корени. Едва през XVII век. благодарение на трудовете на Жирар, Декарт, Нютон и други учени, методът за решаване на квадратни уравнения придобива съвременна форма.

За теоремата на Виета

Теоремата, изразяваща връзката между коефициентите на квадратно уравнение и неговите корени, носеща името на Виета, е формулирана от него за първи път през 1591 г., както следва: „Ако AT+ д, умножено по НОминус A2,се равнява BD, тогава НОсе равнява ATи равни д».

За да разберете Виета, трябва да запомните това НО,като всеки
гласна, предназначена за него неизвестна (наш Х),гласни
AT,д- коефициенти за неизвестното. На езика на съвременната алгебра горната формулировка на Виета означава: ако

(а+ в) х - х 2 = аб, х2 - (a+ b) х + аб = 0, x1 = a, x2 = b.

Изразявайки връзката между корените и коефициентите на уравненията с общи формули, написани с помощта на символи, Виет установи еднаквост в методите за решаване на уравнения. Символиката на Виета обаче все още е далеч от съвременния си вид. Той не признаваше отрицателните числа и затова при решаването на уравнения разглеждаше само случаите, когато всички корени са положителни.

Десет начина за решаване на квадратни уравнения

В училищния курс по математика се изучават формулите на корените на квадратните уравнения, с помощта на които можете да решавате всякакви квадратни уравнения. Има обаче и други начини за решаване на квадратни уравнения, които ви позволяват да решавате много уравнения много бързо и рационално. Има десет начина за решаване на квадратни уравнения. Нека разгледаме всеки от тях.

1. Факторизиране на лявата страна на уравнението

Нека решим уравнението x2+ 10х- 24 = 0. Нека разложим на фактори лявата страна на уравнението:

x2 + 10x - 24 = x2 + 12x - 2x - 24 =

X(x + x + 12) = (x + 12)(x - 2).

Следователно уравнението може да бъде пренаписано като:

(х + 12)(x - 2) = 0.

Тъй като произведението е нула, поне един от неговите множители е нула. Следователно лявата страна на уравнението изчезва, когато x = 2, както и х= - 12. Това означава, че числата 2 и - 12 са корените на уравнението x2 + 10x - 24 = 0.

2. Метод за избор на пълен квадрат

Нека обясним този метод с пример.

Нека решим уравнението x2 + 6x - 7 = 0. Изберете пълен квадрат от лявата страна. За да направите това, записваме израза x2 + 6x в следната форма:

x2 + 6x = x2 + 2*x*3.

В получения израз първият член е квадратът на числото x, а вторият е двойното произведение на x по 3. Следователно, за да получите пълния квадрат, трябва да добавите 32, тъй като

x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2.

Сега трансформираме лявата страна на уравнението

x2 + 6x - 7 = 0,

добавяйки към него и изваждайки 32. Имаме:

x2 + 6x - 7 = x2 + 2 х 3 +– 7 = (Х- \u003d (x - Z) 2 - 16 .

По този начин това уравнение може да бъде написано, както следва:

(x + = 0, т.е. (x + 3)2 = 16.

Следователно, х+ 3 \u003d 4 x1 \u003d 1 или x + 3 \u003d - 4, x2 = - 7.

3. Решаване на квадратни уравнения по формулата

Умножете двете страни на уравнението

ах2+ в+ c = 0, а ≠ 0, включено 4аи последователно имаме:

4a2 x2 + 4abx+ 4ac = 0,

((2ax)2 + 2 axb + b2 ) - b2 + 4ac= 0,

(2 ax +b)2 = in2- 4ac,

2 ax+ b= ± https://pandia.ru/text/78/082/images/image006_128.gif" width="71" height="27">, x1,2 =

В случай на положителен дискриминант, т.е v2 - 4ac > 0, уравнение ах2+ в + s= 0 има два различни корена.

Ако дискриминантът е нула, т.е. v2 - 4ac = 0, тогава уравнението ах2+ в+ с= 0 има един корен, x = - https://pandia.ru/text/78/082/images/image009_95.gif" width="14" height="62"> Корените му отговарят на теоремата на Vieta, която, кога а= 1 има формата

x1 x2 = р,

x1 + x2 = - Р.

От това можем да направим следните изводи (чрез коеф Ри ркореновите знаци могат да бъдат предвидени).

а) Ако сте свободен член рнамалено уравнение (1)
положителен (р> 0), тогава уравнението има две еднакви
по знака на корена и зависи от втория коефициент Р
Ако Р> 0, тогава и двата корена са отрицателни, ако Р< 0, след това и двете
корените са положителни.

Например,

x2- 3х + 2 = 0; x1= 2 и x2 = 1, защото р = 2 > 0 u стр = - 3 < 0;

x2 + 8x + 7 = 0; x 1 \u003d - 7 и x2 \u003d - 1, тъй като р= 7 > 0 и Р = 8 > 0.

b) Ако сте свободен член рнамалено уравнение (1)
отрицателен (р < 0), тогава уравнението има два корена с различен знак и по-големият корен по абсолютна стойност ще бъде положителен, ако Р< 0 или отрицателно, ако p > 0.

Например,

x2 + 4x - 5 = 0; x1 \u003d - 5 и x2 \u003d 1, тъй като р = - 5 < 0 и Р= 4 > 0;

x2 - 8x - 9 = 0; x1 = 9 и x2= - 1 защото р = - 9 < и Р= - 8 < 0.

5. Решаване на уравнения по метода на "трансфер"

Разгледайте квадратното уравнение брадва + ин+ c = 0, където а ≠ 0. Умножавайки двете му части по а,получаваме уравнението a2x2 +abx+ ак= 0.

Позволявам ах = укъдето х=; тогава стигаме до уравнението

y2+ от+ ac = 0,

еквивалентен на този. своите корени y1и y2намерете с помощта на теоремата на Виета. Накрая получаваме x1= https://pandia.ru/text/78/082/images/image012_77.gif" width="24" height="43">.

С този метод коефициентът асе умножава по свободния термин, сякаш „хвърлен” към него, поради което се нарича метод на прехвърляне.Този метод се използва, когато е лесно да се намерят корените на уравнение с помощта на теоремата на Виета и най-важното, когато дискриминантът е точен квадрат.

1. Решете уравнението 2x2 - 11x + 15 = 0.

Решение.Нека "прехвърлим" коефициента 2 към свободния член, в резултат на което получаваме уравнението

y2 - 11 при+ 30 = 0.

Според теоремата на Vieta, y1 = 5, y2 = 6, следователно x1 = https://pandia.ru/text/78/082/images/image014_69.gif" width="16 height=41" height="41" >, t e.

x1 = 2,5 x2 = 3.

Отговор: 2,5; 3.

6. Свойства на коефициентите на квадратауравнения

А. Нека е дадено квадратно уравнение

ax2 + in + c= 0, където а ≠ 0.

1. Ако + в + с= 0 (т.е. сумата от коефициентите на уравнението е равна на нула), тогава x1 = 1, x2 = .

2. Ако a - b + c= 0, илиb = а + c, тогава x1 = - 1, х 2 = - https://pandia.ru/text/78/082/images/image016_58.gif" width="44 height=41" height="41">.

Отговор: 1; 184">

Възможни са следните случаи:

Права линия и парабола могат да се пресичат в две точки, абсцисите на пресечните точки са корените на квадратно уравнение;

Права линия и парабола могат да се допират (само една обща точка), тоест уравнението има едно решение;

Правата линия и параболата нямат общи точки, тоест квадратното уравнение няма корени.

Примери.

1. Да решим графично уравнението x2 - 3x - 4 = 0 (фиг. 2).

Решение.Записваме уравнението във формата x2 = 3x + 4.

Нека построим парабола y = x2и директно y= 3x + 4. Директно при= 3x + 4 може да се конструира от две точки M(0; 4) и N(3; 13). Права и парабола се пресичат в две точки А до Бс абсцисата x1= - 1 и x2 = 4.

Отговор: x1= - 1, x, = 4.

8. Решаване на квадратни уравнения с пергел и линейка

Графичният начин за решаване на квадратни уравнения с помощта на парабола е неудобен. Ако изградите парабола точка по точка, това отнема много време и степента на точност на получените резултати е ниска.

Предлагаме следния метод за намиране на корените на квадратно уравнение

ах2+ в+ с= 0

с помощта на пергел и линийка (фиг.).

Да приемем, че желаната окръжност пресича абсцисната ос в точките б(x1; 0) и д(х2 ; 0), където x1и x2- корени на уравнението брадва + ин+с=0,
и минава през точки A(0; 1) и C(0; ) на оста y..gif" width="197" height="123">

И така: 1) изградете точки https://pandia.ru/text/78/082/images/image023_40.gif" width="171" height="45"> кръгът пресича оста OX в точка B(x1;0 ) и D(x1 ; 0), където x1 и x2 - корени на квадратното уравнение ax2+bx+c = 0.

2) Радиусът на окръжността е равен на ординатата на центъра , кръгът докосва оста x в точка B(x1; 0), където xxе коренът на квадратното уравнение.

3) Радиусът на окръжността е по-малък от ординатата на центъра вляво">

https://pandia.ru/text/78/082/images/image029_34.gif" width="612" height="372">40" height="14">

https://pandia.ru/text/78/082/images/image031_28.gif" width="612" height="432 src=">

Откъде след смени и

опростения, следва уравнението z2+pz+q=0, а буквата z означава етикета на всяка точка от криволинейната скала.

10. Геометричен метод за решаване на квадратни уравнения

В древни времена, когато геометрията е била по-развита от алгебрата, квадратните уравнения са се решавали не алгебрично, а геометрично. Нека дадем пример, който стана известен от алгебрата на ал-Хорезми.

И четири прикрепени квадрата, т.е. S=x2+10x+25. Заменяйки x2+10x с 39, получаваме S = 39 + 25 = 64, което означава, че страната на квадрата ABCD, т.е. сегмент AB= 8. За желаната страна хоригиналния квадрат, който получаваме

Заключение

Всички знаем как да решаваме квадратни уравнения, от училище до дипломирането. Но в училищния курс по математика се изучават формулите на корените на квадратните уравнения, с помощта на които могат да бъдат решени всякакви квадратни уравнения. Въпреки това, след като проучих този въпрос по-задълбочено, бях убеден, че има други начини за решаване на квадратни уравнения, които ви позволяват да решавате много уравнения много бързо и рационално.

Може би математиката е някъде там, в други измерения, невидима за окото - всичко е записано и ние просто получаваме всички нови факти от дупката със световете? ... Бог знае; но се оказва, че ако физици, химици, икономисти или археолози се нуждаят от нов модел на структурата на света, този модел винаги може да бъде взет от рафта, където математиците са го поставили преди триста години, или да бъде сглобен от части, лежащи на същото рафт. Може би тези части ще трябва да бъдат усукани, нагласени една към друга, полирани, бързо обработени няколко нови втулки за теорема; но теорията за резултата не само ще опише действително възникналата ситуация, но и ще предвиди последствията! ...

Странна е тази игра на ума, който винаги е прав...

Литература

1. Алимов Ш.А., Илин В.А. и др. Алгебра, 6-8. Пробен учебник за 6-8 клас на СОУ. - М., Образование, 1981.

2.Брадис таблици по математика за гимназия. Изд. 57-ма. - М., Образование, 1990. С. 83.

3. Злоцки – задачи в обучението по математика. Книгата за учителя. - М., Образование, 1992.

4.М., Математика (притурка към в. "Първи септември"), бр. 21/96, 10/97, 24/97, 18/98, 21/98.

5. Функции на Окунев, уравнения и неравенства. Ръководство за учителя. - М., Образование, 1972.

6. Соломник B.C., Сладки въпроси и задачи по математика. Изд. 4-то, добавете. - М., Висше училище, 1973.

7.М., Математика (притурка към в. "Първи септември"), бр.40, 2000г.

Преглед

за работата на ученик от 11 клас на МОУ „Сергиевска средна

общообразователно училище"

Копьевская селска гимназия

10 начина за решаване на квадратни уравнения

Ръководител: Патрикеева Галина Анатолиевна,

учител по математика

с.Копиево, 2007г

1. История на развитието на квадратните уравнения

1.1 Квадратни уравнения в древен Вавилон

1.2 Как Диофант съставя и решава квадратни уравнения

1.3 Квадратни уравнения в Индия

1.4 Квадратни уравнения в ал-Хорезми

1.5 Квадратни уравнения в Европа XIII - XVII век

1.6 За теоремата на Виета

2. Методи за решаване на квадратни уравнения

Заключение

Литература

1. История на развитието на квадратните уравнения

1 .1 Квадратни уравнениямеждуособици в древен Вавилон

Необходимостта от решаване на уравнения не само от първа, но и от втора степен в древността е била причинена от необходимостта от решаване на проблеми, свързани с намирането на площи на земя и земни работи от военен характер, както и от развитието на астрономията и самата математика. Квадратните уравнения са били в състояние да решават около 2000 г. пр.н.е. д. вавилонци.

Прилагайки съвременна алгебрична нотация, можем да кажем, че в техните клинописни текстове има, освен непълни, такива, например, пълни квадратни уравнения:

х 2 + х = ѕ; х 2 - х = 14,5

Правилото за решаване на тези уравнения, изложено във вавилонските текстове, съвпада по същество със съвременното, но не е известно как вавилонците са стигнали до това правило. Почти всички клинописни текстове, открити досега, дават само задачи с решения, посочени под формата на рецепти, без индикация как са намерени.

Въпреки високото ниво на развитие на алгебрата във Вавилон, в клинописните текстове липсва понятието за отрицателно число и общи методи за решаване на квадратни уравнения.

1.2 Как Диофант съставя и решава квадратни уравнения.

Аритметиката на Диофант не съдържа систематично изложение на алгебрата, но съдържа систематична поредица от задачи, придружени от обяснения и решени чрез съставяне на уравнения от различни степени.

Когато съставя уравнения, Диофант умело избира неизвестни, за да опрости решението.

Ето например една от задачите му.

Задача 11.„Намерете две числа, като знаете, че сборът им е 20, а произведението им е 96“

Диофант аргументира следното: от условието на задачата следва, че желаните числа не са равни, тъй като ако бяха равни, тогава произведението им нямаше да бъде 96, а 100. Така едно от тях ще бъде повече от половината от тяхното сума, т.е. 10+x, другият е по-малък, т.е. 10-те. Разликата между тях 2x.

Следователно уравнението:

(10 + x)(10 - x) = 96

100-те 2 = 96

х 2 - 4 = 0 (1)

Оттук х = 2. Едно от желаните числа е 12 , друго 8 . Решение х = -2за Диофант не съществува, тъй като гръцката математика познава само положителни числа.

Ако решим тази задача, като изберем едно от желаните числа като неизвестно, тогава ще стигнем до решението на уравнението

y(20 - y) = 96,

при 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Ясно е, че Диофант опростява решението, като избира полуразликата на желаните числа като неизвестно; той успява да сведе проблема до решаване на непълно квадратно уравнение (1).

1.3 Квадратни уравнения в Индия

Задачи за квадратни уравнения се намират още в астрономическия трактат "Арябхатам", съставен през 499 г. от индийския математик и астроном Арябхатта. Друг индийски учен, Брахмагупта (7 век), очерта общото правило за решаване на квадратни уравнения, сведени до една канонична форма:

о 2 + bx = c, a > 0. (1)

В уравнение (1) коефициентите, с изключение на а, може да бъде и отрицателен. Правилото на Брахмагупта по същество съвпада с нашето.

В древна Индия публичните състезания в решаването на трудни проблеми са били обичайни. В една от старите индийски книги за подобни състезания се казва следното: „Както слънцето засенчва звездите с блясъка си, така един учен човек ще засенчи славата на друг в публични събрания, предлагайки и решавайки алгебрични задачи.“ Задачите често бяха облечени в поетична форма.

Ето един от проблемите на известния индийски математик от XII век. Бхаскара.

Задача 13.

„Бързо стадо маймуни и дванадесет в лози ...

След като ядохте власт, се забавлявахте. Те започнаха да скачат, да висят ...

Част осма от тях в квадрат Колко маймуни имаше,

Забавление на поляната. Ти ми кажи, в това стадо?

Решението на Бхаскара показва, че той е знаел за двузначността на корените на квадратните уравнения (фиг. 3).

Уравнението, съответстващо на задача 13 е:

(х/8) 2 + 12 = х

Бхаскара пише под прикритието на:

х 2 - 64x = -768

и за да завърши лявата страна на това уравнение до квадрат, той добавя към двете страни 32 2 , получавайки след това:

х 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

х 1 = 16, х 2 = 48.

1.4 Квадратни уравненияал-Хорезми

1) „Квадратите са равни на корени“, т.е. о 2 + с =bХ.

2) „Квадратите са равни на число“, т.е. о 2 = s.

3) „Корените са равни на числото“, т.е. ах = s.

4) „Квадратите и числата са равни на корени“, т.е. о 2 + с =bХ.

5) „Квадратите и корените са равни на числото“, т.е. о 2 + bx= s.

6) „Корените и числата са равни на квадрати“, т.е. bx+ c = брадва 2 .

За ал-Хорезми, който избягва използването на отрицателни числа, членовете на всяко от тези уравнения са събираеми, а не изваждания. В този случай уравненията, които нямат положителни решения, очевидно не се вземат предвид. Авторът очертава методите за решаване на тези уравнения, използвайки методите на ал-джабр и ал-мукабала. Неговите решения, разбира се, не съвпадат напълно с нашите. Да не говорим за факта, че е чисто риторично, трябва да се отбележи, например, че при решаване на непълно квадратно уравнение от първи тип

ал-Хорезми, както всички математици преди 17-ти век, не взема предвид нулевото решение, вероятно защото то няма значение в конкретни практически проблеми. При решаването на пълни квадратни уравнения ал-Хорезми излага правилата за решаване и след това геометрични доказателства, използвайки конкретни числени примери.

Задача 14.„Квадратът и числото 21 са равни на 10 корена. Намерете корена" (приемайки корена на уравнението x 2 + 21 = 10x).

Трактатът ал-Хорезми е първата книга, достигнала до нас, в която систематично е изложена класификацията на квадратните уравнения и са дадени формули за тяхното решаване.

1.5 Квадратни уравнения в ЕвропаXIII - XVIIвекове

Формулите за решаване на квадратни уравнения по модела на ал-Хорезми в Европа са изложени за първи път в "Книгата на абака", написана през 1202 г. от италианския математик Леонардо Фибоначи. Тази обемна работа, която отразява влиянието на математиката, както на страните на исляма, така и на Древна Гърция, се отличава както с пълнота, така и с яснота на изложението. Авторът самостоятелно разработва някои нови алгебрични примери за решаване на задачи и е първият в Европа, който подходи към въвеждането на отрицателни числа. Книгата му допринася за разпространението на алгебричните знания не само в Италия, но и в Германия, Франция и други европейски страни. Много задачи от "Книгата на абака" са преминали в почти всички европейски учебници от 16-17 век. и отчасти XVIII.

Общото правило за решаване на квадратни уравнения, намалено до една канонична форма:

х 2 + bx= с,

за всички възможни комбинации от знаци на коефициентите b, се формулиран в Европа едва през 1544 г. от M. Stiefel.

Vieta има общо извеждане на формулата за решаване на квадратно уравнение, но Vieta признава само положителни корени. Италианските математици Тарталия, Кардано, Бомбели са сред първите през 16 век. Вземете предвид, в допълнение към положителните, и отрицателните корени. Едва през XVII век. Благодарение на работата на Жирар, Декарт, Нютон и други учени начинът за решаване на квадратни уравнения придобива съвременен вид.

1.6 За теоремата на Виета

Теоремата, изразяваща връзката между коефициентите на квадратно уравнение и неговите корени, носеща името на Виета, е формулирана от него за първи път през 1591 г., както следва: „Ако б + думножено по А - А 2 , се равнява BD, тогава Асе равнява ATи равни д».

За да разберете Виета, трябва да запомните това НО, като всяка гласна, означаваше за него неизвестното (нашата х), гласните AT,д- коефициенти за неизвестното. На езика на съвременната алгебра горната формулировка на Виета означава: ако

(а +b)x - x 2 = аб,

х 2 - (а +b)x + ab = 0,

х 1 = а, х 2 = b.

Изразявайки връзката между корените и коефициентите на уравненията с общи формули, написани с помощта на символи, Виет установи еднаквост в методите за решаване на уравнения. В същото време символиката на Виета все още е далеч от съвременния си вид. Той не признаваше отрицателните числа и затова при решаването на уравнения разглеждаше само случаите, когато всички корени са положителни.

2. Методи за решаване на квадратни уравнения

Квадратните уравнения са основата, върху която се крепи величествената сграда на алгебрата. Квадратните уравнения се използват широко при решаване на тригонометрични, експоненциални, логаритмични, ирационални и трансцендентни уравнения и неравенства. Всички знаем как да решаваме квадратни уравнения от училище (8 клас) до завършването.

В училищния курс по математика се изучават формулите на корените на квадратните уравнения, с помощта на които можете да решавате всякакви квадратни уравнения. В същото време има и други начини за решаване на квадратни уравнения, които ви позволяват да решавате много уравнения много бързо и рационално. Има десет начина за решаване на квадратни уравнения. В работата си анализирах подробно всеки от тях.

1. МЕТОД : Факторизиране на лявата страна на уравнението.

Нека решим уравнението

х 2 + 10x - 24 = 0.

Нека разложим лявата страна на множители:

х 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 \u003d x (x + 12) - 2 (x + 12) \u003d (x + 12) (x - 2).

Следователно уравнението може да бъде пренаписано като:

(x + 12)(x - 2) = 0

Тъй като продуктът е нула, тогава поне един от неговите множители е нула. Следователно лявата страна на уравнението изчезва при х = 2, както и при х = - 12. Това означава, че броят 2 и - 12 са корените на уравнението х 2 + 10x - 24 = 0.

2. МЕТОД : Метод за избор на пълен квадрат.

Нека решим уравнението х 2 + 6x - 7 = 0.

Нека изберем пълен квадрат от лявата страна.

За да направите това, записваме израза x 2 + 6x в следната форма:

х 2 + 6x = x 2 + 2* x * 3.

х 2+ 2* x * 3 + 3 2 = (x + 3) 2 .

Сега трансформираме лявата страна на уравнението

х 2 + 6x - 7 = 0,

добавяне към него и изваждане на 3 2 . Ние имаме:

х 2 + 6x - 7 =х 2+ 2* x * 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

По този начин това уравнение може да бъде написано, както следва:

(x + 3) 2 - 16 =0, (x + 3) 2 = 16.

Следователно, х + 3 - 4 = 0, х 1 = 1, или x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. МЕТОД :Решаване на квадратни уравнения по формула.

Умножете двете страни на уравнението

о 2 + bx + c = 0, а? 0

на 4а и последователно имаме:

4а 2 х 2 + 4аbx + 4ac = 0,

((2а) 2 + 2 брадва *b + b 2 ) - b 2 + 4 ак = 0,

(2ax+b) 2 = б 2 - 4ac,

2ax + b = ± vb 2 - 4ac,

2ax = - b ± v b 2 - 4ac,

Примери.

а)Нека решим уравнението: 4x 2 + 7x + 3 = 0.

а = 4,b= 7, c = 3,д = b 2 - 4 ак = 7 2 - 4 * 4 * 3 = 49 - 48 = 1,

д > 0, два различни корена;

Така, в случай на положителен дискриминант, т.е. при

b 2 - 4 ак >0 , уравнението о 2 + bx + c = 0има два различни корена.

б)Нека решим уравнението: 4x 2 - 4x + 1 = 0,

а = 4,b= - 4, c = 1,д = b 2 - 4 ак = (-4) 2 - 4 * 4 * 1= 16 - 16 = 0,

д = 0, един корен;

Така че, ако дискриминантът е нула, т.е. b 2 - 4 ак = 0 , тогава уравнението

о 2 + bx + c = 0има един корен

в)Нека решим уравнението: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

а = 2,b= 3, c = 4,д = b 2 - 4 ак = 3 2 - 4 * 2 * 4 = 9 - 32 = - 13 , д < 0.

Това уравнение няма корени.

Така че, ако дискриминантът е отрицателен, т.е. b 2 - 4 ак < 0 ,

уравнението о 2 + bx + c = 0няма корени.

Формула (1) на корените на квадратното уравнение о 2 + bx + c = 0ви позволява да намерите корените всякакви квадратно уравнение (ако има такова), включително намалено и непълно. Формула (1) се изразява устно, както следва: корените на квадратно уравнение са равни на дроб, чийто числител е равен на втория коефициент, взет с противоположния знак, плюс минус корен квадратен от квадрата на този коефициент без четворно произведение на първия коефициент със свободния член, и знаменателят е два пъти по-голям от първия коефициент.

4. МЕТОД: Решаване на уравнения с помощта на теоремата на Виета.

Както е известно, даденото квадратно уравнение има вида

х 2 + px + ° С = 0. (1)

Корените му отговарят на теоремата на Виета, която, когато а =1има формата

х 1 х 2 = р,

х 1 + х 2 = - стр

От това можем да направим следните изводи (знаците на корените могат да бъдат предсказани от коефициентите p и q).

а) Ако обобщеният срок рна редуцираното уравнение (1) е положителен ( р > 0 ), тогава уравнението има два корена от един и същи знак и това е завистта на втория коефициент стр. Ако Р< 0 , тогава и двата корена са отрицателни, ако Р< 0 , тогава и двата корена са положителни.

Например,

х 2 - 3 х + 2 = 0; х 1 = 2 и х 2 = 1, защото р = 2 > 0 и стр = - 3 < 0;

х 2 + 8 х + 7 = 0; х 1 = - 7 и х 2 = - 1, защото р = 7 > 0 и стр= 8 > 0.

b) Ако сте свободен член рна редуцираното уравнение (1) е отрицателна ( р < 0 ), тогава уравнението има два корена с различен знак и по-големият корен по абсолютна стойност ще бъде положителен, ако стр < 0 , или отрицателен, ако стр > 0 .

Например,

х 2 + 4 х - 5 = 0; х 1 = - 5 и х 2 = 1, защото р= - 5 < 0 и стр = 4 > 0;

х 2 - 8 х - 9 = 0; х 1 = 9 и х 2 = - 1, защото р = - 9 < 0 и стр = - 8 < 0.

5. МЕТОД: Решаване на уравнения по метода "трансфер".

Разгледайте квадратното уравнение

о 2 + bx + c = 0,където а? 0.

Умножавайки двете му части по a, получаваме уравнението

а 2 х 2 + аbx + ac = 0.

Позволявам ах = у, където x = y/a; тогава стигаме до уравнението

при 2 + от+ ac = 0,

еквивалентен на този. своите корени при 1 и при 2 може да се намери с помощта на теоремата на Vieta.

Накрая получаваме

х 1 = y 1 /a и х 1 = y 2 /a.

С този метод коефициентът асе умножава по свободния термин, сякаш „хвърлен“ към него, затова се нарича метод на прехвърляне. Този метод се използва, когато е лесно да се намерят корените на уравнение с помощта на теоремата на Виета и най-важното, когато дискриминантът е точен квадрат.

Пример.

Нека решим уравнението 2x 2 - 11x + 15 = 0.

Решение.Нека "прехвърлим" коефициента 2 към свободния член, в резултат на което получаваме уравнението

при 2 - 11y + 30 = 0.

Според теоремата на Виета

при 1 = 5 х 1 = 5/2 х 1 = 2,5

при 2 = 6 х 2 = 6/2 х 2 = 3.

Отговор: 2,5; 3.

6. МЕТОД: Свойства на коефициентите на квадратно уравнение.

НО.Нека квадратното уравнение

о 2 + bx + c = 0,където а? 0.

1) Ако, a+b+ c = 0 (т.е. сумата от коефициентите е нула), тогава x 1 = 1,

х 2 = s/a.

Доказателство.Разделете двете страни на уравнението на a? 0, получаваме редуцираното квадратно уравнение

х 2 + b/ а * х + ° С/ а = 0.

Според теоремата на Виета

х 1 + х 2 = - b/ а,

х 1 х 2 = 1* ° С/ а.

По условие а -b + c = 0,където b= a + c.По този начин,

х 1 + x 2 = - а+ b / a \u003d -1 - c / a,

х 1 х 2 = - 1* (-c/a),

тези. х 1 = -1 и х 2 = ° С/ а, което трябваше да докажем.

Примери.

1) Решете уравнението 345x 2 - 137x - 208 = 0.

Решение.защото а +b+ c = 0 (345 - 137 - 208 = 0),тогава

х 1 = 1, х 2 = ° С/ а = -208/345.

Отговор: 1; -208/345.

2) Решете уравнението 132x 2 - 247x + 115 = 0.

Решение.защото а +b+ c = 0 (132 - 247 + 115 = 0),тогава

х 1 = 1, х 2 = ° С/ а = 115/132.

Отговор: 1; 115/132.

б.Ако вторият коеф b = 2 к е четно число, тогава формулата на корените

Пример.

Нека решим уравнението 3x2 -- 14x + 16 = 0.

Решение. Ние имаме: а = 3,b= -- 14, c = 16,к = -- 7 ;

д = к 2 - ак = (- 7) 2 - 3 * 16 = 49 - 48 = 1, д > 0, два различни корена;

Отговор: 2; 8/3

AT.Редуцирано уравнение

х 2 +px+р= 0

съвпада с общото уравнение, в което а = 1, b= pи c =р. Следователно, за редуцираното квадратно уравнение, формулата за корените

приема формата:

Формула (3) е особено удобна за използване, когато Р-- четен брой.

Пример.Нека решим уравнението х 2 - 14x - 15 = 0.

Решение.Ние имаме: х 1,2 =7±

Отговор: x 1 = 15; х 2 = -1.

7. МЕТОД: Графично решение на квадратно уравнение.

Ако в уравнението

х 2 + px + р = 0

преместете втория и третия член от дясната страна, получаваме

х 2 = - px - р.

Нека изградим графики на зависимост y \u003d x 2 и y \u003d - px - q.

Графиката на първата зависимост е парабола, минаваща през началото. Графика на втората зависимост -

права линия (фиг. 1). Възможни са следните случаи:

Правата и параболата могат да се допират (само в една обща точка), т.е. уравнението има едно решение;

Правата и параболата нямат общи точки, т.е. квадратното уравнение няма корени.

Примери.

1) Нека решим уравнението графично х 2 - 3x - 4 = 0(фиг. 2).

Решение.Записваме уравнението във формата х 2 = 3x + 4.

Нека построим парабола y = x 2 и директно y = 3x + 4. директен

y = 3x + 4може да се изгради от две точки М (0; 4)и

н (3; 13) . Права и парабола се пресичат в две точки

НОи ATс абсцисата х 1 = - 1 и х 2 = 4 . Отговор: Х 1 = - 1;

х 2 = 4.

2) Нека да решим уравнението графично (фиг. 3) х 2 - 2x + 1 = 0.

Решение.Записваме уравнението във формата х 2 = 2x - 1.

Нека построим парабола y = x 2 и директно y = 2x - 1.

директен y = 2x - 1изградете върху две точки М (0; - 1)

и н(1/2; 0) . Права и парабола се пресичат в точка НОс

абсцисата х = 1. Отговор:х = 1.

3) Нека решим уравнението графично х 2 - 2x + 5 = 0(фиг. 4).

Решение.Записваме уравнението във формата х 2 = 5x - 5. Нека построим парабола y = x 2 и директно y = 2x - 5. директен y = 2x - 5конструираме по две точки M(0; - 5) и N(2.5; 0). Правата и параболата нямат пресечни точки, т.е. Това уравнение няма корени.

Отговор.Уравнението х 2 - 2x + 5 = 0няма корени.

8. МЕТОД: Решаване на квадратни уравнения с пергел и владетели.

Графичният начин за решаване на квадратни уравнения с помощта на парабола е неудобен. Ако изградите парабола точка по точка, тогава отнема много време и с всичко това степента на точност на получените резултати е ниска.

Предлагам следния метод за намиране на корените на квадратно уравнение о 2 + bx + c = 0с помощта на пергел и линийка (фиг. 5).

Да приемем, че желаната окръжност пресича оста

абсцисата в точки B(x 1 ; 0) и д(Х 2 ; 0), където х 1 и х 2 - корени на уравнението о 2 + bx + c = 0, и минава през точките

A(0; 1)и C(0;° С/ а) по оста у. Тогава, по теоремата за секущата, имаме ОВ * OD = ОА * OC, където OC = ОВ * OD/ ОА= х 1 х 2 / 1 = ° С/ а.

Центърът на кръга е в точката на пресичане на перпендикулярите SFи SK, възстановени в средните точки на акордите ACи BD, Ето защо

1) конструирайте точки (центъра на кръга) и А(0; 1) ;

2) начертайте окръжност с радиус SA;

3) абсцисите на точките на пресичане на тази окръжност с оста оса корените на първоначалното квадратно уравнение.

В този случай са възможни три случая.

1) Радиусът на окръжността е по-голям от ординатата на центъра (КАТО > SK, или Р > а + ° С/2 а) окръжността пресича оста x в две точки (фиг. 6,a) B(x 1 ; 0) и д(Х 2 ; 0) , където х 1 и х 2 - корени на квадратното уравнение о 2 + bx + c = 0.

2) Радиусът на окръжността е равен на ординатата на центъра (КАТО = SB, илиР = а + ° С/2 а) , кръгът докосва оста Ox (фиг. 6,b) в точката B(x 1 ; 0) , където x 1 е коренът на квадратното уравнение.

3) Радиусът на окръжността е по-малък от ординатата на центъра, окръжността няма общи точки с абсцисната ос (фиг. 6, c), в този случай уравнението няма решение.

Пример.

Нека решим уравнението х 2 - 2x - 3 = 0 (фиг. 7).

Решение.Определете координатите на точката на центъра на окръжността по формулите:

Нека начертаем окръжност с радиус SA, където A (0; 1).

Отговор: х 1 = - 1; х 2 = 3.

9. МЕТОД: Решаване на квадратни уравнения с номограми.

Това е стар и незаслужено забравен метод за решаване на квадратни уравнения, поставен на стр. 83 (виж Брадис В. М. Четиризначни математически таблици. - М., Просвещение, 1990 г.).

Таблица XXII. Номограма за решаване на уравнение z 2 + pz + р = 0 . Тази номограма позволява, без да се решава квадратното уравнение, да се определят корените на уравнението чрез неговите коефициенти.

Криволинейната скала на номограмата е изградена по формулите (фиг. 11):

Ако приемем OS = p,ЕД = р, OE = a(всички в cm), от подобието на триъгълници SANи CDFполучаваме пропорцията

откъдето след замествания и опростявания следва уравнението

z 2 + pz + р = 0,

и писмото zозначава етикет на всяка точка от извитата скала.

Примери.

1) За уравнението z 2 - 9 z + 8 = 0 номограма дава корени

z 1 = 8,0 и z 2 = 1,0 (фиг. 12).

2) Решаваме уравнението с помощта на номограмата

2 z 2 - 9 z + 2 = 0.

Разделяме коефициентите на това уравнение на 2, получаваме уравнението

z 2 - 4,5 z + 1 = 0.

Номограмата дава корени z 1 = 4 и z 2 = 0,5.

3) За уравнението

z 2 - 25 z + 66 = 0

коефициентите p и q са извън мащаба, ще извършим заместването z = 5 T, получаваме уравнението

T 2 - 5 T + 2,64 = 0,

която решаваме с помощта на номограма и получаваме T 1 = 0,6 и T 2 = 4,4, където z 1 = 5 T 1 = 3,0 и z 2 = 5 T 2 = 22,0.

10. МЕТОД: Геометричен начин за решаване на квадрат уравнения.

В древни времена, когато геометрията е била по-развита от алгебрата, квадратните уравнения са се решавали не алгебрично, а геометрично. Ще дам един пример, станал известен от "Алгебрата" на ал-Хорезми.

Примери.

1) Решете уравнението х 2 + 10x = 39.

В оригинала тази задача е формулирана по следния начин: „Квадратният и десетият корен са равни на 39“ (фиг. 15).

Решение.Помислете за квадрат със страна x, правоъгълниците са изградени от страните му, така че другата страна на всеки от тях е 2,5, следователно площта на всеки е 2,5x. След това получената фигура се допълва до нов квадрат ABCD, завършвайки четири равни квадрата в ъглите, като страната на всеки от тях е 2,5, а площта е 6,25.

Квадрат С квадрат ABCDможе да се представи като сбор от площите: оригиналният квадрат х 2 , четири правоъгълника (4* 2,5x = 10x)и четири прикрепени квадрата (6,25* 4 = 25) , т.е. С = х 2 + 10x + 25.Замяна

х 2 + 10xномер 39 , разбираме това С = 39 + 25 = 64 , откъдето следва, че страната на квадрата ABCD, т.е. линейна отсечка AB = 8. За желаната страна хоригиналния квадрат, който получаваме

2) Но, например, как древните гърци са решили уравнението при 2 + 6y - 16 = 0.

Решениепоказано на фиг. 16, където

при 2 + 6y = 16, или при 2 + 6y + 9 = 16 + 9.

Решение.Изрази при 2 + 6y + 9и 16 + 9 геометрично представляват същия квадрат и оригиналното уравнение при 2 + 6y - 16 + 9 - 9 = 0е същото уравнение. От къде получаваме това y + 3 = ± 5,или при 1 = 2, y 2 = - 8 (фиг. 16).

3) Решете геометрично уравнение при 2 - 6y - 16 = 0.

Трансформирайки уравнението, получаваме

при 2 - 6y = 16.

На фиг. 17 намерете "изображенията" на израза при 2 - 6г,тези. от площта на квадрат със страна y извадете два пъти площта на квадрат със страна, равна на 3 . Така че, ако изразът при 2 - 6г добавете 9 , тогава получаваме площта на квадрат със страна при - 3 . Замяна на израза при 2 - 6г равен на числото 16,

получаваме: (y - 3) 2 = 16 + 9, тези. y - 3 = ± v25, или y - 3 = ± 5, където при 1 = 8 и при 2 = - 2.

Заключение

Квадратните уравнения се използват широко при решаване на тригонометрични, експоненциални, логаритмични, ирационални и трансцендентни уравнения и неравенства.

В същото време стойността на квадратните уравнения се крие не само в елегантността и краткостта на решаването на проблеми, въпреки че това е много важно. Не по-малко важен е фактът, че в резултат на използването на квадратни уравнения при решаване на задачи често се откриват нови детайли, могат да се направят интересни обобщения и да се направят уточнения, които са подтикнати от анализ на получените формули и зависимости.

Бих искал също да отбележа, че темата, представена в тази работа, все още е малко проучена, те просто не се занимават с нея, следователно е изпълнена с много скрити и неизвестни, което предоставя отлична възможност за по-нататъшна работа по нея .

Тук се спрях на въпроса за решаването на квадратни уравнения и какво,

ако има други начини за решаването им?! Отново намирайте красиви модели, някои факти, уточнения, правете обобщения, откривайте всичко ново и ново. Но това са въпроси за бъдещи работи.

Обобщавайки, можем да заключим: квадратните уравнения играят огромна роля в развитието на математиката. Всички знаем как да решаваме квадратни уравнения от училище (8 клас) до завършването. Това знание може да ни бъде полезно през целия живот.

Тъй като тези методи за решаване на квадратни уравнения са лесни за използване, те със сигурност трябва да представляват интерес за ученици, които обичат математиката. Работата ми дава възможност да погледнем по различен начин на проблемите, които математиката поставя пред нас.

Литература:

1. Алимов Ш.А., Илин В.А. и др. Алгебра, 6-8. Пробен учебник за 6-8 клас на СОУ. - М., Образование, 1981.

2. Брадис В.М. Четирицифрени математически таблици за гимназия Изд. 57-ма. - М., Образование, 1990. С. 83.

3. Кружепов А.К., Рубанов А.Т. Задачна книга по алгебра и елементарни функции. Учебник за средни специализирани учебни заведения. - М., висше училище, 1969 г.

4. Окунев А.К. Квадратни функции, уравнения и неравенства. Ръководство за учителя. - М., Образование, 1972.

5. Пресман А.А. Решаване на квадратно уравнение с пергел и линейка. - М., Квант, № 4/72. С. 34.

6. Соломник В.С., Милов П.И. Сборник въпроси и задачи по математика. Изд. - 4-то, доп. - М., Висше училище, 1973.

7. Худобин А.И. Сборник задачи по алгебра и елементарни функции. Ръководство за учителя. Изд. 2-ро. - М., Образование, 1970.

Шаповалова Л.А. (станция Egorlykskaya, MBOU ESOSH № 11)

1. Мордкович А.Г. Алгебра.8 клас. Учебник за образователни институции / A.G. Мордкович. № 8622 / 0790 - М.: Мнемозина, 2013. № 8622 / 0790 - 260 с.

2. Мордкович А.Г. Алгебра.8 клас. Задачна книга за образователни институции / A.G. Мордкович. № 8622 / 0790 - М.: Мнемозина, 2013. № 8622 / 0790 - 270 с.

3. Глейзър Г.И. История на математиката в училище № 8622 / 0790 / G.I. Глейзър. № 8622 / 0790 - М .: Образование, 1982. № 8622 / 0790 - 340 с.

4. Гусев В.А. Математика. Справочни материали / V.A. Гусев, А.Г. Мордкович. № 8622 / 0790 - М .: Просвещение, 1988. № 8622 / 0790 - 372 с.

5. Брадис В.М. Четирицифрени математически таблици за средно училище / V.M. Брадис. № 8622 / 0790 - М .: Образование, 1990. № 8622 / 0790 - 83 с.

6. Теорема на Виета. № 8622 / 0790 - Режим на достъп: http://phizmat.org.ua/2009-10-27-13-31-30/817-stihi-o-francua-vieta/ Теорема на Виета (ресурси за отдалечен достъп (Интернет) ) . 20.01.2016 г.

7. Квадратни уравнения. № 8622 / 0790 - Режим на достъп: http://revolution.allbest.ru/pedagogics/00249255_0.html (ресурси за отдалечен достъп (Интернет)). 20.01.2016 г.

Теорията на уравненията заема водещо място в алгебрата и математиката като цяло. Значението му се състои не само в теоретичното му значение за познаването на природните закони, но служи и за практически цели. Повечето от житейските проблеми се свеждат до решаването на различни видове уравнения и по-често това са уравнения от квадратна форма.

Училищната програма разглежда само 3 начина за решаването им. В подготовката за предстоящите изпити започнах да се интересувам от други начини на тези уравнения. Затова избрах темата "10 начина за решаване на квадратни уравнения".

Уместността на тази тема се крие във факта, че в уроците по алгебра, геометрия, физика много често се срещаме с решението на квадратни уравнения. Следователно всеки студент трябва да може правилно и рационално да решава квадратни уравнения, което е полезно и при решаването на по-сложни задачи, включително при полагане на изпити.

Целта на работата: да се изучат различни начини за решаване на квадратни уравнения, да се научат как да се решават квадратни уравнения.

Разгледайте стандартни и нестандартни методи за решаване на квадратни уравнения;

Определете най-удобните начини за решаване на квадратни уравнения;

Научете се да решавате квадратни уравнения по различни начини.

Обект на изследване: квадратни уравнения.

Предмет на обучение: начини за решаване на квадратни уравнения.

Изследователски методи:

Теоретичен: изучаване на литература по темата на изследването, изучаване на тематични интернет ресурси;

Анализ на получената информация;

Сравнение на методи за решаване на квадратни уравнения за удобство и рационалност.

Методи за решаване на квадратни уравнения

Квадратно уравнение е уравнение под формата ax 2 + bx + c \u003d 0, където x е променлива, a, b и c са някои числа, докато a? 0. Коренът на такова уравнение е стойността на променливата, която превръща квадратния тричлен в нула, тоест стойността, която превръща квадратното уравнение в идентичност. Коефициентите на квадратното уравнение имат свои имена: коефициентът a се нарича първи или старши, коефициентът b се нарича втори или коефициентът при x, c се нарича свободен член на това уравнение.

Пълно квадратно уравнение е такова, чиито коефициенти са различни от нула (a, b, c - 0).

Нарича се намалено квадратно уравнение, в което водещият коефициент е равен на единица. Такова уравнение може да се получи чрез разделяне на целия израз на водещия коефициент a: x 2 + px + q \u003d 0, p \u003d b / a, q \u003d c / a.

Непълните квадратни уравнения са три вида:

1) ax 2 + c = 0, където c е 0;

2) ax 2 + bx = 0, където b - 0;

В рамките на тази работа ще разгледаме методи за решаване само на пълни квадратни уравнения.

Решаване на квадратни уравнения по общата формула

За решаване на квадратни уравнения се използва методът за намиране на корени чрез дискриминанта. За намиране на дискриминанта се използва следната формула: D = b 2 - 4ac. След като намерим D, използваме формулата, за да намерим корените на уравнението

Струва си да се отбележи, че ако:

D > 0 - уравнението има два корена;

D \u003d 0 - уравнението има един корен;

д< 0 - уравнение не имеет корней.

Пример за решаване на уравнението по този начин е показан на фиг. 1(1.1).

Ориз. 1. Практическа част

Факторизиране на лявата страна

За да демонстрираме метода, ние решаваме уравнението x 2 + 10x - 24 = 0.

Нека разложим лявата страна на множители:

x 2 + 10x - 24 = x + 12x - 2x - 24 = = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).

Следователно уравнението може да бъде пренаписано като:

(x + 12) (x - 2) = 0

Тъй като продуктът е нула, тогава поне един от неговите множители е нула. Следователно лявата страна на уравнението изчезва при x = 2, а също и при x = -12.

Пример за решаване на уравнението по този начин е показан на фиг. 1(1.2).

Изборът на пълния квадрат е такава трансформация на идентичност, при която даденият тричлен е представен като (a ± b) 2 сумата или разликата на квадрата на бинома и някакъв числов или буквален израз.

Нека решим уравнението x 2 + 14x + 40 = 0.

Нека разложим полинома на множители, използвайки метода на пълния квадрат.

За да приложите първата формула, трябва да получите израза

x2 + 14x + 49 = 0.

Следователно добавяме и изваждаме числото 9 от полинома x 2 + 14x + 40, за да изберем пълния квадрат

x 2 + 14x + 40 + 9 - 9 = 0

(x + 14x + 40 + 9) - 9 = 0

(x + 14x + 49) - 9 = 0

(x + 7) 2 - 9 = 0

Нека приложим формулата "разлика на квадратите" a2 - b2 = (a - b) (a + b)

(x + 7) 2 - 32 = 0

(x + 7 - 3) (x + 7 + 3) = 0

(x + 4) (x + 10) = 0

x + 4 = 0x + 10 = 0

x1 = - 4x2 = - 10

Отговор: -4; - десет.

Пример за решаване на уравнението по този начин е показан на фиг. 1(1.3).

Решаване на уравнения с помощта на теоремата на Виета

За да решите пълното квадратно уравнение според теоремата на Vieta, трябва да разделите цялото уравнение на коефициента a. За уравнението x 2 + px + q = 0, ако x1 и x2 са неговите корени, формулите са валидни:

Пример за решаване на уравнението по този начин е показан на фиг. 1 (1.4).

Решаване на уравнения чрез свойствата на коефициентите

Ако е изпълнено следното условие: a + c = b, тогава x1 = - 1; x2 = - s/a.

4x2 + 3x - 1 = 04 - 1 = 3

x1 = - 1x2 = - 1/4

Ако е изпълнено следното условие:

a + b + c = 0, тогава x1 = 1; x2 = s/a.

5x2 + 2x - 7 = 05 + 2 -7 = 0

Пример за невъзможността за решаване на уравнението по този начин е показан на фиг. 1 (1,5).

Решаване на уравнения по метода "трансфер".

Така нареченият метод на "трансфер" позволява да се намали решението на нередуцирани и нетрансформируеми уравнения до формата на редуцирани такива с цели коефициенти, като се разделят на водещия коефициент на уравнения до решението на уравнения, редуцирани с цяло число коефициенти. Това е следното: умножете уравнението ax 2 + bx + c = 0 по a.

Получаваме: a 2 x2 + abx + aс = 0. Нека въведем нова променлива y = ax. Получаваме y 2 +by+ac = 0. Корените на това уравнение са y1 и y2. Следователно x1 = y1/a; x2 = y2/a.

Пример за решаване на уравнението по този начин е показан на фиг. 1(1.6).

Нека решим уравнението x 2 - 4x - 12 = 0.

Нека го представим като x 2 - 4x = 12.

На фиг. 2 "изобразява" израза х - 4х, т.е. площта на квадрат със страна x се изважда два пъти от площта на квадрат със страна 2. Така че x 2 - 4x + 4 е площта на квадрат със страна x - 2.

След като заместим x 2 - 4x = 12, получаваме

(x - 2)2 = 12 + 4

x - 2 = 4x - 2 = - 4

Отговор: x1 = 6, x1 = - 2.

Пример за решаване на уравнението по този начин е показан на фиг. 1(1.7).

В уравнението x 2 + px + q = 0 преместваме втория и третия член в дясната страна на уравнението. Получаваме: x 2 \u003d - px - q. Нека изградим графики на функции

y = x 2 (парабола);

y = - qx - p (права линия).

Трябва да бъде отбелязано че:

Ако права и парабола могат да се пресичат в две точки, абсцисите на точките на пресичане са корените на квадратно уравнение;

Ако правата докосва параболата (само една обща точка), тогава уравнението има един корен;

Ако правата и параболата нямат общи точки, т.е. квадратното уравнение няма корени.

Решаване на уравнение с пергел и линейка

Нека решим уравнението ax 2 + bx + c = 0:

1) конструирайте точки в координатната равнина:

A(- b/2a; (a + c)/2a) е центърът на окръжността и B(0; 1)

2) Начертайте окръжност r = AB

3) Абсцисите на точките на пресичане с оста Ox са корените на първоначалното уравнение

Трябва да бъде отбелязано че:

Ако радиусът на окръжността е по-голям от ординатата на центъра (AB > AC или R > (a + c) / 2a), окръжността.

Пресича оста x в две точки K(x1; 0) и N(x2; 0), където x1 и x2 са корените на квадратното уравнение x2 + bx + c = 0.

Ако радиусът на окръжността е равен на ординатата на центъра (AB \u003d AC или R \u003d (a + c) / 2a), окръжността докосва абсцисната ос в точката C (x; 0), където x1 е коренът на квадратното уравнение.

Ако радиусът на окръжността е по-малък от ординатата на центъра (AB< AС, или R < (a + c)/2a), окружность не имеет общих точек с осью абсцисс, в этом случае уравнение не имеет решения.

Пример за решаване на уравнението по този начин е показан на фиг. 1(1.9).

Това е стар и вече позабравен начин за решаване на квадратни уравнения.

Номограмата дава стойностите на положителните корени на уравнението z 2 + pz + q \u003d 0. Ако уравнението има корени с различни знаци, тогава, след като се намери положителен корен от номограмата, отрицателен е получено чрез изваждане на положителното от - p.

Ориз. 6. Вид монограм за решаване на уравнението z 2 + pz + q = 0

В случай, че и двата корена са отрицателни, те вземат z = - t и намират два положителни корена t1 от номограмата; t 2 уравнения t 2 + - pt + z = 0 и след това z1 = - t1; z 2 \u003d - t2.

Ако коефициентите p и q са извън скалата, извършете заместването z = kt и решете уравнението, като използвате номограмата

където k е взето по такъв начин, че неравенствата

Формата на монограмата за решаване на уравнението z 2 + pz + q = 0 може да се намери на фиг. 6.

"Плюсове" и "против" различни решения

Името на метода за решаване на квадратни уравнения
Решаване на квадратни уравнения по формула	Може да се приложи към всички квадратни уравнения.	Трябва да научите формулите.
Факторизиране на лявата страна на уравнението	Това дава възможност незабавно да се видят корените на уравнението.	Необходимо е правилно да се изчислят сроковете за групиране.
Метод за избор на пълен квадрат	За минималния брой действия можете да намерите корените на уравненията	Необходимо е да намерите правилно всички термини, за да изберете пълния квадрат.
Решаване на уравнения с помощта на теоремата на Виета	Доста лесен начин, позволява незабавно да се видят корените на уравнението.	лесно се намират само цели корени.
Свойства на коефициентите на квадратно уравнение	Не изисква много усилия	Подхожда само на някои уравнения
Решаване на уравнения чрез метод на прехвърляне	За минималния брой действия можете да намерите корените на уравнението, то се използва заедно с метода на теоремата на Vieta.	лесно се намират само цели корени.
Геометричен начин за решаване на квадратни уравнения	Визуален начин.	подобно на начина за избиране на пълен квадрат
Графично решение на квадратно уравнение	визуален начин	Възможно е да има неточности в графика
Решаване на квадратни уравнения с пергел и линейка	визуален начин	Може да не е точно
Решаване на квадратни уравнения с помощта на номограма	Интуитивен, лесен за използване.	Не винаги под ръка има номограма.

Заключение

В хода на тази изследователска работа успях да обобщя и систематизирам изучения материал по избраната тема, да изуча различни начини за решаване на квадратни уравнения, да науча как да решавам квадратни уравнения по 10 начина. Трябва да се отбележи, че не всички от тях са удобни за решаване, но всеки от тях е интересен по свой начин. От моя гледна точка най-рационални за използване ще бъдат методите, изучавани в училище: 1.1. (по формулата); 1.4. (според теоремата на Виета); както и метод 1.5. (използвайки свойствата на коефициентите).

Обобщавайки, можем да заключим: квадратните уравнения играят огромна роля в математиката. Тези знания могат да ни бъдат полезни не само в училище и в университета, но и през целия ни живот.

Библиографска връзка

Улевски С.А. ДЕСЕТ НАЧИНА ЗА РЕШАВАНЕ НА КВАДРАТНИ УРАВНЕНИЯ // Start in science. - 2016. - № 1. - С. 75-79;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=15 (дата на достъп: 30.12.2019 г.).

слайд 1

слайд 2

Цели на курса: Запознаване с нови методи за решаване на квадратни уравнения Задълбочаване на знанията по темата "Квадрични уравнения" Развитие на математически, интелектуални способности, изследователски умения Създаване на условия за самореализация на личността

слайд 3

Цели на курса: Да запознае студентите с нови начини за решаване на квадратни уравнения Да затвърди способността за решаване на уравнения с помощта на известни методи Да въведе теореми, които позволяват решаване на уравнения по нестандартни начини Да продължи формирането на общи образователни умения, математическа култура Да насърчи формирането на интерес към изследователската дейност Създаване на условия учениците да реализират и развият интерес към предмета математика Подгответе учениците за правилния избор на профилна посока

слайд 4

Съдържание на програмата Тема 1. Въведение. Един час. Дефиниция на квадратно уравнение. Пълни и непълни кв. уравнения. Методи за тяхното решаване. Разпитване. Тема 2. Решение на кв. уравнения. Метод на факторизиране Метод на избор на пълен квадрат Решение кв. уравнения по формули Решение кв. уравнения по метод на пренасяне Решение кв. уравнения, използващи t. Vieta Solution кв. уравнения, използващи коефициента Решение sq. уравнения по графичен начин Решение кв. уравнения с помощта на пергел и линийка Решение кв. уравнения по геометричен начин Решение кв. уравнения, използващи "номограми"

слайд 5

Малко история ... Квадратните уравнения са основата, върху която се крепи величествената сграда на алгебрата. Квадратните уравнения се използват широко при решаване на тригонометрични, експоненциални, логаритмични, ирационални и трансцендентни уравнения и неравенства. Квадратни уравнения в древен Вавилон. Квадратни уравнения в Индия. Квадратни уравнения в ал-Хорезми. Квадратни уравнения в Европа XIII - XVII век.

слайд 6

Слайд 7

Слайд 8

Слайд 9

слайд 10

Известният френски учен Франсоа Виет (1540-1603) е юрист по професия. Свободното си време посвещава на астрономията. Часовете по астрономия изискват познания по тригонометрия и алгебра. Виет се заема с тези науки и скоро стига до заключението, че е необходимо да ги усъвършенства, върху което работи в продължение на няколко години. Благодарение на работата му алгебрата се превръща в обща наука за алгебрични уравнения, основана на буквално смятане. Следователно стана възможно да се изразят свойствата на уравненията и техните корени с общи формули.

слайд 11

При извършване на работата се забелязаха следните: Методите, които ще използвам: Теоремата на Виета Свойства на коефициентите Методът на "трансфера" Разлагане на лявата част на множители Графичен метод Методите са интересни, но отнемат много време и не винаги са удобни. Графичен метод С помощта на номограма Линийки и пергел Избор на пълен квадрат Прекланям се пред учените, които откриха тези методи и дадоха тласък на науката за развитие в темата „Решаване на квадратни уравнения“

слайд 12

Факторизиране на лявата страна на уравнението Нека решим уравнението x2 + 10x - 24=0. Разлагане на лявата страна на множители: x2 + 10x - 24= x2 + 12x -2x - 24= x(x + 12) - 2(x + 12)= (x + 12)(x - 2). (x + 12)(x - 2)=0 x + 12=0 или x - 2=0 x= -12 x= 2 Отговор: x1= -12, x2 = 2. Решете уравнения: x2 - x=0 x2 + 2x=0 x2 - 81=0 x2 + 4x + 3=0 x2 + 2x - 3=0

слайд 13

Метод за избор на пълен квадрат Решете уравнението x2 + 6x - 7=0 x2 + 6x - 7=x2 + 2x3 + 32 - 32 - 7=(x-3)2 - 9- 7= (x-3)2 - 16 ( x -3)2 -16=0 (x-3)2 =16 x-3=4 или x-3=-4 x=1 x=-7 Отговор: x1=1, x2=-7. Решете уравнения: x2 - 8x+15=0 x2 +12x +20=0 x2 + 4x + 3=0 x2 + 2x - 2=0 x2 - 6x + 8=0

слайд 14

Решение на квадратни уравнения по формулата Основни формули: Ако b е нечетно, тогава D= b2-4ac и x 1.2=, (ако D> 0) Ако b е четно, тогава D1= и x1.2=, (ако D >0) Решете уравненията: 2x2 - 5x + 2=0 6x2 + 5x +1=0 4x2 - 5x + 2=0 2x2 - 6x + 4=0 x2 - 18x +17=0 =

слайд 15

Решаване на уравнения чрез метода на прехвърляне Нека решим уравнението ax2 +bx+c=0. Умножете двете страни на уравнението по a, получаваме a2 x2 +abx+ac=0. Нека ax = y, откъдето x = y/a. Тогава U2 +купуване+ac=0. Неговите корени са y1 и y2. Накрая x1 = y1/a, x1 = y2/a. Нека решим уравнението 2x2 -11x + 15=0. Нека прехвърлим коефициент 2 към свободния член: Y2 -11y+30=0. Според теоремата на Виета y1 =5 и y2 =6. x1 = 5/2 и x2 = 6/2 x1 = 2,5 и x2 = 3 Отговор: x1 = 2,5, x2 = 3 Решете уравнението: 2x2 -9x +9=0 10x2 -11x + 3=0 3x2 + 11x +6 =0 6x2 +5x - 6=0 3x2 +1x - 4=0

слайд 16

Решаване на уравнения с помощта на теоремата на Vieta Нека решим уравнението x2 +10x-24=0. Тъй като x1 * x2 = -24 x1 + x2 = -10, тогава 24 = 2 * 12, но -10 = -12 + 2, тогава x1 = -12 x2 = 2 Отговор: x1 = 2 , x2 \u003d -12. Решете уравнения: x2 - 7x - 30 =0 x2 +2x - 15=0 x2 - 7x + 6=0 3x2 - 5x + 2=0 5x2 + 4x - 9=0

слайд 17

Свойства на коефициентите на квадратно уравнение Ако a+b+c=0, тогава x2 = 1, x2 = c/a 7= 0 Нека решим уравнението 2x2 + 3x +1= 0 1 + 6 - 7 = 0, така че x1 =1, x2 = -7/1=-7. 2 - 3+1=0, така че x1= - 1, x2 = -1/2 Отговор: x1=1, x2 = -7. Отговор: x1=-1, x2=-1/2. Решаване на уравнения: 5x2 - 7x +2 =0 Решаване на уравнения: 5x2 - 7x -12 =0 11x2 +25x - 36=0 11x2 +25x +14=0 345x2 -137x -208=0 3x2 +5x +2=0 3x2 + 5x - 8=0 5x2 + 4x - 1=0 5x2 + 4x - 9=0 x2 + 4x +3=0

Копьевская селска гимназия

10 начина за решаване на квадратни уравнения

Ръководител: Патрикеева Галина Анатолиевна,

учител по математика

с.Копиево, 2007г

1. История на развитието на квадратните уравнения

1.1 Квадратни уравнения в древен Вавилон

1.2 Как Диофант съставя и решава квадратни уравнения

1.3 Квадратни уравнения в Индия

1.4 Квадратни уравнения в ал-Хорезми

1.5 Квадратни уравнения в Европа XIII - XVII век

1.6 За теоремата на Виета

2. Методи за решаване на квадратни уравнения

Заключение

Литература

1. История на развитието на квадратните уравнения

1.1 Квадратни уравнения в древен Вавилон

х 2 + х = ¾; х 2 - х = 14,5

1.2 Как Диофант съставя и решава квадратни уравнения.

Когато съставя уравнения, Диофант умело избира неизвестни, за да опрости решението.

Ето например една от задачите му.

Задача 11.„Намерете две числа, като знаете, че сборът им е 20, а произведението им е 96“

Следователно уравнението:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - х 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

1.3 Квадратни уравнения в Индия

ах 2+bx = c, a > 0. (1)

Ето един от проблемите на известния индийски математик от XII век. Бхаскара.

Задача 13.

„Бързо стадо маймуни и дванадесет в лози ...

След като ядохте власт, се забавлявахте. Те започнаха да скачат, да висят ...

Част осма от тях в квадрат Колко маймуни имаше,

Забавление на поляната. Ти ми кажи, в това стадо?

Решението на Бхаскара показва, че той е знаел за двузначността на корените на квадратните уравнения (фиг. 3).

Уравнението, съответстващо на задача 13 е:

(х/8) 2 + 12 = х

Бхаскара пише под прикритието на:

x 2 - 64x = -768

и за да завърши лявата страна на това уравнение до квадрат, той добавя към двете страни 32 2 , получавайки след това:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Квадратни уравнения в ал-Хорезми

1) „Квадратите са равни на корени“, т.е. брадва 2 + c =bХ.

2) „Квадратите са равни на число“, т.е. брадва 2 = s.

3) „Корените са равни на числото“, т.е. ах = s.

4) „Квадратите и числата са равни на корени“, т.е. брадва 2 + c =bХ.

5) „Квадратите и корените са равни на числото“, т.е. ах 2+bx= s.

6) „Корените и числата са равни на квадрати“, т.е.bx+ c \u003d брадва 2.

Задача 14.„Квадратът и числото 21 са равни на 10 корена. Намерете корена" (приемайки корена на уравнението x 2 + 21 = 10x).

1.5 Квадратни уравнения в ЕвропаXIII - XVIIвекове

Общото правило за решаване на квадратни уравнения, намалено до една канонична форма:

х 2+bx= с,

за всички възможни комбинации от знаци на коефициентите b, се формулиран в Европа едва през 1544 г. от M. Stiefel.

1.6 За теоремата на Виета

Теоремата, изразяваща връзката между коефициентите на квадратно уравнение и неговите корени, носеща името на Виета, е формулирана от него за първи път през 1591 г., както следва: „Ако б + думножено по А - А 2 , се равнява BD, тогава Асе равнява ATи равни д».

(а +b)x - x 2 =аб,

x 2 - (a +b)x + ab = 0,

x 1 = a, x 2 =b.

2. Методи за решаване на квадратни уравнения

Квадратните уравнения са основата, върху която се крепи величествената сграда на алгебрата. Квадратните уравнения се използват широко при решаване на тригонометрични, експоненциални, логаритмични, ирационални и трансцендентни уравнения и неравенства. Всички знаем как да решаваме квадратни уравнения от училище (8 клас) до завършването.