Занаяти

Видове задачи по теория на еластичността. Основни уравнения на теорията на еластичността. Видове задачи в теорията на еластичността Какъв е предметът на изучаване на класическата теория на еластичността

Руски държавен университет

нефт и газ на името на. И.М.Губкина

Катедра техническа механика

РЕЗЮМЕ

"Теория на еластичността"

Изпълнител: Поляков А. А.

Проверен от: Евдокимов А.П.

Москва 2011 г

теория на уравнението на еластичността

1. Въведение

Теория на напрегнато-деформираното състояние в точка на тялото

2.1 Теория на напрежението

2 Теория на деформацията

3 Връзка между напрежение и деформация за еластични тела

Основни уравнения на теорията на еластичността. Видове задачи в теорията на еластичността

1 Основни уравнения на теорията на еластичността

2 Видове задачи по теория на еластичността

4 Уравнения на теорията на еластичността при премествания (уравнения на Ламе)

Вариационни принципи на теорията на еластичността

1 Принципът на възможните движения (принцип на Лагранж)

2 Принципът на възможните състояния (принципът на Кастилано)

3 Връзка между точното решение и решенията, получени въз основа на принципите на Лагранж и Кастиляно

Списък на използваната литература

1. Въведение

Теориите за напрежението и напрежението са създадени от О. Коши. Те са изложени в доклад, представен на Парижката академия на науките през 1822 г. резюмекойто е публикуван през 1823 г. и редица последващи статии. О. Коши извежда три уравнения на равновесие за елементарен тетраедър, доказва закона за сдвояване на тангенциалните напрежения, въвежда концепциите за главни оси и главни напрежения и извежда диференциални уравненияравновесие (обикновено те не се показват в хода на съпротивлението на материалите). Той също така въведе повърхността на нормалните напрежения (квадрика на Коши), върху която са разположени краищата на радиус векторите, чиито посоки съвпадат с посоката на нормалите към площите, а стойността е обратно пропорционална на корен квадратен от абсолютната стойност на нормалното напрежение в тази област и е доказано, че тази повърхност е повърхност от втори ред с център в началото. Възможността за трансформиране на повърхността на нормалните напрежения към главните оси показва наличието във всяка точка на три взаимно главни перпендикулярни области.

Подобна повърхност на тангенциални напрежения е въведена от руския механик Г.В. Колосов през 1933 г

Геометрична интерпретация на състоянието на напрежение в пространството под формата на елипсоид на напрежение е дадена от G. Lame и B. Clapeyron в техните мемоари, представени в Парижката академия на науките през 1828 г. и публикувани през 1833 г.

Геометрично представяне на състоянието на напрежение в равнина за една поредица от области, минаващи през главната ос под формата на кръг на напрежение, е предложено от К. Кулман в книгата му през 1866 г.

За общия случай на стресово състояние е много ясно геометрична интерпретациятя върху равнина е дадена от О. Мор (така наречената кръгова диаграма на Мор) през 1882 г. От нея могат да се направят редица важни изводи относно екстремума на главните напрежения, позицията на зоните, в които тангенциалната напреженията са максимални и величините на тези максимални тангенциални напрежения.

О. Коши даде дефиниция на деформации, изведе тяхната зависимост от премествания в частния случай на малки деформации (тези зависимости, като правило, не се извеждат в хода на якостта на материалите), дефинира понятията главни напрежения и основни деформации , и получиха зависимостите на компонентите на напрежението от компонентите на деформацията, както за изотропно, така и за анизотропно еластично тяло. В якостта на материалите обикновено се установяват зависимостите на компонентите на деформация от компонентите на напрежението за изотропно тяло. Те се наричат обобщен закон на Хук, въпреки че, разбира се, това име е условно, тъй като Р. Хук не познава концепцията за напрежение.

В тези зависимости Коши първо въвежда две константи и записва зависимостите на напрежението от деформацията във формата

м, ,

По-късно обаче О. Коши приема концепцията на Л. Навие. Според него еластичните тела се състоят от молекули, между които при деформация възникват сили, които действат в посоките на прави линии, свързващи молекулите и са пропорционални на изменението на разстоянията между молекулите. Тогава броят на еластичните константи за общия случай на анизотропно тяло е 15, а за изотропно тяло получаваме една еластична константа. Тази хипотеза се придържаше от С. Поасон и първоначално от Г. Ламе и Б. Клапейрон. Въз основа на него Поасон установява, че коефициентът на напречна деформация е 1/4.

Д. Грийн през 1839 г. извежда връзката между деформациите и напреженията, без да използва хипотеза за молекулярната структура на еластичните тела. Той ги получи въз основа на принципа за запазване на енергията, въвеждайки понятието еластичен потенциал и показа, че при използване на линейни зависимости на шест компонента на деформация от шест компонента на напрежението, от 36 коефициента 21 са независими, т.е. в общия случай на анизотропно тяло броят на еластичните константи е 21. За изотропно тяло броят на еластичните константи е намален до две. Теорията, в която броят на еластичните константи за анизотропно тяло е равен на 15, а за изотропно тяло 1, понякога се нарича „рядкопостоянна“ или „едноконстантна“, а теорията, в която броят на еластичните константи за анизотропно тяло е равно на 21, а за изотропно тяло 2 - "мултиконстанта" .

Спорът между привържениците на тези теории подтикна физиците да проведат експериментални изследвания.

G. Wertheim, въз основа на измервания на вътрешните обеми на стъклени и метални тръби при аксиално напрежение, установи през 1848 г., че коефициентът на напречна деформация не е равен на 1/4. Той смяташе, че е различно за различните материали, но за много материали близо до 1/3.

И АЗ. Kupfer, тествайки метални пръти на опън и усукване през 1853 г., също установи, че съотношението на модулите на срязване и опън не съответства на стойността на напречната деформация, равна на 1/4.

През 1855 г. Ф. Нойман тества проби с правоъгълно напречно сечение за огъване и измерва ъглите на въртене на двете страни на гредата (напречното сечение има трапецовидна форма). В резултат на това той показа, че коефициентът на напречна деформация не е равен на 1/4. Г. Кирхоф, ученик на Ф. Нойман, стига до същото заключение въз основа на тестове, проведени през 1859 г. върху комбинирано огъване и усукване на кръгли месингови пръти, вградени в единия край и натоварени в другия с концентрирана сила, измерваща ъгълът на усукване на пръта и ъгълът на завъртане на секцията .

Голямо експериментално изследване на коефициентите на напречна деформация за различни видове стомана е извършено от един от учениците на G. Kirchhoff M.F. Окатов през 1865 - 1866 г Резултатите са представени в неговата докторска дисертация.Тестове за усукване и огъване на тънки призми, изрязани от монокристали, както и тестове за свиваемост на кристали при равномерно компресиране са извършени от W. Voigt и описани в многобройните му статии, по-късно събрани в книга, публикувана през 1910 г. Те потвърдиха правилността на многоконстантната теория.

Задълбочено изследване на математическата структура на закона на Хук за анизотропни тела е извършено от механика и инженер Ян Рихлевски през 1984 г. въз основа на концепцията за еластично състояние, въведена от него. По-специално, той показа, че 21-те еластични константи представляват шест истински модула на коравина, 12 разпределителя на коравина и три ъгъла.

2. Теория на напрегнато-деформираното състояние в точка на тялото

1 Теория на стреса

Вътрешните силови фактори, които възникват при натоварване на еластично тяло, характеризират състоянието на определен участък от тялото, но не отговарят на въпроса коя точка от напречното сечение е най-натоварена или, както се казва, опасната точка. Следователно е необходимо да се вземе предвид някаква допълнителна величина, която характеризира състоянието на тялото в дадена точка.

Ако тялото, към което са приложени външни сили, е в равновесие, тогава във всяка част от него възникват вътрешни съпротивителни сили. Нека означим чрез вътрешната сила, действаща върху елементарна площ, и нормалата към тази площ тогава количеството

наречено общо напрежение.

В общия случай общото напрежение не съвпада по посока с нормалата към елементарната област, така че е по-удобно да се работи с неговите компоненти по координатните оси -

Ако външната нормала съвпада с която и да е координатна ос, например с оста X, тогава компонентите на напрежението ще приемат формата: компонентът се оказва перпендикулярен на сечението и се нарича нормално напрежение, а компонентите ще лежат в равнина на сечение и се наричат тангенциални напрежения.

За лесно разграничаване между нормални и тангенциални напрежения обикновено се използват други обозначения: - нормално напрежение, - тангенциално напрежение.

Нека изберем от тяло под действието на външни сили безкрайно малък паралелепипед, чиито ръбове са успоредни на координатните равнини, а ръбовете са с дължина . На всяко лице на такъв елементарен паралелепипед има три компонента на напрежението, успоредни на координатните оси. Общо получаваме 18 стрес компонента на шест лица.

Нормалните напрежения се обозначават във формата , където индексът означава нормата към съответното лице (т.е. може да приема стойности). Тангенциалните напрежения имат формата ; тук първият индекс съответства на нормалата към зоната, върху която действа това напрежение на срязване, а вторият показва оста, успоредна на която е насочено това напрежение (фиг. 1).

Фиг. 1. Нормални и срязващи напрежения

За тези напрежения се приема следното правило за знак. Нормалното напрежение се счита за положително при напрежение или, което е същото, когато съвпада с посоката на външната нормала към зоната, върху която действа. Напрежението на срязване се счита за положително, ако върху площ, чиято норма съвпада с посоката на успоредната на нея координатна ос, е насочена към положителната координатна ос, съответстваща на това напрежение.

Компонентите на напрежението са функции на три координати. Например, нормалното напрежение в точка може да бъде означено с координати

В точка, която е на безкрайно малко разстояние от разглежданата точка, напрежението може да бъде разширено в серия на Тейлър с точност до безкрайно малки от първи ред:

За области, които са успоредни на равнината, се променя само координатата x и нарастванията. Следователно, върху лицето на паралелепипеда, съвпадащ с равнината, нормалното напрежение ще бъде , а върху успоредното лице, разположено на безкрайно малко разстояние, - Напреженията върху останалите успоредни стени на паралелепипеда са свързани по подобен начин. Следователно от 18 компонента на напрежението само девет са неизвестни.

В теорията на еластичността е доказан законът за сдвояване на тангенциалните напрежения, според който в две взаимно перпендикулярни области компонентите на тангенциалните напрежения, перпендикулярни на линията на пресичане на тези области, са равни една на друга:

Равенствата (2) водят до факта, че от деветте компонента на напрежението, характеризиращи напрегнатото състояние в точка на тялото, остават само шест:

Може да се покаже, че стресът (3) не само характеризира напрегнатото състояние на тялото в дадена точка, но го определя еднозначно. Комбинацията от тези напрежения образува симетрична матрица, която се нарича тензор на напреженията:

(4)

Когато един тензор се умножи по скаларно количество, се получава нов тензор, чиито всички компоненти са пъти по-големи от компонентите на оригиналния тензор.

2 Теория на деформацията

Под въздействието на външни натоварвания еластичното тяло променя формата си и се деформира. В този случай точките на тялото заемат нова позиция. За да определим деформацията на еластично тяло, сравняваме позициите на точките на тялото преди и след прилагане на натоварването.

Нека разгледаме точката на ненатовареното тяло и новото му положение след прилагане на натоварването. Векторът се нарича вектор на преместване на точката (фиг. 2).

Фиг.2. Вектор на движение на точка

Възможни са два вида движения: движение на цялото тяло като едно цяло без деформация - такива движения се изучават от теоретичната механика като движения на абсолютно твърдо тяло и движение, свързано с деформация на тялото - такива движения се изучават от теорията на еластичност.

Нека означим проекциите на вектора на преместване на точката върху координатните оси съответно с. Те са равни на разликата между съответните координати на точките и :

и са функции на координатите:

Деформацията на тялото се причинява от разликите в движенията на различните му точки. Безкрайно малък паралелепипед с ръбове, изрязани от еластично тяло в близост до произволна точка, поради различни движения на върховете му, се деформира по такъв начин, че дължината на ръбовете му се променя и първоначално правите ъгли между лицата се изкривяват.

Фигура 3.3 показва два ръба на този паралелепипед: и дължината на ръба е равна на и дължината на ръба е

След деформация точките заемат позиция.В този случай точката ще получи изместване, чиито компоненти в чертожната равнина са равни, а точка, разположена на безкрайно малко разстояние от точката, ще получи изместване, компонентите на което ще се различава от компонентите на изместването на точката с безкрайно малко количество поради промяна в координатата

Фиг.3. Линейни и ъглови деформации

Компонентите на движението на точката ще се различават от компонентите на движението на точката с безкрайно малко количество поради промяна в координатата

Дължина на проекцията на реброто върху оста след деформация:

Проекция на абсолютното удължение на реброто върху оста

Относително удължение по оста

(6)

се нарича линейна деформация по посока на оста.

Линейни деформации по направленията на осите и

(7)

Нека разгледаме промяната в ъглите между ръбовете на паралелепипеда (фиг. 3). Тангенс на ъгъла на завъртане на реброто в равнината

Поради малкостта на деформациите a, линейната деформация може да бъде пренебрегната поради нейната малкост в сравнение с единица, а след това

По подобен начин можете да определите ъгъла на въртене на ръба в същата равнина:

Изкривяването на прав ъгъл се нарича ъглова деформация и се определя като сбор от ъглите на завъртане на ребрата и:

(8)

По същия начин ъгловите деформации се определят в две други координатни равнини:

(9)

Формули (6)-(9) дават шест основни зависимости за линейни и ъглови деформации от компонентите на преместването. Тези зависимости се наричат уравнения на Коши:

(10)

В границата, когато дължините на ръбовете на паралелепипеда клонят към нула, отношенията на Коши определят линейните и ъгловите деформации в околността на точката

Положителните линейни деформации съответстват на удълженията, а отрицателните линейни деформации съответстват на скъсяванията. Ъгълът на изместване се счита за положителен, когато ъгълът между положителните посоки на съответните координатни оси намалява и отрицателен в противен случай.

Подобно на тензора на напрежението, деформираното състояние на тялото в дадена точка се описва от тензора на напрежението

(11)

Подобно на тензора на напрежението, тензорът на деформацията е симетрична матрица, която съдържа девет компонента, шест от които са различни.

2.3 Връзка между напрежение и деформация за еластични тела

Връзките между напреженията и деформациите са физически по природа. Ограничавайки се до малки деформации, връзката между напрежението и деформацията може да се счита за линейна.

При тестване на прът за напрежение (около механични тестовематериалите ще бъдат разгледани подробно в следващия раздел), е установена пропорционална връзка между нормалното напрежение и линейното напрежение в една посока, което се нарича закон на Хук:

където еластичната константа се нарича надлъжен еластичен модул.

По същия експериментален метод е установена връзка между линейни деформации в надлъжна и напречна посока:

където е линейната деформация в напречна посока, е втората еластична константа, наречена коефициент на Поасон.

При механични тестове за чисто срязване беше установена правопропорционална връзка между напрежението на срязване и ъгловата деформация в равнината на действие на това напрежение, което беше наречено закон на Хук за срязване:

където количеството е третата еластична константа и се нарича модул на срязване. Тази еластична константа обаче не е независима, т.к свързани с първите две зависимости

За да установим връзката между деформациите и напреженията, избираме безкрайно малък паралелепипед от тялото (фиг. 1) и разглеждаме ефекта само на нормалните напрежения.Разликата в напреженията върху противоположните страни на паралелепипеда може да се пренебрегне, т.к. води до деформации от по-висок порядък на дребност.

Нека определим удължението на реброто успоредно на напрежението.Под действието на това напрежение, съгласно закона на Хук (3.12), ще настъпи относително удължение на реброто

Напрежението причинява подобно удължение в посока, перпендикулярна на реброто

а по посока на ръба - скъсяване, което съгласно (13) е

или, като се вземе предвид изразът на деформация

По подобен начин се определя относителното скъсяване на реброто под действието на напрежението

Въз основа на принципа на независимост от действието на силите, общото относително удължение на реброто може да се определи като сума от удълженията, дължащи се на действието на всяко напрежение:

По същия начин линейните деформации могат да бъдат определени в посоките на другите две оси:

В съответствие със закона на Хук при срязване (14), връзката между ъгловите деформации и напреженията на срязване може да бъде представена независимо за всяка от трите равнини, успоредни на координатните равнини:

По този начин са получени шест формули, които изразяват линейната връзка между компонентите на деформация и напрежение в изотропно еластично тяло и се наричат обобщен закон на Хук:

(16)

3. Основни уравнения на теорията на еластичността. Видове задачи в теорията на еластичността

Основната задача на теорията на еластичността е да определи напрегнато-деформираното състояние според дадените условия на натоварване и закрепване на тялото.

Състоянието на напрежение-деформация се определя, ако се намерят компонентите на тензора (ите) на напрежението и вектора на изместване, девет функции.

3.1 Основни уравнения на теорията на еластичността

За да намерите тези девет функции, трябва да запишете основните уравнения на теорията на еластичността, или:

Диференциал на Коши

(17)

където са компонентите на тензора на линейната част на деформациите на Коши;

компоненти на тензора на производната на преместване по радиуса.

Диференциални уравнения на равновесие

къде са компонентите на тензора на напрежението; - проекция на силата на тялото върху оста j.

Закон на Хук за линейно еластично изотропно тяло

къде са константите на Lame; за изотропно тяло. Тук са нормални и срязващи напрежения; деформации и съответно ъгли на срязване.

Горните уравнения трябва да отговарят на зависимостите на Saint-Venant

В теорията на еластичността проблемът е решен, ако са изпълнени всички основни уравнения.

2 Видове задачи по теория на еластичността

Граничните условия на повърхността на тялото трябва да бъдат изпълнени и в зависимост от вида на граничните условия се разграничават три вида задачи в теорията на еластичността.

Първи тип. Силите са дадени на повърхността на тялото. Гранични условия

Втори вид. Задачи, при които се посочва преместване на повърхността на тялото. Гранични условия

Трети тип. Смесени задачи на теорията на еластичността. Силите са посочени върху част от повърхността на тялото, а преместването е посочено върху част от повърхността на тялото. Гранични условия

Задачи, при които се задават сили или премествания върху повърхността на тялото и се изисква да се намери напрегнато-деформираното състояние вътре в тялото и това, което не е посочено на повърхността, се наричат директни задачи. Ако вътре в тялото са определени напрежения, деформации, премествания и т.н. и трябва да определите какво не е определено вътре в тялото, както и премествания и напрежения на повърхността на тялото (т.е. намерете причините, които са причинили такива състояние на напрежение-деформация)), тогава такива проблеми се наричат обратни.

4 Уравнения на теорията на еластичността при премествания (уравнения на Ламе)

За да определим уравненията на теорията на еластичността в преместванията, пишем: диференциални уравнения на равновесие (18) Закон на Хук за линейно еластично изотропно тяло (19)

Ако вземем предвид, че деформациите се изразяват чрез премествания (17), пишем:

Трябва също така да се припомни, че ъгълът на срязване е свързан с преместванията чрез следната зависимост (17):

(23)

Замествайки израз (22) в първото уравнение на равенствата (19), получаваме тези нормални напрежения

(24)

Имайте предвид, че писането на itz в този случай не предполага сумиране върху i.

Замествайки израз (23) във второто уравнение на равенствата (19), получаваме тези напрежения на срязване

(25)

Нека запишем уравненията на равновесието (18) в разширен вид за j = 1

(26)

Замествайки изрази за нормални (24) и тангенциални (25) напрежения в уравнение (26), получаваме

където λ е константата на Ламе, която се определя от израза:

Нека заместим израз (28) в уравнение (27) и напишем,

където се определя от израз (22), или в разширен вид

Нека разделим израз (29) на G и добавим подобни членове и ще получим първото уравнение на Ламе:

(30)

където е операторът на Лаплас (хармоничен оператор), който се дефинира като

(31)

По същия начин можете да получите:

(32)

Уравнения (30) и (32) могат да бъдат записани, както следва:

(33)

Уравнения (33) или (30) и (32) са уравнения на Lamé. Ако обемните сили са нула или постоянни, тогава

(34)

Освен това, записът в този случай не предполага сумиране върху i. Тук

Може да се покаже, че такова представяне на премествания чрез хармонична функция превръща уравнението на Lame (33) в идентичност. Те често се наричат условия на Попкович-Гродски. Не са необходими четири хармонични функции, тъй като φ0 може да се настрои на нула.

4. Вариационни принципи на теорията на еластичността.

1 Принципът на възможните движения (принцип на Лагранж)

Принцип на Лагранж. За тяло в равновесие работата на външните и вътрешните сили при всички възможни безкрайно малки увеличения на преместването е нула.

Използвайки теоремата на Клапейрон, която за еластично деформирано тяло чрез промяна на преместването, получаваме принципа на Лагранж

В механиката на деформируемите тела възможните движения са тези, които задоволяват външните и вътрешните ограничения, наложени на тялото.

Външните връзки са условията за закрепване, вътрешните връзки са условието за непрекъснатост.

За задоволяване на вътрешните връзки е необходимо приращенията на преместване да бъдат непрекъснати еднозначни функции на координатите.

В този си вид принципът на Лагранж е валиден за всякакви деформируеми тела.

За еластичните тела беше установено, че

(41)

Тогава (40), като се вземе предвид (41), ще бъде записано като

(42)

където W е специфичният щам, и

Тук U е изменението на общата потенциална енергия на тялото.

Нека заместим израз (43) в (42) и тъй като силите не се променят, записваме, че

(44)

Уравнение (44) е вариационното уравнение на Лагранж.

Ако силите са консервативни, тогава първите два интеграла представляват промяната в потенциала на външните сили по време на прехода от недеформирано състояние към деформирано.

Потенциал на външни сили

(45)

където - възможната работа на външните сили по време на прехода от недеформирано към деформирано състояние се изчислява при допускането, че външните сили остават непроменени. Обща енергия на системата

Тогава, като се вземат предвид изразите (44) - (46), принципът на Лагранж ще бъде написан:

това означава, че промяната на общата енергия на системата в равновесното положение при възможни премествания е нула. Израз (47) е вариационното уравнение на Лагранж в случай на действие само на консервативни сили.

В стабилно равновесно положение общата енергия P е минимална,

Принципът на Лагранж е принципът на минималната енергия.

2 Принципът на възможните състояния (принципът на Кастилано)

Възможни състояния ще наричаме тези, които са в съответствие с външни и вътрешни сили, тоест тези, които удовлетворяват уравненията на равновесието.

Уравнение (57) описва принципа на Кастиляно. При възможни промени в напрегнатото състояние на тялото, промяната е равна на интеграла върху тази част от повърхността на тялото, върху която са посочени премествания от продуктите на възможни повърхностни сили и премествания.

3 Връзка между точното решение и решенията, получени въз основа на принципите на Лагранж и Кастиляно

Въз основа на принципа на Лагранж, избирайки някои функции или набор от тях и тъй като наборът от функции е ограничен, получаваме по-малък брой степени на свобода на системата, като по този начин намаляваме степените на свобода на дизайна. Тоест в енергиен план решението се оказва по-твърдо от точното.

Ако вземем интегрални характеристики, тогава приблизителното решение е по-твърдо интегрално.

При решаване на задачата за натоварване на просто поддържана греда с напречна сила в средата на обхвата (фиг. 1), приблизителното решение ще даде по-малко изместване под силата, отколкото при точното решение.

точно решение

При решаване на същия проблем с помощта на вариационния принцип на Кастиляно, тъй като условието за непрекъснатост не е изпълнено, системата получава по-голяма свобода, отколкото в действителност.

Точното решение се намира между тези два приблизителни метода (Лагранж и Кастиляно). Понякога разликата между получените решения е малка.

5. Списък на използваната литература

1. Александров А.В., Потапов В.Д. Основи на теорията на еластичността и пластичността. 400 с. Висше училище.1990г.

2. Веретимус Д.К. Основи на теорията на еластичността. Част I. Теория на напреженията. Методическо ръководство за курса "Основи на теорията на еластичността и пластичността". 2005.-37с.

Веретимус Д.К. Основи на теорията на еластичността Част II Теория на деформациите. Връзка между напрегнати и деформирани състояния.Методическо ръководство по дисциплината “Основи на теорията на еластичността и пластичността”, 2005.-53 с.

Веретимус Д.К. Основи на теорията на еластичността. Част III. Основни уравнения на теорията на еластичността. Видове задачи по теория на еластичността. Методическо ръководство по курса „Основи на теорията на еластичността и пластичността”, 2005.-45 стр.

В тела, които са в покой или се движат под въздействието на натоварвания.

1. Проблемът на теорията на еластичността

Задачата на тази теория е да напише математически уравнения, чието решение ни позволява да отговорим на следните въпроси:

Какви ще бъдат деформациите на конкретно тяло, ако върху него се приложи натоварване с определена величина в известни точки на натоварване?
Какво ще бъде напрежението в тялото?

Въпросът дали тялото ще се срути или ще издържи на тези натоварвания е тясно свързан с теорията на еластичността, но, строго погледнато, не е от нейната компетентност.

Могат да се дадат много примери - от определяне на деформациите и напреженията в натоварена греда върху опори, до изчисляване на същите параметри в тялото на самолет, ракета, подводница, в колелото на карета, в бронята на танк при удар от снаряд, в планинска верига при полагане на навес, в рамката на висока сграда и т.н.

В случай на инженерни проблеми напрежението и деформацията в конструкциите се изчисляват с помощта на опростени теории, логично базирани на теорията на еластичността. Такива теории включват: здравина на материалите, чиято задача е да изчислява пръти и греди, както и да оценява напреженията, възникващи в зоните на контактно взаимодействие твърди вещества; строителна механика- изчисляване на основни системи (например мостове) и теория на черупката- самостоятелен и добре развит клон на науката за деформацията и напрежението, обект на изследване на който са тънкостенните черупки - цилиндрични, конични, сферични и сложни форми.

2. Основни понятия на теорията на еластичността

Основните понятия на теорията на еластичността са напрежението, действащо върху малки равнини, които могат да бъдат мислено начертани в тялото през дадена точка P, деформации на малка околност на точка P и изместване на самата точка P. По-точно, механичното напрежение въвеждат се тензор, тензор на малки деформации и вектор на преместване u i.Кратка нотация, къде са индексите i, jвземете стойности 1, 2, 3 (или x, y, z)трябва да се разбира като матрица във формата:

Кратката нотация за тензор трябва да се разбира по подобен начин.

Ако физическа точка на тялото M, поради деформация, е заела нова позиция в пространството P", тогава векторът на преместване е вектор с компоненти (u x, u y, u z),или накратко u i.В теорията на малките деформации компонентите u iи се считат за малки количества (стриктно погледнато, безкрайно малки). Компоненти на тензор, който също се нарича тензор на деформация Кошиили линеен тензор на деформацияи вектор u iсвързани чрез зависимости:

От последния запис е ясно, че , Следователно тензорът на деформацията е симетричен по дефиниция.

Ако еластичното тяло е в равновесие под действието на външни сили (т.е. скоростите на всички негови точки са равни на нула), тогава всяка част от тялото, която може да бъде психически изолирана от него, също е в равновесие. От тялото се откроява безкрайно малък правоъгълен паралелепипед, чиито краища са успоредни на координатните равнини на декартовата система. От условието за равновесие на паралелепипед с размерите на ръбовете dx, dy, dz,Като разгледаме условията за равновесие на силите в проекциите, можем да получим:

По същия начин се получават уравнения на равновесие, изразяващи равенството на нула на главния момент на всички сили, действащи върху паралелепипеда, намалени до формата:

Това равенство означава, че тензорът на напрежението е симетричен тензор и броят на неизвестните компоненти на тензора на напрежението е намален до 6. Има само три уравнения на равновесие, т.е. уравненията на статиката не са достатъчни за решаване на проблема. Решението е да се изразят напреженията по отношение на деформации, като се използват уравненията на закона на Хук и след това да се изразят деформациите по отношение на премествания u iкато използвате формулите на Коши и заменете резултата в уравнението на равновесието. Това създава три диференциални равновесни уравнения за три неизвестни функции u x u y u z,тези. броят на неизвестните ще съответства на броя на уравненията. Тези уравнения се наричат уравнения на Навие-Коши.

3. Гранични условия

Решаването на проблеми в теорията на еластичността се свежда до интегриране на система от частични диференциални уравнения, които определят поведението на еластично тяло във вътрешни точки. Към тези уравнения се добавят условия на повърхността, ограничаваща тялото. Тези условия определят назначенията или на външни повърхностни сили, или на изместване на точки на повърхността на тялото. В зависимост от това обикновено се формулира един от трите вида гранични задачи.

Първа гранична задача- кинематичен. Компонентите на изместване се намират в обема на тялото и придобиват определени стойности на повърхността. В състоянието на повърхността на тялото, уравненията на повърхността и стойностите на компонентите на преместванията върху нея са посочени по този начин.

Втора гранична задача- статичен. В този случай не се налагат ограничения върху движението на повърхността на тялото и се уточняват повърхностните уравнения, косинусите на посоката на нормалата към повърхността и стойностите на компонентите на повърхностните натоварвания.

В случай, че повърхността на тялото съвпада с координатните равнини, граничните условия могат да бъдат формулирани директно в напрежения. Тогава е достатъчно да посочите уравнението на повърхността и да зададете стойностите на компонентите на напрежението върху нея.

Трета гранична задача- смесени. В този случай на една част от повърхността на тялото се задават кинематични условия, а на друга - статични условия.

Тези три задачи не изчерпват разнообразието от гранични условия. Например, върху определена площ на повърхността може да не са посочени всичките три компонента на изместване или компоненти на повърхностно натоварване.

4. Вижте също

Източници

Тимошенко С. П., Гудиър Дж.Теория на еластичността. М.: Наука, 1979. 560 с.

ТЕОРИЯ ЗА ЕЛАСТИЧНОСТТА– дял от механиката на непрекъснатата среда, който изучава преместванията, деформациите и напреженията на телата в покой или в движение под въздействието на натоварвания. Целта на тази теория е да изведе математически уравнения, чието решение ни позволява да отговорим на следните въпроси: какви ще бъдат деформациите на това конкретно тяло, ако върху него се приложи товар с определена величина на известни места? Какво ще бъде напрежението в тялото? Въпросът дали тялото ще се срути или ще издържи на тези натоварвания е тясно свързан с теорията за еластичността, но, строго погледнато, не е в обхвата на тази теория.

Броят на възможните примери е неограничен - от определяне на деформациите и напреженията в греда, лежаща върху опори и натоварена със сили, до изчисляване на същите стойности в конструкцията на самолет, кораб, подводница, в колело на карета, в броня при удар от снаряд, в планинска верига при преминаване през навес, в рамката на висока сграда и др. Тук трябва да се направи едно предупреждение: структурите, състоящи се от тънкостенни елементи, се изчисляват с помощта на опростени теории, логично базирани на теорията на еластичността; такива теории включват: теорията на устойчивостта на материалите към натоварвания (известният „съпротивителен материал“), чиято задача е главно да изчислява пръти и греди; строителна механика – изчисляване на прътови системи (например мостове); и накрая, теорията на черупките е по същество самостоятелна и много силно развита област на науката за деформациите и напреженията, обект на изследване на които са най-важните конструктивни елементи - тънкостенни черупки - цилиндрични, конични, сфероидни и имащи по-сложни форми. Следователно в теорията на еластичността обикновено се разглеждат тела, чиито основни размери не се различават твърде много. Така се разглежда еластично тяло с дадена форма, върху което действат известни сили.

Основните понятия на теорията на еластичността са напреженията, действащи върху малки площи, които могат да бъдат мислено начертани в тялото през дадена точка М, деформации на малка околност на точка Ми преместване на самата точка М. По-точно, въвеждат се тензори на напрежение s ij, тензор на малка деформация e ijи вектор на изместване u i.

Кратко обозначение s ij, където индексите аз, йвземете стойности 1, 2, 3 трябва да се разбира като матрица от формата:

Кратката нотация за тензора e трябва да се разбира по подобен начин ij.

Ако физическа точка на тялото Мпоради деформация зае нова позиция в пространството М´, тогава векторът на изместване е вектор с компоненти ( u x u y u z), или накратко u i. В теорията на малките деформации компонентите u iи д азсе считат за малки количества (стриктно погледнато, безкрайно малки). Компоненти на тензора e ijи вектор u ijса свързани с формули на Коши, които имат формата:

Ясно е, че e xy= д yxи, най-общо казано, напр ij= д джи, така че тензорът на деформацията е симетричен по дефиниция.

Ако еластичното тяло е в равновесие под действието на външни сили (т.е. скоростите на всички негови точки са равни на нула), тогава всяка част от тялото, която може да бъде психически изолирана от него, също е в равновесие. Малък (строго погледнато, безкрайно малък) правоъгълен паралелепипед се откроява от тялото, чиито краища са успоредни на координатните равнини на декартовата система Oxyz(Фиг. 1).

Нека ръбовете на паралелепипеда имат дължини dx, dy, дзсъответно (тук, както обикновено dxима диференциал хи т.н.). Според теорията на напрежението компонентите на тензора на напрежението действат върху лицата на паралелепипед, които се означават:

на ръба OADG:с xx, с xy, с xz

на ръба OABC:с yx, с yy, с yz

на ръба ДАБЕ:с zx, с зи, с zz

в този случай компоненти със същите индекси (например s xx) действат перпендикулярно на лицето, а с различни индекси - в равнината на площадката.

На противоположните страни стойностите на едни и същи компоненти на тензора на напрежението са малко по-различни, това се дължи на факта, че те са функции на координати и се променят от точка на точка (винаги, освен в известните най-прости случаи) и малката промяна е свързана с малките размери на паралелепипеда, така че можем да предположим, че ако на ръба OABCсе прилага напрежение s yy, тогава на ръба GDEFсе прилага напрежение s yy+ds yyи малка стойност на ds yyточно поради своята малка част, тя може да бъде определена с помощта на разширение в редица на Тейлър:

(тук се използват частни производни, тъй като компонентите на тензора на напрежението зависят от х, г, z).

По същия начин ударенията върху всички лица могат да бъдат изразени чрез s ijи ds ij. След това, за да преминете от напрежения към сили, трябва да умножите големината на напрежението по площта на зоната, върху която действа (например s yy+ds yyумножете по dx dz). Когато се определят всички сили, действащи върху паралелепипеда, е възможно, както се прави в статиката, да се запише уравнението на равновесието на тялото, докато във всички уравнения за главния вектор ще останат само членове с производни, тъй като напреженията самите себе си взаимно се отменят и факторите dx dy dzса намалени и в резултат на това

По същия начин се получават уравнения на равновесие, изразяващи равенството на нула на главния момент на всички сили, действащи върху паралелепипеда, които се свеждат до вида:

Тези равенства означават, че тензорът на напрежението е симетричен тензор. Така за 6 неизвестни компонента s ijима три равновесни уравнения, т.е. уравненията на статиката не са достатъчни за решаване на проблема. Изходът е да се изразят напреженията s ijчрез деформации e ijизползвайки уравненията на закона на Хук и след това деформацията e ijизразяват чрез движения u iкато използвате формулите на Коши и заменете резултата в уравненията на равновесието. Това създава три диференциални равновесни уравнения за три неизвестни функции u x u y u z, т.е. броят на неизвестните е равен на броя на уравненията. Тези уравнения се наричат уравнения на Ламе

масовите сили (тегло и т.н.) не се вземат предвид

D – оператор на Лаплас, т.е

Сега трябва да зададете гранични условия на повърхността на тялото;

Основните видове тези състояния са следните:

1. На известна част от повърхността на тялото S 1 са посочени премествания, т.е. векторът на изместване е равен на известния вектор с компоненти ( f x; f y; f z ):

u x = f(xyz)

u y= f(xyz)

u z = f(xyz)

(f x, f y, f z– известни координатни функции)

2. На останалата повърхност СПосочени са 2 повърхностни сили. Това означава, че разпределението на напрежението вътре в тялото е такова, че стойностите на напрежението в непосредствена близост до повърхността и в границата, на повърхността във всяка елементарна зона, създават вектор на напрежение, равен на известния вектор на външно натоварване с компоненти ( Fx ;Fy ; Fz) повърхностни сили. Математически се записва така: ако в точка Аповърхност, единичният нормален вектор към тази повърхност има компонентите n x, n y, n zтогава в тази точка равенствата трябва да бъдат изпълнени по отношение на (неизвестните) компоненти s ij:д ij, тогава за три неизвестни получаваме шест уравнения, тоест свръхопределена система. Тази система ще има решение само ако са изпълнени допълнителни условия относно e ij. Тези условия са уравненията на съвместимостта.

Тези уравнения често се наричат условия на непрекъснатост, което означава, че те осигуряват непрекъснатостта на тялото след деформация. Този израз е образен, но неточен: тези условия осигуряват съществуването на непрекъснато поле от премествания, ако приемем компонентите на деформациите (или напреженията) като неизвестни. Неизпълнението на тези условия не води до нарушаване на непрекъснатостта, а до липса на решение на проблема.

По този начин теорията на еластичността предоставя диференциални уравнения и гранични условия, които позволяват да се формулират гранични задачи, чието решение предоставя пълна информация за разпределението на напреженията, деформациите и преместванията в разглежданите тела. Методите за решаване на такива проблеми са много сложни и най-добри резултати се получават чрез комбиниране на аналитични методи с числени с помощта на мощни компютри.

Владимир Кузнецов

ОСНОВИ НА ТЕОРИЯТА ЗА ЕЛАСТИЧНОСТТА

ОСЕСИМЕТРИЧНИ ПРОБЛЕМИ НА ТЕОРИЯТА НА ЕЛАСТИЧНОСТТА

ОСНОВИ НА ТЕОРИЯТА ЗА ЕЛАСТИЧНОСТТА

Основни положения, допускания и означения. Уравнения на равновесие за елементарен паралелепипед и елементарен тетраедър. Нормални и срязващи напрежения по наклонена платформа

Определяне на основните напрежения и най-големите тангенциални напрежения в точка. Напрежения по октаедрични области Понятие за премествания. Зависимости между деформации и премествания. Относително

линейна деформация в произволна посока Уравнения на деформационна съвместимост. Закон на Хук за изотропно тяло Равнинна задача в правоъгълни координатиРавнинна задача в полярни координати

Възможни решения на проблеми в теорията на еластичността. Решения на проблеми при премествания и напрежения. Наличие на температурно поле. Кратки изводи по раздела ПРОСТИ ОСЕСИМЕТРИЧНИ ЗАДАЧИ Уравнения в цилиндрични координати Уравнения в цилиндрични координати (продължение)

Деформация на дебелостенен сферичен съд Съсредоточена сила, действаща върху равнина

Специални случаи на натоварване на еластично полупространство: равномерно натоварване върху площта на окръжност, натоварване върху площта на окръжност над „полукълбо“, обратната задача за натискане на абсолютно твърда топка в еластична полусфера пространство. Проблемът с еластичния колапс на топките ДЕБЕЛОСТЕННИ ТРЪБИ

Главна информация. Уравнение на равновесие за тръбен елемент Изследване на напреженията под налягане върху една от веригите. Условия на якост при еластична деформация Напрежения в композитни тръби. Концепцията за изчисляване на многослойни тръби Примери за изчисления

ПЛОЧИ, МЕМБРАНИ Основни определения и хипотези

Диференциално уравнение на извитата средна повърхност на плоча в правоъгълни координати Цилиндрично и сферично огъване на плоча

Огъващи моменти при осесиметрично огъване на кръгла плоча. Диференциално уравнение на извитата средна повърхност на кръгла плоча.Гранични условия в кръгли плочи. Най-големите напрежения и деформации. Условия на якост. Температурни напрежения в плочите

Определяне на силите в мембраните. Верижни сили и напрежения. Приблизително определяне на деформации и напрежения в кръгли мембрани Примери за изчисления Примери за изчисления (продължение)

1.1 Основи, предположения и обозначения

Теорията на еластичността има за цел да изследва аналитично напрегнато-деформираното състояние на еластично тяло. Решенията, получени с помощта на предположения за съпротивление, могат да бъдат проверени с помощта на теорията на еластичността

материали и са установени границите на приложимост на тези решения. Понякога се наричат раздели на теорията на еластичността, в които, както при якостта на материалите, се разглежда въпросът за годността на дадена част, но с помощта на доста сложен математически апарат (изчисляване на плочи, черупки, масиви). приложната теория на еластичността.

Тази глава очертава основните концепции на математическата линейна теория на еластичността. Прилагане на математиката към описанието физични явленияизисква тяхното схематизиране. В математическата теория на еластичността проблемите се решават с възможно най-малко допускания, което усложнява математическите техники, използвани за решението. В линейната теория на еластичността съществуването на линейна зависимостмежду компонентите на напрежение и деформация. За редица материали (каучук, някои видове чугун) такава зависимост не може да се приеме дори при малки деформации: диаграмата σ - ε в диапазона на еластичност има едно и също очертание както при натоварване, така и при разтоварване, но и в двата случая тя е криволинейна. При изучаването на такива материали е необходимо да се използват зависимостите на нелинейната теория на еластичността.

IN Математическата линейна теория на еластичността се основава на следните предположения:

1. На непрекъснатостта (непрекъснатостта) на средата. В този случай атомната структура на веществото или присъствиетовсякакви кухини не се вземат предвид.

2. За естественото състояние, въз основа на което не се отчита първоначалното напрегнато (деформирано) състояние на тялото, възникнало преди прилагането на силови въздействия, т.е. приема се, че в момента на натоварване на тялото, деформациите и напреженията във всяка точка са равни на нула. При наличие на начални напрежения това предположение ще бъде валидно само ако зависимостите на линейната теория на еластичността могат да се приложат към резултантните напрежения (сумата от началните и тези, произтичащи от влиянията).

3. За хомогенността, въз основа на която се приема, че съставът на тялото е еднакъв във всички точки. Ако по отношение на металите това предположение не дава големи грешки, тогава по отношение на бетона при разглеждане на малки обеми може да доведе до значителни грешки.

4. На сферичната изотропия, въз основа на която се смята, чеМеханичните свойства на материала са еднакви във всички посоки. Металните кристали нямат това свойство, но за метала като цяло, състоящ се от голямо числомалки кристали, можем да приемем, че тази хипотеза е валидна. За материали, които имат различни механични свойства в различни посоки, като ламинирани пластмаси, е разработена теория за еластичността на ортотропни и анизотропни материали.

5. На идеална еластичност, въз основа на която се предполага пълното изчезване на деформацията след отстраняване на товара. Както е известно, остатъчна деформация възниква в реални тела при всяко натоварване. Следователно предположението

6. За линейната връзка между компонентите на деформациите инапрежения.

7. За малката деформация, въз основа на която се приема, че относителните линейни и ъглови деформации са малки в сравнение с единица. За материали като каучук или елементи като винтови пружини е разработена теория за големи еластични деформации.

При решаване на задачи от теорията на еластичността използваме теоремата за уникалността на решението: ако дадената външна повърхност и обемните сили са в равновесие, те съответстват на една единствена система от напрежения и премествания.Твърдението за уникалността на решението е валидно само ако е валидно предположението за естественото състояние на тялото (в противен случай са възможни безкраен брой решения) и предположението за линейна връзка между деформациите и външните сили.

При решаването на проблеми в теорията на еластичността често се използва принципът на Saint-Venant: Ако външните сили, приложени върху малка площ от еластично тяло, се заменят със статично еквивалентна система от сили, действащи върху същата област (със същия главен вектор и същия основен момент), тогава тази замяна ще доведе само до промяна в локални деформации.

В точки, достатъчно отдалечени от местата, където се прилагат външни натоварвания, напреженията зависят малко от метода на тяхното прилагане. Натоварването, което в хода на съпротивлението на материалите беше схематично изразено на базата на принципа на Сен-Венан под формата на сила или концентриран момент, всъщност представлява нормални и тангенциални напрежения, разпределени по един или друг начин върху определена площ от повърхността на тялото. В този случай една и съща сила или двойка сили може да съответства на различни разпределения на напрежението. Въз основа на принципа на Сен-Венан можем да предположим, че промяната на силите върху участък от повърхността на тялото почти няма ефект върху напреженията в точки, разположени на достатъчно голямо разстояние от мястото, където се прилагат тези сили (в сравнение с линейните размери на натовареното сечение).

Позицията на изследваната област, избрана в тялото (фиг. 1), се определя от насочващите косинуси на нормалата N към зоната в избраната система от правоъгълни координатни оси x, y и z.

Ако P е резултантната на вътрешните сили, действащи по протежение на елементарна област, изолирана в точка A, тогава общото напрежение p N в тази точка по продължение на област с нормален N се определя като границата на съотношението в

следната форма:

Вектор p N може да се разложи в пространството на три взаимно перпендикулярни компоненти.

2. На компонентите σ N , τ N s и τ N t в посоките, нормални към площадката (нормално напрежение) и две взаимно перпендикулярни оси s и t (фиг. 1, b), лежащи в равнината на площадката (тангенциална стресове). Съгласно фиг. 1, б

Ако сечението или областта на тялото е успоредна на една от координатните равнини, например y0z (фиг. 2), тогава нормалата към тази област ще бъде третата координатна ос x и компонентите на напрежението ще бъдат обозначени като σ x, τ xy и τ xz.

Нормалното напрежение е положително, ако е на опън, и отрицателно, ако е на натиск. Знакът на напрежението на срязване се определя, като се използва следното правило: ако положително (на опън) нормално напрежение по дължината на площадката дава положителна проекция, тогава тангенциалната

напрежението по протежение на същата област се счита за положително, при условие че дава и положителна проекция върху съответната ос; ако нормалното напрежение на опън дава отрицателна проекция, тогава положителното напрежение на срязване също трябва да дава отрицателна проекция на съответната ос.

На фиг. 3, например, всички компоненти на напрежението, действащи по стените на елементарен паралелепипед, съвпадащи с координатните равнини, са положителни.

За да се определи състоянието на напрежение в точка на еластично тяло, е необходимо да се знае общото напрежение p N върху три взаимно перпендикулярни области, минаващи през тази точка. Тъй като всяко общо напрежение може да се разложи на три компонента, състоянието на напрежение ще бъде определено, ако са известни девет компонента на напрежение. Тези компоненти могат да бъдат записани като матрица

наречена матрица на компонентите на тензора на напрежението в точка.

Всяка хоризонтална линия на матрицата съдържа три компонента на напрежение, действащи върху една област, тъй като първите икони (името на нормалата) са еднакви. Всяка вертикална колона на тензора съдържа три напрежения, успоредни на една и съща ос, тъй като техните втори икони (името на оста, успоредна на която действа напрежението) са еднакви.

1.2 Уравнения на равновесие за елементарен паралелепипед

и елементарен тетраедър

Нека изберем елементарен паралелепипед с размери на ръбовете dx, dy и dz в изследваната точка A (с координати x, y и z) на напрегнато еластично тяло от три взаимно перпендикулярни двойки равнини (фиг. 2). По всяка от трите взаимно перпендикулярни стени, съседни на точка А (най-близо до координатните равнини), ще действат три компоненти на напрежението - нормална и две тангенциални. Приемаме, че по стените, съседни на точка А, те са положителни.

При преместване от лицето, преминаващо през точка А, към успоредното лице, напреженията се променят и получават увеличения. Например, ако по CAD лицето, минаващо през точка A, компонентите на напрежението σ x = f 1 (x,y,z), τ xy =f 2 (x,y,z,), τ xz =f 3 (x , y,z,), тогава по паралелното лице, поради нарастването само на една координата x при преминаване от едно лице към друго, ще действа

компоненти на напрежението Възможно е да се определят напреженията върху всички страни на елементарен паралелепипед, както е показано на фиг. 3.

В допълнение към напреженията, приложени към лицата на елементарен паралелепипед, върху него действат обемни сили: сили на тегло, инерционни сили. Нека означим проекциите на тези сили на единица обем върху координатните оси с X, Y и Z. Ако приравним към нула сумата от проекциите върху оста x на всички нормални, тангенциални и обемни сили,

действащ върху елементарен паралелепипед, то след редукция с произведението dxdydz получаваме уравнението

След като съставихме подобни уравнения за проекциите на силите върху осите y и z, ще напишем три диференциални уравнения за равновесието на елементарен паралелепипед, получени от Коши,

Когато размерите на паралелепипеда се намалят до нула, той се превръща в точка, а σ и τ представляват компонентите на напрежението по три взаимно перпендикулярни области, минаващи през точка А.

Ако приравним към нула сумата от моментите на всички сили, действащи върху елементарен паралелепипед спрямо оста x c, успоредна на оста x и минаваща през неговия център на тежестта, получаваме уравнението

или, като се вземе предвид факта, че вторият и четвъртият член на уравнението по-висок редмалко в сравнение с другите, след намаление с dxdydz

τ yz - τ zy = 0 или τ yz = τ zy.

След като съставихме подобни уравнения на моменти спрямо централните оси y c и z c , получаваме три уравнения за закона за сдвояване на тангенциалните напрежения

τ xy = τ yx, τ yx = τ xy, τ zx = τ xz. (1.3)

Този закон е формулиран, както следва:тангенциалните напрежения, действащи по взаимно перпендикулярни области и насочени перпендикулярно на линията на пресичане на зоните, са равни по големина и еднакви по знак.

По този начин, от деветте компонента на напрежението на матрицата на тензора T σ, шест са по двойки равни един на друг и за да се определи състоянието на напрежение в точка, е достатъчно да се намерят само следните шест компонента на напрежение:

Но компилираните условия на равновесие ни дадоха само три уравнения (1.2), от които шест неизвестни не могат да бъдат намерени. Така пряката задача за определяне на напрегнатото състояние в дадена точка в общия случай е статически неопределима. За да се разкрие тази статична неопределеност, са необходими допълнителни геометрични и физически зависимости.

Нека разчленим елементарен паралелепипед в точка А с равнина, наклонена към лицата му; нека нормалата N към тази равнина има насочващи косинуси l, m и n. Получената геометрична фигура (фиг. 4) е пирамида с триъгълна основа - елементарен тетраедър. Ще приемем, че точка А съвпада с началото на координатите, а трите взаимно перпендикулярни стени на тетраедъра съвпадат с координатните равнини.

Ще бъдат разгледани компонентите на напрежението, действащи по тези стени на тетраедъра

положителен. Те са показани на фиг. 4. Нека означим с , и проекциите на общото напрежение p N, действащо по протежение на наклонената страна на тетраедъра BCD върху осите x, y и z. Нека означим площта на наклоненото лице BCD като dF. Тогава площта на лицето АВС ще бъде dFп, площта на лицето ACD - dFl и лицето АДВ - dFт.

Нека създадем уравнение на равновесие за тетраедър, като проектираме всички сили, действащи по протежение на лицата му върху оста x; проекцията на силата на тялото не е включена в уравнението на проекцията, така че

тъй като представлява количество от по-висок порядък на малка стойност в сравнение с проекциите на повърхностните сили:

След като съставихме уравнения за проекцията на силите, действащи върху тетраедъра по осите y и z, получаваме още две подобни уравнения. В резултат на това ще имаме три уравнения на равновесие за елементарен тетраедър

Нека разделим взаимно пространствено тяло с произволна форма на система перпендикулярни равнини xOy, yOz и xOz (фиг. 5) в редица елементарни паралелепипеди. В същото време на повърхността на тялото се образуват елементарни елементи.

тетраедри (криволинейните участъци от повърхността, поради тяхната малка площ, могат да бъдат заменени с равнини). В този случай p N ще представлява натоварването на повърхността, а уравненията (1.4) ще свързват това натоварване с напреженията σ и τ в тялото, т.е. те ще представляват граничните условия на задачата на теорията на еластичността. Условията, определени от тези уравнения, се наричат условия на повърхността.

Трябва да се отбележи, че в теорията на еластичността външните натоварвания се представят чрез нормални и тангенциални напрежения, приложени по някакъв закон към области, съвпадащи с повърхността на тялото.

1.3 Нормални и срязващи напрежения по наклонен склон

сайт

Нека разгледаме елементарен тетраедър ABCD, три от чиито стени са успоредни на координатните равнини, а нормалата N към четвъртата стена сключва ъгли с координатните оси, косинусите на които са равни на l, m и n (фиг. 6). ). Ще приемем, че са дадени нормалните и тангенциалните компоненти на напрежение, действащи по протежение на области, лежащи в координатните равнини, и ще определим напреженията върху зоната BCD. Нека изберем нова система от правоъгълни координатни оси x 1, y 1 и z 1, така че оста x 1 да съвпада с нормалното N,

Състоянието на напрежение-деформация се определя, ако се открият компонентите на тензора на напрежението () и вектора на изместване, девет функции.

Основни уравнения на теорията на еластичността

За да намерите тези девет функции, трябва да запишете основните уравнения на теорията на еластичността, или:

Диференциал на Коши

където са компонентите на тензора на линейната част на деформациите на Коши;

Компоненти на тензора на производната на радиалното изместване.

Диференциални уравнения на равновесие

къде са компонентите на тензора на напрежението; - проекция на силата на тялото върху оста j.

Закон на Хук за линейно еластично изотропно тяло

Горните уравнения трябва да отговарят на зависимостите на Saint-Venant

В теорията на еластичността проблемът е решен, ако са изпълнени всички основни уравнения.

Видове задачи в теорията на еластичността

Първи тип. Силите са дадени на повърхността на тялото. Гранични условия

Втори вид. Задачи, при които се посочва преместване на повърхността на тялото. Гранични условия

Преки и обратни задачи на теорията на еластичността

Уравнения на теорията на еластичността при премествания (уравнения на Ламе)

За да определим уравненията на теорията на еластичността при премествания, записваме: уравнения на диференциално равновесие (18) Закон на Хук за линейно еластично изотропно тяло (19)

Ако вземем предвид, че деформациите се изразяват чрез премествания (17), пишем:

Замествайки израз (22) в първото уравнение на равенствата (19), получаваме тези нормални напрежения

Имайте предвид, че писането на itz в този случай не предполага сумиране върху i.

Замествайки израз (23) във второто уравнение на равенствата (19), получаваме тези напрежения на срязване

Нека запишем уравненията на равновесието (18) в разширен вид за j = 1

Замествайки изрази за нормални (24) и тангенциални (25) напрежения в уравнение (26), получаваме

където l е константата на Ламе, която се определя от израза:

Нека заместим израз (28) в уравнение (27) и напишем,

където се определя от израз (22), или в разширен вид

Нека разделим израз (29) на G и добавим подобни членове и ще получим първото уравнение на Ламе:

където е операторът на Лаплас (хармоничен оператор), който се дефинира като

По същия начин можете да получите:

Уравнения (30) и (32) могат да бъдат записани, както следва:

Уравнения (33) или (30) и (32) са уравнения на Lamé. Ако обемните сили са нула или постоянни, тогава

Освен това, записът в този случай не предполага сумиране върху i. Тук

или, като се вземе предвид (31)

Замествайки (22) в (34) и извършвайки трансформации, получаваме

и следователно

където е функция, която удовлетворява това равенство. Ако

следователно f е хармонична функция. Това означава, че обемната деформация също е хармонична функция.

Ако приемем, че предишното предположение е вярно, ние вземаме хармоничния оператор от i-тия ред на уравнението на Ламе

Ако обемните сили са нула или постоянни, тогава компонентите на изместване са бихармонични функции.

Известни са различни форми на представяне на бихармонични функции чрез хармонични (задоволяващи уравненията на Ламе).

където k = 1,2,3. освен това