Питагоровата теорема и нейната обратна теорема. Проект за урок по математика "теорема, обратна на теоремата на Питагор." Решаване на практически задачи с помощта на Питагоровата теорема
Цели на урока:
общо образование:
- тествайте теоретичните знания на учениците (свойства на правоъгълен триъгълник, питагорова теорема), способността да ги използвате при решаване на проблеми;
- След като създадете проблемна ситуация, насочете учениците към „откриването“ на обратната теорема на Питагор.
развитие:
- развитие на умения за прилагане на теоретичните знания на практика;
- развиване на умение за формулиране на изводи от наблюдения;
- развитие на паметта, вниманието, наблюдението:
- развитие на мотивацията за учене чрез емоционално удовлетворение от откритията, чрез въвеждане на елементи от историята на развитието на математическите концепции.
образователен:
- да култивира устойчив интерес към темата чрез изучаване на жизнената дейност на Питагор;
- насърчаване на взаимопомощ и обективна оценка на знанията на съучениците чрез взаимно изпитване.
Формат на урока: клас-урок.
План на урока:
- Организиране на времето.
- Проверка на домашните. Актуализиране на знанията.
- Решаване на практически задачи с помощта на Питагоровата теорема.
- Нова тема.
- Първично затвърждаване на знанията.
- Домашна работа.
- Обобщение на урока.
- Самостоятелна работа (използване на отделни карти с отгатване на афоризмите на Питагор).
По време на часовете.
Организиране на времето.
Проверка на домашните. Актуализиране на знанията.
Учител:Каква задача свършихте у дома?
Ученици:Използвайки две дадени страни на правоъгълен триъгълник, намерете третата страна и представете отговорите в таблична форма. Повторете свойствата на ромб и правоъгълник. Повторете какво се нарича условие и какво е заключението на теоремата. Подгответе доклади за живота и работата на Питагор. Донесете въже със завързани 12 възела.
Учител:Проверете отговорите на домашното си с помощта на таблицата
(данните са маркирани в черно, отговорите са в червено).
Учител: Твърденията са написани на дъската. Ако сте съгласни с тях, поставете „+“ на листчетата до съответния номер на въпроса; ако не сте съгласни, поставете „–“.
Твърденията са предварително написани на дъската.
- Хипотенузата е по-дълга от катета.
- Сборът от острите ъгли на правоъгълен триъгълник е 180 0.
- Площ на правоъгълен триъгълник с крака АИ Vизчислено по формулата S=ab/2.
- Теоремата на Питагор е вярна за всички равнобедрени триъгълници.
- В правоъгълен триъгълник катетът срещу ъгъла 30 0 е равен на половината от хипотенузата.
- Сборът от квадратите на катетите е равен на квадрата на хипотенузата.
- Квадратът на катета е равен на разликата между квадратите на хипотенузата и втория катет.
- Една страна на триъгълник е равна на сбора от другите две страни.
Работата се проверява чрез взаимна проверка. Обсъждат се твърдения, предизвикали полемика.
Ключ към теоретичните въпроси.
Учениците се оценяват взаимно по следната система:
8 верни отговора „5”;
6-7 верни отговора “4”;
4-5 верни отговора „3”;
по-малко от 4 верни отговора „2“.
Учител:За какво говорихме в миналия урок?
Студент:За Питагор и неговата теорема.
Учител:Изложете Питагоровата теорема. (Няколко ученика четат формулировката, в този момент 2-3 ученици я доказват на дъската, 6 ученици на първите бюра на листове).
Математическите формули са написани на карти върху магнитна дъска. Изберете тези, които отразяват смисъла на Питагоровата теорема, където А И V – крака, с – хипотенуза.
| 1) c 2 = a 2 + b 2 | 2) c = a + b | 3) a 2 = от 2 – в 2 |
| 4) с 2 = a 2 – в 2 | 5) in 2 = c 2 – a 2 | 6) a 2 = c 2 + c 2 |
Докато учениците, които доказват теоремата на дъската и на полето не са готови, думата се дава на подготвилите доклади за живота и делото на Питагор.
Ученици, работещи на полето, подават листчета и слушат свидетелствата на тези, които са работили на дъската.
Решаване на практически задачи с помощта на Питагоровата теорема.
Учител:Предлагам ви практически задачи с помощта на изучаваната теорема. Първо ще посетим гората, след бурята, а след това в крайградски район.
Проблем 1. След бурята смърчът се счупи. Височината на останалата част е 4,2 м. Разстоянието от основата до падналия връх е 5,6 м. Намерете височината на смърча.
Проблем 2. Височината на къщата е 4,4 м. Колко дълга трябва да бъде направена стълбата, за да не пречи на моравата и да стига до покрива на къщата?
Нова тема.
Учител:(звучи музика)Затворете очи, за няколко минути ще се потопим в историята. Ние сме с вас в Древен Египет. Тук в корабостроителниците египтяните строят прочутите си кораби. Но геодезистите измерват площи от земя, чиито граници са били отнесени след наводнението на Нил. Строителите строят грандиозни пирамиди, които и до днес ни удивляват с великолепието си. Във всички тези дейности египтяните трябваше да използват прави ъгли. Те знаеха как да ги построят с помощта на въже с 12 възела, вързани на еднакво разстояние един от друг. Опитайте се, мислейки като древните египтяни, да изградите правоъгълни триъгълници с вашите въжета. (За да решат този проблем, момчетата работят в групи от по 4 души. След известно време някой показва конструкцията на триъгълник на таблет близо до дъската).
Страните на получения триъгълник са 3, 4 и 5. Ако завържете още един възел между тези възли, то страните му ще станат 6, 8 и 10. Ако са по две – 9, 12 и 15. Всички тези триъгълници са под прав ъгъл, защото
5 2 = 3 2 + 4 2, 10 2 = 6 2 + 8 2, 15 2 = 9 2 + 12 2 и т.н.
Какво свойство трябва да притежава триъгълникът, за да бъде правоъгълен? (Учениците се опитват сами да формулират обратната Питагорова теорема; накрая някой успява).
Как тази теорема се различава от теоремата на Питагор?
Студент:Условието и заключението са си разменили местата.
Учител:У дома повторихте как се наричат такива теореми. И така, какво срещнахме сега?
Студент: С обратната теорема на Питагор.
Учител: Нека запишем темата на урока в нашата тетрадка. Отворете учебниците си на страница 127, прочетете това твърдение отново, запишете го в тетрадката си и анализирайте доказателството.
(След няколко минути самостоятелна работа с учебника по желание един човек на дъската дава доказателство на теоремата).
- Как се казва триъгълник със страни 3, 4 и 5? Защо?
- Кои триъгълници се наричат питагорови триъгълници?
- С какви триъгълници работихте в домашните си? Какво ще кажете за проблеми с бор и стълба?
Първично затвърждаване на знанията
.Тази теорема помага при решаването на задачи, при които трябва да разберете дали триъгълниците са правоъгълни.
Задачи:
1) Разберете дали триъгълникът е правоъгълен, ако страните му са равни:
а) 12,37 и 35; б) 21, 29 и 24.
2) Изчислете височините на триъгълник със страни 6, 8 и 10 cm.
Домашна работа
.Страница 127: обратна Питагорова теорема. № 498(a,b,c) № 497.
Обобщение на урока.
Какво ново научихте в урока?Самостоятелна работа (извършва се с индивидуални карти).
Учител:У дома повторихте свойствата на ромба и правоъгълника. Избройте ги (има разговор с класа). В последния урок говорихме за това как Питагор е многостранна личност. Учил е медицина, музика и астрономия, бил е и спортист и е участвал в олимпийски игри. Питагор е бил и философ. Много от неговите афоризми са актуални и днес. Сега ще работите самостоятелно. За всяка задача са дадени няколко варианта за отговор, до които са написани фрагменти от афоризмите на Питагор. Вашата задача е да решите всички задачи, да съставите твърдение от получените фрагменти и да го запишете.
Прегледът на темите от училищната програма с помощта на видео уроци е удобен начин за изучаване и усвояване на материала. Видеото помага да се фокусира вниманието на учениците върху основните теоретични концепции и да не се пропускат важни подробности. Ако е необходимо, учениците винаги могат да прослушат видео урока отново или да се върнат няколко теми назад.
Този видео урок за 8. клас ще помогне на учениците да научат нова тема по геометрия.
В предишната тема изучавахме Питагоровата теорема и анализирахме нейното доказателство.
Има и теорема, която е известна като обратната теорема на Питагор. Нека го разгледаме по-отблизо.
Теорема. Триъгълникът е правоъгълен, ако има следното равенство: стойността на едната страна на триъгълника на квадрат е същата като сумата на другите две страни на квадрат.
Доказателство. Да кажем, че ни е даден триъгълник ABC, в който е изпълнено равенството AB 2 = CA 2 + CB 2. Необходимо е да се докаже, че ъгъл С е равен на 90 градуса. Да разгледаме триъгълник A 1 B 1 C 1, в който ъгъл C 1 е равен на 90 градуса, страната C 1 A 1 е равна на CA и страната B 1 C 1 е равна на BC.
Прилагайки Питагоровата теорема, записваме отношението на страните в триъгълника A 1 C 1 B 1: A 1 B 1 2 = C 1 A 1 2 + C 1 B 1 2. Заменяйки израза с равни страни, получаваме A 1 B 1 2 = CA 2 + CB 2 .
От условията на теоремата знаем, че AB 2 = CA 2 + CB 2. Тогава можем да запишем A 1 B 1 2 = AB 2, от което следва, че A 1 B 1 = AB.
Открихме, че в триъгълниците ABC и A 1 B 1 C 1 трите страни са равни: A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, A 1 B 1 = AB. Така че тези триъгълници са равни. От равенството на триъгълниците следва, че ъгъл C е равен на ъгъл C 1 и съответно равен на 90 градуса. Установихме, че триъгълник ABC е правоъгълен и неговият ъгъл C е 90 градуса. Доказахме тази теорема.
След това авторът дава пример. Да предположим, че ни е даден произволен триъгълник. Известни са размерите на страните му: 5, 4 и 3 единици. Нека проверим твърдението от теоремата, обратна на Питагоровата теорема: 5 2 = 3 2 + 4 2. Твърдението е вярно, което означава, че този триъгълник е правоъгълен.
В следващите примери триъгълниците също ще бъдат правоъгълни, ако страните им са равни:
5, 12, 13 единици; вярно е равенството 13 2 = 5 2 + 12 2;
8, 15, 17 единици; вярно е равенството 17 2 = 8 2 + 15 2;
7, 24, 25 единици; равенството 25 2 = 7 2 + 24 2 е вярно.
Концепцията за триъгълник на Питагор е известна. Това е правоъгълен триъгълник, чиито страни са равни на цели числа. Ако краката на питагоровия триъгълник са означени с a и c, а хипотенузата с b, тогава стойностите на страните на този триъгълник могат да бъдат записани с помощта на следните формули:
b = k x (m 2 - n 2)
c = k x (m 2 + n 2)
където m, n, k са произволни естествени числа и стойността на m е по-голяма от стойността на n.
Интересен факт: триъгълник със страни 5, 4 и 3 също се нарича египетски триъгълник; такъв триъгълник е бил известен в Древен Египет.
В този видео урок научихме теоремата, обратна на Питагоровата теорема. Разгледахме подробно доказателствата. Учениците научиха и кои триъгълници се наричат Питагорови триъгълници.
Учениците могат лесно да се запознаят сами с темата „Обратната теорема на Питагор“ с помощта на този видео урок.
Според Ван дер Ваерден е много вероятно съотношението в обща форма да е било известно във Вавилон около 18 век пр.н.е. д.
Около 400 г. пр.н.е. пр. н. е., според Прокъл, Платон е дал метод за намиране на питагорови триплети, съчетавайки алгебра и геометрия. Около 300 г. пр.н.е. д. Най-старото аксиоматично доказателство на Питагоровата теорема се появява в Елементи на Евклид.
Формулировки
Основната постановка съдържа алгебрични операции – в правоъгълен триъгълник, чиито дължини са равни a (\displaystyle a)И b (\displaystyle b), а дължината на хипотенузата е c (\displaystyle c), е изпълнено следното отношение:
.Възможна е и еквивалентна геометрична формулировка, прибягвайки до концепцията за площ на фигура: в правоъгълен триъгълник площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е равна на сумата от площите на квадратите, построени върху крака. Теоремата е формулирана в тази форма в Елементите на Евклид.
Обратна теорема на Питагор- твърдение за правоъгълността на всеки триъгълник, чиито дължини на страните са свързани с отношението a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Като следствие, за всяка тройка положителни числа a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)И c (\displaystyle c), така че a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), има правоъгълен триъгълник с катети a (\displaystyle a)И b (\displaystyle b)и хипотенуза c (\displaystyle c).
Доказателство
В научната литература има записани най-малко 400 доказателства на Питагоровата теорема, което се обяснява както с фундаменталното й значение за геометрията, така и с елементарния характер на резултата. Основните направления на доказателствата са: алгебрично използване на отношенията между елементите на триъгълник (например популярният метод на подобие), методът на площите, има и различни екзотични доказателства (например използване на диференциални уравнения).
Чрез подобни триъгълници
Класическото доказателство на Евклид е насочено към установяване на равенството на площите между правоъгълници, образувани чрез разрязване на квадрата над хипотенузата с височината на правия ъгъл с квадратите над катетите.
Използваната конструкция за доказателството е следната: за правоъгълен триъгълник с прав ъгъл C (\displaystyle C), квадрати върху катетите и и квадрати върху хипотенузата A B I K (\displaystyle ABIK)височина се изгражда CHи лъча, който го продължава s (\displaystyle s), разделяне на квадрата над хипотенузата на два правоъгълника и . Доказателството има за цел да установи равенството на лицата на правоъгълника A H J K (\displaystyle AHJK)с каре над крака A C (\displaystyle AC); по подобен начин се установява равенството на площите на втория правоъгълник, съставляващ квадрата над хипотенузата, и правоъгълника над другия катет.
Равенство на площите на правоъгълник A H J K (\displaystyle AHJK)И A C E D (\displaystyle ACED)се установява чрез съответствието на триъгълниците △ A C K (\displaystyle \триъгълник ACK)И △ A B D (\displaystyle \триъгълник ABD), площта на всеки от които е равна на половината от площта на квадратите A H J K (\displaystyle AHJK)И A C E D (\displaystyle ACED)съответно във връзка със следното свойство: площта на триъгълник е равна на половината от площта на правоъгълник, ако фигурите имат обща страна, а височината на триъгълника към общата страна е другата страна на правоъгълника. Конгруентността на триъгълниците следва от равенството на двете страни (страни на квадрати) и ъгъла между тях (съставен от прав ъгъл и ъгъл при A (\displaystyle A).
По този начин доказателството установява, че площта на квадрат над хипотенузата, съставен от правоъгълници A H J K (\displaystyle AHJK)И B H J I (\displaystyle BHJI), е равна на сумата от площите на квадратите върху катетите.
Доказателство за Леонардо да Винчи
Методът на площта включва и доказателство, намерено от Леонардо да Винчи. Нека е даден правоъгълен триъгълник △ A B C (\displaystyle \триъгълник ABC)с прав ъгъл C (\displaystyle C)и квадрати A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG)И A B H J (\displaystyle ABHJ)(виж снимката). В това доказателство отстрани HJ (\displaystyle HJ)на последния от външната страна е построен триъгълник, равен △ A B C (\displaystyle \триъгълник ABC), освен това, отразени както спрямо хипотенузата, така и спрямо височината към нея (т.е. J I = B C (\displaystyle JI=BC)И H I = A C (\displaystyle HI=AC)). Направо C I (\displaystyle CI)разделя квадрата, построен върху хипотенузата, на две равни части, тъй като триъгълници △ A B C (\displaystyle \триъгълник ABC)И △ J H I (\displaystyle \триъгълник JHI)равни по конструкция. Доказателството установява съответствието на четириъгълниците C A J I (\displaystyle CAJI)И D A B G (\displaystyle DABG), площта на всеки от които се оказва, от една страна, равна на сумата от половината от площите на квадратите на краката и площта на оригиналния триъгълник, от друга страна, половината от площта на квадрата върху хипотенузата плюс площта на първоначалния триъгълник. Общо половината от сумата от площите на квадратите над краката е равна на половината от площта на квадрата над хипотенузата, което е еквивалентно на геометричната формулировка на Питагоровата теорема.
Доказателство по метода на безкрайно малките
Има няколко доказателства, използващи техниката на диференциалните уравнения. По-специално, на Харди се приписва доказателство, използващо безкрайно малки увеличения на краката a (\displaystyle a)И b (\displaystyle b)и хипотенуза c (\displaystyle c), и запазване на сходството с оригиналния правоъгълник, тоест осигуряване на изпълнението на следните диференциални отношения:
d a d c = c a (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d c = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).Използвайки метода за разделяне на променливи, от тях се извежда диференциално уравнение c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), чието интегриране дава отношението c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Приложение на началните условия a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0)дефинира константата като 0, което води до твърдението на теоремата.
Квадратната зависимост в крайната формула се появява поради линейната пропорционалност между страните на триъгълника и увеличенията, докато сумата е свързана с независими приноси от нарастването на различните крака.
Вариации и обобщения
Подобни геометрични фигури от три страни
Важно геометрично обобщение на Питагоровата теорема е дадено от Евклид в Елементите, преминавайки от площите на квадратите отстрани към площите на произволни подобни геометрични фигури: сумата от площите на такива фигури, построени върху краката, ще бъде равна на площта на подобна фигура, построена върху хипотенузата.
Основната идея на това обобщение е, че площта на такава геометрична фигура е пропорционална на квадрата на всяко от нейните линейни измерения и по-специално на квадрата на дължината на всяка страна. Следователно, за подобни фигури с области A (\displaystyle A), B (\displaystyle B)И C (\displaystyle C), построен на крака с дълж a (\displaystyle a)И b (\displaystyle b)и хипотенуза c (\displaystyle c)Съответно важи следната връзка:
A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\Rightarrow \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).Тъй като според Питагоровата теорема a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), след това готово.
Освен това, ако е възможно да се докаже, без да се използва Питагоровата теорема, че площите на три подобни геометрични фигури от страните на правоъгълен триъгълник удовлетворяват отношението A + B = C (\displaystyle A+B=C), тогава използвайки обратното доказателство на обобщението на Евклид, може да се изведе доказателство на Питагоровата теорема. Например, ако върху хипотенузата построим правоъгълен триъгълник, равен на началния с площ C (\displaystyle C), а отстрани - два подобни правоъгълни триъгълника с площи A (\displaystyle A)И B (\displaystyle B), тогава се оказва, че триъгълниците от страните се образуват в резултат на разделянето на първоначалния триъгълник на неговата височина, тоест сумата от двете по-малки площи на триъгълниците е равна на площта на третата, по този начин A + B = C (\displaystyle A+B=C)и, прилагайки съотношението за подобни фигури, се извежда Питагоровата теорема.
Косинусова теорема
Питагоровата теорема е специален случай на по-общата косинусова теорема, която свързва дължините на страните в произволен триъгълник:
a 2 + b 2 − 2 a b cos θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),къде е ъгълът между страните a (\displaystyle a)И b (\displaystyle b). Ако ъгълът е 90°, тогава cos θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0), а формулата се опростява до обичайната Питагорова теорема.
Свободен триъгълник
Съществува обобщение на Питагоровата теорема за произволен триъгълник, работещо единствено върху съотношението на дължините на страните, смята се, че е установено за първи път от сабийския астроном Табит ибн Кура. В него за произволен триъгълник със страни се вписва равнобедрен триъгълник с основа на страната c (\displaystyle c), като върхът съвпада с върха на оригиналния триъгълник, срещу страната c (\displaystyle c)и ъгли при основата, равни на ъгъла θ (\displaystyle \theta ), обратната страна c (\displaystyle c). В резултат на това се образуват два триъгълника, подобни на оригиналния: първият - със страни a (\displaystyle a), най-отдалечената от него страна на вписания равнобедрен триъгълник и r (\displaystyle r)- странични части c (\displaystyle c); вторият - симетрично на него отстрани b (\displaystyle b)със страната s (\displaystyle s)- съответната част от страната c (\displaystyle c). В резултат на това е изпълнена следната връзка:
a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),израждаща се в Питагоровата теорема при θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). Връзката е следствие от сходството на образуваните триъгълници:
c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\Rightarrow \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).Теорема на Папус за площите
Неевклидова геометрия
Питагоровата теорема се извлича от аксиомите на евклидовата геометрия и не е валидна за неевклидовата геометрия - изпълнението на питагоровата теорема е еквивалентно на постулата на евклидовия паралелизъм.
В неевклидовата геометрия връзката между страните на правоъгълен триъгълник непременно ще бъде във форма, различна от Питагоровата теорема. Например в сферичната геометрия и трите страни на правоъгълен триъгълник, които ограничават октанта на единичната сфера, имат дължина π / 2 (\displaystyle \pi /2), което противоречи на Питагоровата теорема.
Освен това Питагоровата теорема е валидна в хиперболичната и елиптичната геометрия, ако изискването триъгълникът да е правоъгълен се замени с условието сборът от два ъгъла на триъгълника да е равен на третия.
Сферична геометрия
За всеки правоъгълен триъгълник върху сфера с радиус R (\displaystyle R)(например, ако ъгълът в триъгълника е прав) със страни a , b , c (\displaystyle a,b,c)отношението между страните е:
cos (c R) = cos (a R) ⋅ cos (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)).Това равенство може да се изведе като частен случай на теоремата за сферичен косинус, която е валидна за всички сферични триъгълници:
cos (c R) = cos (a R) ⋅ cos (b R) + sin (a R) ⋅ sin (b R) ⋅ cos γ (\displaystyle \cos \left((\frac ( c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch c = ch a ⋅ ch b (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b),Където ch (\displaystyle \operatorname (ch) )- хиперболичен косинус. Тази формула е специален случай на хиперболичната косинусова теорема, която е валидна за всички триъгълници:
ch c = ch a ⋅ ch b − sh a ⋅ sh b ⋅ cos γ (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b-\operatorname (sh) a\cdot \име на оператор (sh) b\cdot \cos \gamma ),Където γ (\displaystyle \gamma )- ъгъл, чийто връх е противоположен на страната c (\displaystyle c).
Използване на серията на Тейлър за хиперболичния косинус ( ch x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operatorname (ch) x\приблизително 1+x^(2)/2)) може да се покаже, че ако хиперболичен триъгълник намалява (тоест, когато a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)И c (\displaystyle c)клонят към нула), тогава хиперболичните отношения в правоъгълен триъгълник се доближават до отношението на класическата Питагорова теорема.
Приложение
Разстояние в двумерни правоъгълни системи
Най-важното приложение на Питагоровата теорема е определянето на разстоянието между две точки в правоъгълна координатна система: разстояние s (\displaystyle s)между точки с координати (a, b) (\displaystyle (a,b))И (c, d) (\displaystyle (c,d))равно на:
s = (a − c) 2 + (b − d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).За комплексните числа Питагоровата теорема дава естествена формула за намиране на модула на комплексно число - за z = x + y i (\displaystyle z=x+yi)тя е равна на дължината
Цели на урока:
Образователни: формулирайте и докажете Питагоровата теорема и обратната теорема на Питагоровата теорема. Покажете тяхното историческо и практическо значение.
Развитие: развива вниманието, паметта, логическото мислене на учениците, способността да разсъждават, сравняват и правят изводи.
Образователни: да се култивира интерес и любов към темата, точност, способност да слушате другари и учители.
Оборудване: Портрет на Питагор, плакати със задачи за консолидация, учебник „Геометрия” за 7-9 клас (I.F. Sharygin).
План на урока:
I. Организационен момент – 1мин.
II. Проверка на домашни – 7 мин.
III. Встъпително слово на учителя, историческа справка – 4-5 мин.
IV. Формулиране и доказателство на Питагоровата теорема – 7 мин.
V. Формулиране и доказателство на теоремата, обратна на Питагоровата теорема – 5 мин.
Консолидиране на нов материал:
а) устно – 5-6 минути.
б) писмено – 7-10 минути.
VII. Домашна работа – 1мин.
VIII. Обобщаване на урока – 3 мин.
По време на часовете
I. Организационен момент.
II. Проверка на домашните.
клауза 7.1, № 3 (на дъската според готовия чертеж).
Състояние: Височината на правоъгълен триъгълник разделя хипотенузата на сегменти с дължина 1 и 2. Намерете катетите на този триъгълник.
BC = a; СА = b; BA = c; BD = a 1; DA = b1; CD = h C
Допълнителен въпрос: запишете съотношенията в правоъгълен триъгълник.
Раздел 7.1, № 5. Разрежете правоъгълния триъгълник на три подобни триъгълника.
Обяснете.
ASN ~ ABC ~ SVN
(насочете вниманието на учениците към правилността на писане на съответните върхове на подобни триъгълници)
III. Встъпително слово на учителя, историческа справка.
Истината ще остане вечна щом слабия човек я познае!
И сега Питагоровата теорема е вярна, както в далечната му епоха.
Неслучайно започнах урока си с думите на немския писател Шамисо. Нашият урок днес е за Питагоровата теорема. Нека напишем темата на урока.
Пред вас е портрет на великия Питагор. Роден през 576 г. пр.н.е. Живял 80 години, той починал през 496 г. пр.н.е. Известен като древногръцки философ и учител. Той бил син на търговеца Мнесарх, който често го вземал на пътувания, благодарение на което момчето развило любопитство и желание да научава нови неща. Питагор е прякор, даден му заради красноречието му („Питагор“ означава „убедителен чрез реч“). Самият той не е писал нищо. Всички негови мисли са записани от неговите ученици. В резултат на първата лекция, която изнесе, Питагор придоби 2000 ученици, които заедно със своите съпруги и деца образуваха огромно училище и създадоха държава, наречена „Велика Гърция“, която се основаваше на законите и правилата на почитания Питагор като божествени заповеди. Той пръв нарича своите разсъждения за смисъла на живота философия (философия). Беше склонен към мистификация и демонстративно поведение. Един ден Питагор се скрил под земята и научил за всичко, което се случва от майка си. Тогава, изсъхнал като скелет, той заяви на публично събрание, че е бил в Хадес и показа удивителни познания за земните събития. За това трогнатите жители го признаха за Бог. Питагор никога не е плакал и като цяло е бил недостъпен за страсти и вълнения. Той вярваше, че идва от семе, което е по-добро от човешкото. Целият живот на Питагор е легенда, достигнала до нашето време и ни разказала за най-талантливия човек на древния свят.
IV. Формулировка и доказателство на Питагоровата теорема.
Знаете формулировката на Питагоровата теорема от вашия курс по алгебра. Да си спомним за нея.
В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите.
Тази теорема обаче е известна много години преди Питагор. 1500 години преди Питагор, древните египтяни са знаели, че триъгълник със страни 3, 4 и 5 е правоъгълен и са използвали това свойство за конструиране на прави ъгли при планиране на парцели и изграждане на сгради. В най-старата китайска математическа и астрономическа работа, достигнала до нас, „Жиу-би“, написана 600 години преди Питагор, сред другите предложения, свързани с правоъгълния триъгълник, се съдържа Питагоровата теорема. Още по-рано тази теорема е била известна на индусите. Така че Питагор не е открил това свойство на правоъгълния триъгълник, той вероятно е първият, който го обобщава и доказва, пренася го от областта на практиката в областта на науката.
От древни времена математиците намират все повече и повече доказателства на Питагоровата теорема. Известни са повече от сто и половина от тях. Нека си припомним алгебричното доказателство на Питагоровата теорема, познато ни от курса по алгебра. (“Математика. Алгебра. Функции. Анализ на данни” G.V. Дорофеев, М., “Дрофа”, 2000 г.).
Поканете учениците да си спомнят доказателството за чертежа и да го напишат на дъската.
(a + b) 2 = 4 1/2 a * b + c 2 b a
a 2 + 2a * b + b 2 = 2a * b + c 2
a 2 + b 2 = c 2 a a b
Древните индуси, на които принадлежи това разсъждение, обикновено не са го записвали, а са придружавали рисунката само с една дума: „Виж“.
Нека разгледаме в съвременна презентация едно от доказателствата, принадлежащи на Питагор. В началото на урока си спомнихме теоремата за отношенията в правоъгълен триъгълник:
h 2 = a 1* b 1 a 2 = a 1* c b 2 = b 1* c
Нека добавим последните две равенства член по член:
b 2 + a 2 = b 1* c + a 1* c = (b 1 + a 1) * c 1 = c * c = c 2 ; a 2 + b 2 = c 2
Въпреки привидната простота на това доказателство, то далеч не е най-простото. В края на краищата, за това беше необходимо да се начертае височината в правоъгълен триъгълник и да се разгледат подобни триъгълници. Моля, запишете това доказателство в бележника си.
V. Формулиране и доказателство на теоремата, обратна на Питагоровата теорема.
Коя теорема се нарича обратна на тази теорема? (...ако условието и заключението са обърнати.)
Нека сега се опитаме да формулираме теоремата, обратна на Питагоровата теорема.
Ако в триъгълник със страни a, b и c е изпълнено равенството c 2 = a 2 + b 2, то този триъгълник е правоъгълен, а правият ъгъл е противоположен на страната c.
(Доказателство на обратната теорема на плаката)
ABC, BC = a,
AC = b, BA = c.
a 2 + b 2 = c 2
Докажи:
ABC - правоъгълник,
Доказателство:
Да разгледаме правоъгълен триъгълник A 1 B 1 C 1,
където C 1 = 90°, A 1 C 1 = a, A 1 C 1 = b.
Тогава, по Питагоровата теорема, B 1 A 1 2 = a 2 + b 2 = c 2.
Тоест B 1 A 1 = c A 1 B 1 C 1 = ABC от трите страни ABC е правоъгълен
C = 90°, което трябваше да се докаже.
VI. Консолидиране на изучения материал (устно).
1. На базата на плакат с готови рисунки.
|
|
|
Фиг. 1: намерете AD, ако ВD = 8, ВDA = 30°.
Фиг.2: намерете CD, ако BE = 5, BAE = 45°.
Фиг.3: намерете BD, ако BC = 17, AD = 16.
2. Правоъгълен ли е триъгълникът, ако страните му са изразени с числа:
5 2 + 6 2 ? 7 2 (не) |
9 2 + 12 2 = 15 2 (да) |
15 2 + 20 2 = 25 2 (да) |
Как се наричат тройките на числата в последните два случая? (Питагоров).
VI. Решаване на задачи (писмено).
№ 9. Страната на равностранен триъгълник е равна на a. Намерете височината на този триъгълник, радиуса на описаната окръжност и радиуса на вписаната окръжност.
№ 14. Докажете, че в правоъгълен триъгълник радиусът на описаната окръжност е равен на медианата, прекарана към хипотенузата и равен на половината от хипотенузата.
VII. Домашна работа.
Параграф 7.1, стр. 175-177, разгледайте теорема 7.4 (обобщена теорема на Питагор), № 1 (устно), № 2, № 4.
VIII. Обобщение на урока.
Какво ново научихте в клас днес? …………
Питагор е бил преди всичко философ. Сега искам да ви прочета няколко негови изказвания, които са все още актуални в нашето време за вас и мен.
- Не вдигайте прах по пътя на живота.
- Правете само това, което няма да ви разстрои по-късно и няма да ви принуди да се покаете.
- Никога не правете това, което не знаете, но научете всичко, което трябва да знаете, и тогава ще водите спокоен живот.
- Не затваряйте очи, когато искате да заспите, без да сте подредили всичките си действия от изминалия ден.
- Научете се да живеете просто и без лукс.
Питагоровата теорема гласи:
В правоъгълен триъгълник сборът от квадратите на катетите е равен на квадрата на хипотенузата:
a 2 + b 2 = c 2,
- аИ b– крака, образуващи прав ъгъл.
- с– хипотенуза на триъгълника.
Формули на Питагоровата теорема
- a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
- b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
- c = \sqrt (a^(2) + b^(2))
Доказателство на Питагоровата теорема
Площта на правоъгълен триъгълник се изчислява по формулата:
S = \frac(1)(2) ab
За да се изчисли площта на произволен триъгълник, формулата за площ е:
- стр– полупериметър. p=\frac(1)(2)(a+b+c) ,
- r– радиус на вписаната окръжност. За правоъгълник r=\frac(1)(2)(a+b-c).
След това приравняваме десните страни на двете формули за площта на триъгълника:
\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)
2 ab = (a+b+c) (a+b-c)
2 ab = \left((a+b)^(2) -c^(2) \right)
2 ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)
0=a^(2)+b^(2)-c^(2)
c^(2) = a^(2)+b^(2)
Обратна теорема на Питагор:
Ако квадратът на едната страна на триъгълник е равен на сумата от квадратите на другите две страни, тогава триъгълникът е правоъгълен. Тоест за всяка тройка положителни числа а, бИ ° С, така че
a 2 + b 2 = c 2,
има правоъгълен триъгълник с катети аИ bи хипотенуза ° С.
Питагорова теорема- една от основните теореми на евклидовата геометрия, установяваща връзката между страните на правоъгълен триъгълник. Доказано е от учения математик и философ Питагор.
Значението на теорематаВъпросът е, че може да се използва за доказване на други теореми и решаване на проблеми.
Допълнителен материал:
