Теорема за гранична точка. Теорема на Болцано-Вайерщрас. Разширение към случая на пространство с произволна размерност

Определение т.7. Точка x € R на числовата права се нарича гранична точка на последователност (xn), ако за всяка околност U (x) и всяко естествено число N е възможно да се намери елемент xn, принадлежащ на тази околност, с число, по-голямо от LG, т.е. x 6 R - гранична точка ако. С други думи, точка x ще бъде гранична точка за (xn), ако някой от нейните околности съдържа елементи от тази последователност с произволно големи числа, въпреки че може би не всички елементи с числа n > N. Следователно, следното твърдение е съвсем очевидно . Изявление б.б. Ако lim(xn) = 6 6 R, тогава b е единствената гранична точка на редицата (xn). Действително, по силата на дефиниция 6.3 на границата на последователност, всички нейни елементи, започвайки от определено число, попадат във всяка произволно малка околност на точка 6 и следователно елементи с произволно големи числа не могат да попаднат в околността на друга точка . Следователно, условието на дефиниция 6.7 е изпълнено само за една точка 6. Въпреки това, не всяка гранична точка (понякога наричана тънка съкратена точка) на последователност е нейната граница. Така редицата (b.b) няма ограничение (вижте пример 6.5), но има две гранични точки x = 1 и x = - 1. Последователността ((-1)pp) има две безкрайни точки +oo и като гранични точки - с разширената числова линия, чието обединение се означава с един символ oo. Ето защо можем да приемем, че безкрайните гранични точки съвпадат, а безкрайната точка оо, съгласно (6.29), е границата на тази редица. Гранични точки на линията с поредни числа. Доказателство за теста на Вайерщрас и критерия на Коши. Нека е дадена последователността (jn) и нека числата k образуват нарастваща последователност от положителни цели числа. Тогава последователността (Vnb, където yn = xkn> се нарича подпоследователност на оригиналната последователност. Очевидно, ако (i„) има числото 6 като граница, тогава всяка от нейните подпоследователности има същата граница, тъй като започва от определено число всички елементи както на оригиналната последователност, така и на всяка от нейните подпоследователности попадат във всяка избрана околност на точка 6. В същото време всяка гранична точка на подпоследователност е също гранична точка за последователността 9. От всяка последователност, която има a гранична точка, може да се избере подпоследователност, която има тази гранична точка като своя граница. Тогава, съгласно дефиниция 6. 7 гранична точка, за всяко n има елемент, принадлежащ към околността U (6, 1/n) на точка b с радиус 1/n. Подпоследователността, съставена от точки ijtj, ...1 ..., където zjfcn€U(6, 1/n) Vn 6 N, има граница в точка 6. Наистина, за произволно e > 0, може да се избере N такова, че. Тогава всички елементи на подпоследователността, започвайки с числото km, ще попаднат в ^-окръжността U(6, e) на точка 6, което отговаря на условие 6.3 от дефиницията на границата на редицата. Обратната теорема също е вярна. Гранични точки на линията с поредни числа. Доказателство за теста на Вайерщрас и критерия на Коши. Теорема 8.10. Ако някаква последователност има подпоследователност с граница 6, тогава b е граничната точка на тази последователност. От определение 6.3 на границата на последователност следва, че започвайки от определено число, всички елементи на подпоследователността с граница b попадат в околност U(b, ​​​​e) с произволен радиус e. Тъй като елементите на подпоследователността са едновременно елементи на редицата (xn)> елементите xn попадат в тази околност с толкова произволно големи числа и това, по силата на Определение 6.7, означава, че b е граничната точка на редицата (n). Забележка 0.2. Теореми 6.9 и 6.10 са валидни и в случая, когато граничната точка е безкрайна, ако при доказване на мерто околността на U(6, 1 /n) разгледаме околността (или околностите), при които конвергентна подпоследователност може да бъде изолирана от последователност, установена от следната теорема (Болцано - Вайерщрас) Всяка ограничена последователност, сходяща се към крайна граница, се съдържа между числата a и 6. т.е. xn € [a, b] Vn € N. Нека разделим сегмента [a], b] наполовина, тогава поне една от неговите половини ще съдържа безкраен брой елементи от редицата, тъй като в противен случай целият сегмент [a, b] ще съдържа краен брой от тях, което е невъзможно. Нека ] е една от половините на сегмента [a, 6], който съдържа безкраен набор от елементи на редицата (zn). ако и двете половини са такива, тогава всяка от тях). Продължавайки този процес, ще конструираме система от вложени сегменти с bn - an = (6- a)/2P. Съгласно принципа на вложените сегменти, има точка x, която принадлежи на всички тези сегменти. Тази точка ще бъде граничната точка за последователността (xn) - Всъщност за всяко е-съседство U(x, e) = (xx + e) ​​точка x има сегмент C U(x, e) (това е достатъчно просто да изберете n от неравенството (, съдържащо безкраен брой елементи от редицата (sn). Съгласно дефиниция 6.7, x е граничната точка на тази последователност. Тогава, съгласно теорема 6.9, има подпоследователност, сходна към точката x. Методът на разсъждение, използван в доказателството на тази теорема (понякога се нарича лема на Болцано-Вайер-Щрас) и свързан с последователното разполовяване на разглежданите сегменти, е известен като метод на Болцано. Тази теорема значително опростява доказателството на много сложни теореми. Тя ви позволява да докажете редица ключови теореми по различен (понякога по-прост) начин. Приложение 6.2. Доказателство за теста на Вайерщрас и критерия на Коши Първо доказваме твърдение 6.1 (тест на Вайерщрас за сходимостта на ограничена монотонна последователност). Да приемем, че последователността (jn) е ненамаляваща. Тогава множеството от неговите стойности е ограничено отгоре и според теорема 2.1 има супремум, който обозначаваме със sup(xn) е R. Поради свойствата на супремума (виж 2.7) Граничните точки на последователността са числото линия. Доказателство за теста на Вайерщрас и критерия на Коши. Съгласно дефиниция 6.1 за ненамаляваща редица имаме или Тогава > Ny и като вземем предвид (6.34) получаваме, че съответства на дефиниция 6.3 на границата на редицата, т.е. 31im(sn) и lim(xn) = 66R. Ако последователността (xn) е ненарастваща, тогава ходът на доказателството е подобен. Сега нека преминем към доказване на достатъчността на критерия на Кочиа за сходимост на последователност (виж твърдение 6.3), тъй като необходимостта от критериалното условие следва от теорема 6.7. Нека последователността (jn) е фундаментална. Съгласно дефиниция 6.4, при дадено произволно € > 0, може да се намери число N(s), такова че m^N и n^N предполагат. Тогава, като вземем m - N, за Vn > N получаваме € £ Тъй като разглежданата последователност има краен брой елементи с числа, които не надвишават N, от (6.35) следва, че фундаменталната последователност е ограничена (за сравнение вижте доказателство на теорема 6.2 за ограничеността на конвергентна последователност). За набор от стойности на ограничена последователност има долна и върховна граници (виж теорема 2.1). За набор от стойности на елементи за n > N, ние означаваме тези лица съответно an = inf xn и bjy = sup xn. С увеличаването на N точният инфимум не намалява, а точният супремум не се увеличава, т.е. . Получавам ли климатична система? сегменти Според принципа на вложените сегменти има обща точка, която принадлежи на всички сегменти. Нека го означим с b. По този начин, с От сравнение (6. 36) и (6.37) като резултат получаваме, че съответства на дефиниция 6.3 на границата на редицата, т.е. 31im(x„) и lim(sn) = 6 6 R. Болцано започва да изучава фундаментални последователности. Но той нямаше строга теория за реалните числа и следователно не успя да докаже конвергенцията на фундаменталната последователност. Коши прави това, приемайки за даденост принципа на вложените сегменти, който Кантор по-късно обосновава. Не само, че критерият за конвергенция на последователност е наречен Коши, но основната последователност често се нарича последователност на Коши, а принципът на вложените сегменти е кръстен на Кантор. Въпроси и задачи 8.1. Докажете, че: 6.2. Дайте примери за неконвергентни последователности с елементи, принадлежащи на множествата Q и R\Q. 0,3. При какви условия членовете на аритметичната и геометричната прогресия образуват намаляващи и нарастващи последователности? 6.4. Докажете връзките, които следват от табл. 6.1. 6.5. Конструирайте примери за последователности, клонящи към безкрайните точки +oo, -oo, oo, и пример за последователност, събираща се към точката 6 € R. c.v. Може ли неограничена последователност да не бъде b.b.? Ако да, тогава дайте пример. на 7. Конструирайте пример за дивергентна последователност, състояща се от положителни елементи, която няма нито крайна, нито безкрайна граница. 6.8. Докажете сходимостта на редицата (jn), дадена от рекурентната формула sn+i = sin(xn/2) при условието “1 = 1. 6.9. Докажете, че lim(xn)=09, ако sn+i/xn-»g€ .

Разделете сегмента [ а 0 ,b 0 ] наполовина на два равни сегмента. Поне един от получените сегменти съдържа безкраен брой членове на последователността. Нека го обозначим [ а 1 ,b 1 ] .

В следващата стъпка ще повторим процедурата с сегмента [ а 1 ,b 1 ]: разделете го на два равни сегмента и изберете от тях този, върху който лежат безкраен брой членове на редицата. Нека го обозначим [ а 2 ,b 2 ] .

Продължавайки процеса, получаваме последователност от вложени сегменти

в която всеки следващ е половината от предходния и съдържа безкраен брой членове на последователността ( х к } .

Дължините на отсечките клонят към нула:

По силата на принципа на Коши-Кантор за вложени сегменти, има една точка ξ, която принадлежи на всички сегменти:

По конструкция на всеки сегмент [а м ,b м ] има безкраен брой членове на редицата. Да изберем последователно

при спазване на условието за нарастващи числа:

Тогава подпоследователността се събира в точката ξ. Това следва от факта, че разстоянието от до ξ не надвишава дължината на отсечката, която ги съдържа [а м ,b м ] , където

Разширение към случая на пространство с произволна размерност

Теоремата на Болцано-Вайерщрас лесно се обобщава за случай на пространство с произволна размерност.

Нека е дадена поредица от точки в пространството:

(долният индекс е номерът на члена на последователността, горният индекс е координатният номер). Ако последователността от точки в пространството е ограничена, тогава всяка от числовите последователности от координати:

също ограничено ( - координатно число).

По силата на едномерната версия на теоремата на Болцано-Вайрщрас от последователността ( х к) можем да изберем подпоследователност от точки, чиито първи координати образуват конвергентна последователност. От получената подпоследователност отново избираме подпоследователност, която се събира по втората координата. В този случай конвергенцията по първата координата ще се запази поради факта, че всяка подпоследователност от конвергентна последователност също се сближава. И така нататък.

След нполучаваме определена последователност от стъпки

което е подпоследователност от , и се събира по всяка от координатите. От това следва, че тази подпоследователност се събира.

История

Теорема на Болцано-Вайерщрас (за случая н= 1) е доказано за първи път от чешкия математик Болцано през 1817 г. В работата на Болцано тя действа като лема в доказателството на теоремата за междинните стойности на непрекъсната функция, сега известна като теоремата на Болцано-Коши. Въпреки това, тези и други резултати, доказани от Болцано много преди Коши и Вайерщрас, остават незабелязани.

Само половин век по-късно Вайерщрас, независимо от Болцано, преоткрива и доказва тази теорема. Първоначално наречена теорема на Вайерщрас, преди работата на Болцано да стане известна и приета.

Днес тази теорема носи имената на Болцано и Вайерщрас. Тази теорема често се нарича Лема на Болцано-Вайерщрас, и понякога лема за гранична точка.

Теоремата на Болцано-Вайерщрас и концепцията за компактност

Теоремата на Болцано-Вайерщрас установява следното интересно свойство на ограничено множество: всяка последователност от точки Мсъдържа конвергентна подпоследователност.

Когато доказват различни твърдения в анализа, те често прибягват до следната техника: те определят последователност от точки, която има някакво желано свойство, и след това избират подпоследователност от нея, която също го притежава, но вече е конвергентна. Например, по този начин се доказва теоремата на Вайерщрас, че функция, непрекъсната на интервал, е ограничена и приема своите най-големи и най-малки стойности.

Ефективността на такава техника като цяло, както и желанието да се разшири теоремата на Вайерщрас до произволни метрични пространства, подтикнаха френския математик Морис Фреше да въведе концепцията през 1906 г. компактност. Свойството на ограничените множества в , установено от теоремата на Болцано-Вайерщрас, е, образно казано, че точките на множеството са разположени доста „близко“ или „компактно“: след като сме направили безкраен брой стъпки по това множество, ще със сигурност се приближаваме колкото ни се иска до някаква точка в пространството.

Фреше въвежда следното определение: множество МНаречен компактен, или компактен, ако всяка последователност от неговите точки съдържа подпоследователност, сходна към някаква точка от това множество. Предполага се, че на снимачната площадка Мметриката е дефинирана, т.е

Определение 1.Точка x от безкрайна права се нарича гранична точка на редицата (x n), ако във всяка e-околност на тази точка има безкрайно много елементи от редицата (x n).

Лема 1.Ако x е гранична точка на редицата (x k), тогава от тази редица можем да изберем подпоследователност (x n k), сходяща се към числото x.

Коментирайте.Обратното твърдение също е вярно. Ако от редицата (x k) е възможно да се избере подпоследователност, сходяща се към числото x, тогава числото x е граничната точка на редицата (x k). Наистина, във всяка e-околност на точката x има безкрайно много елементи от подпоследователността и следователно от самата редица (x k ).

От лема 1 следва, че можем да дадем друго определение на граничната точка на редица, еквивалентно на определение 1.

Определение 2.Точка x на безкрайна линия се нарича гранична точка на последователност (x k), ако от тази последователност е възможно да се избере подпоследователност, сходна към x.

Лема 2.Всяка конвергентна редица има само една гранична точка, която съвпада с границата на тази редица.

Коментирайте.Ако последователността се сближава, то по лема 2 тя има само една гранична точка. Въпреки това, ако (xn) не е конвергентен, тогава той може да има няколко гранични точки (и като цяло безкрайно много гранични точки). Нека покажем например, че (1+(-1) n ) има две гранични точки.

Наистина, (1+(-1) n )=0,2,0,2,0,2,... има две гранични точки 0 и 2, защото подпоредици (0)=0,0,0,... и (2)=2,2,2,... от тази последователност имат граници на числата съответно 0 и 2. Тази последователност няма други гранични точки. Наистина, нека x е всяка точка на числовата ос, различна от точки 0 и 2. Нека вземем e >0, така че

малки, така че e - околностите на точки 0, x и 2 да не се пресичат. Е-околността на точки 0 и 2 съдържа всички елементи на редицата и следователно е-околността на точка x не може да съдържа безкрайно много елементи (1+(-1) n ) и следователно не е гранична точка на тази редица.

Теорема.Всяка ограничена последователност има поне една гранична точка.

Коментирайте.Нито едно число x, превишаващо , не е гранична точка на редицата (x n), т.е. - най-голямата гранична точка на последователността (x n).

Нека x е всяко число, по-голямо от . Нека изберем e>0 толкова малко, че

и x 1 О(x), вдясно от x 1 има краен брой елементи от редицата (x n) или изобщо няма, т.е. x не е гранична точка на редицата (x n).

Определение.Най-голямата гранична точка на редицата (x n) се нарича горна граница на редицата и се обозначава със символа . От забележката следва, че всяка ограничена последователност има горна граница.

По подобен начин се въвежда концепцията за долна граница (като най-малката гранична точка на последователността (x n )).

И така, ние доказахме следното твърдение. Всяка ограничена последователност има горна и долна граница.

Нека формулираме следната теорема без доказателство.

Теорема.За да бъде сходящата се редица (x n) е необходимо и достатъчно тя да е ограничена и горната и долната й граница да съвпадат.

Резултатите от този раздел водят до следната основна теорема на Болцано-Вайерщрас.

Теорема на Болцано-Вайерщрас.От всяка ограничена последователност може да се избере конвергентна подпоследователност.

Доказателство.Тъй като редицата (x n ) е ограничена, тя има поне една гранична точка x. След това от тази последователност можем да изберем подпоследователност, сходна към точката x (следва от Определение 2 на граничната точка).

Коментирайте.От всяка ограничена последователност може да се изолира монотонна конвергентна последователност.