Създаване

Равностранен триъгълник е успоредник. Теореми за успоредник. Диагоналите са разделени наполовина

Точно както в евклидовата геометрия точката и правата са основните елементи на теорията на равнините, така и успоредникът е един от ключови фигуриизпъкнали четириъгълници. От него, като нишки от топка, текат понятията "правоъгълник", "квадрат", "ромб" и други геометрични величини.

Във връзка с

Дефиниция на успоредник

изпъкнал четириъгълник,състоящ се от сегменти, всяка двойка от които е успоредна, е известен в геометрията като успоредник.

Как изглежда класическият успоредник е изобразен с четириъгълник ABCD. Страните се наричат основи (AB, BC, CD и AD), перпендикулярът, изтеглен от всеки връх към страната, противоположна на този връх, се нарича височина (BE и BF), правите AC и BD се наричат диагонали.

внимание!Квадрат, ромб и правоъгълник са специални случаи на успоредник.

Страни и ъгли: характеристики на връзката

Ключови свойства, като цяло, предопределено от самото обозначение, те се доказват от теоремата. Тези характеристики са както следва:

Страните, които са противоположни, са еднакви по двойки.
Ъглите един срещу друг са равни по двойки.

Доказателство: Да разгледаме ∆ABC и ∆ADC, които се получават чрез разделяне на четириъгълника ABCD с правата AC. ∠BCA=∠CAD и ∠BAC=∠ACD, тъй като AC е общ за тях (вертикални ъгли съответно за BC||AD и AB||CD). От това следва: ∆ABC = ∆ADC (вторият знак за равенство на триъгълниците).

Отсечките AB и BC в ∆ABC съответстват по двойки на правите CD и AD в ∆ADC, което означава, че те са еднакви: AB = CD, BC = AD. Така ∠B съответства на ∠D и те са равни. Тъй като ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, които също са идентични по двойки, тогава ∠A = ∠C. Имотът е доказан.

Характеристики на диагоналите на фигура

Основна характеристикана тези прави на успоредник: точката на пресичане ги разделя наполовина.

Доказателство: Нека i.e е пресечната точка на диагоналите AC и BD на фигурата ABCD. Те образуват два съизмерими триъгълника - ∆ABE и ∆CDE.

AB=CD, тъй като те са противоположни. Според правите и секанса ∠ABE = ∠CDE и ∠BAE = ∠DCE.

Според втория критерий за равенство ∆ABE = ∆CDE. Това означава, че елементите ∆ABE и ∆CDE: AE = CE, BE = DE и същевременно са пропорционални части на AC и BD. Имотът е доказан.

Характеристики на съседни ъгли

Съседните страни имат сбор от ъгли, равен на 180°, тъй като те лежат от една и съща страна на успоредни прави и напречна. За четириъгълник ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Свойства на ъглополовящата:

, спуснати на една страна, са перпендикулярни;
срещуположните върхове имат успоредни ъглополовящи;
триъгълникът, получен чрез начертаване на ъглополовяща, ще бъде равнобедрен.

Определяне на характеристиките на успоредник с помощта на теоремата

Характеристиките на тази фигура следват от нейната основна теорема, която гласи следното: четириъгълник се счита за успоредникв случай, че неговите диагонали се пресичат и тази точка ги разделя на равни сегменти.

Доказателство: нека правите AC и BD на четириъгълника ABCD се пресичат в т.е. Тъй като ∠AED = ∠BEC, и AE+CE=AC BE+DE=BD, то ∆AED = ∆BEC (по първия критерий за равенство на триъгълниците). Тоест ∠EAD = ∠ECB. Те са и вътрешните напречни ъгли на секущата AC за прави AD и BC. Така, по дефиниция на паралелизъм - AD || пр.н.е. Подобно свойство на правите BC и CD също е изведено. Теоремата е доказана.

Изчисляване на площта на фигура

Площта на тази фигура открити по няколко методаедин от най-простите: умножаване на височината и основата, към която е начертана.

Доказателство: начертайте перпендикуляри BE и CF от върховете B и C. ∆ABE и ∆DCF са равни, тъй като AB = CD и BE = CF. ABCD е равен по размер на правоъгълника EBCF, тъй като те се състоят от съизмерими фигури: S ABE и S EBCD, както и S DCF и S EBCD. От това следва, че площта на това геометрична фигурае разположен по същия начин като правоъгълник:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

За да определим общата формула за площта на паралелограма, нека обозначим височината като hb, а отстрани - b. Съответно:

Други начини за намиране на площ

Изчисления на площи през страните на успоредника и ъгъла, който образуват, е вторият известен метод.

Спр-ма - площ;

a и b са неговите страни

α е ъгълът между сегментите a и b.

Този метод практически се основава на първия, но в случай, че е неизвестен. винаги отрязва правоъгълен триъгълник, чиито параметри се намират чрез тригонометрични идентичности, т.е. Трансформирайки отношението, получаваме . В уравнението на първия метод заместваме височината с този продукт и получаваме доказателство за валидността на тази формула.

През диагоналите на успоредника и ъгъла,които те създават, когато се пресичат, можете също да намерите областта.

Доказателство: AC и BD се пресичат и образуват четири триъгълника: ABE, BEC, CDE и AED. Тяхната сума е равна на площта на този четириъгълник.

Площта на всеки от тези ∆ може да се намери чрез израза , където a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Тъй като , изчисленията използват една синусова стойност. Това е . Тъй като AE+CE=AC= d 1 и BE+DE=BD= d 2, формулата за площ се редуцира до:

Приложение във векторната алгебра

Характеристиките на съставните части на този четириъгълник са намерили приложение във векторната алгебра, а именно добавянето на два вектора. Правилото на успоредника гласи това ако са дадени векториИНеса колинеарни, тогава тяхната сума ще бъде равна на диагонала на тази фигура, чиито основи съответстват на тези вектори.

Доказателство: от произволно избрано начало – т.е. - конструиране на вектори и . След това конструираме успоредник OASV, където сегментите OA и OB са страни. По този начин OS лежи върху вектора или сумата.

Формули за изчисляване на параметрите на успоредник

Идентичностите се дават при следните условия:

a и b, α - страни и ъгълът между тях;
d 1 и d 2, γ - диагонали и в точката на тяхното пресичане;
h a и h b - височини, спуснати до страни a и b;

Параметър	Формула
Намиране на страните
по диагоналите и косинуса на ъгъла между тях
по диагонали и страни
през височината и срещуположния връх
Намиране на дължината на диагоналите
отстрани и размера на върха между тях
по страните и един от диагоналите	Заключение Паралелограмът, като една от ключовите фигури на геометрията, се използва в живота, например в строителството при изчисляване на площта на обект или други измервания. Следователно знанията за отличителните характеристики и методите за изчисляване на различните му параметри могат да бъдат полезни по всяко време в живота.

Тема на урока

Свойства на диагоналите на успоредник.

Цели на урока

Запознайте се с нови дефиниции и си припомнете някои вече изучени.
Посочете и докажете свойството на диагоналите на успоредник.
Научете се да прилагате свойствата на формите при решаване на задачи.
Развитие - развива вниманието, постоянството, постоянството на учениците, логично мислене, математическа реч.
Образователни - чрез урока култивирайте внимателно отношение един към друг, внушавайте способността да слушате другарите, взаимопомощта и независимостта.

Цели на урока

Проверете уменията на учениците за решаване на проблеми.

План на урока

Въведение.
Повторение на предварително изучен материал.
Успоредник, неговите свойства и характеристики.
Примерни задачи.
Самопроверка.

Въведение

"Голям научно откритиепредлага решение на голям проблем, но в решението на всеки проблем има зрънце откритие.

Свойство на противоположните страни на успоредник

Паралелограмът има противоположни страни, които са равни.

Доказателство.

Нека ABCD е дадения успоредник. И нека неговите диагонали се пресичат в точка O.
Тъй като Δ AOB = Δ COD по първия критерий за равенство на триъгълниците (∠ AOB = ∠ COD, като вертикални, AO=OC, DO=OB, по свойството на диагоналите на успоредник), то AB=CD. По същия начин от равенството на триъгълници BOC и DOA следва, че BC = DA. Теоремата е доказана.

Свойство на противоположни ъгли на успоредник

В успоредника срещуположните ъгли са равни.

Доказателство.

Нека ABCD е дадения успоредник. И нека неговите диагонали се пресичат в точка O.
От доказаното в теоремата за свойствата на срещуположните страни на успоредник Δ ABC = Δ CDA от три страни (AB=CD, BC=DA от доказаното, AC – общо). От равенството на триъгълниците следва, че ∠ ABC = ∠ CDA.
Доказано е също, че ∠ DAB = ∠ BCD, което следва от ∠ ABD = ∠ CDB. Теоремата е доказана.

Свойство на диагоналите на успоредник

Диагоналите на успоредник се пресичат и се разделят наполовина в точката на пресичане.

Доказателство.

Нека ABCD е дадения успоредник. Нека начертаем диагонала AC. Нека отбележим средното O върху него В продължението на отсечката DO ще оставим настрана отсечката OB 1, равна на DO.
По предходната теорема AB 1 CD е успоредник. Следователно правата AB 1 е успоредна на DC. Но през точка А може да се начертае само една права, успоредна на DC. Това означава, че права AB 1 съвпада с права AB.
Доказано е също, че BC 1 съвпада с BC. Това означава, че точка C съвпада с C 1. успоредник ABCD съвпада с успоредник AB 1 CD. Следователно диагоналите на успоредника се пресичат и се разполовяват в точката на пресичане. Теоремата е доказана.

В учебниците за редовните училища (например в Погорелово) се доказва така: диагоналите разделят успоредник на 4 триъгълника. Нека разгледаме една двойка и разберем - те са равни: техните основи са противоположни страни, съответните ъгли, съседни на нея, са равни, като вертикални ъгли с успоредни прави. Тоест сегментите на диагоналите са равни по двойки. Всичко.

Това ли е всичко?
По-горе беше доказано, че пресечната точка разполовява диагоналите - ако съществува. Горното разсъждение по никакъв начин не доказва самото му съществуване. Тоест част от теоремата „диагоналите на успоредник се пресичат“ остава недоказана.

Смешното е, че тази част е много по-трудна за доказване. Това следва, между другото, от по-общ резултат: всеки изпъкнал четириъгълник ще има пресичащи се диагонали, но всеки неизпъкнал четириъгълник няма.

За равенството на триъгълници по една страна и два съседни ъгъла (вторият знак за равенство на триъгълници) и др.

Талес откри важна теорема за равенството на два триъгълника по една страна и два съседни ъгъла практическа употреба. В пристанището на Милет е построен далекомер за определяне на разстоянието до кораб в морето. Състои се от три забити колчета A, B и C (AB = BC) и отбелязана права линия SC, перпендикулярна на CA. Когато кораб се появи на правата SK, намерихме точка D така, че точките D, .B и E бяха на една и съща права линия. Както става ясно от чертежа, разстоянието CD на земята е желаното разстояние до кораба.

Въпроси

Разделят ли се диагоналите на квадрат наполовина от пресечната точка?
Равни ли са диагоналите на успоредник?
Равни ли са противоположните ъгли на успоредник?
Дайте дефиницията на успоредник?
Колко знака има успоредник?
Може ли ромбът да бъде успоредник?

Списък на използваните източници

Кузнецов А.В., учител по математика (5-9 клас), Киев
„Неженен Държавен изпит 2006. Математика. Образователни и обучителни материали за подготовка на студенти / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006"
Мазур К. И. „Решаване на основните състезателни проблеми по математика на колекцията, редактирана от М. И. Сканави“
Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Е. Г. Позняк, И. И. Юдина „Геометрия, 7 – 9: учебник за образователни институции“

Работихме върху урока

Кузнецов А.В.

Потурнак С.А.

Евгений Петров

Задайте въпрос за модерно образование, изразете идея или разрешите наболял проблем, можете Образователен форум, където на международно нивосъбира се образователен съвет от свежи мисли и действия. След като създаде блог,Вие не само ще подобрите статуса си на компетентен учител, но и ще допринесете значително за развитието на училището на бъдещето. Гилдия на образователните лидериотваря врати за високопоставени специалисти и ги кани да си сътрудничат в създаването на най-добрите училища в света.

Предмети > Математика > Математика 8 клас

Доказателство

Първо, нека начертаем диагонала AC. Получаваме два триъгълника: ABC и ADC.

Тъй като ABCD е успоредник, вярно е следното:

AD || BC \Дясна стрелка \ъгъл 1 = \ъгъл 2като лежане на кръст.

AB || CD\дясна стрелка\ъгъл3 =\ъгъл 4като лежане на кръст.

Следователно \триъгълник ABC = \триъгълник ADC (според втория критерий: и AC е общ).

И, следователно, \триъгълник ABC = \триъгълник ADC, тогава AB = CD и AD = BC.

Доказано!

2. Срещуположните ъгли са еднакви.

Доказателство

Според доказателството свойства 1Ние знаем това \ъгъл 1 = \ъгъл 2, \ъгъл 3 = \ъгъл 4. Така сумата от противоположните ъгли е: \ъгъл 1 + \ъгъл 3 = \ъгъл 2 + \ъгъл 4. Като се има предвид, че \триъгълник ABC = \триъгълник ADC получаваме \ъгъл A = \ъгъл C , \ъгъл B = \ъгъл D .

Доказано!

3. Диагоналите са разделени наполовина от пресечната точка.

Доказателство

Нека начертаем друг диагонал.

от собственост 1знаем, че противоположните страни са еднакви: AB = CD. Още веднъж обърнете внимание на кръстосано разположените равни ъгли.

Така е ясно, че \триъгълник AOB = \триъгълник COD според втория критерий за равенство на триъгълниците (два ъгъла и страната между тях). Тоест BO = OD (срещу ъглите \ъгъл 2 и \ъгъл 1) и AO = OC (срещу ъглите \ъгъл 3 и \ъгъл 4, съответно).

Доказано!

Признаци на успоредник

Ако във вашия проблем присъства само една характеристика, тогава фигурата е успоредник и можете да използвате всички свойства на тази фигура.

За по-добро запаметяване имайте предвид, че знакът за успоредник ще отговори на следния въпрос - "как да разбера?". Тоест откъде знаеш какво зададена фигуратова е успоредник.

1. Успоредник е четириъгълник, чиито две страни са равни и успоредни.

AB = CD; AB || CD \Rightarrow ABCD е успоредник.

Доказателство

Нека да разгледаме по-отблизо. Защо AD || пр. н. е.?

\триъгълник ABC = \триъгълник ADC по собственост 1: AB = CD, AC - общ и \ъгъл 1 = \ъгъл 2, лежащ на кръст с успоредници AB и CD и секуща AC.

Но ако \триъгълник ABC = \триъгълник ADC , тогава \ъгъл 3 = \ъгъл 4 (лежат съответно срещу AB и CD). И следователно AD || BC (\ъгъл 3 и \ъгъл 4 - тези, които лежат на кръст, също са равни).

Първият знак е правилен.

2. Успоредникът е четириъгълник, чиито срещуположни страни са равни.

AB = CD, AD = BC \Rightarrow ABCD е успоредник.

Доказателство

Нека разгледаме този знак. Нека начертаем отново диагонала AC.

от собственост 1\триъгълник ABC = \триъгълник ACD .

Следва, че: \ъгъл 1 = \ъгъл 2 \дясна стрелка AD || пр.н.е.И \ъгъл 3 = \ъгъл 4 \дясна стрелка AB || CD, тоест ABCD е успоредник.

Вторият знак е правилен.

3. Успоредникът е четириъгълник, чиито срещуположни ъгли са равни.

\ъгъл A = \ъгъл C , \ъгъл B = \ъгъл D \дясна стрелка ABCD- успоредник.

Доказателство

2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ)(тъй като ABCD е четириъгълник и \ъгъл A = \ъгъл C , \ъгъл B = \ъгъл D по условие).

Оказва се, че \alpha + \beta = 180^(\circ) . Но \alpha и \beta са вътрешни едностранни при секущата AB.

И фактът, че \alpha + \beta = 180^(\circ) също означава, че AD || пр.н.е.

Освен това \alpha и \beta са вътрешни едностранни при секущата AD . И това означава AB || CD.

Третият знак е правилен.

4. Успоредникът е четириъгълник, чиито диагонали са разделени наполовина от точката на пресичане.

AO = OC; BO = OD\успоредник със стрелка надясно.

Доказателство

BO=OD; AO = OC , \ъгъл 1 = \ъгъл 2 като вертикала \Стрелка надясно \триъгълник AOB = \триъгълник COD, \Стрелка надясно \ъгъл 3 = \ъгъл 4и \Rightarrow AB || CD.

По същия начин BO = OD; AO = OC, \angle 5 = \angle 6 \Rightarrow \triangle AOD = \triangle BOC \Rightarrow \angle 7 = \angle 8и \Rightarrow AD || пр.н.е.

Четвъртият знак е правилен.

Успоредник е четириъгълник, чиито срещуположни страни са успоредни по двойки (фиг. 233).

За произволен успоредник са валидни следните свойства:

1. Противоположните страни на успоредник са равни.

Доказателство. В успоредника ABCD начертаваме диагонала AC. Триъгълниците ACD и AC B са равни, сякаш имат обща страна AC и две двойки равни ъгли, съседни на него:

(като напречни ъгли с успоредни прави AD и BC). Това означава и като страните на равни триъгълници, лежащи срещу равни ъгли, което трябваше да се докаже.

2. Срещуположните ъгли на успоредник са равни:

3. Съседни ъгли на успоредник, т.е. ъгли, съседни на едната страна, добавете и т.н.

Доказателството за свойства 2 и 3 се получава веднага от свойствата на ъглите за успоредни прави.

4. Диагоналите на успоредник се разполовяват в пресечната си точка. С други думи,

Доказателство. Триъгълниците AOD и BOC са еднакви, тъй като страните им AD и BC са равни (свойство 1) и прилежащите им ъгли (като напречните ъгли за успоредни прави). От тук следва, че съответните страни на тези триъгълници са равни: AO, което трябваше да се докаже.

Всяко от тези четири свойства характеризира успоредника или, както се казва, е негово характерно свойство, т.е. всеки четириъгълник, който има поне едно от тези свойства, е успоредник (и следователно има всичките останали три свойства).

Нека извършим доказателството за всеки имот поотделно.

1". Ако противоположните страни на четириъгълник са равни по двойки, тогава той е успоредник.

Доказателство. Нека четириъгълникът ABCD има съответно равни страни AD и BC, AB и CD (фиг. 233). Нека начертаем диагонала AC. Триъгълниците ABC и CDA ще бъдат еднакви като имат три двойки равни страни.

Но тогава ъглите BAC и DCA са равни и . Успоредността на страните BC и AD следва от равенството на ъглите CAD и ACB.

2. Ако четириъгълникът има две двойки противоположни ъгли, равни, тогава той е успоредник.

Доказателство. Позволявам . Оттогава двете страни AD и BC са успоредни (въз основа на успоредността на правите).

3. Оставяме формулировката и доказателството на читателя.

4. Ако диагоналите на четириъгълник се разполовяват в точката на пресичане, тогава четириъгълникът е успоредник.

Доказателство. Ако AO = OS, BO = OD (фиг. 233), то триъгълниците AOD и BOC са равни, тъй като имат равни ъгли (вертикални!) във върха O, затворени между двойки равни страни AO и CO, BO и DO. От равенството на триъгълниците заключаваме, че страните AD и BC са равни. Страните AB и CD също са равни и четириъгълникът се оказва успоредник според характеристичното свойство G.

По този начин, за да се докаже, че даден четириъгълник е успоредник, е достатъчно да се провери валидността на някое от четирите свойства. Читателят е поканен самостоятелно да докаже друго характерно свойство на успоредник.

5. Ако четириъгълник има чифт равни, успоредни страни, тогава той е успоредник.

Понякога всяка двойка успоредни страни на успоредник се нарича негови основи, тогава другите две се наричат странични страни. Права отсечка, перпендикулярна на двете страни на успоредник, затворена между тях, се нарича височина на успоредника. Успоредник на фиг. 234 има височина h, начертана към страните AD и BC, втората му височина е представена от сегмента .

Общинско бюджетно учебно заведение

Савинская средна общообразователно училище

Проучване

Успоредник и неговите нови свойства

Изпълнил: ученик от 8Б клас

Средно училище MBOU Savinskaya

Кузнецова Светлана, 14 години

Ръководител: учител по математика

Тулчевская Н.А.

стр. Савино

Ивановска област, Русия

2016 г

аз Въведение ____________________________________________________ страница 3

II. От историята на успоредника ___________________________________стр.4

III Допълнителни свойства на успоредника _________________________________страница 4

IV. Доказателство за свойства _____________________________________ страница 5

V. Решаване на проблеми с помощта на допълнителни свойства __________стр. 8

VI. Приложение на свойствата на успоредник в живота ___________________страница 11

VII. Заключение _________________________________________________страница 12

VIII. Литература _________________________________________________стр.13

Въведение

"Сред равни умове

при равенство на другите условия

този, който знае геометрията, е по-добър"

(Блез Паскал).

Докато изучавахме темата „Успоредник“ в уроците по геометрия, разгледахме две свойства на успоредник и три характеристики, но когато започнахме да решаваме задачи, се оказа, че това не е достатъчно.

Имах въпрос: има ли успоредник други свойства и как те ще помогнат при решаването на проблеми?

И реших да проуча допълнителни свойства на успоредник и да покажа как те могат да бъдат приложени за решаване на проблеми.

Предмет на изследване : успоредник

Обект на изследване : свойства на успоредник
Цел на работата:

формулиране и доказване на допълнителни свойства на успоредник, които не се изучават в училище;

прилагане на тези свойства за решаване на проблеми.

Задачи:

Проучете историята на появата на успоредника и историята на развитието на неговите свойства;

Намерете допълнителна литература по разглеждания въпрос;

Изучаване на допълнителни свойства на успоредник и доказване на тях;

Покажете приложението на тези свойства за решаване на проблеми;

Помислете за приложението на свойствата на успоредник в живота.
Изследователски методи:

Работа с учебна и научно-популярна литература, Интернет ресурси;

Изучаване на теоретичен материал;

Идентифициране на набор от проблеми, които могат да бъдат решени с помощта на допълнителни свойства на успоредник;

Наблюдение, сравнение, анализ, аналогия.

Продължителност на изследването : 3 месеца: януари-март 2016г

В учебник по геометрия четем следната дефиниция на успоредник: Успоредникът е четириъгълник, чиито противоположни страни са успоредни по двойки.

Думата "паралелограм" се превежда като " паралелни линии“(от гръцките думи Parallelos – успореден и gramme – линия), този термин е въведен от Евклид. В книгата си „Елементи“ Евклид доказва следните свойства на успоредника: срещуположните страни и ъглите на успоредника са равни, а диагоналът го разполовява. Евклид не споменава пресечната точка на успоредник. Едва към края на Средновековието се развива пълна теорияИ едва през 17 век в учебниците се появяват теореми за успоредниците, които са доказани с помощта на теоремата на Евклид за свойствата на успоредник.

III Допълнителни свойства на успоредник

В учебника по геометрия са дадени само 2 свойства на успоредник:

Противоположните ъгли и страни са равни

Диагоналите на успоредник се пресичат и се разделят на две от пресечната точка.

В различни източници по геометрия можете да намерите следните допълнителни свойства:

Сумата от съседните ъгли на успоредник е 180 0

Симетралата на ъгъла на успоредник отрязва равнобедрен триъгълник от него;

Симетралите на противоположни ъгли на успоредник лежат на успоредни прави;

Симетралите на съседни ъгли на успоредник се пресичат под прав ъгъл;

Когато ъглополовящите на всички ъгли на успоредник се пресичат, те образуват правоъгълник;

Разстоянията от противоположните ъгли на успоредника до същия диагонал са равни.

Ако свържете противоположни върхове в успоредник със средните точки на противоположни страни, ще получите друг успоредник.

Сборът от квадратите на диагоналите на успоредник е равен на удвоения сбор от квадратите на съседните му страни.

Ако начертаете височини от два противоположни ъгъла в успоредник, ще получите правоъгълник.

IV Доказателство за свойствата на успоредник

Сборът от съседните ъгли на успоредник е 180 0

дадени:

ABCD – успоредник

Докажи:

A+
B=

Доказателство:

А и
B – вътрешни едностранни ъгли с успоредни прави BC AD и секанс AB, което означава
A+
B=

дадени: ABCD - успоредник,

AK симетрала
А.

Докажи: АВК – равнобедрен

Доказателство:

1)
1=
3 (на кръст, лежащ на пр.н.е AD и секанс AK ),

2)
2=
3, защото AK е ъглополовяща,

означава 1=
2.

3) ABC - равнобедрен, защото 2 ъгъла на триъгълника са равни

. Ъглополовящата на ъгъла на успоредник отрязва равнобедрен триъгълник от него

дадени: ABCD е успоредник,

AK – ъглополовяща A,

CP - ъглополовяща C.

Докажи: AK ║ SR

Доказателство:

1) 1=2, защото AK е ъглополовяща

2) 4=5 защото CP – ъглополовяща

3) 3=1 (напречно разположени ъгли при

BC ║ AD и AK-секанс),

4) A =C (по свойството на успоредник), което означава 2=3=4=5.

4) От параграфи 3 и 4 следва, че 1 = 4 и тези ъгли съответстват на прави линии AK и CP и секуща BC,

това означава AK ║ CP (въз основа на успоредността на линиите)

. Симетрали на противоположни ъгли на успоредник лежат на успоредни прави

Симетрали на съседни ъгли на успоредник се пресичат под прав ъгъл

дадени: ABCD - успоредник,

AK-ъглополовяща A,

DP ъглополовяща D

Докажи: DP АК.

Доказателство:

1) 1=2, защото AK - ъглополовяща

Нека 1=2=x, тогава A=2x,

2) 3=4, защото D Р – ъглополовяща

Нека 3=4=y, тогава D=2y

3) A + D =180 0, защото сумата от съседните ъгли на успоредник е 180

2) Помислете A OD

1+3=90 0, тогава
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)

5. Симетралите на всички ъгли на успоредника при пресичане образуват правоъгълник

дадени: ABCD - успоредник, AK-ъглополовяща A,

DP-ъглополовяща D,

CM ъглополовяща C,

BF - ъглополовяща B .

Докажи: KRNS - правоъгълник

Доказателство:

Въз основа на предишното свойство 8=7=6=5=90 0 ,

означава, че KRNS е правоъгълник.

Разстоянията от противоположните ъгли на успоредник до същия диагонал са равни.

дадени: ABCD-успоредник, AC-диагонал.

VC климатик, Д.П. A.C.

Докажи: BC=DP

Доказателство: 1) DCP = KAB, като вътрешни кръстове, лежащи с AB ║ CD и секуща AC.

2) AKB= CDP (покрай страната и два съседни ъгъла AB=CD CD P=AB K).

А в равните триъгълници съответните страни са равни, което означава DP=BK.

дадени: ABCD успоредник.

Докажи: VKDR е успоредник.

Доказателство:

1) BP=KD (AD=BC, точки K и P

разделете тези страни наполовина)

2) BP ║ KD (лежат на AD пр.н.е.)

Ако срещуположните страни на четириъгълник са равни и успоредни, тогава четириъгълникът е успоредник.

Ако начертаете височини от два противоположни ъгъла в успоредник, ще получите правоъгълник.

дадени: ABCD е успоредник. BD и AC са диагонали.

Докажи: AC 2 +ВD 2 =2(AB 2 + AD 2 )

Доказателство: 1)ПИТАМ: A.C. ²=
+

2)б Рд : BD 2 = б Р 2 + Рд 2 (според Питагоровата теорема)

3) A.C. ²+ BD ²=SK²+А K²+б Р²+Рд ²

4) SC = BP = N(височина )

5) AC 2 +Бд 2 = з 2 + А ДА СЕ 2 + з 2 +Pд 2

6) Позволявам д К=А P=x, Тогава ° С ДА СЕд : з 2 = CD 2 - Х 2 според Питагоровата теорема )

7) AC²+Bд ² = Cд 2 - x²+ AK 1 ²+ CD 2 -Х 2 +Pд 2 ,

AC²+Bд ²=2Сд 2 -2x 2 + А ДА СЕ 2 +Pд 2

8) А ДА СЕ=AD+ х, РD=AD- х,

AC²+Bд ² =2CD 2 -2x 2 +(AD +x) 2 +(AD -Х) 2 ,

AC²+ IND²=2 СЪСD²-2 х² +АД 2 +2 AD х+ х 2 +АД 2 -2 AD х+ х 2 ,
AC²+ IND²=2CD 2 +2 AD 2 =2(CD 2 +АД 2 ).

V . Решаване на проблеми с помощта на тези свойства

Пресечната точка на ъглополовящите на два ъгъла на успоредник, съседни на едната страна, принадлежи на противоположната страна. Най-късата страна на успоредник е 5 . Намерете голямата му страна.

дадени: ABCD е успоредник,

AK – ъглополовяща
а,

D K – ъглополовяща
D, AB=5

намирам: Слънце

решение

Решение

защото AK - ъглополовяща
И тогава ABC е равнобедрен.

защото D K – ъглополовяща
D, тогава DCK - равнобедрен

DC =C K= 5

Тогава BC=VC+SC=5+5 = 10

Отговор: 10

2. Намерете периметъра на успоредник, ако ъглополовящата на един от ъглите му разделя страната на успоредника на отсечки от 7 cm и 14 cm.

1 случай

дадени:
а,

ВК=14см, КС=7см

Намирам: P успоредник

Решение

VS=VK+KS=14+7=21 (cm)

защото AK – ъглополовяща
И тогава ABC е равнобедрен.

AB=BK= 14см

Тогава P=2 (14+21) =70 (cm)

случва се

дадени: ABCD е успоредник,

D K – ъглополовяща
д

ВК=14см, КС=7см

намирам: P успоредник

Решение

VS=VK+KS=14+7=21 (cm)

защото D K – ъглополовяща
D, тогава DCK - равнобедрен

DC =C K= 7

Тогава P= 2 (21+7) = 56 (cm)

Отговор: 70см или 56см

3. Страните на успоредник са 10 см и 3 см. Симетралите на два ъгъла, съседни на по-голямата страна, разделят противоположната страна на три отсечки. Намерете тези сегменти.

1 случай:ъглополовящи се пресичат извън успоредника

дадени: ABCD – успоредник, AK – ъглополовяща
а,

D K – ъглополовяща
D , AB=3 cm, BC=10 cm

намирам: VM, MN, NC

Решение

защото AM - ъглополовяща
И тогава AVM е равнобедрен.

защото DN – ъглополовяща
D, тогава DCN - равнобедрен

DC=CN=3

Тогава MN = 10 – (BM +NC) = 10 – (3+3)=4 cm

Случай 2:ъглополовящи се пресичат вътре в успоредник

защото AN - ъглополовяща
И тогава ABN е равнобедрен.

AB=Bн = 3 д

И плъзгащата се решетка трябва да се премести на необходимото разстояние във вратата

Паралелограмен механизъм- механизъм с четири бара, чиито връзки образуват успоредник. Използва се за осъществяване на транслационно движение чрез шарнирни механизми.

Успоредник с фиксирана връзка- едното звено е неподвижно, противоположното прави люлеещо се движение, оставайки успоредно на неподвижното. Два паралелограма, свързани един след друг, дават на крайната връзка две степени на свобода, оставяйки я успоредна на неподвижната връзка.

Примери: чистачки за автобуси, мотокари, стативи, закачалки, автомобилни окачвания.

Успоредник с неподвижна става- използва се свойството на успоредника да поддържа постоянно съотношение на разстоянията между три точки. Пример: чертожен пантограф - устройство за мащабиране на чертежи.

Ромб- всички връзки са с еднаква дължина, приближаването (свиването) на чифт противоположни панти води до раздалечаване на другите две панти. Всички връзки работят в компресия.

Примери - автомобилен ромбовиден крик, трамваен пантограф.

ножицаили Х-образен механизъм, също известен като Нюрнбергска ножица- версия на ромб - две връзки, свързани в средата с панта. Предимствата на механизма са компактност и простота, недостатъкът е наличието на две плъзгащи се двойки. Два (или повече) такива механизма, свързани последователно, образуват диамант(и) в средата. Използва се в асансьори и детски играчки.

VII Заключение

Кой учи математика от дете?

той развива вниманието, тренира мозъка си,

собствена воля, култивира постоянство

и постоянство в постигането на целите

А. Маркушевич

По време на работата доказах допълнителни свойства на успоредника.

Бях убеден, че с помощта на тези свойства можете да решавате проблеми по-бързо.

Показах как се прилагат тези свойства, използвайки примери за решаване на конкретни проблеми.

Научих много за успоредника, който го няма в нашия учебник по геометрия

Убедих се, че познаването на геометрията е много важно в живота чрез примери за прилагане на свойствата на успоредник.

Целта на моята изследователска работа е изпълнена.

Значението на математическите знания се доказва от факта, че е създадена награда за човек, който публикува книга за човек, който е живял целия си живот без помощта на математиката. Все още нито един човек не е получил тази награда.

VIII Литература