تحليل الأبعاد وطريقة القياس. ديشكوفسكي أ.، كويفمان يو.جي. طريقة الأبعاد في حل المسائل التحديد التجريبي لثوابت المعادلة المعيارية

تسمى الكميات الفيزيائية التي لا تعتمد قيمتها العددية على مقياس الوحدة المختار بلا أبعاد. ومن أمثلة الكميات التي ليس لها أبعاد الزاوية (نسبة طول القوس إلى نصف القطر)، ومعامل انكسار المادة (نسبة سرعة الضوء في الفراغ إلى سرعة الضوء في المادة).

الكميات الفيزيائية التي تغير قيمتها العددية عندما يتغير مقياس الوحدات تسمى الأبعاد. من أمثلة الكميات البعدية الطول والقوة وما إلى ذلك. ويسمى التعبير عن وحدة الكمية الفيزيائية من خلال الوحدات الأساسية ببعدها (أو صيغة البعد). على سبيل المثال، يتم التعبير عن أبعاد القوة في أنظمة GHS وSI بالصيغة

يمكن استخدام اعتبارات الأبعاد للتحقق من صحة الإجابات التي تم الحصول عليها عند حل المشكلات الجسدية: يجب أن يكون للأجزاء اليمنى واليسرى من التعبيرات الناتجة، وكذلك المصطلحات الفردية في كل جزء، نفس البعد.

يمكن أيضًا استخدام طريقة الأبعاد لاشتقاق الصيغ والمعادلات عندما نعرف المعلمات الفيزيائية التي قد تعتمد عليها الكمية المطلوبة. من الأسهل فهم جوهر الطريقة من خلال أمثلة محددة.

تطبيقات طريقة الأبعاد.لنفكر في مشكلة نعرف إجابتها جيدًا: ما هي السرعة التي يسقط بها الجسم سقوطًا حرًا دون سرعة أولية من ارتفاع إلى الأرض إذا أمكن إهمال مقاومة الهواء؟ بدلًا من الحساب المباشر استنادًا إلى قوانين الحركة، سنفكر على النحو التالي.

دعونا نفكر فيما قد تعتمد عليه السرعة المطلوبة. من الواضح أنه يجب أن يعتمد على الارتفاع الأولي وعلى تسارع الجاذبية، ويمكننا أن نفترض، وفقًا لأرسطو، أنه يعتمد أيضًا على الكتلة. وبما أنه يمكن إضافة كميات من نفس البعد فقط، فيمكن اقتراح الصيغة التالية للسرعة المطلوبة:

حيث C هو ثابت بلا أبعاد (معامل عددي)، وx وy وz أرقام غير معروفة يجب تحديدها.

يجب أن تكون أبعاد الجانبين الأيمن والأيسر من هذه المساواة هي نفسها، وهذا الشرط هو الذي يمكن استخدامه لتحديد الأسس x، y، z في (2). بعد السرعة هو بعد الارتفاع؛ وبعد التسارع بسبب الجاذبية يساوي، وأخيرًا، بعد الكتلة يساوي M. وبما أن الثابت C ليس له أبعاد، فإن الصيغة (2) تتوافق مع المساواة التالية لـ أبعاد:

ويجب أن تستمر هذه المساواة مهما كانت القيم الرقمية. لذلك، يجب أن نساوي بين أسس وM على الجانبين الأيسر والأيمن للمساواة (3):

ومن هذا النظام من المعادلات نحصل على الصيغة (2) تأخذ الشكل

القيمة الحقيقية للسرعة، كما هو معروف، تساوي

لذلك، فإن النهج المستخدم جعل من الممكن تحديد الاعتماد بشكل صحيح ولم يجعل من الممكن العثور على القيمة

ثابت بلا أبعاد C. على الرغم من أننا لم نتمكن من الحصول على إجابة شاملة، إلا أننا حصلنا على معلومات مهمة جدًا. على سبيل المثال، يمكننا أن نقول بكل يقين أنه إذا تضاعف الارتفاع الأولي أربع مرات، فإن السرعة في لحظة السقوط ستتضاعف، وأنه على عكس رأي أرسطو، فإن هذه السرعة لا تعتمد على كتلة الجسم الساقط.

اختيار المعلمات.عند استخدام طريقة الأبعاد، ينبغي أولا تحديد المعلمات التي تحدد الظاهرة قيد النظر. من السهل القيام بذلك إذا كانت القوانين الفيزيائية التي تصفه معروفة. في بعض الحالات، يمكن تحديد المعلمات التي تحدد الظاهرة حتى عندما تكون القوانين الفيزيائية غير معروفة. عادة، تحتاج إلى معرفة أقل لاستخدام طريقة التحليل الأبعاد بدلاً من كتابة معادلات الحركة.

إذا كان عدد المعلمات التي تحدد الظاهرة محل الدراسة أكبر من عدد الوحدات الأساسية التي بني عليها نظام الوحدات المختار، فبالطبع لا يمكن تحديد جميع الأسس في الصيغة المقترحة للقيمة المطلوبة. في هذه الحالة، من المفيد أولاً تحديد جميع المجموعات المستقلة بدون أبعاد للمعلمات المحددة. بعد ذلك سيتم تحديد الكمية الفيزيائية المطلوبة ليس من خلال صيغة مثل (2)، ولكن من خلال منتج بعض (أبسط) مجموعة من المعلمات التي لها البعد المطلوب (أي بعد الكمية المطلوبة) من خلال بعض وظائف تم العثور على معلمات بلا أبعاد.

من السهل أن نرى أنه في المثال أعلاه لجسم يسقط من ارتفاع، لا يمكن تكوين تركيبة بلا أبعاد من الكميات. ولذلك فإن الصيغة (2) تستنفد جميع الحالات الممكنة.

معلمة بلا أبعاددعونا الآن نفكر في المشكلة التالية: دعونا نحدد مدى الطيران الأفقي للقذيفة التي يتم إطلاقها في اتجاه أفقي بسرعة ابتدائية من مسدس يقع على ارتفاع جبل

في حالة عدم وجود مقاومة الهواء، يكون عدد المعلمات التي يمكن أن يعتمد عليها النطاق المطلوب هو أربعة: إلخ. وبما أن عدد الوحدات الأساسية هو ثلاث، إذن الحل الكاملمشاكل باستخدام طريقة الأبعاد أمر مستحيل. دعونا أولا نجد جميع المعلمات المستقلة بلا أبعاد y، والتي يمكن أن تتكون من و

يتوافق هذا التعبير مع المساواة التالية في الأبعاد:

من هنا نحصل على نظام المعادلات

الذي يعطي والمعلمة ذات الأبعاد المطلوبة التي نحصل عليها

يمكن ملاحظة أن المعلمة المستقلة الوحيدة التي لا أبعاد لها في المشكلة قيد النظر هي الآن يكفي العثور على أي معلمة لها بعد الطول، على سبيل المثال، خذ المعلمة نفسها لكتابة تعبير عام لنطاق الطيران الأفقي من قذيفة في النموذج

أين هي وظيفة غير معروفة حتى الآن للمعلمة بدون أبعاد. لا تسمح طريقة الأبعاد (في الإصدار المقدم) بتحديد هذه الوظيفة. ولكن إذا علمنا من مكان ما، على سبيل المثال من التجربة، أن النطاق المطلوب يتناسب مع السرعة الأفقية للقذيفة، فسيتم تحديد شكل الدالة على الفور: يجب أن تدخل فيها السرعة إلى القوة الأولى، أي.

الآن من (5) لمدى طيران المقذوف نحصل عليه

والذي يتوافق مع الإجابة الصحيحة

نؤكد أنه من خلال هذه الطريقة لتحديد نوع الوظيفة، يكفي أن نعرف طبيعة الاعتماد المثبت تجريبيًا لنطاق الطيران ليس على جميع المعلمات، ولكن على واحدة منها فقط.

وحدات المتجهات للطول.لكن من الممكن تحديد المدى (7) فقط من الاعتبارات البعدية، إذا زاد عدد الوحدات الأساسية التي يتم من خلالها التعبير عن المعلمات وما إلى ذلك إلى أربعة. حتى الآن، عند كتابة صيغ الأبعاد، لم يتم التمييز بين الوحدات الطول في الاتجاهين الأفقي والرأسي. ومع ذلك، يمكن تقديم مثل هذا التمييز بناءً على حقيقة أن الجاذبية تعمل عموديًا فقط.

دعونا نشير إلى بعد الطول في الاتجاه الأفقي بواسطة وفي الاتجاه الرأسي بواسطة بعد ذلك سيكون بعد مدى الطيران الأفقي هو بعد الارتفاع سيكون بعد السرعة الأفقية هو للتسارع

السقوط الحر الذي حصلنا عليه الآن، بالنظر إلى الصيغة (5)، نرى أن الطريقة الوحيدة للحصول على البعد الصحيح على الجانب الأيمن هي افتراض التناسب. نأتي مرة أخرى إلى الصيغة (7).

وبطبيعة الحال، بوجود أربع وحدات أساسية وM، فمن الممكن بناء قيمة البعد المطلوب مباشرة من أربع معلمات و

المساواة في أبعاد اليسار و الأجزاء الصحيحةيشبه

نظام المعادلات لـ x و y و z و و يعطي القيم ونأتي مرة أخرى إلى الصيغة (7).

وحدات الطول المختلفة في الاتجاهات المتعامدة المستخدمة هنا تسمى أحيانًا وحدات الطول المتجهة. يؤدي استخدامها إلى توسيع قدرات طريقة التحليل الأبعاد بشكل كبير.

عند استخدام طريقة التحليل الأبعاد، من المفيد تطوير المهارات إلى الحد الذي لا يتعين عليك فيه إنشاء نظام معادلات للأسس في الصيغة المطلوبة، ولكن تحديدها مباشرة. دعونا نوضح ذلك من خلال المشكلة التالية.

مهمة

أقصى مدى. في أي زاوية إلى الأفق يجب رمي حجر لتعظيم مسافة الطيران الأفقية؟

حل. لنفترض أننا "نسينا" جميع الصيغ الحركية ونحاول الحصول على إجابة من اعتبارات الأبعاد. للوهلة الأولى، قد يبدو أن طريقة الأبعاد غير قابلة للتطبيق هنا على الإطلاق، حيث أن الإجابة يجب أن تتضمن بعضها وظيفة المثلثيةزاوية الرمي. لذا، بدلًا من قياس الزاوية (أ) نفسها، دعونا نحاول إيجاد مقدار يعبر عن المسافة. ومن الواضح أننا لا نستطيع الاستغناء عن وحدات الطول المتجهة هنا.

في الحالات التي لا يتم فيها وصف العمليات قيد الدراسة بمعادلات تفاضلية، فإن إحدى طرق تحليلها هي التجربة، والتي يتم عرض نتائجها بشكل مناسب في شكل معمم (في شكل مجمعات بلا أبعاد). طريقة تجميع هذه المجمعات هي طريقة التحليل الأبعاد.

يتم تحديد بعد أي كمية فيزيائية من خلال العلاقة بينها وبين تلك الكميات الفيزيائية المقبولة على أنها أساسية (أولية). كل نظام من الوحدات له وحداته الأساسية. على سبيل المثال، في النظام الدولي للوحدات (SI)، وحدات قياس الطول والكتلة والوقت هي على التوالي المتر (م)، والكيلوجرام (كجم)، والثانية (ث). ويتم اعتماد وحدات قياس الكميات الفيزيائية الأخرى، ما يسمى بالكميات المشتقة (الثانوية)، على أساس القوانين التي تحدد العلاقة بين هذه الوحدات. ويمكن تمثيل هذه العلاقة في شكل ما يسمى بصيغة البعد.

تعتمد نظرية الأبعاد على مبدأين.

• 1. النسبة بين قيمتين عدديتين لأي كمية لا تعتمد على اختيار المقاييس لوحدات القياس الأساسية (على سبيل المثال، النسبة بين بعدين خطيين لا تعتمد على الوحدات التي سيتم قياسهما بها) .
• 2. يمكن صياغة أي علاقة بين الكميات البعدية كعلاقة بين الكميات التي لا أبعاد لها. يمثل هذا البيان ما يسمى نظرية P في نظرية الأبعاد

ويترتب على الموقف الأول أن صيغ أبعاد الكميات الفيزيائية يجب أن يكون لها شكل تبعيات قانون القوى

أين هي أبعاد الوحدات الأساسية.

يمكن الحصول على التعبير الرياضي للنظرية P بناءً على الاعتبارات التالية. اسمحوا بعض القيمة الأبعاد أ 1 هي دالة لكميات متعددة الأبعاد مستقلة عن بعضها البعض، أي.

إنه يتبع هذا

لنفترض أن عدد وحدات الأبعاد الأساسية التي يمكن من خلالها التعبير عن كل شيء ص المتغيرات، يساوي ت. تنص نظرية P على أنه إذا كان كل شيء ص يتم التعبير عن المتغيرات من خلال الوحدات الأساسية، ثم يمكن تجميعها في مصطلحات P بدون أبعاد، أي.

في هذه الحالة، سيحتوي كل مصطلح P على قيمة متغيرة.

في المسائل الهيدروميكانيكية، يجب أن يكون عدد المتغيرات المتضمنة في الحدود P أربعة. ثلاثة منهم سيكونون حاسمين (عادةً الطول المميز، وسرعة تدفق السوائل وكثافته) - يتم تضمينهم في كل مصطلح من مصطلحات P. ويختلف أحد هذه المتغيرات (الرابع) عند الانتقال من حد P إلى آخر. مؤشرات درجة تحديد المعايير (نشير إليها بـ س، ص ، ض ) غير معروفة. وللتيسير، نأخذ أس المتغير الرابع ليكون مساويًا لـ -1.

العلاقات الخاصة بمصطلحات P سيكون لها الشكل

يمكن التعبير عن المتغيرات المتضمنة في المصطلحات P من خلال الأبعاد الرئيسية. وبما أن هذه الحدود ليس لها أبعاد، فإن أسس كل من الأبعاد الرئيسية يجب أن تساوي الصفر. ونتيجة لذلك، لكل من مصطلحات P، من الممكن بناء ثلاث معادلات مستقلة (واحدة لكل بعد)، والتي تربط أسس المتغيرات المضمنة فيها. يتيح حل نظام المعادلات الناتج إيجاد القيم العددية للأسس غير المعروفة X , في , ض. ونتيجة لذلك، يتم تعريف كل مصطلح من المصطلحات P في شكل صيغة مكونة من كميات محددة (معلمات البيئة) بالدرجة المناسبة.

وكمثال محدد، سنجد حلاً لمشكلة تحديد فقدان الضغط بسبب الاحتكاك أثناء تدفق السوائل المضطربة.

من الاعتبارات العامة يمكننا أن نستنتج أن فقدان الضغط في خط الأنابيب يعتمد على العوامل الرئيسية التالية: القطر د ، طول ل ‎خشونة الجدار ك، الكثافة ρ واللزوجة μ للمتوسط، متوسط ​​سرعة التدفق الخامس ، إجهاد القص الأولي، أي.

(5.8)

تحتوي المعادلة (5.8). ن = 7 أعضاء، ولكن عدد وحدات الأبعاد الأساسية. وفقًا لنظرية P، نحصل على معادلة تتكون من حدود P بلا أبعاد:

(5.9)

يحتوي كل مصطلح P على 4 متغيرات. أخذ القطر كمتغيرات رئيسية د ، سرعة الخامس والكثافة ودمجها مع المتغيرات الأخرى المدرجة في المعادلة (5.8) نحصل عليها

سيكون لدينا تكوين معادلة البعد للحد P الأول

بجمع الأسس التي لها نفس الأساس نجد

من أجل البعد ص 1 كان يساوي 1 ( ص 1 هي كمية بلا أبعاد)، فمن الضروري أن نشترط أن تكون جميع الأسس مساوية للصفر، أي.

(5.10)

نظام المعادلات الجبرية(5.10) يحتوي على ثلاث كميات غير معروفة س 1، ذ 1، ض 1. من حل نظام المعادلات هذا نجد س 1 = 1; في 1=1; ض 1= 1.

باستبدال قيم الأسس هذه في الحد P الأول، نحصل على

وبالمثل، بالنسبة للحدود P المتبقية سيكون لدينا

بتعويض الحدود P الناتجة في المعادلة (5.9) نجد

دعونا نحل هذه المعادلة لـ P4:

ولنعبر عنها من هنا:

مع الأخذ في الاعتبار أن فقدان رأس الاحتكاك يساوي الفرق في الرؤوس البيزومترية، سيكون لدينا

للدلالة على المجمع بين قوسين معقوفين، نحصل أخيرا

يمثل التعبير الأخير صيغة دارسي-ويباخ المعروفة، حيث

صيغ لحساب معامل الاحتكاك ل تمت مناقشته في الفقرات 6.13 و6.14.

في الفيزياء لا مجال للأفكار المشوشة
حقا فهم الطبيعة
هذه الظاهرة أو تلك يجب أن تتلقى الأساسية
القوانين من اعتبارات البعد. إي فيرمي

وصف مشكلة معينة، تبدأ مناقشة القضايا النظرية والتجريبية بوصف نوعي وتقييم التأثير الذي يحدثه هذا العمل.

عند وصف مشكلة ما، من الضروري أولاً تقييم ترتيب حجم التأثير المتوقع وحالات الحد البسيطة وطبيعة الارتباط الوظيفي للكميات التي تصف هذه الظاهرة. تسمى هذه الأسئلة بالوصف النوعي للوضع المادي.

واحدة من أكثر طرق فعالةهذا التحليل هو طريقة الأبعاد.

فيما يلي بعض مزايا وتطبيقات طريقة الأبعاد:

• تقييم سريع لحجم الظواهر قيد الدراسة؛
• والحصول على التبعيات النوعية والوظيفية؛
• استعادة الصيغ المنسية في الامتحانات.
• إكمال بعض مهام الاستخدام؛
• التحقق من صحة حل المشكلة.

تم استخدام تحليل الأبعاد في الفيزياء منذ زمن نيوتن. لقد كان نيوتن هو من صاغ طريقة الأبعاد ذات الصلة الوثيقة مبدأ التشابه (التشبيه).

يواجه الطلاب أولاً طريقة الأبعاد عند دراسة الإشعاع الحراري في دورة الفيزياء للصف الحادي عشر:

الخاصية الطيفية للإشعاع الحراري للجسم هي كثافة اللمعان الطيفية ص الخامس – طاقة الإشعاع الكهرومغناطيسي المنبعثة لكل وحدة زمنية من وحدة مساحة سطح الجسم في فترة تردد الوحدة.

وحدة الكثافة الطيفية للضياء النشط هي جول لكل متر مربع(1 ي/م2). تعتمد طاقة الإشعاع الحراري للجسم الأسود على درجة الحرارة والطول الموجي. التركيبة الوحيدة لهذه الكميات ذات البعد J/m 2 هي kT/ 2 ( = c/v). الحسابات الدقيقة التي أجراها رايلي وجينز في عام 1900 في إطار نظرية الموجة الكلاسيكية أعطت النتيجة التالية:

حيث k هو ثابت بولتزمان.

وكما أظهرت التجربة، فإن هذا التعبير يتوافق مع البيانات التجريبية فقط في المنطقة ذات الترددات المنخفضة بما فيه الكفاية. بالنسبة للترددات العالية، خاصة في المنطقة فوق البنفسجية من الطيف، فإن صيغة رايلي-جينز غير صحيحة: فهي تنحرف بشكل حاد عن التجربة. تبين أن أساليب الفيزياء الكلاسيكية غير كافية لشرح خصائص إشعاع الجسم الأسود. ولذلك فإن التناقض بين نتائج نظرية الموجة الكلاسيكية والتجربة فيها أواخر التاسع عشرالخامس. تسمى "الكارثة فوق البنفسجية".

دعونا نوضح تطبيق طريقة الأبعاد باستخدام مثال بسيط ومفهوم جيدًا.

الصورة 1

الإشعاع الحراري لجسم أسود بالكامل: كارثة الأشعة فوق البنفسجية - تناقض بين النظرية الكلاسيكية للإشعاع الحراري والتجربة.

لنتخيل أن جسمًا كتلته m يتحرك بشكل مستقيم تحت تأثير قوة ثابتة F. إذا كانت السرعة الابتدائية للجسم صفرًا، والسرعة عند نهاية الجزء المقطوع من مسار الطول s تساوي v، ومن ثم يمكننا كتابة نظرية الطاقة الحركية: بين الكميات F وm وv وs يوجد اتصال وظيفي.

لنفترض أن نظرية الطاقة الحركية قد نسيت، ونفهم أن العلاقة الوظيفية بين v وF وm وs موجودة ولها طابع قانون القوى.

هنا x، y، z هي بعض الأرقام. دعونا نحددهم. العلامة ~ تعني أن الجانب الأيسر من الصيغة يتناسب مع اليمين، أي حيث k هو معامل عددي، وليس له وحدات قياس ولا يتم تحديده باستخدام طريقة الأبعاد.

الجانب الأيسر والأيمن من العلاقة (1) لهما نفس الأبعاد. أبعاد الكميات v وF وm وs هي كما يلي: [v] = m/s = ms -1، [F] = H = كجم -2، [m] = كجم، [s] = m. (يشير الرمز [A] إلى بُعد الكمية A.) دعنا نكتب تساوي الأبعاد على الجانبين الأيمن والأيسر من العلاقة (1):

m c -1 = كجم x mx c -2x كجم y m Z = كجم x+y m x+z c -2x .

لا توجد كيلوجرامات في الجانب الأيسر من المعادلة على الإطلاق، لذا لا ينبغي أن يكون هناك أي كيلوجرامات في الجانب الأيمن.

هذا يعني انه

على اليمين، العدادات موجودة في قوى x+z، وعلى اليسار - في قوى 1، لذا

وبالمثل، يتبع ذلك مقارنة الأسس بالثواني

من المعادلات الناتجة نجد الأرقام x، y، z:

س = 1/2، ص = -1/2، ض = 1/2.

الصيغة النهائية هي

ومن خلال تربيع الطرفين الأيمن والأيسر لهذه العلاقة، نحصل على ذلك

الصيغة الأخيرة هي تمثيل رياضي لنظرية الطاقة الحركية، على الرغم من عدم وجود معامل عددي.

مبدأ التشابه الذي صاغه نيوتن هو أن النسبة v 2 /s تتناسب طرديًا مع النسبة F / m. على سبيل المثال، جثتين مع كتل مختلفة م 1 و م 2؛ سنعمل عليها بقوى مختلفة F 1 و F 2، ولكن بطريقة تكون النسب F 1 / m 1 و F 2 / m 2 هي نفسها. تحت تأثير هذه القوى، ستبدأ الجثث في التحرك. إذا كانت السرعات الأولية تساوي صفرًا، فإن السرعات التي اكتسبتها الأجسام على مقطع مسار طوله s ستكون متساوية. وهذا هو قانون التشابه الذي توصلنا إليه بمساعدة فكرة تساوي أبعاد الجانبين الأيمن والأيسر من الصيغة، والتي تصف علاقة قانون القوة بين قيمة السرعة النهائية والقيم القوة والكتلة وطول المسار.

تم تقديم طريقة الأبعاد أثناء بناء أسس الميكانيكا الكلاسيكية، لكن استخدامها الفعال لحل المشكلات الفيزيائية بدأ في نهاية القرن الماضي - في بداية قرننا. يعود الفضل في الترويج لهذه الطريقة وحل المشكلات المثيرة للاهتمام والمهمة إلى الفيزيائي المتميز اللورد رايلي. في عام 1915 كتب رايلي: " كثيرًا ما أفاجأ بالقليل من الاهتمام الذي يُولى لمبدأ التشابه العظيم، حتى من قبل العلماء البارزين. غالبًا ما يتم تقديم نتائج البحث المضني على أنها "قوانين" مكتشفة حديثًا، ومع ذلك، يمكن الحصول عليها مسبقًا في غضون دقائق قليلة.

في أيامنا هذه، لم يعد من الممكن اتهام الفيزيائيين بالإهمال أو عدم الاهتمام الكافي بمبدأ التشابه وطريقة الأبعاد. دعونا ننظر في واحدة من مسائل رايلي الكلاسيكية.

مسألة رايلي حول اهتزازات الكرة على الخيط.

دع الخيط يمتد بين النقطتين A و B. قوة شد الخيط هي F. توجد كرة ثقيلة في منتصف هذا الخيط عند النقطة C. طول المقطع AC (وبالتالي CB) يساوي 1. كتلة الكرة M أكبر بكثير من كتلة الخيط نفسه. يتم سحب الخيط للخلف وإطلاقه. من الواضح جدًا أن الكرة سوف تتأرجح. إذا كان سعة هذه الاهتزازات x أقل بكثير من طول الوتر، فستكون العملية توافقية.

دعونا نحدد تردد اهتزاز الكرة على الخيط. دع الكميات F و M و 1 مرتبطة بقانون القوة:

الأسس x، y، z هي الأرقام التي نحتاج إلى تحديدها.

دعونا نكتب أبعاد الكميات التي تهمنا في نظام SI:

C -1 , [F] = كجم.ث -2 , [م] = كجم, = م.

إذا كانت الصيغة (2) تعبر عن نمط فيزيائي حقيقي، فإن أبعاد الجزأين الأيمن والأيسر من هذه الصيغة يجب أن تتطابق، أي يجب تحقيق المساواة

ق -1 = كجم س م س ج -2x كجم y م ض = كجم س + ص م س + ض ج -2x

الجانب الأيسر من هذه المساواة لا يتضمن الأمتار والكيلوجرامات على الإطلاق، ويتم تضمين الثواني في قوى - 1. وهذا يعني أنه بالنسبة لـ x وy وz فإن المعادلات مستوفاة:

س+ص=0، س+ض=0، -2س= -1

وبحل هذا النظام نجد:

س=1/2، ص= -1/2، ض= -1/2

لذلك،

~F 1/2 م -1/2 1 -1/2

تختلف الصيغة الدقيقة للتردد عن تلك الموجودة فقط بعامل ( 2 = 2F/(M1)).

وبالتالي، لم يتم الحصول على تقدير نوعي فحسب، بل أيضًا تقديرًا كميًا للاعتماد على قيم F وM و1 من حيث الحجم، فإن مجموعة قانون القوة التي تم العثور عليها تعطي قيمة التردد الصحيحة. التقدير هو دائما موضع اهتمام من حيث الحجم. في المسائل البسيطة، يمكن في كثير من الأحيان اعتبار المعاملات التي لا يمكن تحديدها بالطريقة البعدية أرقامًا من الدرجة الأولى. هذه ليست قاعدة صارمة.

عند دراسة الموجات، أضع في الاعتبار التنبؤ النوعي لسرعة الصوت باستخدام طريقة تحليل الأبعاد. ونحسب سرعة الصوت على أنها سرعة انتشار موجات الانضغاط والتخلخل في الغاز. ليس لدى الطلاب شك في اعتماد سرعة الصوت في الغاز على كثافة الغاز وضغطه ص.

نحن نبحث عن إجابة في النموذج:

حيث C هو عامل بلا أبعاد، ولا يمكن العثور على قيمته العددية من تحليل الأبعاد. الانتقال إلى (1) لمساواة الأبعاد.

م/ث = (كجم/م3) × باسكال ذ،

م/ث = (كجم/م3) × (كجم م/(ث 2 م2)) ذ,

م 1 ق -1 = كجم س م -3x كجم ذ م ص ج -2y م -2y ,

م 1 ق -1 = كجم س+ص م -3س + ص-2y ج -2y ,

م 1 ث -1 = كجم س+ص م -3س-ص ج -2y .

تساوي الأبعاد على الجانبين الأيسر والأيمن للمساواة يعطي:

س + ص = 0، -3س-ص = 1، -2y= -1،

س= -ص، -3+س = 1، -2س = 1،

س = -1/2 , ص = 1/2 .

وبالتالي سرعة الصوت في الغاز

تم الحصول على الصيغة (2) عند C=1 لأول مرة بواسطة نيوتن. لكن الاستنتاجات الكمية لهذه الصيغة كانت معقدة للغاية.

تم إجراء التحديد التجريبي لسرعة الصوت في الهواء في عمل جماعي لأعضاء أكاديمية باريس للعلوم عام 1738، حيث تم قياس الوقت الذي يستغرقه صوت طلقة مدفع في قطع مسافة 30 كيلومترًا. .

بتكرار هذه المادة في الصف الحادي عشر، يلفت انتباه الطلاب إلى أنه يمكن الحصول على النتيجة (2) لنموذج العملية المتساوية الحرارة لانتشار الصوت باستخدام معادلة مندليف-كلابيرون ومفهوم الكثافة:

– سرعة انتشار الصوت .

بعد أن عرّفت الطلاب على طريقة الأبعاد، سمحت لهم باستخدام هذه الطريقة لاشتقاق معادلة MKT الأساسية للغاز المثالي.

يفهم الطلاب أن ضغط الغاز المثالي يعتمد على كتلة الجزيئات الفردية للغاز المثالي، وعدد الجزيئات لكل وحدة حجم - n (تركيز جزيئات الغاز) وسرعة حركة الجزيئات - .

وبمعرفة أبعاد الكميات المتضمنة في هذه المعادلة نحصل على:

,

,

,

وبمقارنة أبعاد الجانبين الأيسر والأيمن لهذه المساواة نجد أن:

لذلك، فإن معادلة MKT الأساسية لها الشكل التالي:

- هذا يعني

ومن المثلث المظلل يمكن ملاحظة ذلك

الجواب: ب).

استخدمنا طريقة البعد.

تساعد طريقة الأبعاد، بالإضافة إلى إجراء التحقق التقليدي من صحة حل المشكلات وأداء بعض مهام الاستخدام، في العثور على التبعيات الوظيفية بين الكميات الفيزيائية المختلفة، ولكن فقط لتلك المواقف التي تكون فيها هذه التبعيات بمثابة قانون القوة. هناك العديد من هذه التبعيات في الطبيعة، وطريقة الأبعاد هي مساعد جيد في حل مثل هذه المشاكل.

يجب التأكيد على أن الهدف النهائي في الحالة قيد النظر يظل كما هو: العثور على أرقام التشابه التي ينبغي استخدامها للنمذجة، ولكن يتم حلها باستخدام كمية أقل بكثير من المعلومات حول طبيعة العملية.

ولجعل الأمور أكثر وضوحا، دعونا نلقي نظرة سريعة على بعض المفاهيم الأساسية. يمكن العثور على عرض تفصيلي في كتاب أ.ن.ليبيديف "النمذجة في البحث العلمي والتقني". - م: الإذاعة والاتصالات. 1989. -224 ص.

أي كائن مادي لديه عدد من الخصائص التي يمكن التعبير عنها كميا. علاوة على ذلك، تتميز كل خاصية بحجم كمية فيزيائية معينة. يمكن اختيار وحدات بعض الكميات الفيزيائية بشكل تعسفي، وبمساعدتها يمكن تمثيل وحدات جميع الكميات الأخرى. الوحدات المادية، يتم اختيارها بشكل تعسفي، ويتم استدعاؤها رئيسي. في النظام الدولي (فيما يتعلق بالميكانيكا) هي الكيلوجرام والمتر والثانية. وتسمى الكميات المتبقية التي يتم التعبير عنها من خلال هذه الثلاثة المشتقات.

يمكن تحديد الوحدة الأساسية إما برمز الكمية المقابلة أو برمز خاص. على سبيل المثال، وحدات الطول هي لوحدات الكتلة - موحدة الزمن - ت. أو وحدة الطول هي المتر (م)، ووحدة الكتلة هي الكيلوجرام (كجم)، ووحدة الزمن هي الثانية (الثانية).

يُفهم البعد على أنه تعبير رمزي (يُسمى أحيانًا صيغة) في شكل قوة أحادية الحد تربط الكمية المشتقة بالكميات الأساسية. الشكل العامهذا النمط له الشكل

أين س, ذ, ض- مؤشرات الأبعاد.

على سبيل المثال، البعد السرعة

لكمية بلا أبعاد، جميع المؤشرات ، وبالتالي .

العبارتان التاليتان واضحتان تمامًا ولا تحتاجان إلى أي دليل خاص.

إن النسبة بين حجمي كائنين هي قيمة ثابتة، بغض النظر عن الوحدات التي يتم التعبير عنها بها. لذلك، على سبيل المثال، إذا كانت نسبة المساحة التي تشغلها النوافذ إلى مساحة الجدران هي 0.2، فستبقى هذه النتيجة دون تغيير إذا تم التعبير عن المناطق نفسها بالملليمتر2 أو المتر2 أو الكيلومتر2.

ويمكن صياغة الموقف الثاني على النحو التالي. أي علاقة جسدية صحيحة يجب أن تكون متجانسة الأبعاد. وهذا يعني أن جميع الأعضاء المتضمنين في الجزأين الأيمن والأيسر يجب أن يكون لهم نفس البعد. يتم تنفيذ هذه القاعدة البسيطة بوضوح في الحياة اليومية. ويدرك الجميع أن الأمتار لا يمكن جمعها إلا بالأمتار وليس بالكيلوجرامات أو الثواني. من الضروري أن نفهم بوضوح أن القاعدة تظل صالحة حتى عند النظر حتى في المعادلات الأكثر تعقيدًا.

تعتمد طريقة التحليل الأبعاد على ما يسمى بـ -theorem (اقرأ: pi-theorem). -تنشئ النظرية اتصالاً بين دالة يتم التعبير عنها من خلال معلمات الأبعاد ووظيفة في شكل بلا أبعاد. يمكن صياغة النظرية بشكل كامل على النحو التالي:

يمكن تمثيل أي علاقة وظيفية بين الكميات البعدية كعلاقة بين نمجمعات (أرقام) بلا أبعاد مكونة من هذه الكميات. عدد هذه المجمعات ، أين ن- عدد الوحدات الأساسية. كما ذكر أعلاه، في ميكانيكا الموائع (كجم، م، ث).

دعونا، على سبيل المثال، الكمية أهي دالة للكميات الخماسية الأبعاد ()، أي.

(13.12)

ويترتب على ذلك من النظرية أن هذا الاعتماد يمكن تحويله إلى اعتماد يحتوي على رقمين ( )

(13.13)

حيث و هي مجمعات بلا أبعاد تتكون من كميات الأبعاد.

تُنسب هذه النظرية أحيانًا إلى باكنغهام وتسمى بنظرية باكنغهام. في الواقع، ساهم العديد من العلماء البارزين في تطويره، بما في ذلك فورييه، وريابوشينسكي، ورايلي.

إثبات النظرية هو خارج نطاق الدورة. إذا لزم الأمر، يمكن العثور عليها في كتاب L. I. سيدوف "طرق التشابه والأبعاد في الميكانيكا" - م: نوكا، 1972. - 440 ص. ويرد أيضًا تبرير مفصل للطريقة في كتاب V.A. Venikov و G.V Venikov "نظرية التشابه والنمذجة" - م: المدرسة الثانوية، 1984. -439 ص. ومن مميزات هذا الكتاب أنه بالإضافة إلى الأسئلة المتعلقة بالتشابه، فإنه يتضمن معلومات حول منهجية إعداد التجربة ومعالجة نتائجها.

استخدام تحليل الأبعاد لحل مشاكل محددة مشاكل عمليةيرتبط بالحاجة إلى تجميع علاقة وظيفية للنموذج (13.12)، والتي تتم معالجتها في المرحلة التالية بتقنيات خاصة تؤدي في النهاية إلى إنتاج الأرقام (أرقام التشابه).

مرتديها الرئيسي الطبيعة الإبداعية، هي المرحلة الأولى، حيث أن النتائج التي يتم الحصول عليها تعتمد على مدى صحة واكتمال فهم الباحث لها الطبيعة الفيزيائيةعملية. بمعنى آخر، إلى أي مدى يأخذ الاعتماد الوظيفي (13.12) في الاعتبار بشكل صحيح وكامل جميع العوامل التي تؤثر على العملية قيد الدراسة. أي خطأ هنا يؤدي حتما إلى استنتاجات خاطئة. إن ما يسمى بـ "خطأ رايلي" معروف في تاريخ العلم. جوهرها هو أنه أثناء دراسة مشكلة انتقال الحرارة في التدفق المضطرب، لم يأخذ رايلي في الاعتبار تأثير لزوجة التدفق، أي. لم يدرجه في التبعية (13.12). ونتيجة لذلك، فإن العلاقات النهائية التي حصل عليها لم تتضمن رقم تشابه رينولدز، الذي يلعب دورًا مهمًا للغاية في انتقال الحرارة.

لفهم جوهر الطريقة، فكر في مثال: توضيح كل من النهج العام للمشكلة وطريقة الحصول على أرقام التشابه.

من الضروري إنشاء نوع من الاعتماد يسمح بتحديد الضغط أو فقدان الضغط أثناء التدفق المضطرب في الأنابيب المستديرة.

تذكر أن هذه المشكلة قد تم تناولها بالفعل في القسم 12.6. ولذلك، فمن المهم تحديد كيفية حلها باستخدام التحليل الأبعاد وما إذا كان هذا الحل يوفر أي معلومات جديدة.

من الواضح أن انخفاض الضغط على طول الأنبوب، الناتج عن إنفاق الطاقة للتغلب على قوى الاحتكاك اللزج، يتناسب عكسيًا مع طوله، لذلك، من أجل تقليل عدد المتغيرات، من المستحسن عدم مراعاة ذلك، ولكن ، أي. فقدان الضغط لكل وحدة طول الأنبوب. دعونا نتذكر أن العلاقة، حيث فقدان الضغط، تسمى المنحدر الهيدروليكي.

من الأفكار حول الجوهر المادي للعملية، يمكن الافتراض أن الخسائر الناتجة يجب أن تعتمد على: متوسط ​​سرعة التدفق لوسط العمل (v)؛ على حجم خط الأنابيب الذي يحدده قطره ( د); من الخصائص الفيزيائيةوسط منقول، يتميز بكثافته () ولزوجته ()؛ وأخيرا، فمن المعقول أن نفترض أن الخسائر يجب أن تكون مرتبطة بطريقة أو بأخرى بحالة السطح الداخلي للأنبوب، أي. بخشونة( ك) جدرانه. وهكذا فإن الاعتماد (13.12) في الحالة قيد النظر له الشكل

(13.14)

وبهذا تنتهي المرحلة الأولى، ويجب التأكيد على أنها المرحلة الأكثر أهمية في تحليل الأبعاد.

وفقًا للنظرية، فإن عدد المعلمات المؤثرة المضمنة في الاعتماد هو . وبالتالي فإن عدد المجمعات التي لا أبعاد لها، أي. بعد المعالجة المناسبة (13.14) ينبغي أن تأخذ النموذج

(13.15)

هناك عدة طرق للعثور على الأرقام. سوف نستخدم الطريقة التي اقترحها رايلي.

ميزتها الرئيسية هي أنها نوع من الخوارزمية التي تؤدي إلى حل المشكلة.

ومن بين المعلمات المتضمنة في (13.15) يجب عليك اختيار أي ثلاثة منها، ولكن بحيث تشمل الوحدات الأساسية، أي. المتر والكيلوجرام والثانية. دعهم يكونون v، د، . ومن السهل التحقق من أنها تستوفي المتطلبات المذكورة.

يتم تكوين الأرقام على شكل أحاديات القدرة من المعلمات المختارة مضروبة في أحد المعلمات المتبقية في (13.14)

; (13.16)

; (13.17)

; (13.18)

الآن تكمن المشكلة في إيجاد جميع الأسس. علاوة على ذلك، يجب اختيارها بحيث تكون الأرقام بلا أبعاد.

لحل هذه المشكلة، نقوم أولاً بتحديد أبعاد جميع المعلمات:

; ;

اللزوجة ، أي. .

معامل ، و .

وأخيرا...

وهكذا ستكون أبعاد الأرقام

على غرار الاثنين الآخرين

في بداية القسم 13.3، تمت الإشارة بالفعل إلى أنه بالنسبة لأي كمية بدون أبعاد، فإن مؤشرات البعد . لذلك، على سبيل المثال، بالنسبة للرقم يمكننا الكتابة

وبمساواة الأسس، نحصل على ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل

ومن أين نجده؟ ; .

باستبدال هذه القيم في (13.6) نحصل على

(13.19)

وبالتصرف بالمثل، فمن السهل إظهار ذلك

و .

وهكذا، فإن الاعتماد (13.15) يأخذ الشكل

(13.20)

بما أن هناك رقم تشابه غير محدد (رقم أويلر)، فيمكن كتابة (13.20) كاعتماد وظيفي

(13.21)

يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن تحليل الأبعاد لا ولا يمكنه بشكل أساسي إعطاء أي قيم عددية في العلاقات التي تم الحصول عليها بمساعدته. لذلك يجب أن ينتهي الأمر بتحليل النتائج وتصحيحها إذا لزم الأمر بناءً على المفاهيم الفيزيائية العامة. دعونا ننظر في التعبير (13.21) من هذه المواقف. ويتضمن الجانب الأيمن مربع السرعة، ولكن هذا المدخل لا يعبر عن شيء آخر غير أن السرعة مربعة. ومع ذلك، إذا قسمت هذه القيمة على اثنين، أي. إذن، كما هو معروف من الميكانيكا الهيدروميكانيكية، فإنه يكتسب معنى فيزيائيًا مهمًا: طاقة حركية محددة، و - الضغط الديناميكي بسبب السرعة المتوسطة. ومع أخذ ذلك في الاعتبار، فمن المستحسن كتابة (13.21) في النموذج

(13.22)

إذا كنا الآن، كما في (12.26)، نشير بالحرف، فإننا نصل إلى صيغة دارسي

(13.23)

(13.24)

أين هو معامل الاحتكاك الهيدروليكي، والذي، على النحو التالي من (13.22)، هو دالة لعدد رينولدز والخشونة النسبية ( ك / د). لا يمكن العثور على نوع هذا الاعتماد إلا تجريبيا.

الأدب

1. كالنيتسكي إل.إيه، دوبروتين دي.إيه.، زيفيرزيف في.إف. دورة خاصة بالرياضيات العليا للكليات. م.: تخرج من المدرسه، 1976. - 389 ص.

2. Astarita J.، Marruchi J. أساسيات الميكانيكا الهيدروميكانيكية للسوائل غير النيوتونية. - م: مير، 1978.-307 ص.

3. Fedyaevsky K.K.، Faddeev Yu.I. الميكانيكا المائية. - م: بناء السفن 1968. - 567 ص.

4. الشركة المصنعة N.Ya. الديناميكا الهوائية. - م: ناوكا، 1964. - 814 ص.

5. أرزانيكوف إن إس. ومالتسيف ف.ن. الديناميكا الهوائية. - م: أوبورونجيز، 1956 - 483 ص.

6. فيلتشاكوف ب.ف. الطرق التقريبية للخرائط المطابقة. - ك: ناوكوفا دومكا، 1964. - 530 ص.

7. لافرينتييف إم إيه، شابات بي.في. طرق نظرية وظائف المتغير المركب. - م: نوكا، 1987. - 688 ص.

8. دالي ج.، هارلمان د. ميكانيكا الموائع. -م: الطاقة، 1971. - 480 ص.

9. مثل. مونين، أ.م. ياجلوم "الميكانيكا الهيدروميكانيكية الإحصائية" (الجزء الأول.-م: نوكا، 1968. -639 ص)

10. Schlichting G. نظرية الطبقة الحدودية. - م: ناوكا، 1974. - 711 ص.

11. بافلينكو ف. أساسيات ميكانيكا الموائع. - ل: بناء السفن، 1988. - 240 ص.

12. التشول أ.د. المقاومة الهيدروليكية. - م: ندرة، 1970. - 215 ص.

13. أ.أ.جوكمان "مقدمة لنظرية التشابه". - م: الثانوية العامة 1963. - 253 ص.

14. S. كلاين "التشابه والأساليب التقريبية." - م: مير، 1968. - 302 ص.

15. أ.جوكمان "تطبيق نظرية التشابه في دراسة عمليات نقل الحرارة والكتلة. نقل العمليات في وسط متحرك." - م: مقياس أعلى، 1967. - 302 ق.

16. ليبيديف "النمذجة في البحث العلمي والتقني." - م: الإذاعة والاتصالات. 1989. -224 ص.

17. L.I.Sedov "أساليب التشابه والأبعاد في الميكانيكا" - م: ناوكا، 1972. - 440 ص.

18. V.A.Venikov و G.V.Venikov "نظرية التشابه والنمذجة" - م: المدرسة العليا، 1984. -439 ص.

1. الأجهزة الرياضية المستخدمة في ميكانيكا الموائع ........................................... ......................................................... ............... ..... 3

1.1. المتجهات والعمليات عليها ........................................... ...... ...... 4

1.2. عمليات الدرجة الأولى (خصائص المجال التفاضلي). .................................................. ...... ........................................................... ............ ..... 5

1.3. عمليات الدرجة الثانية ........................................... .................... ......... 6

1.4. العلاقات التكاملية للنظرية الميدانية ........................................... 7

1.4.1. تدفق المجال المتجه .............................................. .... ... 7

1.4.2. تداول المتجهات الميدانية ........................................................... ..... 7

1.4.3. صيغة ستوكس ........................................... ... ............. 7

1.4.4. صيغة غاوس-أوستروغرادسكي ........................................... 7

2. الخصائص الفيزيائية الأساسية ومعايير السائل. القوى والضغوط ........................................... ..... ............................ 8

2.1. كثافة................................................. ................................ 8

2.2. اللزوجة ........................................................... ................................................ 9

2.3. تصنيف القوى ........................................... .... .................... 12

2.3.1. القوى الجماهيرية ........................................... ... ............. 12

2.3.2. القوى السطحية ........................................... ... .... 12

2.3.3. إجهاد العضلة الشادة................................................ ........ ...... 13

2.3.4. معادلة الحركة في الإجهاد................................................ 16

3. الهيدروستاتيكية ........................................................... ..... .................................. 18

3.1. معادلة توازن السوائل ........................................... .... 18

3.2. المعادلة الأساسية للهيدروستاتيكا في شكل تفاضلي. .................................................. ...... ........................................................... ............ ..... 19

3.3. الأسطح متساوية الجهد والأسطح ذات الضغط المتساوي. .................................................. ...... ........................................................... ............ ..... 20

3.4. توازن مائع متجانس غير قابل للضغط في مجال الجاذبية. قانون باسكال. القانون الهيدروستاتيكي لتوزيع الضغط...20

3.5. تحديد قوة ضغط السائل على سطح الجسم.... 22

3.5.1. سطح مستو................................................ .... 24

4. الحركية .............................................. .... .................................... 26

4.1. حركة السوائل الثابتة وغير المستقرة......26

4.2. معادلة الاستمرارية (الاستمرارية) ........................................... .......27

4.3. خطوط الانسيابية والمسارات ........................................... ..... ............ 29

4.4. الأنبوب الحالي (السطح الحالي) ........................................... ..... ... 29

4.5. نموذج التدفق النفاث ........................................... .......... ............ 29

4.6. معادلة الاستمرارية ............... .......30

4.7. تسارع الجسيمات السائلة ........................................... ........................... ....... 31

4.8. تحليل حركة الجسيمات السائلة ........................... .......... 32

4.8.1. التشوهات الزاوية ........................................... ... ... 32

4.8.2. التشوهات الخطية ........................................... ... .36

5. الحركة الدوامية للسائل ........................................... ...........38

5.1. حركيات الحركة الدوامية ........................................... ...... 38

5.2. شدة الدوامة ........................................... ... ................ 39

5.3. سرعة الدورة الدموية ........................................... ..... ............... 41

5.4. نظرية ستوكس ........................................... .... ........................... 42

6. حركة السوائل المحتملة .............................................. ....... 44

6.1. السرعة المحتملة ........................................... ..... .................... 44

6.2. معادلة لابلاس ........................................... ... ................... 46

6.3. سرعة الدوران في مجال محتمل ........................................ 47

6.4. وظيفة تدفق الطائرة الحالية ........................................... ...... .47

6.5. المعنى الهيدروميكانيكي للوظيفة الحالية ........................................... 49

6.6. العلاقة بين السرعة المحتملة والوظيفة الحالية ........................................... 49

6.7. طرق حساب التدفقات المحتملة ........................................ 50

6.8. تراكب الدفق المحتمل ........................................... .......... 54

6.9. تدفق غير متداول حول اسطوانة دائرية .............................. 58

6.10. تطبيق نظرية دوال المتغير المركب على دراسة التدفقات المستوية للمائع المثالي ........................... ....................... ..... 60

6.11. التعيينات المطابقة ........................................... ........... ..... 62

7. الهيدروديناميكية للسائل المثالي................................................ 65

7.1. معادلات حركة السائل المثالي ........................................ 65

7.2. تحول جروميكا-لامب ........................................... ...... 66

7.3. معادلة الحركة بصيغة جروميكا-لامب................................. 67

7.4. تكامل معادلة الحركة للتدفق الثابت ........................................... .......................................................................... ................ .......... 68

7.5. الاشتقاق المبسط لمعادلة برنولي ........................................... 69

7.6. معنى الطاقة في معادلة برنولي ........................................... 70

7.7. معادلة برنولي في صورة الضغوط ........................................... ......... 71

8. الهيدروديناميكية للسائل اللزج ........................................... .......... 72

8.1. نموذج السائل اللزج ........................................... ..... .......... 72

8.1.1. الفرضية الخطية ........................................... ... ... 72

8.1.2. فرضية التجانس ........................................... ... 74

8.1.3. فرضية الخواص................................................ ................... .74

8.2 معادلة حركة السائل اللزج. (معادلة نافييه-ستوكس) ........................................... ..... ................................................ ........... .......... 74

9. التدفق أحادي البعد للسوائل غير القابلة للضغط (أساسيات علم الهيدروليكا)................................. ............... ................................... ..................... ................. 77

9.1. معدل التدفق والسرعة المتوسطة ........................................... .......77

9.2. التدفقات المشوهة قليلاً وخصائصها ........................................... 78

9.3. معادلة برنولي لتدفق السوائل اللزج ........................... 79

9.4. المعنى المادي لمعامل كوريوليس ........................................... 82

10. تصنيف تدفق السائل. استقرار حركة المرور ........................................... ................................................................ .............. 84

11. انتظام نظام التدفق الصفحي في الأنابيب المستديرة ........................................ .......................................................................... ................ .......... 86

12. الانتظامات الأساسية للحركة المضطربة. .................................................. ...... ........................................................... ............ .............. 90

12.1. معلومات عامة....................................................................... 90

12.2. معادلات رينولدز ........................................... ... ............ 92

12.3. النظريات شبه التجريبية للاضطراب ........................................... 93

12.4. التدفق المضطرب في الأنابيب ........................................... ...... 95

12.5. قوانين القوة لتوزيع السرعة ........................................... 100

12.6. فقدان الضغط (الضغط) أثناء التدفق المضطرب في الأنابيب. .................................................. ...... ........................................................... ............ ..... 100

13. أساسيات نظرية التشابه والنمذجة................. 102

13.1. تحليل التفتيش المعادلات التفاضلية..... 106

13.2. مفهوم التماثل ................................ ................................ . ............. .110

13.3. التحليل البعدي................................................ ... ............ 111

الأدب ……………………………………………………..118

1

يناقش المقال نظرية الطريقة البعدية وتطبيق هذه الطريقة في الفيزياء. تم توضيح تعريف طريقة الأبعاد. يتم سرد إمكانيات هذه الطريقة. باستخدام نظرية الأبعاد، من الممكن الحصول على استنتاجات ذات قيمة خاصة عند النظر في الظواهر التي تعتمد على عدد كبير من المعلمات، ولكن في نفس الوقت بطريقة تجعل بعض هذه المعلمات في بعض الحالات غير ذات أهمية. في الطريقة قيد النظر، يمكن تمثيل النمط المرغوب كمنتج لدوال الطاقة للكميات الفيزيائية التي تعتمد عليها الخاصية المطلوبة. تلعب طريقة نظرية الأبعاد دورًا مهمًا بشكل خاص في نمذجة الظواهر المختلفة. وبالتالي فإن الغرض من التحليل البعدي هو الحصول على بعض المعلومات حول العلاقات الموجودة بين الكميات القابلة للقياس والمرتبطة بالظواهر المختلفة.

البعد

طريقة الأبعاد

الكمية المادية

1. ألكسيفنينا أ.ك. من المفاهيم الجسدية إلى ثقافة الكلام // بحث أساسي. – 2014. – رقم 6-4. – ص 807-811.

2. بروك يو.إم.، ستاسينكو أ.ل. كيف يقوم الفيزيائيون بإجراء التقديرات - طريقة الأبعاد وأوامر الكميات الفيزيائية // السبت. "في الفيزياء الحديثة - إلى المعلم"، أد. "المعرفة"، موسكو، 1975. – ص 54 – 131.

3. فلاسوف أ.د.، مورين ب.ب. وحدات الكميات الفيزيائية في العلوم والتكنولوجيا. – م: إنرجواتوميزدات، 1990. – 27 ص.

كل يوم نواجه أبعادًا مختلفة. لكي لا نتأخر، نقوم بضبط المنبه (تحديد الوقت)، ومراقبة نظامنا الغذائي (نزن الطعام، ونحسب السعرات الحرارية). وحدات القياس مألوفة لدى الجميع، على سبيل المثال، يتم قياس سرعة الحركة بوحدة م/ث في نظام SI، وفي نظام آخر - كم/ساعة. اخترع الناس وحدات القياس تاريخيا، ويرتبط ذلك بتطور المجتمع، والعملية العلمية والتكنولوجية، والتجارة، وما إلى ذلك.

في العلوم، يجب تحليل الأنماط، أي معادلات اتصال كمية فيزيائية مع أخرى، ليس بمساعدة الوحدات التي تعتمد كليا على الشخص، ولكن بمساعدة بعض المفاهيم الأخرى المستقلة عن الشخص. لأن الأنماط الطبيعية نفسها لا تعتمد على البشر.

يتم تحليل معادلات الارتباط بين الكميات الفيزيائية ليس بمساعدة وحدات القياس، ولكن بمساعدة بعض المفاهيم الأخرى التي لا لبس فيها لنفس الكمية. ولهذا الغرض، تم تقديم مفهوم "البعد". البعد هو تعبير (بدون معاملات عددية) عن اعتماد كمية ما على الكميات الأساسية للنظام، على شكل حاصل ضرب قوى العوامل المقابلة للكميات الأساسية. كل بعد له رمز التعيين الخاص به، ويتم تنظيم ترتيب ترتيبه بشكل صارم. على سبيل المثال، يتم تعيين حجم أي جسم L3، وسرعة الحركة الميكانيكية للجسم هي LT-1.

حقيقة أن العلاقات الفيزيائية هي عددية أو متجهة أو موتر بطبيعتها تعكس خاصية الثبات القوانين الفيزيائيةنسبة إلى نظام الإحداثيات.

من ناحية أخرى، من أجل تحديد قيم أي كمية فيزيائية، من الضروري تعيين وحدات القياس الخاصة بها، وبشكل عام، نظام وحدات القياس. من الواضح أن معنى العلاقات الجسدية لا ينبغي أن يعتمد على اختيار نظام وحدات القياس.

في هذه الحالة، ليست هناك حاجة لتحديد وحدة قياس خاصة تمامًا لكل كمية فيزيائية تتيح التعاريف والعلاقات الفيزيائية التعبير عن أبعاد بعض الكميات الفيزيائية بدلالة البعض الآخر.

على سبيل المثال، تعريف السرعة يسمح لك بالتعبير عن بُعد السرعة v = ds/dt من خلال أبعاد الإزاحة ds والزمن dt.

في أي نظام من الوحدات، يتم إدخال وحدات القياس الأساسية. يتم تقديمها من خلال الخبرة باستخدام المعايير. على سبيل المثال، في SI الوحدات الأساسية هي المتر، الثانية، الكيلوجرام، الأمبير، الكلفن، المول، الكانديلا.

يسمى التعبير عن وحدة قياس عشوائية من خلال وحدات القياس الأساسية بالبعد. يتم تقديم تعيين لكل كمية أساسية: L - الطول، M - الكتلة، T-time، إلخ.

تتم الإشارة إلى أي بُعد عشوائي بين قوسين مربعين من القيمة المقابلة. على سبيل المثال، [v] هو بعد السرعة، [E] هو بعد الطاقة، وما إلى ذلك.

صيغة البعد. ثبت في نظرية الأبعاد أن بعد أي كمية يتم تمثيله بأحاديات القدرة على الصورة [N] = LlTtMm... وتسمى صيغة البعد. في بعض الأحيان، في صيغ الأبعاد، لا يستخدمون رموز الكميات الأساسية، ولكن وحدات القياس الخاصة بهم [v] = ms-1، [E] = كجم m2s2، إلخ.

تعد طريقة الأبعاد إحدى طرق الحساب الأكثر إثارة للاهتمام. يكمن جوهرها في القدرة على استعادة العلاقات المختلفة بين الكميات الفيزيائية. المزايا: تقييم سريع لحجم الظواهر قيد الدراسة؛ والحصول على التبعيات النوعية والوظيفية؛ استعادة الصيغ المنسية في الامتحانات، امتحان الدولة الموحدة. وكذلك المهام الخاصة باستخدام طريقة الأبعاد فهي تساهم في تنمية ثقافة التفكير والكلام.

تعتمد طريقة الأبعاد على تجميع قائمة من الكميات الفيزيائية الأساسية التي تحدد العملية في مشكلة معينة. ولا يمكن القيام بذلك إلا من خلال الفهم الواعي والعميق، وكذلك من خلال النهج الاستكشافي والإبداعي لتحليل الوضع المادي. وهذا يعني أن استخدام الطريقة البعدية يساهم في تنمية تفكير الطلاب في دروس الفيزياء. معظم المشاكل في دورة الفيزياء المدرسية بسيطة نسبيا من وجهة نظر الطريقة قيد النظر، وهذا يسهل إلى حد كبير استخدامها في التدريس.

دعونا نفكر في بعض مزايا وتطبيقات طريقة الأبعاد:

تقييم سريع لحجم الظواهر قيد الدراسة.

الحصول على التبعيات النوعية والوظيفية؛

استعادة الصيغ المنسية في الامتحانات.

استكمال بعض مهام الاستخدام؛

التحقق من صحة حل المشكلة.

طريقة الأبعاد هي طريقة شائعة وبسيطة نسبيًا في العلوم الفيزيائية الحديثة. يتيح لك التحقق بجهد ووقت أقل:

1) صحة حل المشكلة؛

2) إنشاء علاقة وظيفية بين الكميات الفيزيائية التي تميز هذه العملية؛

3) تقدير النتيجة العددية المتوقعة. وبالإضافة إلى ذلك، فإن مدرس الفيزياء لديه الفرصة للقيام بما يلي:

أ) مسابقة أثناء الدرس عدد أكبرطلاب؛

ب) معرفة الصيغ ووحدات قياس الكميات الفيزيائية؛

ج) توفير الوقت عند شرح المواد الجديدة. سيؤدي استخدام طريقة الأبعاد في الفصول الدراسية إلى تحفيز دراسة أكثر تعمقًا للموضوع، وتوسيع آفاق الطلاب، وتعزيز الروابط بين التخصصات.

هناك إجراء رياضي مفيد للغاية في الفيزياء يسمى تحليل الأبعاد.

ل الإعداد الصحيحومعالجة التجارب التي ستسمح لنا نتائجها بتحديدها الأنماط العامةويمكن تطبيقها على الحالات التي لم يتم فيها تنفيذ التجربة بشكل مباشر، فمن الضروري الخوض في جوهر القضية قيد الدراسة وإعطاء تحليل نوعي عام.

يتم توفير إمكانية إجراء مثل هذا التحليل النظري النوعي الأولي واختيار نظام لتحديد الكميات التي لا أبعاد لها من خلال نظرية البعد، والتي تجلب العديد من الفوائد سواء من الناحية النظرية أو العملية. يتم دائمًا الحصول على جميع النتائج التي يتم الحصول عليها باستخدام هذه النظرية بكل بساطة وبشكل أولي وبدون أي صعوبة تقريبًا. لكن تطبيق هذه النظرية على المشاكل الجديدة يتطلب خبرة وفهم لجوهر الظاهرة.

كل معادلة في الفيزياء تعبر عن علاقة موجودة موضوعيا في الطبيعة، بغض النظر عن إرادة من يكتب هذه المعادلة. وبطبيعة الحال، يجب التعبير عن طرفي المعادلة بالكميات المقاسة بنفس الوحدات.

يستخدم تحليل الأبعاد على نطاق واسع في الفيزياء لتحليل المعادلات التي ليست بسيطة مثل F = ma والتي يوجد شك حول صحتها. إذا لم تتطابق قوى بُعد واحد على الأقل، فهذا يعني ضمانًا بنسبة مائة بالمائة بأن المعادلة غير صحيحة.

عند حل المشكلات وبالتالي الاختبارات أهمية عظيمةلديه القدرة على التحكم في تحديد أبعاد الكميات المضمنة كمصطلحات في صيغ الحساب. من الواضح تمامًا أن تعبيرًا مثل "3m-2kg" لا معنى له، لذلك إذا ظهرت نتيجة للحل مصطلحات ذات أبعاد مختلفة، فهذه علامة واضحة على حدوث خطأ (في أغلب الأحيان يكون ذلك ذات طبيعة حسابية). لفهم ذلك، من الضروري اللجوء بشكل دوري إلى تحليل الأبعاد عند حل اختبار أو مشكلة.

لا تقتصر فوائد استخدام الأبعاد على إجراء تحليل الأبعاد. تُستخدم طريقة الأبعاد أيضًا لتنظيم الكميات الفيزيائية.

كل ما عليك فعله هو أن تتذكر هذا البعد عندما يكون تنظيم الكميات الفيزيائية مفهومًا مساعدًا. يساعد على حل المشكلة، لكن لا يمكن حل المشكلة باستخدام الأبعاد وحدها. ومن غير المرجح أن نسعى جاهدين لمثل هذا النهج. يتم حل مشكلة تنظيم الكميات الفيزيائية فقط من خلال مقارنة المعادلات المحددة، واستخدام الأبعاد يعطي هذا الحل بعض الوضوح.

وفي المقابل، يمكن أن تكون الكميات الفيزيائية ذات أبعاد وعديمة الأبعاد. الكميات التي تعتمد قيمتها العددية على المقاييس المقبولة، أي على نظام وحدات القياس، تسمى الكميات البعدية أو المسماة، على سبيل المثال: الطول، الزمن، القوة، الطاقة، لحظة القوة، إلخ. الكميات التي لا تتغير قيمتها العددية تعتمد على النظام المستخدم وحدات قياس تسمى الكميات عديمة الأبعاد أو المجردة، على سبيل المثال: نسبة الطولين، نسبة مربع الطول إلى المساحة، نسبة الطاقة إلى لحظة القوة، إلخ. مشروط، وبالتالي يمكن اعتبار بعض الكميات في بعض الحالات أبعادا، وفي حالات أخرى - بلا أبعاد.

ترتبط الكميات الفيزيائية المختلفة بعلاقات معينة. ولذلك إذا اتخذ بعضها أساسياً ووضعت لها بعض وحدات القياس، فإنه سيتم التعبير عن وحدات قياس الكميات المتبقية بشكل معين من خلال وحدات قياس الكميات الأساسية. وحدات القياس المعتمدة للكميات الأساسية تسمى أساسية أو أولية، والباقي تسمى مشتقة أو ثانوية.

حاليا، المادية و الأنظمة التقنيةوحدات القياس. في النظام الماديوحدات القياس الأساسية هي السنتيمتر وكتلة الجرام والثانية (نظام CGS)،

تعمل طريقة الأبعاد في نطاق واسع جدًا من حيث الحجم، فهي تسمح لك بتقدير حجم الكون وخصائص النواة الذرية، واختراق النجوم والعثور على أخطاء كتاب الخيال العلمي، ودراسة الموجات على سطح قم بجمع وإحصاء كمية المتفجرات عند بناء الأنفاق في الجبال.

وترتبط الفائدة الرئيسية لنظرية الأبعاد بإمكانية دراسة القوانين الفيزيائية في شكل بلا أبعاد، بشكل مستقل عن اختيار أنظمة وحدات القياس. نتائج تحليل المشكلة في شكل بلا أبعاد قابلة للتطبيق على الفور على فئة كاملة من الظواهر.

بتلخيص كل ما سبق يمكننا استخلاص الاستنتاجات التالية:

1. يمكن استخدام طريقة الأبعاد إذا كان من الممكن تمثيل الكمية المطلوبة كدالة طاقة.

2. تتيح لك طريقة الأبعاد حل المشكلة نوعيًا والحصول على إجابة دقيقة للمعامل العددي

3. في بعض الحالات تكون الطريقة البعدية هي الطريقة الوحيدة لحل المشكلة وعلى الأقل تقدير الإجابة.

4. حل المشكلات باستخدام طريقة الأبعاد الإضافية أو طريقة مساعدةمما يسمح لنا بفهم تفاعل الكميات وتأثيرها على بعضها البعض بشكل أفضل.

5. طريقة الأبعاد بسيطة جدًا من الناحية الرياضية.

تتطلب هذه الطريقة انتباه خاص. دراسة أكثر تحديداً وتفصيلاً، بهدف إدخال هذه الطريقة في مقرر الفيزياء المدرسية، من أجل الاستخدام الواعي والهادف لطريقة البعد في حل المشكلات المخصصة للطلاب.

الرابط الببليوغرافي

بولونينا إم إم، ماركوفا ن.أ. طريقة الأبعاد في الفيزياء // النشرة العلمية للطلاب الدوليين. – 2017. – رقم 4-5.;
عنوان URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=17494 (تاريخ الوصول: 05/01/2020). نلفت انتباهكم إلى المجلات التي تصدرها دار النشر "أكاديمية العلوم الطبيعية"